SIMULACIÓN DINÁMICA DE SISTEMAS DE OSMOSIS INVERSA

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1 SIMULACIÓN INÁMICA E SISTEMAS E OSMOSIS INVERSA J. Armijo C 1 y C. Condorhuamán C. 2 Resumen En este trabajo se desarrolla un modelo matemátio para simular de forma dinámia un sistema de osmosis inversa. El modelo se onforma a partir de balanes marosópios de materia en estado no estaionario ombinados on el modelo de transporte en la membrana: difusión-soluión. En esta primera parte, se resuelve el sistema de euaiones difereniales suponiendo un flujo patrón de mezla ompleta en el módulo de osmosis inversa (módulo de polarizaión1). El sistema de euaiones se resuelve simultáneamente mediante el método de Runge-Kutta-Fehlberg. Los resultados indian que aumentar el área de membrana o de la presión inrementa el volumen de produto reuperado y el inremento de la onentraión iniial en la alimentaión redue el audal severamente. Palabras laves: Simulaión, osmosis inversa, difusión-soluión, polarizaión por onentraión A YNAMIC SIMULATION OF REVERSE OSMOSIS SYSTEMS Abstrat This paper develops a mathematial model to simulate dynamially a reverse osmosis system. The model is formed from materials balanes marosopi unsteady state ombined with the model membrane transport: diffusion-solution. In this first part, we solve the system of differential equations assuming a ompletely mixed flow pattern in the reverse osmosis module (module polarization 1). The system of equations is solved simultaneously by the Runge-Kutta-Fehlberg method. The results indiate that inreasing the area of membrane or pressure inreases the volume of reovered produt and inreasing the initial onentration in the feed redues the permeate flow severely. Keywords: Simulation, reverse osmosis, diffusion-solution onentration polarization I INTROUCCIÓN La desalinizaión de agua de mar para produir agua potable, mediante osmosis inversa (OI), se ha onvertido en una opión eonómiamente fatible a medida que las fuentes de agua han disminuido gradualmente debido a su esasez y deterioro de su alidad. Los sistemas de osmosis inversa tienen muhas ventajas sobre otras ténias de desalinizaión: bajo requerimiento de energía, bajas temperaturas de operaión, diseño modular y bajo ostos de produión de agua. A iniios de los años 90, el osto total de agua desalinizada inluyendo osto de apital amortizados en 25 años [1] era $1.5/ m3 omparado al valor atual entre $0.65/ m3 a $ 0.90/m 3 En general, los sistemas de OI son utilizados para la separaión de sales disueltas y de sustanias en soluión. El proeso onsiste en pasar una soluión auosa de alta presión (alimentaión) a través de una membrana porosa semipermeable, y retirar el permeado de la membrana a presión y temperatura ambiente. La soluión de alta presión remanente (residuo) ontiene una elevada onentraión de uno o varios onstituyentes originales. La figura N. 1 muestra un esquema general del proeso. 1 jarmijoarranza@hotmail.om epartamento Aadémio de Operaiones Unitarias, Faultad de Q. e Ing. Químia, UNMSM. 2 esario@yahoo.om epartamento Aadémio de Operaiones Unitarias, Faultad de Q. e Ing. Químia, UNMSM. 21

2 aumentar el flujo, oloar promotores de turbulenia en el anal de la alimentaión, flujo en reversa, agitaión, modifiaión de la estrutura poliméria de la membrana. Figura N. 1. Esquema del módulo de osmosis inversa que muestra las orrientes de alimentaión, permeado y rehazo. Los sistemas de OI son hábiles para separar partíulas de hasta mm, que es el tamaño de un ión, motivo por el ual su prinipal apliaión es la de obtener agua potable a partir de agua salobre. La propiedad [2] más importante de las membranas es su apaidad para ontrolar la veloidad de permeado de diferentes espeies químias. Para desribir el meanismo de permeado se utiliza de forma extensiva el modelo de soluión-difusión. En este modelo las espeies químias se disuelven en el material de la membrana y seguidamente se difunden a través de ella a onseuenia de una gradiente de onentraión. Las espeies químias se separan debido a diferenias en las solubilidades y las veloidades de difusión. Una de las prinipales limitaiones de los proesos de separaión mediante membranas es la aumulaión del soluto o iones de la sal sobre la superfiie de la membrana. Este fenómeno se denomina polarizaión por onentraión y se produe debido a que la membrana rehaza el soluto dejando pasar preferentemente el solvente a través de la membrana. Como resultado de la polarizaión por onentraión el volumen o flujo del produto permeado disminuye reduiendo el rendimiento del proeso. El fenómeno de polarizaión por onentraión está ontrolado por las propiedades del soluto y de la membranas, así omo por la hidrodinámia de flujo [3]. Para reduir los efetos de la polarizaión por onentraión se reurre a diferentes ténias omo por ejemplo: Cuando se diseñan y operan módulos de OI es neesario onoer los efetos de la polarizaión por onentraión para determinar las ondiiones óptimas de operaión, ayudar en el diseño de módulos on membranas de alto rendimiento así omo la interpretaión de los estudios del omportamiento de las membranas [3]. iferentes aproximaiones o teorías se utilizan para predeir el efeto de la polarizaión. 1- Modelos analítios. Los modelos analítios varían en su omplejidad dependiendo de la exatitud para desribir el movimiento del fluido uando esta irula sobre la superfiie de la membrana. a) Teoría de la pelíula. Esta teoría proporiona un estimado rápido del grado de la polarizaión de onentraión basado en el onoimiento del oefiiente de transferenia de masa en el lado de la alimentaión y del flux de permeado. Este modelo supone: perfil de veloidades y onentraión totalmente desarrollado, flux de permeado invariable en la direión axial, y el efeto de la suión (permeado) en la superfiie de la membrana no altera el perfil de veloidades axial. Se utilizan orrelaiones teórias o empírias parta estimar el oefiiente de transferenia de masa. b) Teoría del soluto retenido. Este modelo relaiona la veloidad del permeado on la onentraión en la apa de polarizaión y determina la variaión de la veloidad del permeado en direión axial a lo largo de la superfiie de la membrana mediante balane de materia del soluto. ) Teoría de onveión-difusión. Este modelo, más omplejo que las anteriores, onsidera que el fluido se mueve en dos direiones y mediante el balane de materia entre el soluto rehazado y el soluto que se mueve axialmente determina la 22

