MODELADO CINEMATICO Y DINAMICO DE UN ROBOT MÓVIL OMNI-DIRECCIONAL.

Transcripción

1 MODEADO INEMATIO Y DINAMIO DE UN OBOT MÓVI OMNI-DIEIONA. V. F. Muñoz Matínez, G. Gil-Gómez y A. Gaía eezo. Instituto Andaluz de Automátia Avanzada y obótia. Dpto. Ingenieía de Sistemas y Automátia. Univesidad de Málaga. Paque Tenológio de Andaluía. / Seveo Ohoa 4, 25. Málaga vfmm@uma.es esumen El pesente tabajo desibe una metodología paa la onstuión de los modeloinemátio y dinámio de los obots móvileon uedas. Se plantea omo una extapolaión de los poedimientos, ya onsolidados, que pesiguen el mismo fin peo en el ampo de los manipuladoes. on el objeto de ilusta su uso, se aplia al álulo de los menionados aquetipos de un obot móvil onmidieional. Posteiomente, se utilizaán paa el estudio del ompotamiento dinámio del menionado vehíulo mediante la simulaión de unas maniobas básias. Palabas lave: obots móviles, inemátia, dinámia, modelado, simulaión. INTODUIÓN. En el mao el IV uso de Espeializaión en Automátia de EA-IFA, elebado en Málaga el pasado mes de junio, el pimeo de los fimantes impatió una pate del usillo dediado a la obótia móvil. Este tabajo eoge los aspetos más elevantes pesentados en ese ámbito en lo elativo al modelado de obots móvileon uedas. Paa ilusta los métodos pesentados, se ha elegido una onfiguaión de un obot móvil holónoma de tes gados de libetad, po pesenta la omplejidad adeuada desde el punto de vista instutivo. En este sentido, se enfatiza el enfoque didátio del tabajo, uya pinipal apotaión adia en que eoge e intega divesas ideas pesentadas en la bibliogafía en una sola metodología de modelado. a idea que pevalee es que siga un amino paalelo a la sistemátia que se emplea habitualmente en los obots manipuladoes. Desde el punto de vista de la inemátia, la pinipal difeenia ente un manipulado y un obot móvil estiba en la natualeza y disposiión de sus atiulaiones. El pimeo suele modelase en foma de adena inemátia abieta, ompuesta de una altenania de sólidos ígidoon elementos atiulaes de un solo gado de libetad (pismátio o de evoluión). Po el ontaio, la estutua inemátia de un obot móvil, se puede onsidea omo un onjunto de adenainemátiaeadas, tantaomo uedas en ontato on el suelo. Asimismo, la inteaión ueda-suelo se define, desde el punto de vista inemátio, omo una atiulaión plana on tes gados de libetad, donde uno de ellos, genealmente sin ontola, epesenta los deslizamientos lateales. Estos dos hehos difiultan la onstuión del modelo, ya que se dan efetos no pesentes en los manipuladoes. En oneto, oba gan impotania la pefeta sinonizaión de la veloidad de las uedas paa alanza una loalizaión deteminada, fato que no esulta deteminante en el ámbito de los manipuladoes. Esto se debe a que el avane a lo lago de un gado de libetad atesiano, se onsigue gaias a la ombinaión de las apotaiones de las veloidades lineales de las uedas al punto de guía del vehíulo. Po esta azón de omplejidad, muhos autoes emplean soluioneinemátias patiulaizadas paa ada onfiguaión espeífia de vehíulos. Ente estas, se destaan los modelos sínonos [6], la disposiión de Akeman [4], o el modelo de la biileta [2]. En uanto a la dinámia, esulta muy ompliado tene en uenta todos los efetos que se poduen en el vehíulo, y en patiula la inteaión on el teeno. Asimismo, aunque se posea un modelo peiso, la antidad de paámetos que entan en juego haen poo fatible la veifiaión del mismo. Así, se tiende a onsidea que, uando el obot móvil navega on una veloidad eduida, muhos de los ompotamientos no lineales esultan despeiables. Entones, se toma un modelo de pime oden paa aateiza el ambio de veloidad y de dieión del vehíulo [2] [4].

