Enrique Cantera del Río Filiación C/Padre Benito Menni-6-2-E Valladolid (España)

Transcripción

1 Título del Tabajo Espaio,tiempo,mateia y aío. Nombe Enique Cantea del Río Filiaión C/Pade Benito Menni-6--E Valladolid (España) Coeo eletónio benaob@gmail.om Resumen Reisión de la elaión ente la teoía de la elatiidad y la teoía uántia. Intoduión intuitia a la teoía geneal de la elatiidad.

2 ESPACIO, TIEMPO, MATERIA Y VACIO Reflexión ítia de las pinipales ideas físias apaeidas a pinipios del siglo XX: el pinipio de elatiidad y la dualidad onda-patíula. Se taza un pefil del límite ente la físia modena y la físia lásia. ENRIQUE CANTERA DEL RÍO הבהא םע Atualizado Julio-04

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4 4.INTRODUCCIÓN Pág. 5 ESPACIO Y TIEMPO Pág. 7 Popiedades del espaio y el tiempo: Linealidad, Relatiidad y Simetía. Tansfomaión del tiempo loal. Tansfomaión del espaio simultáneo. Relaión ente espaios simultáneos y ontaión de Loentz. Tansfomaión ompleta de la oodenada tiempo. Tansfomaión ompleta de la oodenada x. Relaión ente tiempos loales. (elojes en eposo y en moimiento) Tansfomaión de las oodenadas y, z y esultados ompletos. Tansfomaión de Loentz. Cinemátia elemental. Tansfomaiones de feuenia y eto de onda. 3 MECANICA DE UNA PARTÍCULA Pág. 9 Planteamiento de la meánia de una patíula agada y aeleada. Desde el Límite. 4 COVELOCIDAD y DOMINIOS CINEMÁTICOS Pág. 7 Dominio inemátio uántio y pinipio de Heisenbeg. Casos dinámios en sistemas ompatibles. Paadoja de Abaham-Minkowski de la luz en un medio tanspaente Dominios inemátios, emisión de adiaión y modelo atómio. Obitas uantizadas de De Boglie y estutua fina. Analogía ente patíulas agadas y iuitos elétios. Momento angula mínimo y zittebewegung del eleton. 5 FOTONES Y RELATIVIDAD Pág. 4 Fotones y Relatiidad Espeial. Fotones y Relatiidad Geneal. 6 SISTEMAS DE COORDENADAS INERCIALES Y ACELERACIÓN. Pág. 45 Paadoja de los gemelos. (P.Langein) Poblema de los ohetes espaiales. (J. Bell) 7 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS Y CAMPO GRAVITATORIO. INTRODUCCIÓN ELEMENTAL A LA MÉTRICA DE SCHWARZSCHILD. Pág. 53 En el inteio del agujeo nego. 8.RADIACIÓN DE UNA CARGA ACELERADA Y CAMPO GRAVITATORIO Pág. 6 El pinipio de loalidad. Signifiado físio de la adiaión de una aga aeleada. El aso del péndulo. Pinipio de equialenia, métia de Shwazshild y tansfeenia de enegía

5 5 9.LA CORONA SOLAR: UN INDICIO CUÁNTICO EN LA GRAVEDAD? Pág. 70 Hipótesis Colapso Cuántio-Gaitatoio. El eletón omo agujeo nego: gaedad, fotones ituales, y tiempo en el dominio inemátio uántio. Espaio, tiempo y entelazamiento en el dominio inemátio uántio. 0.SOBRE LA MASA DE PLANCK Y LA ESTABILIDAD DE LAS PARTÍCULAS Pág. 79 Intepetaión físia de la masa de Plank. El poblema de los agujeos negos agados. NOTAS ADICIONALES Y EPILOGO Pág. 85 Sobe el aoplo adiaión-patíula. Sobe la Comosfea Sola. Sobe el espaio en el dominio inemátio uántio. Epílogo APENDICE I: Una definiión de tiempo físiamente azonable. Pág. 89 APENDICE II: Campo, ineia y ondiiones de ontono. Pág. 93 APENDICE III: El Unieso y las Leyes físias. Pág. 95 APENDICE IV: Objetos, Aiones y Gamátia. Pág. 97 APENDICE V: Poblemas y uestiones Pág. 99 Poblema de la baa y el tubo. Osiladoes y Ondas. Choque elástio de dos patíulas Enegía potenial y masa El tiempo en un satélite en óbita iula entono a la tiea: G.P.S. Poblemas de físia lásia. NOTAS Pág. 9 BIBLIOGRAFÍA Pág. 7

