MODELO DE UN SISTEMA MÁQUINA BUS INFINITO USANDO EXPANSIÓN PARCIAL EN SERIES DE POTENCIA Y EL MÉTODO DE FORMAS NORMALES

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1 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. MODELO DE UN SISTEMA MÁQUINA BUS ININITO USANDO EXPANSIÓN PARCIAL EN SERIES DE POTENCIA Y EL MÉTODO DE ORMAS NORMALES Irma Martíne Carrillo Universidad Autónoma del Estado de Méio, UAEMe imartinea@uaeme.m Carlos Juáre Toledo Universidad Autónoma del Estado de Méio, UAEMe, juaret@uaeme.m Resumen En este trabajo se propone un modelo analítio basado en el método de formas normales para representar el omportamiento de un sistema máquina bus infinito (MBI). En esta propuesta se plantea la posibilidad de epandir parialmente en series de potenia la no linealidad de un sistema representado por euaiones difereniales ordinarias on la finalidad de onservar lo más posible la forma original del sistema de estudio. Para verifiar la onfiablidad del método propuesto, se presenta una omparaión on la soluión numéria del omportamiento original del sistema de estudio mediante erramienta Matlab, se utilian tres diferentes parámetros de potenia meánia omo señales de entrada. Palabras Claves: Epansión en series de potenia, formas normales, máquina bus infinito, potenia meánia.. Introduión Las euaiones que representan el omportamiento natural de los sistemas elétrios de potenia (SEP), ontienen no linealidades que difiulta la obtenión Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~54~

2 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. de un modelo analítio que permita onoer e identifiar la interaión de sus variables on el resto del sistema. Atualmente an surgido erramientas analítias no lineales omo lo es el método de formas normales de segundo, terer orden u orden superior [,, ]. Convenionalmente la apliaión del método requiere la epansión en series de potenia del sistema original, una desventaja visible es que se pierde informaión relevante de parámetros onstantes omo lo es la potenia meánia; En este trabajo se propone un método analítio, donde se epande en series de potenia parialmente la no linealidad del sistema original on la finalidad preservar lo más posible las euaiones dinámias que representan el omportamiento original del sistema.. Desarrollo Para el modelo lásio de un SEP omo el que se muestra en la figura, las euaiones que representan la dinámia del sistema MBI están desritas por las euaiones. igura Diagrama esquemátio de un sistema MBI. [4] dω = dt dδ =ω dt o ω [ Pm Dω Pma sen( δ) ] Las araterístias de los elementos que intervienen en las euaiones se muestran en la tabla. Definiendo el vetor de estados omo [ ] T [ ] T meánia ( P m ) es una señal de entrada. () () = = δ ω mientras que la potenia Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~55~

3 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. Tabla. Elementos del SEP. Símbolo Elemento Unidad de medida δ Posiión angular del rotor radianes ω Veloidad angular del rotor radianes segundo P m Potenia meánia p. u. D El oefiiente de amortiguamiento p. u. Constante de ineria segundos Introduión a las formas normales El método de formas normales es una erramienta para el análisis estudio del omportamiento de sistemas desrito por un onjunto de euaiones difereniales no lineales alrededor de un punto de interés [5,6], euaión. n n n = = f () f i (), R, f : R R () i= i Donde es el vetor de estados del sistema f () representa un ampo vetorial el ual ontiene términos lineales no lineales [7]. Se onsidera que () es ontinuo, entones la epansión en series de potenia de () es representado por la euaión 4. f Con k i= k ( ) = flin f nolin = A f i ( ) O (4) = f = A= Df el ual ontiene la parte lineal del ampo lin = o vetorial original = k nolin fi i= f () ontiene la parte no lineal del ampo vetorial; ada f i () es un vetor de epresiones analítias que ontiene funiones polinomiales de grado i en, para i [8]. De forma esquemátia la figura, muestra la implementaión del método. Donde los oefiientes de la transformada en formas normales de segundo terer orden están dados por la euaión 5, []. C = C (5) j j j kl j kl kl =, klm, λ k λ l λ j λ k λl λ m λ j Para j =,,..., n donde λ k λ l λ j, λ λ l λ m λ j k, generadas por la no linealidad de segundo u orden maor. j C kl j C kl son Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~56~

