Modos guiados en un sistema de multicapas dieléctricas de Thue-Morse

Transcripción

1 Superfiies y Vaío 3(4) 9-14, diiembre de 010 Modos guiados en un sistema de multiapas dielétrias de Thue-Morse A. Aguirre-Méndez * Faultad de Cienias de la Eletrónia, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 14 Sur y San Claudio, Ciudad Universitaria, C.P. 7570, Cd. Puebla, Méxio X. I. Saldaña-Saldaña Instituto de Físia de la Universidad Autónoma de Puebla, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 14 Sur y San Claudio, Ciudad Universitaria, C.P. 7570, Cd. Puebla, Méxio M. P. Sampedro Instituto de Físia de la Universidad Autónoma de Puebla, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 14 Sur y San Claudio, Ciudad Universitaria, C.P. 7570, Cd. Puebla, Méxio. (Reibido: 8 de julio de 010; Aeptado: 4 de noviembre de 010) En este trabajo se presenta el álulo de los modos eletromagnétios guiados en un sistema de multiapas dielétrias aperiódio del tipo Thue-Morse. En este aso los dielétrios se onsideran sin absorión ni disipaión de luz. Para analizar los modos guiados en este tipo de superred se resuelve la euaión de onda de Maxwell y se aplia el método de la matriz de transferenia y la aproximaión raional. Se alula el diagrama de bandas de los modos guiados variando el índie de refraión y el grosor de las apas, así mismo se india bajo qué ondiiones tenemos modos guiados en esta superred. Se observó que las bandas permitidas de los modos guiados del sistema aperiódio de Thue-Morse se van fraionando presentando el fenómeno de autosimilaridad. Palabras lave: Multiapas dielétrias; Modos guiados; Sistema aperiódio Thue-Morse The numerial analysis of the eletromagneti guided waves in a non-periodi Thue-Morse layer media is presented. We do not onsider absorption or dissipation of light in the dieletri layers. To analyze the guided waves, the solution of the wave Maxwell s equation in eah layer is found, thus the matrix method and the rational approximation are used. The band strutures of the guided modes are omputed varying the refrative index and the thikness of the layers for different generation of the Thue-Morse sequene and the onditions for the existene of the guided modes in these systems are explained. The band diagrams of the guided modes are split aording with the aperiodi system Thue-Morse showing autosimilarity. Keywords: Dieletri multilayer; Guided modes; Aperiodi system Thue-Morse 1. Introduión Un ristal es un arreglo periódio de átomos o moléulas. El patrón on el ual los átomos o moléulas son repetidos en el espaio es la red del ristal. El ristal presenta un potenial periódio para un eletrón propagándose a través de él, los onstituyentes del ristal y la geometría de la red, rigen las propiedades de onduión del ristal. Sin embargo, la red puede inluso prohibir la propagaión de algunas ondas. Podría haber gaps en la estrutura de bandas del ristal, esto signifia que los eletrones on ierta energía no se pueden propagar en algunas direiones. Si el potenial de la red es lo sufiientemente fuerte, el gap puede extenderse para ubrir todas las posibles direiones de propagaión resultando una banda prohibida ompleta (omplete band gap). Por ejemplo, un se Figura 1. Perfil de índie de refraión para la generaión tres de la seuenia aperiódia de Thue Morse. miondutor tiene una banda prohibida ompleta entre la banda de energía de valenia y la banda de energía de onduión. * luge@ee.buap.mx 9