6 6 -INTRODUCCION A los 6 años Einstein se hizo la siguiente pegunta: Si un obseado ineial de los que maneja la meánia lásia es apaz de moese a la eloidad, onstante, de una onda eletomagnétia plana, omo peibiía los ampos elétio y magnétio?. La espuesta lásia es la que supone la onda eletomagnétia omo una onda en la supefiie de un estanque de agua: se peibiían unos ampos estátios, lo mismo que en el aso de la onda de agua se e una foma que no osila. Peo si las leyes físias son las mismas paa ualquie obseado ineial según postula el pinipio de elatiidad, esulta que las leyes de Maxwell no están de auedo on la isión lásia anteio. Po una pate, la existenia de ampos independientes del tiempo neesitan del onuso de algún tipo de distibuión de aga (leyes de Gauss y Ampèe;n-); peo no podemos eui a esto, ya que el heho eleante es que las ondas eletomagnétias pueden popagase en el aío. Po ota pate, adoptando la hipótesis del aío, el ampo elétio de una onda eletomagnétia se debe a osilaiones del ampo magnétio y ieesa. Esto es lo que exigen las leyes de Fáaday y Ampee- Maxwell. Po tanto la luz que se popaga en el aío onsta de ampos osilantes paa ualquie obseado ineial si ha de umplise el pinipio de elatiidad. Que es lo que falla en la isión lásia? Po un lado apaeen ondas que se popagan sin la patiipaión de un medio mateial; el aío apaee on popiedades ondulatoias intínseas espeto a la popagaión de ondas eletomagnétias. Po oto lado, si el obseado no fuese apaz de moese a la eloidad de las ondas eletomagnétias en el aío, entones siempe peibiía ampos osilantes tal omo equieen las leyes de Fáaday y Ampèe-Maxwell. Esto apunta a una soluión no lásia del poblema, pues supone la existenia de un límite al moimiento de ualquie objeto físio. Si la luz es una onda eletomagnétia entones este límite es la eloidad de la luz en el aío. Esta imagen nos hae e la impotania de onsidea el ompotamiento de los difeentes tipos de ondas que se dan en la natualeza en funión del moimiento elatio del obseado. Este estudio se puede hae desde el onepto de fase y es lo que se onoe omo efeto Dopple. Los fenómenos de intefeenia y difaión son lugaes omunes en aias amas de la físia. Los expeimentos que inluyen estos fenómenos se uentan ente los que poduen las medidas mas exatas. La fase apaee dietamente en las leyes que deteminan los patones de intefeenia paa ualquie onda plana. Po tanto, onsideando el pinipio de elatiidad, la foma de estas leyes se puede mantene paa obseadoes ineiales en moimiento elatio unifome si se supone que la fase de ualquie onda plana es inaiante. Este aáte de la fase se tomaá aquí En el momento en que Einstein se plantea estas pegúntas, la Ley de induión de Fáaday ea una eidenia espeto a la alidez del pinipio de elatiidad en eletomagnetismo. Las oientes induidas en un onduto po un imán dependen del moimiento elatio ente el onduto y el imán. La Ley es la misma paa un obseado que peibe el iman en eposo y el onduto en moimiento o paa un obseado que peibe el onduto en eposo y el imán en moimiento.

7 7 omo un pinipio, y po tanto solo queda justifiado po las onseuenias que podue, las uales seán el hilo onduto de este tabajo. Los pinipios básios que se utilizaán son: -Pinipio de Relatiidad Restingido o definiión de Sistema de Coodenadas Ineial: Las leyes físias son las mismas paa ualquie obseado que utilie un sistema de oodenadas ineial (obseado ineial). -Existenia de los Sistemas Ineiales de Coodenadas: A todo uepo físio ígido se puede asoia un obseado ineial. En geneal suponemos que se puede habla del sistema de oodenadas ineial instantáneo asoiado a un objeto físio en el instante dt, de modo que en este instante la eloidad elatia del objeto en uestión es nula.(n-) 3-Límite de la eloidad de la luz 3.-La eloidad de la luz en el aío es una onstante físia. Esta ondiión se extae dietamente del eletomagnetismo. 3.-No se puede tansfei infomaión ente un foo y un eepto a eloidad súpe-lumínia. 4-Dualidad Onda-Patíula: Cualquie patíula libe tiene una onda uántia plana asoiada. 5-La fase de ualquie onda plana: k wt, es inaiante ente obseadoes ineiales. Como efeenia paa el leto, las ideas pinipales que se desaollan son estas: -Hay tes oneptos pinipales: espaio-tiempo, mateia y aío. -La mateia es un objeto omplejo fomado de patíula y onda uántia. -La patíula supone una elaión ente la mateia y el espaio-tiempo. -La onda uántia supone una elaión ente la mateia y el aío. -Existen dos dominios inemátios: un elatio al onepto lásio de espaiotiempo de la elatiidad espeial y un dominio inemátio uántio que podemos identifia omo aío uántio. -Hay un límite elatio a la modulaión de una onda uántia. Este límite es de la foma ΔE.ΔT = h; donde h es la onstante de Plank, ΔE es la enegía inteambiada po la onda y ΔT el tiempo que tadaá en olapsa. El olapso es un ambio indeteminado en la onda uántia.