3 variaión de la onentraión en ambas direiones, axial y transversal. El trabajo de S. Kim y E. Hoek [4] ompara las prediiones teórias de las tres teorías on datos experimentales. Sus resultados muestran que la apa de polarizaión de onentraión varía a lo largo de la longitud axial de la membrana, y las prediiones del modelo de la pelíula, siendo el más simple, es bastante próximo al modelo de onveión-difusión. 2- Modelos de fenómenos de transporte. Estos modelos se fundamentan en prinipios físio-químios para desribir la hidrodinámia de flujo y el efeto de dispersión de las espeies químia. Atualmente se aproveha el gran avane en los métodos omputaionales para resolver de forma numéria las omplejas euaiones que desriben los perfiles de veloidad y onentraión en más de una oordenada espaial, en la apa de polarizaión. a) Balanes de momento y transporte mirosópio. Una de las herramienta más poderosas desarrolladas para este fin es el denominado Computaión inámia de Fluidos (CF). Esta metodología analiza fenómenos transferenia de masa, alor y fenómenos asoiados omo reaiones químias, adsorión e interambio iónio apliados a sistemas que trabajan on fluidos. iferentes métodos numérios se han implementado en diferentes software omeriales que se lista en la referenia [5]. Uno de los trabajos que sigue la línea CF es el de E. Lyster y Y. Cohen [3], quienes esriben las euaiones difereniales de momento y de transferenia de masa en dos dimensiones y resuelven el sistema de euaiones de forma numéria mediante el método de elementos finitos on el programa COMSOL. La enorme omplejidad de la ténia CF lo hae difíil aoplar sus resultados al diseño, ontrol y optimizaión de los proesos de separaión on membranas. b) Balanes de gradiente máximo. En este análisis, variables tales omo presión, veloidad y onentraión se onsideran que ambian solo en direión axial de flujo y se despreia los efetos de dispersión. L. Song y otros [6] utilizan esta ténia, mediante balanes de materia determinan las veloidades en el anal del módulo y del permeado; y alulan la aída de presión en direión de flujo utilizando un fator de friión determinado experimentalmente. ) Balanes de materia y transporte marosópio. En este aso no se requiere detalles del proeso interno del módulo de osmosis. Las variables de proeso tales omo veloidad y onentraión dependen solo del tiempo y no de la oordenada espaial, se trabaja on informaión de las orrientes que entran y salen del módulo. Los trabajos de Slater [7] y Jamal, Khan, Kamil [8] presentan la simulaión dinámia del sistema de osmosis inversa basado en balanes de materia ombinados on las euaiones de transporte simplifiados del módulo. Para la integraión numéria utiliza el método de Runge- Kutta de 4to grado. Slater presenta resultados de la simulaión numéria mediante balanes marosópios y los ompara on datos experimentales. Ambos trabajos, de Jamal y Slater, expresan el audal de permeado en funión de la onentraión de la alimentaión y no de la onentraión de la orriente de rehazo porque suponen que son aproximadamente iguales. El objetivo del presente trabajo es simular el sistema OI mediante modelos dinámios de balanes de materia ombinados on el modelo de transporte soluión-difusión para determinar los efetos de la onentraión, la presión y el área en el omportamiento del proeso de OI. II. FUNAMENTOS TEÓRICOS La onfiguraión que se muestra en la Figura N. 2 es el sistema de OI seleionado para el desarrollo del modelo matemátio. [7,8] 23