2 Superfiies y Vaío 3(4) 9-14, diiembre de 010 Figura. a) Modos guiados en un sistema on una elda unitaria de dos plaas (n1=1, n=, L1=L=0.5, Λ=1) para polarizaión S y d) para polarizaión P. b) K B real para la polarizaión S on B= y ) la parte imaginaria. e) K B real para la polarizaión P on B= y f) la parte imaginaria. La analogía óptia a los ristales son los llamados ristales fotónios, en los uales los átomos o moléulas son reemplazados por un medio marosópio on diferentes onstantes dielétrias y el potenial periódio es reemplazado por una funión dielétria periódia equivalente a un índie periódio de refraión. Si las onstantes dielétrias de los materiales en un ristal fotónio son sufiientemente distintas, y si la absorión de la luz es mínima o nula, entones las reflexiones y transmisiones de la luz de todas las interfaes pueden produir muhos fenómenos para fotones pareidos a los que el potenial atómio produe para los eletrones [1] A partir de los trabajos de E. Yablonovith [] y S. John [3] se empieza a onsiderar el estudio de estos materiales onoidos omo ristales fotónios. En este aso se observa que variando las propiedades óptias de estos sistemas se puede guiar la radiaión eletromagnétia y diseñar nuevos dispositivos óptios [4]. En partiular, los ristales fotónios unidimensionales pueden utilizarse omo: filtros, espejos y en apliaiones para óptia no lineal, que en prinipio pueden funionar en un amplio rango de energía, entre otros. Muhos de estos dispositivos están hehos on multiapas periódias. El objetivo de este estudio es alular el diagrama de bandas en la región de los modos guiados y mostrar gráfiamente la autosimilaridad de ristales fotónios unidimensionales infinitos on una elda unitaria aperiódia ordenada de auerdo on la seuenia reursiva Thue-Morse. La ventaja de tener una elda unitaria no periódia es que el diagrama de bandas presenta minigaps a diferenia de tener una periódia, esto nos puede servir para tener gaps on rangos más seletivos de freuenias. Los sistemas aperiódios también presentan la propiedad de autosimilaridad que se refleja en todas sus propiedades óptias. Para el estudio de estos sistemas se 10 resuelve la euaión de onda de Maxwell para ada apa, y se aplia el método de la matriz de transferenia. El teorema de Bloh es utilizado on eldas unitarias periódias, entones para poder apliarlo a las eldas unitarias de Thue-Morse será neesario emplear la aproximaión raional que onsiste en onsiderar a la elda unitaria omo un número de plaas ordenadas de auerdo a las generaiones de la seuenia aperiódia que se desee. Entre mayor sea el número de apas que ontenga la elda unitaria, mayor será la aproximaión al sistema infinito.. Modelo Los sistemas periódios se forman mediante la repetiión infinita de una elda unitaria que ontiene un número arbitrario de apas. Para este trabajo, graias a la aproximaión raional, se puede formar la elda unitaria siguiendo una relaión de reurrenia de Thue-Morse [5] que se representa matemátiamente de la siguiente manera: S ˆ j = S j 1 & S j esto es, se van onstruyendo 1 generaiones suesivas de la seuenia aperiódia, de manera que uando j es infinito se tiene el sistema ompleto de multiapas aperiódio. Aquí & signifia la unión del onjunto S j-1 y Ŝ j-1. En este aso si el valor iniial es S 0 =A entones Ŝ 0 signifia ambiar A por B. Así S 1 =S 0 &Ŝ 0 ={A}&{B}={AB}; S =S 1 &Ŝ 1 ={AB}&{BA}={ABBA}; S 3 =S &Ŝ ={ABBA}&{BAAB}={ABBABAAB}; y así suesivamente. Aquí A y B representan apas dielétrias homogéneas, isotrópias y no magnétias araterizadas por un índie de refraión positivo onstante, así que no presentan absorión ni disipaión de luz, estas restriiones se toman para observar mejor la propiedad de

3 Superfiies y Vaío 3(4) 9-14, diiembre de 010 Figura 4. a) Modos guiados para la segunda generaión de Thue-Morse (n1=1, n=, L1=L=0.5, Λ=) para polarizaión s y d) para polarizaión p. b) K B real para la polarizaión s on B= y ) la parte imaginaria. e) K B real para la polarizaión p on B= y f) la parte imaginaria. Figura 4. a) Modos guiados para la uarta generaión de Thue-Morse (n1=1, n=, L1=L=0.5, Λ=8) para polarizaión s y d) para polarizaión p. b) K B real para la polarizaión s on B= y ) la parte imaginaria. e) K B real para la polarizaión p on B=1 y f) la parte imaginaria. multifratalidad, porque si tenemos absorión y disipaión esta propiedad desaparee. En la figura 1 se presenta el perfil de índies de refraión de la elda unitaria de Thue- Morse orrespondiente a la generaión j=3. 3. Teoría Dos de los resultados más importantes de las euaiones de Maxwell son: la euaión de onda y la existenia de ondas eletromagnétias, siendo éstas las soluiones a la euaión de onda, que en general tienen aráter vetorial. En nuestro aso la geometría del problema nos permite haer un análisis unidimensional de la soluión de la euaión de 11 onda en el que la soluión es una onda plana monoromátia de la forma r r Ψ = i( ωt k r ) Ae donde A representa la amplitud del ampo elétrio o del magnétio que se enuentran relaionados a través de las euaiones de Maxwell. Uno de los problemas más importantes es la determinaión de la propagaión eletromagnétia a través de medios laminados por lo que aprovehamos que en medios dielétrios, las omponentes tangeniales a las interfases de los vetores del ampo elétrio y del ampo magnétio (1)