8 8 -ESPACIO Y TIEMPO Resulta difíil defini oneptos tan básios, de heho algunos filósofos los onsidean ideas a pioi del entendimiento. En físia es mejo fijanos en lo que haemos on ellos. Utilizamos el espaio y el tiempo omo oodenadas paa limita las aiones de la natualeza y así pode establee un oden y ompaalas. Ente otos oneptos que dependen de este oden está la idea de ausalidad, asoiada a nuesta intuiión físia. Desde Galileo la físia lásia siempe asumió la elatiidad del espaio: un objeto puede oupa un luga fijo paa un obseado y paa oto oupa aios lugaes suesiamente. Peo si nos dien que el tiempo es elatio, es dei, que las aiones físias en un expeimento no tienen po que tene el mismo oden tempoal paa todos los obseadoes; paee que se aben las puetas del Caos, de la falta de ausalidad. La idea tadiional de tiempo onllea esta impesión; peo un examen mas pofundo elimina la imagen de aos abitaio y establee la idea de Unieso en físia mediante el pinipio de elatiidad[]. El desubimiento del aáte elatio del tiempo se basa en el análisis de suesos simultáneos. Supongamos este esenaio: dos sistemas de efeenia atesianos paalelos en desplazamiento elatio unifome sobe la dieión omún que se onsidea eje x. Distinguiemos los dos obseadoes po el sentido de la eloidad elatia ista po ada obseado, es dei, uno seá el obseado + y oto seá el obseado -.La eloidad elatia oespondiente seá a y. Sea ahoa una egla situada a lo lago del eje x- en eposo paa este obseado. Desde el punto medio (x0- ) de la egla se genea una señal eletomagnétia esféia que llega a los dos extemos de la egla: x- y x- (x- < x-). Dado que la eloidad de popagaión es la misma en los dos sentidos (la eloidad de la luz en el aío ), si se poduen sendas aiones uando la luz llega a los extemos de la egla, estas apaeen al mismo tiempo: son simultáneas paa el obseado -. Peo isto po el obseado +, esulta que el efeto onjunto de la eloidad elatia y la onstania de la eloidad de la luz pooa un ambio en el oden de las aiones anteioes: la pate de la señal que se muee en onta de la eloidad elatia eoe menos espaio hasta el extemo oespondiente que la pate de la señal que se muee en el mismo sentido que la eloidad elatia. Si, según el pinipio 3., la señal eoe esos espaios on la misma eloidad, tenemos que las aiones geneadas en los extemos no son simultáneas paa + : ( x 0 x ) t t ; ( x x 0 ) t t t t ( x x ) Donde se ha supuesto que, paa el obseado +, el pulso se emite también, en un instante deteminado, desde el ento de la egla móil (n-3). Esta euaión da el oden tempoal de las aiones menionadas. Si ahoa inteambiamos los papeles y la egla está en eposo paa el obseado +, manteniendo su dieión y sentido sobe el eje omún, el esultado paa el obseado - es el mismo, salo el signo de la eloidad elatia que ambia, es dei, el oden tempoal de las aiones se iniete:

9 9 t t ( x x ) (.) La onstania de la eloidad de la luz y la idea tadiional (Newtoniana) de tiempo no son ompatibles. En su famoso tabajo de 905[], Einstein popone edefini el onepto de tiempo a pati del tiempo loal: el tiempo que maa un eloj en eposo. Postulando la onstania de la eloidad de la luz en el aío define lo que es sinoniza elojes en eposo espaialmente sepaados; la sinonizaión así definida es una elaión de equialenia ente todos los elojes en eposo elatio a un sistema de oodenadas ineial deteminado, y po tanto se puede utiliza paa defini un tiempo físio omún paa ada punto de un sistema de oodenadas atesiano ineial. Paa alaa esta idea y justifia po que apaee el témino eloidad ente omillas efeido a la luz en el aío ea el apéndie oespondiente. Popiedades del espaio y el tiempo: Linealidad, Relatiidad y Simetía. Debemos enonta alguna egla que nos pemita elaiona los espaios y los tiempos de una aión físia que miden dos obseadoes en moimiento elatio. Solo así los obseadoes pueden ee que están expeimentando los mismos, o distintos, fenómenos, y po tanto llega a leyes omunes. Cómo es esta egla? Intentaé segui el iteio de mayo senillez posible. Una aión físia (A) está limitada, al menos, po dos suesos: dos onjuntos de oodenadas x, y, z, t. En lo toante a nuesto objetio, esta aión se puede desompone en el pa (Al, As), intoduiendo un tee sueso que sea simultáneo on el sueso final y loal on el sueso iniial (n-4). La elaión mas senilla de los tiempos y espaios de estas aiones es la lineal: t(a) t(al ) t(as ) e(a) e(al ) e(as ) (ex, y, z) (.) Donde Al es una aión loal: los suesos limitantes ouen en un mismo punto; y As es una aión simultánea: los suesos limitantes ouen a la ez. Paa el obseado que eifique la simultaneidad de As seá Δt(As) = 0, peo paa ualquie oto en moimiento elatio este témino no se anula, omo se ha isto antes. Es un tiempo induido po el moimiento elatio y po tanto epesenta la elatiidad del tiempo. Paa el obseado que eifique la loalidad de Al, seá Δe(Al)=0, peo paa ualquie oto obseado en moimiento elatio, la aión Al ambia de posiión y este témino no se anula. Es un espaio induido po el moimiento elatio y po tanto epesenta la elatiidad del espaio. Estos téminos, Δt(As) y Δe(Al), tienen una popiedad de asimetía dietamente elaionada on el moimiento elatio. La foma mas senilla paa esta popiedad es la siguiente: Si el obseado + mide el espaio de una aión que sea loal paa el obseado -, obtendá un alo Δe. Si se inteambian los papeles y es La luz no tiene definido un eto eloidad (uadi-eloidad) en el espaio de Minkowski.