4 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. igura Representaión esquemátia del método de formas normales. [9] Implementaión parial de método de formas normales Para la implementaión del método propuesto, onsidérese la euaión, a que ontiene un parámetro no lineal omo se muestra en la figura. igura Tipifiaión no lineal del omportamiento dinámio del sistema. Epandiendo en series de potenia de terer orden la funión no lineal alrededor de δ = en la euaión, resulta la euaión 6. ( δ ) δ δ sen (6)! Sustituendo euaión 6 en euaión, se obtiene una funión equivalente de (), on no linealidad de terer orden de la forma en que se apreia en la euaión 7. d ω = P ω δ δ m D P ma (7) dt! Como puede observarse en la euaión 7, la no linealidad que se origino es de terer orden, es deir, no ontiene términos no lineales de segundo orden, produiendo una representaión matriial equivalente omo la mostrada en la euaión 8. Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~57~

5 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~58~ δ ω δ ω ω δ P P P D P dt d dt d m T T m o! A! ma ma (8) Donde [ ] [ ] T T = ω δ =, A ontiene los términos lineales del sistema, mientras ontiene los términos originados de terer orden. La apliaión de una primera transformaión lineal permite identifiar en forma eplíita el efeto de los parámetros del sistema en la evoluión de ada eigenvalor de interés []. Con objeto de permitir una mejor omprensión del modelo propuesto se ae uso de la transformaión lineal = en (8) para obtener la forma anónia de Jordan on eigenvalores λ λ,, resultando la euaión 9. =Λ = m T T P! U U! A U (9) En donde n C es el vetor de variables de Jordan, ontienen funiones pólinomiales de terer orden inlue la potenia meánia omo parte del modelo. El objetivo de la implementaión del método de formas normales, es eliminar las no linealidades de segundo, terer u orden superior, por lo tanto, se introdue la transformaión no lineal de la euaión = = () Sustituendo euaión en euaión 9, resulta la euaión. [ ] [ ] s O D D I Λ Λ =Λ Λ =!! ()

6 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. Donde s O representa todos los términos de uarto orden superior, que no podrán ser eliminados, por lo tanto, para la implementaión de este método se onsidera despreiable []. De la euaión, supóngase que eisten oefiientes,,, 8 que satisfae la relaión, euaión.! ( ) ( ) = D ( ) Λ Λ ( ) Por lo tanto, ada uno de los oefiientes de terer orden es obtenido mediante la euaión 5. Una ve eliminados los términos no lineales de terer orden se obtiene la representaión de la euaión. () =Λ () Para obtener una representaión analítia del modelo, onsidérese las ondiiones iniiales de terer orden que omputaionalmente tiene la soluión = = U - o para ondiiones iniiales o que además satisfae la euaión, de tal forma, euaión 4. - ( ) U o = ( ) = (4) De la soluión de (4), son obtenidas las ondiiones iniiales de terer orden. Apliando transformada de Laplae a euaión para un sistema matriial no omogéneo [] se obtiene la euaión 5. Donde ( s) - = [ ( s) ] = [ si-λ] λt - e f = λ t (5) ( s) e f ontiene parámetros de la potenia meánia, omo la potenia meánia es una señal de entrada, onsidérese ( s) onstante en un intervalo de tiempo. P K m =, para K un valor s Sustituendo de forma regresiva en euaión resulta euaión 6 Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~59~

