VIBRACIONES TRANSMISIBILIDAD

Transcripción

1 Departamento de Aeronáutica Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata VIBRACIONES TRANSMISIBILIDAD Mecánica y Mecanismos Pablo L. Ringegni / Andrés Martínez del Pezzo Revisión 1 La Plata 18

2 AISLACION DE VIBRACIONES Por razones estructurales y de confort no es conveniente que las vibraciones producidas por los equipos se transmitan totalmente a la base o fundación sobre la que están montados o a otras partes. Así, son ejemplos: un motor (de cualquier tipo) que transmite vibraciones a la fundación o a las personas que viajan en el mismo o un equipo electrónico montado sobre un vehículo que recibirá vibraciones de la estructura de este, por efecto de las irregularidades del camino (o ráfagas de viento o turbulencias en el caso de un avión). En algunos casos, el efecto que se transmite deja de ser vibratorio para convertirse en un efecto impulsivo (choque). Las consecuencias de una transmisión directa de estos efectos desde la fuente de vibración a un equipo, persona o estructura pueden llegar a ser críticas en muchos casos y molestas en otros. Surge entonces la necesidad de introducir algún tipo de aisladores o atenuador de vibraciones (o choque) con el objeto de atenuar, los efectos que esa fuente vibratoria provoca. La función de tal atenuador será entonces reducir tanto como se pueda la magnitud de las fuerzas o de los movimientos transmitidos desde la fuente según sea el caso. De esta manera, las formas de reducir estas vibraciones son: 1º) Suprimir la fuente de la vibración en la mayor proporción posible. º) Diseñar un sistema de aislación, que puede establecerse según dos situaciones o casos: A.- Aislando la fuente de vibración del sistema de interés o sistema que se quiere resguardar. Esta situación es analizada en términos de reducir la fuerza transmitida por la fuente a los puntos de montaje sobre la base. Este es el caso BASE FIJA OBJETO MOVIL B.- Aislando el equipo o sistema de interés de la fuente de vibración. Esta situación contempla el análisis en términos de reducir el desplazamiento de vibración transmitido desde la base, que es la que se mueve, hacia el equipo o sistema. Este es el CASO BASE MOVIL OBJETO MOVIL

3 CASO A: BASE FIJA Y OBJETO MÓVIL (TRANSMISIBILIDAD DE FUERZAS) F (t)=fo sen(t) m x k c Bloque aislador Figura 1 El desplazamiento de la masa m, con una Fuerza actuante F, un resorte de constante k, y un amortiguador con una constante c, en forma genérica es: Reemplazando la amplitud A o queda: x = Ao. sen(t θ) x = ( Fo m ). ( 1. sen (t θ) ( ) + 4. h. ) Y también se puede escribir de la forma: x = ( Fo k ). (1 ( )) ( h. ( ) ). sen (t θ) La fuerza transmitida (f t ) a la base es: f t = k. x + c. x Que reemplazando por el desplazamiento (x) y la derivada de este (x ) se obtenemos: f t = Ao. [k. sen(t φ) + c.. cos(t θ)] 3

4 f t = Ao. k + (c. ). [sen(t θ)] Donde la amplitud máxima de la fuerza transmitida (f ot ) es: f ot = Amplitud = Ao. k + (c. ) Donde si se reemplaza la amplitud queda: f ot = ( F o m ). ( k + (c. ) ( ) + 4. h. ) f ot = ( F o m ). k 1 + ( c k. ) o (1 ( ) + c m.. m k ) f ot = F o c c c. (1 ( ) + 4. c c c. ) Entonces, el coeficiente de transmisibilidad se denomina T F, (TRASMISIBILIDAD FUERZA) y es igual a: T F = f ot F o 1 + (. c c. c ) 1 + (. ε. ) T F = = (1 ( ) + (. c. ) c c (1 ) ( ) + (. ε. ) ) (A) 4

