El álgebra de los números complejos

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1 Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 1 El álgebra de los números complejos 1.1. Los números complejos La unidad imaginaria Los números complejos aparecieron históricamente cuando los matemáticos aceptaron la posibilidad de realizar operaciones aritméticas en las que interviniese una raíz cuadrada de un número negativo. Al principio esto fué aceptado con mucha cautela solamente en aquellos casos en los que dicha raíz cuadrada acababa siendo elevada al cuadrado, recuperándose así un número real. Estas manipulaciones aritméticas formales se pueden justificar aceptando un número imaginario, denotado i y llamado unidad imaginaria, caracterizado por la propiedad de que su cuadrado es igual a 1: i = 1. (1.1) La introducción de este número i tiene unas enormes consecuencias que, sin duda fueron insospechadas al principio, pero lo que sí estuvo claro desde el principio es que el número i nos permite calcular la raíz cuadrada de todo número real negativo (por ejemplo, si x = 4 entonces el número a = x = 4 es positivo, por lo que conocemos su raíz cuadrada: a =. Entonces el cuadrado del número a i = i es ( a i) = i = 4( 1) = 4 por lo que el número i es una raíz cuadrada de 4). Además, el número i nos permite calcular las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, pues la fórmula x = b ± b 4ac a (1.) deja de tener excepciones. En otras palabras: Al introducir una raíz del polinomio p(x) = x + 1 se están obteniendo automáticamente dos raíces (posiblemente coincidentes) para todos los polinomios de segundo grado con coeficientes reales. En realidad esto va aún más lejos, pues como resultará claro más tarde cuando veamos que todo número complejo no nulo tiene dos raíces cuadradas, la fórmula (1.) sirve para hallar las raíces de cualquier polinomio de segundo grado con coeficientes complejos. 1 Ejercicio de tarea. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado: (a) z z + 5 = 0, (b) z iz + 8 = 0 1 Solución: (a) z1, z = 1 ± i, (b) z1 = 4i, z = i. Versión de 3 de diciembre de 016, 3:36 h.

2 1.1. Los números complejos 1. El álgebra de los números complejos Definición de los números complejos La simple propiedad (1.1), junto con las demás propiedades de las operaciones aritméticas, nos permite deducir el valor de todas las potencias positivas de la unidad imaginaria: i 1 = i, i = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = 1,... (1.3) y así sucesivamente, repitiéndose el ciclo de los cuatro valores i, 1, i, 1. Así pues, si se quiere evaluar cualquier función polinómica, p(t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, en t = i el resultado siempre será (después de reodenar términos) una expresión de la forma p(i) = x + yi donde x e y dependen de los coeficientes del polinomio p(t): x = a 0 a + a 4 e y = a 1 a 3 + a 5 (1.4) Ejemplo: Si queremos evaluar la función polinómica p(t) = 3t + t t 3 en t = i, necesitamos usar i = 1 e i 3 = i i = ( 1)i = i, de forma que tenemos: p(i) = 3i + i i 3 = 3i + ( 1) ( i) = 1 i. Ejercicio de tarea. Escribir las fórmulas (1.4) para x e y en el caso general de un polinomio de grado n, p(t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, usando el símbolo de sumatorio. Para simplificar puedes suponer que el grado del polinomio, n, es par. Cómo serían las fórmulas si n fuese impar? Según lo anterior, todo polinomio evaluado en i nos da como resultado un polinomio en i de grado menor que dos (es decir, de grado uno o de grado cero). Esto nos lleva a una de las posibles definiciones de los números complejos que es la siguiente: Definición: Los números complejos son los polinomios de coeficientes reales de grado menor que dos en una indeterminada i, llamada unidad imaginaria, que tiene la propiedad i = 1. Entre estos polinomios, los homogéneos de grado 1 (es decir, de la forma z = bi) se llaman imaginarios puros (mientras que los homogéneos de grado cero son, claramente, los números rales). Existen otras definiciones menos formales y más geométricas de los números complejos, pero la anterior nos permite explicar las operaciones aritméticas de los números complejos sin dar definiciones nuevas y usando sólo conceptos ya conocidos Suma, resta y multiplicación Tratando a los números complejos como polinomios en i y teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la unidad imaginaria i = 1, resulta sencillo realizar con los números complejos las operaciones aritméticas de sumar, restar y multiplicar. Ejemplo: Dados dos polinomios de primer grado en la indeterminada t, p(t) = a + bt, q(t) = c + dt, su suma, resta y producto son: p(t) + q(t) = (a + c) + (b + d)x, p(t) q(t) = (a c) + (b d)x, p(t)q(t) = (a + bx)(c + dx) = ac + (ad + bc)x + bdx.

3 1. El álgebra de los números complejos 1.1. Los números complejos Igualmente, dados dos números complejos, z = a + bi, w = c + di, su suma, resta y producto son: z + w = (a + c) + (b + d)i, z w = (a c) + (b d)i, zw = (a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i + bdi = ac + (ad + bc)i + bd( 1) = (ac bd) + (ad + bc)i. 3 Ejercicio de tarea. Qué valores han de tener los coeficientes a y b del número complejo a + bi para que se cumpla (a + bi)(3 + 4i) = 1? Ejercicios para practicar En los ejercicios 1 a 8 calcula el valor de la expresión dada, donde z = i, w = 3 + π 4 i y u = 3i. 1. z + w. Solución: 5 + ( π 4 )i. z + u. Solución: + i 3. w + u. Solución: 3 + ( π 4 + 3)i 4. zw. Solución: (6 + π ) + ( π 6)i 5. zu. Solución: 6 + 6i 6. wu. Solución: 3π 4 + 9i 7. z. Solución: 8i 8. z 4. Solución: Parte real y parte imaginaria de un número complejo Se llama parte real de un número complejo z, y se denota Re(z), a su coeficiente de grado cero y parte imaginaria, denotada Im(z), al de grado 1. Si x e y son dos números reales, entonces: Definición de las partes real Para z = x + yi se tiene: Re(z) = x, Im(z) = y. e imaginaria. Ejemplo: La parte real del número complejo z = 3 + 4i es Re(z) = 3, mientras que su parte imaginaria es Im(z) = 4. Obsérvese que tanto la parte real como la parte imaginaria son números reales. Para todo número complejo z se cumple que z es igual a su parte real sumada con el producto de su parte imaginaria multiplicada por la unidad imaginaria i. Dicho de otra forma, se cumple siempre la identidad z = Re(z) + Im(z)i. Cuidado! A muchos estudiantes les gustaría que todo número complejo fuese igual a la suma de su parte real y su parte imaginaria, pero esto no es cierto (sería el mismo error que decir que la parte imaginaria de 3 + 4i es 4i cuando en realidad la parte imaginaria de 3 + 4i es simplemente 4). Aunque al estudiante le choque un poco al principio, la definición dada de las partes real e imaginaria (según la cual ambas partes son números reales) es la más útil desde el punto de vista matemático. 4 Ejercicio de tarea. Demostrar que para todo número complejo z se cumple Re(z i) = Im(z) y Im(z i) = Re(z). 3

