Los números complejos

Transcripción

1 Universidad Autónoma de Madrid Actualización en Análisis Matemático, abril de 2012

2 Cardano ( ) Dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos tenga área igual a 40. x (10 x) = 40 Área= { x = , 10 x = 5 15 x = 5 15, 10 x = ( 5 + ) ( 15 5 ) ( 15 ) 2 15 = 5 2 = 40.

3 Una de las soluciones del polinomio x 3 = px + q viene dada por x = 3 q/2 + d + 3 q/2 d, d = (q/2) 2 (p/3) 3. x 3 = 15x + 4. Entonces, una de sus raíces es x =

4 x = x 3 = 15x + 4. Bombielli ( ) ( 2 ± 3 1) = 2 3 ± ( ) 2 ( ) ± 1 = 8 ± 12 ( 1 6 ± ) 1 = 2 ± 11 1 = 2 ± 121. Luego 3 2 ± 121 = 2 ± 1. Por tanto, ( x = 2 + ) ( ) 1 = 4.

5 Descartes ( ) Ni las raíces verdaderas ni las falsas son siempre reales; a veces son imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar tantas raíces de cada ecuación como grado haya asignado, no siempre hay una cantidad definida que corresponda a cada raiz imaginada. Leibniz ( ) Expresiones como log ( 1) son números imaginarios.

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8 1 = ( 1 ) 2 = ( 1) 2 = 1 = 1 Newton ( ) La existencia de estas raíces imaginarias no es más que la expresión de la insolubilidad de un problema.

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10 Wallis ( ) x 2 + 2bx + c 2 = 0, b, c > 0. x = b ± b 2 c 2. b > c b < c Q Q b c b b c b x1 x2 x - b x b 0

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12 Argand ( ) y * x + iy 0 x El plano de Argand

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14 Euler ( ) i := 1. e iθ = = i 2n θ2n (2n)! + n=0 n=0 i 2n+1 θ 2n+1 (2n + 1)! ( 1) n θ2n (2n)! + i ( 1) n θ 2n+1 (2n + 1)! n=0 = cos(θ) + i sin(θ). n=0 e iπ + 1 = 0.

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16 Definición El conjunto de los números complejos se define como C = {x + iy : x, y R y i 2 = 1}. Si z = x + iy C, decimos que x es la parte real del número complejo z (x = Re{z}) y que y es la parte imaginaria de z (y = Im{z}). Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales. Dado un número complejo z = x + iy, se define su conjugado como el número complejo z = x iy. El módulo del número complejo z es z = x 2 + y 2.

17 Operaciones con números complejos (x 1 + iy 1 ) ± (x 2 + iy 2 ) = (x 1 ± x 2 ) + i (y 1 ± y 2 ). (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1 ). x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = z 1z 2 z 2 z 2 = z 1z 2 z 2 2. z + z = 2Re{z}, z z = 2i Im{z}, z 2 = zz.

18 Desigualdad triangular z 1 + z 2 z 1 + z 2. z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 ) (z 1 + z 2 ) = z z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 2 = z Re{z 1 z 2 } + z 2 2 z z 1 z 2 + z 2 2 = ( z 1 + z 2 ) 2.

19 y z z = x + iy * θ 0 x θ = Arg{z}, θ [0, 2π). Representación polar z = re iθ, r = z, θ = Arg{z}.

20 z 1 = r 1 e iθ 1, z 2 = r 2 e iθ 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 +2kπ). (z) n = z n e i(nθ+2kπ) {n Arg{z}} {Arg{z n }}. (z) 1/n = z 1/n e i(θ+2kπ)/n, k = 0,..., n 1. En particular, si z = e iθ, z n = e inθ. Fórmula de De Moivre (cosθ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. z 1/n = e i(θ+2kπ)/n, k = 0,..., n 1. z 0 = e iθ/n, λ = e 2π/n, z k = z 0 λ k.

21 El teorema de Pitágoras a c c 2 2 = a + b2 b z 1 = b, z 2 = ai y z 3 = z 2 z 1. Entonces, c 2 = z 3 2 = ai b 2 = a 2 + b 2.

22 La ley de los cosenos c = z2 α a = z3 b = z1 a 2 2 = b + c 2-2bc cos α. z 1 = b, z 2 = ce iα, z 3 = z 2 z 1. Entonces, a 2 = z 2 z 1 2 = (z 2 z 1 )(z 2 z 1 ) = b 2 + c 2 2bc cos α.