4 volumen de permeado en el tanque es ero al tiempo t0. El análisis del sistema de OI se realiza individualmente en ada unidad: tanque de permeado y de alimentaión, y finalmente en el módulo. 1- Balanes de materia a) Tanque de permeado o produto. Balane de soluto más solvente: Figura N. 2. Esquema del sistema de osmosis inversa que muestra el tanque de alimentaión, de permeado y el módulo. El tanque de alimentaión se arga on solvente puro (B: agua), el agitador está enendido. El líquido es bombeada haia el módulo y se deja irular por un periodo de tiempo (tb) hasta onseguir ondiiones estaionarias de flujo. El flujo de permeado o produto depende de la permeabilidad de la membrana al solvente, y de la aída de presión transmembrana. El volumen de permeado reogido es Qtb. Al tiempo t0 se agrega una antidad de soluto (A: sal) al tanque de alimentaión. ebido a la agitaión violenta, la onentraión de soluto en el tanque es uniforme e igual a AF0, y la onentraión total es F0. La orriente de alimentaión tiene las mismas onentraiones que del tanque. A medida que transurre el proeso, t>0, el volumen del produto se inrementa y el volumen del tanque de alimentaión disminuye. La onentraión de soluto en el tanque de alimentaión se inrementa en el tiempo debido a la reirulaión de la orriente de rehazo. El soluto que pasa a través de la membrana se mezla en el tanque de produto y la onentraión, en ualquier instante, es un valor promedio entre el tiempo t0 y el instante t. e esta manera, el sistema opera en forma suesiva de inrementos de la onentraión de soluto en el tanque de alimentaión. La desripión anterior difiere de la presentada en las referenias de Jamal y Slater donde el El flujo molar se relaiona on el flujo volumétrio: Si onsideramos que las soluiones son diluidas, podemos aproximar: Reemplazando 3 y 2 en 1 obtenemos: dv dt Balane de soluto: dv ( ) 0 dt Q dv ( A ) A 0 dt Expandimos el termino de la derivada y obtenemos: Si reemplazamos 2 y 4 en la euaión anterior obtenemos: b) Tanque de alimentaión Balane de soluto más solvente Q dv da A + V A 0 dt dt da Q A A dt V ( ) dv ( F F) + F R 0 dt (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 24

5 Los flujos volumétrios se relaionan on los flujos molares omo sigue: F Q F R Q R F R (8) en estado estaionario, desde la entrada al anal hasta el extremo de salida. Balane de soluto + solvente F R+ (13) Para soluiones diluidas suponemos que: Reemplazando 9 y 8 en 7: F R (9) Balane de soluto F R + AF AR A F R (14) dv dt Balane de soluto: F Q Q R F (10) Si reemplazamos los flujos volumétrios definidos mediante las euaiones 2 y 8; y onsideramos soluiones diluidas: F R dv ( F AF ) F R + AF AR 0 dt F (11) Si expandimos el termino de la derivada obtenemos: daf dvf F R VF + AF + AF AR 0 dt dt F R R Las euaiones 13 y 14 quedan omo sigue: QF QR + Q Q F AF Q R AR + Q A (15) (16) Combinando las euaiones 15 y 16 se demuestra que: Reemplazamos 8 y 10 en la euaión anterior para obtener: ( ) ( ) Q Q R AR AF AF A (17) daf QR AR AF dt VF ( ) ) Módulo de osmosis inversa (12) Suponemos que el volumen del módulo es pequeño omparado al volumen del tanque de alimentaión y por lo tanto no hay aumulaión de materiales en ella. Si bien el fenómeno de polarizaión es un proeso de aumulaión de soluto, se onsidera que el reimiento de la apa de aumulaión sobre la superfiie de la membrana ourre en los primeros instantes y es rápido. Una vez estableida la apa de soluto esta mantiene un espesor invariable en el tiempo a lo largo de la direión del flujo así mismo, la onentraión de soluto en la apa de polarizaión permanee onstante. El trabajo de simulaión numéria de Lyster-Cohen para un módulo de anal retangular muestra que la onentraión de soluto se inrementa, 2-Balanes de materia ombinados e la euaión 15 : QR-QF -Q, reemplazando en la euaión 10 obtenemos: dv dt Esta euaión se resuelve on la euaión 4: Con las ondiiones iniiales: El resultado de la integraión es: F dv dt Q Q t V V V V 0 F F0 0 (18) (4) (19) (20) Por otro lado, si reemplazamos las euaiones 17 y 20 en la euaión 12 se obtiene después de arreglar la euaión 21: ( ) V V + V V F F0 0 25

6 d AF Q AF AF A dt ( VF 0 + V0) V AF (21) gradiente de onentraión. La veloidad de difusión está determinado por la ley de Fik y es proporional a un oefiiente de difusión efetivo. Las euaiones 4, 6 y 21 forman el sistema de euaiones difereniales ordinarias que simulan el omportamiento dinámio del sistema de OI. Para resolver estas euaiones se neesita una expresión para el flujo de permeado, Q, el mismo que está determinado por el modelo que se use para desribir el transporte de las espeies químias a través de la membrana. En este trabajo apliamos el modelo de la soluión -difusión. 3-Modelo de transporte soluión-difusión [9] Este modelo se arateriza por un meanismo simultáneo de disoluión y difusión en la membrana, ambos, dependientes de las araterístias del material del que están hehas las membranas. El meanismo del modelo es: 3- La soluión de alta presión (alimentaión) transmite su presión al interior de la membrana de manera uniforme, y se propaga de forma onstante hasta alanzar la superfiie de la membrana en ontato on la soluión de baja presión (permeado) donde ae brusamente hasta igualarse a la presión menor. 4) No existe aumulaión de espeies químias en la membrana. La figura N. 3 muestra un esquema on las variables que se utilizan para expresar las euaiones de transporte según el modelo de soluión-difusión. 1- Las espeies químias son adsorbidas sobre la superfiie de la membrana desde el fluido adherida a ella. 2- Las espeies químias adsorbidas se difunden a través de la membrana en virtud de una gradiente de onentraión. 3- Las espeies químias que llegaron a la ara opuesta de la membrana son desorbidos desde la superfiie de la membrana haia la fase fluida. El modelo supone: 1- En la interfase fluido-membrana se establee rápidamente un estado de equilibrio en la distribuión de las espeies químias, es deir la veloidad de adsorión y desorión son más rápidas que la veloidad difusión en la membrana. Las onentraiones pueden relaionarse mediante la ley de Henry. 2- En el interior de la membrana las espeies se difunden a onseuenia de su Figura N. 3. Esquema que muestra la difusión de soluto y solvente a través de la membrana. Las euaiones que determinan las veloidades de transporte en funión de las onentraiones en fase fluida son: Flux molar de soluto: ( ) N κ A A Am 1 A2m (22) onde la onstante de permeabilidad al soluto está dado por el oiente entre permeabilidad y espesor de membrana: κ A Ρ δ A (23) 26