4 1.. División de números complejos 1. El álgebra de los números complejos 5 Ejercicio de tarea. Demostrar que dados dos números complejos z, w las partes real e imaginaria del producto zw tienen estas propiedades: Re(zw) = Re(z)Re(w) Im(z)Im(w), Im(zw) = Re(z)Im(w) + Im(z)Re(w). Qué fórmulas de trigonometría son similares a éstas? Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio, Ejercicio 3, Ejercicio 4, Ejercicio División de números complejos Ya sabemos dividir un número complejo entre otro en el caso particular de que ese otro (el divisor) sea real, pues en ese caso basta dividir tanto la parte real como la parte imaginaria del número complejo entre el número real que es el divisor. Por ejemplo, 3 6i 3 = i = 1 i. La cuestión, por tanto, es: Cómo dividir números complejos cualesquiera? Aquél que haya sabido hacer el Ejercicio 3 ya sabe dividir números complejos cualesquiera, pues para dividir a + bi entre p + qi basta hallar los números x e y tales que (x + yi)(p + qi) = a + bi, lo cual es un problema muy parecido a lo que planteaba dicho ejercicio. En realidad, lo que plantea en el Ejercicio 3 es calcular el inverso del número 3 + 4i. Calcular inversos es una forma de realizar la división de números complejos, pues para dividir z entre w basta multiplicar z por el inverso de w: z w = z 1 w = z w 1. Por tanto, para dividir complejos basta aprender a calcular inversos de complejos (y luego usar la multiplicación). Vamos a ver ahora otra forma de dividir complejos sin necesidad de calcular primero un inverso. Este método lo que hace es convertir un problema de dividir dos complejos en un problema de dividir un número complejo entre un número real. La clave es un antiguo método llamado racionalización que sirve para convertir una fracción con denominador irracional como esta 5 en otra equivalente cuyo denominador no tenga raíces. 1 La forma de hacerlo es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de una suma de raíces cuadradas a + b es el resultado de cambiar de signo a una de ellas (de forma que esa suma tendría dos conjugados, a b y a + b, aunque cualquiera de los dos valdría). Por ejemplo, para racionalizar la fracción anterior haríamos esto: 5 = 5( + ) ( )( + ) = = = Esto era importante en la época anterior a las calculadoras porque en los cálculos a mano con lápiz y papel, dividir entre un irracional es mucho más dificil que multiplicar por un irracional. 4

5 1. El álgebra de los números complejos 1.. División de números complejos Cómo se aplica este método a la división de números complejos? La respuesta es evidente si vemos este cociente de números complejos de esta forma: a + bi x + yi a + b 1 x + y 1. Entonces vemos que para calcular este cociente multiplicamos numerador y denominador por el número complejo conjugado del denominador x yi = x y 1 y mágicamente (a menos que el denominador fuese cero) la fracción se convierte en otra equivalente pero cuyo denominador es un número real positivo por ser una suma de cuadrados de números reales: lo cual nos permite calcular: (x + yi)(x yi) = x (yi) = x y i = x y ( 1) = x + y, (1.5) a + bi (a + bi)(x yi) (a + bi)(x yi) = = x + yi (x + yi)(x yi) x + y. (1.6) De esta forma, el problema de dividir complejos se reduce a uno de multiplicar complejos y uno de dividir un complejo entre un número real positivo. Evidentemente este método también puede usarse para calcular el inverso de un número complejo, como se detalla a continuación. El inverso de un complejo Suponiendo que x e y son números reales que no son ambos cero (es decir, suponiendo que el complejo x + yi no es cero), la fórmula (1.6) nos da que el inverso de x + yi es igual a: (x + yi) 1 = 1 x + yi = x yi x + y. (1.7) Ejemplos: (1) El inverso de i: i 1 = 1 i = i i( i) = i 1 = i. () El inverso de 1 + i: (1 + i) 1 = i = 1 i 1 + = 1 i = (1 i) Ejercicios para practicar En los dos siguientes ejercicios halla las dos soluciones de la ecuación de segundo grado dada. 1. 4z z + 3 = 0. Solución: z1, z = 1 4 ± 11 4 i. z iz + 8 = 0. Solución: z1, z = i, 4i 3. Calcula el valor de (1 + i) y deduce de ello el valor de i. Usa esos resultados para resolver z (1 3i)z ( + 3i) = 0. Solución: z1 = ( (1 + 3) + ( 3 + 3)i ) /, z = ( (1 3) + ( 3 3)i ) /. 5

6 1.3. Representación gráfica I 4. Usando el valor de 1. El álgebra de los números complejos i obtenido en el ejercicio anterior, resuelve la ecuación 4z (8 4i )z + 3 = 0. Solución: z1 = ( + ) + ( 1 )i /, z = ( ) + ( 1 + )i /. I 5. Calcula el valor de ( + i ) y usa el resultado para resolver la ecuación z (1 3i )z ( + 3i ) = 0. Solución: ( + i ) = 3 + 4i; z1, z = i ± ( + i ) + z 3i = 0. Pista: Resultará útil tener a mano el resultado de (3 + i ) y deducir de ello I 6. Resuelve p z el valor de 1+ 3i Solución: z1 = ( + 3) + i, z = ( 3) i. 3i (ejercicio anterior) para resolver z iz ( + ) i, z = ( 1 + )i / i ) = ( p Solución: z1 = I 7. Usa el valor de Representación gráfica de los números complejos Igual que los números reales pueden representarse gráficamente en una recta, los números complejos pueden representarse gráficamente en un plano. La representación gráfica de un número complejo en un plano coordenado es el punto cuyas coordenadas son las partes real e imaginaria de número complejo. Concretamente, la abscisa del punto es la parte real y la ordenada del punto es la parte imaginaria del número complejo dado. En otras palabras, la representación geométrica de un número complejo z = x + yi es el punto del plano con coordenadas ( x, y). x+ä y y x Se llama plano complejo a un plano coordenado en el que sus puntos han sido puestos en correspondencia con los números complejos en la forma que se acaba de explicar. Igual que la representación gráfica de los números reales en la recta nos permite relacionar e identificar las propiedades aritméticas de los números reales con las propiedades geométricas de la recta, también la representación gráfica de los números complejos en el plano, nos permite tanto interpretar geométricamente las propiedades aritméticas de los números complejos como deducir conceptos y propiedades algebraicas de los números complejos a partir de los conceptos geométricos del plano. Ejemplo La representación gráfica de los números complejos 1, i, 1, i es la que aparece en la figura de la derecha: 6 Ejercicio de tarea. Representa gráficamente en un mismo sistema de ejes coordenados los números complejos siguientes: π π (a) z = + i, (b) z = i, (c) z = i, (d) z = ln + i. 3 4 i i 7 Ejercicio de tarea. Representa gráficamente, cada uno en un sistema de ejes coordenados distinto los conjuntos de números complejos que satisfacen las siguientes condiciones: (a) Re(z + 3) = Im(z), (b) Re(z) 1, (c) Re(z) + Im(z) 0, Círculo unitario y circunferencia unidad 6 (d) Re(z) + Im(z) 1.