4 Superfiies y Vaío 3(4) 9-14, diiembre de 010 se onservan, estableiendo el método de la matriz de transferenia que nos permite analizar la forma en que ambian las amplitudes del ampo elétrio y magnétio al propagarse en la estrutura. La matriz de transferenia para ada plaa es [6]: i 1 osφ l senφl Ql = Dl Pl Dl = α () l os iαlsenφl φl donde D l es la matriz dinámia para las interfases y P l es la matriz de propagaión dentro del medio l. Y ω ω φ l = nl osθldl = nl β dl = klxd (3) l para la polarizaión S tenemos: Figura 5. Modos guiados para la generaión 5 de Thue-Morse (n1=1, n=, L1=L=0.5, Λ=16). a) para la polarizaión s y b) para la polarizaión p nlω α l = nl osθ l = ω y para la polarizaión P β nl αl = = osθ l ω nl nlω β (4) (5) Si tenemos una elda unitaria periódia on sólo dos plaas (S 1 =AB), tenemos que la matriz de transferenia para la elda unitaria es Q T =Q A Q B, por lo tanto, podemos utilizar el teorema de Bloh que nos ondue a la relaión de dispersión 1 os K B Λ = Tr[ QT ] (6) Si el módulo de un medio de la traza es menor que uno tendremos que el vetor de onda de Bloh K B es real y los modos se propagan a través de la estrutura; en aso ontrario K B es un número imaginario puro y obtenemos ondas evanesentes, que orresponden a las bandas prohibidas, los límites de las bandas se dan uando el módulo de un medio de la traza es igual a uno. n1ω nω < β < (7) Figura 6. a) Diagrama de bandas on respeto al ontraste de índies de refraión de la generaión 5 de Thue-Morse on L 1 =L y B=1 para la polarizaión s y b) para la polarizaión p Cuando se umple la desigualdad (7) entones el sistema tiene la apaidad para presentar modos guiados esta ondiión es fundamental, esto es posible porque n >n 1. Los modos guiados existen en las plaas on índie de refraión mayor (n ) y en las plaas on índie de refraión menor (n 1 ) hay ondas evanesentes que pueden interferir onstrutivamente si los anhos de las plaas son pequeños. Este riterio de modos guiados es válido para un sistema de multiapas arbitrario que ontenga úniamente dos tipos de plaas A y B. 1

5 Superfiies y Vaío 3(4) 9-14, diiembre de 010 Figura 7. a) Diagrama de bandas para la generaión 10 de la seuenia de Thue-Morse on L1=L y B=1 para la polarizaión s y b) para polarizaión p. Figura 8. a) Diagrama de bandas on respeto al ontraste de grosores de las plaas del sistema de multiapas, para la generaión 5 de Thue-Morse on n 1 =1.5, n =3.5 y B=1 para la polarizaión s y b) para la polarizaión p. 13 Q (8) = T Q i i= 1 siendo i el número total de plaas y ada Q i orresponde a ada plaa que ontenga el sistema. 4. Resultados Para obtener las gráfias siguientes, se utilizó una normalizaión para manejar antidades adimensionales, y así haer más general el análisis, es deir, una gráfia sirve para distintas regiones de energía omo: el visible, el infrarrojo, el ultravioleta, et. La normalizaión es la siguiente: Λ W = ω, B = βλ y K B = KBΛ y d L l = l, donde Λ es Λ la suma de todos los grosores de las apas, ontenidas en la elda unitaria. Utilizando (6) obtenemos los modos guiados para el sistema periódio que se presenta en la figura. El índie de refraión para la lámina uno es n 1 =1 on un grosor L 1 =0.5 y para la lámina dos n = y L =0.5. En las figuras a) y d) se muestran el diagrama de bandas para la polarizaión s (TE) y para la polarizaión p (TM), respetivamente. Como se podrá observar, las bandas están limitadas por un ono formado por dos líneas retas: la línea on la pendiente mayor orresponde a la relaión ω = β y la línea on pendiente menor orresponde a n 1 ω = β siendo n >n 1. En esta región β umple on la n desigualdad (7), que es la región donde obtenemos los modos guiados. En las figuras b) y ) se muestra la parte real e imaginaria del vetor de onda de Bloh uando B= para la polarizaión s y en las figuras e) y f) para la polarizaión p. En las regiones de energía donde el vetor de onda de Bloh es real, las ondas eletromagnétias se propagan a través del medio. En las regiones de energía donde el vetor de onda de Bloh es puramente imaginario no existe propagaión de la radiaión. En la figura 3 se presentan resultados para la segunda generaión de Thue-Morse (S =ABBA), esto es, la elda unitaria en este aso ontiene N= =4 apas ordenadas de auerdo on la seuenia propuesta. De aquí en adelante Q A orresponderá para una lámina A dielétria, on un grosor L 1 =0.5, homogénea e isotrópia, sin propiedades magnétias para un índie de refraión n 1 =1 y Q B será para otra lámina on las mismas propiedades pero on un índie de refraión n =. De esta manera para la generaión dos Q T =Q A Q B Q B Q A, omo se puede ver la matriz de transferenia total es el produto de multipliar las matries Q s de auerdo al orden en que apareen las plaas en la elda unitaria. La elda unitaria de la generaión dos se podría ver omo una de la generaión uno, pero on plaas del doble de anho. Como se vio antes, la seuenia de Thue-Morse es matemátiamente autosimilar, ya que una generaión ontiene a las otras menores. Esto lo podemos ver en la figura 4 donde se muestra una seión de los modos