7 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. λt λt λt e f e f e g t = = λ t λ t λ t (6) e f e f e g Con g g funiones generadas por las no linealidades de terer orden del sistema, El último paso en este proeso es la obtenión de soluiones analítias en oordenadas físias. Apliando la transformaión, 7. =, se obtiene euaión λt e g = U = f lineal f nolineal t λ (7) e g Las soluiones analítias de euaión 7 tienen una interpretaión físia de interés, a que la parte lineal ontiene la partiipaión individual de ada uno de los parámetros on el resto del sistema, mientras que la parte no lineal ontiene la relaión entre los parámetros del modelo de estudio.. Resultados El sistema de estudio se muestra en la figura 4, este sistema representa una planta generadora ubiada en una región distante, la ual está ompuesta por uatro generadores de 555 MVA, 4 kv 6, transmitiendo potenia a través de un enlae radial a un sistema de gran dimensión representado por un bus infinito []. Para propósitos de estudio, el sistema se representó mediante un modelo lásio; se despreia la resistenia de enlae de transmisión el omportamiento dinámio del generador se representa mediante la euaión de osilaión on amortiguamiento. igura 4 Diagrama unifilar del sistema de estudio [4]. Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~6~

8 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. Parámetros de la máquina Los parámetros de la máquina la red son MVA base siendo los siguientes: =. 5MWs/ MVA, D= p.u., X d =. p.u. Parámetros del sistema de transmisión: ' o o t B. P=. 9 p.u., Q=. p.u., E =. 6, E =. 995, Pma =. 76 Equivalenia no lineal del sistema MBI original. flineal = (pm*e(l*t)*(.75*^(-7) -.97i).9998*l**e(l*t).9998*l**e(l*t) pm*(.97i -.75*^(-7)))/l (l*pm*(.75*^(-7) -.97i) l*pm*e(l*t)*(.97i -.75*^(-7)))/(l*l) - (.*(pm*( i) pm*e(l*t)*(.646i -.74) l**e(l*t)*( i) l**e(l*t)*(.i.894)))/l - (.*(l*pm*(.646i.74) l*pm*e(l*t)*(-.646i -.74)))/(l*l) fnolineal = ^*e(*l*t)*(-.i -.79) ^*e(*l*t)*(.i -.79) (pm^*(.54i -.54))/l^ (pm^*(-.54i -.54))/l^ (pm^*e(*l*t)*( i))/l^ (pm^*e(*l*t)*(.54i.54))/l^ (pm^*e(l*t)*( i))/l^ (pm^*e(l*t)*(.6i.54))/l^ (pm^*(.5i *^(-9)))/(l*l^) (pm^*(.484*^(-7) -.5i))/(l^*l) (pm^*e(*l*t)*(.6i -.54))/l^ (pm^*e(*l*t)*(-.6i -.54))/l^ (pm^**e(l*t)*(.459i.4778))/l^ (pm^**e(l*t)*( *^(-8)i))/l^ (pm^**e(l*t)*(8.55*^(-8)i.9))/l^ (pm^**e(l*t)*( i))/l^ *^*e(l*t)*e(*l*t)*(4.6*^(-9)i -.99) ^**e(l*t)*e(*l*t)*(- 4.6*^(-9)i -.99) (pm*^*e(*l*t)*( i))/l (pm^**e(*l*t)*(-.979i ))/l^ (pm*^*e(*l*t)*(.9985i -.988*^(-8)))/l (pm*^*e(*l*t)*(-.9985i *^(-9)))/l (pm*^*e(*l*t)*(.46i.6))/l (pm^**e(*l*t)*(.979i ))/l^ (pm^*e(l*t)*(8.68*^(-9) -.5i))/(l*l^) (pm^*e(l*t)*(.5i *^(-7)))/(l^*l) (pm^*e(l*t)*(.654*^(-8) -.5i))/(l*l^) (pm^*e(l*t)*(.5i -.484*^(-7)))/(l^*l) (pm*^*e(*l*t)*(.46i -.6))/l (pm^**e(*l*t)*(.459i.4778))/l^ (pm*^*e(*l*t)*(-.46i -.6))/l (pm^**e(*l*t)*( i))/l^ (pm^*e(*l*t)*(.484*^(-7) -.5i))/(l^*l) (pm^*e(*l*t)*(.5i *^(-9)))/(l*l^) (pm^*e(lt)e(lt)(.5i -.654*^(-8)))/(l*l^) (pm^*e(lt)e(lt)(6.969*^(-7) -.5i))/(l^*l) (pm^**e(*l*t)*(.7*^(-7)i.6785))/(l*l) (pm^**e(*l*t)*( *^(-8)i))/(l*l) (pm^*e(l*t)*e(*l*t)*(8.68*^(-9) -.5i))/(l*l^) (pm^*e(l*t)*e(*l*t)*(.5i -.484*^(-7)))/(l^*l) (pm^**e(lt)e(lt)(-.7*^(-7)i ))/l^ (pm^**e(lt)e(lt)(.