7 1. El álgebra de los números complejos 1.4. Conceptos geométricos La identidad sen θ + cos θ = 1 (torema de Pitágoras) implica que la representación gráfica de los números complejos de la forma z = cos θ + i sen θ para cualquier número real θ es la circunferencia con centro en el origen y radio 1, la cual se conoce como la circunferencia unidad del plano complejo. i x+ yi 1 y senhθl Θ x coshθl 1-1 El círculo cuya circunferencia es la circunferencia unidad se conoce como el círculo unitario. -i Sobre el significado geométrico del producto de números complejos Ya que los números complejos tienen como representación geométrica los puntos del plano coordenado, y dado que la suma tiene una clara interpretación geométrica (complección del paralelogramo) podemos preguntarnos si la multiplicación de números complejos tiene también alguna interpretación geométrica sencilla. Los casos más sencillos son objeto de los ejercicios 8 y 9 que piden respectivamente demostrar que multiplicar un número complejo x + yi por un número real positivo λ transforma el punto ( x, y) mediante una homotecia de razón λ y que multiplicar un número complejo x + yi por la unidad imaginaria i transforma el punto ( x, y) mediante un giro de 90. Usando la propiedad distributiva de la multiplicación se pueden usar estos resultados para deducir la interpretación geométrica general de la multiplicación de números complejos. Otra forma en que también puede obtenerse dicha interpretación geométrica se indica en la siguiente sección en el Ejercicio 1 y también en la segunda consecuencia de la fórmula de Euler. 8 Ejercicio de tarea. Demuestra que la operación de multiplicar un número complejo z = x + yi por un número real positivo λ transforma el punto que representa a z mediante una homotecia de razón λ. 9 Ejercicio de tarea. Demuestra que la operación de multiplicar un número complejo z = x + yi por la unidad imaginaria i transforma el punto que representa a z mediante un giro de 90. Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 6, Ejercicio 7, Ejercicio 8, Ejercicio Conceptos geométricos en los números complejos Módulo y Argumento de los números complejos Módulo Igual que para los números reales, se define el módulo de un número complejo z = x + yi como la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto ( x, y) que lo representa en el plano. Esta distancia se denota z = x + yi. Por el Teorema de Pitágoras, Definición de módulo. x + yi = q 7 x + y.

8 1.4. Conceptos geométricos 1. El álgebra de los números complejos Argumento Además del módulo, en el plano existe otra cantidad geométrica asociada con cada número complejo x + yi: La dirección, θ, del vector (x, y) medida por sus cosenos directores cos θ = x x + y, sen θ = y (1.8) x + y donde θ es el ángulo que el vector (x, y) forma con el semieje positivo de las x, es decir, θ es la coordenada angular de las coordenadas polares del plano. Este ángulo nos permite expresar el número complejo z = x + yi en la forma z = z (cos θ + i sen θ). Definición de argumento. DEFINICIÓN Se llama argumento de un número complejo no nulo z = x + yi, y se denota θ = arg(z), al único ángulo (o número real módulo π) determinado por las ecuaciones (1.8). En resumen: módulo y argumento de un número complejo z = x + yi no son más que las coordenadas polares (r, θ) del punto con coordenadas cartesianas (x, y) que lo representa en el plano. Dicho de otra forma: Si z = x + yi las expresiones { x = r cos θ y = r sen θ son equivalentes a { z = r, arg(z) = θ. Cuidado! El argumento de un número complejo no es estrictamente un número real, sino un ángulo o número real módulo π. La representación numérica de un ángulo sólo está definida salvo un número entero de vueltas completas o múltiplo entero de π. En otras palabras, si θ es un número que representa el argumento del número complejo z, también θ + kπ (para cualquier entero k) representa el argumento de z. El argumento de un número complejo z = x + yi está completamente determinado por sus partes real e imaginaria (x e y) y cumple las relaciones cos θ = x x + y, sen θ = y x + y, tan θ = y x, sin embargo, ninguna de las funciones trigonométricas inversas (arccos, arcsen o arctan) es suficiente, por sí sola, para determinar θ en todos los casos posibles. La dificultad principal consiste en que ninguna de esas funciones puede detectar ángulos del tercer cuadrante. El único cuadrante en el que todas ellas calculan el ángulo correcto es el primer cuadrante. 10 Ejercicio de tarea. Dado un número complejo no nulo z = x + yi, demuestra que el cálculo de su argumento se puede reducir a los siguientes dos casos: ( ) y arcsen si x 0, x arg(x + yi) = ( +y ) y π arcsen si x < 0. x +y Este término, hoy día casi en desuso, se refiere a los cosenos de los dos ángulos α x, α y que el vector forma con los semiejes positivos. Como los ejes son perpendiculares, basta conocer el ángulo α x que el vector forma con el semieje positivo de las x, siendo los cosenos directores: l 1 = cos α x, l = cos α y = sen α x. 8

9 1. El álgebra de los números complejos 1.4. Conceptos geométricos Los complejos de módulo 1 Los números complejos de módulo 1 constituyen la circunferencia unidad del plano complejo, es decir, la circunferencia de centro cero y radio 1. Estos números complejos son de la forma cos θ + i sen θ: z = 1 si y sólo si z = cos θ + i sen θ. 11 Ejercicio de tarea. Sean w = cos α + i sen α y z = cos β + i sen β dos números complejos de módulo 1, de argumentos respectivos α y β. Demuestra que el producto wz es también un número complejo de módulo 1 y que su argumento es la suma de los argumentos, arg(wz) = α + β. 1 Ejercicio de tarea. Sean w = x + yi y z = a + bi dos números complejos. Demuestra que la representación gráfica del número complejo producto, wz, es el resultado de transformar el punto z mediante un giro de ángulo igual a α = arg(w), seguido de una homotecia de razón igual a w, tal como se muestra en la figura de la derecha. w z w z z Desafío para estudiantes avanzados. Usa una regla graduada para medir en la gráfica de la derecha las longitudes w, z y wz, así como las distancias de w a los ejes. Usa los valores obtenidos para calcular las partes real e imaginaria de w. z Α w Α w donde ɛ1 y ɛ dependen de los errores de medida. Solución: Re(w) = + ɛ1, Im(w) = 1 + ɛ El conjugado y su relación con el módulo y con el inverso Definición: Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi, y se denota z, al número complejo que tiene la misma parte real que z y parte imaginaria cambiada de signo: z = x + y i = x y i. (1.9) Definición del conjugado de un número complejo. Propiedades del conjugado La principal propiedad del conjugado (y la principal razón para hacer esta definición) es la ecuación (1.5) según la cual el producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: zz = z. (1.10) De esto se deduce inmediatamente la siguiente caracterización de los números complejos de módulo 1 (o elementos de la circunferencia unidad): Un número complejo z tiene módulo igual a 1 si y sólo si su conjugado es igual a su inverso: z = 1 si y sólo si z 1 = z. Además de las anteriores, se cumplen las siguientes propiedades del conjugado, que el estudiante debe demostrar como ejercicio: 9