5 TF Transmisibilidad Rev. GRAFICANDO 3 Transmisibilidad,5 1,5 1,5 Incremento de C/C C/C = C/C =,5 C/C =,5 C/C = 1,5 1 1,5,5 3 3,5 / Amplificación Aislación En la región donde: Figura > T o F < 1 Fuerza transmitida (f ot ) < F exitadora (F ) (Zona conveniente de trabajo). Convendría trabajar con c =, pero para evitar fuertes picos cuando se pase por resonancia ( = 1), se colocará un amortiguador. o Aislador: - k pequeño o aumentar la masa. - c adecuadamente importante según en qué zona este por encima de En la región donde: o < T F > 1 5

6 Se debe adoptar c lo mayor posible para un dado valor de. c c o Conviene gran amortiguamiento y resorte duro. Aislador: - k grande ( resorte duro ). - c grande (amortiguamiento importante). En la zona donde: o 1 (RESONANCIA) T R queda totalmente determinado por el valor de ε = c c c CASO B: BASE MOVIL - INSTRUMENTO MÓVIL (TRANSMISIÓN DE DESPLAZAMIENTO) La base que vibra se vincula al cuerpo de masa m. mediante un bloque o sistema resorte amortiguador. La base vibra con un movimiento conocido y = Y.sen(.t). y se transmite al cuerpo El desplazamiento relativo z estará dado por: Donde: z = x y x: movimiento absoluto de la masa m y: movimiento absoluto de la base z: movimiento relativo de la masa respecto de la base Figura 3 Planteando F = m a la ecuación de movimiento de movimiento absoluto de la masa m es: 6

7 m. x + k. z + c. z = Que reemplazando por la expresión de z queda: m. x + k. (x y) + c. (x y ) = m. x + k. x + c. x = k. y + c. y m. x + k. x + c. x = k. Y. sen(t) + c. Y.. cos (t) La solución particular de esta ecuación será la suma de la solución particular con la fuerza entrada del amortiguador: c. Y.. cos(t) Xp(1), y la de la fuerza entrada del resorte: k. Y. sen(t) Xp() Entonces dividiendo la última por la masa m se tiene: x + o. x +. h. x =. h.. Y. cos(t) + o. Y. sen(t) Reemplazando h = se obtiene: Sustituyendo: x + o. x +. ε. o. x =. ε.. o. Y. cos(t) + o. Y. sen(t) Fo m =. ε.. o. Y En la ecuación de la solución de la ecuación de movimiento para un sistema F, k, c. Para x p (1) : Para x p () : x p (1) = x p () = Por principio de superposición: x p = x p (1) + x p () Luego. ε.. o. Y (o ) + (. ε.. o). sen(t θ 1). ε.. o φ 1 = arc tg. o o. Y (o ) + (. ε.. o). cos(t θ ) o θ = arc tg.. ε. o 7

8 TD Transmisibilidad Rev. o x p (t) = o. Y. + (. ε. ) (o ) + (. ε.. o). cos (t θ 1 θ ) (B) Si definimos X (amplitud máxima del desplazamiento de la masa m) como: X = Y. 1 + (. ε. (1 o ) o ). cos (t θ 1 θ ) + (. ε. o ) T D = X Y = 1 + (. ε. (1 o ) o ) + (. ε. o ) Esta última expresión da la relación de amplitud entre el desplazamiento máximo del cuerpo y el desplazamiento máximo de la entrada (base móvil). Se denomina TRANSMISIBILIDAD DESPLAZAMIENTO Graficando se obtiene la misma gráfica que la de la figura. 3 Transmisibilidad,5 1,5 1,5 C/C = C/C =,5 C/C =,5 C/C = 1,5 1 1,5,5 3 3,5 / -En resonancia se transmite el máximo desplazamiento de la base al cuerpo. 8