*^(-8)i ))/l^ (pm^**e(l*t)*(-.7*^(-7)i ))/(l*l) (pm^**e(l*t)*(.*^(-8)i ))/(l*l) (pm*^*e(l*t)*e(*l*t)*(.9985i 9.58*^(-9)))/l (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*(8.55*^(-8)i.9))/l^ (pm*^*e(l*t)*e(*l*t)*(.988*^(-8) i))/l (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*( *^(-8)i))/l^ (pm***e(l*t)*e(*l*t)*(.997i -.976*^(-8)))/l (pm***e(l*t)*e(*l*t)*(-.997i -.97*^(-8)))/l (pm^**e(lt)e(lt)(.7*^(-7)i.6785))/(l*l) (pm^**e(lt)e(lt)( *^(-8)i))/(l*l) (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*(-.7*^(-7)i-.6785))/(l*l)(pm^**e(l*t)*e(*l*t)*(.*^(-8)i-.6785))/(l*l)(pm***e(l*t)*e(l*t) *(.976*^(-8) -.997i))/l (pm***e(lt)e(lt)(.997i.97*^(-8)))/l ^*e(*l*t)*(9.*^(-6) -.5*^(-6)i) ^*e(*l*t)*(.5*^(-6)i 9.*^(-6)) (pm^*(-.68i - 4.9*^(-5)))/l^ (pm^*(.68i - 4.9*^(-5)))/l^ (pm^*e(*l*t)*(.68i 4.9*^(-5)))/l^ (pm^*e(*l*t)*(4.9*^(-5) -.68i))/l^ (pm^*e(l*t)*(.85i.47))/l^ (pm^*e(l*t)*( i))/l^ (pm^*(.84i.44))/(l*l^) (pm^*( i))/(l^*l) (pm^*e(*l*t)*(-.85i -.47))/l^ (pm^*e(*l*t)*(.85i -.47))/l^ (pm^**e(l*t)*(4.5*^(-5)i -.94))/l^ (pm^**e(l*t)*( i))/l^ (pm^**e(l*t)*(.7i.648))/l^ (pm^**e(l*t)*(- 4.5*^(-5)i -.94))/l^ *^*e(l*t)*e(*l*t)*(.679i *^(-5)) ^**e(l*t)*e(*l*t)*(-.679i *^(-5)) (pm*^*e(*l*t)*(9.4*^(-5)i.76*^(-5)))/l (pm^**e(*l*t)*( *^(-5)i))/l^ (pm*^*e(*l*t)*(.89i -.99))/l (pm*^*e(*l*t)*(-.89i-.99))/l (pm*^*e(*l*t)*(.76*^(-5) - 9.4*^(-5)i))/l (pm^**e(*l*t)*(8.67*^(-5)i.689))/l^ (pm^*e(l*t)*(-.84i -.44))/(l*l^) (pm^*e(l*t)*(.468i ))/(l^*l) (pm^*e(l*t)*(-.468i ))/(l*l^)(pm^*e(l*t)*(.84i-.44))/(l^*l)(pm*^*e(*l*t)*(-9.4*^(-5)i-.76*^(-5)))/l (pm^**e(*l*t)*(4.5*^(-5)i -.94))/l^ (pm*^*e(*l*t)*(9.4*^(-5)i -.76*^(-5)))/l (pm^**e(*l*t)*(- 4.5*^(-5)i -.94))/l^ (pm^*e(*l*t)*( i))/(l^*l) (pm^*e(*l*t)*(.84i.44))/(l*l^) (pm^*e(lt)e(lt)(.468i.4848))/(l*l^) (pm^*e(lt)e(lt)( i))/(l^*l) (pm^**e(*l*t)*(.47i.86))/(l*l) (pm^**e(*l*t)*( i))/(l*l) (pm^*e(l*t)*e(*l*t)*(-.84i -.44))/(l*l^) (pm^*e(l*t)*e(*l*t)*(.84i -.44))/(l^*l) (pm^**e(lt)e(lt)(-.47i -.86))/l^ (pm^**e(lt)e(lt)(.47i -.86))/l^ (pm^**e(l*t)*(-.47i -.86))/(l*l)(pm^**e(l*t)*(.47i-.86))/(l*l)(pm*^*e(l*t)*e(*l*t)*(.89i.99))/l (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*(.7i.648))/l^(pm*^*e(l*t)*e(*l*t)*( i))/l (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*( i))/l^ (pm***e(l*t)*e(*l*t)*(.784i -.499))/l (pm***e(l*t)*e(*l*t)*(-.784i -.499))/l (pm^**e(lt)e(lt)(.47i.86))/(l*l) (pm^**e(lt)e(lt)( i))/(l*l) (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*(-.47i-.86))/(l*l) (pm^**e(l*t)*e(*l*t)*(.47i -.86))/(l*l) (pm***e(lt)e(lt)( i))/l (pm***e(lt)e(lt)(.784i.499))/l Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~6~