7 Flux molar de solvente: onde: N B ( P π) κ La aída de presión transmebrana es B P P1 P2 (24) (25) Las presiones osmótias dependen de las onentraiones del soluto en ada lado de la membrana: π π ( ) π ( ) 1 Am 1 2 A2m (26) La onstante de permeabilidad al solvente está dado por el oiente de la permeabilidad al espesor a orregido por la relaión entre el volumen molar y la onentraión del solvente, la temperatura absoluta y la onstante universal de los gases: κ B Ρ δ B v RT B Bm 1 (27) La relaión de flux molares permite demostrar la relaión: 4- El efeto de la polarizaión por onentraión[10, 11] El soluto tiende aumularse sobre la superfiie de la membrana si esta deja pasar más fáilmente al solvente. La onentraión del soluto se inrementa en el tiempo reando una gradiente de onentraión que origina un flux de retorno desde la superfiie de la membrana haia la masa prinipal de la soluión. En estado estaionario, se alanza un valor onstante para la onentraión del soluto sobre la superfiie de la membrana y así mismo para el flux neto del soluto, que es el mismo que atraviesa la pelíula de líquido omo el que atraviesa la membrana. Se onsidera que en el lado de la soluión onentrada (alimentaión) el efeto de la polarizaión por onentraión es más importante que en el lado de la soluión diluida (permeado). La figura N. 4 muestra un esquema del modelo de pelíula estanada sobre la superfiie de la membrana. N A N B A2m B2m (28) Reemplazando las euaiones 22 y 24 en 28, se obtiene después de arreglar : A2m κ P π ( ) + π ( ) [ ] Am 1 1 Am 1 2 A2m (29) onde la relaión entre las onstantes de permeabilidades definen la seletividad de la membrana: κ κ κ (30) La euaión 29 permite estableer que un aumento de la presión de alimentaión disminuye la onentraión de soluto en el lado del permeado, lo ual mejora la alidad del agua en los sistemas de desalinizaión. En ambio, un aumento de la onentraión en el lado de alimentaión aumenta la presión osmótia p1, y omo onseuenia aumenta la onentraión de soluto en el permeado. B A B2m Figura N. 4. Esquema de los proesos de difusión en la membrana y la pelíula de líquido. Se muestra la aída de onentraión en el lado de soluión onentrada. ebido a la aumulaión de soluto en la superfiie de la membrana, se desarrolla una gradiente de onentraión en la soluión de alimentaión que produe difusión moleular haia el seno de la soluión, reduiendo el flux de solvente que llega a la membrana. El inremento de la presión osmótia p1 debi- 27

8 do al aumento de la onentraión también redue el flujo de solvente. En estado estaionario, el flux neto de A en la pelíula de fluido está dado por la primera ley de Fik: Integrando la euaión anterior se demuestra: Pero en el lado del permeado se puede esribir la relaión: Reemplazando en la euaión anterior obtenemos: onde: El oefiiente de transferenia se define omo: La relaión de onentraiones totales: En muhos asos prátios, para soluiones diluidas f se aproxima a 1 efinimos: N N + N ( ) A A A B AB 1 La veloidad de permeado: da dz N A AB NA + NB NA + NB 1 ln δ N L A NA + NB N A N + N A B A2m 2 Am 1 1 A1 Am 1 f A2m NA + NB k L 1 ln A 1 fa2m k L δ f AB 1 2 L 1 (31) (32) (33) (34) (35) (36) Y el oefiiente de rehazo Si las euaiones 37 y 38 se reemplazan en 34 se obtiene: onde: MP es el módulo de polarizaión Y: M P r A2m 1 Am 1 t 1 + f( t 1)(1 r) M P Am 1 A1 Vp t exp fkl (38) (39) (40) (41) Para régimen turbulento el oefiiente de transferenia tiende a infinito y el valor de t se aproxima a 1, es deir, el módulo de polarizaión se hae 1 y: Am 1 A1 Al reemplazar la euaión 40 en la euaión 29 obtenemos la onentraión del soluto sobre la pared de la membrana en el lado de permeado, en funión de la omposiión del soluto en el lado de alimentaión la : M 1 ( ) ( ) P A1 A2m + κ π1 P A1 + π2 A2m [ P M ] (42) Si suponemos que la resistenia a la transferenia de masa es despreiable en el lado y soluiones diluidas en el lado del permeado, podemos aproximar: A2m A2 B2m 2 (43) Y finalmente la euaión 42 queda omo sigue: V p N A + N 2 B (37) M 1 ( ) ( ) P A1 A2 + κ π1 P A1 + π2 A2 [ P M ] (44) 28