2 El pesente tabajo muesta, en pimea instania, una metodología paa la obtenión del modelo inemátio de un vehíulo on uedas basada en la matiz jaobiana de sus uedas [] (apatado 2), paa después da paso al álulo del modelo dinámio mediante la euaión lagangiana de sistemas meánios (apatado ). Paa ilusta ambos poedimientos, se esuelve un obot holónomo (apatado 4), de uyo estudio se extae la estutua del sistema de ontol de los movimientos paa ejeuta una seie de maniobas básias (apatado 5). Finalmente, se pesentan laonlusiones más elevantes sobe el tabajo detallado en esta omuniaión (apatado 6). 2. MODEADO INEMATIO. a inemátia, se enta en el estudio del movimiento del obot en funión de su geometía. Ente las apliaiones inmediatas se enuentan la posibilidad de utilizalo omo modelo matemátio de patida paa el diseño del ontolado, la simulaión del ompotamiento inemátio del vehíulo, o paa establee las euaiones de loálulos odométios. Nomalmente, se onsidean las siguientes limitaiones paa la onstuión del modelo inemátio: El obot se mueve sobe una supefiie plana. No existen elementos flexibles en la estutua del obot (inluidas las uedas). as uedas poseen uno o ningún eje de dieionamiento, de manea que este último siembe es pependiula al suelo. No se onsidean ningún tipo de fiiones en elementos móviles del vehíulo, o onta el suelo. El ompotamiento inemátio se establee en el pinipio de que las uedas en ontato on el suelo se ompotan omo una atiulaión plana de tes gados de libetad, tal y omo apaee en la figua. Suelo w z ueda v y eje v x india los deslizamientos lateales, y w z la veloidad otaional que se podue uando el vehíulo ealiza un gio. En el aso de una ueda onvenional, la omponente v x, se supone siempe nula, sin embago, existen uedas diseñadas paa elimina la menionada estiión. Este es el aso de la pesentada en el esquema de la figua 2. Vista lateal Eje de gio odillos Figua 2. ueda omnidieional. Vista fontal a ueda omnidieional se define omo una ueda estánda a la ual se la dotado de una oona de odillos, uyos ejes de gio esultan pependiulaes a la dieión nomal de avane. De este modo, al apliale una fueza lateal, los odillos gian sobe si mismo y pemite que la omponente v x no sea nulo, y po tanto, se elimina la estiión de no holomiidad. Este tipo de odadua es la utilizada en el obot omnidieional que se detallaá en uato apatado de este atíulo. En definitiva, de foma independiente al tipo de ueda empleado, la inemátia dieta tiene omo objetivo el álulo de la veloidad lineal y angula del obot a pati de laoespondientes apotaiones de ada una de sus uedas. on este objetivo, se toma la estutua genéia de un obot móvil pesentada en la figua. Elemento de dieión uepo del obot v { } b i { i } { D i } { F i } v i w i Figua. ueda en ontato on el suelo. v x w Atiulaión Al suponese la ueda omo un elemento ígido, ésta enta en ontato on el suelo en un solo punto, que sive de oigen al sistema de efeenias solidaio dibujado en la figua. Se utiliza paa defini los tes gados de libetad antes menionados. a dieión v y detemina el sentido nomal de avane de la ueda el { M} ueda Figua. Estutua inemátia genéia. En ella, se apeia un onjunto de elementos de dieión, en uyos extemos se enuentan fijadas

3 las uedas, y unidos al uepo del obot mediante una atiulaión. En aas de detemina las posiiones y oientaiones elativas de loomponentes desitos, se asoia a ada uno un sistema de oodenadas solidaio, tal y omo se desiben a ontinuaión: {}: Asoiado al uepo del obot, y se utiliza omo punto de guía del vehíulo. Su posiión atesiana (x, y ) y su oientaión q on espeto a un sistema global de tabajo {M} oesponden a la del obot. {F i }: Fijado en el punto de anlaje de la atiulaión de la ueda i-ésima. El ángulo a i epesenta la oientaión elativa de este sistema on espeto a {}, y su veto de posiión es l i. {D i }: Solidaio al elemento de dieión de la ueda i-ésima. El ángulo de dieión, ente el sistema atual y el anteio, es b i. El veto de posiión esulta nulo ya que {F i } y {D i } son oinidentes. { i }: Sistema ubiado en el punto de ontato de la ueda i-ésima on el suelo, tal y omo apaee en la figua. El ángulo de dieión, y el veto de posiión, ente el sistema atual y el anteio, son espetivamente g i y d i. Asimismo, en la figua, apaeen maado en tazo gueso los vetoes de veloidad lineal y angula geneados po la ueda i-ésima v i y w i, expesados en el sistema { i } la veloidad angula b i debida al gio del elemento de dieión y efeida a {D i } y las veloidades lineal y angula v y w del punto de guía del obot {}. Expuestos estos extemos, la veloidad lineal del obot debida al onjunto fomado po el elemento de dieionamiento i-ésimo y su ueda asoiada, viene dada po: v = ( q i ) v i + w i p i + b i l i () donde () epesenta una matiz de otaión en el plano, p i y q i se definen omo el veto de posiión y la oientaión del sistema { i } visto desde {}, tal y omo se india a ontinuaión: p i = l i + ( a i + b i ) d i (2) q i = a i + b i + g i En uanto a la veloidad angula del obot, sólo patiipan las veloidades homónomas de la atiulaión y de la ueda: w = b i - w i () as euaiones (2) y (), se oganizan en foma de matiz jaobiana, tal y omo se india a ontinuaión: v x v y w v i -s i p iy -l iy ix = s i i - p ix l ix v iy = w i - b i V = J i q i (4) Donde v x y v y son laomponentes de v p ix y p iy las de p i l ix y l iy las de l i y po último v ix y v iy las de v i. Además, i e s i epesentan, espetivamente, al oseno y al seno del ángulo q i. Sin embago, la veloidad lineal de la ueda se obtiene a pati del gio de la misma gaias a la aión de un moto. Po ello, en el aso de una ueda onvenional, tatoa y no dieionable, on un adio i y una veloidad de gio w ix, se define la matiz de onvesión de la atuaión W i de la siguiente manea: q i = W i q i = - i w ix (5) w i omo se obseva en (5), esta pemite intodui la atuaión w ix y anula la aión de dieión debida a b i. En el supuesto de que la ueda sea dieionable, se empleaá la matiz W i pesentada en la euaión (6). q i = W i q i = - i w ix w i b i (6) a matiz jaobiana de la ueda i-ésima J i, dieionable o no dieionable, se define omo el modelo que pemite alula la veloidad del obot V, en su punto de guía, en funión de las omponentes del veto q i. Así, en el aso de una ueda no dieionable, se ombinan las euaiones (4) y (5) omo se india seguidamente: i s i p iy J i = J i W i = - i i p ix (7) Po oto lado, en el supuesto de una ueda dieional, se emplean las euaiones (4) y (6) paa obtene: i s i p iy -l iy J i = J i W i = - i i p ix l ix - (8)

4 Si se onsidean N uedas en ontato on el suelo, a pati de la expesión (4), se plantea un sistema de euaiones sobedeteminado, donde el veto de veloidades V tiene que satisfae simultáneamente las siguientes estiiones: I J K q I J 2 V M = q 2 K O O K M I K J N q N A V = B q () En la euaión anteio I epesenta la matiz identidad de tes po tes. A ontinuaión, se emplea una apoximaión po mínimouadadoon el objeto de enonta una soluión paa el veto V : - A T B V = A T A J V = J q q () Donde la matiz J epesenta el jaobiano ompleto del vehíulo. Al esultado de la euaión anteio, se le impone que el eo de estimaión esulte nulo, lo que implia supone que el obot se enuenta atuado de foma adeuada paa que no deslie. Es dei, si se define la funión W(A) omo: W( A) = A ( A T A) - A T - I () a ondiión de no deslizamiento se expesa omo sigue: W( A) B q = (2) En esumen, dado el sistema mostado en (), en el supuesto de que el poduto W( A) B esulte nulo, es indiativo de que sólo existe una soluión, lo que implia que existe una sola ueda en ontato on el suelo. Esta situaión no es la habitual, po lo que se busa que la soluión alulada en () sea onsistente. Po ello, tendá que veifia la elaión (2), lo que signifia que el obot se desplaza sin que ninguna de sus uedas deslie latealmente. Po último, se habla también en este ámbito de la matiz jaobiana invesa, utilizada paa el álulo de la atuaión equeida en las uedas paa que el obot alane un deteminado estado de veloidad.. MODEADO DINMIO. a dinámia onsidea la evoluión de la posiión, veloidad y aeleaión del obot en espuesta a los paes de atuaión de las uedas. Se onsidean las mismas estiiones impuestas en el apatado anteio dediado al modelado inemátio, y se distinguen los siguientes efetos: Paes ineiales y de oiolis. Paes de atuaión. Fiiones visosas. Inteaión del ontato de las uedaon el suelo. Se destaa que no se tienen en uanta los paes gavitaionales, poque se supone que el vehíulo viaja po una supefiie plana y hoizontal. Se toma omo paadigma la euaión dinámia en oodenadas genealizadas, tal y omo se entiende en el ámbito de los bazos manipuladoes: M ( q ) donde: ( q ) P + q, P +t d = B( q )t - A T ( q )h () M ( q ) : es la matiz de paes ineiales de dimensión N po N. : es la matiz de oiolis y fuezas q, q entípetas de dimensión N po N. t d : veto N omponentes de paes de petubaión que define la inteaión de las uedaon el suelo u otos efetos no onsideados. t : veto de atuaión de elementos, oinidente on el númeo de atuadoes. B( q ): matiz de tansfeenia de las entadas. onviete del espaio atuaión al espaio de laoodenadas genealizadas. Po tanto, su dimensión es de N po. A( q ) : Jaobiano que modela las estiiones del movimiento del vehíulo. Se obtiene a pati del estudio del modelo inemátio del vehíulo. Si existen M limitaiones, su dimensión es de M po N. h: Veto de estiiones de fuezas que afetan a las limitaiones del movimiento. omo se apeia, el esquema del modelo dinámio inveso pesentado en () esulta muy simila al utilizado de foma habitual on los obots manipuladoes. as difeenias se enuentan en el miembo deeho de la euaión, donde se tienen en uenta dos hehos exlusivos de los obots móviles: no todas las uedas tienen poqué esta atuadas, y existen estiiones holónomas y no holónomas al movimiento del vehíulo. El pimeo de ellos se soluiona on la matiz B(q ), y el segundo on la inlusión de A(q ). En uanto a laoodenadas genealizadas P, se utiliza la posiión y oientaión

5 del vehíulo vistas desde el sistema global de efeenias {M}, es dei P =(x, y, q ). Paa la onstuión del modelo, se onsidea el hasis del vehíulo omo un onjunto H de sólidos ígidos, donde ada elemento se desibe on los siguientes paámetos: m i : Masa del elemento. I i : Matiz de momentos de ineia efeida al sistema de guía del vehíulo. P gi : Posiión del ento de masas efeido al sistema de guía. V gi : Veloidad del ento de masas efeida al sistema de guía. w gi : Veloidad angula efeida al sistema de guía. Así, se define la enegía inétia del elemento i- ésimo del hasiomo: k i = 2 m V T i gi V gi + m i V git ( w gi P gi ) + 2 w I gi iw gi (4) El pime sumando de la expesión anteio se efiee ala enegía inétia taslaional, el último a la otaional, y el del en medio la apotaión del ento de masas al no oinidi on el sistema de guía. De esta manea, la enegía inétia total del vehíulo: K = Â k i (5) H a euaión lagangiana, patiulaizada paa el aso de la enegía potenial nula (el obot se mueve en un plano hoizontal), se define omo: d dt K - K m = t i -Âa ji l j P i j= P i i = Kn (6) donde i denota el i-ésimo elemento del veto P y n es su longitud. Mediante el uso de la expesión (6), se obtienen dietamente los valoes de las maties de paes ineiales y de oiolis: M ( q ) P = P ( q, q ) q = P K P P K P - K P P (7) Sin embago, la euaión () esulta inómoda de simula, debido fundamentalmente a la pesenia de la matiz A(q ) y los multipliadoes lagangianos h. Po ello, también se habla del modelo dinámio en el espaio de laoodenadas del obot. Este aquetipo se distingue poque el modelo no se enuenta efeido a las veloidades del obot P, sino a las de sus uedas q [][5]. on este popósito, se define la matiz de tansfomaión S(q ): P = S( q ) q (8) a elaión ente las aeleaiones se obtiene al deiva (8) on espeto al tiempo: P = S q q + S q q () El paso al espaio de las veloidades del obot se efetúa mediante la pemultipliaión de la matiz S(q ) a ambos miembos de la igualdad de la expesión (). Esta opeaión ofee omo esultado la siguiente euaión: M q + q +t d = t (2) omo se obseva, guada el fomato de la euaión dinámia, on una matiz de masa M, ota de oiolis, un veto de petubaiones t d, y los paes de entadas de los atuadoes t. a elaión que guadan estos nuevos elementoon los anteioes es la siguiente: M = S T = S T ( q ) M ( q ) S( q ) ( q ) q, q + +S T q t d = S T ( q )t d S q M ( q ) S ( q ) (2) as maties A(q ) y B(q ) desapaeen de la euaión (2), ya que se veifian las siguientes igualdades, po la onstuión de la matiz S(q ): S T ( q ) A T q S T ( q ) B q = t = t (22) a nueva expesión del modelo dinámio inveso pesentada en (2) si esulta ómoda paa simulala, ya que esulta análoga a la empleada paa los obots manipuladoes. 4. OBOT OMNIDIEIONA. 4.. MODEO INEMTIO. a onfiguaión geométia del obot omnidieional objeto del estudio inemátio y dinámio, se pesenta en la figua 4.

6 { } y x y {} x X { } { 2 } Figua 4. Esquema inemátio del obot omo se apeia en la menionada figua, la onfiguaión inemátia del obot se define po una estutua tiangula equilátea, en uyos véties se han dispuesto tes uedas omnidieionales, omo la pesentada en la figua 2. a distania del oigen del sistema {} (situado en el ento geométio) a ualquiea de las uedas viene dada po. Todas las uedas se definen omo no dieionables, y po tanto, se podue la igualdad ente los siguientes sistemaoodenados {F i }={D i }={ i }, es dei, paa toda i, se umple b i = º y g i = º. a tabla eoge los valoes de los paámetos del modelo inemátio. a i b i g i d i l i ueda ueda 2 ueda 6º -6º º º º º (,,) (,,) 8º º º (,,) (-,,),, 2 2 y 2 Y x 2 -,, 2 2 Tabla. Paámetoonfiguaión inemátia. on el objeto de obtene el jaobiano de la ueda, se multiplia la matiz J i, detallada en (4), po la matiz de onvesión de la atuaión paa uedas onmidieionales pesentada en la expesión (2). - W i q i = w ix w i w iz (2) a matiz W i modela, en este ejemplo, una ueda de adio, omnidieional, on odillos de adio a noventa gados, tatoa y no dieionable. Po oto lado, on espeto al veto q, w ix es el gado de atuaión del moto, w i la veloidad angula de gio de los odillos y w iz el deslizamiento otaional en el eje vetial de la ueda. De este modo, el jaobiano de la ueda i-ésima queda eflejado omo sigue: s i i l i J i = - i s i -l i (24) Se sustituyen los paámetos de la tabla en la expesión (24), y se obtienen los jaobianos de ada una de las uedas. - J = 2 J 2 = J = (25) (26) (27) as maties J, J 2 y J, se omponen según la euaión (), y se esuelve el jaobiano ompleto del vehíulo omo apaee detallado en (). - J = a 6 a a 6 a = 2 - a a - a - 6 (28) Esta matiz jaobiana elaiona la veloidad del vehíulo on las de gio que apaeen en las uedas: atuado deslizamiento en el eje vetial, y de los odillos. Destede el punto de vista del ontol inteesan exlusivamente los gados atuados. Paa obtenelo se imponen la ondiión de no deslizamiento de la expesión (2) a W( A) B q = 6 a - - a a 6 a - 6 a a a 6 - a a - a a q = (2) El sistema anteio esulta indeteminado, ya que existen tes filas que son ombinaión lineal de las otas. Po ello, se despejan las vaiables no atuadas de las uedas en funión de las que si lo son. Se obtiene omo esultado:

7 w = ( w x - w 2x ) w 2 = w - w x x w = w 2x - w x w z = - ( w x + w 2x + w x ) w 2z = w z w z = w z () Al sustitui el esultado () en el jaobiano ompleto (28), se obtienen las veloidades globales en funión de las atuaiones: v x = ( w - w 2x x) v y = 2w x - w 2x - w x w = - w + w + w x 2x x () a euaión () en foma matiial onstituye el jaobiano atuado del obot móvil en estudio. En la expesión anteio y epesentan el oseno y el seno de q. Si ahoa se onsidea omo oodenada genealizadas el veto: P = ( x y w x w 2x w 2x ) T (5) Se eodena la expesión (4) paa deja una euaión homogénea en funión de laoodenadas genealizadas. a matiz de diha euaión define a A(q ), tal y omo se india abajo: P = (6) A (q ) a enegía inétia del obot, se obtiene a pati de las euaiones (4) y (5). En la euaión (6) apaee dividida en los tes téminos que la omponen. v x v y w J = w x w 2x w x (2) a aateístia de holonomiidad del obot hae que el jaobiano del vehíulo, (2), sea no singula. El jaobiano inveso atuado se obtiene po la invesión: w x w 2x w x J = MODEO DINMIO. v x v y w () En este subapatado se plantea el álulo de todas las maties dinámias pesentes en la euaión (). En pime luga, se aboda la definiión de la matiz de las estiiones de movimiento del obot A(q ). Paa ello, se estable la siguiente elaión: - q P = J q ( w 2x - w x ) x - y q = ( 2w x - w 2x - w x ) -( w x + w 2x + w x ) (4) K = K T + K + K G (6) donde ada uno de los téminos se define a ontinuaión. El pimeo de ellos, la enegía inétia taslaional, K T es: ( y ) K T = 2 M x + M = m + 2m W (7) os paámetos m W y m onstituyen la masa del obot y la de las uedas espetivamente. a omponente otaional, K apaee en la expesión (8). K = 2 Iq I W w 2 x + w 2 2 ( 2x + w x ) I w 2 + w 2 2 ( 2 + w ) I = I + ( I m + m W b 2 ) (8) Donde I w e I se definen omo las ineias de la ueda y el odillo efeidas a sus ejes de gio espetivos. I e I m son las ineias del obot sin uedas espeto al punto guía y de gio de las uedas espeto a su eje vetial. El último elemento de la enegía inétia, la apotaión del ento de masas al sistema de guía del obot, se detalla en (). T È x Í K G = - Í y Î Í q P gx P gy P gz m ()

8 Seguidamente, se alulan las maties de ineias y de oiolis mediante la euaión de agange y las expesiones en la fómula (7), que se desaollan, espetivamente en (4) y (42). = M q M F 4 F 4 F 4 M F F F F 4 F F P (4) F 4 F F F 4 F F donde los téminos F i se desaollan a ontinuaión: F = I 2 + I 2 W + 2I 2 2 = I 2 - I F = P gy m - P gx m F 4 = P gy m + P gx m a matiz de oiolis, toma los siguientes valoes: ( q, q ) q 2 m P gy - P gx q 2 m -P gy - P gx q = (4) (42) oomponentes de la expesión () teminan de definise en las expesiones de la fómula (4). B(q ) = [ ] T [ ] T [ ] t d = t p,t p 2,t p,t p 4,t p 5 t = t,t 2,t h = h,h 2 T (4) Paa el álulo del modelo dinámio en oodenadas del obot, se aboda la definiión de la matiz de onvesión S(q ). Se pate de la elaión que existe ente las veloidades del obot vista desde el espaio del mundo y de estas vistas desde el espaio del mismo obot. (w 2x - w x ) x y q = (w 2x - w x ) P = ( q ) J q - (2w x - w 2x - w x ) + (2w x - w 2x - w x ) - (w x + w 2x + w x ) De (44) y teniendo en uenta que P = S(q ) q, obtenemos: (44) x - 2 s + s - + s y 2 w x = s - - s - w 2x w x S (q ) w x w 2x w x a deivada de S(q ) se obtiene de foma inmediata: S (q ) = s (45) (46) se equiee una matiz de olioliuadada on vistas a tansfomala al espaio de las veloidades del obot. Paa ello, se eodena (42) tal y omo se india seguidamente: (q, q ) P = a( w x + 2w 2x + 2w x ) a( w 2x + 2w x ) aw x b( w x + 2w 2x + 2w x ) b( w 2x + 2w x ) bw x P (47) a = m ( P gy - P gx ) b = m -P gy - P gx 2 Paa obtene el modelo dinámio inveso en el espaio de las veloidades del obot se ha de alula M y tal omo se india en la expesión (2). a matiz de masas: M M 2 M M = M 2 M 22 M 2 M M 2 M M = 4 2 M 2 = M = M 22 = 4 2 M 2 = M = 4 2 M m P gx + 2 I + I W M + 2 m + P gy + 2 M - 2 m P gx + P gy + 2 M m P gx + P gy M m P gx I I + 2 M m P gx - P gy I 2 I I 2 I I I + I W 2 2 I Po oto lado, la matiz de oiolis : I I (48)

9 2 = = m P 2 gy w x + 2w 2x + 2w x + 2 = m P 2 gy w 2x + 2w x M m + P gy = m P gy w x M 2 = 27 m 2 + P gy 27 m P gx + P gy 27 m P gy + w x + 2w 2x + 2w x m P gy M 22 = 27 m 2 + P gy + w 2x + 2w x m + P gy 2 = 27 m -P 2 ( + P gx gy )w x m P gx + P gy = 27 m P + P 2 gx gy M w x + 2w 2x + 2w x m P gy M 2 = 27 m 2 P gx + P gy + w 2x + 2w x M m + P gy = 27 m 2 ( P gx + P gy )w x m ( P gx + P gy ) 5. SIMUAION DINMIA. (4) El obot móvil en estudio es un sistema holónomo que pemite movimiento omnidieional, y po tanto, ualquie ombinaión de veloidades angulaes y lineales. Todo ello pemite que el obot ealie ualquiea de los posible desplazamientos que puede ealiza un sólido ígido en el plano. Se han definido las siguientes maniobas elementales: Desplazamiento en línea eta: definido po una veloidad lineal on omponentes, v x y v y, onstantes paa espeifia la dieión y sentido del movimiento y on veloidad angula, q nula. a figua 5 muesta esta manioba. Figua 5. Ejemplo de movimiento lineal. otaión del vehíulo: Se inluye el gio del obot sobe ualquie punto, sobe si mismo (adio nulo) y sobe una de sus uedas. Se muesta en la figua 6. Estos desplazamientos se onsiguen on las veloidades tanto linealeomo angulaes onstantes. Figua 6. Gio on un punto ental ualquiea: Desplazamiento lineal on vaiaión de la oientaión: El obot se mueve en ualquie dieión y sentido a la vez que gia sobe si mismo (ve figua 7). Esto es posible gaias a que el obot es omnidieional. Se onsigue on una veloidad angula onstante, mientas que la veloidad lineal vaia según la siguiente expesión: w = te v x = v x + v y (5) v y = -v x + v y

10 Donde v x y v yo, son laomponentes de la veloidad lineal on las que se mueve el obot en el espaio de oodenadas genealizadas. Figua 7. Desplazamiento lineal on vaiaión de la oientaión. otaión del obot alededo de un punto sin ambio en su oientaión: En este aso la veloidad angula del obot es nula, aunque esté giando alededo de un punto, pues no vaía su oientaión (Figua ). Esto implia que las veloidades vaían a lo lago de la tayetoia, según la expesión (). En ella, P x y P y epesentan la posiión del ento de gio visto desde {}. w = DP 67 Oy 8 T v x = w P Oy - Ú v y dt DP 67 Ox 8 T v y = -w P OX - Ú v x dt (5) 6. ONUSIONES. Este atíulo ha pesentado una metodología integada y sistemátia paa la onstuión de los modeloinemátios y dinámios de los obot móvileon uedas. En todo momento, se ha petendido guada un paalelismo on las teoías, ya onsolidadas, en el ámbito de los obots manipuladoes. Así, se failita el amino paa el uso de la ingenieía de ontol en aas del diseño de ontoladoeonvenionales. Asimismo, se ha ilustado el uso de los poedimientos desitos mediante su apliaión a una onfiguaión de obot móvil holónoma. Sobe los esultados obtenidos se han desito uato tipos de maniobas paa analiza la movilidad del vehíulo. Agadeimientos os autoes desean agadee a ada uno de los omponentes del omité de usos de la EA-IFA la onfianza depositada en el pimeo de los fimantes paa patiipa omo ponente en el IV uso de Espeializaión en Automátia. Asimismo, los autoes agadeen a D. Jesús Moales odíguez su atenta ayuda. efeenias [] Hu T., Yang S. X. (22). eal-time toque ontol of nonholonomi mobile obots with obstale avoidane. Po. Of the 22 IEEE Intenational Symposium on Intelligent ontol, pp Vanouve, anada. [2] Matínez-odíguez J.. (4). Seguimiento automátio de aminos en obots móviles. Tesis dotoal. Univesidad de Málaga. [] Mui P. F., Neuman. P. (86) Kinemati of wheeled mobile obots. The obotis Institute. anegie Mellon Univesity.Intenal epot MU-I-T [4] Olleo-Batuone A. (2) obótia: Manipuladoes y obots móviles. Maombo. ISBN [5] Yun X., Yamamoto Y. (). Intenal dynami of a wheeled mobile obot. Po. Of the IEEE/SJ Intenational onfeene on Intelligent obots and System, pp , Yokohama (Japan). Figua. otaión del obot alededo de un punto sin ambio en su oientaión. [6] Zhao Y., BeMent S-. (2) Kinematis, dynamis and ontol of wheeled mobile obots. Po. Of the 2 IEEE Intenational onfeene on obotis and Automation, pp -6, Nie (Fane).