9 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. Utiliando los datos nominales del sistema de estudio en (8) se obtiene la representaión matriial de la forma euaión 8 dδ πδ ω 76 ω 76 d dt.. δ k (8)! dt Donde la potenia meánia P m se onsiderara omo una señal de entrada onstante k apliada. Siguiendo la metodología propuesta, para el modelo de estudio se onsideraran las señales de entrada de la tabla, sus respetivas ondiiones iniiales. Tabla. Condiiones iniiales ante una señal de entrada del sistema de estudio. Señal de entrada P m =. u p.u. p.u. p.. P m =. 59u P m =. 7u u λ Condiiones iniiales o -.74± 7.96i [ 5 ] T.±.i A partir de las ondiiones iniiales de la tabla, se proedió a llevar a abo la implementaión del método propuesto en la seión.. Para omprobar la valide de los resultados se programó la soluión numéria del sistema de euaiones originales en () () se ompararon los resultados on la metodología propuesta de las figuras 5, 6 7. igura 5 Posiión veloidad angular ante entrada P m =. 59u p. u. Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~6~

10 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. igura 6 Posiión veloidad angular ante entrada P m =. 7u p. u. = igura 7 Respuesta de salida ante entrada P m. 7u p. u. Para ilustrar el efeto de los términos no lineales la relaión que mantiene la potenia meánia on el resto del sistema, en el apéndie B, se muestran las euaiones en el dominio del tiempo obtenidas por el modelo propuesto. 4. Disusión Ante el reimiento de poblaión, la demanda del uso de energía elétria a provoado el desarrollo de métodos ténias de análisis alternativos o omplementarios a los modelos onvenionales de la estabilidad de pequeña señal. La maoría de las erramientas desarrolladas en este ampo analian el omportamiento del sistema utiliando ténias de análisis lineal, lo que en gran medida afeta a la naturalea del sistema a que elimina parámetros del sistema que tienen efetos onsiderables en la interaión o partiipaión on ada una de Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~6~

