TEMA 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA.

Transcripción

1 E 1. INERCCIÓN GRVIORI. CONENIDOS: 1.- Camo gaitatoio..- Intensidad del amo gaitatoio. 3.- Camos de fueza onseatios 4.- Potenial gaitatoio. 5.- Relaión ente enegía y moimiento obital. 6.- Caos deteminista. CRIERIOS DE EVLUCIÓN: 1. soia el amo gaitatoio a la existenia de masa y aateizalo o la intensidad del amo y el otenial.. Reonoe el aáte onseatio del amo gaitatoio o su elaión on una fueza ental y asoiale en onseuenia un otenial gaitatoio. 3. Inteeta aiaiones de enegía otenial y el signo de la misma en funión del oigen de oodenadas enegétias elegido. 4. Justifia las aiaiones enegétias de un ueo en moimiento en el seno de amos gaitatoios. 5. Relaiona el moimiento obital de un ueo on el adio de la óbita y la masa geneadoa del amo. 6. Conoe la imotania de los satélites atifiiales de omuniaiones, GPS y meteoológios y las aateístias de sus óbitas. 7. Inteeta el aos deteminista en el ontexto de la inteaión gaitatoia. 1

2 1.- CPO GRVIORIO Isaa Newton ( ) enunió la ley de la gaitaión uniesal mediante la ual se demuesta que la inteaión ente dos ueos, odue un moimiento que uede se desito o las leyes que Kele había enuniado un siglo antes. Newton enunió su ley uniesal de gaitaión en los siguientes téminos: La inteaión gaitatoia ente dos ueos untuales uede exesase o una fueza de ataión ental dietamente ooional al oduto de las masas de los ueos e inesamente ooional al uadado de la distania que les seaa F = G 1 u G es una onstante de ooionalidad uyo alo deende del sistema de unidades utilizado y es indeendiente del medio en el que nos enontemos. En el SI su alo es 6, N m Kg -. Esta fueza es un eto uya dieión está en la eta que une las masas que inteaionan y su sentido aunta, aa ada masa, haia la ota. ataemos a ontinuaión los asetos fundamentales de la eoía de la Gaitaión que exlia esta inteaión ente las masas. Las inteaiones gaitatoias, y en geneal ualquie inteaión que se odue ente los ueos, son inteaiones a distania. La uestión ahoa es ómo se tansmite la inteaión. Las difiultades inheentes a la aión a distania, no asaon desaeibidas al oio Newton uando fomuló la ley de la gaitaión uniesal; sin embago, no fue osible suealas hasta que, a mediados del s. XIX, ihael Faaday, en sus estudios sobe eletiidad, intodujo el oneto de amo. ás tade se genealizó diho oneto, siendo osible alialo a ualquie inteaión omo, o ejemlo, la gaitatoia. Dada una deteminada egión del esaio, se die que en ella existe un amo uando en ada unto de diha egión está definido un alo deteminado de la magnitud en uestión. La existenia de una deendenia funional magnitud-osiión es la aateístia que define la noión de amo. Un amo estaá definido, en téminos matemátios, uando se onoza la foma de esa oesondenia que asoia a ada unto del esaio un alo de la magnitud onsideada. Según sea la natualeza de la magnitud onsideada, el amo oesondiente odá se esala o etoial. Un aso atiula de amos etoiales es el de los amos de fuezas, ente los que se enuenta el amo gaitatoio.

