Superconductividad y Dinámica no lineal

Transcripción

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2 Superondutividad y Dinámia no lineal

3 Alberto Franiso Sandino Hernández A mis padres Salustia y Ramón por todo su amor, ompresión y apoyo sin ondiión ni medida. A mi hermano y hermanas, por estar siempre onmigo en todo momento. A mi sobrino Santiago por darme esperanza on su inoenia. A todos mis alumnos del CCH Oriente por darme muhas alegrías al impartir lases de Físia. A ti Lilia, por estar onmigo en estos momentos de mi vida y al fruto de nuestro amor que viene en amino. 3

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5 Alberto Franiso Sandino Hernández Resumen En este trabajo se realiza una revisión de las teorías marosópia y mirosópia de la superondutividad, on el objetivo de omprender el efeto Josephson y realizar un análisis del mismo desde el punto de vista de un sistema dinámio. Primero se presenta, el estudio termodinámio del fenómeno superondutor demostrando que se trata de una transiión de fase de segundo orden, luego se muestra la teoría eletrodinámia de los hermanos London dando una expliaión teória al efeto Meissner, el ual es una de las araterístias de la fase superondutora. Posteriormente, se expone la desripión uántia de la superondutividad tomando omo base la expliaión didátia dada por Rihard Feymann. Finalmente, se presenta una desripión teória del efeto Josephson a través de la unión túnel así omo también la representaión de este dispositivo por medio de un iruito equivalente, uya euaión diferenial permite verlo omo un sistema dinámio. Esta euaión puede reesribirse en una expresión sin dimensiones por medio de un parámetro T que hae adimensional al tiempo. Al seleionar T en dos formas distintas se enuentra el omportamiento del sistema uando: a) La orriente de desplazamiento es despreiable on respeto a la orriente normal y a la superorriente de los pares de Cooper, b) la orriente normal es pequeña omparada on la de desplazamiento y la superorriente, y ) el aso general en donde las tres orrientes son del mismo orden de magnitud, mostrando la existenia de un ilo límite. En todos estos asos, el parámetro a variar es I/I que es la razón entre la orriente administrada por una fuente de potenial y la orriente rítia Josephson. Sin embargo, en el último aso se enuentra que al disminuir la razón entre las orrientes desde un valor mayor a se produe una bifuraión homolínia. 5

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7 Alberto Franiso Sandino Hernández Agradeimientos Deseo expresar mi más sinero agradeimiento al Dr. José Luis Del Río Correa por sus enseñanzas, tiempo e ideas para la elaboraión de este manusrito. Al Dr. Abel Camaho Quintana, por su apoyo omo oordinador del Posgrado en Físia de la UAM Iztapalapa. Agradezo también al Consejo Naional de Cienia y Tenología (CONACyT) por otorgarme una bea para la realizaión de mis estudios de maestría. A Miguel y Marisol por su sinera amistad. Doy graias al Dr. Jesús Morales Rivas y al Dr. Alberto Rubio Pone, ambos de UAM Azapotzalo, así omo también al Dr. Gerardo Carmona Ruíz de la Faultad de Cienias UNAM y al Dr. Tatsuo Akahi Miyazaki (QEPD) del Instituto de Investigaiones en Materiales UNAM por su tiempo para las observaiones y sugerenias realizadas a este trabajo. 7

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9 Alberto Franiso Sandino Hernández Índie Introduión... 3 Capítulo Teoría marosópia de la superondutividad Introduión Primera interpretaión de la superondutividad Experimento de Meissner-Ohsenfeld Termodinámia de la transiión del estado normal al superondutor Eletrodinámia del Estado Superondutor Puro Modelo de líquido eletrónio no visoso Teoría de London Experimentos de Shoenberg Referenias Capítulo Transiiones de fase de segundo orden Introduión Teoría de Bragg-Williams Modelo de Ising Teoría de Landau Teoría de Landau on ampo externo nulo Teoría de Landau on ampo externo Teoría de Ginzburg-Landau Teoría de Ginzburg-Landau a ampo nulo Teoría de Ginzburg-Landau on ampo externo... 6 Referenias Capítulo 3 Teoría mirosópia de la superondutividad Introduión Desripión lásia de una partíula en un ampo eletromagnétio Funión lagragiana Momento Funión hamiltoniana Desripión uántia de una partíula en un ampo eletromagnétio Euaión de Shrödinger Euaión de onservaión de la probabilidad

10 Superondutividad y Dinámia no lineal 3.4 Signifiado de la funión de onda Pares de Cooper Hamiltoniano de Frölih Funión de onda marosópia Densidad de orriente y momento Caraterístias de la superondutividad Efeto Meissner Cuantizaión del flujo magnétio Banda prohibida superondutora Referenias Capítulo 4 Efeto Josephson Introduión Tunelamiento Las relaiones Josephson Efetos Josephson DC y AC Potenial nulo Potenial onstante Potenial de muy alta freuenia La importania del fenómeno de oherenia Propiedades de la superorriente El estado estaionario Almaenamiento de energía Indutania no lineal Josephson Osilaiones Josephson Otras omponentes de la orriente total Corriente Normal I n Corriente de desplazamiento I d Corriente debida a flutuaiones I f (t) Referenias... 0 Capítulo 5 La unión Josephson vista omo un sistema dinámio Introduión Ciruito elétrio equivalente Formulaión adimensional Caso onservativo Grupo adimensional y esala de tiempo T Conservaión de la energía Diagramas fase y de energía potenial Estado Resistivo (Caso amortiguado) Matriz Jaobiana y puntos fijos Bifuraión nodo-silla Cilos límite

11 Alberto Franiso Sandino Hernández Bifuraión homolínia Curva de orriente-voltaje Diagramas fase on variable Estado altamente resistivo (Caso sobreamortiguado) Grupo adimensional y esala de tiempo T Puntos fijos y su estabilidad Bifuraión nodo-silla Soluión analítia Curva de orriente-voltaje para el limite sobreamortiguado Referenias Capítulo 6 Conlusiones y perspetivas Apéndie A Péndulo amortiguado dirigido por una tora onstante Euaión de movimiento Analogía on el iruito equivalente a la unión Josephson Apéndie B Estabilidad de puntos fijos... 4 Linealizaión de una euaión en una dimensión... 4 Linealizaión de un sistema de euaiones en dos dimensiones Sistema lineal de euaiones Clasifiaión de puntos fijos Apéndie C Teoremas matemátios Teorema de Existenia y Uniidad Teorema Poinaré-Bendixson Apéndie D Códigos fuente Figura Figura Figura Figura Apéndie E Artíulos publiados y presentaión en eventos espeializados Artíulo aadémio Artíulos en extenso... 55

12 Superondutividad y Dinámia no lineal Conferenias Plátia Presentaiones murales Bibliografía... 59

13 Alberto Franiso Sandino Hernández Introduión El fenómeno de la superondutividad fue desubierto hae más de ien años por el físio holandés Heike Kemmerlingh Onnes, al observar que una muestra de merurio se omporta omo un material sin resistenia elétria a una ierta temperatura rítia, lo ual despertó un enorme interés en la omunidad ientífia y motivó a la realizaión de una infinidad de estudios para dar una expliaión tanto lásia omo uántia del fenómeno. Los primeros estudios realizados son desde el punto de vista termodinámio por parte de Keemson, Rutgers y Gorter, quienes demuestran que la transiión de fase superondutora es una de segundo orden; y de la eletrodinámia por parte de los hermanos London quienes dan una expliaión al efeto Meissner, araterístio de la superondutividad. Posteriormente, se realizan estudios desde el punto de vista uántio, dando origen a la teoría BCS enuniada por Bardeen, Cooper y Shrieffer, pionera en este aspeto y en la que se propone prinipalmente que el ausante de la superondutividad es el apareamiento de eletrones durante la fase superondutora. En este trabajo se presenta una revisión teória general de la transiión superondutora on el objetivo de omprender el efeto Josephson y estudiarlo desde el punto de vista de un sistema dinámio, para mostrar la relaión que existe entre la superondutividad y la dinámia no lineal. Para llevar a abo esto, se realizó una investigaión bibliográfia onsultando fuentes tanto lásias omo atuales sobre la superondutividad, así omo también se elaboraron álulos matemátios y programaión omputaional para la realizaión de gráfios. Todo esto on la intenión de ontribuir on material para promover la impartiión de ursos sobre superondutividad en la arrera de Físia de la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa y motivar la formaión de personal espeializado que realie investigaión en este ampo dentro de la misma instituión. En el primer apítulo se aborda la teoría marosópia de la superondutividad abarando la termodinámia y la eletrodinámia de este fenómeno. Mientras que en el segundo apítulo se hae referenia a las transiiones de fase de segundo orden, partiendo de la teoría de Bragg y Williams para aleaiones omo ejemplo para poder entender los argumentos de la teoría de Landau para transiiones de fase y ulminar on la teoría de Ginzburg-Landau que desribe la transiión superondutora. En el terer apítulo, se presenta de manera ualitativa la teoría uántia de la superondutividad para dar entrada al uarto apítulo, donde se presenta la teoría relaionada al efeto Josephson. De manera onisa, este efeto onsiste en el paso de orriente elétria a través de un dispositivo onoido omo unión o juntura Josephson, el ual está ompuesto de dos superondutores separados por una apa delgada de material aislante; el paso de la orriente a través del material aislante es debido al tunelamiento de eletrones apareados. El quinto apítulo presenta un estudio de la unión desde el punto de vista de un sistema dinámio, ya que este dispositivo puede ser representado por un iruito equivalente uyos elementos están asoiados a ada una de las omponentes que onforman la orriente total que irula en el mismo; esto permite que se pueda obtener una euaión de movimiento y realizar un análisis de su omportamiento a partir de tres asos distintos: onservativo, amortiguado y sobreamotiguado. Graias a este tipo de análisis es posible determinar la relaión que existe entre el voltaje administrado y la orriente total que irula en la unión, la ual dista muho de ser de tipo óhmia. Por último, el apítulo sexto presenta las onlusiones de este trabajo. 3

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15 Capítulo Teoría marosópia de la superondutividad Alberto Franiso Sandino Hernández. Introduión El desubrimiento de la superondutividad está asoiado al interés de los físios del siglo XIX por liuar todos los gases onoidos en ese tiempo, esto permitió estudiar los fenómenos que se presentan en los materiales a temperaturas menores a los ero grados entígrados. El primero en todo el mundo en obtener helio (He) líquido, el ual tiene una temperatura de ebulliión de 4. K, fue Heike Kemmerlingh Onnes en el Laboratorio de Leyden, Holanda durante el año de 908, por el ual reibió el premio Nobel en 93. Después de haber logrado esto, se dispuso a estudiar el omportamiento de la resistenia elétria en el merurio (Hg), ya que era el metal más puro que se podía obtener en esa époa para desubrir la variaión de esta Figura. H. Kemmelingh Onnes y la resistenia elétria del merurio propiedad on la temperatura. Sin embargo, la superondutividad omo tal no se desubriría hasta 9, uando Kamerlingh Onnes observó que la resistenia elétria del merurio desapareía brusamente al enfriarse a 4.5 K, a la que llamó temperatura de transiión T. Él esperaba que la resistenia disminuyera gradualmente hasta el ero absoluto. También observó que no ambiaba este omportamiento si introduía impurezas a la muestra de merurio. Así se dio uenta de la existenia de un nuevo estado, al ual llamó estado superondutor[][][3]. En los primeros años después de haberse desubierto el fenómeno de la superondutividad, se aeptó que la transiión de fase superondutora era irreversible, ya que aparentemente las superorrientes induidas por el ampo deaerían on la produión de un alor de Joule uando se destruyera la superondutividad. Esta supuesta irreversibilidad haia muy dudosa la apliaión de la Termodinámia, sin embargo, Willem H. Keesom[4] en 94, Arend Joan Rutgers[5] y Cornelius Jaobo Gorter[6] en 933 apliaron la termodinámia a la transiión del estado normal al superondutor. La teoría termodinámia lograba exelentes auerdos on las mediiones, onluyéndose que la transiión debería ser reversible. W. H. Keemson A. J. Rutgers y H. B. G. Casimir C. J. Gorter Figura. 5

16 Superondutividad y Dinámia no lineal El siguiente paso importante para entender a la superondutividad se produjo en 933, uando Walter Meissner y Robert Ohsenfeld[7] desubrieron que el ampo magnétio apliado a una muestra en el estado superondutor se anula ompletamente en el interior del material, es deir, las líneas de ampo son expulsadas de la muestra debido a la existenia de orrientes superfiiales, por lo que se omporta omo un material diamagnétio perfeto. A este fenómeno se le onoe omo efeto Meissner y es una de las propiedades que definen la superondutividad. Después del desubrimiento de Meissner y Ohsenfeld, ya no hubo duda alguna de que la transiión del estado normal al superondutor es una transiión de fase reversible similar a la transiión de fase líquido-vapor. Figura. 3 W. Meissner y R. Ohsenfeld. Efeto Meissner La primera teoría fenomenológia de la superondutividad fue la teoría de London, presentada por los hermanos Fritz y Heinz London[8] en 935, poo después del desubrimiento del efeto Meissner. Un gran triunfo de las euaiones de esta teoría es su apaidad para expliar diho efeto, ya que deduen que el ampo apliado penetra una pequeña longitud dentro del superondutor hasta anularse, esto debido a que la dependenia del ampo magnétio en el interior del material on la profundidad de penetraión es de forma exponenial. 0 x h h e Figura. 4 F. y H. London on omo la profundidad de penetraión en el material. En este apítulo iniial se presentan a detalle las primeras ideas sobre la superondutividad, así omo también la teoría termodinámia de Keemson-Rutgers-Gorter y la teoría eletrodinámia de los hermanos London, on el propósito de introduir al letor en el estudio del fenómeno superondutor.. Primera interpretaión de la superondutividad Como se menionó, Kamerlingh Onnes desubre el fenómeno de superondutividad en 9, uando a una temperatura de transiión T = 4.5 K el merurio (Hg) presentaba una resistenia muy pequeña imposible de medir. Esta propiedad es onfirmada por la apariión de una superorriente que nuna deae en un anillo[9]. Desde entones se han enontrado más de 40 elementos on esta propiedad superondutora a diferentes temperaturas T. Posteriormente, Kamerlingh Onnes desubrió que este fenómeno es destruido uando un ampo magnétio sufiientemente fuerte se apliaba a la muestra de Hg. El ampo neesario para destruir la superondutividad, llamado ampo rítio o ampo de umbral H, depende de la temperatura y desaparee uando la temperatura toma el valor de la temperatura T. La urva que representa el ampo rítio H omo una funión de la temperatura (urva de umbral) ha sido medida para muhos superondutores. (Fig..5) Si la superondutividad se interpreta omo una ondutividad perfeta, es deir, toma un valor infinito en J B la ley de Ohm E, entones el ampo interno E = 0 y por la ley de induión E, el ampo t magnétio B es onstante en el tiempo. Así, uando un ondutor perfeto primero se enfría por debajo de su 6

17 Alberto Franiso Sandino Hernández temperatura rítia y posteriormente se somete a un ampo magnétio ambiante, se induirán orrientes superfiiales o de apantallamiento de tal forma que el ampo magnétio dentro del ondutor se mantendrá onstante. Como no hay resistenia para las orrientes de apantallamiento estas nuna deaen. El ampo magnétio externo es distorsionado por estas orrientes de tal manera que ninguna línea de ampo entra al uerpo (Caso I, Fig. A). En ambio, si el ondutor se somete primero a un ampo magnétio externo y después se enfría a su temperatura de transiión, el ampo magnétio dentro del material no ambia (Caso II, Fig. B). Cuando el ampo externo se hae ero en ambas situaiones finales, en el aso I el flujo magnétio no queda atrapado, aso ontrario a la situaión final del aso II donde si permanee ongelado hasta que la temperatura se eleve arriba del punto de transiión. Esta interpretaión implia que el estado final del material depende de su pasado bajo las mismas ondiiones externas. Durante muhos años pareía que todos los experimentos estaban perfetamente de auerdo on este punto de vista, lo que era bastante plausible, una vez que se asumió la ondutividad infinita. Sin embargo, esto no era del todo satisfatorio, debido a la posibilidad de obtener un número infinito de estados finales bajo las mismas ondiiones externas y no todos puedan enontrarse en equilibrio térmio. Sin embargo, en los superondutores la situaión es distinta y no fue hasta 933 uando se pudo estableer que este tipo de materiales no son ondutores perfetos. Figura. 5 Curvas umbral de distintos elementos Caso I La muestra es enfriada debajo de su temperatura de transiión y luego se le aplia un ampo magnétio. Caso II La muestra está dentro de un ampo magnétio mientras está en el estado normal y posteriormente se enfría por debajo de su temperatura de transiión. Fig. A Comportamiento esperado para una transiión a un estado de ondutividad perfeta. El estado final dependerá de la orden serial en el que la muestra se somete a las mismas ondiiones externas..3 Experimento de Meissner-Ohsenfeld Antes de 933, no se habían realizado medidas adeuadas del ampo erano a un superondutor dentro de un ampo magnétio, los experimentos de orrientes persistentes junto on los de Kamerlingh Onnes aparentemente orroboraban la teoría del ondutor perfeto. Sin embargo, la sorpresa fue mayúsula uando en ese mismo año Meissner y Ohsenfeld reportaron sus resultados que no onordaban on la interpretaión ante- 7

18 Superondutividad y Dinámia no lineal rior. Ellos enfriaron una esfera sólida de estaño sumergida en un ampo magnétio y enontraron que la intensidad del ampo fuera del material ambiaba repentinamente. Como si las líneas de ampo fueran expulsadas del interior del superondutor uando el espéimen se enfriaba hasta su punto de transiión. La omponente normal del ampo en la superfiie de la esfera es ero, indiando que el ampo de induión magnétia se anulaba dentro de la misma. Esta situaión hoy en día es onoida omo efeto Meissner-Ohsenfeld. Un experimento similar fue realizado anteriormente por el equipo de Kamerlingh Onnes utilizando una esfera huea, irunstania importante por la ual no lograron el desubrimiento de este efeto, on el ual se desehó la idea de onsiderar solamente a los superondutores omo ondutores perfetos. La Fig. B muestra que para un superondutor, el estado final del material no depende de su pasado bajo las mismas ondiiones externas, es deir, si enfriamos la muestra hasta su punto de transiión y luego le apliamos un ampo magnétio o se le aplia primero un ampo magnétio y luego se enfría a hasta su punto de transiión, en ambas situaiones el estado final se araterizara en la expulsión del ampo externo del interior de la muestra. Caso I La muestra es enfriada debajo de su temperatura de transiión y luego se le aplia un ampo magnétio. Caso III de auerdo a Meissner-Ohsenfeld El ampo magnétio es apliado mientras la muestra está en el estado normal el ampo es expulsado uando la muestra se enfría por debajo de su temperatura de transiión. Fig. B. El superondutor, en ontraste al ondutor perfeto tiene un ampo de induión nulo independientemente de la manera en que se llega al estado superondutor. Usando este efeto es posible haer que un imán flote sobre una superfiie superondutora a una temperatura debajo de T, ya que el peso del imán es balaneado on la presión magnétia debida a las inhomogeneidades del ampo B que es expulsado de la superfiie superondutora que se enuentra debajo del imán. También, si a un anillo superondutor se le aplia un ampo magnétio B débil y se disminuye la temperatura a un valor menor que T, debido al efeto Meissner el ampo es expulsado del anillo. Cuando B se redue lentamente a ero, quedan líneas de flujo atrapadas por el anillo debido a la apariión de las orrientes superondutoras que también produen un momento magnétio. Las onseuenias del efeto Meissner son: a) El estado superondutor se arateriza on B = 0 dentro del material. b) El estado final es independiente de si el material primero se enfría y después se aplia el ampo magnétio o se hae el proeso inverso, de forma que se trata de un proeso reversible y la termodinámia es 8

19 Alberto Franiso Sandino Hernández apliable al fenómeno de la superondutividad, entendiéndose omo una transiión de fase entre el estado normal y el estado superondutor. Es importante señalar que no siempre aparee el efeto Meissner puro, lo ual es debido a impurezas o inhomogeneidades en el material, estas desviaiones pueden atribuirse a la presenia de una lase de mezlado entre las dos fases, una de ellas es el estado superondutor puro (B = 0, E = 0) y el otro el estado normal..4 Termodinámia de la transiión del estado normal al superondutor Como se ha menionado, Keesom, Rutgers y Gorter fueron los primeros realizar un estudio termodinámio de la transiión del estado normal al superondutor. Después del desubrimiento del efeto Meissner no hubo duda alguna de que la transiión superondutora era una transiión de fase reversible en el plano H-T, similar a la transiión de fase líquido-vapor en el plano p-t. La transiión superondutora también depende de la presión p, por lo que, en general, la transiión debe disutirse en el espaio H-p-T, sin embargo uando la dependenia en p sea pequeña solo se onsidera el plano H-T. Ahora determinaremos el potenial termodinámio en las variables H-T y estableeremos las ondiiones de equilibrio a lo largo de la urva de umbral. Empeemos multipliando esalarmente las euaiones de Maxwell on los fatores indiados a la dereha: D 4 E H J. t 4 B H E. t 4 y sumando los resultados se obtiene el Teorema de energía: D B E H E H J E 4 4 t t Esta es una euaión de balane de energía de la forma: f S f on S E H, f J E t 4 on df omo el inremento de la energía libre de Hemholtz por entímetro úbio, que es la antidad de trabajo isotérmio disponible por entímetro úbio. B df E dd H db 4 así, la densidad de energía libre f puede esribir en la forma: D f B, D, T d d T 4 E D 4 H B (.) B 0 0 donde (T) es funión solo de la temperatura. Esto supone que E y H son funiones univaluadas de D y B, respetivamente. Para el H Figura. 6 H 9

20 Superondutividad y Dinámia no lineal análisis termodinámio, no onsideramos efetos elétrios y esogemos H omo variable independiente, ya que experimentalmente este se puede ontrolar y B es una funión de H (Fig..6). Así omo realizamos una transformada de Legendre para pasar de las variables V, T y la energía libre de Helmholtz f(v, T) a las variables p, T y el potenial termodinámio de Gibbs g(p, T) en el aso de un gas, lo mismo haemos para interambiar omo variable independiente a B por H, y obtener así el potenial termodinámio g por entímetro ubio: B H BH g H, T f T d T d 4 4 H B B H 4 B H H (.) 0 0 donde asumimos que, uando H = 0 también B = 0. Así, la forma diferenial de la energía libre de Gibbs está dada por: dg sdt pdv BdH 4 Por otra parte de auerdo al efeto Meissner, asumimos que B H H 0 para H H para H H (.3) Lo que implia que T para H H gh, T T H H para H H 8 Introduimos la funión de temperatura: 0 8 T T H T para obtener g H T H 8 g n 0 H para el estado normal H H 8 para el estado superondutor H s 0 (.4) La gráfia de la energía libre de Gibbs se muestra en la Fig..7. 0

21 Alberto Franiso Sandino Hernández H C T 0.03 G T,H Figura. 7 Energía libre de Gibbs g , de la euaión (.4) se dedue que la entropía es dis- g La entropía por entímetro úbio es s T ontinua a lo largo de la urva de umbral, es deir, H H s s H 8 T 4 s n H T (.5) Durante la transiión de fase la temperatura se mantiene onstante y dq = TdS, entones el alor de transiión por mol de la fase superondutora a la fase normal está dado por: Q 4 3 T H Q T s s V H V 4 T s n m m (.6) donde V m es el volumen molar. Como experimentalmente H deree on el inremento de temperatura, Q será absorbido por el uerpo uando va del estado superondutor al estado normal. Q es ero para T = T, ya que Figura. 8 Calor de transiión Q H (T = T ) = 0, mientras H /T es finita. La relaión (.6) orresponde a la euaión de Claussius-Clapeyron y su gráfia se muestra en la Fig T Como la diferenia de entropías s n s s es independiente de H, implia que no sólo s n s s se refiere a la disontinuidad en la urva de umbral, sino también es la diferenia de entropía de los dos estados para ualquier ampo H. En onseuenia, mediante la difereniaión de (.5) on respeto a T, se obtiene la diferenia de alor espeífio por mol: H H H C C V H V 8 T 4 T T T T n s m m En la temperatura de transiión T, donde el alor de transiión se anula, de auerdo a la expresión (.6) el alor espeifio muestra una disontinuidad: (.7)

22 Superondutividad y Dinámia no lineal T H C C V TT 4 T n s m TT (.8) que se muestra en la Fig..9. La expresión (.8) es onoida omo la fórmula de Rutgers y es uno de los resultados onoidos anteriormente al desubrimiento del efeto Meissner. Cerano y por debajo del punto de transiión, el alor espeífio del estado superondutor es mayor que el del estado normal. En alguna temperatura menor, el signo de la diferenia C n C s debe ambiar, ya que s n s s tiene un máximo. Las relaiones (.6) y (.7) estableen una onexión interesante entre las propiedades alórias de un superondutor y su urva de umbral magnétia. Estas han sido orroboradas por muhas mediiones, y se ha enontrado una onordania exelente. Figura. 9 Disontinuidad del alor espeífio 3 C s C n T T T s s s n Figura. 0 Diferenias de entropías s s s n y de alores espeífios s n De la euaión de Rutgers (.8) se obtiene la pendiente de la urva H ontra T en la temperatura de transiión T : dh dt TT 4 V T m C C s n TT (.9) El ampo rítio H 0 a T = 0 se obtiene integrando la expresión (.7), de T = 0 a T = T : T 8 H0 Cs CndT V (.0) m 0 La euaión de Rutgers permite determinar los valores de H (T = 0) y H (T = T ). Para enontrar la euaión de la urva umbral H (T), reurrimos a la expresión (.7) y haiendo uso de (.5), se obtiene: H T T 8 Cs Cn 8 Q dt 8 ss sn V (.) T V T m 0 m donde usamos que para T = 0 K, dh /dt = 0. Volviendo a integrar sobre T, obtenemos la urva umbral:

23 Alberto Franiso Sandino Hernández H T T 8 T H T 0 V m 0 0 Cs Cn T dt dt (.) RESULTADOS EXPERIMENTALES Mendelssohn y Moore[0] midieron la dependenia del alor espeífio on la temperatura de una muestra de estaño que se mezlaba on 4% de bismuto. Para lograrlo, primero midieron el alor espeífio C de la muestra a H = 0 a temperaturas arriba de T y disminuyéndola hasta enontrar la disontinuidad del alor espeífio, según la fórmula de Rutgers que ourre en T, posteriormente prosiguieron on el enfriamiento para determinar la forma en que C s depende de T (Proeso, Fig..a). Por otro lado, apliaron a la muestra un ampo mayor que H 0 para enontrar la dependenia de C n on la temperatura al disminuirla (Proeso, Fig..a). a) Proedimientos para medir el alor espeífio b) Calor espeífio de la aleaión de estaño de la aleaión del estaño on 4% de bismuto on 4% de bismuto[] Figura. En la Fig.. se muestran las mediiones de alor espeífio para estaño realizadas por Keesom y van Laer[] en 938 (írulos abiertos, superondutividad; uadros abiertos, normal), y por Corak, Goodman, Satterthwaite y Wexler[] en 955 (írulos sólidos, superondutividad; uadrados sólidos, normal). La temperatura se mide usualmente on un termómetro que ontiene una resistenia de arbón o germanio que se inserta en la muestra, y el alor es suministrado por una orriente momentánea en una bobina alentada enrollada sobre la muestra. Figura. Mediiones del alor espeífio de Keemson, van Laer, Corak, Satterhwaite y Wexler[3] 3

24 Superondutividad y Dinámia no lineal Keesom y Van Laer midieron el alor espeífio del estaño en el estado superondutor y en el estado normal para las mismas temperaturas, la superondutividad omienza a desapareer por un ampo magnétio sufiientemente fuerte. Exepto por la transiión del estado normal al estado superondutor, se enontró que el alor espeífio es independiente del ampo magnétio. Para bajas temperaturas, C p = C v = C, Keesom y Van Laer mostraron que sus resultados para el estado superondutor pueden ser representados muy satisfatoriamente por una expresión ubia en T: T Cs al / molk 40 3 (.3) Sin embargo, para el estado normal esto es imposible y un término lineal tiene que ser agregado a la ley de T 3 para el alor espeífio de la red: 3 T al / molk C n + T 85 (.4) A ontinuaión veremos las onseuenias termodinámias de estos resultados experimentales. Las apaidades alorífias para el estado normal y el superondutor dados por (.3) y (.4) tienen la siguiente forma: 3 3 C at bt y C BT, debido a que su diferenia está dada por la expresión (.7), tenemos: n s dh at b BT a b BT dt V T V m m Al integrar esta expresión y tomar en uenta que para T = 0, dh /dt = 0, obtenemos dh 8 3 at 3 b BT dt V m (.5) omo el alor de transiión está dado por la euaión (.6), tenemos Q dh dh 3 H Vm Vm at 3 b BT T 4 dt 8 dt debido a que Q = 0 en la temperatura de transiión T = T, se enuentra que: b B T a (.6) 3 Al sustituir (.6) en la euaión (.5), obtenemos 3 dh 8 a T T dt Vm T Al integrar esta última expresión, tenemos H 4 at T H 4 0 Vm T 4

25 Alberto Franiso Sandino Hernández donde H 0 es el ampo rítio a T = 0. Como se sabe que para T = T, H = 0, tenemos que VH m a T 0 de manera que la razón H 0 /T está determinada por las propiedades del estado normal, al utilizar este resultado en la expresión para el ampo se obtiene: H H H T T H T T de donde es inmediato que: Estado Normal H T H0 T (.7) Estado Superondutor H C Este resultado es onoido omo la fórmula de Gorter-Casimir y es notable la relaión entre T y H 0. Esta expresión nos da la urva umbral H entre el estado superondutor y el estado normal (Fig..3) en el plano H-T. T C Figura. 3 Curva umbral superondutora T Por otro lado, la expresiones (.5) y (.7) toman la forma: s 3 H T T 0 n ss T T T (.8) y C C V 3 H0 T T n s 3 m T T T (.9) En onseuenia, para bajas temperaturas, s n s s y C n C s son funiones lineales de la temperatura. Kok[4] sugirió que el término lineal puede orresponder al alor espeífio de los eletrones en el estado normal, que de auerdo a la teoría de metales de Sommerfeld (Estadístia de Fermi) debe ser una funión lineal de la temperatura. Sn Hg Pb Zn Al Vm H al lim 0 T 0 8 T deg Tabla J. G. Daunt y K. Mendelssohn, Pro. Roy. So.,A60, 7 (937). J. G. Daunt y C. V. Heer, Phys. Rev., 76, 34 (949). al 4 0 deg Q