10 0 ahoa el obseado - quien mide el espaio de la misma aión, ahoa loal paa el obseado +, obtendá un alo -Δe. Si el obseado + mide el tiempo de una aión que sea simultánea paa el obseado -, obtendá un alo Δt. Si se inteambian los papeles y es ahoa el obseado - quien mide el tiempo de la misma aión, ahoa simultánea paa el obseado +, obtendá un alo -Δt. Esta ondiión de asimetía supone, en la expeienia de la egla del apatado anteio (.), que _= -+, y que la longitud de la egla móil: x-x, no depende de la dieión de su eloidad elatia al obseado. Esta asimetía en el tiempo supone también que los suesos simultáneos no pueden esta elaionados ausalmente ya que no existe un oden objetio paa ellos. Si suponemos que las leyes físias son ausales, es dei, que epesentan un oden tempoal objetio de las aiones físias, entones estas leyes no deben depende de la existenia de aiones simultáneas(n-5). Quedan otas dos omponentes del espaio y el tiempo po analiza: el tiempo loal Δt(Al) y el espaio simultáneo Δe(As). Paee lao que el tiempo loal es lo que maa un eloj o en geneal la duaión de un poeso físio loal. La longitud de una egla móil se detemina estableiendo las oodenadas de sus dos extemos simultáneamente: el espaio simultáneo equiale a la longitud de un objeto físio. Las popiedades de estas magnitudes paeen se notoiamente difeentes. La longitud de una egla no puede anulase paa ningún obseado ineial. La maha de un eloj tampoo puede detenese po efeto de la eloidad elatia. Estas omponentes no deben patiipa del aáte asimétio de las omponentes anteioes. Las onlusiones que siguen toman omo hipótesis el aáte simétio de estas omponentes. Tansfomaión del tiempo loal La ondiión de simetía es la siguiente: (a)si el obseado + mide el tiempo Δtl de una aión loal, el obseado - mediá un tiempo Δt. (b)si se ambian los papeles y el obseado - mide el tiempo de la misma aión loal en una éplia de la expeienia del obseado +, que eidentemente debe se también Δtl; entones el obseado + mediá un tiempo Δt. El aío tiene la apaidad intínsea de popaga ondas. Suponemos ahoa que en nuesto sistema se muee una onda plana en el aío a la eloidad de la luz en la dieión eiente del eje x omún a los dos sistemas de efeenia. Si apliamos la simetía del tiempo loal al pinipio de fase inaiante tenemos: w t w t l l k t w t k t w t (.3. a) (.3. b) Diidiendo (.3.a) po w- y (.3.b) po w+, multipliando las euaiones y dado que w = k paa ambos obseadoes (pió 3.), tenemos lo siguiente:

11 l t t (.4); w w k k (.5) Tansfomaión del espaio simultáneo La ondiión de simetía es la siguiente (se onsidean solo suesos sobe el eje x): ()Si el obseado + mide el espaio Δxs de una aión simultánea, el obseado - mediá un espaio Δx. (d)si se ambian los papeles y el obseado - mide el espaio de la misma aión simultánea en una éplia de la expeienia del obseado +, que eidentemente debe se también Δxs; entones el obseado + mediá un espaio Δx. Apliando esto en nuesto aso: s k x s k x k x w t k x w t (.6. ) (.6. d) Nos damos uenta de que los intealos de tiempo que apaeen están asoiados al mismo sueso simultáneo isto po obseadoes on moimiento elatio + y, po tanto, omo se io antes estos tiempos tienen signos ontaios. Po tanto, si diidimos (.6.) po k-, (.6.d) po k+ y sumamos las euaiones tenemos, utilizando la elaión de etoes de onda (.5): x x s (.7) Relaión ente espaios simultáneos y ontaión de Loentz Sea un segmento ígido en eposo sobe la dieión x -, el obseado - genea, utilizando una fuente de luz en su punto medio, sendas aiones simultáneas en los extemos del segmento. El alo x + asoiado a estas aiones, según el obseado + está dado en la pate izquieda de (.7). Como hemos isto paa el obseado + la simultaneidad se piede y hay un intealo de tiempo ente dihas aiones, po lo que paa + el segmento se habá desplazado una ieta distania de modo que la suma de este desplazamiento y la longitud de diho segmento móil igualan el esultado (.7) x x s t (.8)

12 se tata de la desomposiión de aiones en base al sueso intemedio onenientemente elegido. El inemento de tiempo po pédida de simultaneidad se ha alulado anteiomente en (.): t x s y po tanto haiendo las sustituiones en (.8) x s x s x x s s x s O en una notaión mas ompensia x x s m s (.9) Po tanto una misma egla ígida es mas ota medida po un obseado en moimiento elatio (x s m ) que po uno en eposo elatio(x s ) a diha egla. El tamaño de los objetos físios se detemina po medio de un poeso simultáneo y po tanto diho tamaño es elatio al sistema de oodenadas utilizado (n-9). s Note el leto el siguiente detalle: x epesenta un simple segmento al que s asignamos una medida onenionalmente (patón), peo x m epesenta una línea oodenada sínona espaio-tempoal oheente on la onenión anteio. Tansfomaión ompleta de la oodenada tiempo Sustituyendo la euaión (.9) en la euaión del tiempo simultáneo (.) y sumando on los esultados del tiempo loal, omo equiee (.), tenemos la tansfomaión ompleta del tiempo: t ( t l x s ) (.0) Tansfomaión ompleta de la oodenada x Patiendo de (.8) y sustituyendo la tansfomaión ompleta del tiempo (.0) y la ontaión de Loentz (.9) tenemos x ( x s t l ) (.)