3 Suongamos que en difeentes untos alededo de una masa oloamos ota masa m. En ada uno de esos untos m exeimenta una fueza debido a su inteaión gaitatoia on. Puede deise que la masa odue, en el esaio que la odea, una etubaión físia que llamamos amo gaitatoio, que se one de manifiesto o la fueza que se ejee sobe una masa testigo o de ueba m oloada en esa zona..- INENSIDD DEL CPO GRVIORIO. Se define la intensidad del amo gaitatoio eado o una masa en ualquie unto del esaio que la odea omo la fueza que se ejee en ada unto sobe la unidad de masa, al oloala en diho unto. F g = à g = G u m Según esta exesión, la intensidad del amo g, es un eto que tiene la dieión de la eta que une a las masas que inteaionan y el sentido auntando haia la masa que ha eado el amo, o tanto, ontaio al eto unitaio que aunta haia la masa m que lo siente (de ahí el signo negatio, en la exesión etoial). La unidad de g seá N kg -1 que dimensionalmente equiale a una aeleaión. Con el fin de isualiza la estutua del amo gaitatoio se definen las líneas de fueza omo aquellas líneas imaginaias de tal modo que en ada unto la dieión del amo es tangente a la línea de fueza que asa o ese unto. Po ota ate, las líneas de fueza se tazan de modo que su densidad sea ooional a la intensidad del amo. El amo de fuezas gaitatoias se die que es un amo de fuezas entales oque las líneas de aión de los etoes fueza asoiados se otan en un unto fijo. - CPO GRVIORIO ERRESRE. La fueza gaitatoia aliada a los ueos que odean la iea, es el eso: En la suefiie teeste la intensidad del amo gaitatoio aldá, tomando Rt = 6370 km y t = kg 3.- CPO DE FUERZS CONSERVIVOS. 3

4 - RJO Y ENERGÍ - Relaión abajo-enegía: ENERGÍ: Caaidad de un sistema físio aa tansfoma la mateia. RJO: Vaiaión de la enegía de un sistema físio. = ΔE El tabajo emite medi la aiaión de la enegía de un sistema debido a la tansfomaión oduida. La aliaión de tabajo a un sistema ooa la aiaión de enegía del mismo. - abajo ealizado o una fueza onstante. De foma geneal, la ealizaión de tabajo llea onsigo la aiaión de una oiedad del sistema físio mediante la aliaión de una fueza. En funión del sistema físio, de la fueza aliada y la oiedad modifiada odemos habla de difeentes tios de tabajo. = Δa = abajo = Fueza a = Poiedad Sist.temod. Fueza Poiedad abajo Químio esión olumen P dv Eletoquím. F.e.m. Caga ε dq En un sistema meánio el tabajo ooa un deslazamiento mediante la aliaión de una fueza: = F sí, el tabajo ealizado o la fueza se alula omo el oduto esala de la fueza o el deslazamiento. = F Δ osθ Donde θ es el ángulo que foma la fueza F on la dieión del deslazamiento. Esta última exesión nos india que tan sólo debemos toma la omonente de la fueza que tenga la misma dieión que el deslazamiento. - El tabajo es ositio si el ángulo que foman la fueza y el deslazamiento está omendido ente 0 y π / adianes. - El tabajo es máximo uando la fueza y el deslazamiento tienen la misma dieión y sentido. - Cuando la dieión en que atúa la fueza es eendiula al deslazamiento, aquella no ealiza tabajo. - Cuando el ángulo que foman el eto fueza y el eto deslazamiento está omendido ente π / y π adianes, el tabajo es negatio. En ese aso, la fueza se oone al deslazamiento. Δ 4

5 La unidad del tabajo en el SI seá igual a N m, que eibe el nombe de Julio. El tabajo ealizado o una fueza aiable en un deslazamiento finito es la suma e los infinitos tabajos elementales que eoduen en diho deslazamiento. nalítiamente, esta suma de infinitos téminos se esuele haiendo uso del álulo integal: = 1 F d - RJO Y ENERGÍ CINÉIC. Ya sabemos que el tabajo odue aiaiones en la enegía que tiene un sistema físio: = ΔE ada situaión en la que un ueo uede ealiza tabajo le asoiamos una definiión de enegía (químia, elétia, eólia, témia, ). La enegía asoiada a sistemas en moimiento se denomina Enegía Cinétia. Cuando se ealiza tabajo sobe un ueo modifiando su eloidad, deimos que en ese ueo aía su enegía inétia. Si definimos ahoa la enegía inétia de un ueo de masa m que se muee on una eloidad, omo: 1 E = m el tabajo se uede exesa omo: = E E = ΔE Suongamos que sobe un ueo de masa m, situado en la osiión y que se muee on eloidad V a, uede atua difeentes fuezas, siendo F la esultante de todas ellas. Como esultado de la aión de las fuezas, el ueo se deslazaá del unto al unto, modifiando su eloidad. Sea V b la eloidad del ueo uando alanza la osiión. El tabajo ealizado o la fueza esultante uando el ueo se deslaza desde hasta, es: = F d = F ds siendo F t la omonente de la fueza en la dieión del deslazamiento. Si la masa es te: y la fueza tangenial es siendo ds = dt De ese modo: = d( m ) d F = = m dt dt d F t = m dt d m ds = m dt d ds dt = m 1 d = m t = 1 m 1 m 5

6 De auedo on esto, las unidades en que se mide la enegía y el tabajo son las mismas. Resulta que al ealiza tabajo sobe el ueo, éste inementa su enegía inétia eisamente en una antidad igual al tabajo ealizado: E = E + Esta foma de oede nos emite entende el tabajo omo una tansfeenia de enegía: uando ealizamos tabajo sobe un ueo le tansfeimos enegía, en una antidad igual al tabajo ealizado. Luego el tabajo es enegía en tansito de un ueo a oto; el tabajo es enegía que asa de un ueo a oto debido a la aión de una fueza que se deslaza. Po suuesto, si el ueo que se muee ealiza tabajo sobe oto, su enegía inétia disminuye en una antidad exatamente igual al tabajo ealizado. Si la enegía inétia final es eo, entones el tabajo ealizado es igual a la enegía inétia que tenía el ueo. De esta foma la enegía inétia aaee omo una aaidad aa ealiza tabajo. idiendo enegías inétias, odemos ealua tabajos sin eouanos de las tayetoias. la exesión: = E E = ΔE se le onoe on el nombe de eoema de las fuezas ias. Podemos defini la enegía inétia omo aquella magnitud uya aiaión es exatamente igual al tabajo esultante ejeido sobe el ueo. El esultado anteio es alido sea ual sea la natualeza de las fuezas que atúan sobe el ueo. - FUERZS CONSERVIVS Y ENERGÍ POENCIL. Un ueo uede también ealiza tabajo, aunque su enegía inétia no ambie, uando esté sometido a la aión de una fueza que deende de la osiión, y el ueo ambie efetiamente de osiión. Peo esto solo es osible uando las inteaiones son de un tio atiula, y las fuezas son onseatias. Una fueza es onseatia si el tabajo total que ealiza aa deslazase ente dos osiiones, se uede exesa omo difeenia de una funión esala que deende de dihas osiiones iniial y final. diha funión esala se le denomina enegía otenial. De ese modo, una fueza es onseatia si: = E() E() Esta definiión tae onsigo dos onseuenias: 1) El tabajo total que ealiza esa fueza onseatia aa deslaza un ueo en una tayetoia eada aa ole a la osiión iniial es nulo. ) El tabajo que ealiza una fueza onseatia uando el ueo sobe el que atúa se taslada desde una osiión a ota, es indeendiente del amino seguido. Solo es funión de las osiiones iniial y final. Solo tiene sentido defini la enegía otenial si las fuezas son onseatias, ya que, en aso ontaio, nada asegua que exista una funión simila. uhas de las fuezas esentes en la natualeza son onseatias, o lo que uede definise aa ada una de ellas una enegía otenial asoiada. 6

7 Un ejemlo lo onstituyen las fuezas entales que sieme son onseatias, es dei, que aa estas fuezas uede definise una funión, denominada enegía otenial que solo deende de la osiión del ueo. Las fuezas elástias son entales, ya que su dieión es sieme la del muelle, estando diigidas haia el unto en que éste esta sujeto. ambién son fuezas entales las fuezas gaitatoias y elétias, que ienen dadas o las leyes de Newton y de Coulomb esetiamente. Las fuezas onseatias son aaes de estitui todo el tabajo que se ealiza aa enelas. Paa demosta que estas fuezas son onseatias habá que alula el tabajo que ealiza diha fueza uando el ueo se deslaza de a y demosta que el tabajo neesaio solo deende de la osiión iniial y final, es dei: k elastia = F ds = kx dx = ( x x ) = ΔE m gaitatoio = F d = G d G m G m = ΔE = = - El heho de que el tabajo se alule mediante unas difeenias hae que no imote donde se enuente el oigen de enegía otenial uesto que la difeenia, es dei, el tabajo a a se igual. - Ota aateístia de la enegía otenial es que sieme es debido a la inteaión ente los ueos o lo que la enegía otenial no etenee ni a uno ni a oto ueo sino que es del sistema de ambos. No tiene sentido habla de la enegía otenial asoiada a un ueo aislado, ya que el témino enegía otenial se asoia a las fuezas onseatias que atúan sobe el ueo, tadue una inteaión ente ueos. - CONSERVCIÓN DE L ENERGÍ. - Piniio de onseaión de la enegía meánia. Leibnitz estableió este iniio o imea ez en el año 1693, haiendo efeenia, úniamente, a la onseaión de las enegías inétia y otenial de un sistema situado en el amo gaitatoio teeste. Hemos isto hasta ahoa que aa ualquie fueza: y aa fuezas onseatias: FC = ΔE = ΔE Igualando las dos exesiones anteioes, esulta: Δ E = ΔE E ( ) E ( ) = E ( ) E ( ) y o tanto, E ( ) + E ( ) = E ( ) E ( ) + lo que nos india que en ualquie unto la suma de la enegía inétia y la enegía otenial emanee te. la suma de la enegía inétia y otenial del ueo se le denomina enegía meánia y se afima que la enegía meánia del ueo emanee te en ualquie unto, si sobe este solo atúan fuezas onseatias. P 7

8 - Genealizaión del teoema del tabajo y de la enegía: Cuando sobe un ueo atúan fuezas no onseatias, omo o ejemlo los ozamientos, la suma de las enegías inétia y otenial del ueo no se mantiene te. Las fuezas no onseatias no son aaes de estitui todo el tabajo que se ealiza aa enelas. Si suonemos que sobe un ueo atúan fuezas onseatias y fuezas no onseatias y eesentamos o y n el tabajo ealizado o ada una de ellas, tendemos que, aa el tabajo esultante: = + = ΔE Peo el tabajo ealizado o las fuezas onseatias: n = ΔE de modo que el balane de enegía uede ahoa exesase en la foma: Δ E + ΔE = Consideando las enegías en dos situaiones ualquiea, y, omo se ha heho anteiomente, esulta: ( E + E ) ( E + E ) = Como emos, la suma de las enegías inétia y otenial en ada instante no emanee te, sino que aumenta si n es ositio y disminuye en aso ontaio. Si existen ozamientos, el n es, en geneal, negatio, dado que la fueza de ozamiento genealmente se oone al moimiento. En ese aso, odemos onsidea que el ueo esta disiando enegía. 4.- POENCIL GRVIORIO. Sabemos ya que los amos gaitatoios oduidos o una atíula untual seán entales y que toda fueza ental es onseatia y, o tanto, tendá una enegía otenial. n n = E ( ) E ( ) = ΔE à E ga = G m 1. Intentando inteeta este esultado tenemos que aa que la enegía otenial gaitatoia de un ueo sea eo este debe enontase en el infinito!. Como se entiende esto?. Como el alane de la fueza gaitatoia es infinito el heho de que un ueo deje de sentila suone que diho ueo esta infinitamente alejado. Ese es, en iniio el signifiado de esta eleión de oigen de enegía otenial.. Oto dato signifiatio es el heho de que diha enegía sea negatia. Hasta ahoa todas las enegías nos habían salido ositias. Que uede signifia que una enegía sea negatia?. Paa ello amos a ensa en lo que suone tene un ueo on enegía eo. eóiamente este seá un ueo inaaz de odui tabajo alguno. No es difíil asoia este ueo on uno situado en el aío más absoluto, aislado y quieto en nuesto sistema de efeenia. Como no tiene eloidad ni hay etubaión alguna su enegía debeá se eo. Pensemos ahoa en qué hay que hae aa que un ueo aado en las eanías de oto llegue a tene enegía eo. Paa ello debeíamos aislale del oto, y aa haelo le alejamos hasta el. hoa bien, omo el oto ueo le atae hemos de aota enegía aa alejale hasta dejale aislado. hoa bien, si aa que este ueo tenga una enegía nula hemos de dale nosotos enegía, signifia que, de alguna foma, este ueo debe enegía, ues hemos de dásela nosotos aa que su enegía total sea eo. Peisamente omo debe enegía tenemos que su E es meno que eo. 8

9 Si alulamos el tabajo neesaio aa seaa dos masas desde una osiión, seaadas una distania, hasta una seaaión infinito, nos queda: m = E ( ) E ( ) = EP ( ) EP ( ) = EP ( ) 0 = EP ( ) = G Podemos defini entones la enegía otenial gaitatoia de un sistema de dos masas seaadas una distania, omo el tabajo neesaio aa seaalas desde esa osiión (seaadas una distania ) hasta una seaaión infinita. El signo negatio del tabajo da uenta de la édida de enegía otenial. El otenial gaitatoio en un unto Vg se define omo la enegía gaitatoia o unidad de masa en diho unto. E V = g m à V g = G Podemos defini entones el tabajo de la fueza gaitatoia omo: [ ( ) V ( )] = E ( ) E ( ) = mv ( ) mv ( ) = m V 5.- RELCIÓN ENRE ENERGÍ Y OVIIENO ORIL. La fueza gaitatoia es esonsable del las óbitas lanetaias y de satélites, ya que la fueza que atúa sobe el satélite es y si simlifiamos admitiendo una óbita iula, la tayetoia es nomal a la aeleaión, o tanto a n = / G La eloidad de un satélite en óbita iula seá: = π Su eiodo de otaión (tiemo en da una uelta) seá: = π = w Un satélite es geoestaionaio si iula o su óbita, alededo de la iea, on un eiodo de taslaión de un día sola. De esta manea su eto de osiión eseto al ento de la iea ota sieme en un mismo unto a la suefiie de la iea Estudio enegétio en el moimiento de los satélites. La enegía del satélite en la óbita iula seá: eniendo en uenta el alo de C : Ya que de la ombinaión de las dos euaiones se dedue que: Po tanto, de las exesiones anteioes se onluye que la enegía del satélite que desibe la óbita es negatia e igual a menos la enegía inétia. 9

10 - Llea el satélite a una altua h desde la suefiie teeste. Se debe umli que la enegía del satélite en la suefiie de la iea seá igual a la enegía a ualquie altua h: Igualando, nos queda: Desejando L : 1 1 = L G R R + h que oesonde a la eloidad de lanzamiento desde la suefiie teeste. - Veloidad de esae Se llama eloidad de esae a la eloidad mínima neesaia aa que una atíula esae de la aión de un amo gaitatoio. Paa alulala, onsideemos la enegía que osee una atíula lanzada on esa eloidad: aa que esae habá de llega a En la suefiie teeste G = = 11,19 km/s R ambién odemos loga que el satélite esae de la ataión gaitatoia uando en un iniio está a una altua h si logamos imimile una eloidad denominada ahoa eloidad de esae aa una altua h (V Eh ) Igualando ambas exesiones: esta eloidad se le denomina eloidad de esae a una altua h. Se uede exesa también omo: G Eh = = C R + h 10

11 CPO GRVIORIO Ley de Gaitaión Uniesal: F = G 1 u (G = 6, N m kg - ) F Intensidad de amo gaitatoio: g = à g = G u m Intensidad del amo gaitatoio de la iea sobe su suefiie: abajo ealizado o la fueza gaitatoia aa taslada una masa desde la osiión hasta la osiión. = E ( ) E ( ) = ΔE Enegía otenial gaitatoia: Potenial gaitatoio: Veloidad obital de un satélite: E ga = G m E V = g m à V g = G [ ( ) V ( )] = E ( ) E ( ) = mv ( ) mv ( ) = m V = G Veloidad de lanzamiento aa alanza la altua h: L = G 1 R 1 R + h Veloidad de esae desde la suefiie de la iea: G = = 11,19 km/s R Veloidad de esaa desde una altua h: G Eh = = C R + h 11