9 Las onentraiones A1 y A2 son las onentraiones de soluto en el seno prinipal de las soluiones de alimentaión y permeado, respetivamente. Las euaiones 42 o 44 relaionan solo onentraiones loales, y que estas pueden varíar, prinipalmente, a lo largo de la superfiie de la membrana en la misma direión de las orrientes de alimentaión o de permeado. 5- Módulo de mezla ompleta El módulo de mezla ompleta es un patrón de flujo idealizado que supone: Flujo pistón de los fluidos que irulan por la ámara de alimentaión o rehazo, y por la ámara de permeado. Composiión uniforme independiente de la geometría de la ámara, en ambos, alimentaión y permeado. La omposiión de soluto en la orriente de rehazo es igual a la omposiión de soluto en el interior de la ámara de alimentaión o rehazo. La omposiión de soluto en la orriente de permeado es igual a la omposiión de soluto en la ámara de permeado. M P A AR 1 A2 A1 (45) Luego, reemplazando estas ondiiones en la euaión 44: A AR 1 + κ π ( ) + π ( ) [ P ] 1 AR 2 (46) La euaión 46 no permite un álulo direto de alguna de las omposiiones debido a que las presiones osmótias dependen de ellas. Por otro lado, si definimos el orte omo la relaión de flujos molares de permeado a alimentaión, el mismo que puede expresarse en termino de flujos volumétrios para soluiones diluidas, es deir: Q Q θ F Q Q F F F (47) Al reemplazar la euaión 47 en la euaión 16 de balane de materia, obtenemos: AR AF θ 1 θ A A (48) Combinando las euaiones 47 y 48 obtenemos: A AF 1 + κ(1 θ) π ( ) + π ( ) [ P ] 1 AR 2 A (49) Y reemplazando 49 en 48: Figura N. 5. Esquema del módulo de osmosis inversa: Las onentraiones A1 y A2 pueden variar en direión de flujo y no son iguales a las onentraiones de rehazo y permeado, respetivamente La figura N. 5 muestra las ondiiones de las orrientes para el modelo de mezla ompleta. Las suposiiones menionadas expresan que: AR { 1 + κ[ π1( ) + π2( )]} [ P ] AF P AR A 1 + κ(1 θ) π ( ) + π ( ) 1 AR 2 (50) Finalmente, el flujo volumétrio de permeado se relaiona on el flux molar del solvente y el área de la membrana: NA Q Q A B B m B (51) 29

10 Reemplazando el flux molar de solvente dado por la euaión 24, y despejando el audal obtenemos: κ A Q P + [ π ( ) π ( )] B m 1 AR 2 A (52) Las euaiones 49, 50 y 52 representan las relaiones ombinadas del balane de materia en el módulo, suponiendo mezla ompleta, on el modelo de transporte soluión-difusión. III. METOOLOGÍA E SOLUCIÓN E LAS ECUACIONES IFERENCIALES El sistema de euaiones difereniales no lineales está onstituido por: dv dt Q da Q A A dt V ( ) d AF Q AF AF A dt ( VF 0 + V0) V AF Q Q θ F Q F F QF AF A 1 + κ(1 θ) π ( ) + π ( ) AR [ P ] 1 AR 2 (4) (6) (21) (47) (49) (50) (52) Presión osmótia en funión de la onentraión [3] : A { 1 + κ[ π1( ) + π2( )]} [ P ] AF P AR A 1 + κ(1 θ) π ( ) + π ( ) 1 AR 2 κ A Q P + [ π ( ) π ( )] B m 1 AR 2 A A El sistema planteado onstituye un problema de valor iniial, uya soluión aproximada se realiza mediante ténias numérias de iteraión. Una familia importante de estas ténias son los métodos de Runge-Kutta [12, 13]. Hemos ensayado on dos métodos explíitos: Runge-Kutta 4to grado (RK4) y Runge-Kutta-Fehlberg(RKF) [13]. El primero integra las euaiones difereniales en pasos de tamaño iguales, por lo tanto el número total de pasos tiende a ser muy grande. En el segundo método, el tamaño del paso puede aumentar o disminuir de auerdo a un error preestableido para las variables dependientes. La implementaión de estos métodos se ha heho en Visual Basi de 32 y 64 bits. La Tabla N. 1 muestra las ondiiones de trabajo para probar los métodos de RK4 y RKF. Las Figuras N 6, 7 y 8 muestran los resultados de la integraión para la relaión AF/AF0. La AF kmol/m3. La tabla N. 1 muestra que se requieren 3000 pasos de integraión por el método de RK4 en un intervalo de 3 horas. En ambio, el método de RKF requiere de 3677 en un intervalo de 200 horas. En el método RK4 el tamaño de paso es onstante e igual a horas; en el método RKF el paso iniial es el mismo pero este va inrementándose hasta alanzar el valor de 0.05 horas. Las toleranias que apareen en la tabla N 1 representan la preisión que se requiere en el álulo del volumen y la onentraión. Tabla N. 1. Condiiones de trabajo para ensayar los métodos de RK4 y RKF. π x x10 Condiiones iniiales: t 0 V V, V V 0 F F0 En esta primera parte del trabajo, se supone módulo de mezla ompleta, es deir uando el módulo de polarizaión es , 0, 0, 0 AF AF 0 AR A A (53) (54)