13 3 Relaión ente tiempos loales (elojes en eposo y en moimiento) Supongamos un eloj ualquiea en eposo paa el obseado +. La medida de este eloj epesenta eidentemente un tiempo loal paa + : t l +. Paa - tenemos el eloj de + en moimiento; según (.), seá: x s t l 0 donde t l _ es el tiempo loal en - ; po tanto, según la definiión de tiempo, medido po un eloj en eposo paa -. Si suponemos el mismo oigen iniial de tiempos paa + y paa - tenemos que el tiempo medido en - es el de aquel eloj en eposo que oinida espaialmente en ada instante on el eloj móil, obtenemos de (.0) que la medida del tiempo en + y la medida del tiempo en - umplen: l l t t m (.) Po tanto, un eloj en moimiento(sistema +: t l m)atasa pogesiamente ompaado on uno en eposo (sistema -: t l ) en la loalizaión oespondiente. No es posible paa un obseado ineial sinoniza elojes en eposo on elojes en moimiento, y po tanto, la definiión de tiempo (e apéndie) no se puede amplia paa inlui a mas de un sistema ineial. La duaión de un poeso se detemina po medio de un poeso loal, y po tanto diha duaión es elatia al sistema de oodenadas. Note el leto este detalle: tm epesenta un únio eloj, peo t epesenta una línea sínona de elojes. Tansfomaión de las oodenadas (y,z). Tansfomaión de Loentz ompleta Puesto que las oodenadas etoiales y,z son pependiulaes a la eloidad elatia, las omponentes simétias y asimétias de suesos sobe estas oodenadas son omo si la eloidad elatia se anula, po tanto tenemos en total l s t ( t x ) s l x ( x t ) y z y z s s / (.3)

14 4 Cinemátia elemental. Hemos deteminado los oneptos de espaio y tiempo, peo qué debemos entende po moimiento?. Si hemos puesto en uestión el onepto de tiempo, entones pátiamente todo está en uestión. El onepto de moimiento es de adial impotania ya que enlaza dietamente on la Meánia y el Eletomagnetismo. Todo moimiento supone una elaión ente intealos de posiión e intealos de tiempo. Las elaiones mas senillas que pueden estableese on el álgeba etoial son: ) (3.. ); 3.. ( b W t a t V b b a a Siendo los etoes V y W etoes onstantes. Apliando las tansfomaiones de Loentz a la pimea elaión tenemos ) (3.. ; ; ; a t V V z t V V y t V V x a x z a a x y a a x x a El esultado (3.) es la misma ley (3..a) ista po el obseado + y detemina las omponentes de la eloidad paa este obseado. Si haemos lo mismo on (3..b), ompobaemos que esta ley se mantiene inaiante si W se tansfoma de este modo: ) (3.. ; b z W W y W W x W W t b x z b x y b x x b Consideando las aiables espaiales de modo independiente obtenemos dietamente las omponentes del eto W en el nueo sistema ineial. De este modo la inemátia elemental onsta de las dos leyes 3..a-b junto on las expesiones paa el ambio de sistema ineial. Eidentemente (3..a) epesenta el moimiento de una patíula a eloidad onstante, siendo el eto V su eloidad. La elaión (3..b), que llamemos oeloidad, oesponde al moimiento de una onda, en oneto el moimiento de un alo de fase onstante k W t k t k ; 0 Tansfomaiones de feuenia y eto de onda Apliando las tansfomaiones de Loentz al inaiante de fase paa una onda plana ualquiea que se popaga en una dieión dada se obtiene, onsideando que ada magnitud del onjunto (x, y, z, t) pueden toma ualquie alo independientemente del esto:

15 5 w ( w k x ) ; k x ( k x w ) ; k y k y ; k z k z (3.3) Si diidimos las omponentes de k po ω y apliamos la elaión W=k/ω enontamos inmediatamente la ley de tansfomaión paa la oeloidad; lo ual justifia la intepetaión de la oeloidad omo moimiento de una onda. Note ahoa el leto esta difeenia : Las tansfomaiones de Loentz elaionan espaios y tiempos que dos obseadoes ineiales en moimiento elatio atibuyen a una únia aión puntual. Sin embago (3.3) elaiona las medidas de feuenia y longitud de onda que dos obseadoes ineiales haen de una únia onda. Estas medidas epesentan aiones difeentes. Si el obseado A mide la feuenia de una onda on un eloj en eposo (paa A), esta aión no es álida paa el obseado B (en moimiento elatio) omo medida de la feuenia. Esto es debido al pinipio de inaianza de la fase. Retomando la imagen de la intoduión de este tabajo, podemos analiza las tansfomaiones anteioes en los siguientes asos I - Existe un obseado ineial que no es apaz de medi la osilaión de la onda on un eloj en eposo: w_ = 0. Haiendo esta sustituión en (3.3) emos que la feuenia de la onda es un témino esenialmente asimétio, dependiente de la eloidad elatia en módulo y dieión. La longitud de onda es un témino esenialmente simétio, de modo que tiene un signifiado físio objetio: se tata de una distania eal ; la distania ente esta y esta, o longitud de onda, es un espaio simultáneo oespondiente on (.9). Eidentemente todo obseado mide la longitud de onda omo un espaio simultáneo, peo esta foma de medi no asegua en pinipio la eifiaión de (.9) paa otos obseadoes ineiales. Se puede demosta que la ley de omposiión de eloidades 3. es álida paa estas ondas y po tanto, ya que existe un obseado paa el que la eloidad de estas ondas se anula, nuna supean la eloidad de la luz. Como onseuenia siempe podemos enonta en pinipio un foo ausal paa estas ondas. El moimiento de este foo se puede modula y po tanto el obseado puede utiliza estas ondas paa tansmiti infomaión. Debido a la asimetía de la feuenia estas ondas no admiten límites tempoales objetios paa ualquie obseado ineial, y sabemos que admiten límites espaiales, omo espejos po ejemplo. Llamemos a este aso onda espaial. La aión fundamental de estas ondas es tanspota enegía de una pate a ota del espaio, este tanspote es lo que onoemos omo impulso meánio y es el onepto fundamental de la dinámia lásia. En este tanspote no hay una tansfomaión adial del tipo de enegía asoiada. Tenemos ejemplos eonoibles de estas ondas: ondas tansesales omo las ondas en la supefiie del agua, pulsos en una ueda tensa, ondas eletomagnétias en líneas de tansmisión y en medios efingentes (fiba óptia