10 1.4. Conceptos geométricos 1. El álgebra de los números complejos 13 Ejercicio de tarea. Al cambiar de signo dos veces a la parte imaginaria, se queda como estaba, por tanto: El conjugado del conjugado es el número de partida: z = z. (1.11) 14 Ejercicio de tarea. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados: z + w = z + w. (1.1) 15 Ejercicio de tarea. El conjugado de un producto (o potencia) es el producto (o potencia) de los conjugados: (a) z w = z w, (b) z = z, (c) z k = z k. (1.13) 16 Ejercicio de tarea. Al sumarle a un número complejo su conjugado se obtiene la parte real multiplicada por : z + z = Re(z) (1.14) 17 Ejercicio de tarea. Al restarle a un número complejo su conjugado se obtiene la parte imaginaria multiplicada por i: z z = i Im(z) (1.15) Como consecuencia de (1.15): 18 Ejercicio de tarea. El conjugado de un número real es él mismo: z = z si y sólo si Im(z) = 0. (1.16) Aplicaciones del conjugado 1. La primera aplicación del conjugado es la regla (1.6) para dividir números complejos: Para calcular una fracción de números complejos se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador. Esto, ahora, lo podemos escribir, usando el módulo y el conjugado, de esta forma: z w = z w w w = zw w. (Ver el handout División de Números Complejos.). La segunda aplicación del conjugado es la fórmula del inverso (1.7), que ahora podemos reescribir así: z 1 = 1 z = z z. (1.17) 3. La tercera aplicación del conjugado es su relación con las partes real e imaginaria. Como consecuencia de las propiedades enunciadas en los ejercicios de tarea 16 y 17 tenemos las fórmulas Re(z) = z + z, Im(z) = z z i 10 = z z i.

11 1. El álgebra de los números complejos 1.5. La fórmula de Euler 4. Otra importante aplicación del conjugado es la demostración de que las raíces complejas no reales que pueda tener un polinomio de coeficientes reales aparecen siempre en pares conjugados z, z: Proposición: Si p(x) es un polinomio de coeficientes reales y z es un número complejo, entonces Demostración: p(z) = a 0 + a 1 z + a 1 z + + a n z n p(z) = p(z). (1.18) = a 0 + a 1 z + a n z + + a n z n (por la propiedad (1.1).) = a 0 + a 1 z + a n z + + a n z n (por la propiedad (1.13) (a).) = a 0 + a 1 z + a n z + + a n z n (por la propiedad (1.13) (c).) = a 0 + a 1 z + a n z + + a n z n = p(z). (por la propiedad (1.16).) Corolario: Si p(x) es un polinomio de coeficientes reales y z es una raíz de p(x) (es decir p(z) = 0) entonces el conjugado de z también lo es: p(z) = p(z) = 0 = 0. Por tanto: Las raíces complejas no reales de un polinomio de coeficientes reales aparecen en pares conjugados. Desafío para estudiantes avanzados. Demostrar que si p(z) es un polinomio de coeficientes complejos y cumple la propiedad p(z) = p(z) entonces todos los coeficientes de p(z) son reales. Sugerencia: Usar inducción en el grado de p. 5. Por último, también se deduce de las propiedades del conjugado, combinadas con la ecuación (1.10), que el módulo de un producto es igual al producto de los módulos: z w = z w. En efecto: z w = (zw)zw = z w z w = zz ww = z w. Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 10, Ejercicio 11, Ejercicio 1, Ejercicio 13, Ejercicio 14, Ejercicio 15, Ejercicio 16, Ejercicio 17, Ejercicio La fórmula de Euler La fórmula de Euler es la base para poder evaluar la función exponencial en cualquier número complejo. Dicha fórmula nos dice que la exponencial de un complejo imaginario puro es un número complejo cuyas partes real e imaginaria estéan dadas respectivamente por las funciones trigonométricas coseno y seno. Concretamente la fórmula de Euler establece que para cualquier número real θ, e iθ = cos θ + i sen θ. Usando esta fórmula y las leyes de los exponentes se calcula fácilmente la exponencial de cualquier número complejo z = x + yi: e z = e x+yi = e x e yi = e x (cos y + i sen y) 11

12 1.5. La fórmula de Euler 1. El álgebra de los números complejos La función exponencial La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fundamental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula: e x = x n n! = 1 + x + 1 x x3 + (1.19) n=0 Esta fórmula es la serie de Taylor de la función exponencial y se explica y se demuestra en los cursos de cálculo infinitesimal. Aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y como motivación. En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme ayuda en muchas otras asignaturas. De la función exponencial a la fórmula de Euler Si en la serie de Taylor (1.19) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro, x = iθ, entonces, debido a que i n = ±1 para n par e i n = ±i para n impar, todos los términos de grado par en x son números reales y los de grado impar, imaginarios. En consecuencia la serie se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una todos cuyos términos son reales y la otra todos cuyos términos son imaginarios: e iθ = (iθ) n n! n=0 = ( (iθ) + ) + ( iθ (iθ)3 + ) = ( 1 1 θ + ) + i ( θ 1 6 θ3 + ) = a + b i. Así obtenemos dos series de números reales que definen sendos números a = 1 1 θ + y b = θ 1 6 θ3 +, los cuales son, por tanto, las partes real e imaginaria de e iθ. Se demuestra en los cursos de Cálculo que la serie de a es la serie de Taylor de la función coseno y que la de b es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que las partes real e imaginaria de e iθ son a = cos θ y b = sen θ; es decir, se llega a la fórmula de Euler: e iθ = cos θ + i sen θ. Esta fórmula tiene una enorme importancia en las aplicaciones de los números complejos. Su demostración se basa únicamente en la ecuación i = 1 y en las series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin recurrir a las series de Taylor. Deducciones elementales de la fórmula de Euler Primera: Consideremos la función f (t) = cos t + i sen t. (1.0) Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas: f (t) = sen t + i cos t = i sen t + i cos t = i(i sen t + cos t) = i f (t). (1.1) 1

13 1. El álgebra de los números complejos 1.5. La fórmula de Euler Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades f (0) = 1, f (t) f (t) = i, de donde, integrando de 0 a θ, θ 0 f (t) f (t) dt = θ 0 i dt, [ln f (t)] θ 0 = i[t]θ 0, ln f (θ) = iθ, f (θ) = eiθ, es decir: e iθ = cos θ + i sen θ. Segunda: La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación. Consideremos la función cos t + i sen t f (t) = e it. (1.) Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es cero. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas: f (t) = ( sen t + i cos t)eit (cos t + i sen t)ie it e it e it = sen t + i cos t i cos t + sen t = e it = 0. sen t + i cos t (i cos t sen t) e it (1.3) Puesto que f (t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero f (0) = = 1+i 0 1 = 1, luego f (t) = 1 para todo t, o sea: cos 0+i sen 0 e i0 que es equivalente a la fórmula de Euler. cos t + i sen t e it = 1. (1.4) Tercera: La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad p(z) = p(z) (1.5) del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p(z) es un polinomio, sino también cuando es una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial: e z = e z. (1.6) No vamos a demostrar la propiedad (1.5) para todas las funciones analíticas, pero sí queremos remarcar que la demostración de (1.6) a partir de la fórmula (1.19) que define a la función exponencial es exactamente igual que la demostración de la propiedad (1.5) de los polinomios. Suponiendo conocida la ecuación (1.6), se deduce que para todo número complejo de la forma e iθ su conjugado es igual a su inverso y por tanto, según zz = z, e iθ tiene módulo igual a 1: e iθ = e iθ = e iθ por tanto: e iθ = 1. 13