11 La Figura N. 6 ompara el efeto de las toleranias on el método de RKF para el mismo paso iniial horas. La figura muestra que disminuir 10 vees la tolerania para la onentraión tiene mayor efeto en los álulos que disminuir 1000 vees la tolerania para el volumen. La Figura N 7 muestra el efeto de la tolerania para el volumen, uando el paso iniial es horas. En este aso los resultados prátiamente son los mismos a pesar que la tolerania para el volumen disminuye 100 vees. evidentemente el método de RKF requiere menos pasos (3677) que el método RK4 (200/ ) para el mismo intervalo de tiempo( 200 horas). Nosotros adoptamos el método de RKF on toleranias 10-7 y 10-8 para el volumen y la onentraión respetivamente. Figura N. 8. la onentraión en el tanque de alimentaión alulada por los métodos de RK4 y RKF on un paso iniial horas. Figura N. 6. La variaión de la onentraión en el tanque de alimentaión alulado por el método de RKF, para el paso iniial horas. IV. RESULTAOS Y ISCUSIÓN E RESULTAOS La Tabla N. 2 muestra las ondiiones y los parámetros usados en la soluión del sistema de euaiones difereniales para el proeso de OI uando el módulo de la polarizaión por onentraión es igual a 1. El tiempo de irulaión de agua pura, antes de agregar la sal al tanque de alimentaión, es de 10 horas. Tabla N. 2. Condiiones de operaión en el sistema de osmosis inversa para la simulaión numéria. Figura N. 7. La variaión de la onentraión en el tanque de alimentaión alulado por el método de RKF, para el paso iniial horas. La Figura N. 8 ompara el método de RK4 on RKF, on el mismo paso iniial de horas y toleranias de 10-7 y 10-8 para el volumen y la onentraión respetivamente. Se observa de la figura que los resultados son bastantes próximos, pero 31

12 La Tabla N. 3 presenta los asos resueltos: efeto del área de membrana, asos 1 y 2; efeto de la aída de presión transmembrana, asos 1 y 3; y efeto de la onentraión iniial en el tanque de alimentaión, asos 1 y 4. Tabla N. 3. Casos resueltos en la simulaión numéria para omparar el efeto de las variables de operaión: área, presión y onentraión Figura N. 9. Volumen de permeado en funión del tiempo y del área de membrana. La Tabla N. 4 muestra las ondiiones iniiales para uando el flujo a través del módulo de ósmosis inversa es agua pura. Tabla N. 4. Condiiones iniiales en el sistema de osmosis inversa. Los valores orresponden agua pura. La Figura N. 10 muestra la relaión del audal de permeado a audal permeado de agua pura, en funión del tiempo y del área de membrana. Al iniio la relaión disminuye lentamente, pero se hae más rápida mas allá de las 60 horas en el aso de 0.15 m2 de área y después de las 30 horas en el aso de 0.45 m2. Al abo de 415 horas el audal es el 63% del audal iniial uando el área es 0.45 m2 omparado al 78% que se alanza después de 800 horas en el aso de 0.15 m2 Las Figuras N. 9, 10, 11 y 12 muestran el efeto del aumento del área de la membrana en el álulo del volumen de permeado (V), audal de permeado (Q), la onentraión de sal en el tanque de alimentaión (CAF) y la onentraión de sal promedio en el tanque de permeado, respetivamente ( asos 1 y 2 de la tabla N. 3) La figura 9 muestra el aumento de volumen de permeado a medida que aumenta el tiempo de operaión para ualquier área de membrana. El ambio de volumen es más rápido en el aso de mayor área. En las primeras 10 horas el aumento de volumen es lento, y este se hae más rápido después de las 60 horas en el aso de 0.15 m2 de área y, 30 horas para el aso de 0.45 m2 de área. Figura N. 10. El audal de permeado omo funión del tiempo y del área de membrana. La Figura N. 11 muestra la variaión de la onentraión de sal en el tanque de alimentaión, en funión del tiempo. El aumento de la onentraión se debe al retorno de la orriente de rehazo al tanque de alimentaión. Al iniio la variaión es lenta luego se inrementa más rápidamente en el aso del área de 0.45 m2 on respeto al aso del área de 0.15 m2. Aunque no mostramos la variaión de la onentraión en la orriente 32

13 de rehazo, esta se inrementa de la misma forma que la mostrada en la figura N. 11 y, el inremento puede llegar a ser hasta 3 vees la onentraión de la alimentaión iniial, en el aso del área de 0.45 m2. El aumento de la onentraión de rehazo aumenta la presión osmótia de la orriente de rehazo lo ual redue el flujo de permeado de auerdo a la euaión 52. transmembrana en el álulo del volumen de permeado (V), audal de permeado (Q), la onentraión de sal en el tanque de alimentaión (CAF) y la onentraión de sal promedio en el tanque de permeado, respetivamente (asos 1 y 3 de la Tabla N 3). La figura N. 13 muestra que el volumen de permeado aumenta más rápidamente para la presión de 90 bar, que en el aso de 30 bar. Figura N. 11. La onentraión de soluto en el tanque de alimentaión en funión del tiempo y del área de membrana. La Figura N. 12 muestra la variaión de la onentraión promedio en el tanque de permeado en funión del tiempo. La onentraión en el tanque de permeado aumenta más rápidamente para uando el área es 0.45 m2 que uando esta es 0.15 m2. Figura N. 13. El volumen de permeado en funión del tiempo y la aída de presión transmembrana. La Figura N. 14 muestra el audal de permeado en funión del tiempo y de la aída de presión transmembrana. Se observa que la relaión de audales disminuye lentamente en los primeros instantes para luego disminuir rápidamente. El desenso rápido se iniia en un periodo menor de tiempo, uando la presión es de 90 bar omparado al de 30 bar. La Figura N. 15 muestra la variaión de la onentraión de sal en el tanque de alimentaión. Se observa que a mayor presión, el aumento de la onentraión es más rápida, similar al aso del aumento de área, figura 11. Figura N. 12. La onentraión promedio de soluto en el tanque de permeado, omo funión del tiempo y del área de membrana. Las Figuras N. 13, 14, 15 y 16 muestran el efeto del aumento de la aída presión En la Figura N. 16 se muestra el aumento de la onentraión promedio de sal en el tanque de permeado. Se observa que a mayor presión más lenta es la variaión a diferenia del aumento de área, figura 13. Esto se explia porque a mayor presión, mayor flujo de permeado haiendo más diluida la soluión de permeado. 33