16 6 e.t.). Un sólido ígido (omo límite una patíula) o ualquie osa apaz de mantene una foma definida independiente del tiempo puede onsidease omo ombinaión de ondas espaiales. La popagaión de estas ondas neesita de las defomaión espaial de algún medio mateial; de este heho depende el que haya obseadoes paa los que el moimiento de la onda se anula (ppió ). El leto puede ompoba que la deduión matemátia lásia del efeto Dopple se basa en peisiones sobe el ompotamiento de la longitud de onda ompatibles on la aateístia de se un espaio-simultáneo. Es un heho uioso que,según las elaiones de De-Boglie : p=h/λ, E=hω ; el obseado que las peibe en eposo puede asignales un impulso meánio p no nulo y una enegía E nula. El leto eá mas adelante un aso elaionado en la paadoja de Abaham-Minkowski. II- Existe un obseado ineial que no es apaz de medi la longitud de onda on una egla en eposo: k_ = 0. En este aso el eto de onda tiene un ompotamiento asimétio y la feuenia se tansfoma de foma simétia, de modo que es ahoa la feuenia la que tiene un signifiado físio objetio: se tata de un tiempo eal: el peiodo de la onda es un tiempo loal oespondiente on (.). Eidentemente todo obseado de la onda mide el peiodo omo un tiempo loal, peo esto no asegua en geneal la eifiaión de (.) paa otos obseadoes ineiales. Si onsideamos que el moimiento de estas ondas oesponde a una eloidad, entones siempe es po enima de la eloidad de la luz, po tanto, según el pinipio 3., no es posible enonta un foo emiso eal paa ellas. Estas ondas siempe están en moimiento y po tanto no puede definise una efeenia ineial en la que estén en eposo. Así las osas paee que estas ondas están mas allá de nuestos pinipios o no existen. Las ideas que siguen son una espeulaión sobe las popiedades físias de estas ondas haiendo analogía on el aso anteio. Si estas ondas se pueden utiliza paa tansfei infomaión ente un emiso y un eepto, paa el obseado todo seía omo si la infomaión se tansmitiese a eloidad supeio a la de la luz, lo ual suponemos que no puede se medido físiamente. La altenatia que popongo es que el obseado no es apaz enonta un foo manipulable a su oluntad paa modula estas ondas. Según el pinipio de Huygens, la llegada de una onda a un eepto supone la eaión de un foo seundaio de eemisión. Esto no es posible en este aso: el eepto no puede se foo seundaio; lo ual signifia que estas ondas, manteniendo el pinipio de Huygens, se popagan en el aío. Este ompotamiento se aepta al menos paa la luz. Note el leto que las tansfomaiones (3.3) no haen efeenia al moimiento de ningún foo emiso de ondas, tal omo se hae en el efeto Dopple lásio. Análogamente al aso anteio, po su natualeza estas ondas no admiten en este aso límites espaiales: son ontinuas en el espaio. El apaente sentido únio del tiempo no hae pobable la existenia de límites en foma de espejos tempoales, en los que

17 7 estas ondas se eflejen haia su pasado 3. La únia foma de onsidea la existenia físia de estas ondas es que atúen sobe eeptoes. Si el pinipio de Huygens no es apliable a los eeptoes, entones estos no admiten ni eflexión ni efaión, y po tanto estas ondas eden toda su enegía e impulso (olapso) al tiempo que llegan al pime eepto que enuenten. Así emos que existen límites tempoales paa ellas. Llamemos a este aso onda tempoal, aunque po sus popiedades de ontinuidad espaial y olapso bien puede llamase onda uántia. En lo que sigue oy a supone que estas ondas son las que maneja la meánia uántia. Según las elaiones de De-Boglie : p=h/λ, E=hw ; el obseado itado debe asignales un impulso meánio p nulo y una enegía E no nula. De esto deduimos que la enegía de estas ondas no es de tipo inétio en esenia. 3 Esto se matizaá al final del apítulo 9