23 El área de un círculo Un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio a tiene área ( ) A n = na2 2π 2 sin. n Por lo tanto, el área del círculo es na 2 ( ) ( ) 2π lim n 2 sin = πa 2 n 2π lim n n 2π sin n ) = πa 2 lim ( sin 2π n n 2π n = πa 2.

24 (1) Comprobar que el área del triángulo de vértices 0, z 1 = r 1 e iθ 1 y z 2 = r 2 e iθ 2 es r 1 r 2 sin(θ 1 θ 2 ) 2 (2) Sea z = e iθ un número complejo de módulo 1. Demuestra que la distancia de 1 a z es 2 2 cos θ. Cuál es el perímetro de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia unidad? (3) Calcula el valor de la suma A = cos(1 o ) + cos(2 o ) cos(89 o )..

25 (4) Un pirata decide esconder su tesoro en una isla. En la isla hay un árbol, una casa y un faro. El pirata camina desde el árbol hacia la casa, recorriendo una distancia d 1. Gira 90 grados en el sentido de las agujas del reloj y vuelve a recorrer la distancia d 1. En ese punto clava una estaca. Vuelve de nuevo al árbol y camina hacia el faro una distancia d 2. Gira ahora 90 grados en el sentido contrario al de las agujas del reloj, recorre la distancia d 2 y marca otra estaca en ese punto. Decide enterrar su tesoro en el punto medio entre las dos estacas. Retira las estacas y se marcha. Al cabo de los años, decide recuperar su tesoro y vuelve a la isla. La casa y el faro siguen aún allí pero el árbol ha desaparecido. Podrá encontrar su tesoro?

26 Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene, al menos, una raíz en C. Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene, exactamente, n raíces complejas., en sus inicios Todo polinomio no constante con coefficientes reales puede descomponerse en un producto de factores reales de primer o segundo grado.

27 [Albert Girard, Nouvelle invention en Algebre, 1629] Toda ecuación de grado n con coeficientes reales tiene n soluciones. [Descartes, La Geometrie, 1637] Si p es un polinomio con coeficientes reales, p(a) = 0 y p 0, entonces p(x) = (x a)q(x), donde el grado de q es una unidad menor que el grado de p. Toda ecuación de grado n tiene n soluciones. [Leibniz, 1702] es falso. ( 1 ) ( 1 ) x 4 + a 4 = x + a x a ( x + a ) ( 1 x a ) 1.

28 [Jean Bernouilli, 1629] ( x 4 + a 4 = x 2 + a 2x + a 2) ( x 2 a 2x + a 2). [D alembert, 1746] Demostración incompleta del TFA. [Euler, 1749] Todo polinomio de grado n con coeficientes reales tiene n raíces complejas. x 2m + A 2 x 2m A 2m 1 x 2m (2m 1) + A ( ) 2m 2 = x m + Bx m 1 + a 2 x m ( ) x m Bx m 1 + b 2 x m [Lagrange, 1772] Euler, 0/0!!!!!!!!!!

29 [Laplace, 1795] Las n raíces de un polinomio p de grado n son complejas. x 3 + px + q = 0, D = 1 4 q p3. Si D 0, entonces las tres raíces son reales. Si D > 0, entonces dos de las raíces son complejas.

30 [Laplace, 1795] Las n raíces de un polinomio p de grado n son complejas. x 4 + px 2 + qx + r = 0. Sean a, b, c y d sus cuatro raíces. Tomemos la ecuación z 3 + 2pz 2 + ( p 2 4r ) z q 2 = 0 con raíces z R, z y z. Entonces, a = 1 ( z + z 2 + ) z, b = 1 ( z z 2 ) z, c = 1 ( z 2 z ) z, d = 1 ( z 2 z ) z. y x 2 (a + b)x + ab p, donde a + b y ab R.

31 [Gauss, 1799] 4 demostraciones distintas (en la cuarta, conseguida 50 años después de la primera, enuncia el TFA en la versión actual). [Argand, 1814] [H. Kneser, 1940] [M. Kneser, 1981]

32 Teorema [Cauchy-Liouville] Todo polinomio con coeficientes complejos de grado n tiene, al menos, una raíz compleja. Supongamos que existe un polinomio de grado n sin raíces. Entonces, la función f = 1/p es una función entera y acotada. Por lo tanto, es constante.

33 Y dónde están los ceros???? Ejercicio Si n 1 a k < 1, k=0 entonces todos los ceros del polinomio p(z) = z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 están en el disco unidad del plano complejo.

34 PISTA: Teorema de Rouché Sean f y g funciones analíticas en D. Si f (ζ) g(ζ) < g(ζ) para todo ζ = 1, entonces f y g tienen el mismo número de ceros en D.