6 Superfiies y Vaío 3(4) 9-14, diiembre de 010 guiados del diagrama de bandas para la uarta generaión y si lo omparamos on una seión del de la quinta generaión podremos ver gráfiamente el fenómeno de autosimilaridad que no se puede observar en sistemas periódios. La autosimilaridad que presenta este arreglo de Thue-Morse, no es tan estrita, pero puede ser medida (véase referenia 5 de este extenso). Cambios en el número de generaión pueden modifiar el diagrama de bandas, pero no es el únio parámetro que lo puede haer. El ambiar el ontraste de índies de refraión y los grosores de las plaas también modifia los diagramas de bandas sin tener que aumentar o disminuir el número de apas. La figura 6 presenta el diagrama de bandas de la freuenia on respeto al ontraste de índies de refraión de la generaión 5 de Thue-Morse. Al grafiar el mismo diagrama de bandas pero ahora para la generaión 10, podemos observar el fenómeno de autosimilaridad, que en este aso es más evidente que en las figuras anteriores, omo se puede observar el diagrama de la figura 6 está ontenido en el de la figura 7. La figura 8 presenta el diagrama de bandas de la freuenia on respeto al ontraste de grosores de las apas L 1 y L de la generaión 5 de Thue-Morse. En estos diagramas también se podría observar el fenómeno de autosimilaridad. 5. Conlusiones Con las figuras 6 y 7 se observa que entre mayor sea el ontraste de índies de refraión más bandas permitidas apareen y en la figura 8 vemos que un ambio en los anhos de las plaas ambia la posiión en energía de las bandas, esto oinide on lo que se meniona el libro de P. Yeh, (referenia 6 de este extenso) para estruturas periódias. En el sistema aperiódio se observó que las bandas permitidas de los modos guiados se van fraionando de auerdo on la generaión de Thue-Morse que forme la elda unitaria. Comparando la figura 6 y 7 se puede observar el fenómeno de autosimilaridad para las polarizaiones S y P; esta araterístia no se puede obtener en un sistema periódio y puede aproveharse para diseñar nuevos dispositivos óptios. El estudio matemátio detallado de la autosimilaridad es motivo de otro trabajo de investigaión. Agradeimientos Trabajo parialmente apoyado por VIEP-BUAP, Méxio, proyeto SASX-EXC09-I Referenias [1]. Joannopoulos. John D, Photoni rystals Molding the flow of light. (USA 008). []. E. Yablonovith, Phys. Rev. Lett. 58, 059 (1987). [3]. S. John, Phys. Rev. Lett. 58, 486 (1987). [4]. E. Maiá, Phys. Rev. B, 63, 0541 (001). [5]. E. Maiá, Phys. Rev. Lett. 69, 397 (006). [6]. W.Pardo, Tesis Caraterizaión Matemátia de las Suesiones y Heteroestruturas uasirregulares (Cuba, 005). [7]. P.Yeh, Optials wave in layerd media, (United States 1988). 14