26 Superondutividad y Dinámia no lineal En la Tabla omparamos el oefiiente del término lineal de C n C s, el ual es, según a la expresión (.7), Vm H lim, on el orrespondiente oefiiente de alor espeífio de un gas de eletrones libres. Bajo T 0 8 T la suposiión de que q eletrones de valenia por átomo ontribuye a este gas podemos esribir su alor espeífio para bajas temperaturas en la forma Cv T 5 donde qv al deg. Este oefiiente está enlistado en la Tabla [], donde se muestra que m el término lineal de C n C s es del orden de magnitud orreto para justifiar su interpretaión omo el término de alor espeífio de Fermi-Sommerfeld. No se podía esperar otra mejor onordania, debido a que la fórmula para no toma en uenta el efeto de la red en el espetro de energía. Los estudios de difraión de rayos X de la red ristalina de un metal antes y después de la transiión superondutora no muestran ambios en las propiedades de la red. Por esta razón se supone que el metal tiene la misma temperatura de Debye que en la fase normal. Restando la apaidad alorífia de la red de la apaidad alorífia superondutora se obtiene la ontribuión eletrónia de los eletrones superondutores: el 5 Cs Cs T 3 3 (.0) Esta antidad fue medida para el estaño por H. O. O Neal y N. E. Phillips[3] en 965, obteniendo la gráfia logarítmia de la razón C s el /T ontra T /T (Fig..4) a muy bajas temperaturas muhos de los puntos experimentales se enuentran en una línea reta, lo que india que la ontribuión eletrónia a la apaidad térmia superondutora obedee el siguiente omportamiento: C s el b T T T ae (.) el ual tiene un importante signifiado teório en términos de una banda de energía superondutora, que veremos en apítulos posteriores. Figura. 4 Calor espeifio de estaño[3].5 Eletrodinámia del Estado Superondutor Puro..5. Modelo de líquido eletrónio no visoso. Si onsideramos al superondutor omo un ondutor perfeto, podemos desribirlo haiendo uso del modelo de líquido eletrónio no visoso, que fue utilizado omo base por los hermanos London para elaborar su teoría eletrodinámia. Comenzando on la presentaión de este modelo, primero onsideramos eletrones libres, de arga q y masa m moviéndose sin friión y sujetos solamente a la aión de un ampo eletromagnétio E, H. La euaión de movimiento de un solo eletrón en este ampo es: dv q v dt m E H (.) 6

27 Alberto Franiso Sandino Hernández Los eletrones forman un ampo de veloidades v(x, y, z, t), uya aeleraión substanial, en el esquema de Lagrange, es la de una partíula de fluido, que está dada por la euaión anterior. Así la euaión de movimiento en forma euleriana es: Dv v v v Dt t t v v v v sustituyendo (.) tenemos que la euaión del ampo de veloidades es: E t m v v H m (.3) v v q q tomando el rotaional de ambos lados de la euaión obtenemos: w q vw donde w v H (.4) t m Esta expresión tiene la propiedad de que si a t = 0 el estado iniial es w = 0 (que se satisfae si v = 0 y H = 0), w entones también 0, para t = 0. Al integrar on respeto al tiempo implia que w = 0 para todos los t valores de t. Esto signifia que si a un tiempo dado se umple la euaión q w v H 0 (.5) m entones se umple para todo tiempo. Cuando (.5) se sustituye en (.3), también se umple a todo tiempo que: t v v q E 0 (.6) m Claramente todos los ampos y orrientes que satisfaen las euaiones (.5) y (.6) también umplen on la e. (.3), sin embargo lo inverso no es ierto, ya que por ejemplo una soluión de (.3) es E = 0, v = 0 y H = te, para esta soluión w = te. y (.5) no se satisfae. Así la euaión (.3) desribe el omportamiento de un superondutor suponiendo que este es un ondutor perfeto, ya que el ampo H se ongela, esta soluión es inompatible on el efeto Meissner. Sin embargo, la soluión partiular E = 0, v = 0 y H = 0, que es ompatible on el efeto Meissner, umple tanto las euaiones (.5) y (.6), omo la euaión (.3). De manera que (.3) es onsistente on el de un ondutor perfeto, en tanto que (.5) y (.6) satisfaen la ondiión E = 0 y H = 0. Reordemos que uando se supone que el superondutor es un ondutor perfeto (E = 0), su omportamiento uando se parte de una situaión iniial sin ampo (H = 0) y sin orriente (v = 0) y después se aplia el ampo, se llega al mismo estado final que uando se onsidera que este umple el efeto Meissner. Si traduimos este omportamiento al lenguaje del fluido eletrónio no visoso, esperamos obtener los estados reales partiendo del estado on w = 0. Así tomaremos en uenta el efeto Meissner remplazando (.3) por las euaiones más espeífias (.5) y (.6). 7

28 Superondutividad y Dinámia no lineal Un punto importante que debe ser remarado es el siguiente: uando remplazamos (.3) por (.5) y (.6) introduimos un elemento ontrario a la hidrodinámia lásia. Ya que no se está proponiendo solamente onsiderar una soluión espeial de (.3), sino que se está proponiendo onsiderar a (.5) y (.6) omo las euaiones básias de la teoría. Aquellas soluiones de (.3) que no satisfaen (.5) y (.6) se postula que no existen para el estado superondutor. La reduión de (.3) a (.5) y (.6) es un paso muy similar a la transiión de la meánia lásia a la meánia uántia. En resumen, la disusión anterior nos lleva a suponer las siguientes euaiones del superondutor: q vs H m (.7) q vs v s E m (.8) donde v s denota el ampo de veloidades de la superorriente. Además estableemos que la onexión entre v s y la superorriente J s está dada por: Js qns v (.9) s Donde n s (x,y,z,t) es el número de super-eletrones por unidad de volumen. Veremos que en la presenia de un ampo externo, n s se puede desviar de su valor n s0 sin ampo. Así la densidad de arga s s0 n n q (.30) no será neesariamente ero. Así podemos esribir las euaiones de Maxwell (despreiando la orriente normal) en la forma: 4 E h J s E 4 qnsv s ; E 4 q n n H E ; H 0 (.3) s s0 (.3) Las dos últimas euaiones de Maxwell se obtienen diretamente de (.7) y (.8). APROXIMACIÓN LINEAL DEL MODELO DE LÍQUIDO ELECTRÓNICO NO VISCOSO El sistema de euaiones (.7), (.8), (.9), (.30) es no lineal debido a los términos y n s v s. Veremos a ontinuaión que tales términos no lineales son despreiable-mente pequeños. v s Tomando el rotaional de la expresión (.7), utilizando (.3) y suponiendo ondiiones estaionarias es posible omitir la orriente de desplazamiento, entones se obtiene: 8

29 Alberto Franiso Sandino Hernández 4 nq s q vs H v (.33) s m m Por otra parte tomando la divergenia de la e. (.8), usando (.3) para E, y usando (.33) que implia que v v 0 se tiene: s s 4 q v s ns ns0 (.34) m definiendo ns ns0 y s0 ns0 m 4 n q las expresiones. (.33) y (.34) toman la forma: v v (.33b) v s s s (.34b) Cuando es pequeña omparada on, entones + se puede onsiderar onstante y (.33b) toma la forma vs v, sabemos que esta euaión tiene soluiones que deaen exponenialmente desde la superfiie al interior, de la forma s : x s 0 s vs v v e on v sustituyendo este resultado en (.34b) tenemos x 0 v 0 v e Esto implia que es relativistiamente pequeño, por lo que + es aproximadamente onstante e igual a. Por otra parte, omo por (.7) v s q H m y h en la superfiie debe de ser menor que H, tenemos: v 0 q H m y por lo tanto 9

30 Superondutividad y Dinámia no lineal v0 q 0 H 0 m esto signifia que n s n s0 < 0 0 n s0 por lo que hay menos de un eletrón de exeso por ada 0 0 supereletrones. Ahora estimaremos el ampo eletrostátio v 0 s dentro del superondutor por (.8), tenemos: m q v s E de manera que la diferenia de potenial,, está dada por: E d s q m v 0 de donde se sigue que: q H m esu 3 0 V A partir de estos resultados podemos onluir que los términos no lineales son tan pequeños que pueden despreiarse ompletamente. Bajo estas suposiiones el ampo de veloidades toma la forma: q vs H; m vs q E; t m J qn v s s0 s Expresando las dos primeras euaiones en términos de la superorriente J s tenemos: J J t donde s s m n q s0 H ; E de manera que: n m q s0 (.35) 30

31 Alberto Franiso Sandino Hernández nos da el número de super-eletrones. Lo anterior orresponde al modelo de los dos fluidos..5. Teoría de London Para poder entender las onseuenias dinámias del efeto Meissner, empeemos por onsiderar los siguientes asos: a) Al enfriar un superondutor en presenia de ampo magnétio externo, dentro de este B = 0, lo que implia que aparee una orriente diamagnétia J D que blinda al material. b) Cuando primero se enfría la muestra debajo de T, sin ampo externo y después se aplia el ampo magnétio H, aparee una orriente superondutora J s debido a que dentro del material B = 0. Como los estados finales en ambos asos son idéntios, entones J D = J s = J s (H), por lo que la orriente superondutora solamente depende del ampo H. Los hermanos London proponen que esta dependenia satisfae las siguientes expresiones: J H ; Js E; t J J J ; J n s s E n (.36) Cuyas dos primeras euaiones son onseuenia de una aproximaión lineal al modelo del fluido eletrónio no visoso. En la terera expresión se asume que la orriente total onsiste de dos partes, una orriente superondutora y una orriente normal. Con las ondiiones anteriores ombinadas on las euaiones de Maxwell: 4 E H J ; H E ; H 0; E 4 se obtienen las euaiones de Maxwell-London: L 4 L 4 L L 0 Para L H, E y J (.37) La soluión de la euaión esalar para la distribuión de arga es: t t t Ae Be on, (.38) Para esalas de tiempo t > 0 s, (t) 0, de manera que para estas esalas de tiempo: 3

32 Superondutividad y Dinámia no lineal E 4 0, J 0, H 0 Usando la identidad L L L. Las euaiones de Maxwell-London para esta esala de tiempos son: 4 L L 4 L L para L= H, E y J (.39) Shröedinger demostró usando las euaiones de Maxwell-London que las orrientes J s, J n y la orriente de desplazamiento J E satisfaen las siguientes relaiones: d 4 H E Js Js Jn H, n t J E Jd H Jd E 4 4 (.40) Así, los tres primeros términos del lado dereho de (.39) orresponden a las ontribuiones de J s, J n y J d. Para un ampo alternante de freuenia / la ontribuión de ada una de las tres orrientes está en la proporión: Js : Jn : J d : : 4 Para freuenias, (tiempos grandes t >> ), Jn y J d son despreiables respeto a J s, en esta esala llamada uasi-estaionaria las euaiones de Maxwell-London se reduen a: 4 L L 0 (.4) H y finalmente para el aso estaionario E 0, que al sustituirse en (.4) se obtiene que E = 0. En el estado estaionario, no hay ampo elétrio en el superondutor, sin embargo esto no implia la ausenia de orrientes elétrias. Veamos omo las euaiones de London permiten desribir el efeto Meissner. Bajo ondiiones estaionarias la euaión para H está dada por: 4 H H (.4b) 3

33 Alberto Franiso Sandino Hernández La soluión regular de esta euaión deree rápidamente uando vamos desde la superfiie al interior de la muestra: x H H0 e on (.4) 4 on la antidad llamada la profundidad de penetraión. Por lo que H no se anula disontinuamente en la superfiie, sino que deree rápidamente en una pequeña apa de grueso debajo de la superfiie. Para profundidades mayores a, el ampo magnétio es prátiamente ero, de forma que el resultado de Meissner está ontenido dentro de la teoría de London. Para uerpos grandes omparados on : 3 B dr0 V H r (.43) V pero para superondutores pequeños puede entrar un flujo apreiable al uerpo. Lo anterior nos da una forma de medir y en onseuenia la onstante. COMPORTAMIENTO DE UNA ESFERA SUPERCONDUCTORA EN UN CAMPO MAGNÉTICO Una apliaión importante de la teoría de London es determinar los ampos y orrientes de una esfera superondutora de radio R en un ampo magnétio H 0 débil apliado. A distanias grandes el ampo es homogéneo e igual a H 0, en la veindad de la esfera no será homogéneo ya que es perturbado por las orrientes induidas en la esfera. Fuera de la esfera las omponentes esférias del ampo son: M Hr H0 os ; 3 r M H H0 sen ; 3 r H 0 (.44) donde M es el momento magnétio induido de la esfera. Dentro de la esfera, se resuelven las euaiones de London para la orriente, enontrando que solamente las orrientes paralelas al euador son diferentes de ero: Jr J 0; A J senh r r osh r sen r donde 4. Usando la euaión de London dentro de la esfera: (.45) J H se enuentra las omponentes del ampo 4 33

34 Superondutividad y Dinámia no lineal Hr A' 3 senh r r osh ros ; r H A r senh r r r sen r H 0 ' osh ; 3 (.46) En la Fig..5 se observa el omportamiento del ampo magnétio h en la seión transversal del euador de una esfera superondutora. El ampo penetra un poo más allá de la superfiie de la esfera, pero a una profundidad un poo mayor que el ampo es prátiamente ero. H 4 3 H 0 R Figura. 5 Componente h del ampo magnétio r También se enuentra, utilizando el heho de que por ondiiones a la frontera h r y h son ontinuos en r = R, que el momento magnétio induido M toma la forma asintótia mostrada en la Fig..6 uya expresión analítia junto on la de la onstante A es: 3 HR M oth R ; R R 3H0 R A' senh R (.47) M.0 H 0 R Figura. 6 Momento magnétio induido M R 34

35 Alberto Franiso Sandino Hernández Para esferas grandes, R >> : H 3 0 M R (.48) y para esferas pequeñas R << : M HR R 4 4 R... (.49) Estos resultados fueron utilizados posteriormente por Shoenberg para determinar experimentalmente la profundidad de penetraión[5]. La profundidad de penetraión definida por 4 (.50) es una antidad difíil de medir, sin embargo Shoenberg y olaboradores ombinando dos experimentos independientes lograron estimar su valor. El primero de ellos onsiste en determinar suseptibilidades magnétias de esferas muy pequeñas y moderadamente grandes, que permiten onoer la razón de dos profundidades de penetraión a diferentes temperaturas, y el segundo en medir los momentos magnétios induidos por ilindros de radio R >>, que permite enontrar experimentalmente la diferenia entre las profundidades de penetraión a dos temperaturas. Con estos resultados es posible estimar el valor de la profundidad de penetraión en el ero absoluto..5.3 Experimentos de Shoenberg En el primer experimento se midió la suseptibilidad magnétia de una preparaión de merurio (Hg) oloidal, enontrando que: 4 T R T (.5) donde el valor de R no es onoido. En el segundo experimento se mide la suseptibilidad magnétia de un ilindro de radio R >> dentro de un ampo longitudinal. Mediante el uso de la teoría de Maxwell-London se enuentra que la magnetizaión induida es: M HR 4 R 0 (.5) de manera que para dos temperaturas T y T 0, se tiene: M T0 M T M T 0 0 T T (.53) R en tanto que el método oloidal nos da: 35

36 Superondutividad y Dinámia no lineal 0 T T T T T T (.54) Combinando los resultados de ambos experimentos Désirant y Shoenberg estimaron que 0 = (T = 0K) = m[]. Utilizando este resultado en (.5) se enuentra: 0 T T 4 (.55) y por (.4) se obtiene: T T 30 4 s (.56) de manera que en ombinaión on la expresión (.35) tenemos: n 4 4 m m m T T s0 n 0 q 4 q 4 q 0 T T (.57) el ual es el número de super-eletrones omo funión de la temperatura. El omportamiento del número de super-eletrones era de la temperatura de transiión, se enuentra al fatorizar la expresión (.57): 4 T T T T ns0 n0 n0 T T T T (.58) Para T T, n s0 tiene el siguiente omportamiento: n s0 n 0.0 n T T s0 4n0 T (.59) Este omportamiento es similar al del parámetro de orden en la teoría de transiiones de segundo orden de Landau, que se presenta en el siguiente apítulo. En la Fig..7 se muestra la gráfia de (.58), donde se puede observar omo disminuye el número de super-eletrones uando el valor de la temperatura se aera al de la temperatura rítia T T Figura. 7 Comportamiento de n s0 /n 0 on respeto a la temperatura 36

37 Alberto Franiso Sandino Hernández Referenias [] Kamerlingh Onnes H. Further experiments with liquid helium. D. On the hange of eletri resistane of pure metals at very low temperatures, et. V. The disappearane of the resistane of merury. Leiden Communiations No. b, 9. [] Kamerlingh Onnes H. Further experiments with liquid helium. G. On the eletrial resistane of pure metals, et. VI. On the sudden hange in the rate at whih the resistane of merury disappears. Leiden Communiations No. 4, 9. [3] Kamerlingh Onnes H. Investigations into the properties of substanes at low temperature physis, whih led, amongst other things, the preparation of liquid helium. Nobel Leture. Deember [4] Keesom W. H. Rapport et disours du quatrième onseil Solvay, p. 89, 94. [5] Rutgers A. J. in Ehrenfest P., Leiden Communiations, Suppl. 75b, 933. [6] Gorter C. J. Arh. Teyler 7, [7] Meissner W. and Ohsenfeld R. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit. Naturwissenshaften Vol., pp , 933. [8] London F. and London H. Supraleitung und diamagnetismus. Physia Vol., pp , 935. [9] Kamerlingh H. Onnes and Tuyn W. Pro. Aad. Si. Amsterdam, 5, 443 (93). [0] Mendelssohn K. and Moore J. R. Pro. Roy. So. London, A5, 34, 935. [] London F. Superfluids: Marosopi Theory of Superondutivity, Vol. I. Wiley, New York [] Keesom W. H. and Van Laer P. H. Measurements of the atomi heats of tin in the superondutive and in the non-superondutive state. Physia Vol. 5, pp. 93-0, 938. [3] Zemansky M. W. Heat and Thermodynamis. 5th edition. MGraw-Hill [4] Kok J. A. Some remarks on supraondutivity and Fermi-Dira statistis. Physia Vol., pp , 934. [5] Shoenberg D. Pro. Roy. So. London. A75, 49,

38 38 Superondutividad y Dinámia no lineal

39 Alberto Franiso Sandino Hernández Capítulo Transiiones de fase de segundo orden. Introduión Las transiiones de fase han sido motivo de estudio desde el siglo XIX, uno de los primeros en estudiar el fenómeno fue J. D. van der Waals, al presentar omo parte de su tesis dotoral las orreiones a la euaión de estado de los gases ideales onsiderando el volumen de las partíulas y las interaiones entre estas. Otro sueso importante en el estudio de las transiiones de fases, fue el intento de lasifiarlas, el primero que realizó esto fue Paul Ehrenfest al tomar en uenta el ambio de algunas propiedades térmias durante la transiión y su relaión on la energía libre de Gibbs G propuso una lasifiaión en la que el orden de la transiión es el mismo que el de la derivada de G, que muestra una disontinuidad en el ambio de fase[]. En la lasifiaión moderna, existen transiiones de fase de primer y segundo orden. En lo que respeta a la primera, dos estados de agregaión distintos están en equilibrio (liquido-gas, liquido-sólido, et.) y se produe un ambio abrupto en la simetría que se tradue en una disontinuidad en la entropía, por ejemplo, la fusión o ebulliión del agua. Mientras que en la segunda, los estados de agregaión de las dos fases son idéntios y la simetría ambia de una manera ontinua; además se araterizan por la ausenia de alor latente y la existenia de una disontinuidad finita en el alor espeífio. J.D. van der Waals P. Ehrenfest W. L. Willliams Figura. En 934, W. L. Bragg y E. J. Williams desribieron una transiión de fase de segundo orden observada en una aleaión de obre y zin, la ual se manifiesta por la manera en que estos grupos de átomos están ordenados en una red ristalina. A través del uso de rayos X, enontraron que debajo de una ierta temperatura de transiión, los átomos de zin se enuentran en una red de simetría úbia y los átomos de obre se enuentran en otra, ambas interaladas entre sí. En una serie de artíulos[][3][4], ellos desarrollan una teoría para desribir esta transiión uya idea prinipal es la de obtener una expresión para la entropía onfiguraional del sistema en términos de un parámetro que uantifique el orden del sistema y su dependenia on la temperatura. Esta desripión teória fue utilizada omo base para varios estudios sobre fenómenos de transiión. Por otro lado, Lev Landau[5] presenta en 937 su teoría general para las transiiones de fases, en la ual propone expresar la energía libre de Gibbs en serie de potenias de un parámetro de orden para desribir el omportamiento de un sistema era del punto de transiión. En 950, Landau junto on Vitaly Ginzburg[6] retoman las ideas de esta teoría y dan origen a la Teoría de Ginzburg-Landau, la ual es un intento por desribir la superondutividad y parte del heho de desarrollar la energía libre de Gibbs en serie de potenias pares de 39

40 Superondutividad y Dinámia no lineal una funión de onda omo parámetro de orden alrededor de la temperatura rítia. Con esta teoría es posible obtener resultados ongruentes on la Teoría de London. En el apítulo anterior, se demostró que la transiión de fase superondutora es una de segundo orden, ya que presenta una disontinuidad en el alor espeífio y ausenia de alor latente uando T = T, por esta razón en este apartado nos enfoaremos en la desripión de las transiiones de fase de este tipo a partir de la teoría de Bragg-Williams, on el objetivo de omprender de una manera más senilla los argumentos dados por Landau en su teoría para transiiones de Ginzburg Figura. Vitaly Figura. 3 Lev Landau fase y ulminar on la teoría de Ginzburg-Landau que desribe la transiión superondutora desde el punto de vista uántio.. Teoría de Bragg-Williams EL ESTUDIO DE LAS ALEACIONES El arreglo atómio en un ristal puede ser entendido a través de eldas unitarias, por ejemplo, el obre uyo arreglo de los átomos en la estrutura ristalina se desribe utilizando las eldas unitarias úbias entradas en las aras (fae entred ubi: f) y su apilamiento en tres dimensiones. Un esquema de la elda unitaria f se muestra en la Fig..4 que onsta de puntos en las oho esquinas y seis entrados en las aras de un ubo, mediante la oloaión de un átomo de obre en ada uno de estos puntos, se obtiene la elda unitaria f de este elemento. Por otro lado, el brone es una aleaión de obre y estaño que puede obtenerse mediante la sustituión de manera aleatoria de algunos de los átomos de obre por átomos de estaño en las eldas unitarias del ristal, tal aleaión se omporta omo una soluión sólida de sustituión al azar. Figura. 4 Celda unitaria f Si se mezlan átomos de oro al obre para haer una aleaión de obre y oro en la proporión de tres átomos de obre a un átomo de oro, entones, las esquinas del ubo de la elda unitaria son preferentemente oupados por los átomos de oro, mientras que los sitios en los entros de las aras están oupados por los de obre. Estas aleaiones se denominan aleaiones ordenadas, y, también se sabe que dihas aleaiones al alentarlas pierden este orden y llegan a ser aleatorias a altas temperaturas. Esta transformaión es onoida omo la transformaión orden-desorden. El ordenamiento y su arreglo omplementario de separaión de fases pueden entenderse utilizando un modelo bidimensional on las siguientes onsideraiones: supongamos una aleaión que onsta de dos tipos de átomos, A y B. En la aleaión, omo se muestra en la Fig..5, hay tres tipos de vínulos que existen entre los dos tipos de átomos, es deir, AA, BB y AB. Las energías de interaión de estos tres tipos de vínulos se denotan on V AA, V BB y V AB respetivamente. Más adelante mostraremos que si V AB V AA V BB < 0, la onfiguraión de mínima energía orresponde a que los átomos A(B) prefieren estar rodeados por átomos B(A), lo que ondue al ordenamiento. En ambio, si V AB V AA V BB > 0, entones, los átomos A(B) prefieren estar rodeados por otros átomos A(B), lo que ondue a la separaión de fases. En el segundo aso esta tendenia al orden o de separaión de fases se pierde a medida que aumenta la temperatura, lo que inrementa la entropía onfiguraional del sistema, que provoa la disposiión al azar de los átomos en todos los puntos de la red, sin preferenia a ninguna de las espeies. Así, la ontribuión de la entropía a la energía libre aumenta y, por lo tanto, una aleaión que se ordena o se separa en fases a bajas temperaturas se onvertirá en una soluión sólida de sustituión al azar. 40

41 Debido al ambio ontinuo en la simetría, estas transiiones de fase pueden ser desritas on un parámetro auxiliar onoido omo parámetro de orden uyas propiedades son: ser nulo para la fase más desordenada, y tomar valores distintos de ero (positivos o negativos) para la fase más ordenada. Este parámetro debe ser una funión ontinua de la temperatura. Alberto Franiso Sandino Hernández Una teoría que desribe estas transformaiones fue desarrollada por Bragg y Williams uya idea fundamental es uantifiar el ordenamiento de una estrutura ristalina on la introduión del parámetro de orden, que está relaionado on el número de puntos de la red oupados por diferentes espeies de átomos a distintas temperaturas. Así, la energía libre del sistema se desribe en términos de este parámetro y, el equilibrio del sistema está determinado uando minimizamos la energía libre on respeto al parámetro de orden. Figura. 5 Modelo bidimensional de una elda PARÁMETRO DE ORDEN Supongamos que tenemos el mismo número de átomos distintos A y B, on dos tipos de sitios y. Cada sitio está rodeado úniamente por sitios y vieversa. Los sitios idéntios ( o ) son los veinos más eranos (Fig..6a). Por lo que se tiene dos estruturas úbias araterizada por sitios y otra interalada a la anterior araterizada por sitios. Figura. 6 Designemos la probabilidad de que un sitio sea oupado por N un átomo A por A p y la probabilidad de que este sitio N sea oupado por un átomo B por w p ; análogamente N p w p son las probabilidades de oupaión B N y asoiadas a los sitios. N es el número total de sitios, N el número de átomos A en un sitio, de átomos B en un sitio, A N número de átomos A en un sitio y A N B ontinuaión, introduimos un parámetro de orden : N número B número de átomos B en un sitio. A N N p w p N N p w A B A B N N p w p N N p w B A A B sitios sitios (.) N Sea N A el número de átomos A y N B el número de átomos B. Entones, omo N A N A N A, p y w N se tiene que p w ; de manera que p w p. Lo que implia que, por A N N lo que tenemos solo un parámetro de orden, donde hemos utilizado que NA NB. El estado más ordenado orresponde a =, en el que todos los átomos A(B) se enuentran en los sitios y todos los B(A) en los sitios, en el estado de desorden total p p w w y el parámetro de orden es = 0. N A N 4

42 Superondutividad y Dinámia no lineal ENTROPÍA CONFIGURACIONAL Ahora proederemos a evaluar la entropía onfiguraional; N, N, N y se pueden expresar en términos del parámetro de orden y de las probabilidades p, p,w y w de la siguiente manera: A B A N B N N N N A B A B N N p 4 N N p 4 N N w 4 N N w 4 (.) (.3) El número de onfiguraiones W, es el número de maneras en que los átomos A y B pueden ser distribuidos en los sitios y, es dado por: N N!! W N A! NB! N A! NB! N N!! N N N N 4! 4! 4! 4! (.4) La entropía onfiguraional S está relaionada on W por medio de la euaión de Boltzmann: S = kinw. Haiendo uso de la euaión de Stirling para N! obtenemos: S k N ln ln ln (.5) En el estado más ordenado = (Fig..7a), la entropía es nula. Mientras que en el estado de desorden total = 0, la entropía es S = knln, resultado semejante a la entropía de mezla de gases[7]. (a) Estado más ordenado = Figura. 7 (b) Estado desordenado 4

43 Alberto Franiso Sandino Hernández ENERGÍA LIBRE DE HELMHOLTZ Para enontrar la forma en que depende el parámetro de orden de la temperatura, proedemos al álulo de la energía libre de Helmholtz: F = UTS, y utilizando el heho de que en el estado de equilibrio F es un mínimo, determinaremos la dependenia de on la temperatura. La energía interna U del sistema está determinada por el número de veinos más eranos, así será funión de las energías de interaión entre las espeies y el parámetro de orden. A ontinuaión nos enfoaremos a enontrar esta relaión: El número de oordinaión z, está definido omo el número de sitios alrededor de un sitio, debido a que la probabilidad de tener pares AA, BB en sitios eranos es el produto de las probabilidades de oupaión de estos sitios vees z, así tenemos: N AA zn zp p N N (.6) BB 8 donde N AA y N BB son los números de pares AA y BB. Si onsideramos una red úbia entrada en el uerpo (z = 8), tenemos: N N N AA BB (.7) Análogamente, el número de pares AB y BA están dados por: N N AB p p p p z N (.8) Para alular U, onsideramos solamente las interaiones entre veinos más eranos y que estas interaiones son independientes de entorno de los átomos. Entones usando (.7) y (.8) la energía se expresa en términos del parámetro de orden omo: U NAAV AA NBBVBB NABVAB U0 N V donde (.9) U N V V V 0 AA BB AB V V V V AB AA BB (.0) En nuestro aso V < 0, ya que entones la onfiguraión de mínima energía orresponde a que los átomos A(B) prefieren estar rodeados por átomos B(A), lo que ondue a una red de átomos A interalada dentro de otra de átomos B, on =. Así, utilizando (.5) y (.9) la energía libre de Helmholtz en términos del parámetro de orden es: ktn F U0 TS0 VN ln ln ln (.) donde S 0 es la entropía de los átomos A y B en su red. En el equilibrio termodinámio, F debe ser mínima, este mínimo se obtiene para valores de que son soluión a la expresión: 43