9 -Para o < T D > 1 (el movimiento de la masa es una amplificación del movimiento de la base y depende del amortiguamiento). -Para o > T D < 1 (ídem análisis anterior) NOTA: Esta expresión (C) tiene la misma forma que la expresión (A). Es importante notar que, aunque tengan la misma forma representan diferentes problemas de aislación y describen distintos fenómenos. Para este problema particular, otra expresión importante es la fuerza transmitida a la masa como resultado del movimiento de la base. F(t) = k (x y) + c (x y ) Esta fuerza balancea la inercia de la masa m. F(t) = m. x (t) En el régimen permanente la solución para el desplazamiento x se obtiene reemplazando en esta última con la segunda derivada de la expresión (B): F(t) = m. o. o. Y. + (. ε. ) (o ) + (. ε.. o). cos(t θ 1 θ ) (D) La amplitud de la fuerza transmitida (F T ) es: F T = m. o. o. Y. + (. ε. ) (o ) + (. ε.. o) Y si la dividimos por F T nos queda: F T = k. Y. ( o ). 1 + (. ε. (1 o ) o ) + (. ε. o ) Que expresándolo en forma adimensional se puede escribir como: 9

10 FT/k.Y Transmisibilidad Rev. F T k. Y = ( 1 + (. ε. o ). o ) (1 o ) + (. ε. o ) Esta relación adimensional expresa la fuerza Ft que percibe la masa m ante un desplazamiento de la base Y. Se aprecia como el desplazamiento de la base resulta en una fuerza aplicada a m. Al analizar las expresiones (B) y (D) se puede concluir que la fuerza transmitida a la masa m es en fase con el desplazamiento de la masa. 1 Fuerza transmitida adimensional 1 1,1,5 1 1,5,5 3 3,5 C/C =,1 C/C =,1 C/C =, C/C = 1,1 / 1

11 TRANSMISIBILIDAD RELATIVA INSTRUMENTOS DE MEDICION Partiendo del caso de transmisibilidad desplazamiento, si se analiza la coordenada relativa Z (es decir, lo que indica la aguja sobre la carcasa del instrumento, que representa una medida de lo que se mueve la base), se puede utilizar este sistema como instrumento para medir la vibración de la base. Este instrumento se llama Acelerómetro, Velocímetro o Sismómetro según el rango de frecuencia de la vibración que se busca medir. El esquema para analizar este sistema es: c m k z x (coordenada absoluta de m) y=y.sen(.t) Coordenada absoluta de la base De forma análoga a lo planteado en el caso de transmisibilidad desplazamiento se puede plantear: Despejando z: La ecuación de movimiento se expresa: z + o. z +. h. z = Y.. sen(t) x = z + y z = x y m. x + k. z + c. z = m. (z + y ) + k. z + c. z = m. z + k. z + c. z = m. y Hay que notar que queda la expresión en la coordenada de movimiento relativo Donde: Y. = Fo m Por analogía la solución es: Y. z = (. sen (t φ) (o ) + 4. h. ) 11

12 Z/Y Transmisibilidad Rev. z = m. Y. ( ) k (1 o ) + (. ε. o ). sen(t φ) z = Y. ( o ) (1 o ) + (. ε. o ). sen(t θ) Lo que marca la aguja sobre la caja da una medida de la vibración de la superficie. Representa lo que mide el instrumento. T R = Z Y = o (1 o ) +(.ε. o ) Relación de desplazamiento relativo 3,5 1,5 1,5 Vibrómetro Sismómetro,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 Acelerómetro / C/C =,1 C/C =,5 C/C =,5 C/C = 1 > 3 entonces z = 1 o Y igual magnitud. El desplazamiento relativo y el desplazamiento de la base tienen z = Y Mido amplitud (resorte blando y masa grande). 1

13 El instrumento puede ser usado para medir desplazamiento de la base si la frecuencia de vibración de la base es mayor a tres (3) veces la frecuencia del instrumento. o ( o Pequeño, ε pequeño) z Y o z Y. o Para frecuencia o bajas, la posición relativa z(t)es proporcional a la aceleración de la base Y. Rango de operación del instrumento como acelerómetro < o <, o 1 T R = z Y = ( o ). ε. o z = 1.. Y. ε. o Mido con el instrumento velocidad de la base. Y 13