11 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. las variables del mismo, que no se ven afetados asta que surgen grandes ambios o perturbaiones que afetan al sistema. 5. Conlusiones En este trabajo, se propone una alternativa metodológia basada en la teoría de formas normales sobre la epansión parial del modelo de estudio original matemátia simbólia para determinar los efetos de terer orden en el omportamiento dinámio no lineal de un sistema de potenia, sin embargo es un proedimiento generaliado permite eliminar las no linealidades de ualquier orden presentadas por la naturalea del modelo de estudio. Una de las araterístias del método propuesto es que el grado de eatitud dependerá de la magnitud de la potenia meánia omo entrada. El análisis también sugiere que los efetos no lineales maormente se presentan en el sistema uando la perturbaión llega a ser grande. 6. Bibliografía Referenias [] I. Martine, A. R. Messina, E. Baroio, iger-order Normal orm Analsis of stressed Power Sstems: A undamental Stud. Eletri Power Components and sstems. Volume. No. 8. Deember 4. Pp. 7. [] A.. Nafe, Te Metod of Normal orms. Seond edition.. Jon Wile & Sons. Singapore. ISBN [] M. an, P. Yu, Normal orms, Melnikov untions and Bifurations of Limit. er Edition.. Springer Siene. New York. ISBN [4] Irma Martíne, Carlos Juáre, Modelado de un Sistema Máquina Bus Infinito Usando Transformada de Laplae. Pistas eduativas. Núm.. Noviembre 5. Pp ISSN [5] J. Gukeneimer, P. olmes, Nonlinear Osillations, Dnamial Sstems, and Bifuration of Vetor ields. er edition. 98. Springer Verlag. New York. Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~64~

12 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. [6] Yao-Nan Yu, Eletri power sstem dnamis. irst Edition. 98. Aademi press. New York. ISBN [7] V. I. Arnold, Geometrial metods in te teor of ordinar differential equations. Seond Edition Springer Verlag. New York. ISBN [8] A.. Nafe, Metod of Normal orms (Wile Series in Nonlinear Siene). st Edition. 99. Jon Wile & Sons. New York. ISBN [9] I. Martíne, A. R. Messina, E. Baroio, Perturbation Analsis of Power sstems: Effets of Seond and- Tird-Order Nonlinear Terms on sstem Dnami Beavior. Eletri Power Sstems Resear. Volume 7. Issue. Otober 4. Pp ISSN: [] V.. Edneral, A smboli approimation of periodi solutions of te enon-eiles sstem b te normal form metod. Matematis and Computers in Simulation. Volume 45. Issue 5-6. Mar 998. Pp [] I. Martíne, A. R. Messina, V. Vittal, Normal orm Analsis of Comple Sstem Models: A Struture-Preserving Approa, IEEE Transations on Power Sstems. Volume. Issue 4. November 7. Pp ISSN: [] K. Ogata, Modern Control Engineering. ift Edition.. Prentie all. New Jerse. ISBN: 65678, [] P. Kundur, Power Sstem Control and Stabilit. st Edition MGaw- ill. EE.UU. ISBN X. 7. Autores Dra. Irma Martíne Carrillo obtuvo su título de Maestría Dotorado en Cienias on espeialidad en Ingeniería Elétria del CINVESTAV, Unidad Guadalajara, 8 respetivamente, Ganadora de los ertámenes naionales de tesis en el área de Informátia Control a nivel Maestría Dotorado en 5 9. Atualmente es profesora de tiempo ompleto en la UAEMe. Dr. Carlos Juáre Toledo obtuvo su título de Maestría Dotorado en Cienias on espeialidad en Ingeniería Elétria del CINVESTAV, Unidad Guadalajara, Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~65~

13 Pistas Eduativas, No., noviembre 6. Méio, Tenológio Naional de Méio/Instituto Tenológio de Celaa. 8 respetivamente, desarrollo una estania dotoral en el departamento de Elétria Computaión de NU, Boston, Massaussets en 5 una estania posdotoral en la aultad de Ingeniería Elétria en la UNAM en 8-9. Atualmente es profesor de tiempo ompleto en la UAEMe. Pistas Eduativas Año XXXVIII - ISSN Certifiado de Liitud de Título 66; Certifiado de Liitud de Contenido 4777; Epediente de Reserva ~66~