44 Superondutividad y Dinámia no lineal F NkT NV ln 0 (.) Esta relaión nos proporiona la dependenia del parámetro de orden on la temperatura. Analiemos gráfiamente la soluión de la euaión (.) expresándola en la siguiente forma: 4 V ln kt la funión 4 V 4 V es una reta de pendiente que ambia on la temperatura, en tanto que el término del kt kt lado dereho no depende de T, omo se muestra en la Fig..8. Para altas temperaturas la reta interseta a la funión logaritmo solamente en el origen, obteniéndose la soluión = 0, que orresponde al estado desordenado; uando se disminuye la temperatura la reta eventualmente interseta en tres puntos a la funión logaritmo: = 0, *. Estos puntos de interseión entre la reta y la urva logaritmo son onoidos omo puntos fijos. Claramente existe una temperatura rítia tal que para T < T se obtienen tres soluiones y para T > T una soluión. Esta temperatura rítia está determinada por la pendiente de la reta en el origen a la funión logaritmo, uyo valor es: ln 0 de manera que la temperatura rítia está determinada por la euaión: 4 V kt, así: V T. (.3) k 4 In T T 4 Figura. 8 Entones, la energía libre de Hemholtz (.) toma la forma: kn F F0 ktn ln T T ln ln (.4) 44

45 y su derivada on respeto al parámetro de orden está dada por: Alberto Franiso Sandino Hernández F Nk T Tln (.5) Para determinar la estabilidad de las soluiones, que es equivalente a saber qué puntos fijos son máximos y mínimos, reurrimos a la segunda derivada de F on respeto a. Derivando la euaión (.) obtenemos: F T Nk T (.6) Para = 0, F tiene un mínimo si: F 0 Nk T T 0, esto suede para T > T y tiene un máximo si: F 0 Nk T T 0 lo ual pasa uando T < T. Para = *, F tiene un mínimo si: F * T NkT NkTB * 0; * T la forma explíita de B(*) se obtiene al expresar T/T omo funión de *: T T * ln * * (.7) que se enuentra al igualar a ero (.5), de manera que la funión B(*) es: B * * ln * * * (.8) La gráfia de esta funión está dada en la Figura.9, que muestra que B(*) es una funión simétria y siempre positiva, esto implia que la energía libre de Helmholtz tiene dos mínimos simétrios en = *. Por lo tanto para T < T, F tiene un máximo en el origen y dos mínimos en = *, que se muestran en la Figura.0. 45

46 Superondutividad y Dinámia no lineal Figura. 9 Gráfia de la funión B(*) F kn El parámetro de orden T T Figura. 0 Potenial F para distintas temperaturas * es dado por la soluión de la euaión (.), uya gráfia muestra una bifuraión de tipo trinhe superrítia (Fig..). Este tipo de bifuraión es omún en problemas físios que tienen una simetría[8]. La entropía omo funión de T/T se enuentra al sustituir T T en la expresión (.5). De la Fig.. vemos que para T > T, = 0 de manera que S = Nkln, para T < T se tiene que S(*) = S(*), y además la entropía es una funión ontinua de para ualquier valor del parámetro, en partiular: lim S lim S S 0 Nk ln. Por lo que es nulo el alor de transiión para T = T. T T T T * En sistemas dinámios, la bifuraión es un proeso de reaión ó destruión de puntos fijos que provoa un ambio de estabilidad de los mismos, debido a la variaión de un parámetro; se die que una funión f(x) tiene puntos fijos x* si x f ( x) 0. 46

47 * Alberto Franiso Sandino Hernández T/T Figura. Gráfias de vs T/T (urva azul) y vs T/T (urva roja). DISCONTINUIDAD FINITA EN EL CALOR ESPECÍFICO A ontinuaión mostraremos la existenia de una disontinuidad finita en el alor espeífio. Consideramos la entropía del sistema omo S = S 0 + S, donde S 0 es la entropía de los átomos en su red y S la entropía onfiguraional dada por la expresión (.5). Para empezar, expresamos la definiión de alor espeífio en términos del parámetro de orden: S ' S S S 0 Cp T T T Cp0 T T p T p T p T p p (.9) donde S Nk ln, (.0) p Ahora relaionamos (.0) on la soluión de la expresión (.) dada por la euaión (.7), y obtenemos: S p T Nk T (.) Así, la derivada de la entropía on respeto a la temperatura es: S S T Nk. (.) T T T T T Nk T p p p p T p Por lo tanto, el alor espeífio es C p Nk Cp0 T T p (.3) 47

48 Superondutividad y Dinámia no lineal T Como podemos observar en esta expresión, C p está relaionada on la pendiente de la urva f la T ual se muestra en la Fig.. en olor rojo. A partir de esto deduimos que para T > T, = 0 por lo que C p = C p0 ; en tanto que para T T, la pendiente es negativa, de manera que el alor espeifio tiene una disontinuidad en T = T. Graias a la introduión del parámetro de orden, Bragg y Willliams demuestran que la transiión ordendesorden en las aleaiones es una transiión de fase de segundo orden. A ontinuaión veremos que también es posible introduir un parámetro de orden para sistemas ferromagnétios a través del modelo de Ising, siendo este una motivaión para estudiar la teoría de Landau para transiiones de fase de segundo orden..4 Modelo de Ising El ferromagnetismo es la presenia de magnetizaión espontánea uando no hay ampo magnétio externo. Se debe a que la mayoría de los momentos magnétios (o espines) de los átomos se alinean en una misma direión y sentido debido a la interaión entre los mismos, dando lugar a que la muestra se imante. Este alineamiento se produe úniamente por debajo de una temperatura araterístia llamada temperatura de Curie, T. Por enima de diha temperatura los espines están orientados al azar, de forma que no hay un ampo magnétio neto. La transiión ferromagnétia es un ejemplo de transiión de fase de segundo orden y se presenta en muhos metales ordinarios omo el hierro y el níquel. El modelo de Ising es un modelo senillo para el estudio de la transiión ferromagnétia y en iertas irunstanias tiene soluión analítia exata. Supongamos N partíulas oloadas en una red ristalina de n dimensiones, en nuestro aso onsideramos una red úbia. Cada partíula tiene un momento magnétio o espín s i que puede tomar valores + ó. El sentido del espín queda determinado mediante la interaión de la partíula on sus veinas y por flutuaiones térmias. El hamiltoniano del sistema es de la forma: (.4) Hˆ H s J s s K s s s... i i ij i j ijk i j k i i, j i, j, k en la que los oefiientes H, J, K,... miden la energía de interaión entre el espín y el ampo magnétio externo h, entre par de espines, entre tres espines, et. A ontinuaión realizaremos una simplifiaión de este modelo a través de la teoría de Bragg-Williams, para eso onsideramos lo siguiente: a) H i = K ijk = = 0, b) interaiones entre los veinos más eranos on J ij = J, ) remplazar s i por el momento magnétio promedio por partíula que es independiente de la posiión M m si N Así, la energía interna de Bragg-Williams es: ˆ U H J sis j J m J i, j pares Nzm (.5) donde i, j india la suma sobre espines ontiguos y z es el número de oordinaión entre ellos; este resultado es similar a la euaión (.9), on V. zj 48

49 Alberto Franiso Sandino Hernández Si denotamos por N el número de espines haia arriba, N al número de espines haia abajo, la magnetizaión M N N y el número de partíulas N N N, entones el momento magnétio promedio por partíula es M N N m N N N (.6) A temperaturas por enima de T, se espera que m = 0, debido al omportamiento al azar de ada uno de los espines, mientras que por debajo de T, hay una tendenia de alineamiento de los espines en una misma direión y sentido que lleva a m 0. Por otro lado, N y N se pueden expresar en términos del parámetro m omo: N N N m N m (.7) La entropía del sistema es dada por el logaritmo del número de onfiguraiones mirosópias de N partíulas que poseen el mismo valor de la magnetizaión: N! N! S k ln k ln N! N! N N m! m! (.8) Haiendo uso de la aproximaión de Stirling para N! se llega a: m m S kn ln ln m ln m (.9) que es una expresión similar a la euaión (.5) on el parámetro de orden igual al momento magnétio promedio. Realizando un análisis similar al problema de aleaiones, obtenemos resultados idéntios para la energía libre de Helmholtz en términos del parámetro de orden m: kn F T, m F0 U TS F0 ktn ln T m T mln m mln m (.30) zj donde T. k Si realizamos un desarrollo en serie de potenias para m pequeñas ( m << ), obtenemos: 4 F T, m F0 k NT ln N T T m NTm..., (.3) despreiando términos de orden mayor tenemos: 4 F F0 NkT ln kn T T m kntm (.3) 49

50 Superondutividad y Dinámia no lineal La energía libre F es mínima si F 0, por lo tanto m F kn 3 T T m kntm 0. m 3 uyas soluiones son 0 para T T m* T T 3 para T T T (.33) La soluión para T T orresponde a que los espines tienen una direión y sentido arbitrarios. Mientras que para T < T, los espines tienden a alinearse en la misma direión y sentido. DISCONTINUIDAD EN EL CALOR ESPECÍFICO La entropía S del sistema en la veindad del punto de transiión es dada por la derivada on respeto a la temperatura de la expresión (A): F S S0 Nk ln knm knm T (.34) 4 donde F/T = S 0. Cuando m* = 0 la entropía del sistema es m * 3T T T, la entropía es S = S 0 + knln, mientras que si 3 T T 3 T T S S0 Nk ln kn kn T 4 T (.35) Es fáil observar que durante la transiión de fase, la entropía es ontinua. Por último, demostraremos que existe una disontinuidad en la apaidad alorífia uando T = T, obteniendo la derivada on respeto a T de la entropía. Cuando m* = 0 se tiene que S S C T T C T T 0 p p0 (.36) En ambio, uando m* 3 T T T la apaidad alorífia es C p 3kNT 3kNT C p0 T T (.37) Así se onluye que en el punto de transiión la apaidad espeífia sufre un salto, de la manera similar al aso de las aleaiones, por lo que se demuestra que la transiión ferromagnétia también es una transiión de fase de segundo orden. El mismo desarrollo en serie de la energía libre de Helmholtz F puede realizarse para el aso de las aleaiones y obtenemos un resultado idéntio en términos del parámetro de orden. En ambos asos la energía libre F es una funión par del parámetro de orden, por lo que y (ó m y m) desriben estados termodinámios 50

51 Alberto Franiso Sandino Hernández equivalentes. El desarrollo del potenial termodinámio en serie de potenias de un parámetro de orden es la idea prinipal de la Teoría de Landau..5 Teoría de Landau.5. Teoría de Landau on ampo externo nulo La ontinuidad del ambio de estado de una transiión de fase se expresa matemátiamente por el heho de que era de un punto de transiión, puede tomar valores arbitrariamente pequeños. Por lo tanto, realizamos un desarrollo en serie del potenial termodinámio F(P, T, ), onoida omo expansión de Landau, en la veindad del punto de transiión[5]: 3 4 F P, T, F A B C..., (.38) 0 donde, A, B, C son funiones de P y T. Sin embargo, debemos onsiderar que la presión y la temperatura pueden tener valores arbitrarios, pero el valor de debe ser determinado posteriormente a partir de las ondiiones de equilibrio térmio, es deir, F debe ser un mínimo para P y T dado. Como se observó para los asos de las aleaiones y del ferromagneto, entre los estados = 0 (ó m = 0) y 0 (ó m 0) hay una simetría distinta. En partiular, para 0, el parámetro de orden toma dos valores iguales en magnitud pero de signo ontrario (Fig..). Por otro lado, la entropía es una funión ontinua de para ualquier valor del parámetro, por lo que la energía libre F también lo es y debe ser una funión par de este parámetro, lo que nos lleva a deduir que los oefiientes de los términos on potenias impares son iguales a ero: ( P, T) B( P, T)... 0 (.39) de tal manera que el desarrollo en serie del potenial termodinámio es: F P T F P T A P T C P T (.40) 4,, 0,,,... En el equilibrio termodinámio, F es mínima si F/ = 0, onsiderando términos hasta uarto orden, se obtiene que F AP, T 4 C P, T 0, (.4) A P, T uyos puntos fijos son: * 0,. C P, T La estabilidad de estos puntos es dada por la segunda derivada on respeto a de la energía libre F: F A P, T C P, T que evaluada en los punto fijos tenemos: F F A P, T ; 4, AP T A 0 C 5

52 Superondutividad y Dinámia no lineal De la ual se dedue que en * = 0, F tiene un mínimo si A > 0 (fase desordenada) siendo el únio punto fijo A uando C > 0. Si A < 0 (fase ordenada), F tiene una máximo en * = 0 y dos mínimos en * uando C > 0. Resumiendo esto C tenemos: 0 A P, T 0 * AP, T A( P, T ) 0 C P, T (.4) El ambio de fase suede uando A(P,T) = 0, por lo que A(P,T ) = 0 define una temperatura de transiión entre fases. Si onsideramos una región para un valor dado de P erano al punto de transiión uya temperatura es T tenemos que AT at T, (.43) A donde a T T T y C(T) = C(T ) son onstantes. Por lo tanto, se llega a una expresión general de la energía libre F, para un valor dado de P, similar a la obtenida para los asos de las aleaiones y del ferromagneto: F T F T a T T C T (.44) 4, 0... Por lo tanto, las expresiones de los puntos fijos de F dadas por (.4), era del punto de transiión toman la siguiente forma: 0 para T T * a T T para T T C (.45) donde la primera soluión orresponde a la fase más desordenada y la segunda soluión orresponde a la fase ordenada. Para determinar la entropía era del punto de transiión despreiamos términos de orden mayor en el parámetro de orden y derivamos on respeto a la temperatura la expresión de la energía libre F: F S S0 a T (.46) donde S 0 = F 0 /T y el término asoiado a /T se anula debido a que F/ = 0 (euaión.4). En el estado de desorden total = 0 y la entropía del sistema es S = S 0. Mientras que en la fase ordenada es dada por la segunda expresión (.4) y la entropía es: a S S0 T T. (.47) C En el punto de transiión esta expresión se redue a S = S 0, por lo que la entropía es ontinua en este punto. En uanto a la apaidad alorífia C p = T(S/T) p está determinada de la siguiente manera: En la fase desordenada, el alor espeífio es: 5

53 Alberto Franiso Sandino Hernández S C T C 0 p p0 T p. (.48) En ambio, en la fase ordenada se tiene que: C p at Cp0 (.49) C Así se onluye que en el punto de transiión la apaidad espeífia sufre una disontinuidad, debido a que C > 0, C p aumenta uando pasa de la fase desordenada a la fase ordenada..5. Teoría de Landau on ampo externo Ahora, onsideraremos que se aplia un ampo magnétio externo h, por lo que debemos agregar un término lineal en a la expresión de la energía libre F: F P T F P T a T T C P T hv (.50) 4,, 0,,... donde V es un volumen. Cuando existe un ampo magnétio externo para el aso ferromagnétio, en la expresión de la energía interna U aparee un término hm = h(nm). Para el aso de las aleaiones onsideramos al volumen V en vez de N y en vez de m. Realizamos un análisis similar al aso on ausenia de ampo magnétio omenzando on minimizar la energía libre hasta términos de uarto orden y obtener los puntos fijos, es deir, los puntos donde es mínima F: F 3 at T 4C hv 0 de la ual se obtiene que 3 hv a T T 4C. (.5) Primero analiemos gráfiamente esta expresión, en un plano artesiano la reta hv y la urva a T T 4C se intersetan, el número de interseiones dependerá de la variaión de los parámetros h y T. 3 Para T > T, la reta hv interseta a la urva 3 únia soluión * 0 (Fig..). a T T 4C solamente en un punto, por lo que hay una 53

54 Superondutividad y Dinámia no lineal hv 0 hv hv 0 Figura. En ambio, para T < T, la reta interseta en tres puntos a la urva, dando tres soluiones * 0, la uales se enuentran dentro de la región h < h < +h (Fig..3), fuera de esta región solamente existe una soluión. hv 6 h V 4 hv hv h V 4 6 Figura. 3 Para obtener el ampo araterístio h que limita a esta región, alulamos los puntos donde la urva a T T 4C es máxima y mínima, derivando la expresión (.5) on respeto a e igualarla a ero: 3 hv a T T C 0 (.5) así obtenemos: a T T ' (.53) 6C Al sustituir este resultado en (.5) se llega a una expresión para h : 3 T C a T h V 3 C (.54) 54

55 Alberto Franiso Sandino Hernández donde se puede observar la dependenia de h on la temperatura. El omportamiento de la expresión (.54) para un valor dado de T se puede observar en la Fig..4, uyas urvas son onoidas omo urvas de bifuraión que tienden a un punto donde T = T onoido omo punto úspide y dividen al plano en regiones que se etiquetan según el número de puntos fijos. La bifuraión, que es la reaión o destruión de puntos fijos, suede a lo largo de la frontera entre regiones, por lo que ambia la estabilidad de los puntos de una región a otra. 60 h puntos fijos punto fijo T 0 40 punto fijo 60 Figura. 4 Curvas de bifuraión El parámetro de orden T T * para un valor fijo del ampo h 0, es dado por la soluión de la euaión (.5), uyas raíes están dadas por las siguientes expresiones: * uv; i 3 * u v u v i 3 3* u v u v (.55) donde 3 3 hv hv a T T 3 hv hv a T T 3 u ; v 8C 8C 6C 8C 8C 6C las uales se obtienen analítiamente al obtener de manera general las raíes de una expresión úbia a través de método de Cardano[9]. En las figuras.5 se muestra omo al variar el parámetro h, la bifuraión de tipo trinhe que aparee uando h = 0, se rompe dando lugar a otra onoida omo bifuraión imperfeta. El heho de apliar un ampo externo rompe la simetría del sistema. El disrimínate de la expresión (.5) es 3 hv a T T D 08, 4C 6C debido a que es de grado impar y de oefiientes reales, entones existen tres posibilidades para sus raíes: 55

56 Superondutividad y Dinámia no lineal Tiene tres raíes reales, si y solo si, D > 0. Tiene tres raíes reales y al menos dos iguales, si y solo si, D = 0. Tiene una raíz real y dos omplejas onjugadas, si y solo si, D < T 3 a) h = T T b) 0 <h < ) < h < T T d) h = e) h = T T 3 f) h > g) h < Figura.5 Curvas de puntos fijos * 3 56

57 Alberto Franiso Sandino Hernández Como ya se había menionado, las dos primeras posibilidades sueden uando T < T, mientras que la última posibilidad uando T > T. Las figuras. a.5 son solamente seiones transversales o proyeiones de una superfiie en el espaio de parámetros (, h, T) onoida omo atástrofe de úspide[0] que se muestra en la Fig..6. Esta superfiie se pliega sobre sí misma en ierta región, la proyeión de este pliegue sobre el plano (T, h) son las urvas de bifuraión mostradas en Fig..4. La Fig..5 muestra seiones transversales de la sábana que se obtienen fijando el valor de h, mientras que las figuras. y.3 presentan seiones transversales obtenidas uando el valor de T es fijo. Los estados que toma el sistema estarán sobre la esta sábana para distintos valores de los parámetros h, T y. Figura. 6 Funión hv=a(t-t )+4C 3 En la parte inferior de la Fig..7, se muestra el plano donde se proyetan las urvas de bifuraión, si nos movemos sobre la línea R dentro de este plano, el estado del sistema ambia suavemente a lo largo de la trayetoria R sobre la superfiie, esto suede uando se toma un valor fijo T > T y se varia el parámetro h. Pero si ahora nos movemos por la línea Q de izquierda a dereha en el plano, sobre la sábana se reorre el amino Q omenzando en la parte inferior del pliegue de tal manera que el estado del sistema ambie del punto p al punto p para después realizar un salto a la parte superior del mismo pliegue. Sin embargo, si reorremos de regreso el mismo amino Q el estado ahora sufrirá un salto uando llega a p. Como se puede observar, suede un fenómeno de histéresis en ual los saltos de la parte inferior a la superior y de la superior a la inferior no sueden en los mismos puntos, esto se lleva a abo si se toma un valor fijo T < T y se varia el parámetro h. Estos saltos pueden ser verdaderamente atastrófios para el equilibrio del sistema, de ahí el nombre de atástrofe para esta superfiie y se ha desarrollado toda una teoría para este tipo de fenómeno[], la ual no será objeto de revisión en este trabajo. Por último, para determinar la estabilidad de los puntos soluión a (.5), obtenemos la derivada de F on respeto a h e igualamos a ero: F at T C V 0 h h donde podemos observar que Figura. 7 Superfiie de atástrofe úspide y las urvas de bifuraión 57

58 Superondutividad y Dinámia no lineal F a T T C Por lo tanto F F h V V V h h h Para T > T, F tiene un mínimo debido a que si observamos en la Fig.., 0, así F h V 0 Para T < T, tendremos dos situaiones según el valor de h,: h Si h no se enuentra en la región [ h, +h ], en la Fig..8 0, por lo que F tiene un mínimo si F h V 0 Si h < h < +h, en la Fig..8, la región de la urva entre los puntos AC y entre los puntos DF, h 0, por lo que F tiene dos mínimos si F h V 0 h mientras que en la región CD, 0 ; entones F tiene un máximo si F h V 0 58

59 Alberto Franiso Sandino Hernández hv 6 4 h V C F B E A D h V 4 6 Figura. 8 h En los puntos de las regiones AB y EF, tiende a ser más positiva que en las regiones BC y DE, así deduimos que de los dos mínimos que tiene la funión F, uno de ellos es el mínimo global y se enuentra en la regiones AB ó EF. En la Fig..9 podemos observar la representaión gráfia de la energía libre F de Helmholtz on ampo externo para distintas temperaturas. F Figura. 9 Potenial F on ampo externo apliado a distintas temperaturas Una vez realizado el análisis para los asos on y sin ampo magnétio, proedemos a realizar un omparativo entre ambos: Caso sin ampo magnétio externo: Para T > T, hay un mínimo en = 0, Para T < T, hay dos mínimos en 0. Caso on ampo magnétio externo h: Para T > T, hay un mínimo en 0, Para T < T, hay dos mínimos en 0. 59

60 Superondutividad y Dinámia no lineal La interpretaión que podemos dar a este omparativo es que la apliaión de un ampo externo rompe la simetría del sistema y no hay más transiión de fase, lo que para el aso de un superondutor signifia que el fenómeno de superondutividad desaparee al apliar un ampo externo intenso..6 Teoría de Ginzburg-Landau.6. Teoría de Ginzburg-Landau a ampo nulo En 950, Ginzburg y Landau propusieron una teoría fenomenológia que desribe las propiedades del estado superondutor era de la temperatura rítia T. Algunas de las ideas lave de la Teoría de Landau para las transiiones de fase de segundo orden se desarrollan en el ontexto de la superondutividad. El punto de partida de esta teoría es realizar un desarrollo en serie del potenial termodinámio g en términos de un parámetro de orden que desriba la transiión superondutora, en vez del parámetro de la Teoría de Bragg- Williams. Para esto, Ginzburg y Landau proponen el módulo de una funión de onda omo parámetro de orden ir s r r e n r e ir (.56) r El módulo de la funión de onda se interpreta omo el número de eletrones superondutores n s dentro de un volumen unitario en el punto r. Cera del punto de transiión n s es pequeña omparada on el número de eletrones normales n n. Entones, podemos realizar el desarrollo en serie de la densidad de energía libre g en potenias pares de 4 g g n... (.57) donde g n es la densidad de energía libre en el estado normal. Landau en su teoría para las transiiones de fase de segundo orden, dedue que el oefiiente es una funión de la temperatura uyo omportamiento era de T es: a T T (.58) y el oefiiente > 0. Los parámetros a y dependen del material y se determinan experimentalmente, además son independientes de la temperatura. Cera del punto de transiión, es pequeña debido a n s < n n, onsiderando hasta potenias de uarto orden, la diferenia de densidad de energía libre entre el estado normal y el estado superondutor es: 4 g r gs gn at T (.59) Integrando on respeto al volumen obtenemos la diferenia de energía libre de Gibbs: G gdv g g dv a T T dv 4 s n ( ) (.60) Para enontrar los puntos en los que G es mínima, obtenemos la derivada variaional on respeto a * e igualamos a ero: * G at T 0 (.6) 60

61 Alberto Franiso Sandino Hernández Esta expresión tiene las siguientes soluiones: 0 0 para T T at T para T T (.6) La primera soluión orresponde al estado normal uando T > T, mientras que la segunda orresponde al estado superondutor uando T < T. Si sustituimos (.6) en (.59), obtenemos la densidad de energía libre g en términos de la temperatura: a T T g (.63) De los resultados termodinámios para la transiión superondutora, sabemos que la diferenia de densidad de energía libre es proporional al uadrado del ampo magnétio rítio H, por lo tanto a T T H g (.64) 8 de la ual se observa que H tiene una dependenia on la temperatura T de la forma 4 a H T T (.65) Por último, la expresión (.6) nos da la relaión que hay entre la densidad de eletrones superondutores n s on la temperatura T: n at T T s0 0 (.66) Las expresiones (.65) y (.66) son onsistentes on la teoría de London, donde n s0 está relaionada on la profundidad de penetraión de la siguiente manera: n T. (.67) T s0.6. Teoría de Ginzburg-Landau on ampo externo Ahora, si apliamos un ampo externo H al superondutor, el ual penetra ierta longitud, debemos agregar a la densidad de la energía libre g de Gibbs un término asoiado al ampo magnétio energía inétia de los eletrones superondutores q i A, entones: m H 8 y otro asoiado a la 4 q g gn... H i A 8 m (.68) 6

62 Superondutividad y Dinámia no lineal Por lo que la diferenia de la energía libre entre los estados superondutor y normal, onsiderando hasta términos de uarto orden, es: 4 q g r gs gn... H i A 8 m Si integramos on respeto al volumen se obtiene: q G gdv g g dv H i dv 8 m 4 s n A (.69) Para deduir el omportamiento de la funión de onda y del potenial vetorial A, reurrimos al heho de que la energía libre debe ser mínima en el equilibrio termodinámio. Por lo tanto, realizamos la variaión de la euaión (.69) on respeto a y A. Primero variamos on respeto a A, tomando en uenta que H A: * * 0 4 i q q dv dv m m A A A A, (.70) a b b a a b on a A y b A, el primer tér- haiendo uso de la identidad vetorial mino toma la forma A A A A, así la expresión (.70) se esribe omo: 4 i q q A * * A (.7) m m 4 la ual es la euaión de Maxwell (ley de Ampere) A J, donde la densidad de orriente J está relaionada on la funión de onda, la arga del eletrón e y su masa m: i q q J * * A (.7) m m Ahora realizamos otra variaión de (.69) on respeto a la funión de onda *: q q * * i i * dv 0 m A A (.73) Para integrar el terer término, reurrimos al teorema de Gauss V CdV C ds para expresarlo omo i * q i ds * i q dv m n A m A. Por lo tanto, la euaión (.73) toma la siguiente forma: S V q i q i A * dv * i ds 0 m m n A (.74) S 6

63 Alberto Franiso Sandino Hernández La variaión de * es arbitraria, si onsideramos que * = 0 en la superfiie, obtenemos la siguiente euaión para : q i 0 m A (.75) Por otro lado, si onsideramos * arbitraria de tal manera que se anula la ontribuión volumétria, se obtiene la siguiente ondiión a la frontera: q ni A 0 (.76) S donde S es la funión de onda evaluada en la superfiie. Las euaiones (.7), (.75) y (.76) son onoidas omo las euaiones de Ginzburg-Landau. RELACIÓN ENTRE LA LONGITUD DE COHERENCIA Y LA LONGITUD DE PENETRACIÓN Un resultado interesante es el aso unidimensional de la expresión (.75) al onsiderar un ampo externo despreiable, la expresión se redue a: m x 0 (.77) Tomando en la ondiión a la frontera: x 0 0, lim x 0 (.78) x se obtiene la soluión x (.79) x tanh 0 donde T m mat T (.80) y es onoida omo la longitud de oherenia de Ginzburg-Landau. Las ondiiones de frontera onsideradas para la soluión de la expresión (.77) representan la frontera entre el estado normal y el estado superondutor, los uales pueden oexistir uando hay un ampo magnétio en la región normal. En la soluión (.79) se observa que el parámetro india la extensión de la oherenia de la funión de onda superondutora dentro de la región normal, de ahí el nombre del parámetro. Para enontrar la relaión entre la longitud de oherenia y la longitud de penetraión de London, sustituimos (.6) en (.80): 63

64 Superondutividad y Dinámia no lineal T (.8) m 0 Debido a que n s0 0 y haiendo uso de la expresión (.57), obtenemos: T e T. (.8) m La expresión anterior nos da la razón adimensional de ambas longitudes araterístias: m. (.83) q Este parámetro se utiliza para lasifiar a los superondutores en dos tipos, así: Si (espeialmente si << ) entones la energía superfiial es positiva y el superondutor es de tipo I, los uales no permiten en absoluto que penetre un ampo magnétio externo debido a la existenia de orrientes superfiiales lo ual implia la ruptura brusa del estado superondutor si se supera la temperatura rítia, es deir, presentan el efeto Meissner; este tipo de superondutores son ampliamente expliados por la teoría BCS. Si (espeialmente si >> ) entones la energía del superondutor es entones la energía superfiial es negativa y el superondutor es de tipo II. Estos superondutores son imperfetos, en el sentido en que el ampo magnétio realmente penetra a través de pequeños anales denominados vórties y no presentan una transiión brusa sino gradual del estado normal al superondutor. Aleksey Alekseyevih Abrikósov, quien trabajó en el grupo de Landau, predijo la existenia de estos superondutores, pero él junto on Landau no tuvieron éxito en expliar por ompleto el omportamiento de los superondutores de este tipo hasta la llegada a Mosú en 955 del artíulo de Rihard Feynman sobre las líneas de vórtie uantizadas en el helio líquido, on el ual se predien las líneas de flujo uantizadas en este tipo de superondutores[]. Referenias [] Wio Beitelmajer, H. S. Historia y Panorama de Investigaión y Apliaiones de la Físia. Termodinámia y Físia Estadístia IV. Instituto de Físia de Cantabria, UC-CSIC, Santander. Presentaión PDF [] Bragg W. L. and Williams E. J. The effet of thermal agitation on atomi arrangement in alloys. Proeedings of the Royal Soiety of London A, Vol. 45, pp , 934. [3] Bragg W. L. and Williams E. J. The effet of thermal agitation on atomi arrangement in alloys. II. Proeedings of the Royal Soiety of London A. Vol. 5, pp , 935. [4] Williams E. J. The effet of thermal agitation on atomi arrangement in alloys. III, Proeedings of the Royal Soiety of London A. Vol. 5, pp. 3-5, 935. [5] Landau L. D. y Lifshitz E. M., Físia Teória Vol. 9: Físia estadístia Parte. Editorial Reverté, Madrid, 986. [6] Ginzburg V. L. and Landau L. D. К теории сверхпроводимости. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики Vol. 0 p. 064, 950. [7] Garía-Colín Sherer L. Introduión a la Físia Estadístia. El Colegio de Méxio. Méxio

65 Alberto Franiso Sandino Hernández [8] Strogatz S. H. Nonlinear Dynamis and Chaos with Appliations to Physis, Biology, Chemistry and Engineering. Addison-Wesley Publishing Company, 994. [9] Couder Alonso, L. Teoría de Euaiones Algebraias, Instituto Politénio Naional-Limusa Noriega Editores, Méxio, 998. [0] Del Río Correa J. L. y López Garía, J. Bifuraión de Riemann-Hugoniot en un problema meánio simple. Memorias de Extensos de la XIII Reunión Naional Aadémia de Físia y Matemátias ESFM IPN, pp , 008. [] Bulajih R., Martínez Enríquez R. Teoría de atástrofes. Revista Cienias No. 0, Faultad de Cienias UNAM, pp. 4-0, 990. [] Goodstein D. and Goodstein J. Rihard Feynman and the History of Superondutivity. Physis in Perspetive Vol., pp ,

66 66 Superondutividad y Dinámia no lineal

67 Capítulo 3 Teoría mirosópia de la superondutividad Alberto Franiso Sandino Hernández 3. Introduión Durante el periodo de la II Guerra Mundial se interrumpió el estudio sobre el omportamiento de los superondutores, y no fue hasta 950 que Landau y Ginzburg presentaron su teoría de transiión de fase superondutora uando se retoma. El signifiado de la funión de onda usada omo parámetro de orden en esta teoría no fue expliado sino hasta 957, uando John Bardeen, Leon Cooper y John Robert Shrieffer[] enuniaron su teoría mirosópia de la superondutividad, ahora onoida omo Teoría BCS. A Bardeen, Cooper y Shrieffer se les otorgó el premio Nobel de Físia en 97 por este trabajo, en el que retoman la idea de Herbert Fröhlih[] sobre la existenia de eletrones apareados debido a la interaión atrativa entre ellos induida por un fonón. Estas parejas de eletrones son ahora onoidas omo pares de Cooper. Debido a la falta de omuniaión entre ientífios soviétios y estadounidenses durante la Guerra Fría, Bardeen, Cooper y Shrieffer no tuvieron onoimiento de la teoría de Ginzburg y Landau, por lo que ambas teorías se desarrollaron de manera independiente[3]. Bardeen, Cooper y Shrieffer Figura 3. H. Fröhlih La idea de Fröhlih sobre eletrones apareados surge debido a que él observa que los buenos ondutores omo el obre y el oro al bajar la temperatura no tienden a onvertirse en superondutores, a diferenia de los malos ondutores, esto puede entenderse reordando que para este tipo de materiales la interaión entre los eletrones y la red es mayor que en el aso de los ondutores, por lo que, la superondutividad es ausada por la interaión entre los eletrones de onduión y las vibraiones de la red, así Fröhlih propone un hamiltoniano que ahora lleva su nombre hamiltoniano de Fröhlih, el ual inluye este tipo de interaiones y además toma en uenta, de manera implíita, el efeto isotópio 3. Un fonón es un modo uantizado de vibraión que se enuentra en las redes ristalinas. Las vibraiones de la red de un sólido se pueden expliar omo un gas de fonones. De este modo el fonón no es una partíula omo tal, sino una uasipartíula. 3 El efeto isótopio onsiste en que para un mismo elemento químio, la temperatura rítia varía de una manera que es inversamente proporional a la raíz uadrada de la masa del isótopo de ese elemento. 67

68 Superondutividad y Dinámia no lineal Continuando on la reseña história, es importante menionar que durante la segunda mitad del siglo XX, se realizaron varios estudios sobre el fenómeno superondutor, dando origen a desubrimientos interesantes tales omo el efeto Josephson en 96, que desribiremos a detalle en el siguiente apítulo, o los superondutores de alta temperatura rítia (o alta T ) en 986, por parte de J. G. Bednorz y K. A. Müller en los laboratorios IBM en Zurih, Suiza. Ellos anuniaron el desubrimiento de un nuevo material, el ual es un óxido metálio que ontiene lantano, bario y obre ((La.9 Ba 0, )CuO 4 ), que se omporta omo un superondutor a una temperatura rítia de 30 K, muy elevada Figura 3. K.A. Müller y J.G. Bednorz para la entones onoida[4]. Desafortunadamente, este tipo de superondutores no será objeto de estudio durante este trabajo, debido a que no está ontemplado dentro de nuestro objetivo. A ontinuaión, presentamos primero un estudio del omportamiento lásio de una partíula en un ampo eletromagnétio para obtener su funión hamiltoniana, y posteriormente, llevaremos a abo la desripión uántia por medio de la euaión de Shrödinger, obteniendo el operador hamiltoniano a través de uso del prinipio de orrespondenia. 3. Desripión lásia de una partíula en un ampo eletromagnétio. 3.. Funión lagragiana Como ya hemos menionado, primero desribiremos de manera lásia el omportamiento de una partíula en un ampo eletromagnétio, esto debido a que los fenómenos de superondutividad están relaionados on ampos eletromagnétios. Consideremos una partíula de arga elétria q y masa m que se mueve a una veloidad v en una región del espaio on ampo elétrio E y magnétio B, la fuerza de Lorentz F que atúa sobre diha partíula es: v F q B E (3.) Los ampos E y B son funiones ontinuas del tiempo y la posiión, ambos son derivables de un potenial esalar (r,t) y potenial vetorial A(r,t) respetivamente, esto se demuestra por medio del uso de las dos euaiones de Maxwell siguientes: B 0 (3.) que implia B Α (3.3) y la euaión B E. (3.4) t que al sustituirla en la expresión (3.3) obtenemos: 68

69 Alberto Franiso Sandino Hernández A E 0 (3.5) t lo que implia que A t E (3.6) Entones, podemos expresar E en términos de y A de la siguiente manera: A t E. (3.7) Ya obtuvimos E y B en términos de los poteniales A y dados por las expresiones (3.4) y (3.7). Por lo tanto, la fuerza de Lorentz expresada en términos de estos poteniales es: v A v F q( E B) q A t (3.8) Ahora, expresaremos esta fuerza de manera tensorial. Dos vetores arbitrarios C y D se expresan por medio de tensores omo: C C e ˆ C e ˆ D D e ˆ D e ˆ i i i i i i i i i i donde el extremo dereho de estas expresiones son una abreviaión de la sumatoria de las omponentes del vetor. Si tomamos en uenta las propiedades el tensor de Levi-Civita: ijk 0, para dos índies repetidos,, si los índies están en orden ilío, -, si los índies están en orden no ilío. podemos expresar de manera general el produto vetorial y el rotaional de ambos vetores omo: Así, el término v A v CD CDeˆ, ijk j k i C C eˆ, D D eˆ x x klm m k klm m k l l de la euaión (3.8) se expresa omo: A m m A ijkv j klm eˆ i ijk klmv j eˆ i Haiendo uso de la identidad x l A (3.9) ijk klm il jm x im l (donde ij es la delta de Kroneker) tenemos: jl 69

70 Superondutividad y Dinámia no lineal v A v j il jm A x v A r i j eˆ v i im Ai x A v r j jl v j j A x eˆ i m l eˆ i v j A x i j A eˆ i v r (3.0) reordemos que da A A v, por lo tanto dt t r va da A da A v A v A r dt t dt t (3.) Finalmente, la fuerza de Lorentz se expresa omo: v F q( E B) A da A q v A t dt t v da q A dt (3.) Como y A son funiones de r y t, reesribimos la fuerza F omo: v d v F q A dt A r (3.3) donde da d v A. dt dt r Ahora, alularemos las proyeiones de la fuerza de Lorentz en ada uno de las direiones de los vetores base unitarios de las oordenadas generalizadas q i, para demostrar que la fuerza F es derivable de un potenial. Estas proyeiones también son onoidas omo las fuerzas generalizadas Q i : r Q i F, i,,3 q Así i 70

71 Alberto Franiso Sandino Hernández v d v r Qi q A dt A r qi v r d v r q A q A i dt r r qi v d v q A A qi dt qi (3.4) r r donde se hizo uso de la identidad. Las fuerzas generalizadas Qi también pueden expresarse en qi qi términos del potenial dependiente de las veloidades generalizadas omo: U d U Q i, i,,3. q dt q i i v A partir de esto, podemos definir a la energía potenial del sistema omo U q A. Así demostramos que la fuerza de Lorentz es derivable de un potenial generalizado. Entones, es direto demostrar que la lagrangiana del sistema es: v A. (3.5) L T U mv q 3.. Momento Una vez que onoemos la funión lagrangiana, proedemos al álulo del momento generalizado p que es dado por la siguiente expresión L p r (3.6) Para realizar el álulo orrespondiente, denotamos el vetor veloidad omo v v x x x. Así i i i v xi i e ˆ, entones L v p mv v q A r r x j mx ˆ j q Aj ei xi x j Aj x j x j Aj m x ˆ ˆ j ei q ei xi xi xi xi Reordando que y A son funiones de r y t, así que no que dependen explíitamente de x i. Entones 7

72 Superondutividad y Dinámia no lineal A j 0 y 0 x x i Por otro lado, tenemos que i xi ij x j xi x j (3.7) Si tomamos en uenta las anteriores observaiones, obtenemos que p q q mx ˆ ˆ j ji Aj ji i mxi A i i e e (3.8) donde hemos usado la propiedad de la delta de Kroneker x i ij = x j. Por lo que, el momento de una partíula dentro de un ampo magnétio es q p mr A (3.9) 3..3 Funión hamiltoniana A ontinuaión obtendremos la funión hamiltoniana del sistema. Reordemos que esta funión se define omo H pr L (3.0) Hemos alulado ya el momento p, ahora expresaremos la funión lagragiana en términos de este. De la expresión (3.9) obtenemos lo siguiente q r p A (3.) m sustituyendo en la euaión (3.5) se tiene r A L mr q q q m q p A m p A A m (3.) Introduimos las expresiones (3.9) y (3.) en la expresión (3.0) q q q H pp A m q m p A m p A A m realizando el álgebra orrespondiente obtenemos la funión hamiltoniana de una partíula en un ampo eletromagnétio 7

73 Alberto Franiso Sandino Hernández q q H q m p A p A (3.3) 3.3 Desripión uántia de una partíula en un ampo eletromagnétio 3.3. Euaión de Shrödinger Una vez que onoemos la funión hamiltoniana de una partíula (no relativista y sin espín) argada en un ampo eletromagnétio. Podemos obtener la euaión de Shrödinger de diha partíula, para esto haemos uso del prinipio de orrespondenia sobre la funión hamiltoniana, reordemos que el operador momento se define omo: p ˆ (3.4) i entones nuestro operador hamiltoniano es dado de la siguiente manera: H ˆ q q q m i A i A (3.5) Así la euaión de Shrödinger dependiente del tiempo para una partíula argada es: ˆ q q q i t H m i A i A (3.6) 3.3. Euaión de onservaión de la probabilidad Ahora deseamos enontrar una euaión de ontinuidad para el aso que estamos estudiando. Reordemos que la densidad de probabilidad P(r,t) está dada en términos de la funión de onda de la partíula argada omo, *,, P r t r t r t (3.7) Una partíula no puede desapareer de una región y apareer en otra sin que fluya algo entre ambas regiones. Supongamos que una región está rodeada por una superfiie lo sufiientemente alejada para que haya probabilidad ero de enontrar una partíula dentro. Reordemos que la probabilidad de enontrar una partíula en ualquier parte dentro de la superfiie es la integral de volumen de P. d dt P PdV dv J ds J dv (3.8) t V V S V Esta expresión india que el ambio de probabilidad on respeto al tiempo es proporional al flujo de densidad de orriente de probabilidad J en una región V limitada por una superfiie S. Reesribiendo esta euaión se obtiene: V P t dv 0 J. (3.9) De la ual obtenemos que 73

74 Superondutividad y Dinámia no lineal P J (3.30) t esta euaión es onoida omo la euaión de ontinuidad para la probabilidad. Nuestro objetivo prinipal es enontrar la forma de la orriente de probabilidad J. Derivemos on respeto al tiempo la expresión (3.7) P * * t t t (3.3) De la euaión (3.6) es posible obtener /t así omo su respetivo omplejo onjugado a i q q A A q t m i i * i q q b A A q * t m i i (3.3) sustituyendo estas expresiones en (3.3) obtenemos P i q q * A A q t m i i i q q A A q * m i i i q q q q * A A A A * m i i i i (3.33) Realizando el álgebra orrespondiente, varios términos se anelan y el resultado final es el siguiente: P q q * A A * (3.34) t m i i donde identifiamos que la densidad de orriente de probabilidad es q q J * A A * (3.35) m i i Si reesribimos esta expresión, obtendremos i q J * * A, (3.36) m m Si es ero en la superfiie la expresión (3.35) nos india que J es nula, por lo tanto, la probabilidad de enontrar en el interior una partíula no ambia on respeto al tiempo y podemos deir que se onserva loalmente. 74

75 Alberto Franiso Sandino Hernández 3.4 Signifiado de la funión de onda La funión de onda (r,t) de una partíula argada por sí sola no tiene signifiado físio, lo que si lo tiene es el uadrado de la amplitud que da la probabilidad de enontrar un eletrón en un lugar dado. Donde quiera que se enuentre el eletrón estará on toda su arga. Observamos que * tiene dimensiones de una densidad de probabilidad, si multipliamos por q tendremos dimensiones de densidad de arga. Para nuestros propósitos introduimos este fator q onstante dentro de la funión y onsideraremos a* omo la densidad de arga. Así, la expresión (3.36) para la orriente de probabilidad J pasa a ser diretamente la densidad de orriente elétria J dada por (.7) que es una de las euaiones de Ginzburg-Landau. La densidad de arga y la orriente elétria se pueden alular diretamente de la funión de onda después de un proeso de mediión, ya que esta toma un signifiado físio que se extiende a situaiones marosópias lásias. Esto es posible debido a que onstruimos un ensemble uántio uyas partíulas se enuentran en el mismo estado, por lo que solo basta definir una sola funión de onda para todo el ensemble. Sin embargo, la difiultad de onstruir un ensemble on eletrones radia en que no se puede oloar a más de uno en el mismo estado uántio, esto se debe a que los eletrones son fermiones, es deir, partíulas desritas por la estadístia de Fermi-Dira y umplen on el Prinipio de exlusión de Pauli. Por esta razón, se reyó por muho tiempo que no era fatible onstruir un ensemble uántio para eletrones y que por lo tanto, la funión de onda nuna tendría representaión marosópia para este tipo de partíulas. En 956, L. Cooper estudio el omportamiento de un gas de Fermi de eletrones libres en presenia de una interaión atrativa a T = 0 y mostró que esta interaión produe un estado de paridad entre los eletrones on energía menor a la energía de Fermi, lo ual implia un par ligado. Al año siguiente, él junto on Bardeen y Shrieffer publian un artíulo[] donde retoman la idea de Herbert Fröhlih sobre eletrones apareados debido a la interaión atrativa entre ellos induida por un fonón, lo que da origen a los pares de Cooper y la posibilidad de onstruir un ensamble uántio on ellos. 3.6 Pares de Cooper 3.6. Hamiltoniano de Frölih Resulta un problema ompliado desribir de forma ompleta la interaión eletrón-eletrón (e e) dentro de un sólido, debido a que existen interaiones diretas de tipo oulombiano, pero los eletrones en un sólido también pueden interatuar indiretamente por medio de algunas exitaiones elementales; tal es el aso de la interaión entre eletrones mediada por fonones, la ual está desrita por el hamiltoniano de Fröhlih: H a a M a a F k k k q q kk ' q q k k ' k q k, k ', q (3.37) donde k y k son los operadores de reaión y aniquilaión, respetivamente, de un eletrón on vetor de onda k; mientras que a q y a q son los operadores de reaión y aniquilaión, respetivamente, de un fonón on vetor de onda q y M kk son los elementos de matriz de la interaión eletrón-fonón. El vetor de onda del fonón, q es igual a k k, lo ual simplemente expresa que el momento ristalino se onserva. Como se puede observar, los dos primeros términos de esta expresión representan el hamiltoniano H 0, de un sistema de eletrones y fonones que no interatúan entre sí y el terer término orresponde a la interaión eletrón-fonón H e-f. En los primeros dos términos del hamiltoniano los operadores de aniquilaión k y a q quitan al sistema un eletrón y un fonón respetivamente, si la partíula no existe, el operador no la puede quitar y el resultado es ero, mientras que los operadores de reaión k y a q restituyen al eletrón y al fonón dejando al sistema 75

76 Superondutividad y Dinámia no lineal idéntio. El número de vees que se puede realizar la operaión depende del número de partíulas que haya en el sistema. Por otro lado, ħ q es la energía del fonón on momento q y k es la energía del eletrón on vetor de onda k. Entones, estos dos primeros términos del hamiltoniano ontabilizan uanta energía hay tanto en el sistema eletrónio omo en el fonónio. En el aso del terer término se desribe la siguiente situaión: un eletrón en un estado k' pasa a otro estado k, al mismo tiempo que destruye ó rea un fonón on energía y momento igual a la diferenia entre los dos estados eletrónios. Para que se onserve la energía y el momento hay dos opiones: Crear un fonón on el operador a q, entones la situaión es: se tenía k', generamos k y q. Por lo tanto la suma de los dos últimos debe ser igual al primero: k' = k q. Destruir un fonón on el operador a q, así el proeso es: teníamos k', generamos k y perdemos q. Por lo tanto k'= k q. Mientras que M kk' es un elemento de matriz que mide la probabilidad de ada uno de esos eventos ourra. Figura 3. 3 Interaión e e a través del interambo de un fonón. El hamiltoniano de Fröhlih es posible obtenerlo a través de la aproximaión adiabátia, la ual onsiste en suponer que la masa de los eletrones m es muy pequeña omparada on la masa de los iones M, on m/m ~0 3. Esto permite onsiderar a los eletrones moviéndose en un ampo de iones fijos que oupan posiiones espeífias en el espaio. Si realizamos una transformaión anónia del hamiltoniano de Fröhlih, se puede demostrar que: H ' H M... q (3.38) 0 q k ' q k q k k ' q k q q donde el resto de los términos en la euaión ontienen sólo produtos de dos operadores de eletrones. Para que obtengamos una interaión atrativa se debe umplir que, (3.39) k kq q lo ual permite que pares de eletrones formen estados ligados on menor energía que la orrespondiente a dos eletrones libres. Por lo tanto, los pares de Cooper son pares de eletrones on vetores de onda y espines opuestos que forman un estado ligado, debido a la interaión de estos on la red ristalina por medio de fonones. La existenia de los pares de Cooper por debajo de una temperatura rítia es una de las ausas mirosópias de la superondutividad y base de la teoría BCS Funión de onda marosópia La euaión de Shrödinger para un par de Cooper es similar a la euaión (3.6), on la diferenia de que la arga q será dos vees la del eletrón. Por otra parte, m es la masa efetiva del par en la red ristalina, que no neesariamente será dos vees la masa del eletrón (m e ). Por otro lado, la euaión (3.6) puede ser ya no 76

77 Alberto Franiso Sandino Hernández válida para freuenias muy altas, ya que la energía inétia que orresponde a funiones de onda que varían rápidamente puede ser tan grande omo para romper los pares. A temperaturas distintas de ero siempre habrá / e E k T algunos pares de eletrones que se separen, la probabilidad de que se rompa un par es proporional a par B donde la onstante de Boltzmann k B = J/K. No todos los eletrones forman pares de Cooper, los uales llamaremos eletrones normales, y se mueven por el ristal en la forma aostumbrada. Por el momento despreiamos las ompliaiones produidas por los eletrones normales. Los pares de Cooper tienen un omportamiento bosónio, es deir, están desritos por la estadístia de Bose-Einstein; uando hay una gran antidad de ellos en un estado dado hay una probabilidad grande de que otros pares se enuentren en el mismo estado. Por lo tanto, todos los pares estarán onfinados a la energía más baja en exatamente el mismo estado (para más detalle ver [5]). Esta propiedad nos permite onstruir un ensamble de pares Cooper on la misma funión de onda, onoida omo la funión de onda marosópia. Sea la funión de onda de un par en el estado más bajo de energía, omo * es proporional a la densidad de arga, podemos esribir a omo la raíz uadrada de la densidad de arga por algún fator de fase : t t r, r, r, e i t (3.40) donde y son funiones reales de r y t. Desde la perspetiva de la teoría BCS (Bardeen, Cooper y Shrieffer) la funión de onda puede ser vista omo la funión de onda de una partíula desribiendo la posiión del entro de masa de un par de Cooper. Como todos los pares de Cooper se enuentran en el mismo estado, basta una sola funión de onda Densidad de orriente y momento Nos interesa onoer el signifiado físio que tiene la fase de la funión de onda. Para ello, sustituimos la expresión (3.40) en la (3.36) para expresar la densidad de orriente J en términos de y, onsiderando la masa y la arga de dos eletrones (m = m e y q = e). i e J * * 4m m e i e e * e e e * e 4m m e i i i i i i e i i 4m A m e e A e e A (3.4) Realizando el álgebra orrespondiente obtenemos lo siguiente: e J A (3.4) m e La fase absoluta no es observable, sin embargo, el gradiente de la fase si lo es, lo que nos permite enontrar la fase hasta una onstante, ya que dr onst (3.43) Para enontrar la antidad físia on la que está relaionada reordemos la relaión de J on la veloidad v del flujo elétrio, es deir 77

78 Superondutividad y Dinámia no lineal J v (3.44) y omparemos las euaiones (3.4) y (3.43) para así obtener: m v ea (3.45) e Como se podrá observar, al omparar el lado dereho de esta expresión on (3.9) se onluye que el gradiente de la fase está relaionado on el momento p del par de Cooper de la siguiente manera: p. (3.46) dándole un signifiado físio a la fase. 3.7 Caraterístias de la superondutividad 3.7. Efeto Meissner A ontinuaión demostraremos que la densidad de orriente de los pares de Cooper obedee la euaión de London (.4b). Primero, apliamos el rotaional a la expresión (3.4): e J A m e ne s = H m e (3.47) donde se ha onsiderado onstante y se hizo uso de 0, H= A, =en s. Al tomar en uenta 0 4 las euaiones de Maxwell H J; H 0 ; así omo también la identidad vetorial a a a obtenemos la siguiente relaión: 8 ne s m e H H (3.48) uya soluión regular deree rápidamente uando vamos desde la superfiie al interior de la muestra superondutora: x m e h h0e on. (3.49) e n s0 Así demostramos que la teoría uántia de la superondutividad tiene relaión on la teoría marosópia Cuantizaión del flujo magnétio Otra araterístia importante de la superondutividad es la uantizaión del flujo magnétio, el ual es prediho por la euaión (3.4). Consideremos un anillo en su fase superondutora, debido al efeto Meissner, B y J son ero en el interior, entones se tiene de (3.4) que 78

79 Alberto Franiso Sandino Hernández e A (3.50) obteniendo la integral de línea de esta expresión a través de una trayetoria errada C en el interior del anillo: C e dl dl C A llegamos a lo siguiente: e (3.5) uyo término del lado izquierdo se obtiene de dl y el término de lado dereho, del teorema de Stokes junto on la definiión de flujo magnétio C Adl A ds BdS. Pedimos C S S omo requisito físio que la funión de onda sea univaluada y que = n, por lo que la expresión (3.5) se reesribe omo: n n e 0 (3.5) 7 donde definimos el uanto de flujo magnétio gauss m también onoido omo e fluxón Banda prohibida superondutora La teoría BCS muestra que dos eletrones exitados por enima de la superfiie de Fermi a T = 0, forman pares de Cooper en un estado ligado uya energía está por debajo de F. Parte de la energía del metal en el estado normal se transforma en energía interna de los pares, debido a esto el estado normal del gas de eletrones es inestable on respeto a la formaión de pares de eletrones provoando la ondensaión del estado superondutor. A partir de estos oneptos la teoría BCS es apaz de onstruir la funión de onda y evaluar las prinipales araterístias del estado superondutor. El estado base es desrito por la funión de onda u k vk k k 0 G (3.53) k donde 0 es un estado sin pares de Cooper y sin eletrones libres, vk es la probabilidad de que el par (k, k ) este oupado y uk de que esté desoupado, entones uk vk (3.54) La energía total del sistema se obtiene a partir del valor de expetaión del hamiltoniano total: E H 0 H kvk Vkk' ukvkuk' vk' (3.55) k kk' 79

80 Superondutividad y Dinámia no lineal Al minimizar esta energía on respeto v k, teniendo en uenta (3.54): E v k kukvk uk vk Vkk ' uk ' vk ' 0 k ' (3.56a) se obtiene[5]: k k v (3.56b) / k k donde k es la energía del eletrón medida respeto al potenial químio, V u v k kk ' k ' k ' k ' (3.57) es la breha o banda de energía que separa el estado fundamental de las exitaiones del mismo y / Ek k k (3.58) adquiere el signifiado de la energía de los eletrones libres debido a la presenia del ondensado superondutor. Si sustituimos (3.54) y (3.56) en (3.57) obtendremos lo siguiente: k Vkk' E k' k k' (3.59) Esta es una euaión no lineal para k la ual puede ser expresada en su forma integral 4 de la siguiente manera: k k N V kk' d (3.60) F / k' k' k' La soluión trivial k = 0 orresponde al estado normal, mientras que la soluión k 0 al estado superondutor. Esta soluión no trivial puede alularse de forma numéria, sin embargo, podemos obtener bastante informaión si realizamos las siguientes dos aproximaiones: los términos de interaión V kk en el hamiltoniano del sistema, responsables de la formaión de pares son tales que V si 0 k D Vkk' (3.6) 0 en otro aso es deir, la interaión ourre entre eletrones en el entorno de la energía de Debye ħ D. 4 Esto se puede realizar a través de la sustituión N F d k ' 80

81 Alberto Franiso Sandino Hernández Consideramos que N( F ) es la densidad de estados de eletrones on una orientaión de espín en el nivel de Fermi si k D k (3.6) 0 en otro aso Haiendo uso de estas aproximaiones, la breha ya no depende de k sino úniamente de la energía. Así a T = 0 se obtiene V0 V N V N 0 0 k E F D sinh F k 0 D d / (3.63) Despejando de esta expresión tenemos D sinh N F V0 (3.64) Haiendo uso de otra aproximaión onoida omo de aoplamiento débil, es deir, N( F )V <<, entones se llega a lo siguiente: e D N F V (3.65) Para el aso general T 0 se puede demostrar (ver [5]) que V0 k V N E k tanh kt B E D k tanh 0 F 0 T T kt B d (3.66) que determina la dependenia de la breha de energía on la temperatura = (T). La temperatura rítia del sistema se obtiene para (T) = 0, en ese aso E k = k y N F V 0 D kbt 0 tanh x dx x (3.67) 8

82 Superondutividad y Dinámia no lineal Haiendo uso de la aproximaión de aoplamiento débil: ħ D >> k B T se obtiene k B T F V 0 N.3 e (3.68) D Esta expresión determina la temperatura rítia T de la teoría BCS. Si la omparamos on la expresión (3.65) se llega a la siguiente relaión: 0.764k T (3.69) B la ual muestra que la breha de energía a T = 0 es omparable a k B T. Por otro lado, uando T T, es deir, era del punto rítio, (T) 0, por lo tanto la euaión (3.66) puede expandirse en términos de (T) y llegar a la siguiente expresión: T 0.74 T T T T (3.70) La dependenia de la temperatura de esta expresión es onsistente on los resultados que se han venido obteniendo en las distintas teorías superondutoras. En el fenómeno de superondutividad, la existenia de una banda prohibida en el espetro de energías entrada en la energía de Fermi ε F y uyo tamaño es E g = (T) está relaionada on la energía neesaria para separar al par de Cooper. Si la energía apliada es menor a E g, no lograremos exitar al par y en onseuenia los eletrones que lo onforman no se separaran. Si la energía es mayor a E g, el par se rompe y la energía sobrante se onvierte en energía inétia para los eletrones. Figura 3. 4 Esquemas simple de los niveles de energía de un metal normal y un superondutor, respetivamente. En el segundo esquema se observa la banda superondutora. Como se ha demostrado, el anho de la breha de energía depende de la temperatura. Su tamaño es omparable on k B T uando T = 0 y va disminuyendo a medida que aumenta la temperatura hasta desapareer uando se ha alanzado la temperatura ritia T. En la figura 3.4, se muestra un omparativo entre dos esquemas de niveles de energía de un metal en sus fases normal y superondutora, en ambos los estados oupados se indian on regiones en olor verde. En el aso de la fase superondutora, la banda prohibida se enuentra entre regiones de estados oupados y entrada en ε F. El heho de que en esta banda esté prohibido tener estados oupados tiene que ver on el proeso de reaión y aniquilaión de eletrones y fonones tomado en uenta en el hamiltoniano de Frölih. 8

83 Alberto Franiso Sandino Hernández Referenias [] Bardeen J., Cooper, L. and Shrieffer J. R. Theory of Superondutivity. Physial Review 08, pp , 957. [] Frölih H. Interation of eletrons with lattie vibrations. Proeedings of the Royal Soiety of London A, Mathematial and Physial Sienes Vol. 5, p. 9, 95. [3] Goodstein D. and Goodstein J. Rihard Feynman and the History of Superondutivity. Physis in Perspetive Vol., pp , 000. [4] Trisone J.-M. y Fisher O. Las Superredes de Superondutores. Mundo Científio No. 35, Vol. 3, pp , 993. [5] Navarro Chávez O. y Baquero Parra R. Ideas Fundamentales de la Superondutividad. UNAM. Morelia

84 84 Superondutividad y Dinámia no lineal

85 Alberto Franiso Sandino Hernández Capítulo 4 Efeto Josephson 4. Introduión El físio británio Brian David Josephson predijo en 96 un efeto muy peuliar, onoido omo efeto Josephson[][], el ual onsiste en el flujo de una orriente a través de un dispositivo (unión o juntura Josephson) aun uando no se aplique una diferenia de potenial. Existen distintos tipos de uniones pero en este trabajo estudiaremos la de tipo túnel, que onstan de dos superondutores separados por una onexión débil, la ual puede ser un aislante (superondutor-aislante-superondutor, SIS en inglés), un metal normal (superondutor-normal-superondutor, SNS), un semiondutor, un superondutor débil o ualquier otro material que se aople débilmente a los dos superondutores. El efeto Josephson que se presenta en este tipo de unión es debido al tunelamiento de los pares Cooper a través del material onetor. Superondutor i e Capa aislante Superondutor Figura 4. Esquema simple de una unión Josephson i Cada una de las regiones superondutoras están araterizadas por funiones de onda marosópias e i y e respetivamente. Bajo ondiiones adeuadas se observan efetos asoiados a este fenómeno uántio: i e Efeto Josephson DC: que onsiste en una orriente ontinua que fluye a través de la unión en ausenia de un ampo elétrio o magnétio. Efeto Josephson AC: que onsiste en apliar un voltaje fijo a través de la unión ausando una orriente osilante. Esto dos tipos de efetos los desribiremos posteriormente on más detalle. Por otro lado, las uniones Josephson son apaes de generar voltajes osilatorios de alta freuenia, por lo regular de ilos por segundo y detetan poteniales elétrios de una uatrillonésima parte de volt. Josephson obtuvo el premio Nobel de Físia en 973 junto on Leo Esaki e Ivar Giaever graias a la prediión de este efeto. Un año más tarde, las uniones fueron onstruidas por primera vez por P. W. Anderson y J. M. Rowell. En este apítulo, se realiza una desripión teória del efeto Josephson tomando omo base la ponenia presentada por Rihard Feynman en junio de 964,durante el urso introdutorio de físia del Instituto Tenológio de California (Calteh)[3], y posteriormente inluida en su libro The Feynman Letures on Physis[4]. Figura 4. B. D. Josephson 85

86 Superondutividad y Dinámia no lineal 4. Tunelamiento En físia uántia, el fenómeno de tunelamiento onsiste en partíulas que penetran una barrera de energía potenial, esto no es posible desde el punto de vista lásio, sin embargo, si la partíula es representada por medio de una funión de onda uántia, la funión puede existir dentro de la barrera de potenial y posteriormente enontrarla del otro lado on probabilidad finita. De manera general, el tunelamiento entre dos superondutores separados por una apa de material aislante, es posible si esta es lo sufiientemente delgada. En esta situaión, los dos superondutores tienden a alinear su energía de Fermi, ya que ada uno tiene su respetiva energía. El tunelamiento de partíulas suede uando un par de Cooper se disoia en dos eletrones independientes, permaneiendo uno de ellos en el primer superondutor omo partíula exitada mientras que el otro eletrón atraviesa la barrera haia el segundo superondutor oupando un estado exitado. Durante este proeso se onserva la energía (Fig. 4.3). En ambio, en el efeto Josephson se lleva a abo un aso espeial de tunelamiento, ya que se produe uando los pares de Cooper atraviesan la apa que oneta a ambos superondutores sin disoiarse, provoando una orriente de tunelamiento onoida omo orriente Josephson de pares o superorriente. Para que se lleve a abo este efeto, el anho de la apa debe ser del orden de magnitud de la longitud de oherenia del superondutor (suponiendo que la unión está onformada por dos superondutores hehos del mismo material). La longitud nos da una idea de la distania promedio a la que se enuentran los dos eletrones que onforman el par. 4.3 Las relaiones Josephson Figura 4. 3 Tunelamiento de un eletrón (fleha negra) entre dos superondutores a través de una apa aislante. A ontinuaión, obtendremos las expresiones que desriben al efeto Josephson. Para nuestro análisis, onsideraremos un sistema simple y simétrio, es deir, que el material es el mismo en ambos lados de la unión y supondremos que no existe ampo magnétio. Sea la amplitud de probabilidad para enontrar un par de Cooper de un lado y la amplitud de probabilidad para enontrarlo en el otro lado. Dado que el aoplamiento entre los superondutores es muy débil, el vetor de estado que desribe al sistema aoplado se puede esribir en una forma simple (4.) La densidad de arga i en el i-ésimo superondutor de la unión, desrito por el estado i, está definida omo i i i i, i,. (4.) La euaión de Shrödinger para el vetor estado es i H t (4.3) 86

87 Alberto Franiso Sandino Hernández on hamiltoniano H H H Hint. (4.4) donde H U i i, i, (4.5) i i y el aoplamiento entre los superondutores está representado omo Hint K. (4.6) Tomando en uenta el produto interno de la euaión (4.3) on los estados y nos da las euaiones de movimiento de los dos superondutores débilmente aoplados. t t i U K i U K (4.7) En el término de aoplamiento entre ambos lados, aparee la onstante K que es la probabilidad de que pueda haber filtraión de un lado a otro. Si K es nula, estas euaiones desribirían simplemente el estado de energía más bajo (on energía U) de ada superondutor. Si onetamos los dos superondutores a las terminales de una batería para que haya una diferenia de potenial V en la unión, entones, U U = ev. Por onvenienia, definimos el ero de energía a la mitad de esta antidad, entones las euaiones (4.7) toman la siguiente forma: t t i ev K i ev K (4.8) Así obtenemos un sistema de euaiones aopladas para dos estados uántios. Tomando en uenta la forma de la funión de onda para ada estado e i e i (4.9) donde, son las fases y, son las densidades de arga de ada lado. Sustituimos las expresiones (4.9) en las euaiones (4.8) y obtenemos uatro expresiones al igualar las partes real e imaginaria K sen K sen (4.0) 87

88 Superondutividad y Dinámia no lineal K K ev os ev os (4.) donde denotamos por = a la diferenia de fase. Las euaiones (4.0) desriben el tipo de orriente que omenzaría a irular en la unión desde un lado al otro, la ual es simplemente Js, es deir, J s K sen. (4.) Esta densidad de orriente es debida a los pares de Cooper y la denotaremos omo densidad de superorriente. Una situaión a onsiderar es que la superorriente argaría pronto un lado de la unión y desargaría al otro; para evitar esto y lograr un estado estaionario, ambos lados deben estar onetados a una fuente de potenial. La orriente debida a la fuente no han sido inluida en las euaiones, si la inluimos y no varían y la orriente a través de la unión ontinua siendo dada por la euaión (4.). Como y permaneen onstantes, deimos que = = 0 y definimos la densidad de orriente rítia J = K 0 /. Así, la euaión (4.) la expresamos de la siguiente forma: J s J sen (4.3) que obtendrá valores omprendidos entre J y J. Otra manera de expresar (4.3) es en términos de una orriente I s y una orriente rítia I. Reordemos que en general la orriente está relaionada on la densidad de orriente J omo I J S d S donde S es la superfiie por la que atraviesa el flujo de densidad de orriente. Si onsideramos que los vetores J y ds tienen la misma direión,, I J ds J ds sen I sen s s S S entones la expresión (4.3) puede resribirse omo I s I sen (4.3a) donde se ha denominado a la integral de superfiie de J omo la orriente rítia I. Cabe resaltar que I es un parámetro experimental importante del dispositivo que puede alterarse tanto por la temperatura omo por un ampo magnétio apliado. Por otro lado, si definimos y haemos uso del segundo par de euaiones (4.), llegamos a la siguiente expresión: ev. (4.4) 88

89 Alberto Franiso Sandino Hernández e donde es onoida omo la onstante de Josephson y es inversamente proporional al uanto de 0 flujo magnétio 0 ; la soluión de (4.5) es t 0 e t 0 V t dt (4.5) donde 0 es el valor de a t = 0. Las euaiones (4.3a) y (4.4) son un resultado importante de la teoría para la unión entre superondutores y son onoidas omo las relaiones Josephson. 4.4 Efetos Josephson DC y AC A ontinuaión, proederemos a analizar las onseuenias de las relaiones Josephson en el omportamiento de la unión uando se aplia una diferenia de potenial en distintas formas dando origen a los efetos Josephson DC y AC Potenial nulo El primer aso a analizar es aquel en ual no se aplia un voltaje V sobre la unión. Entones, la diferenia de fase dada por (4.5) es t 0 (4.6) que al sustituir en (4.3), da omo resultado que I s I sen, (4.7) 0 es deir, aún en ausenia de una diferenia de potenial irula una superorriente onstante en la unión y obtendrá un valor omprendido entre I y I, esta situaión es onoida omo Efeto Josephson DC Potenial onstante El segundo aso onsiste en apliar un potenial onstante V 0 de orriente ontinua. La diferenia de fase dada por (4.5) es e V t (4.8) t 0 0 entones, la expresión (4.3) se expresa omo e Is I0sen0 V0t e e I0 sen0 os V0t os0sen V0t (4.9) uya freuenia de osilaión es J = ev 0 /ħ y se le denomina omo la freuenia Josephson. Debido a que es una magnitud pequeña omparada on voltajes y tiempos transurridos, el seno y el oseno osilan muy 89

90 Superondutividad y Dinámia no lineal rápidamente y su promedio temporal 5 durante un ilo es ero, así la superorriente promedio resultante es nula IS 0. Sin embargo, esto no quiere deir que no irule orriente alguna en la unión, ya que a temperaturas distintas de ero habrá rompimiento de algunos pares de Cooper provoando una pequeña orriente debida a la onduión de eletrones normales; onforme la temperatura vaya en aumento esta orriente ya no será despreiable y tendrá mayor presenia en la unión Potenial de muy alta freuenia Como terer aso a estudiar es la apliaión un voltaje de muy alta freuenia además del voltaje onstante V 0, es deir 0 os V t V v t (4.0) donde v << V 0. Así, la diferenia de fase obtenida por medio de la euaión (4.5) se expresa omo e ev t 0 V0t sent (4.) entones la intensidad de superorriente es e ev I I sen V t sent s 0 0. (4.) Para x pequeño, la funión seno de una suma de argumentos se puede expresar omo sen x x senx x sen x x senx x x. Al apliar esta aproximaión a la expresión os os os e (4.) on x 0 V0t ev tenemos que y x sent e ev 0 0 os e Is I sen V t sen t 0 V0t (4.3) El promedio temporal del primer término es ero, entones lo depreiamos y haemos uso de la identidad os a b os a os b sen a sen b, así 5 Sea una funión f = f(t), su promedio temporal se define omo: f lim f ( t) dt 0, si f(t) es periódia on periodo T, entones = nt, el promedio temporal esta dado omo: nt T T f lim f tdt lim n f tdt f tdt n nt n nt T Así T f f t dt f T 0. Los paréntesis indian un promedio temporal de una funión periódia. 90

91 Alberto Franiso Sandino Hernández ev e Is I sent os0 V0t ev e e I sent os0 os V0t sen 0sen V0t ev e I sen t V t ev e I sent sen0sen V0t no lo es, siempre y uando A su vez, el promedio del término os0os 0 (4.4) también es nulo pero el del término e V (4.5) 0 J Esto quiere deir que para poder lograr que irule una superorriente en la unión, es neesario que el voltaje V de la expresión (4.0) osile a la misma freuenia J que la superorriente, provoando un fenómeno de resonania. También abe menionar que la expresión (4.5) nos die que un fotón de energía = ev 0 es emitido o absorbido uando un par de Cooper atraviesa la barrera[5]. Los dos últimos asos estudiados dan origen al Efeto Josephson AC, debido a que se está apliando un voltaje tal que irula una superorriente osilatoria en la unión. 4.5 La importania del fenómeno de oherenia Hemos visto a lo largo de este trabajo que a pesar de que la superondutividad fue desubierta en 9, tuvo que pasar muho tiempo para estableer el onepto moderno del estado superondutor de la materia. Los prinipales logros fueron el desubrimiento del efeto Meissner, la formulaión de teorías fenomenológias omo la de los hermanos London y la de Ginzburg y Landau, así omo también la deduión de la teoría mirosópia por parte de Bardeen, Cooper y Shrieffer. Sin embargo, la prediión teória y la observaión experimental del fenómeno de oherenia (o "uántia marosópia") en los superondutores es fator determinante para la formulaión final del onepto, debido a que una oherenia marosópia de los pares de Cooper es la base de todas las propiedades inusuales observadas en los superondutores. Para todo tipo de material, los portadores de arga se mueven de auerdo a las leyes de la meánia uántia. Si onsideramos una aproximaión en la ual las partíulas interatúan débilmente y los efetos de espín son despreiables, el movimiento puede ser desrito en términos de la euaión ordinaria de Shrödinger d i H (4.6) dt i t donde r, r, t e es la funión de onda de una partíula y H es un hamiltoniano. En el estado estaionario puede onsiderarse onstante y H puede ser sustituido por la energía E de la partíula, esto nos lleva a una forma simple de (4.6): d E dt (4.7) Así, el problema se redue a la soluión de una euaión para la fase de la funión de onda. Reordemos que en un material superondutor, el par de Cooper es un estado ligado de dos eletrones on momentos y espines opuestos. Su espín total es nulo, por lo que el par obedee la estadístia de Bose-Einstein 9

92 Superondutividad y Dinámia no lineal y se ondensan en el nivel más bajo de energía (básia) a bajas temperaturas. Como resultado, las razones d/dt son iguales para todas las partíulas. Además, los pares de Cooper son de tamaño relativamente grande 0 ~ 0 4 m, muho más que la separaión media entre los pares que es del orden de aproximadamente 0 7 [6]. En otras palabras, las funiones de onda de los pares de Cooper están fuertemente superpuestas. Como resultado de estos dos fatores, todos los pares en un punto dado dentro de un superondutor resultan estar enadenados en fase y pueden ser desritos por una funión de onda únia, onoida omo parámetro de orden en la teoría de Ginzburg-Landau. En otras palabras, un ondensado oherente superondutor más que ser un onjunto de pares de Cooper es el responsable de la orriente elétria en los superondutores. La fase de la funión de onda no se anula durante la sumatoria sobre todas las partíulas omo en el aso de los materiales no superondutores, por lo que las variables marosópias, en partiular la orriente, pueden depender de, que ambia de la manera uántia planteada en (4.7) bajo la aión de un ampo eletromagnétio que ontribuye a E. Esta dependenia uántia no sólo ondue a la resistividad nula del superondutor y al efeto Meissner, sino también a varios efetos oherentes muy espeífios omo la uantizaión del flujo magnétio y el efeto Josephson. Este último desrito por las relaiones Josephson: a I s I sen e b V (4.8) Mostraremos que el efeto Josephson es una onseuenia direta de la oherenia del ondensado uántio superondutor, para ello, onsideramos los puntos y dentro de ada uno de los dos superondutores que onforma la unión. La euaión (4.7) para ada uno de los puntos es d E dt d E dt (4.9) al restarlas se obtiene: d E E (4.30) dt donde =. El lado dereho de (4.30) es la diferenia de energía de los pares de Cooper oloados en los puntos y, que solamente puede existir si hay una diferenia de potenial V entre estos puntos: E E ev (4.3) si sustituimos (4.30) y (4.3), llegamos a la relaión Josephson (4.8b). Para obtener la relaión Josephson (4.8a) por medio del argumento de la oherenia de superondutor ondensado, supondremos que la orriente que irula a través de una unión Josephson depende de la densidad de pares de Cooper en los eletrodos (los superondutores que onforman la unión Josephson) y es lo sufiientemente pequeña tal que no ambia de manera onsiderable, sin embargo, las fases y pueden ambiar sin influir en el estado físio de los superondutores. Entones, la orriente de pares de Cooper o superorriente está relaionada úniamente on la diferenia de fase, de modo tal que I s = I s (). Esta funión debe ser periódia en debido a que si alguna de las fases i (i=,) realiza un ambio durante este intervalo se obtiene exatamente la misma, es deir, el mismo estado físio de los eletrodos, por lo que I s I s 9

93 Alberto Franiso Sandino Hernández Finalmente, en ausenia de superorriente ambos eletrodos se omportan omo un solo superondutor no perturbado debido a que sus fases y son iguales, por lo tanto: I 0 I n 0 s s donde se puede demostrar fáilmente que I s (+n) también se anula. Estos argumentos muestran que es posible esribir I s de la siguiente forma: I I sen I sen m s m m (4.3) para el aso general. La teoría formal del efeto Josephson muestra que en la mayoría de los asos, todos los términos de la sumatoria en (4.3) se pueden despreiar, obteniéndose (4.8a). 4.6 Propiedades de la superorriente Las relaiones Josephson (4.8) son muy inusuales desde el punto de vista eletrodinámio, debido a que la superorriente presenta propiedades distintas a las de una orriente ordinaria, por esta razón realizaremos un análisis alternativo de estas relaiones para dejar más laro las propiedades básias de la superorriente El estado estaionario Como hemos visto, aún en ausenia de un voltaje V habrá una superorriente fija en la unión on una diferenia de fase onstante Is n arsen n I donde I I s I. Por lo tanto, si la superorriente no es muy intensa no habrá una aída de voltaje a través de la unión. Esta situaión es onoida omo estado estaionario o superondutor Almaenamiento de energía Debido a que en el estado estaionario el voltaje es nulo, la energía no se disipa y parte de ella se almaena dentro de la unión. Para onoer uánta energía se almaena onsideramos un proeso en el ual un sistema externo provoa un ambio en la diferenia de fase de a, realizando así un trabajo W sobre la superorriente: t I s e t W I Vdt send I e E p os os E p (4.33) donde se hizo uso de las relaiones Josephson (4.8). En la expresión (4.33) se puede observar que este trabajo solo depende de los valores iniial y final de la diferenia de fase y además sugiere que la energía potenial de la superorriente es dada por 93

94 Superondutividad y Dinámia no lineal I I Ep send os E os (4.34) e e donde 0 I E. (4.35) e Indutania no lineal Josephson La onservaión y almaenamiento de energía en la unión apuntan a que se puede onsiderar la existenia de una reatania no lineal. Para expliar el aráter de esta reatania, se onsidera una pequeña variaión de un proeso arbitrario (t) tal que +, al sustituir esto en las relaiones Josephson (4.8) se enuentra: e V ; I s I os ombinando estas euaiones se llega a la siguiente relaión: d I dt s ei Is osv V (4.36) L s de donde la relaión entre las variaiones de voltaje y superorriente está dada por I s Vdt L (4.36b) s mostrando que la unión se omporta omo una indutania no lineal, donde os, on L (4.37) L L ei s Con esta expresión se muestra que para una señal débil la superorriente es equivalente a una indutania L s que depende de los proesos básios en la unión y que denominamos omo indutania no lineal Josephson. Una propiedad inusual de esta indutania es que puede tomar valores negativos en los intervalos / + n < < 3/ + n Osilaiones Josephson El heho de que la indutania Josephson pueda tomar valores negativos la hae una araterístia muy espeial frente a una indutania normal. Una manera de mostrar la diferenia entre ambas indutanias es onsiderar un voltaje onstante V 0 a través de la unión; de la expresión (4.8b) se enuentra que varía linealmente on el tiempo: e V t onst t onst (4.38) 0 J y (4.8a) muestra que la superorriente osila on una freuenia J que es proporional a V 0 (euaión (4.5)). En ambio, en una indutania normal la orriente solamente puede inrementarse gradualmente. El 94

95 Alberto Franiso Sandino Hernández fenómeno de osilaiones Josephson fue prediho en el artíulo original de 96[][] y se enuentran presentes en la mayoría de los proesos en la unión, por lo ual deben tomarse en uenta para ualquier onsideraión dinámia. Cabe destaar que la razón entre freuenia Josephson y voltaje es extremadamente alta, de auerdo on la expresión (4.5): J e 483 MHz/ V V 0 0 (4.39) donde la freuenia J es del orden de 0 9 a 0 3 Hz a voltajes típios de 0 6 a 0 V. 4.7 Otras omponentes de la orriente total En general, la orriente total que irula a través de la unión Josephson, no solamente está ompuesta de la superorriente I s sino también están presentes una orriente de desplazamiento I d y una orriente ordinaria I n debida a eletrones libres, así omo también de una orriente I f debida a flutuaiones. A ontinuaión, daremos una desripión breve de ada una de estas ontribuiones Corriente Normal I n Cuando la temperatura T 0, siempre habrá movimiento térmio de argas uya energía es del orden de k B T, donde k B es la onstante de Boltzmann. Este movimiento térmio provoa el rompimiento de algunos pares de Cooper aumentando la presenia de eletrones libres en el sistema. Cuando la unión se enuentra en el estado estaionario, el voltaje a través de esta es nulo y los eletrones libres no ontribuyen a la orriente total. Sin embargo, uando la diferenia de fase ambia on respeto al tiempo y el voltaje no es nulo, entones aparee una orriente de eletrones libres o orriente normal I n, por lo que la unión se enuentra en un estado resistivo. Hay dos propiedades generales a onsiderar de esta orriente normal: ) Cuando la temperatura T es menor pero erana a la temperatura rítia T de un superondutor, la energía de aoplamiento de los pares Cooper E g = (T) es muho menor a k B T, dando omo resultado la disminuión de los pares y aumentando la onentraión de eletrones normales a un valor erano al del estado normal uando T > T. Como se ha disutido al final del apítulo 3. ) Si el voltaje a través de la unión es muho mayor que el voltaje asoiado a la energía de la breha V g T T e, (4.40) entones los pares de Cooper que se enuentran en uno de los eletrodos de la unión se rompen, y uno de los eletrones perteneientes a ada uno de los pares rotos pasan al otro lado, produiéndose así una orriente de tunelamiento. En ambos asos, si T aumenta aerándose a T la onentraión de eletrones libres ontinuará en aumento y el omportamiento de la unión tenderá a uno de tipo óhmio, es deir, por lo que la relaión entre la orriente total y el voltaje suministrado es erana a la ley de Ohm: I n V. (4.4) R Esto permite definir un voltaje araterístio de la unión omo el produto V RI. (4.4) 95

96 Superondutividad y Dinámia no lineal Usando la teoría mirosópia del efeto Josephson, se enuentra que el máximo valor del voltaje araterístio es del orden de 3 kt B que es erano a 3 mv para superondutores típios que se utilizan en las uniones e Josephson omo el plomo (Pb) o el niobio (Nb). También podemos definir on este voltaje V, una freuenia araterístia f a partir de la expresión (4.5): e V V f 0 (4.43) donde V f (4.44) 0 uyo valor se enuentra ligeramente por enima de 0 Hz para superondutores típios. Si reesribimos (4.43) usando (4.37), demostramos que es igual al inverso del tiempo de relajaión de un iruito elétrio onformado por dos elementos on resistenia R e indutania L respetivamente: eri R L Trelax ω L R (4.45) 4.7. Corriente de desplazamiento I d La orriente de desplazamiento puede ser de gran importania en situaiones donde no solamente V sea nula sino también V. Aunque esta orriente no fluya diretamente a través de la unión, debe tomarse en uenta junto on las orrientes I n y I s. Además la unión Josephson, en ierta medida, forma un ondensador de plaas paralelas superondutoras separadas por un material aislante o normal el ual desempeña el rol de dielétrio, por lo que tiene sentido hablar de una orriente de desplazamiento I d omo una aportaión a la orriente total, y que se representa omo Id CV. (4.46) La apaitania C de este dispositivo es la misma tanto en la fase normal omo en la fase superondutora y es dada por la siguiente expresión, en oordenadas gaussianas: A C r 4 d (4.47) donde r es la onstante dielétria relativa de la apa que separa a los dos superondutores, A el área de las plaas superondutoras y d la separaión entre ellas. Reordemos que d debe ser del orden de magnitud de la longitud de oherenia de los superondutores (suponiendo que ambos son del mismo material), para que se lleve a abo el tunelamiento de los pares Cooper a través del dielétrio. En la prátia, la magnitud relativa de la orriente de desplazamiento es más importante que el valor de la apaitania. Esto se hae evidente, si realizaremos una estimaión de las amplitudes de la orriente normal, la orriente de desplazamiento y la superorriente en un proeso on freuenia para ompararlas entre sí. De (4.36b) se tiene que uando V=V 0 ost, la superorriente está dada por V 0 Is sen t V0 os t L L (4.48) 96

97 Alberto Franiso Sandino Hernández V de manera que 0 Is. L Por otra parte, para la orriente normal tenemos que por la euaión (4.4) In V0 ost (4.49) R por lo que I n V0 R y la expresión (4.46) dentro de esta estimaión toman la siguiente forma Id CV 0( sent ) CV 0os t (4.50) Por (4.48) y (4.50) tenemos: I I s d P LC donde hemos definido la freuenia del plasma de la unión omo ei p (4.5) L C C de manera que uando p, (4.5) la superorriente es mayor que la orriente de desplazamiento. Por (4.49) y (4.50) tenemos que: In I RC d donde n = RC es la onstante de tiempo de un iruito elétrio RC. De forma que uando, (4.53) n la orriente normal es mayor que la orriente de desplazamiento. De las definiiones anteriores y la definiión de la freuenia araterístia dada por la euaión (4.45) obtenemos: n RC. (4.54) p 97

98 Superondutividad y Dinámia no lineal Las expresiones (4.5) y (4.53) nos muestran la forma de araterizar el efeto de la apaitania en todas las freuenias hasta, a partir de esto se define el siguiente parámetro adimensional RC e p n I R C (4.55) p introduido por primera vez por MCumber y Stewart. Cuando <<, la unión tiene una apaitania pequeña, o diho en términos dinámios, una alta amortiguaión. En ambio, >> se refiere a una unión on apaitania grande o bajo amortiguamiento. En el siguiente apítulo disutiremos on más detalle sobre estas situaiones. Por último, si la diferenia de fase ambia on el tiempo y V 0, entones la energía debida al ampo elétrio es: ei I E p p p EE CV C e e e (4.56) donde se hizo uso de (4.8b), (4.35) y (4.5) Corriente debida a flutuaiones I f (t) La orriente I f (t) está asoiada a las flutuaiones aleatorias debidas al aráter resistivo de la orriente normal I n, tales omo el ruido térmio y el ruido de disparo. El primer tipo de ruido se origina por la agitaión térmia de los eletrones, mientras que el segundo aparee uando el número de eletrones es lo sufiientemente pequeño para dar lugar a flutuaiones estadístias. Las orrientes I s e I d son de aráter reativo y por lo tanto no ontribuyen a estos tipos de ruido. Las flutuaiones o ruidos pueden tomarse en uenta usando el método de Langevin, que onsiste en inluir en la euaión del sistema una orriente aleatoria adiional que desriba a las flu - tuaiones. Para el aso de la unión de Josephson, la euaión de Langevin surge de la suma de todos las omponentes de la orriente total junto on la orriente flutuaión I f (t). Entre los valores de I f (t) a diferentes tiempos existe una orrelaión, esto signifia que los valores de I f (t) afetan la probabilidad de los diferentes valores de la orriente al tiempo t+, esta orrelaión temporal se arateriza por el valor medio del produto I f (t)i f (t+). El promedio es tomado sobre las probabilidades de todos los valores que la orriente puede tomar al tiempo t y al tiempo t+. De esta manera, la antidad obtenida uando las flutuaiones son estaionarias solamente depende de, que designaremos omo omo la funión de orrelaión (): I t I t (4.57) Por otro lado, la transformada de Fourier para la variable I se define omo: it I I te dt (4.58) y su relaión inversa es entones: it I t Ie d (4.59) 98

99 Utilizando esta expresión dentro de (4.57) se enuentra: Alberto Franiso Sandino Hernández it t (4.60) I I e d d Como el proeso es estaionario, el lado dereho de esta euaión debe de ser una funión de = t t, lo ual se umple solamente uando el integrando ontiene una funión de +, esto requiere que: I I I (4.6) Esta relaión define la antidad I que es real a pesar de que I y I son omplejas. Introduiendo esta euaión en la funión de orrelaión y realizando la integraión on respeto a, tenemos: i I e d (4.6) En partiular, (0) es el valor uadrátio medio de la orriente flutuante, o sea: 0 I I d (4.63) Por otra parte, de (4.6) vemos que la transformada de Fourier de la funión de orrelaión es la antidad: i I e d (4.64) Al onsiderar la orriente I(t) omo funión del tiempo, estamos suponiendo que tiene un omportamiento lásio. Sin embargo, las expresiones obtenidas pueden esribirse de tal manera que son apli a- ble a antidades uántias. Para esto, en vez de onsiderar I(t) tomamos en uenta su respetivo operador uántio Î y su omponente de Fourier: ˆ ˆ it I I te dt (4.65) Los operadores Î(t) y Î(t ), por lo general no onmutan, por lo que la relaión de orrelaión debe definirse omo: I ˆ t I ˆ t I ˆ t I ˆ t ' ' donde los paréntesis indian promedio respeto de las probabilidades uántias. La magnitud introdue por medio de la siguiente expresión: (4.66) I se ˆ ˆ * ˆ * ˆ ' I I I I I (4.67) Con esto las expresiones (4.6), (4.63) y (4.64) onservan su forma. 99

100 Superondutividad y Dinámia no lineal * I' I ' En resumen, la intensidad de I f (t) está arateriza por la orrelaión de sus omponentes de Fourier, donde el paréntesis india el promedio estadístio sobre todo el ensemble y el asteriso señala el omplejo onjugado. De auerdo a la transformada de Fourier, la densidad espetral de un proeso estaionario es * * SI ' II ' I ' I (4.68) que está definida para freuenias tanto positivas omo negativas, de manera que el valor uadrátio medio en un intervalo d para freuenias físias (freuenias positivas) es I S d I d SI d SI d (4.69) Como se menionó al iniio de esta seión, la orriente I n es de aráter disipativa y responsable de al menos dos tipos de flutuaiones lásias: el ruido térmio y el ruido de disparo dentro las uniones Josephson. Nos enfoaremos en desribir estos tipos de ruido para algunos asos límites senillo, esto debido a que las expresiones exatas para las flutuaiones pueden ser bastante omplejas. RUIDO TÉRMICO Para las flutuaiones térmias la densidad espetral está dada por la fórmula Johnson-Nyquist[7]. S I kt B onst R (4.70) que es válida para el omportamiento óhmio dado por la expresión (4.4) on la ondiión adiional k T ev, k T B B La intensidad relativa de las flutuaiones térmias se puede araterizar por el parámetro adimension al dado por la razón entre la energía térmia k B T y la energía E de la superorriente: kbt ekbt IT (4.7) E I I donde se ha definido una orriente térmia I T =(e/ħ)k B T (0.04 A/K)T. Por lo tanto, si I >> I T, es deir, I = 0.5 ma a T = 4 K, la influenia de las flutuaiones térmias será pequeña. RUIDO DE DISPARO Ahora, si el voltaje a través de la unión es grande, tal que ev k T, ev, B es deir, V 0.5 mv a T = 4 K, entones el ruido de disparo adquiere mayor importania y es posible utilizar la fórmula de Shottky[6]. SI ein onst (4.7) 00

101 Alberto Franiso Sandino Hernández RUIDO EXCEDENTE A bajas freuenias, aparee otro tipo de ruido onoido omo exedente, ruido / f o efeto de parpadeo que puede llegar adquirir la misma importania junto on el ruido térmio y el de disparo, sin e m- bargo, la naturaleza físia de /f aún no está muy lara, inluso para los sistemas termodinámios en equilibrio. Este tipo de ruido onviene desribirlo por medio de las flutuaiones de los parámetros del sistema que por una fuerza de Langevin I f (t). Para altas freuenias entre deimas de Hz hasta ientos de khz, el límite superior de /f es relativamente bajo, por lo que su efeto neto en la unión Josephson es insignifiante omparado on los otros tipos de ruido. Cabe destaar que en la prátia, algunos di s- positivos toman señales de salida útiles de las uniones Josephson a bajas freuenias, por lo que estas pueden ser seriamente ontaminadas por el ruido /f obligando a tomar algunas ontramedidas, omo la modulaión de la señal. RUIDO EXTERNO Por último, algunas fuentes de ruido externas omo las estaiones de radio y televisión, así omo ta m- bién las líneas de suministro de energía elétria ontribuyen a la orriente de flutuaiones I f. Las freuenias típias de sus señales son, por lo regular, muho menores que la freuenia araterístia de la unión Josephson, lo que hae que el análisis de estas flutuaiones se simplifique bastante. Pa ra onoer la influenia de estas flutuaiones de baja freuenia sobre la unión, alulamos primero el promedio de una antidad F omo funión de la orriente I suministrada por una fuente de potenial: f, L f f (4.73) F I I F I I di Este promedio se realiza sobre todos los valores posibles de la orriente efetiva I + I f. La funión (I f, I L ) es la densidad de probabilidad de I F, que por lo regular puede onsiderarse omo una distribuión gaussiana normal: I f IL I f, IL e (4.74) I L donde I L es la amplitud efetiva del ruido externo. Por otro lado se ha observado, de manera general, en montajes experimentales que I L I T De tal manera que podemos despreiar el efeto de las fuentes externas sobre las uniones Josephson. Referenias [] Josephson B. D. Possible New Effets in Superondutive Tunneling. Physis Letters Vol., No. 7, pp. 5-53, July 96. [] Josephson B. D. The Disovery of Tunnelling Superurrents. Nobel Leture. De [3] Goodstein D. and Goodstein J. Rihard Feynman and the History of Superondutivity. Physis in Perspetive Vol., pp , 000. [4] Feynman R. Físia Vol. III, Meánia Cuántia, Addison-Wesley Iberoameriana, 987. [5] Kittel C. Introdution to Solid State Physis, 7 th Edition, John Wiley & Sons, In.996. [6] Likharev, K. K. Dynamis of Josephson Juntions and Ciruits. Gordon and Breah Siene Publishers. Glasgow

102 Superondutividad y Dinámia no lineal [7] Davenport W. B. and Root W. L. An Introdution to the Theory Random Signals and Noise. IEEE-Wiley Intersiene. New York

103 Alberto Franiso Sandino Hernández Capítulo 5 La unión Josephson vista omo un sistema dinámio 5. Introduión Para entender las propiedades inusuales de la superorriente se busan análogos meánios senillos que desarrollen una mejor omprensión de la dinámia de las uniones Josephson. Un primer análogo es un péndulo meánio plano en un ampo gravitatorio uniforme, donde la diferenia de fase desempeña el papel de ángulo de osilaión del péndulo; en esta analogía la superorriente es omparable a la tora y el voltaje V es proporional a la veloidad angular del péndulo. Otra analogía útil es una partíula meánia en movimiento a lo largo de la oordenada en un ampo periódio on rapidez v proporional al voltaje V. Sin embargo, hemos visto que la orriente total que irula a través de la unión Josephson no solo está ompuesta de la superorriente sino también de la orriente normal, la de desplazamiento y la de flutuaiones. En el apítulo anterior realizamos un análisis de estas omponentes y enontramos que existe una relaión entre las freuenias y p on las antidades araterístias de los iruitos elétrios omo el tiempo de relajaión L /R o la onstante de tiempo RC, además se demostró que la superorriente es equivalente a una indutania no lineal en iertas ondiiones, por lo que todo esto nos ondue a un terer análogo: un iruito elétrio uyos elementos están araterizados por una resistenia R, una apaitania C y una indutania L. Los primeros en proponer esta analogía fueron W. C. Stewart y D. E. MCumber en 968 y es onoida omo Resistively and Capaitively Shunted Juntion (RCSJ)[][][3], la ual onsiste en un iruito elétrio uyos elementos están onetados en paralelo. Graias a este modelo, es posible obtener la relaión existente entre la orriente I y el voltaje V presentes en la unión. Para ello, realizaremos un análisis dinámio del efeto Josephson, a partir de este modelo para tres asos distintos: onservativo, resistivo y altamente resistivo. 5. Ciruito elétrio equivalente Como se vio en el apítulo anterior, la orriente total I está onformada por uatro omponentes: la orriente normal I n, la de desplazamiento I d, la superorriente I s y la debida a flutuaiones I f. Por lo que las euaiones básias de la unión Josephson son: a I I I V I V I t bv e s n d f (5.) Este onjunto de euaiones permiten alular I(t) siempre y uando V(t) sea onoida y vieversa. La soluión de este sistema de euaiones ya no es un problema de la físia del estado sólido sino un problema dinámio, en el ual nos enfoaremos en este apítulo. Para nuestro estudio dejaremos de lado ualquier tipo de ruido en la unión, es deir, onsideramos I f (t) depreiable. Por lo tanto, expresamos la orriente total de la siguiente manera: I I V I V I, (5.) d n s 03

104 Superondutividad y Dinámia no lineal de la ual podemos deduir una euaión de movimiento por medio de las leyes de Kirhhoff, ya que esta expresión sugiere que la unión puede representarse a través de un iruito equivalente uyos elementos se enuentran onetados en paralelo (Fig. 5.). Figura 5. Esquema de una unión Josephson omo un iruito elétrio En este tipo de iruito, la aída de voltaje en ada rama es igual al voltaje V administrado a la unión, sin embargo, las orrientes que irulan en ada elemento son distintas. Si sustituimos las expresiones (4.4), (4.46) y (5.a) en (5.) obtenemos lo siguiente: V CV Isen I. (5.3) R Esta euaión puede ser reesrita en términos de la diferenia de fase, haiendo uso de la expresión (5.b): C Isen I. (5.4) e er Graias a esta expresión, podemos estudiar a la unión Josephson omo un sistema dinámio no lineal y es similar a la euaión de un péndulo amortiguado dirigido on una tora onstante (ver Apéndie A). 5.3 Formulaión adimensional Para failitar nuestro estudio, vamos a adimensionalizar la euaión (5.4), multipliándola por I, de esta manera obtenemos: C I sen (5.5) ei ei R I Si la expresamos en términos de las freuenias y p, tenemos: I sen (5.5a) I p Definimos ahora, un tiempo adimensional : t (5.6) T 04

105 Alberto Franiso Sandino Hernández donde T es un tiempo araterístio, que definiremos más adelante. Haiendo uso de la regla de adena obtenemos las siguientes derivadas: d d d d dt d dt T d (5.7) y d d d d dt d dt T d (5.8) Sustituyendo ambas expresiones en la euaión (5.5a), obtenemos la forma adimensional de (5.4): d d I sen T d T d I p (5.9) El término on d /d está asoiado on la orriente de desplazamiento, el término que inluye d/d on la orriente ordinaria y sen es la superorriente en su forma adimensional. Las antidades dentro de los paréntesis son onoidas omo grupos adimensionales. La expresión (5.9) es una euaión diferenial de segundo orden que no es fáil de resolver por lo que se requiere de métodos numérios y ualitativos para obtener una soluión aproximada. Uno de los pioneros en el estudio de esta euaión fue Franeso Triomi en 933[4], muho antes del desubrimiento del efeto Josephson y de la presentaión del modelo RCSJ, logrando solamente una desripión ualitativa de la soluión de la misma. A ontinuaión realizaremos un análisis de la misma en tres asos distintos: onservativo, resistivo y altamente resistivo. 5.4 Caso onservativo El primer aso que analizaremos es uando la orriente normal I n es despreiable on respeto a las demás orrientes. Reordemos que I n es la orriente debida a eletrones libres, por lo que está representa desde el punto de vista dinámio un amortiguamiento al sistema, mismo que provoa una disipaión de energía. Cuando I n es despreiable, el número de pares Cooper es mayor en omparaión on el número de eletrones libres y además la energía del sistema se onserva Grupo adimensional y esala de tiempo T Para llevar a abo el análisis de este aso, primero reesribiremos la euaión (5.9) de tal manera que el segundo término sea despreiable on respeto a los otros, que a su vez se onsideran del mismo orden de magnitud. Como las derivadas y el sen son de orden uno O(), requerimos que se umpla lo siguiente: a) O() T p b) T (5.0) A partir del primer requisito igualado a se define una esala de tiempo T en ual este aso onservativo es posible: 05

106 Superondutividad y Dinámia no lineal T. (5.) T p p Si sustituimos T en el segundo requisito, se obtiene una ondiión entre las freuenias p y on la ual podemos onsiderar despreiable a la orriente I n : p p, (5.) A partir de esto, definimos el siguiente grupo adimensional: p. (5.3) eir C uyos valores típios dependen del tamaño, la geometría y los materiales utilizados en la unión. Así, la euaión (5.9) toma la siguiente forma: d d I sen d d I (5.4) donde > 0 e I/I 0. Este tratamiento de los grupos adimensionales nos permite despreiar el segundo término al onsiderar 0: d d sen I I. (5.5) Esta expresión puede reesribirse omo un sistema de dos euaiones: a ' y I b y ' I sen (5.6) donde la prima india la derivada on respeto a. El espaio fase natural para este sistema es un ilindro, donde representa una variable angular mientras que y es un número real que representa una veloidad angular; a este tipo de espaio se le denomina omo ilindro fase Conservaión de la energía A ontinuaión, demostraremos que existe una primera integral de (5.5). Primero, multipliamos la segunda expresión (5.6) por y para obtener: I yy ' y ysen 0. (5.7) I que se puede expresar en la forma: d y d I os 0 I (5.8) 06

107 Alberto Franiso Sandino Hernández Por lo que la primera integral está dada por: y I os te (5.9) I Una interpretaión de esta primera integral, onsiste en asoiar el primer término on una energía inétia y el segundo on una energía potenial al definir la onstante de la siguiente forma: y I os E (5.9b) I Para identifiar el término inétio, reordemos que al no haber disipaión, la energía debida al ampo elétrio que se almaena en el ondensador por (4.56) es E E CV E ' E y E. p donde también usamos las expresiones (5.7), (5.) y (5.6a), por lo que el término inétio es: EE K= y E (5.0) I donde E. Para identifiar la energía potenial alulamos el trabajo W que realiza una fuente de voltaje sobre el negativo de la orriente de desplazamiento, o sea sobre I s I, presentes en la unión que provoa un e ambio en la diferenia de fase de a : t I I W Is I Vdt sen d d e e t I I e e E p os os E p (5.) Para este álulo se hizo uso de las relaiones Josephson (4.8). El resultado (5.) sugiere que la energía potenial es: E p I I I e I I os E os (5.) uya forma adimensional es dada por: Ep I U os (5.3) E I de manera que se obtiene la ley de onservaión de la energía dada por la relaión (5.9b). 07

108 Superondutividad y Dinámia no lineal Diagramas fase y de energía potenial A ontinuaión desribiremos el omportamiento de la unión Josephson a través de un análisis ualitativo de la energía total haiendo uso de los diagramas fase y de las gráfias de la energía potenial para distintos valores del parámetro I/I. Para dibujar el diagrama fase del sistema, primero debemos obtener una expresión y = y() que desriba las trayetorias o urvas integrales que lo onforman, para ello resribimos (5.9b) de la siguiente manera: y I I os E. (5.4) Existe una urva integral por ada valor distinto de E y su omportamiento depende del parámetro I/I. Si I os I E 0 el diagrama fase, en ambio si I I E, para un valor de, y() adquiere dos valores que orresponden a dos puntos en os 0 la relaión y() adquiere valores imaginarios, mismos que no se enuentran sobre el diagrama. Graias a la expresión (5.4), podemos dibujar el diagrama fase ompleto del sistema para un valor dado de I/I. CASO I/I C = 0 Comenzamos on el aso de una unión Josephson aislada, es deir, que no se enuentra onetada a una fuente de voltaje que le suministre una orriente I, sin embargo, en esta fluye una superorriente I sen. En el iruito equivalente solo están presente el ondensador y el indutor Josephson onetados en paralelo, dando origen a un iruito tipo tanque en el ual se almaena energía y existe un interambio de la misma entre ambos elementos (Fig. 5.). En términos del efeto Josephson, esto puede interpretarse de la siguiente manera: iniialmente la unión tiene almaenada una antidad de energía E, que en ausenia de una fuente de potenial omenzará a desargarse ediendo esta energía, de manera gradual, a los pares Cooper provoando así una superorriente que irulará a través de este dispositivo. Al no haber disipaión, la unión vuelve a argarse uando la superorriente omienza a ederle energía paulatinamente justo después de Figura 5. Ciruito tanque Josephson que ha alanzado el máximo de energía E, siendo esto un proeso periódio similar a las osilaiones elétrias en un iruito LC 6. En esta situaión, la expresión (5.9b) toma la siguiente forma: os y E (5.5) donde la energía potenial es U os. (5.6) 6 En este tipo de iruito, el apaitor se desarga provoando una orriente que pasa por el indutor generando un ampo magnétio e induiendo una fem, misma que argará al apaitor de nuevo sin pérdida de energía graias a la ausenia de una resistenia. 08

109 Alberto Franiso Sandino Hernández La Fig. 5.3 muestra la gráfia de la energía potenial tanto en el plano omo en el ilindro; en la primera se puede observar los puntos donde U() es máxima y mínima, es deir, máximos: n, mínimos: n n n on n = 0,,,... Como se puede observar tenemos un diagrama de energía potenial similar al de un péndulo simple. U.0.5 E Figura 5. 3 Energía potenial U() para I/I = 0 El omportamiento del sistema dependerá del valor de E, que se representa en el diagrama del potenial on una línea verde. Ante esto, hay tres situaiones a onsiderar: Si 0 < E <, la unión se enuentra totalmente desargada en = 0, onoidos omo puntos de retorno en el aso del péndulo simple, mientras que la superorriente tiene una energía E menor a su máximo de energía potenial U max =. Los puntos de retorno 0 están definidos de la siguiente manera: os os U E E. (5.7) En los puntos mínimos del potenial n, la unión está ompletamente argada on energía E = os 0 y la superorriente se enuentra en su mínimo de energía potenial U min = 0. El interambio de energía entre la unión y la superorriente se lleva a abo dentro del intervalo 0 < <+ 0. Durante este intervalo de energía, se llevan a abo las osilaiones Josephson que en términos dinámios son onoidas omo movimientos periódios de libraión, estos están representados en el diagrama fase (Fig. 5.4) por trayetorias erradas de olor rojo que son limitadas por dos urvas azules onoidas omo separatries. Junto on las trayetorias erradas, las separatries enierran a un punto de equilibrio estable denominado entro loalizable en n. El aso E = 0 orresponde a la ausenia de osilaiones Josephson que suede uando no hay energía almaenada en la unión, esto nos lleva a una situaión físia en la ual los dos eletrodos de la unión se omportan omo un solo superondutor, debido a que la orriente de tunelamiento I s es nula. En el diagrama fase, este estado está representado por los puntos entros n. Cuando E =, la superorriente y la unión interambian una energía E = U max () = y los puntos silla son dados por 09

110 Superondutividad y Dinámia no lineal E n 0 os ( ) os ( ) n, (5.8) los uales son puntos de equilibrio inestable. En estos puntos, la superorriente adquiere su máximo de energía potenial que es sufiiente para mantener un estado estaionario donde la superorriente permanee onstante y no hay interambio de energía on la unión. Al ser puntos inestables, basta una pequeña perturbaión para ambiar el estado estaionario en el que se enuentra la unión tendiendo al otro punto silla, el ual alanzaría solamente en un tiempo infinito. Si E >, las osilaiones Josephson no llevan a abo y se da pie a otro tipo de situaión. Para este aso, la unión almaena mayor energía que la energía potenial máxima de la superorriente, entones se lleva a abo un proeso de desarga parial del dispositivo ediendo solamente a la superorriente la antidad de energía U max =. Una vez que la superorriente adquiere esta energía omienza a ederla paulatinamente a la unión siendo esto un proeso periódio sin puntos de retorno, es deir, no se presenta un estado estaionario donde la unión se desarga por ompleto y permanee onstante la superorriente. A este proeso lo llamaremos rotaión Josephson, que en términos dinámios está asoiado a un movimiento periódio del tipo rotaión, que en problema equivalente del péndulo signifia que este tiene tanta energía que puede sobrepasar la posiión vertial = dando origen a rotaiones alrededor de su pivote. En el plano fase estas rotaiones son representadas on trayetorias de olor rojo que se enuentran fuera de la región delimitada por las separatries y que en el ilindro fase son urvas erradas que lo rodean (Fig. 5.4). punto silla y 4 punto silla 5 5 entro separatriz 4 Figura 5. 4 Plano y ilindro fase para I/I = 0 CASO I/I C < Para este aso, tenemos la presenia de un orriente I suministrada por una fuente de voltaje a la unión. Ahora el iruito equivalente onsiste del ondensador, del indutor Josephson y de la fuente de potenial (Fig. 5.5). La funión de la orriente I en esta oasión onsiste en proporionarle energía al ondensador para que este no se desargue por ompleto aun uando exista un interambio de la misma on la superorriente. La energía potenial es dada por I U os (5.9) I Figura 5. 5 Ciruito Josephson onservativo 0

111 Alberto Franiso Sandino Hernández uyos puntos máximos y mínimos, se obtienen a partir de la siguiente ondiión: du d I sen 0 (5.30) I on soluiones: I mínimos : n sen n, I máximos: n sen n. I I (5.3) La representaión gráfia de U(), onoida omo potenial de lavadero, es una urva osenoidal uyos nodos se enuentran a lo largo de la línea reta (I/I ) (Fig. 5.6). U 3 E Figura 5. 6 Energía potenial U()para I/I = 0.05 El sistema puede realizar osilaiones o rotaiones de tipo Josephson dependiendo del valor de E y de las ondiiones iniiales. Si observamos de nuevo la Fig. 5.6, el sistema presentará osilaiones Josephson si toma valores dentro de las zonas permitidas o pozos de potenial uyos puntos de retorno están dados por la soluión de: U I. (5.3) os E ; i,,3,... i i i I En ambio, si la ondiión iniial es tal que es un poo mayor a, se llevan a abo rotaiones Josephson en el sistema. El plano fase (Fig. 5.7) presenta ambios on respeto al anterior, ahora los puntos silla se loalizan en = n + y los entros en = n dados por (5.3) (en el ilindro fase solo tenemos la presenia de un punto silla y un entro), y desaparee el par de separatries que unían a los puntos sillas ontiguos y en su lugar aparee solo una separatriz que iniia y termina en el mismo punto silla el ual representa el estado estaionario en la unión. Las urvas dentro de esta nueva separatriz ontinúan siendo erradas y orresponden a osilaiones Josephson, sin embargo, las trayetorias que se enuentran fuera de la separatriz ya no forman un ontorno errado alrededor del ilindro, por lo que las rotaiones ya no son periódias, esto debido a que ada vez que aumenta por ada, la funión y() no se reupera de su valor anterior, y aumenta en valor absoluto por

112 Superondutividad y Dinámia no lineal ada revoluión. En términos de la unión Josephson, esto se debe a la presenia de la orriente I que ontribuye al aumento de energía almaenada en la unión. entro y 4 punto silla I I separatriz Figura 5. 7 Plano y ilindro fase para I/I = 0.05 CASO I/I C = En este aso, ya no se llevan a abo las osilaiones Josephson sino solamente rotaiones Josephson no periódia, esto debido a que el almaenamiento de energía en el dispositivo ontinúa en aumento graias a la ontribuión que realiza la fuente de potenial, por lo que la energía potenial máxima de la superorriente U max = resulta pequeña en omparaión on la energía almaenada. Esta situaión se ve reflejada en el diagrama fase (Fig. 5.9) a través de las trayetorias no erradas que se extienden haia las partes superior e inferior del mismo inluida la separatriz que pasa por un punto fijo de orden superior. Los entros han dejado de existir, lo que signifia que la unión jamás llegará a un estado en el que la superorriente sea nula y sus eletrodos se omporte omo un solo superondutor. La energía potenial U() dada por (5.9) ya no tiene máximos ni mínimos (Fig. 5.8), solamente puntos de inflexión en n = n/ (n =,, 3.) donde todavía puede alanzarse un estado estaionario.

113 Alberto Franiso Sandino Hernández U 0 E Figura 5. 8 Energía potenial U() para I/I = y 6 4 separatriz I I 4 punto de inflexión 6 Figura 5. 9 Plano y ilindro fase para I/I = CASO I/I C > En este último aso ontinúan presentes las rotaiones Josephson no periódias así omo el almaenamiento de energía debido a la orriente I. En uanto a la energía potenial de la superorriente dada por (5.9), ya no es tan signifiativa on respeto a la energía almaenada. La funión U() ya no tiene máximos ni mínimos y tampoo puntos de inflexión (Fig. 5.0) lo que signifia que no es posible que el sistema presente, en alguno momento, un estado estaionario. Esto se ve reflejado en el diagrama fase donde no existen puntos sillas ni entros, y la separatriz ha desapareido (Fig. 5.). Todas las trayetorias ontinúan abriéndose y extendiéndose a lo largo de todo el diagrama. 3

114 Superondutividad y Dinámia no lineal U Figura 5. 0 Energía potenial U()para I/I =.5 y 4 I I Figura 5. Plano y ilindro fase para I/I =.5 Cuando I > I, es probable que exista un rompimiento de pares de Cooper en los eletrodos dando lugar a una orriente normal I n, por lo que la unión deja de ser un sistema onservativo. Esto suede si el voltaje V administrado a la unión es muho mayor al voltaje asoiado a la breha de energía de los eletrodos que onforman la unión: V T T. (5.33) e Reordemos también que hay rompimiento de pares de Cooper si la temperatura T es erana a la temperatura rítia T de un superondutor, por lo que la energía asoiada a la breha es muho menor a la energía térmia: ( T) kbt. (5.34) Hasta aquí onluimos nuestro análisis para el aso onservativo, demostrando así que es posible dar una desripión ualitativa del omportamiento de la unión Josephson a través de estudio de la expresión (5.9b) para la energía total del sistema. Esto nos motiva a ontinuar on nuestro estudio dinámio de este dispositivo, 4

115 Alberto Franiso Sandino Hernández onsiderando ahora la presenia de la orriente normal I n, lo que da lugar a un estado resistivo, o diho en términos dinámios, un amortiguamiento en el sistema. 5.6 Estado Resistivo (Caso amortiguado) Ahora estudiaremos la situaión uando se presenta amortiguamiento en el sistema, es deir, uando 0 en la euaión (5.4). En este aso tenemos ompleto el iruito equivalente mostrado en la Fig. 5.. Como se ha omentado, la expresión (5.4) no tiene soluión analítia, por lo que se reurrirá a ténias ualitativas y al método numério de Runge-Kutta de uarto orden para obtener informaión sobre su omportamiento. De la misma manera que en el aso estaionario, la expresión (5.4) puede reesribirse omo un sistema de dos euaiones: a ' y I b y ' sen y I (5.35) donde el término y está asoiado a la orriente I n, el término y a la orriente de desplazamiento I d, sen a la superorriente I s y al voltaje administrado a la unión. Comenzaremos por analizar los puntos de equilibrio o punto fijos del sistema a partir de la matriz jaobiana de (5.35) (ver Apéndie B), para onoer su influenia sobre el flujo en el diagrama fase, el ual será nuestra herramienta para desribir el omportamiento del sistema en el estado resistivo Matriz Jaobiana y puntos fijos Los puntos fijos son aquellos donde y = 0 y = 0, por lo que satisfaen lo siguiente: a ' y* 0; I I b y ' sen* =0 os * I I (5.36) válidas solamente uando I/I (Fig. 5.). La matriz jaobiana A del sistema de euaiones (5.35) es dada de la siguiente manera: ' ' y 0 A (5.37) y' y' os y Al evaluar la matriz A en estos puntos fijos: 0 A *, y* os *, (5.38).5.0 deta I I.5 I I se obtendrá informaión sobre la estabilidad de los mismos, graias a la traza y al determinante de la matriz: 0.5 I I tr A 0; 0.5 Sen I det A os * I (5.39).0 Figura 5. 5

116 Superondutividad y Dinámia no lineal La lasifiaión de los puntos fijos está determinada por la traza y el determinante así omo del valor del parámetro I/I, teniendo los siguientes asos: Para I/I < : a) Si deta > 0 y (tra) 4detA = 4[(I/I ) ] > 0 tenemos un nodo estable. b) Si deta < 0 existe un punto silla. Para I/I =, deta = 0; el nodo estable y el punto silla se unen en una bifuraión de nodo-silla reando un punto semiestable. Para I/I >, no hay puntos fijos. A diferenia del aso onservativo, en el aso resistivo no hay presenia de entros en el plano fase, por lo que difíilmente se llevarán a abo osilaiones Josephson uniformes Sin embargo, se tiene la presenia de los puntos silla aompañados ahora de nodos estables. Los nodos estables son onoidos omo atratores debido a que atraen las trayetorias del diagrama fase haia ellos uando t, haiendo que el sistema tienda a un estado estaionario estable, mientras que los puntos silla las repelen debido a que el sistema se enuentra en un estado estaionario inestable. En uanto al punto semiestable, podemos deir que es aquel que se omportan omo repulsor y atrator a la vez, esto depende de ómo nos aerquemos a él, es deir, depende de las ondiiones iniiales, omo el deta = os* para valores * < / el punto se omporta omo un atrator en tanto que para * > / omo un repulsor. En la Fig. 5.3 se muestran los retratos fase para distintos valores de I/I y on un valor fijo de, donde los puntos fijos atratores están representados por puntos de olor negro, los repulsores por puntos blanos y los semiestable por puntos rojos. También se grafian las nullinas, las uales son aquellas urvas que indian donde el flujo es puramente vertial ( = 0) o puramente horizontal (y = 0) y son dadas por las siguientes expresiones: a y 0 uando ' 0; I b y sen uando y ' 0. I (5.40) Por la relaiones de Josephson (5.), la primera expresión india que uando el voltaje V suministrado a la unión es nulo no irulará una orriente normal I n, mientras que la segunda india que uando la orriente de desplazamiento I d es nula, I n es igual a la diferenia de la orriente I suministrada por la fuente de potenial on la superorriente I s. De manera que las nullinas indian dentro del diagrama fase los puntos en los que se alanzan estos estados Bifuraión nodo-silla En la Fig. 5.3 podemos observar que los puntos fijos son los puntos de interseión entre ambas nullinas, y al variar el parámetro I/I desde un valor menor a, habrá un desplazamiento vertial de la nullina (5.40b), por lo que los puntos fijos se aerarán hasta olisionar reando un punto semiestable uando I/I = que posteriormente desaparee uando I/I >. Este omportamiento dentro del diagrama fase es onoido omo bifuraión nodo-silla debido a que el ambio de parámetro I/I provoa un ambio de estabilidad en los puntos fijos 6

117 Alberto Franiso Sandino Hernández y I I y a) I/I < I I y b) I/I = 3 I I Cilos límite ) I/I > Figura 5. 3 Plano fase para distintos valores del parámetro I/I fijando. Cuando I/I > no hay puntos fijos, signifia que aparentemente la unión no presentará en ningún momento un estado estaionario y no existen movimientos periódios, por lo que no se presentarían ni osilaiones ni rotaiones de tipo Josephson, debido a la presenia de eletrones libres a ausa del rompimiento de los pares de Cooper al aumentar el voltaje V sobre la unión. El almaenamiento de energía se redue ya que hay disipaión de la misma a ausa del aumento en la intensidad de la orriente normal. 7

118 Superondutividad y Dinámia no lineal Sin embargo, uando I/I > bajo iertas ondiiones existe un ilo límite, que es una urva errada, que atrae o repele a otras órbitas del diagrama fase dependiendo de su estabilidad. La existenia de este ilo límite, garantiza que el sistema realiza un movimiento periódio uando I/I >. La estabilidad de los ilos límite se lasifia de forma similar a la de los puntos fijos: Si las trayetorias se aproximan al ilo límite, se die que este es estable o atrator. El ilo es inestable si las trayetorias próximas a él son repelidas. Si el ilo es atrator y repulsor a la vez, se die que es semiestable. Lo anterior se ilustra en la Fig Cabe menionar que los ilos límites estables se presentan en sistemas que osilan aún en ausenia de fuerzas periódias externas, omo es el aso de la unión Josephson que para un voltaje nulo irula una superorriente dando origen a osilaiones y rotaiones Josephson. Cilo limite estable Cilo limite inestable Figura 5. 4 Ejemplos de ilos limites Cilo limite semiestable EXISTENCIA DE UN CICLO LÍMITE Para demostrar la existenia de un ilo límite, onsideremos la nullina dada en (5.40b), que se muestra en la Fig y I I.5, 0.5 y y 6 4 y I I Sen y y 4 6 Figura 5. 5 Banda y < y < y En esta figura se muestra la región y > 0 del diagrama fase uando I/I > on la nullina y = (I/I sen). Observamos que el flujo se dirige haia abajo por enima de la nullina y haia arriba por debajo de esta, onfinaremos nuestras trayetorias a la banda y < y < y donde que 0 < y < (I/I ) e y > (I/I +), ya que todas entran a esta región, tanto por la parte superior omo por la inferior. Dentro de esta banda, el flujo siempre es a la dereha ya que y > 0 implia que > 0. Como = 0 y = son equivalentes sobre el i- 8