14 La Figura N. 17 muestra el aumento del volumen de permeado. Se observa que la variaión del volumen es más rápida para uando la onentraión iniial es más diluida. Para 800 horas de operaión se alanza el 48% de reuperaión omo volumen de permeado; a diferenia de las figura 9 y 13, donde se observa que se alanza una reuperaión del 71% en 415 y 349 horas, respetivamente. Figura N. 14. El audal de permeado omo funión del tiempo y de la aída de presión transmembrana. Figura N. 17. El volumen de permeado en funión de la onentraión iniial en el tanque de alimentaión. Figura N. 15. La onentraión en el tanque de alimentaión en funión del tiempo y de la aída de presión transmembrana. Figura N. 18. El flujo de permeado en funión del tiempo y la onentraión iniial en el tanque de alimentaión. Figura N. 16. La onentraión promedio en el tanque de permeado en funión del tiempo y la aída de presión transmembrana. Las Figuras N. 17, 18, 19 y 20 muestran el efeto del aumento de la onentraión iniial en el álulo del volumen de permeado (V), audal de permeado (Q), la onentraión de sal en el tanque de alimentaión (CAF) y la onentraión de sal promedio en el tanque de permeado, respetivamente (asos 1 y 4 de la Tabla N 3). La Figura N. 18 muestra la relaión de audales de permeado a medida que el tiempo progresa, en funión de las onentraiones iniiales en el tanque de alimentaión. La relaión de audales disminuye lentamente al iniio y, el desenso bruso ourre asi para el mismo periodo de tiempo, alrededor de 100 horas. La Figura N. 19 muestra que la onentraión de sal en el tanque de alimentaión varía más rápidamente uando la onentraión iniial es más diluida. 34

15 En la Figura N 20 se observa que la onentraión de soluto promedio en el tanque de permeado aumenta más rápidamente uando la onentraión iniial es más onentrada. Tabla N. 5. Reduión del audal de permeado en funión del aumento: de área, la aída de presión y la onentraión iniial. Figura N. 19. La onentraión en el tanque de alimentaión omo funión del tiempo y la onentraión iniial. La Tabla N 6 muestra la relaión de volúmenes (V/VF0), la reduión del audal de permeado (1- Q/Q0) y la relaión de onentraión de rehazo a a la alimentaión iniial (AR/ AF0) al abo de 100 horas de operaión. Tabla N. 6. Relaión de volumen de permeado, reduión del audal de permeado y onentraión de rehazo respeto a las ondiiones iniiales, para 100 horas de operaión. Figura N. 20. La onentraión promedio en el tanque de permeado en funión del tiempo y la onentraión iniial La Tabla N. 5 muestra la reduión del audal de permeado alulado omo: 1-(Q/Q0), en los primeros 7 segundos del proeso. Al omparar los asos 1 y 2, se establee que el aumento del área de la membrana redue el audal en la misma proporión, 12 a 13%. El aumento de presión redue el audal en 5%, aso 3. El aumento de la onentraión, aso 4, redue el audal en 36%. Esto último se debe al aumento de la presión osmótia on la onentraión. Así mismo, la tabla 5 muestra que un aumento de tres vees el área o la presión produe una reuperaión del 2% respeto al volumen de alimentaión iniial ( asos 2 y 3). En ambio, el aumento de 3 vees la onentraión iniial en el tanque de alimentaión produe solo una reuperaión de 0.7% (asos 1 y 4). e la tabla 6 se dedue que un inremento de tres vees el área de membrana o de la presión produe una reuperaión de volumen de permeado de 20.5% y 22.5%, asos 2 y 3, respetivamente, a pesar que la onentraión de la alimentaión y de rehazo están aumentando. Así mismo, omparando los asos 1 y 4, se observa que la reuperaión de volumen de permeado es más rápida para soluiones diluidas, aso 1, que para soluiones onentradas, aso 4. Comparando las tablas 5 y 6, la reuperaión aumenta de 0.7% a 6.85%, aso 1; y de 0.7% a 5.16%, aso 4. Por otro lado, en todos los asos, la tabla 6 muestra que el aumento de la onentraión de la alimentaión o de rehazo on el tiempo, hae que la reduión del audal de permeado se inremente respeto al valor iniial que se mostraba en tabla 5. En relaión a la onentraión de la orriente de rehazo esta aumenta en una proporión 35