18 8 3-MECANICA DE UNA PARTÍCULA La dualidad onda-patíula es un heho demostado en expeimentos de intefeenia y difaión. Se han ealizado expeienias on difeentes patíulas, omo eletones, neutones e inluso moléulas omplejas[0]. En todas se han enontado patones de intefeenia asoiadas a la fase de una onda. La Enegía y el Impulso meánio de las patíulas están, según De Boglie, elaionados mediante de la onstante de Plank on la feuenia y el eto de ondas de la onda asoiada: E w; P k (4.) Dado que el impulso meánio de una patíula depende linealmente de su eloidad, paa el obseado que peibe la patíula en eposo el eto de onda se anula y, po tanto, se tata de una onda tempoal del apatado anteio. De 3.3 obtenemos inmediatamente E ( E P x ) ; P x ( P x E ) ; P y P y ; P z P z (4.) Estas elaiones son las mismas que en elatiidad se intoduen paa una patíula po medio de agumentos geométios elatios a las popiedades de los etoes en el espaio de Minkowsky(n-8). Inestiguemos ahoa las inteaiones que puede tene una patíula según estas euaiones. Busamos expesiones inaiantes ente sistemas ineiales que elaionen modifiaiones de Enegía y modifiaiones de Impulso. Las mas senillas, siguiendo el esquema dual ya utilizado, son las siguientes: E V P ( 4.3. a); P WE (4.3. b) La apliaión de las tansfomaiones de enegía/impulso 3.3 al aso de la euaión (4.3.a) da E Vx V y Vz Px Py Vx Vx V x P z ; Es dei: V se tansfoma omo la eloidad de (3.). La apliaión de las tansfomaiones de enegía/impulso a la euaión (4.3.b) da

19 9 P P P x y z Wx W Wy W Wz W x x x E E E Es dei, W se tansfoma omo una oeloidad. Reodando los oneptos básios de la meánia: El impulso meánio, la masa (omo elaión ente el impulso y la eloidad de la patíula) y la enegía inétia, podemos identifia lo siguiente: Paa 4.3.a el fato inaiante V es la eloidad de la patíula. La euaión es la definiión de enegía inétia de una patíula de masa onstante. Se tata po tanto de una aión aeleatia sobe la patíula: de V d a P a (4.4) Paa 4.3.b el fato inaiante W es una oeloidad y en onseuenia debemos intepeta la elaión enontada omo el inteambio de enegía e impulso de una onda dp W (4.5) b de b Eidentemente debemos da alguna pueba paa la elaión anteio. Paa el aso de una onda eletomagnétia plana tenemos W=/ y la elaión anteio, en módulo es P= E; lo ual es una aiaión de la onoida elaión E=P ente enegía e impulso meánio de una onda eletomagnétia. La enegía adiada po una aga aeleada eifia la elaión V d Pb de b (4.5') lo que en nuesta intepetaión supone una oeloidad W=V/, on lo que debeíamos enonta una onda on esa oeloidad. Reuiendo a la físia uántia, una aga puntual libe puede epesentase omo una funión de onda ϕ uya oeloidad es la espeada ( P Et) W P V E

20 0 donde se toman los aloes de enegía e impulso de una patíula en la elatiidad espeial. Si expesamos la oeloidad en téminos del númeo de ondas y la feuenia tenemos W k / ; E p WE p ke p k x x p k y y p k z z que es un esultado ompatible on la onstante de Plank y las elaiones de DeBoglie, aunque en téminos de inementos de enegía e impulso meánio. La elaión 4.5 también es álida paa el aso de la emisión de adiaión debido a la modifiaión de la masa de una patíula en la antidad m = E/. De este modo la elatiidad espeial es ompatible on la onsideaión de las patíulas omo ondas en los fenómenos que tienen que e on el inteambio de enegía mediante adiaión eletomagnétia. Planteamiento de la meánia de una patíula agada y aeleada Si suponemos que una patíula agada y aeleada está afetada po los dos tipos de inteaión tenemos, haiendo la multipliaión esala de 4.5 po V y sumando on 4.4 V dea deb V ( d Pa d Pb ) dea de (4.7) b Eidentemente las desigualdades se debe enteamente a 4.5. Note el leto que hemos onsideado eloidad y oeloidad omo popiedades inemátias de una patíula. El ompotamiento de una aga elétia aeleada, on independenia de la fueza aeleadoa, es un poblema límite de la físia lásia. La adiaión de un sistema de agas es un heho desito en el teoema de Pointing; onseuenia lógia de las euaiones de Maxwell. El punto lae es la intepetaión del eto de Pointing (S=ExH), que apaee en este teoema, omo flujo de enegía en base al pinipio de onseaión de la enegía de un sistema eletomagnétio. Desde esta pespetia se puede pensa que la adiaión, omo la enegía potenial, es un ompotamiento asoiado al sistema de agas, no a las agas indiiduales. En este sentido se habla en los textos de adiaión dipola, uadipola [3]. Sin embago en la teoía lásia se e inmediatamente que la adiaión de un sistema de agas se puede alula si se onoe el moimiento de dihas agas, ya que esto es sufiiente paa detemina los ampos que apaeen en el eto de Pointing. Hay una elaión dieta ente el moimiento del sistema de agas y la adiaión. H.A. Loentz fue mas allá y amplió el esultado paa una aga aislada que esulte se aeleada de ualquie modo (ampo magnétio, gaedad, ), independientemente de la existenia de una enegía potenial eletomagnétia.