119 lindro fase, entramos nuestra atenión en la región retangular 0, y y y, vemos que todas las órbitas que entran al retángulo no pueden salir de él, permaneiendo ahí durante un tiempo infinito. Este retángulo ontiene toda la informaión del omportamiento del flujo a tiempos grandes (Fig. 5.6). El Teorema Poinaré-Bendixson (ver Apéndie C), india que ualquier órbita que permaneza en una región limitada del espaio fase de un sistema dinámio se aera a una órbita errada, por lo que podemos asegurar la existenia de un ilo límite. Alberto Franiso Sandino Hernández Ahora onsideraremos una trayetoria que omienza en una altura y del lado izquierdo de la aja y termina en el lado 0 dereho de la misma en una altura P(y). La relaión que Figura 5. 6 Caja 0 <<, y < y < y existe entre P(y) e y es onoido omo el mapeo de Poinaré y nos india ómo ambia la altura de una trayetoria después de una vuelta alrededor del ilindro. También es onoido omo mapeo de primer retorno debido a que solo onsideramos la primera vuelta que da la trayetoria sobre el ilindro. No podemos alular P(y) explíitamente, pero si podemos mostrar que hay una altura y* tal que P(y*) = y*, lo ual nos india que diha trayetoria es una órbita errada que representa un movimiento periódio. Para demostrar la existenia de y* onsideramos una trayetoria que iniia en y = y, = 0. Deseamos que P(y ) > y. Esto se umple porque el flujo va estritamente haia arriba y la trayetoria no puede regresar a la línea y = y. Por un argumento similar P(y ) < y. P(y) es una funión ontinua y monotónia, debido a que las soluiones del sistema de euaiones difereniales (5.35) dependen ontinuamente de las ondiiones iniiales, esto si el ampo vetorial es lo sufiientemente suave, y además está prohibido que dos o más trayetorias se ruen entre sí. Todo esto onlleva a que la funión P(y) tenga la forma mostrada en la Fig Por el teorema del valor intermedio, la gráfia de P(y) debe intersetar a la línea reta de 45 en algún lugar. En esa interseión se enuentra la altura y* deseada, on la que se demuestra al menos la existenia de una urva errada. Esta es una ténia que nos permite enontrar de manera numéria al menos un ilo límite dentro de una región estableida, el ódigo fuente de la Fig. 5.6 puede onsultarse en el apéndie D. Otra manera de demostrar la existenia de una órbita errada de manera analítia es a través de método de Melnikov, el ual puede onsultarse en la referenia[5]. y = y y y = y P(y) Figura 5. 7 Funión P(y) para I/I =.5 y = 0.5 9

120 Superondutividad y Dinámia no lineal UNICIDAD DEL CICLO LÍMITE Hemos demostramos la existenia de un ilo límite dentro de la región (0, y < y < y ), sin embargo, existe la posibilidad de que P(y) = y represente una infinidad de trayetorias erradas en esta región. Para demostrar que el ilo limite es únio, realizaremos un argumento por medio de la energía del sistema. Sean y s () y y i () dos trayetorias erradas que rodean al ilindro. Los subíndies s e i denotan superior e inferior respetivamente, por lo tanto, y s () > y i (). Para nuestra demostraión, partimos de la siguiente expresión que está relaionada on la energía total del sistema: d y d I os y. (5.44) I la ual se obtiene de manera similar a la euaión (5.8). Resribiendo (5.44) tenemos que d I y os y y. (5.45) d I donde se hizo uso de (5.35a). Denominamos y os E, entones de I y y d I. (5.46) Usando la regla de la adena tenemos que de de d de y, (5.47) d d d d sustituyendo (5.47) en (5.46) llegamos a la siguiente expresión: de d I y I. (5.48) Durante una trayetoria de rotaión y() alrededor del ilindro, el ambio de energía E debe ser nulo. Entones, integrando (5.48) en un periodo tenemos de I E d y d 0 d I 0 0 (5.49) de la ual se obtiene que: I yd (5.50) I 0 donde I/I es onstante para un valor dado de I/I. Esto nos lleva a una ontradiión, ya que suponíamos que y s () > y i (), sin embargo, la expresión (5.50) nos demuestra que solo debe existir una trayetoria errada y() para I/I >, es deir, 0

121 Alberto Franiso Sandino Hernández I y d yi d I, s 0 0 así se demuestra que el ilo es únio. ESTABILIDAD DEL CICLO LÍMITE Una vez demostrada la existenia y uniidad del ilo límite, ahora podemos determinar su estabilidad mediante la evaluaión de su exponente araterístio h[6] a través de la siguiente expresión: T ' y ' h d T y (5.5) 0 donde T es el periodo del movimiento. La estabilidad del ilo depende del valor que adquiera este exponente: Si h < 0 el ilo limite es estable. Si h > 0, el ilo es inestable. En nuestro aso, el exponente araterístio para el ampo vetorial dado por las expresiones (5.35) sobre todo el diagrama fase es T ' y ' h d 0 T y (5.5) 0 lo que india que el ilo límite es estable debido a que estamos onsiderando para nuestro análisis > 0. En resumen, podemos afirmar la existenia de una órbita errada estable y únia en (0, y < y < y ) dentro del diagrama fase, lo ual signifia que la unión Josephson en su estado resistivo, tiene la posibilidad de llevar a abo una rotaión Josephson estable uando I/I > Bifuraión homolínia Hemos visto que en el diagrama fase del sistema, se lleva a abo una bifuraión nodo-silla entre puntos fijos uando el parámetro I/I aumenta desde un valor I/I < hasta. Posteriormente, los puntos fijos desapareen uando I/I > y surge un ilo límite estable que atrae a las trayetorias eranas a él. Ahora supongamos que el valor del parámetro I/I deree a partir de un valor mayor a, entones la situaión que se presenta es distinta. Iniialmente, se tiene la presenia del ilo límite sin puntos fijos uando I/I >, posteriormente, uando se disminuye el valor del parámetro a un valor I/I <, oexistirá el ilo límite junto on dos punto silla y un nodo omo se muestra en la Fig. 5.8a, en esta situaión deimos que el sistema es biestable. Conforme vayamos disminuyendo el valor del parámetro, el ilo se aerará a una trayetoria naiente de un punto silla hasta que ambas se fusionan y rean una órbita homolínia uando I/I = (I/I ) rítio, es deir, desaparee el ilo límite y surge una trayetoria que une a dos puntos fijos del mismo tipo, en este aso, los puntos silla (Fig. 5.8b). Cuando el parámetro toma valores I/I < (I/I ) rítio, tendremos solamente la presenia de los puntos nodo y silla (Fig. 5.8). Este nuevo omportamiento es onoido omo bifuraión homolínia y solo es posible si es bastante pequeño.

122 Superondutividad y Dinámia no lineal a) (I/I ) ritío < I/I < b) I/I = (I/I ) ritia ) I/I < (I/I ) ritío Figura 5. 8 Esquema de la bifuraión homolínia Físiamente podemos deir que al reduirse la intensidad de la orriente I suministrada por la fuente de potenial, a la unión se le omplia mantener la rotaión Josephson. Cuando I = (I/I ) rítio, la energía suministrada a la unión no es sufiiente para ompensar la energía disipada debido a la presenia de la orriente normal. Si ontinua disminuyendo la intensidad de I, el sistema tenderá a un estado estaionario. HISTÉRESIS EN LA UNIÓN JOSEPHSON La presenia de una bifuraión homolínia en el plano fase se ve reflejada en la urva orriente-voltaje del sistema por medio de una histéresis. La Fig. 5.9 ilustra este proeso el ual onsiste en lo siguiente: si aumentamos el parámetro I/I desde ero hasta, tendremos un voltaje promedio nulo, es deir, la unión se enuentra en un estado estaionario promedio. Cuando I/I =, existe un brino a un valor de V distinto de ero, que aumenta uando se inrementa I/I. Sin embargo, si disminuimos I/I desde un valor mayor, V disminuirá pero no volverá a dar un brino a ero uando I/I =, sino que ontinuará disminuyendo hasta ero uando I/I = (I/I ) rítio. Esto se debe a que el sistema tiene ineria, es deir, a pesar de disminuir la intensidad de la orriente I, la unión ontinuará almaenado parialmente energía a través de una rotaión Josephson hasta llegar a un valor rítio (I/I ) rítio. Después de ese valor rítio, el sistema se enontrará en un estado estaionario promedio. Figura 5. 9 Esquema de histéresis en la urva de orriente-voltaje

123 Alberto Franiso Sandino Hernández Antes de expliar ómo se obtiene esta urva orriente-voltaje, presentamos, omo ejemplo, los planos fase para distintos valores de I/I obtenidos de manera numéria on pequeño y fijo (Fig. 5.0). En las figuras 5.0a y 5.0b se puede observar el ilo límite, el ual está indiado on la trayetoria de olor verde, y su influenia en el omportamiento del flujo fase a través de las urvas fase que se aeran tan por arriba omo por debajo de este. Como hemos visto, es posible loalizar este por medio de ténias omo la menionada para obtener la Fig La Fig. 5.0 muestra el momento justo en el que se lleva a abo la bifuraión homolínia, el valor I/I = (I/I ) rítio se obtiene de manera numéria y se verá on mayor laridad en la urva de orriente-voltaje. Por último, la Fig. 5.0d muestra el plano fase uando el ilo límite ha desapareido. a) I/I =. b) I/I = Curva de orriente-voltaje ) I/I = = (I/I ) ritío d) I/I = 0.3 Figura 5. 0 Planos fase para = 0.4 y distintos valores de I/I Para obtener la urva orriente-voltaje del sistema para el aso resistivo, primero alulamos el voltaje promedio temporal de la relaión Josephson (5.b): V e, (5.53) donde se obtiene a partir de la expresión (5.7): 3

124 Superondutividad y Dinámia no lineal d d d ' ; (5.54) dt dt d T reordemos que d/dt = T = p = (ei /C) / y V = I R. Al sustituir (5.54) en (5.53) obtenemos: I V ' IR ' V ' ec (5.55) donde T d d d ' T d T T. (5.56) 0 0 La expresión (5.55) nos permite obtener la urva orriente-voltaje para la unión Josephson, sin embargo, debido a que el sistema de euaiones (5.35) no tiene soluión exata, se reurren a métodos numérios para su soluión, entre ellos, el de Runge-Kutta de uarto orden y el de integraión numéria de Simpson (ver [7] y [8] para mayor detalle). La Fig. 5. muestra las urvas orriente-voltaje obtenidas por estos métodos para distintos valores de. La variaión del parámetro modifia también el valor rítio (I/I ) rítio en el que se lleva a abo la bifuraión homolínia. Cuando, ya no se presenta un proeso de histéresis debido al alto amortiguamiento en el sistema, es deir, la intensidad de la orriente normal es muho mayor que la de la superorriente. En la siguiente seión daremos detalle de esta situaión a la que denotaremos omo régimen altamente resistivo. Las urvas orriente-voltaje presentadas en la Fig. 5. son aordes a lo observado experimentalmente, primero por Anderson y Rowell[9] y posteriormente por Shapiro[0] en 963. El ódigo fuente de estas figuras puede onsultarse en el Apéndie D. Figura 5. Curvas orriente-voltaje para = 0.4, 0.6, 0.8, y. Por otro lado, también presentamos la gráfia del periodo T omo funión de la orriente I/I mostrada en la Fig., en la que se puede observar que si I/I >> (I/I ) rítio, el periodo será muho menor, es deir, la rotaión Josephson se llevará a abo en un tiempo menor. En ambio, uando I/I tiende a (I/I ) rítio por la dereha, T, esto debido a la presenia tanto de puntos fijos omo de la órbita homolínia, haiendo tender al sistema a un estado estaionario. 4

125 Alberto Franiso Sandino Hernández Diagramas fase on variable Figura 5. Gráfia T vs. I/I para = 0.4, 0.8,,. Para terminar on el análisis del estado resistivo, presentamos el omportamiento de los diagramas fase uando se varía el parámetro y se deja fijo I/I. Estos diagramas se muestran en la Fig. 5.3 y son muy distintos a los presentados en la Fig. 5.0, sobre todo uando el amortiguamiento es bastante signifiativo. a) = 0. b) = 0.5 a) = b) =. Figura 5. 3 Diagramas fase para distintos valores de I/I = 0.5 5

126 Superondutividad y Dinámia no lineal Cuando <<, tenemos la presenia de los puntos fijos (nodo y silla) así omo también del ilo límite, pero onforme va en aumento el amortiguamiento en el sistema, el ilo se rompe y junto on las demás trayetorias del diagrama fase son atraídas por los nodos, esto signifia que la energía administrada por la fuente de potenial y la que almaena el sistema no es sufiiente para lograr vener el amortiguamiento, entones los pares de Cooper tenderán a romperse aumentado la presenia de eletrones libres y disminuyendo la posibilidad de osilaiones y rotaiones Josephson uando >>. Si esto suede, deimos que nos enontramos en el régimen altamente resistivo o sobreamortiguado, que desribiremos en la siguiente seión. 5.7 Estado altamente resistivo (Caso sobreamortiguado) La última situaión a estudiar es el aso altamente resistivo, donde la intensidad de la orriente normal I n es muho mayor a las intensidades de las otras orrientes presentes en la unión, esto se debe a la presenia de un mayor número de eletrones libres en omparaión on los pares de Cooper. Para iniiar el análisis de este aso, realizaremos un tratamiento a los grupos adimensionales similar al aso onservativo para despreiar el término asoiado a la apaitania de la euaión (5.9), esto implia onsiderar que la energía almaenada es depreiable omparada on la energía disipada en el sistema Grupo adimensional y esala de tiempo T Como se menionó, nos interesa que el primer término de la euaión (5.9) sea despreiable on respeto a los otros, que a su vez onsideramos del mismo orden de magnitud. Como las derivadas y el sen son de orden unitario O(), requerimos que: a T b pt O() (5.57) Al igualar el primer requisito a, se define la esala de tiempo T : T. (5.58) T Si sustituimos T en (5.57b) obtenemos una ondiión para las freuenias y p para la ual la orriente de desplazamiento I d es despreiable: p, (5.59) p A partir de esta expresión introduimos el parámetro de MCumber: ei R C p uyo rango de valores se enuentra entre 0 6 y 0 6, además depende del tamaño, la geometría y los materiales utilizados en la unión. Así, la euaión (5.9) toma la siguiente forma: d d I sen d d I (5.60) 6

127 Alberto Franiso Sandino Hernández Cabe destaar que y T están relaionadas on el parámetro y la esala de tiempo T del estado estaionario de la siguiente manera: RC. (5.6) T p y T Una vez realizado el análisis dimensional de la expresión (5.9), ahora onsideramos despreiable el término asoiado a la orriente de desplazamiento al onsiderar 0. Esto nos lleva a una euaión diferenial de primer orden on soluión analítia: I f ( ) ' sen (5.6) I donde la prima india derivada on respeto a. Esta expresión tiene la estrutura de una euaión para un osilador no uniforme ' a sen on = I/I y a = Puntos fijos y su estabilidad De la misma manera que en los asos anteriores, neesitamos onoer los puntos fijos (puntos de equilibrio del sistema) para saber ómo iniden en el omportamiento del flujo dentro del plano fase. En este aso sobreamortiguado los puntos fijos * son aquellos que satisfaen f(*) = 0 (ver apéndie B), es deir, I I f ( *) sen * 0 sen * (5.63) I I la ual implia que: I os * I. (5.64) por lo que solamente existirán puntos fijos para valores I/I, omo suede en el aso resistivo, donde teníamos un punto silla y un nodo para un valor dado del parámetro. La estabilidad de los puntos fijos está determinada por I f '( *) os * I, (5.65) Cuando f (*) > 0 el punto es inestable, si f (*) < 0 deimos que es estable. La lasifiaión de los puntos fijos será la siguiente: Para I/I < hay dos soluiones que umplen lo siguiente: a) * </ y f ( *) < 0, por lo tanto * es un atrator (nodo). b) * >/ y f ( *) > 0, * es un repulsor (punto silla). Para I/I = solo existe un punto fijo en * = / y es semiestable debido a que f (*)=os* = 0. En la Fig. 5.4, se muestra la urva f() junto on los puntos fijos para distintos valores de I/I, los atratores están representados por puntos de olor negro, los repulsores por puntos blanos y los semiestable por puntos 7

128 Superondutividad y Dinámia no lineal rojos. Para mayor detalle sobre la estabilidad de los puntos fijos del sistema en una dimensión, ver el apéndie B Bifuraión nodo-silla De la misma manera que en el aso resistivo, la apariión de puntos fijos en el plano fase depende del valor de I/I, que al variar su valor se logra un desplazamiento vertial de la urva sensobre el eje (Fig. 5.4), provoando una bifuraión nodo-silla y un ambio de estabilidad en los puntos fijos. DESCRIPCIÓN DEL FLUJO EN EL PLANO FASE Otra forma de visualizar el omportamiento de los movimientos periódios en el sistema es a través de diagramas irulares para distintos valores de I/I, mostrados en las Fig. 5.4 al lado dereho de sus respetivos planos fase..5 Lento a ) I/I > Rapido b) I/I = ) I/I < Figura 5. 4 Bifuraión nodo-silla. Flujo lineal y irular de la funión =I/I sen Una desripión detallada se desarrolla a ontinuaión: 0.5 Cuando I/I < (Fig. 5.4), tendremos dos puntos fijos: un nodo y un silla, es deir, hay puntos de equilibrio para esta situaión. Todas las trayetorias serán atraídas al nodo uando. 8

129 Alberto Franiso Sandino Hernández Cuando I/I = (Fig. 5.4b), el sistema deja de osilar ompletamente, debido a que ha naido un punto fijo semiestable en = /. Finalmente, uando I/I es ligeramente mayor que (Fig. 5.4a), hay una rotaión Josephson bastante no uniforme. En este aso, el punto fase () le toma bastante tiempo pasar por la zona erana a = / onoida omo uello de botella. Una vez que pasa esta zona, reorre el resto del írulo en una esala de tiempo más rápida. Todas estas situaiones pueden omprobarse a través de la obtenión de las soluiones analítias de la euaión (5.6) Soluión analítia Para obtener una soluión exata para el estado altamente resistivo, resolvemos de manera analítia la euaión (5.6), por medio del método de separaión de variables: d d (5.66) sen I 0 0 I De manera general, la soluión analítia de la integral[] es: a dx x atan b a b a b tan ; bsenx Para nuestro aso: x x a b b a tan b a ln ; a b b a b a tan b a I I 0 tan tan I I I ( ) 0 tan tan ; I I I I I I I tan tan ( ) 0 ln ln tan tan 0 0 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ; I (5.67) De estas expresiones obtenemos () de manera algebraia: 9

130 Superondutividad y Dinámia no lineal I I I I I I tan A ; (5.68) on A I 0 I I I 0 I I e tan e I I I I 0 e I I I I 0 tan e I I I I I I I I tan B ; (5.69) I 0 I I 0 tan I on B tan tan I I La Fig. 5.5 muestra la gráfia de la expresión (5.68), donde podemos observar omo el sistema no alanza a ompletar una osilaión, pero debido al exeso de amortiguamiento rápidamente se mantiene en una sola posiión por un lapso grande de tiempo, lo ual reafirma la idea de que para el aso I/I <, todas la trayetorias tenderán al punto nodo permaneiendo un tiempo indefinido. En términos de la unión Josephson, esto quiere deir que el dispositivo omienza a argarse absorbiendo energía de la superorriente que a su vez también va perdiendo energía debida al exeso de orriente normal, lo ual provoa el rompimiento de pares Cooper. El dispositivo a no poder absorber más energía de la superorriente dejará de argarse pero no ederá de nuevo energía a la superorriente por lo que no habrá una osilaión Josephson ompleta. En la Fig. 5.5b se muestra la falta de movimiento osilatorio uando I/I =, debido a la presenia del punto semiestable, lo que signifia que no hay un interambio de energía entre la unión y la superorriente. Finalmente, uando I/I es ligeramente mayor a no existen puntos fijos, sin embargo, en la veindad de = /, ontinua la presenia virtual del punto fijo semiestable, la ual denotaremos omo fantasma de nodo-silla, que provoa un paso lento del flujo en esta zona onoida omo uello de botella, y que se muestra on mayor laridad en la gráfia de la expresión (5.69) (Fig. 5.5a). Una vez pasando el uello de botella el flujo es muho más rápido. En la juntura Josephson signifia que la arga/desarga parial se realiza en un lapso muy amplio de tiempo debido a la presenia de una orriente normal bastante intensa, pero uando la diferenia de fase adquiere valores alejado a la los del uello de botella, la arga/desarga se realiza de una manera muy rápida, dando lugar a rotaiones Josephson no uniformes. Estas rotaiones todavía se llevan a abo graias a la presenia de la fuente de potenial que administra energía extra a la unión para almaenar y poder interambiar on la superorriente. En la Fig. 5.6 se muestra el omportamiento del flujo en el diagrama irular, donde se india que zonas las reorre de manera rápida o de manera lenta para el aso en que aparee el uello de botella. 30

131 Alberto Franiso Sandino Hernández Región Cuello de botella a) I/I > Punto semiestable b) I/I = ) I/I < Nodo Figura 5. 5 Gráfias ()para distintos valores de I/I 3

132 Superondutividad y Dinámia no lineal Figura 5. 6 Fenómeno de uello de botella sobre el írulo PERIODO DE OSCILACIÓN En el aso uando I/I, las osilaiones Josephson no se llegan a ompletar o simplemente no existen, por lo que no tiene sentido hablar de un periodo de osilaión. En ambio, para valores I/I > el periodo de la rotaión Josephson puede obtenerse analítiamente, de la siguiente manera: d T d d d I 0 0 I d sen (5.70) donde se hae uso de la euaión (5.6) para sustituir d/d. El resultado de resolver la integral es: T I I. (5.7) En la Fig. 5.7 podemos observar la gráfia de esta expresión, observándose que para valores de I/I eranos a el periodo de rotaión tiende a infinito, en ambio, si I/I >>, el periodo tiene a ero, lo ual nos india que las rotaiones tienden a ser más rápidas. T I I C Figura 5. 7 Gráfia T vs. I/I En ambio uando I/I se aproxima a por la dereha (I/I + ), el periodo diverge, aerándonos así a la región de uello de botella. Para onoer la manera omo T se va a infinito, realizamos el siguiente desarrollo: 3

133 Alberto Franiso Sandino Hernández I I I I I I I I Así T uello de botella I I (5.7) donde se observa que satisfae una ley de esalamiento la ual satisfae una ley de esalamiento de raíz uadrada (a ) / araterístia de los sistemas que se aeran a la bifuraión nodo-silla Curva de orriente-voltaje para el limite sobreamortiguado Para este aso altamente resistivo es posible obtener de manera analítia la urva de orriente-voltaje, a partir de la expresión (5.53). El promedio se alula de manera similar al aso resistivo pero onsiderando la esala de tiempo T : d d d eir ' (5.73) dt dt d T reordando que d/dt = T = ei R/ y V = I R. Por lo tanto V I R ' V ' (5.74) Hay dos situaiones a onsiderar: Cuando I I, todas las soluiones de la euaión de movimiento se aproximan a un punto fijo * = sen (I/I ), donde / * /. De este modo, = 0 y V = 0, por lo que se obtiene un estado estaionario. El otro aso es uando I > I, todas las soluiones de la euaión de movimiento son periódias on periodo T dado por la euaión (5.7). Calulamos tomando el promedio sobre un ilo: T d d d ' T d T T. (5.75) 0 0 Sustituyendo (5.74) en (5.73) obtenemos el voltaje promedio para I I : V V I I (5.76) En resumen, el voltaje promedio esta dado omo: V 0 para I I I para I V I I (5.77) 33

134 Superondutividad y Dinámia no lineal La urva voltaje-orriente se muestra en la Fig. 5.8, omo se observa, el voltaje promedio permanee nulo para I/I, debido a la ausenia de osilaiones promedio. Cuando I/I >, V se inrementa paulatinamente hasta que la urva tiende asintótiamente aun omportamiento de tipo óhmio, es deir, V IR uando I/I >>, lo que signifia que la superorriente tenderá a desapareer y solamente habrá presenia de la orriente normal, esto debido a rompimiento de pares de Cooper. V RI.0.5 V R I I I Figura 5. 8 Curva orriente-voltaje para el aso sobreamortiguado Referenias [] MCumber D. E. Tunneling and Weak-Link Superondutor Phenomena Having Potential Devie Appliations. Journal of Applied Physis Vol. 39, No. 6, pp , May 968. [] MCumber D. E. Effet of a Impedane on d Voltage-Current Charateristis of Superondutor Weak-Link Juntions. Journal of Applied Physis Vol. 39, No. 7, pp , June 968. [3] Stewart W. C. Current-Voltage Charateristis of Josephson Juntions. Applied Physis Letters Vol., No. 8, pp , 968. [4] Triomi F. Integrazione di un Equazione Differenziale Presentatasi in Elettrotenia. Annalli della Suola Normale Superiore di Pisa, Classe di Sienze e série, Tome, No., pp. -0, 933. [5] Gukenheimer J. and Holmes P. Nonlinear Osillations, Dynamial Systems and Bifurations of Vetor Fields. Springer. New York [6] Andronov A. A., Vitt A. A and S. E. Khaikin. Theory of Osillators. Dover Publiations In. New York [7] Boye W. E. y DiPrima R. C. Euaiones Difereniales y Problemas on Valores en la Frontera. Editorial Limusa. Méxio [8] Burden R. L. y Faires J. D. Análisis Numério. Grupo Editorial Iberoameriana. Méxio [9] Anderson P. W. and Rowell J. M. Probable Observation of the Josephson Superonduting Tunneling Effet. Physial Reviews Letters Vol. 0 No. 6, pp. 30-3, Marh 963. [0] Shapiro S. Josephson Currents in Superonduting Tunnelling: The Effet of Mirowaves and Other Observations. Physial Reviews Letters Vol. No., pp. 80-8, July 963. [] Petit Bois G. Tables of Indefinite Integrals. Dover Publiations In. New York. 96. p

135 Capítulo 6 Conlusiones y perspetivas Alberto Franiso Sandino Hernández En este trabajo de revisión se presentan herramientas teórias, oneptuales y matemátias sobre el estudio de la superondutividad, las uales nos ayudaron a entender las ausas y onseuenias del fenómeno desde los puntos de vista marosópio y mirosópio, lo que nos permite afirmar que este estudio onierne a distintas disiplinas de la Físia. Se ha demostrado que, desde el punto de vista termodinámio, este fenómeno es una transiión de fase de segundo orden la ual se logra al disminuir la temperatura del sistema a una temperatura rítia T. Desde el punto de vista eletrodinámio, uando el sistema se enuentra en el estado superondutor se presenta el efeto Meissner, el ual onsiste en la expulsión de un ampo magnétio externo del interior de la muestra superondutora debido a orrientes superfiiales. Por otro lado, en el ampo de la meánia uántia y de la físia del estado sólido, el sistema superondutor muestra una resistenia nula al paso de orriente elétria, debido al apareamiento de eletrones, onoidos omo pares de Cooper, que se lleva a abo graias a la interaión fonónia entre el par y la red. Además, el sistema superondutor puede ser araterizado por una funión de onda marosópia, esto a ausa de que los pares de Cooper tienen un omportamiento bosónio. Cabe reordar que los objetivos de los tres primeros apítulos es dar una introduión básia a la superondutividad para entender el efeto Josephson y rear material didátio para promover la apertura de ursos sobre superondutividad en la lieniatura en Físia de la UAM Iztapalapa. Destaamos que se omitieron en estos apítulos, resultados importantes tales omo la teoría de Eliashberg o el estudio de los superondutores de alta T, esto debido a que no son relevantes para el estudio del efeto Josephson. Estos tópios pueden anexarse junto on lo presentado en esta tesis para la ediión futura de un libro y ontribuir a la literatura relaionada on el tema en idioma español, adaptándola a un leguaje aorde a la realidad mexiana. Una vez que se presentaron algunas ideas fundamentales sobre la superondutividad desde distintos puntos de vista, dimos paso al estudio dinámio del efeto Josephson, para ello fue neesario realizar otra revisión teória sobre este efeto, el ual se presenta en dispositivos onoidos omo uniones Josephson, enfoándonos solamente a las de tipo túnel. El punto de partida de nuestro análisis dinámio fue representar este dispositivo onetado a una fuente de potenial omo un iruito elétrio y obtener su euaión de movimiento. Esto es posible si onsideramos que en la unión no solamente irula una orriente de pares de Cooper sino también una orriente normal y una de desplazamiento. Obtener la soluión analítia de la euaión diferenial del iruito no es fáil, así que se optó por estudiar el sistema en tres situaiones distintas: onservativa, resistiva y altamente resistiva. Para el aso onservativo, se despreió el término de la euaión de movimiento relaionado on la orriente normal y uyo análisis nos lleva a los siguientes resultados: Demostrar que la energía se onserva en este sistema bajo iertas ondiiones, es deir, que la unión almaena energía omo si fuese un ondensador elétrio y la interambia on la orriente de pares de Cooper. Es posible realizar un análisis por medio de la onservaión de la energía dando omo resultado la obtenión de diagramas fase tanto en el plano omo el ilindro así omo también diagramas de energía potenial. A partir de los diagramas fase y del potenial, podemos realizar una desripión ualitativa del omportamiento de la unión para distintos valores de la orriente onstante I/I administrada por la fuente de potenial. Un ejemplo de ello, es la expliaión que se da a una situaión araterístia del efeto Josephson: el flujo de superorriente en la unión uando hay ausenia de un voltaje apliado, presentado en la seión

136 Superondutividad y Dinámia no lineal Los diagramas fases y de la energía potenial son similares a los de un péndulo sometido a una tora onstante por lo que este sistema también es un análogo meánio de la unión Josephson. La desripión del omportamiento de la unión en el régimen onservativo y la introduión del término rotaiones Josephson ambos presentados en la seión 5.4, así omo también la programaión omputaional de los ilindros fase son una nueva ontribuión a la literatura del estudio dinámio de este sistema. Para el régimen resistivo, que es desrito por la euaión de movimiento ompleta, se reurrió a métodos numérios omo el de Runge-Kutta de uarto orden y de integraión omo la regla de Simpson para su soluión así omo ténias matemátias para su análisis ualitativo. Los resultados obtenidos, en este aso, son: La presenia de una bifuraión nodo-silla dentro del diagrama fase uando se varía el parámetro I/I. La existenia y uniidad de un ilo límite en el diagrama fase para valores I/I > y uya demostraión se presenta en la seión 6.3 del apítulo 5. La presenia de una bifuraión homolínia en el diagrama fase al disminuir el valor de I/I desde un valor mayor a. Este tipo de bifuraión también está relaionada a un proeso de histéresis presente en la urva orriente-voltaje para valores <, la ual es posible obtener, graias a la soluión numéria de la euaión de movimiento y que es aorde a resultados experimentales. La obtenión de la gráfia del periodo para distintos valores de en este régimen resistivo. En uanto a las aportaiones realizadas en esta parte del trabajo para la literatura son: El ódigo fuente omputaional para reproduión del gráfio presentado por S. Strogatz 7 mostrado en la Fig. 5.7 de esta tesis para loalizar un ilo límite de forma numéria. El ódigo fuente de la urva orriente-voltaje presentada en la Fig. 5.. La obtenión de la gráfia del periodo mostrada en la Fig. 5. para este aso resistivo. Por último se presentó el aso altamente resistivo, uya euaión se obtiene al despreiar el término asoiado a la orriente de desplazamiento de la euaión de movimiento ompleta. La euaión para este régimen tiene soluión analítia lo que nos ondue a expresiones exatas para el periodo y la urva de orriente-voltaje. En esta parte de la tesis, simplemente se reproduen los resultados presentados en la literatura on la únia aportaión de desribir el efeto Josephson en este régimen de manera ongruente a los asos anteriores. Como onlusión general menionamos que el estudio dinámio del efeto Josephson es bastante útil ya que nos permite realizar una desripión ualitativa, y partiularmente en el aso altamente resistivo una desripión exata, sobre el omportamiento de la unión Josephson para distintas situaiones y distintos valores de los parámetros I/I y. Además, este estudio nos ondue a un resultado importante: la urva orriente-voltaje araterístia de la unión Josephson y que fue obtenida primero de manera experimental. En uanto a las perspetivas de este trabajo podemos menionar las siguientes: Complementar este trabajo on la programaión omputaional de los ilindros fase para los asos resistivo y altamente resistivo, que no se pudo onretar para esta tesis. Continuar on la búsqueda de una soluión analítia para la euaión de movimiento del aso resistivo ya que atualmente ontinúa siendo ampo de investigaión tanto para físios omo matemátios, Extender el estudio dinámio a situaiones de aos, las uales se presentan uando la orriente administrada por la fuente de potenial es alterna, es deir, es de tipo sinusoidal o osenosoidal, para obtener los ilindros fase y la urva orriente-voltaje para este régimen. 7 Strogatz S. H. Nonlinear Dynamis and Chaos with Appliations to Physis, Biology, Chemistry and Engineering. Addison-Wesley Publishing Company,

137 Alberto Franiso Sandino Hernández Como se puede observar, todavía hay muho por haer en este tipo de estudio para la unión Josephson, esperamos que este trabajo motive a futuros estudiantes mexianos de Físia, a que se introduzan en este ampo de investigaión y aporten nuevos resultados para la ompresión del efeto Josephson desde el punto de vista dinámio. 37

138 38 Superondutividad y Dinámia no lineal

139 Alberto Franiso Sandino Hernández Apéndie A Péndulo amortiguado dirigido por una tora onstante Euaión de movimiento Consideremos omo péndulo a una lenteja de masa m unida a una uerda inextensible de longitud L y desribimos su posiión r, veloidad v y aeleraión a en oordenadas polares: r Leˆ r v L eˆ ˆ a Le L er ˆ (A.) Por medio de la segunda ley de Newton obtenemos la euaión de movimiento. Así, la fuerza neta F del movimiento es: ˆ ˆ ˆ ˆ r r r F F e F e ma ml e ml e (A.) donde las respetivas omponentes son: F mg os T r F mgsen b f (A.3) donde T es la tensión de la uerda, b es la fuerza de amortiguamiento y f es una fuerza externa. Así, las euaiones de movimiento para las dos omponentes r y son: mg os T ml mgsen b' f ml (A.4) Por otro lado, el momento angular L es: L rp ml k ˆ (A.5) y la tora total N del sistema está dada omo: L T f dl N ml k ˆ (A.6) dt Si multipliamos por L la segunda euaión de las expresiones (A.4) y sustituimos en la euaión (A.6) obtenemos: bv mg m 39

140 Superondutividad y Dinámia no lineal N ml k ˆ mglsen b' L fl k ˆ (A.7) Ahora definimos fl omo la tora y b L omo la nueva onstante de amortiguamiento b, entones la euaión que rige al péndulo es: ml b mglsen. (A.8) Analogía on el iruito equivalente a la unión Josephson Al omparar la euaión del iruito equivalente a la unión Josephson: C Isen I e er on (5.4), se enuentra las siguientes analogías: Tabla A. Péndulo Angulo Veloidad angular Masa m Tora apliada Constante de amortiguamiento b Tora máxima gravitaional mgl Unión Josephson Diferenia de fase Voltaje V Capaitania C Corriente I Condutania R Corriente rítia I 40

141 Apéndie B Estabilidad de puntos fijos Alberto Franiso Sandino Hernández Para onoer el omportamiento de una euaión o sistema de euaiones alrededor de un punto se requiere realizar una linealizaión alrededor del mismo. A ontinuaión, se explia este proeso enfoándonos en los puntos fijos (puntos de equilibrio, en términos de sistemas dinámios) para una euaión unidimensional y un sistema de euaiones en dos dimensiones; diho proeso nos ayuda a onoer la estabilidad de los puntos y llevar a abo una lasifiaión de los mismos. Linealizaión de una euaión en una dimensión Sea f x x, x* un punto fijo y t xt x* una pequeña perturbaión alrededor de x*. Para saber si la perturbaión ree o disminuye, obtendremos una euaión diferenial de : d ( x x *) x. dt donde x* es onstante. De este modo x f x f x* de Taylor alrededor de x*: * * ' * f x f x f x O, reordando que f x* 0. Por lo tanto f ' x* O Si. A ontinuaión realizamos una expansión f ' x* 0, los términos de orden mayor son despreiables y nuestra aproximaión puede esribirse de la siguiente manera: f ' x* Esta es una euaión lineal en y es una linealizaión alrededor de x*. Esto muestra que la perturbaión (t) ree exponenialmente si f (x*)> 0 y deree si f (x*) < 0. Si f (x*) = 0, los términos O( ) no son despreiables y es neesario un análisis no linear para determinar la estabilidad. La magnitud de f (x*) en un punto fijo determina que tan estable es un punto fijo. Esta magnitud juega el rol de un reimiento exponenial o razón de deaimiento. Definimos a la esala araterístia de tiempo omo f (x*) ; este determina el tiempo que requiere x(t) para variar signifiativamente en la veindad del punto fijo x*. 4

142 Superondutividad y Dinámia no lineal Linealizaión de un sistema de euaiones en dos dimensiones. Ahora onsideramos un sistema en dos dimensiones, para ello aproximaremos el retrato fase erano a un punto fijo a uno orrespondiente a un sistema lineal. Sea el siguiente sistema: x f x, y y g x, y y suponemos que (x*,y*) son puntos fijos, es deir, f x*, y * 0, g x*, y * 0. Sea u x x*, v y y* representan las omponentes de una pequeña perturbaión alrededor del punto fijo. Para saber si la perturbaión ree o deree, obtendremos euaiones difereniales para u y v. Obtendremos primero la euaión para u: u x donde x* es una onstante. Por sustituión tenemos que u x f x* u, y* v Ahora, realizamos un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto fijo (x*, y*): f f u x f x y u v O u v uv *, *,, x x*, y* y x*, y* f f u v O u, v, uv x x*, y* y x*, y* donde f(x*, y*) = 0 y O(u, v, uv) son términos uadrátios en u y v. Debido a que u y v son pequeños, estos términos uadrátios son extremadamente pequeños. De manera similar enontramos el desarrollo para v: g g v u v O u, v, uv x x*, y* y x*, y* Por lo tanto, podemos expresar la perturbaión de la siguiente manera: 4

143 Alberto Franiso Sandino Hernández f f u x y u terminos uadratios v g g v x y La matriz f f x y A g g x y x*, y* x*, y* es onoida omo la matriz jaobiana evaluada en el punto fijo (x*, y*) y es el análogo multivariable de la derivada f (x*) en el aso de una euaión unidimensional. Para obtener el sistema linealizado onsideramos despreiables a los términos uadrátios. Así f f u x y u v g g v x y x*, y* Sistema lineal de euaiones Un sistema lineal de dos dimensiones es un sistema de la siguiente forma: x ax by y x dy (A.) donde a, b, y d son parámetros. Una manera más ompata de esribirlo es por medio de la forma matriial x a b x y d y (A.) omo también podemos expresarla de la siguiente manera x Ax. (A.3) Un sistema es lineal si x y x son soluiones entones la ombinaión lineal de estas es también soluión x + x. Notemos que x 0 uando x = 0, entones x* = 0 es siempre un punto fijo para ualquier eleión de A. Las soluiones de x Ax pueden visualizarse omo trayetorias moviéndose en el plano xy pero en este ontexto llamado plano fase. 43

144 Superondutividad y Dinámia no lineal Clasifiaión de puntos fijos Saber qué tipo de omportamiento tiene el plano fase alrededor de los puntos fijos de un sistema lineal es muy importante. Para obtener informaión sobre esto reurrimos a sistema en general omo el expresado en la euaión (A.3). Proponemos la siguiente soluión: t t x e v (A.4) Donde v 0 es un vetor fijo y es una razón de reimiento, ambos por determinar. Si estas soluiones existen, orresponden a un movimiento exponenial a lo largo de la línea extendida por el vetor v. Sustituimos la expresión (A.4) en (A.3) y obtenemos lo siguiente: Av v (A.5) Esta expresión nos die que las soluiones deseadas existen si v es un eigenvetor on su orrespondiente eigenvalor. Así, la euaión (A.4) es onoida omo una eigensoluión. En general, los eigenvalores de la matriz A están dados por la euaión araterístia det(ai) = 0, donde I es la matriz identidad. Para una matriz de x a b A (A.6) d La euaión araterístia es a b A A (A.7) d det tr det 0 donde tra = a + d deta = ad b. (A.8) Las soluiones a la expresión (A.7) son tr A tr A 4det A, tr A tr A 4det A (A.9) y solo dependen de la traza y del determinante de la matriz A. Conoer los eigenvalores de un sistema lineal es muy importante porque de ellos podemos obtener informaión del tipo y de la estabilidad de los puntos fijos. Todo esto por medio de un diagrama uyos ejes son la traza (tra) y el determinante (deta) de la matriz A. Toda informaión en este diagrama está dada por las expresiones (A.9), pero también por las siguientes formulas: deta = tr A = + (A.0) 44

145 Alberto Franiso Sandino Hernández Estas expresiones pueden obtenerse esribiendo la euaión araterístia de la siguiente manera( )( ) = (tr A)+detA = 0. A ontinuaión, analizaremos el diagrama de la Fig. A.: Si det A < 0, los eigenvalores son reales y de signo opuesto, entones el punto fijo es un punto silla. Si det A > 0, los eigenvalores son: a) Reales y on el mismo signo, el punto fijo es un nodo. Los nodos satisfaen (tr A) 4det A < 0. b) Complejos onjugados, el punto fijo es una espiral. Estos satisfaen (tr A) 4det A > 0. La parábola (tra) 4detA = 0 es límite entre los nodos y las estrellas. En esta viven nodos estrellas y nodos degenerados. La estabilidad de los nodos está determinada por tra. Cuando tra < 0 ambos eigenvalores tienen partes reales negativas pero el punto fijo es estable. El punto fijo es inestable uando tra > 0. Los entros neutralmente estables viven en el límite tra = 0, donde los eigenvalores son puramente imaginarios. Por último, si deta = 0, el menor de los eigenvalores es ero. Entones el origen no es un punto fijo aislado. Hay varias líneas por ada punto fijo o un plano de puntos fijos si A = 0. Nodos Inestables 4 0 Espirales inestables Centros Puntos Silla Espirales estables Puntos Fijos No Aislados Nodos estables Estrellas, nodos degenerados Figura A..Grafia = tr A ontra = det A 45

146 Superondutividad y Dinámia no lineal Figura A..Clasifiaión de los puntos fijos Eigenvalores Tipo de punto fijo Estabilidad > > 0 Nodo impropio Inestable < < 0 Nodo impropio Asintótiamente estable < 0 < Punto silla Inestable = > 0 Nodo propio o impropio Inestable = < 0 Nodo propio o impropio Asintótiamente estable, = a + ib Punto espiral Inestable > 0 Inestable < 0 Asintótiamente estable = ib, = ib Centro Estable Tabla B. Estabilidad de puntos fijos 46

147 Apéndie C Teoremas matemátios Alberto Franiso Sandino Hernández Teorema de Existenia y Uniidad Cuando una situaión físia es modelada matemátiamente on un problema de valores iniiales. Es importante preguntarnos, si existe una soluión al problema, así omo también garantizar que sea únia. Deseamos que la soluión sea únia debido a que si repetimos el experimento en ondiiones iniiales idéntias, debamos esperar los mismos resultados, siempre y uando el modelo sea determinístio. El teorema de Existenia y Uniidad nos garantiza todo esto. x f x, x 0 x. Suponga Teorema de Existenia y Uniidad. Considere el problema de valores iniiales 0 que f es ontinua y que todas sus derivadas pariales f i /x i, i =,, 3,, n, son ontinuas para x en algún onjunto abierto D R n. Entones para x 0 D, el problema de valores iniiales tiene una soluión x(t) en un intervalo de tiempo (,) alrededor de t = 0, y es únia. Este teorema tiene un orolario muy importante: trayetorias distintas jamás se intersetan. Si dos trayetorias se intersetan, entones habría dos soluiones desde el mismo punto (el punto de rue), y esto violaría la parte de uniidad del teorema. En otras palabras, una trayetoria no se puede mover en dos direiones a la vez. Teorema Poinaré-Bendixson El teorema de Poinaré-Bendixson fue onebido originalmente por el matemátio franés Henri Poinaré, aunque él areió de una prueba ompleta. En 90, el matemátio sueo Ivar Otto Bendixson dio una prueba rigurosa del teorema ompleto. Este teorema permite lasifiar todos los posibles omportamientos en el espaio fase de dimensiones. Básiamente india que ualquier órbita que permaneza en una región limitada del espaio fase de un sistema dinámio se aera a una órbita errada. El teorema es uno de los prinipales resultados teórios en dinámia no lineal, porque implia que el aos no ourre en el plano fase. El Teorema Poinaré-Bendixson supone que:. R es un subonjunto errado, limitado del plano; x f x es un ampo vetorial ontinuamente difereniable sobre un onjunto abierto ontenido en. R; 3. R no ontiene puntos fijos; y 4. existe una trayetoria C que se onfina en R, es deir, que iniia en R y se queda en ese subonjunto para todo tiempo futuro. Entones, C es una órbita errada o es una espiral haia una órbita errada uando t. En ualquier aso, R ontiene una órbita errada (que se muestra en la figura D. omo una urva gruesa). La prueba de este teorema es sutil, y requiere algo de topología avanzada. 47

148 Superondutividad y Dinámia no lineal R P C Figura C.. Subonjunto R del espaio fase donde está onfinada una trayetoria C y no ontiene al punto fijo P. 48

149 Alberto Franiso Sandino Hernández Apéndie D Códigos fuente Muhas de las figuras mostradas en este trabajo fueron elaboradas en distintos programas omputaionales tales omo Mirosoft Exel, Wolfram Mathematia así omo el software libre Maxima, entre otros. A ontinuaión se presenta los ódigos fuente de algunas figuras mostradas en este trabajo: Figura. SOFTWARE: Mirosoft Exel 007 DESCRIPCIÓN Esta figura se realizó de manera numéria onsiderando dos olumnas de eldas, una para los valores de T * i * i ln T i * i Figura 5.3 y la otra para valores de i i 0.0. SOFTWARE: Wolfram Mathematia 6 CÓDIGO FUENTE. Este ódigo nos permite realizar el diagrama fase de la unión Josephson para el aso amortiguado. Para ello, primero se arga el paquete para gráfios de Mathematia: Clear["Global`*"]; Needs["VetorFieldPlots`"]. Se da valores fijos a I/I (denotado por J en este ódigo) y : J=0.; =0.5; 3. Definimos nuestro sistema de euaiones junto on sus ondiiones iniiales 0, y 0 así omo también su dependenia on el tiempo t: punto=y; ypunto=j-sin[]- y; eq={'[t]==(punto/.[t]/.yy[t]), y'[t]==(ypunto/.y y[t]/.yy[t]), [0]0,y[0]y0}; 49

150 Superondutividad y Dinámia no lineal 4. Calulamos (t) e y(t) de forma numéria para distintas valores de 0, y oloamos los valores obtenidos en un tabla que posteriormente grafiamos omo las trayetorias en el diagrama fase. 0=-; sol=table[ndsolve[eq/.y0yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol],{t,0,}, DisplayFuntion Identity,PlotStyle Hue[.6],Frame True]; 0=-0.5; sol=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,5}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol],{t,0,}, DisplayFuntion Identity,PlotStyle Hue[.6],Frame True]; 0=0.5; sol3=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias3=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol3],{t,0,}, DisplayFuntion Identity,PlotStyle Hue[.6],Frame True]; 0=; sol4=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias4=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol4],{t,0,}, DisplayFuntion Identity,PlotStyle Hue[.6],Frame True]; 0=.5; sol5=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-,,0.4}]; trayetorias5=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol5], {t,0,},displayfuntionidentity,plotstylehue[.6],frametrue]; 0=; sol6=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias6=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol6],{t,0,}, DisplayFuntionIdentity,PlotStyleHue[.6],FrameTrue]; 0=.5; sol7=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias7=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol7],{t,0,}, DisplayFuntionIdentity,PlotStyleHue[.6],FrameTrue]; 0=3; sol8=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias8=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol8],{t,0,}, DisplayFuntionIdentity,PlotStyleHue[.6],FrameTrue]; 0=3.5; sol9=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias9=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol9],{t,0,}, DisplayFuntionIdentity,PlotStyleHue[.6],FrameTrue]; 0=4; sol0=table[ndsolve[eq/.y0 yy,{[t],y[t]},{t,0,}],{yy,-.8,.8,0.4}]; trayetorias0=parametriplot[evaluate[{[t],y[t]}/.sol9],{t,0,}, 50

151 Alberto Franiso Sandino Hernández DisplayFuntionIdentity,PlotStyleHue[.6],FrameTrue]; 5. Este módulo nos ayuda a oloar el ampo vetorial, por medio de flehas, en el diagrama fase: ampovetorial=vetorfieldplot[{y,j-sin[]-y},{,-, Pi-}, {y,-.5,.8}]; 6. El siguiente módulo grafia las nullinas del sistema: nullinas=plot[{0,(j-sin[])/},{,-, Pi-}, PlotRange{-.5,.8},PlotStyleThik]; Se realiza la llamada de los módulos desritos en los punto 4 al 6 por medio del omando Show para mostrar en un solo gráfio las trayetorias fase, el ampo vetorial y las nullinas del sistema de euaiones. Show[ampovetorial, trayetorias, trayetorias,trayetorias3,trayetorias4, trayetorias5, trayetorias6, trayetorias7,trayetorias8, trayetorias9, trayetorias0, nullinas,graphis[{pointsize[0.03], Blak, Point[{ArSin[J], 0}]}],Graphis[{PointSize[0.03], Blak, Point[{Pi - ArSin[J], 0}]}],Graphis[{PointSize[0.0], White, Point[{Pi - ArSin[J], 0}]}], Graphis[Text[Style["I/I = 0.",,Blak], {-.,.8}]],Graphis[Text[Style["=0.5",, Blak], {-., }]], Axes True, AxesLabel {, y}] Figura 5.7 SOFTWARE: Wolfram Mathematia 8 CÓDIGO FUENTE. Este ódigo fuente nos ayuda a obtener de manera gráfia la funión P(y) del mapeo de Poinaré de primer retorno. Definimos primero el sistema de euaiones: f[_,y_,j_,_]:=y; f[,y_,j_,_]:=j-sin[]- y;. El módulo siguiente se enarga de resolver numériamente el sistema de euaiones por medio de método de Runge-Kutta de uarto orden, oloando los resultados e y en una tabla. solnum[f_,f_,y_,j_,_,n_]:= Module[{h,t,,y,pto,pto,puntosenpi}, h=/n; t={0}; ={0}; y={y}; i=; While[[[i]]<Pi,t=Append[t,0]; =Append[,0];y=Append[y,0];t[[i+]]=t[[i]]+h; [[i+]]= [[i]]+h f[ [[i]],y[[i]],j, ]; y[[i+]]=y[[i]]+h f[ [[i]],y[[i]],j, ];i++]; pto={t[[length[t]-]], [[Length[]-]],y[[Length[y]-]]}; 5

152 Superondutividad y Dinámia no lineal pto={last[t],last[],last[y]}; puntosenpi={pto,pto}] 3. El módulo datos reará una lista on las alturas iniiales y(0) y alturas finales y() para distintas trayetorias, a partir del heho de que este módulo invoará a otros submódulos on la tarea enomendada de enontrar estas alturas dentro de la tabla reada por el módulo solnum del iniso anterior, involurando un proeso iterativo; es deir, que por ada vuelta que una trayetoria da al ilindro, hay una relaión de la altura iniial on la altura final. altura[f_,f_,y_,j_,_,n_]:= Module[{list,alturapi}, list=solnum[f,f,y,j,,n]; alturapi=list[[,3]]+((list[[,3]]-list[[,3]])/(list[[,]]- list[[,]]))*(pi-list[[,]])] vueltas[f_,f_,y0_,j_,_,n_,s_]:= Module[{y,round,k}, y=y0; round=table[y,{s+}]; Do[round[[k]]=altura[f,f,y,J,,n]; y=altura[f,f,y,j,,n],{k,,s+}]; round] altportrayet[f_,f_,yuno_,ydos_,j_,,n_,s_,_]:= Module[{listota,d,y,p}, listota=table[0,{}]; p=(ydos-yuno)/(-); y=yuno+(d-) p; Do[listota[[d]]=vueltas[f,f,y,J,,n,s],{d,,}]; listota] iteraion[f_,f_,yuno_,ydos_,j_,_,n_,s_,_]:= Module[{tabla,numiter,w}, tabla=table[0,{}]; numiter=altportrayet[f,f,yuno,ydos,j,,n,s,]; Do[tabla[[w]]=numiter[[w,s+]],{w,,}]; tabla] datos[f_,f_,yuno_,ydos_,j_,_,n_,s_,_]:= Module[{listgraph,listini,listfinal}, listgraph=table[0,{00}]; listini=iteraion[f,f,yuno,ydos,j,,n,s-,]; listfinal=iteraion[f,f,yuno,ydos,j,,n,s,]; Do[listgraph[[k]]={listini[[k]],listfinal[[k]]},{k,,00}]; listgraph] 7. Por último, se realiza un gráfio de la funión P(y) a través de la siguiente instruión: Show[Plot[x,{x,0,3},PlotStyleGreen],ListPlot[Tooltip[datos[f,f,,3,.5,0.7,00,,00]],AxesOrigin{0,0}], Graphis[Text[Style["P(y)",Blue],{6,7.5}]], Graphis[Text[Style["y ",Blak],{,}]],Graphis[Text[Style["y ",Blue], {3,}]],Graphis[Text[Style["y*",Blue],{ ,}]], AxesLabel{"y(0)","y()"}] 5

153 Alberto Franiso Sandino Hernández Figura 5. SOFTWARE: Maxima y wxmaxima CÓDIGO FUENTE Para obtener la urva orriente-voltaje es neesario alular el promedio, el ual se define omo T ' ' d d T T T 0 0 donde el periodo T es dado por T T d d ' 0 0 Este periodo puede alularse numériamente por medio de la regla ompuesta de Simpson: T 0 d ' n n h 4 3 ' j ' j j ' j ' n n n = 4 3 n ' j ' j j ' j ' n Donde h es el tamaño de ada uno de los n intervalos de integraión. Así, el promedio temporal n puede obtener numériamente de la siguiente manera: ' 3n n n T 4 ' ' ' ' j j j j n. El módulo que se presenta a ontinuaión se enarga de alular tanto ϕ omo ϕ a través del método de Runge-Kutta de uarto orden, oloando los resultados numérios ϕ i y ϕ i en una tabla. Posteriormente, toma los valores ϕ i para realizar de manera numéria el promedio temporal para un solo valor de I/I. fiprimapromedio(orriente,amort,xini,yini,n):= blok([solnum,tabla,subtabla,m,fiprom], solnum:rk([y,orriente-sin(x)-amort*y],[x,y],[xini,yini], [t,0,00,/n]), tabla:makelist(solnum[i][3],i,,length(solnum)), subtabla:sublist(tabla,lambda([h],abs(h)<=4*%pi)), if evenp(length(subtabla))=true then m:length(subtabla) else m:length(subtabla)-, fiprom:m/((/subtabla[])+*sum(/subtabla[*j],j,, 53

154 Superondutividad y Dinámia no lineal (m/)-)+4*sum(/subtabla[(*j)-],j,,m/)+(/subtabla[m])))$. El siguiente módulo alula para ada uno de los distintos valores de I/I, posteriormente onstruiye una tabla on valores (I/I, ). voltajeorriente(a,jmax,xini,yini,n):=blok([voltorr], voltorr:makelist([k,fiprimapromedio(k,a,xini,yini,n)],k,0,jmax,0.0))$ 3. Por último, este módulo se enarga de grafiar los valores de la tabla dada por el módulo anterior: wxdrawd(expliit(x,x,0,),points_joined=true, olor="green",key="0.4",points(voltajeorriente(0.4,,0,,0)), olor="blue",key="0.6",points(voltajeorriente(0.6,,0,,0)), olor="red",key="0.8",points(voltajeorriente(0.8,,0,,0)), olor="orange",key="",points(voltajeorriente(,,0,,0)), olor="blak",key=".",points(voltajeorriente(.,,0,,0)), xlabel="i/i",ylabel="voltaje promedio",yrange=[0,]); 54

155 Alberto Franiso Sandino Hernández Apéndie E Artíulos publiados y presentaión en eventos espeializados Algunos apítulos de este trabajo han sido presentados en distintos eventos tales omo ongresos, seminarios y enuentros así omo también se han publiado artíulos en memorias y revistas; los uales se enlistan a ontinuaión: Artíulo aadémio Aspetos físios e histórios de la superondutividad. A. F. Sandino Hernández. Revista Eutopía Vol. 6, No. 8. Colegio Cienias y Humanidades UNAM. pp Méxio. 03 (Fig. E.). Artíulos en extenso La unión Josephson vista omo un sistema dinámio. A. F. Sandino Hernández y J. L. Del Río Correa. Memorias de Extensos de la XVIII Reunión Naional Aadémia de Físia y Matemátias ESFM IPN. pp Méxio, D.F. 03 (Fig. E.) La teoría de Bragg-Williams omo aso exato de la teoría de Landau. A. F. Sandino Hernández y J. L. Del Río Correa. Memorias del II Enuentro de Estudiantes de Posgrado UAM CINVESTAV. Méxio. 03. Aún sin publiar (Fig. E.3). Conferenias Análisis Cualitativo de los Diagramas Fase para una Unión Josephson. Salón de Seminarios Leopoldo Garía-Colín Sherer. UAM Iztapalapa. Méxio, D.F. 5 de julio de 0 (Fig. E.4). El Estudio de la Superondutividad vista omo una Transiión de Fase. Salón de Seminarios Leopoldo Garía-Colín Sherer. UAM Iztapalapa. Méxio, D. F. 0 de julio de 0 (Fig. E.5). Plátia La teoría de Bragg-Williams omo aso exato de la teoría de Landau. II Enuentro de Estudiantes de Posgrado UAM CINVESTAV. Aula Magna de El Colegio Naional. Méxio, D. F. de septiembre de 03 (Fig. E.6). Presentaiones murales La Teoría Marosópia de la Superondutividad. A. F. Sandino Hernández y J. L. Del Río Correa. LIV Congreso Naional de Físia SMF. Mérida, Yuatán. 0 (Fig. E.7). La teoría de Bragg-Williams omo aso exato de la teoría de Landau. A. F. Sandino Hernández y J. L. Del Río Correa. LV Congreso Naional de Físia SMF. Morelia, Mihoaán. 0 (Fig. E.8). Sistemas dinámios y la unión Josephson. A.F. Sandino Hernández y J. L. Del Río Correa. LVI Congreso Naional de Físia SMF. San Luis Potosí, San Luis Potosí. 03 (Fig. E.9). La unión Josephson vista omo un sistema dinámio. A. F. Sandino Hernández y J. L. Del Río Correa. XVIII Reunión Naional Aadémia de Físia y Matemátias ESFM IPN. Méxio, D.F. 03 (Fig. E.0). 55

156 Superondutividad y Dinámia no lineal Fig. E. Fig. E. Fig. E.3 Fig. E.4 56

157 Alberto Franiso Sandino Hernández Fig. E.5 Fig. E.6 Fig. E.7 Fig. E.8 57

158 Superondutividad y Dinámia no lineal Fig. E.9 Fig. E.0 58