16 similar, 31 y 38% respeto a la onentraión iniial en el tanque de alimentaión, uando la presión y el área de membrana aumentan 3 vees, asos 2 y 3. Al omparar los asos 1 y 4, se observa que para una onentraión iniial AF kmol/m3 la onentraión de rehazo se inrementa en 9%, omparado al 6% de inremento para uando la onentraión iniial AF kmol/m3. La Figura N 21 muestra la relaión de onentraiones de la orriente de rehazo a la orriente de alimentaión en funión del tiempo para los uatro asos estudiados. Se observa que la onentraión de rehazo aumenta por enima de la onentraión de alimentaión, en todos los asos, pero la magnitud del aumento es mayor al aumentar tres vees la presión transmembrana omparado al aumento de tres vees el área de membrana. Por otro lado, al omparar los asos 1 y 4, se observa que el aumento de onentraión iniial en el tanque de alimentaión redue la magnitud del aumento de la onentraión de rehazo. La relaión de onentraiones disminuye lentamente en todos los asos, posteriormente se iniia un desenso bruso alrededor de 500 horas, asos 1 y 4, omparado a los asos 2 y 3 donde el desenso bruso se iniia alrededor de 200 horas. V. CONCLUSIONES Y RECOMENA- CIONES 1. El inremento del área de membrana o de la presión en la ámara de alimentaión, aumenta el volumen de permeado reuperado. 2. El inremento de la onentraión iniial de soluto en el tanque de alimentaión afeta severamente la reduión del flujo de permeado. 3. La ontaminaión del permeado on la sal (onentraión promedio de sal en el tanque de permeado) se inrementa on el aumento del área, se redue on el aumento de la presión, y aumenta uando la onentraión iniial es más onentrada. 4. En todos los asos estudiados, la onentraión de la orriente de rehazo es mayor que la onentraión de la alimentaión en las primeras horas de operaión para luego disminuir. 5. Se reomienda implementar el método de Runge-Kutta-Mihelsen [14] uya soluión implíita permitiría reduir el número de pasos en la iteraión. VI. NOMECLATURA A m : área de membrana, m2 A : onentraión molar del soluto o sal, kmol/m 3 B: onentraión molar de solvente, kmol/m 3 AF, A, AR : onentraión molar de las orrientes de alimentaión, de permeado y rehazo, respetivamente, kmol/m 3 Figura N. 21. La relaión de onentraiones de rehazo a alimentaión en uaqulier instante paras los asos 1, 2, 3 y 4. F,, R : onentraión molar total de las orrientes de alimentaión, de permeado y de rehazo, respetivamente, kmol/m 3. : flujo molar de la orriente de permeado, kmol/h 36

17 F: flujo molar de la orriente de alimentaión, kmol/h k L : oefiiente de transferenia de masa en fase líquida, m/h N A, N B : flux molares del soluto A, y del solvente B, respetivamente, kmol/m 2 h Q F, Q, Q R : audal de las orrientes de alimentaión, de permeado y de rehazo, respetivamente, m 3 /h. R: flujo molar de la orriente de rehazo, kmol/h t: tiempo, h V F, V : volumen de soluión en el tanque de alimentaión y permeado, respetivamente, m 3. δ : espesor de membrana o de pelíula, m π : presión osmótia, bar P : aída de presión transmembrana, bar K A : onstante de permeabilidad de soluto, m 2 /h K B : onstante de permeabilidad de solvente, kmol/h m 2 bar K K B / (K A C B2m ) seletividad de la membrana, 1/bar VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] June-Seok Choi, Sangho Lee, Jin- Min Kim, Suingil Choi, Small-sale desalinationplants in Korea:Tehnial hallenges,esalination 2009;249: [2] Baker Rihard W., Membrane Tehnologyand Appliations, Ed. John Wiley &Sons Ltd 2004, p. 15 [3] Eri Lyster, Yoram Cohen, Numerialstudy of onentration polarization in aretangular reverse osmosis membranehannel: permeate flux variation and hydrodynami end effets, J. of MembraneSiene 2007; 303: [4] Kim Suhan, Eri M.V. Hoek, Modelingonentration polarization in reverseosmosis proess, esalination 2005; 186: [5] a-wen Su Editor, Computational Fluidynamis in Food Proessing, CRC- Press Taylor & Franis Group,2007: 433. [6] Lianfa Song, Seungkwan Hong, J.Y. Hu,S L. Ong, and W.J. Ng, Simulations offull-sale reverse osmosis membraneproess, J. of Enviromental Engineering, 2002; [7] C.S. Slater, J.M. Zielinski, R.G. Wendel,Simulation of reverse osmosis proessonentrating industrial wastes, ManhattanCollege Chemial Engineeringepartment Riverdale, N.Y 10471,1992: 1175 [8] K. Jamal, M. A. Khan, M. Kamil, Mathematialmodeling of reverse osmosissystems, esalination 2004; 160: [9] Baker Rihard, Op.it, p. 18 [10] Baker Rihard, Op.it, p 161 [11] Shoji Kimura, S. Sourirajan, Analysisof data in reverse osmosis with porousellulose aetate membranes used,aiche Journal, 1967; 13: [12] J.. Lambert, Numerial Methods for Ordinary differential systems: The InitialValue Problem, John Wiley & Sons Ltd1991:149 [13] J. C. Buther, Numerial Methods forordinary ifferential Equations, EditionJohn Wiley & Sons 2008; 93, 105,137, 208 [14] Mihael L. Mihelsen, An effiient generalpurpose method for the integrationof stiff ordinary differential equations,aiche Journal, 1976; 22: