2. Deduzca la expresión del teorema trabajo-energía cinética a partir de la definición del. BIOMECÁNICA DEL MOVIMIENTO EXAMEN FINAL 7 de julio de 2001

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1 BIOMECÁNICA DEL MOVIMIENTO EXAMEN INAL 7 de julio de 00 APELLIDOS...NOMBRE PARCIAL. La figua epesenta el movimiento de un móvil. Indique que iteio seguiía paa onoe la evoluión tempoal de la veloidad. En qué tamos aelea, fena o la veloidad es onstante? Antes de elegi los tamos hemos de establee un iteio que nos pemita detemina uando aelea, fena o lleva v=te. Citeio a segui: d v = dt En una gáfia X t el módulo de la veloidad viene d deteminada po v =. Po oto lado esta deivada epesenta dt la tangente de la funión ( t ) en ada instante omo epesentamos en la figua. La evoluión de esta tangente a lo lago de la uva nos indiaá la evoluión de la veloidad. Po ello, hemos dividido la gáfia en los intevalos que se indian en la figua, y que a ontinuaión omentamos: De t 0 a t : Es una eta y la tangente es la misma, v = te. De t a t : La tangente evoluiona desde un valo negativo hasta eo. MRD hasta paase. De t a t 3 : La tangente evoluiona desde eo hasta un valo positivo. MRA en sentido ontaio al anteio. De t 3 a t 4 : La tangente evoluiona desde un valo positivo hasta eo. MRD hasta paase. De t 4 a t 5 : La tangente es nula, po tanto está paado, v = 0. De t 5 a t 6 : La tangente evoluiona desde eo hasta un valo ligeamente positivo. Está paado y al final del tamo aelea en el sentido positivo del S.R. De t 6 a t 7 : La tangente iniialmente va eiendo positivamente hasta un valo que mantiene onstante. Iniialmente el movimiento es un M.R.A. y posteiomente un M.R.U.. Deduza la epesión del teoema tabajo-enegía inétia a pati de la definiión del tabajo meánio. A ontinuaión, obtenga la siguiente epesión wa + w f = D E + DE p, epliando ada uno de los pasos. Paa obtene el teoema tabajo enegía inétia patamos de la definiión de tabajo elemental dv dw = d = ( ma ) d = m d = mdv v dt Po tanto, w = v f vi mv Øv ø dv = mœº œß v f vi = DE Una vez obtenida la euaión w = DE distinguimos ente el tabajo que ealizan las fuezas onsevativas y el tabajo ealizado po las fuezas no onsevativas, peo antes dejemos bien lao lo que es una fueza onsevativa: uezas onsevativas: Deimos que una fueza es onsevativa si eiste una funión V ( ) dependiente de la posiión tal que podemos esibi dv( ) = - d = -dv( ) d ()

2 es dei, w = d = - dv( ) = -D V( ) () La funión V ( ) es lo que llamamos enegía potenial E p. La epesión () entones queda omo w = -D E p( ) = E pf ( f ) - E pi ( i ) (3) La impotania de la euaión (3) adia en que el tabajo ealizado po una fueza onsevativa va a depende únia y elusivamente iniial y final de la enegía potenial y no del amino seguido paa i del estado iniial al estado final lo ual es una gan ventaja. No todas las fuezas tienen esta peuliaidad. Po ejemplo, las fuezas de ozamiento, las fuezas de esistenia al aie o a fluidos omo el agua, y po supuesto, las fuezas musulaes no son fuezas onsevativas, y si hemos de tene en uenta el amino seguido paa ambia de un estado a oto. Así pues podemos distingui el tabajo ealizado po todas las fuezas que intevienen en una situaión dada ente el ealizado po las onsevativas y las no onsevativas: w = w + wn = DE (4) y sustituyendo la epesión (3) en (4) wn = D E + DE p (5) Po último distingamos paa las fuezas no onsevativas ente el tabajo ealizado po todas las fuezas de fiión, que hemos itado anteiomente, y el tabajo meánio ealizado po las fuezas apliadas po los músulos. Entones obtenemos la epesión deseada w + w = D E + DE a f 3. Un jugado de balonesto desea lanza un tio a 7m del ento de la anasta. La distania vetial desde el punto de lanzamiento al ento de la anasta es de 0.9m. Si la veloidad de lanzamiento habitual del jugado es de 9.5m/s. Cuáles son sus ángulos posibles de eneste? El lanzamiento se podue a una altua de.5m del suelo. A 3m del jugado se enuenta un ontaio que es apaz de alanza on la punta de sus dedos una altua de 3.05m. Podá impedi el eneste en las ondiiones del apatado anteio? Utilie g = 9.8m/s. v 0 p Si queemos que un móvil llegue a un punto situado a una distania y una altua h desde el punto de lanzamiento, siendo la veloidad de lanzamiento v 0, los ángulos posibles de eneste vienen dados po ( w w - wh ) taga = / - X () donde w = v0 / g y h epesenta la distania vetial desde el punto de lanzamiento hasta el blano. Si la veloidad de lanzamiento del jugado es de 9.5 m/s y desde 7m quiee que el ento del balón pase po el ento de la anasta que se enuenta a una altua de 0.9m desde la altua de lanzamiento, entones y sustituyendo en () ( ) = / 7 ( ) v w = 0 = 9. 9m g taga = / 7, de donde obtenemos lo posibles ángulos de lanzamiento paa pode enesta desde 7 m on esa veloidad de lanzamiento seán h

3 a a + - = 6.65º = 34.66º A 3 m del jugado se enuenta un ontaio que es apaz de salta hasta 3.05 m, sobepasando en 0.9 m la altua de lanzamiento. Si queemos sabe si es apaz de impedi el eneste, es sufiiente on aveigua a qué altua estaá el balón uando = 3m, paa ambos ángulos. Utilizando () on los mismos valoes vamos a alula h a la distania que salta el jugado = 3m y w = 9.9m, paa los dos ángulos de lanzamiento. De esta manea: Paa a + = 6.65º despejamos h h = ( h 3 ) tag6.65 = / ( 9.9 ) ( 3( tag6.65 ) ) 9.9 = 3.48m Como h = 3.48m > 0.9m, no impide el eneste, pues el balón a 3 m está a una altua supeio a la que el jugado puede alanza. Paa a - = 34.66º despejamos h h = ( h 3 ) tag34.66 = / 3 - ( 9.9 ) ( 3( tag34.66 ) ) 9.9 =.35m Como h =.35m > 0.9m, tampoo impide el eneste. 4. Un balón de fútbol tiene una masa de 0.40 Kg. e iniialmente se mueve haia la izquieda sobe el ésped, a azón de 0 m/s. Al se pateada adquiee una veloidad de 30 m/s a 45º haia aiba y haia la deeha. Suponiendo que el tiempo de hoque es de 0.0 s. Calule la fueza neta media y el impulso de diha fueza. En pime luga, hemos de danos uenta que antes del impato el balón se mueve en la - 0i m 30m / s 45º dieión negativa del eje OX. Después, el balón sale despedido on una dieión positiva tanto en el eje OX omo en el OY. Consideemos omo objeto de estudio el balón. Éste va haia la izquieda y la piena del jugado impata sobe la pelota. En este aso sabemos que. I = D m t () Si somos apaes de onoe el impulso que la piena del jugado ejee sobe el balón entones obtendemos la fueza media que atúa sobe éste. Ahoa bien, el impulso ejeido sobe el balón seá: v I = Dp = m(v - v ) = os 45º i + 30sin45º j - - 0i = 6.48i f i [( ) ( )] j que sustituyendo en () nos da un valo paa la fueza media v ejeida sobe el balón = 648i j m 3

4 PARCIAL 5. Demueste la euaión fundamental de la hidostátia paa un fluido de densidad unifome. Considee el movimiento de un balón en el aie que se taslada on veloidad, y a su vez gia sobe sí mismo on veloidad angula. Qué fuezas están atuando sobe el balón? En qué onsiste el efeto Magnus? Sean dos puntos de un fluido de densidad unifome que están a P pofundidades espetivas h y h. Consideemos un áea A. h Diho ilindo de fluido está en eposo. Las fuezas que están h atuando sobe diho ilindo son el peso, y las fuezas debidas a las pesiones P y P. El peso de la olumna de líquido es P = mg = V = Ahg donde es la densidad del líquido, A la seión tansvesal P indiada en la figua y h = h - h la difeenia de pofundidad ente ambos puntos. Si P es la pesión en la pate infeio y P en la pate supeio, la fueza neta, haia aiba, ejeida po esta difeenia de pesiones, P A - P A, iguala al peso de la olumna. Así: P A - P A = Ahg y finalmente P - P = gh que es la euaión que busábamos. El teoema de Benouilli elaiona la pesión, la altua y la veloidad de un fluido inompesible en flujo estaionaio, w P + gh + / v = te Ignoando los ambios de altua, llegamos la epesión de Ventui P + / v = te. v La fig. está dibujada desde el punto de vista de la pelota estaionaia ig on el aie de deeha a izquieda. Cuando la pelota gia sobe sí misma tiende a aasta aie a su alededo. El movimiento del aie oiginado po el aaste de la bola en movimiento giatoio, se suma en la pate infeio de la pelota y se esta en la pate supeio, omo se ve fáilmente en la figua. Así pues, w v la veloidad del aie es mayo en la pate infeio que en la supeio, y po tanto la pesión es meno. De esta manea eiste una fueza desendente. Si el gio de la pelota fuese en sentido antihoaio la fueza debida a este efeto ( efeto Magnus) seía asendente. Es dei, uando la pelota está avanzando en el aie on una veloidad de otaión, además ig de la fueza gavitatoia eiste una fueza debida al efeto Magnus uyo sentido va a depende del sentido de gio. 6. Una bola a una veloidad iniial de 0.0 m/s hoa elástiamente on dos bolas idéntias uyos entos están en una línea pependiula a la veloidad iniial e iniialmente en ontato ente sí. La pimea bola se diige dietamente al punto de ontato y todas las bolas aeen de fiión. Halle las veloidades de las tes bolas después de la olisión. (Sugeenia: En ausenia de fiión, ada impulso se diige a lo lago de la línea de los entos de las bolas, nomal a las supefiies que hoan). 4

5 Este poblema es de un hoque elástio de tes bolas. Una de ellas hoa on otas dos que están q quietas, y en la línea media de R ambas. Después del hoque las dos R que están quietas salen on el mismo ángulo espeto a la hoizontal, peo una haia un lado y ota haia el V 0 = 0 m/s ontaio. Po se un hoque elástio, q se onseva la enegía inétia y la antidad de movimiento. Po simetía, las bolas que estaban quietas iniialmente saldán desviadas on el mismo ángulo espeto a la hoizontal, y on el mismo módulo de veloidad v. Llamaemos v a la veloidad después del hoque de la bola que golpea. Peviamente alulaemos el ángulo de salida de las dos bolas: Si ampliamos, en el dibujo anteio, los entos de las tes bolas en el instante del hoque, es fáil ve que el R ángulo que foman las bolas on espeto a la hoizontal R a ha de umpli que R sin a = = / a = 30º R La onsevaión de la antidad de movimiento ( D p = 0 ) duante el hoque implia dos euaiones esalaes, una paa ada omponente: pi = p f () p = p sustituyendo nos queda m0 = ( mv iy 0 = mvsin30º -mvsin30º + mv fy os 30º ) + mv de la segunda euaión de () deduimos que veloidad de la bola que golpea no tiene omponente en el OY. De la pimea euaión obtenemos que v = v (3) La onsevaión de la enegía inétia implia que: E i = Ef / m0 = ( / mv ) + / m( v ) (4) Sustituyendo (3) en (4) y opeando obtenemos la euaión 4.99v v = 0, de donde v = 6.93m / s y sustituyendo en (3) v = v = -.98m / s Este último esultado nos india que la bola que golpea, después del hoque va en dieión ontaia a la iniial. 50 m P t aga m 40º y 60 m () 7. La figua muesta una pesona de 70 kg. de masa utilizando una máquina de etensión de la espalda sobe L5-S P b 5

6 la ual hay una aga de Kgf. El ángulo fomado po su espalda y la hoizontal es de 40º. Está empujando (pependiula a su olumna espinal) onta una almohadilla que está a 50 m de L5-S. La longitud de la olumna espinal desde L5-S hasta el uello es de 60 m. El músulo espinal eeto foma un ángulo de º on la olumna y se inseta sobe la olumna en un punto a 0.67 vees la distania desde L5-S hasta el uello. Suponga que el C.G. de sus bazos está justo en la mitad de la distania desde L5-S hasta el uello. Detemine módulo dieión y sentido de la fueza ejeida sobe L5-S. El peso del tono, abeza y uello ( P t en la figua) epesenta el 56.5% del peso opoal y el de un bazo el 4.8%. En pime luga, señala que el sistema que nosotos vamos a analiza es la olumna espinal desde L5-S hasta el uello, la ual está en equilibio. Antes de aplia las ondiiones de equilibio paa un uepo etenso, = 0 () = 0 () M o hagamos la desomposiión atesiana de la fueza musula: m my = = m m os5º sin 5º () y de la fueza de ontato sobe L5-S, y = osj = sinj (3) y la desomposiión de la fueza que ejee la aga, aga agay = = aga aga sin 40º os40º (4) Una vez epesadas las omponentes atesianas de las fuezas poedamos a esibi las dos euaiones de (): y = + m agay + aga = P + P + A ontinuaión esibamos la segunda ondiión de equilibio paa un uepo etenso: b Como siempe, en pime luga hemos de elegi el punto espeto al ual hemos de halla los momentos. Obviamente, al desonoe totalmente, elegiemos el punto de apliaión de la fueza de ontato L5-S.omo el punto O espeto al ual tomaemos momentos. Po tanto, la euaión () nos queda M o ( Pb ) + M o( Pt ) + M o( m ) = M Obsevando la figua, teniendo en uenta los dos bazos y los poentajes de peso opoal de bazos y el onjunto tono, abeza y uello podemos esibi sin t my (5) o ( aga sin 50 + m sin = ) 50 6

7 de donde obtenemos un valo paa la fueza musula de m = 76.Kgf la ual es una 5.6 vees supeio a la aga que ejee la máquina de etensión de la espalda. Ahoa utilizaemos las euaiones (), (3), (4) y (5) paa obtene las omponentes de la fueza que busamos. Así de (5): = 76. os sin 40 = Kgf y os 40 = sin5 lo ual da un valo paa el módulo de la fueza que se ejee sobe L5-S de = 0.88Kgf y un ángulo on espeto a la hoizontal de J = 45.0º y = Kgf 8. Un gimnasta hae una fleión de bíeps. El húmeo, puede apoimase omo un ilindo de 0.30 m de lago, on un adio eteio de 0 m y un núleo inteio hueo on un adio 3 de 40 m. Eluyendo el bazo, la masa del gimnasta es 63 Kg. Cuál es la tensión de ompesión del húmeo? Cuánto se ompime el húmeo si el módulo de Young es 9 E = 90 N / m? La tensión que sopota el húmeo de bazo ( suponemos que la fleión la hae on los bazos) seá: T 63g / 63g N s = = = = = 7098, A p( Re - Ri ) p( Re - Ri ) 6.8( 0-60 ) m es la tensión que sopota ada húmeo. La ompesión que sopota ada húmeo la obtendemos apliando la ley de Hooke s = Ee, de donde: 9 Dl ,49 = 90 Dl = 3,90 0 m 0,30 9. Paa alula el dg de una pesona lo haemos tende sobe una tabla. Ésta dispone de unos pivotes bajo los uales ponemos dos básulas y se ajustan a eo al pone la tabla enima. Dibuje las fuezas L que atúan sobe el hombe. Demueste que la distania del R dg R dg, espeto al pivote, es R = L siendo L la R + R distania ente ambos pivotes, R las letuas que maan las básulas y. Como la pesona está en equilibio los momentos espetos a ualquie punto han de se nulos. Hallemos momentos espeto al dg: de donde M dg ( R ) = M dg ( R ) R = ( L - dg ) R dg dg R = L R + R Subi nota 7

8 Calule la epesión paa la Potenia meánia media po unidad de masa de un salto en un test de eatividad de 60 s del test de Boso. Haga un análisis de olisión elástia mono y bidimensional alulando las veloidades después de la olisión 8