14 1.5. La fórmula de Euler 1. El álgebra de los números complejos En consecuencia, existe una función α(θ) tal que α(0) = 0 y e iθ = cos α(θ) + i sen α(θ). Derivando ambos miembros de esta igualdad se deduce que la derivada de α es constante e igual a 1. Puesto que α(0) = 0, deducimos que α es la función identidad: α(θ) = θ y por tanto e iθ = cos θ + i sen θ. Cartel de anuncio de una conferencia de matemáticas en la Universidad de Santiago de Compostela en Ejercicio de tarea. Demuestra que la derivada de la función f (θ) = cos α(θ) + i sen α(θ) es: f (θ) = α (θ) ( sen α(θ) + i cos α(θ) ) y que el paréntesis que multiplica a α (θ) es igual a la derivada de e iθ respecto a θ. Una identidad famosa Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = 1 y sen π = 0. Entonces se obtiene: e πi = 1, que se puede reescribir como: e πi + 1 = 0. Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar, multiplicar y elevar a una potencia). 0 Ejercicio de tarea. Deducir la ecuación (1.6) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado en considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro. 1 Ejercicio de tarea. Evalúa la función exponencial, e z, en los siguientes números complejos: (a) z = π 3 i, (b) z = ln + π 4 i Solución: (a) i, (b) (1 + i). 14

15 1. El álgebra de los números complejos 1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 19, Ejercicio 0, Ejercicio Consecuencias de la fórmula de Euler Seno y coseno de un ángulo suma Gracias a la fórmula de Euler podemos deducir de forma rápida y sencilla las fórmulas trigonométricas de adición de ángulos que tanto cuesta recordar. Si queremos escribir las fórmulas del seno y coseno de α + β no tenemos más que aplicar la fórmula de Euler a ambos miembros de la igualdad: e i(α+β) = e iα e iβ con lo que se obtiene: cos(α + β) + i sen(α + β) = ( cos α + i sen α )( cos β + i sen β ) Desarrollando el miembro de la derecha se obtiene: cos(α + β) + i sen(α + β) = ( cos α cos β sen α sen β ) + i ( sen α cos β + cos α sen β ) e igualando las partes reales e imaginarias tenemos las buscadas fórmulas de adición: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β. De estas fórmulas se deducen fácilmente las correspondientes a la tangente de un ángulo suma, así como las del seno coseno y tangente de un ángulo doble y de un ángulo mitad. Ejercicio de tarea. Usa la fórmula del coseno de un ángulo suma para deducir la fórmula del coseno de un ángulo doble y usa el teorema de Pitágoras sen x + cos x = 1 para expresar la fórmula obtenida solamente en términos del seno y solamente en términos del coseno. Solución: cos α = cos α sen α = cos α 1 = 1 sen α. 3 Ejercicio de tarea. Usa la fórmula del coseno de un ángulo doble para deducir la fórmula del coseno de un ángulo mitad y la fórmula del seno de un ángulo mitad. Solución: cos α = 1+cos α, sen α = 1 cos α. Significado geométrico de la multiplicación de números complejos Otra clara consecuencia de la fórmula de Euler es la interpretación geométrica del producto de números complejos. Si arg(z) = α y arg(w) = β, entonces zw = z w e i(α+β) : El producto de dos números complejos tiene por módulo el producto de los módulos y tiene por argumento la suma de los argumentos. 15

16 1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler 1. El álgebra de los números complejos Forma binómica y forma exponencial de un complejo Todo número complejo tiene dos formas de ser expresado. Por un lado tenemos la expresión en términos de su parte real y su parte imaginaria que ya conocemos y que se conoce como la forma binómica: z = Re(z) + Im(z)i. Por otro lado tenemos la forma exponencial: z = z e i arg(z). 4 Ejercicio de tarea. Calcula cada uno de los siguientes números complejos y expresa el resultado tanto en forma binómica como en forma exponencial: (a) i 7 i 7 i, (b) 1 1+i 1+i i + 1 i 1. El conjugado de una exponencial De la fórmula de Euler se deduce también la siguiente propiedad del conjugado: Para todo número complejo z, e z = e z (1.7) Demostración: Sea z = x + yi. Entonces: e x+yi = e x e yi = e x e yi = e x (cos y + i sen y) = e x (cos y i sen y) = e x e yi = e x yi = e x+yi Potencias y raíces enésimas Elevar un número complejo a un exponente entero no tiene más dificultad que la de multiplicar ese número complejo por sí mismo varias veces. Sin embargo, gracias a la fórmula de Euler, podemos hacerlo de una forma mucho más rápida y sencilla que además sirve para elevar un complejo a cualquier exponente real aunque no sea entero. Lo primero que hacemos es expresar el número en forma módulo-argumental, es decir, si nos dan el número z = x + yi, ponemos z = re iθ calculando r = zz = x + y, θ = arg(z). Teorema de Moivre. Si z = re iθ entonces z p = r p e ipθ. (1.8) Corolario: Cálculo de una raíz n-ésima de un número complejo. Si z es un número complejo y su módulo es r y su argumento θ (z = r e iθ ), el número complejo de módulo n r y de argumento n θ es una raíz n-ésima de z: ( ) n r e i n θ n = z. 5 Ejercicio de tarea. Calcula una raíz cuadrada del número 4e i π 3 y una raíz cúbica de 8i = 8e i π. 16

17 1. El álgebra de los números complejos 1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler El resultado anterior es la base para el cálculo de todas las raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Lo único que nos falta ahora es saber que todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas y saber cómo calcularlas (de momento sólo sabemos calcular una de ellas). Raíces cuadradas Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas reales de signos opuestos. Todo número real negativo tiene dos raíces cuadradas que son imaginarios puros opuestos. Veamos ahora cómo se calculan las dos raíces cuadradas de un número complejo cualquiera: En principio, por las leyes de los exponentes, una raíz cuadrada se puede obtener elevando al exponente 1. Según la fórmula de Moivre, 1 ( z = z = re iθ ) 1 = r 1 ( e iθ ) 1 = r e i θ. Sin embargo, debido a que un número real α representa el mismo argumento que el número α + π, resulta que el doble de α y el doble de α + π representan el mismo argumento. Esto implica que, aunque θ y θ + π pueden representar argumentos distintos, sus dobles representan siempre el mismo argumento: θ = θ es el mismo argumento que ( θ + π) = θ + π. Por tanto e i θ y e i( θ +π) son dos números complejos distintos que tienen el mismo cuadrado: ( e i θ ) = e iθ = e i(θ+π) = ( e i( θ +π)). En resumen, todo número complejo x + yi = re iθ tiene dos raíces cuadradas que pueden escribirse de las dos formas siguientes: ± r e i θ o bien: r e i θ, r e i( θ +π). Ejemplo: Hallar la parte real y la parte imaginaria de la raíz cuadrada del número z = 3 + 4i. Empezamos calculando el módulo de z, z = = 5 = 5 y el argumento θ = arg(z) = arccos 3/5. El siguiente paso es calcular la raíz cuadrada del módulo y la mitad del argumento: z = 5, 1 θ = 1 arccos(3/5). Con esto tenemos: 3 + 4i = ± 5 e i θ ( = ± 5 cos θ + i sen θ ). Para calcular las partes real e imaginaria de la raíz cuadrada necesitamos el coseno y el seno de θ/: cos ( ) θ 1 + cos θ = 5 5 = = = 10 = 5 =, 5 sen ( θ ) = 1 cos θ = = = 1 10 = 5 = 1. 5 En consecuencia ( 3 + 4i = ± 5 cos θ + i sen θ ) ( = ± i 1 ) = ±( + i) 5 17

18 1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler 1. El álgebra de los números complejos Aplicación de las raíces cuadradas a la resolución de ecuaciones polinómicas de segundo grado con coeficientes complejos Como acabamos de ver, todo número complejo tiene dos raíces cuadradas que son números opuestos. Este hecho permite aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación general de segundo grado al caso general de ecuaciones de segundo grado con coeficientes complejos. Si a, b, c son números complejos, la ecuación ax + bx + c = 0 tiene dos soluciones (coincidentes si b = 4ac) dadas por la conocida fórmula pero que también se pueden calcular mediante las fórmulas x 1 = b + b 4ac a x 1, = b ± b 4ac, (1.9) a, x = c b + b 4ac, (1.30) cuyo interés radica en que en el caso de coeficientes reales distinguen entre la fórmula para la solución de mayor valor absoluto y la fórmula para la de menor valor absoluto. 6 Ejercicio de tarea. Halla las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado: (a) z 4z + 1 4i = 0, (b) z iz 4(i + 1) = 0. Raíces cúbicas Los mismos principios usados para calcular las raíces cuadradas nos permiten calcular las raíces cúbicas: 3 re iθ = ( re iθ) 1 3 = 3 r e i θ 3. Igual que antes, debido a que un número real θ representa el mismo argumento que el número θ + π y que el número θ + 4π, resulta que el triple de α representa el mismo argumento que el triple de α + π/3 y que el triple de α + 4π/3, con lo cual θ no sólo es el argumento triple de 3 θ sino también el argumento triple de 3 θ + π 3 y el argumento triple de 3 θ + 4π 3. Así, los tres números θ 3, θ 3 + π 3, θ 3 + 4π 3 representan tres argumentos distintos pero cuyo triple es el mismo argumento en los tres casos. Por tanto, los tres números complejos e i θ 3, e i( θ 3 + π 3 ), e i( θ 3 + 4π 3 ) son tres raíces cúbicas distintas de e iθ y podemos decir: Todo número complejo x + yi = re iθ tiene tres raíces cúbicas que pueden escribirse de la forma siguiente: 3 r e i θ 3, 3 r e i( θ 3 + π 3 ), 3 r e i( θ 3 + 4π 3 ). (1.31) Raíces cúbicas de la unidad Un caso especialmente importante (porque de él se pueden deducir las raíces cúbicas de cualquier número complejo) es el de las tres raíces cúbicas del número 1. Según lo anterior las tres raíces cúbicas de 1 son (poniendo en (1.31) r = 1 y θ = 0): e i0 = 1, e i π 3, e i 4π 3 18

19 1. El álgebra de los números complejos 1.7. Teorema Fundamental del Álgebra es decir, los puntos del círculo unitario complejo correspondientes a los ángulos de 0, 10 y 40, los cuales determinan el triángulo equilátero que tiene centro en el origen y un vértice en z = 1. Las tres raíces cúbicas de un número complejo z cualquiera se pueden obtener multiplicando una raíz cúbica particular de z por las tres raíces cúbicas de la unidad. Raíces enésimas de la unidad y su uso para expresar las n raíces enésimas de un número complejo En general, dado un número entero positivo n, todo número complejo z = re iθ tiene n raíces n n-ésimas que son el resultado de multiplicar una particular, r e i n θ, por las n raíces n-ésimas de la unidad: e i0 = 1, e i π n, e i 4π n, e i 6π n,... e i (n 1)π n, que son los puntos del círculo unitario complejo que determinan el polígono regular de n lados que tiene un vértice en z = 1. Así, las n raíces n-ésimas de z = r e iθ se pueden expresar como: n r e i n θ { 1, e i π n, e i 4π n, e i 6π n,..., e i (n 1)π } n. Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio, Ejercicio 3, Ejercicio 4, Ejercicio 5, Ejercicio Raíces de polinomios y el Teorema Fundamental del Álgebra Repaso de polinomios Definiciones básicas Un monomio en una indeterminada x es una expresión de la forma ax n que representa el producto de un número, a, por una potencia de x. El número a se llama el coeficiente del monomio, mientras que el exponente de la potencia de x, n, se llama, suponiendo a = 0, el grado del monomio. Un simple número, a, se considera un monomio de grado cero, pues, para cualquier valor de x, x 0 = 1 y ax 0 = a. Los monomios de grado cero también se llaman constantes. Un polinomio en una indeterminada x es una suma de monomios en la indeterminada x. Se llama término independiente de un polinomio al monomio de grado cero de los monomios que lo forman. Se llama término principal de un polinomio al monomio de mayor grado de los monomios que lo forman. Se llama grado de un polinomio al grado de su término principal. Se llama coeficiente principal de un polinomio al coeficiente de su término principal. Se llama polinomio mónico a todo polinomio cuyo coeficiente principal es igual a 1. Todo polinomio en x es, pues, una expresión de la forma p(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n 19

20 1.7. Teorema Fundamental del Álgebra 1. El álgebra de los números complejos donde los números a 0,..., a n son los coeficientes, a 0 es el término independiente, a n = 0 es el coeficiente principal y n es el grado de p(x). 7 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio mónico de grado 4 cuyo término independiente sea cero. Los polinomios de grado cero son las constantes. Los polinomios de grado 1 se llaman polinomios lineales o de primer grado. Los polinomios de grado se llaman polinomios cuadráticos o de segundo grado. Los polinomios de grado 3 se llaman polinomios cúbicos o de tercer grado. Los polinomios de grado 4 cuyos coeficientes de los términos de grado 1 y 3 sean cero se llaman polinomios bicuadráticos. 8 Ejercicio de tarea. Escribe dos polinomios de tercer grado cuya suma sea un polinomio cuadrático y escribe dos polinomios cuadráticos cuya diferencia sea un polinomio lineal. La suma o resta de polinomios del mismo grado es siempre un polinomio de grado menor o igual al de los dados. La suma o resta de polinomios del distinto grado es siempre un polinomio de grado igual al de mayor grado. El producto de dos polinomios no nulos es siempre un polinomio de grado igual a la suma de los grados de los dos polinomios dados. Evaluación de polinomios. Multiplicaciones encajadas Cuando se desea evaluar un polinomio en un número se pueden evaluar todas las potencias necesarias de ese número, multiplicar cada una por su respectivo coeficiente y sumar todos los resultados. Por ejemplo si el polinomio es p(x) = 3x 4 x 3 + x 5x + 7 y queremos evaluarlo en x =, podemos calcular las potencias de, = 4, 3 = 8, 4 = 16 y después hacer la suma p() = = 45. Existe una forma más eficiente de evaluar este polinomio, la cual está basda en reescribir el polinomio en la forma: p(x) = (((3x 1)x + )x 5)x + 7 o sea: Entonces los cálculos de p() se realizarían así: p() = (((3 1) + ) 5) = 5, 5 + = 1, 1 5 = 19, = 45. Esta forma de disponer los cálculos para evaluar un polinomio se conoce como método de las multiplicaciones encajadas o método de Horner. La ventaja sobre el método anterior consiste en que requiere muchas menos operaciones y la ventaja es tanto mayor cuanto mayor sea el grado del polinomio a evaluar. División de polinomios La división de polinomios es muy parecida a la división de números enteros y se puede realizar a mano mediante un algoritmo similar al de la división que aprendimos en el colegio. Dados dos polinomios cualesquiera, p(x) y q(x), al realizar la división de p(x) entre q(x) se determina completamente un polinomio cociente c(x) que es el único que verifica que la diferencia r(x) = p(x) q(x)c(x) tiene grado menor que el de q(x). El polinomio c(x) se llama cociente y el polinomio r(x) resto de la división con dividendo p(x) y divisor q(x), de forma que se cumple, igual que para los números enteros, el dividendo es igual a divisor por el cociente más el resto: p(x) = q(x)c(x) + r(x). 0

21 1. El álgebra de los números complejos 1.7. Teorema Fundamental del Álgebra División entre un polinomio mónico lineal Si se divide un polinomio p(x) entre un polinomio mónico lineal q(x) = x a, el resto de esta división es igual al valor de p(x) en el número a. Esto es evidente porque si p(x) = (x a)c(x) + r entonces p(a) = (a a)c(a) + r = r. En consecuencia: Un polinomio es divisible entre el polinomio lineal mónico x a si y sólo si se anula en a Polinomios irreducibles Se dice que un polinomio admite una factorización si existen dos polinomios de menor grado cuyo producto sea el polinomio dado. En ese caso se dice que el polinomio es reducible (a un producto de polinomios de menor grado). Como el grado del producto es la suma de los grados y el grado igual a 1 no se puede expresar como suma de dos grados más pequeños, se deduce que ningún polinomio de grado 1 admite una factorización. Los polinomios que no admiten factorización se llaman polinomios irreducibles, con lo cual, todo polinomio de primer grado es irreducible. Igualmente, todo polinomio de grado cero es irreducible, con lo cual, si un polinomio es reducible (es decir, admite una factorización) su grado es mayor o igual que. 9 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio mónico de grado 4 cuyo término independiente sea cero. Es tu polinomio irreducible? en caso negativo escribe una factorización del mismo. La cuestión de si un polinomio dado es reducible o irreducible puede depender del campo numérico en que se nos permita tomar los coeficientes de los factores. Por ejemplo, el polinomio x es irreducible en los números enteros y en los racionales, pero es reducible en los reales porque es x = (x + )(x ). De forma semejante, el polinomio x + 1 es irreducible en los números enteros, racionales o reales, pero es reducible en los números complejos. 30 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio bicuadrático que sea irreducible en los números reales y otro polinomio bicuadrático que sea reducible en los números enteros El teorema fundamental del álgebra Según se dijo en la Sección 1.1 donde se introdujo la unidad imaginaria i, la introducción de una raíz para el polinomio x + 1 nos permite hallar raíces para todos los polinomios de segundo grado sin excepción. Esto significa que Todo polinomio de segundo grado con coeficientes reales es reducible en el campo complejo. Es más: sabemos calcular la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado ax + bx + c = 0 incluso cuando los coeficientes a, b y c son números complejos no todos ellos reales, así que lo que acabamos de decir se extiende a todos los polinomios de segundo grado con coeficientes complejos. Todo polinomio de segundo grado con coeficientes complejos es reducible en el campo complejo. Una de las consecuencias más notables de la extensión de los números reales mediante la incorporación de una solución imaginaria de la ecuación x + 1 = 0 es que esto no sólo conlleva la introducción de raíces para todos los polinomios de segundo grado sin excepción sino también para todos los polinomios de grado superior al segundo. Esto es el contenido del Teorema Fundamental del Álgebra: TEOREMA Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio no constante con coeficientes complejos admite al menos una raíz compleja. 1

22 1.7. Teorema Fundamental del Álgebra 1. El álgebra de los números complejos Al admitir una raíz, admite una factorización de la forma p(z) = (z z 1 )q 1 (z) donde q 1 (z) es de nuevo un polinomio con coeficientes complejos de grado una unidad menos que el grado de p(z). Si q 1 (z) es constante es que p(z) era de grado 1 y z 1 su única raíz. En caso contrario, q 1 (z) no es constante y podemos aplicarle de nuevo el teorema con lo que obtenemos una factorización de p(z) de la forma p(z) = (z z 1 )(z z )q (z). Continuando de esta forma llegaremos a una factorización de p(z) como producto de factores lineales, es decir, de la forma p(z) = a(z z 1 )(z z ) (z z n ) donde n es el grado y a el coeficiente principal de p(z). Los números complejos z 1,..., z n son todas 3 las raíces de p(z), las cuales no tienen por qué ser todas distintas. 31 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio de grado 4 cuyas raíces distintas sean 1 e i. Multiplicidad de las raíces Si nos fijamos en las raíces distintas de un polinomio, su número será necesariamente menor o igual que el grado del polinomio. Si el número de raíces distintas es menor que el grado entonces alguna o algunas aparecerán repetidas en la factorización del polinomio como producto de factores lineales. El número de veces que una raíz particular aparece repetida en dicha factorización se llama la multiplicidad de esa raíz y evidentemente se cumple que: La suma de las multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio. Otros enunciados equivalentes al Teorema Fundamental del Álgebra Cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al teorema fundamental del álgebra: (a) Todo polinomio de grado mayor o igual que dos con coeficientes complejos es reducible en el campo complejo. (b) Los únicos polinomios irreducibles en el campo complejo son los de grado menor que, es decir, los de grado cero y uno (los constantes y los lineales). (c) Todo polinomio no constante con coeficientes complejos es reducible como producto de polinomios lineales complejos (d) Todo polinomio no nulo de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces contando sus multiplicidades. (e) Todo polinomio p(z) de grado n 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz. (f) Todo polinomio p(z) de grado n 1 con coeficientes complejos admite una factorización de la forma p(z) = q(z)(z r) donde r es un número complejo y q(z) es un polinomio de grado n 1. 3 El polinomio p(z) no puede tener ninguna otra raíz porque, como se vió más arriba, toda raíz r da lugar a un factor de la forma z r.

23 1. El álgebra de los números complejos 1.7. Teorema Fundamental del Álgebra (g) Todo polinomio p(z) de grado n con coeficientes complejos tiene una única factorización en factores de primer grado de la forma p(z) = a n (z z 1 ) (x z n ) donde a n es el coeficiente principal de p(z) y z 1,..., z n son números complejos no necesariamente distintos. PROPOSICIÓN Todo polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real. Esto es debido a que si el grado de p(x) es impar entonces el término principal es de la forma ax k+1 y toma valores de signos opuestos en x y en x. Además, para valores grandes de x, el valor de p(x) está dominado por el valor de su término principal con lo cual si M es un número real suficientemente grande, entonces p(m) y p( M) tienen signos opuestos y por tanto la gráfica de p(x) necesariamente corta al eje x en el intervalo [ M, M]. Polinomios reales irreducibles El teorema fundamental del álgebra tiene una consecuencia que se refiere únicamente a los números reales pero que hubiera sido mucho más difícil descubrirla sin los números complejos: Los polinomios de coeficientes reales que son irreducibles en el campo real son los de grado menor que y aquellos de grado, p(x) = ax + bx + c, que tienen discriminante, = b 4ac, negativo. En consecuencia, todo polinomio de coeficientes reales admite una factorización en el campo de los números reales como producto de factores lineales y factores cuadráticos de discriminante negativo. 4 Sobre las demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra La mayoría de las demostraciones conocidas del Teorema Fundamental del Álgebra se basan en resultados matemáticos de un nivel superior al de esta asignatura. No obstante, existen dos demostraciones de un nivel asequible y aunque no vamos a dar ninguna demostración detallada, vamos a dar unas someras indicaciones del camino que siguen esas dos demostraciones elementales. La primera de ellas usa en el plano complejo un razonamiento similar al que usamos para demostrar que todo polinomio real de grado impar tiene alguna raíz real: El hecho de que para valores suficientemente grandes de z el valor absoluto de p(z) está dominado por el valor absoluto del término principal de p(z), el cual, si p(z) no es constante, tiende a infinito cuando z. En consecuencia, eligiendo un radio suficientemente grande, es posible encontrar un disco centrado en el origen tal que para todo z exterior a ese disco sea p(z) > p(0). Como dicho disco es compacto esto implica que existe un punto z 0 interior a él en el que p(z) alcanza su valor mínimo: Para todo número complejo z, p(z) p(z 0 ). Establecido este hecho, un razonamiento sencillo demuestra que si fuese p(z 0 ) > 0 entonces se podría encontrar una infinidad de valores de z tales que p(z) < p(z 0 ). Por reducción al absurdo se concluye que el valor mínimo de p(z) es cero lo cual es decir que p(z) tiene una raíz. La segunda demostración del Teorema Fundamental del Álgebra a que nos hemos referido consiste en reducir dicho teorema al caso real y dar demostrar del caso real. En otras palabras, se usa el siguiente resultado: PROPOSICIÓN 1.7. El Teorema Fundamental del Álgebra es equivalente al siguiente enunciado: Todo polinomio no constante con coeficientes reales admite al menos una raíz compleja. Evidentemente el teorema fundamental del álgebra implica este enunciado. Para demostrar que también este enunciado implica el teorema fundamental del álgebra, sea p(z) un polinomio de coeficientes complejos del que queremos demostrar que tiene al menos una raíz. Construimos el polinomio q(z) = p(z)p(z). 4 Este resultado, a su vez, implica que toda función racional real tiene una descomposición como suma de fracciones simples y por tanto tiene una primitiva elemental que se puede hallar por el método de las fracciones parciales. 3

24 1.8. Ejercicios adicionales 1. El álgebra de los números complejos Este nuevo polinomio tiene coeficientes reales porque cumple la propiedad q(z) = q(z), que es exclusiva de los polinomios con coeficientes reales: q(z) = p(z)p(z) = p(z) p(z) = p(z)p(z) = p(z)p(z) = q(z). Ahora bien, si z 0 es una raíz de q(z) entonces p(z 0 )p(z 0 ) = 0 con lo cual p(z 0 ) = 0 o p(z 0 ) = 0, es decir o z 0 es una raíz de p(z) o z 0 lo es. Así, el teorema fundamental del álgebra queda reducido al caso real, el cual es un poco más fácil de demostrar. Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 7, Ejercicio 8, Ejercicio 9, Ejercicio 30, Ejercicio Ejercicios adicionales Op s aritméticas Raíces Teorema Fundamental del Álgebra. En cada uno de los ejercicios 1 y representa gráficamente en un mismo sistema de ejes cartesianos los números complejos z, z, w y w para los z y w dados. { { z = + i, z = i, 1. w = 3e i π. 3. w = e i π 4. En los ejercicios 3 a 5 calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo z dado. 3. z = 1 + 3i. 4. z = ei 3π 4 ( 3i) (3 i). 5. z = i i (3 + i) ( + i). 6. Calcula el módulo y el argumento del número complejo z del ejercicio Escribe en forma binómica los números complejos e i 7π 4, e i 3π, 4 e i π Calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo z = e i 7π 4 e i 3π + 4 e i π 6. En los ejercicios 9 y 10 calcula el valor del número complejo z dado y escribe el resultado en forma exponencial. 9. z = i7 i z = i 1 1+i 1+i i + 1 i Calcula el valor que han de tener los números reales α y β para que se cumpla α + i 3 + βi = e i 7π Sabiendo que la función seno hiperbólico está definida por calcula el número complejo senh ( i π 3 ). senh x = ex e x, 4.

25 1. El álgebra de los números complejos 1.8. Ejercicios adicionales 13. Sabiendo que la función coseno hiperbólico está definida por calcula el número complejo cosh ( i π 3 ). cosh x = ex + e x, En los ejercicios 14 a 16 calcula las tres raíces cúbicas del número complejo z dado y represéntalas gráficamente. 14. z = z = 1 i 3 + i. 16. z = 8i. 17. Calcula las cuatro raíces cuartas de 16 y represéntalas gráficamente. En los ejercicios 18 a 1 halla las dos soluciones de la ecuación de segundo grado dada e indica si esas dos soluciones son cada una el conjugado de la otra z z + 3 = z (8 4i)z + 3 = z + z 3i = z (1 3i)z ( + 3i) = 0.. Halla todas las soluciones complejas z de la ecuación iz = i Indica para cada uno de los siguientes enunciados si es verdadero o falso. (a) La parte imaginaria de un número complejo es un número imaginario. (b) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando de signo a su argumento. (c) Al multiplicar un número complejo con su conjugado, el resultado es siempre un número real positivo. (d) La exponencial de un número imaginario puro es siempre un número complejo de módulo unidad. (e) Todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces distintas. (f) Las dos soluciones de una ecuación de segundo grado con discriminante negativo son números complejos conjugados uno del otro. (g) Si las raíces no reales de un polinomio mónico dado aparecen en pares de complejos conjugados, entonces los coeficientes del polinomio dado son todos reales. 4. Indica para cada uno de los siguientes enunciados si es verdadero o falso. (a) Para todo número complejo su parte real es un número real y su parte imaginaria es también un número real. (b) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando de signo a su parte real. (c) Al sumar un número complejo con su conjugado, el resultado es siempre un número real positivo. (d) El argumento de la exponencial de un número complejo es igual a la parte imaginaria del complejo dado. (e) Las dos soluciones de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales y discriminante negativo son números complejos conjugados uno del otro. (f) Todas las soluciones no reales de una ecuación polinómica con coeficientes reales son números complejos que aparecen en pares conjugados. En los ejercicios 5 a 8 representa gráficamente el conjunto de todos los números complejos que cumplen la ecuación dada: 5

26 1.8. Ejercicios adicionales 1. El álgebra de los números complejos 5. z + 3 = z + Im(z). ( z ) 6. Re = z 1 i. 7. z i + Re(z) = Re(z ) + Im(z). ( ( z ) z) 8. Re Im (z) =. 1 i 9. Representa gráficamente el conjunto de todos los números complejos que cumplen la desigualdad z + 1 z 1 < 1. 6