21 Demostó que el ampo en las poximidades de una aga on simetía esféia esulta distosionado po los efetos onjuntos de la aeleaión de diha aga y la eloidad de popagaión finita de las alteaiones del ampo[5]. Esta distosión genea una auto-fueza neta del ampo sobe la patíula, sobe su popia fuente, tal que el desplazamiento de esta fueza puede epesenta, al menos en ietos asos, la enegía eletomagnétia adiada. De este modo Loentz no atibuye la adiaión a la aeleaión elatia ente las agas del sistema, tal omo seía de espea si hubiese elaión on la enegía potenial, sino a la aeleaión de una aga espeto de ualquie sistema de oodenadas ineial. En uanto a la onseaión de la enegía, la enegía de adiaión se extae dietamente de la enegía inétia meánia de la patíula agada, no dietamente de la enegía potenial del sistema eletomagnétio. Este seá el punto de ista de patida paa el planteamiento del poblema. Abaham y Loentz dan una foma teóia paa la fueza de auto-fenado, sin embago aquí solamente se supondá su existenia y las popiedades que esta fueza debeía tene espeto de la adiaión. En lo que sigue se distinguiá y se tataá de elaiona los oneptos de patíula (meánia) y aga puntual (eletomagnetismo). Como modelo eletomagnétio de la patíula se toma el de una aga puntual, on algún matiz adiional que se intoduiá mas adelante. Una aga puntual aeleada emite enegía e impulso en foma de adiaión. La azón de esta atibuión es que la enegía de emitida al ampo de adiaión en un instante dt, se puede segui haia atás en el tiempo hasta una aión ouida en el punto que oupaba la aga en un tiempo pasado. Esta aión es un ambio en la eloidad del punto agado, y po tanto la patíula siente de algún modo el efeto del aumento de enegía de. Ota popiedad de la adiaión emitida es que, paa un obseado ineial en eposo instantáneo espeto del punto agado, la adiaión se emite de foma simétia espeto de diho punto, de foma que el impulso total emitido po la adiaión(dp) se anula [3, 4]. Si haemos que la eloidad _ ente dos sistemas ineiales de oodenadas oinida on la eloidad V_ de la patíula en el instante dt_ entones en el instante oespondiente dt+ la patíula está en eposo paa el obseado +, y po tanto paa el impulso de adiaión instantáneo seá dp+x =0. Esto ondue según las tansfomaiones de Enegía-Impulso a la euaión (4.5) paa la elaión ente enegía e impulso de la adiaión. Es dei, la adiaión supone, iniialmente, un aumento de la enegía intena o masa de la patíula. Analiemos la dinámia del sistema según la onseaión de la enegía-impulso. La enegía-impulso tansfeida po la fueza extena a la patíula se iniete en: A-Modifiaión de la enegía-impulso del ampo de la aga puntual. B-Modifiaión de la enegía-impulso de la patíula. En uanto a la modifiaión del ampo, los esultados teóios [4] indian la existenia de dos ampos:

22 A.-Un ampo asi-estaionaio, igual que el ampo de una aga puntual que se muee a eloidad onstante, peo que depende de la eloidad etadada. Las líneas de este ampo pasan po el punto agado. A.-Un ampo de adiaión, independiente del anteio. Las líneas de este ampo no pasan po el punto agado. Po tanto la modifiaión de enegía-impulso del ampo tiene dos omponentes: la modifiaión de enegía-impulso del ampo asi-estaionaio y la modifiaión de enegía-impulso del ampo de adiaión. El onepto de masa eletomagnétia, omo señala Feynman [5], no está expliado oheentemente en eletomagnetismo lásio, aunque existe eidenia expeimental. En este punto oy a supone que la modifiaión de enegía e impulso del ampo asiestaionaio de la aga puntual se puede epesenta onsideando que la masa de la patíula ontiene una pate que es de oigen eletomagnétio. Supongamos ahoa que el desplazamiento de una fueza lásia, uyo punto de apliaión suponemos está en el punto agado, ejee una aión ompatible on el pinipio de onseaión de la enegía-impulso en este ontexto de de F d V d P p de V d P d P Donde el subíndie p se efiee a la patíula, el a la adiaión y V es la eloidad del punto agado. De esta euaión se dedue que, omo los téminos asoiados a la adiaión eifian la desigualdad (4.7), los téminos asoiados a la patíula también tienen que eifiala. Esto signifia que la patíula está sometida a dos aiones, una aeleatia y ota que afeta a su masa: de a p de m p de p V d P a p d P m p d P Donde los supeíndies de las enegías e impulsos haen efeenia a los asos desitos po las euaiones (4.4 subíndie a ) y (4.5 subíndie m ). Si suponemos que la eloidad del punto agado es igual que la eloidad de la patíula; entones emos inmediatamente que la euaión anteio se puede desaopla en estas dos de m p de de a p V V d P V a p V m ( de p de on la ondiión de que la patíula expeimenta, en todo instante, solamente una aión de tipo aeleatio desita po la pimea euaión. En este aso hay que asegua que la masa de la patíula pemanee onstante en todo el poeso. Paa onsegui esto la segunda euaión debe umpli, y puede haelo )

23 3 de de m p (5.) Po tanto, siempe que haya adiaión, hay una disminuión de la enegía intena de la patíula, y esta disminuión anela exata y simultáneamente, la enegía adiada. Paa que la masa de la patíula se mantenga onstante, esta disminuión de enegía de la patíula se debe supepone a un aumento equialente en la patíula, es dei, la enegía adiada es iniialmente una enegía popia de la patíula. En esumen estamos suponiendo que la patíula es apaz de absobe y emiti enegía en la foma desita po las euaiones (4.4-5). La euaión (5.) expesa que estas aiones se ompensan exatamente, de modo que la enegía intena de la patíula, y po tanto su masa, es un paámeto onstante. Este ompotamiento de la patíula es análogo al de una tubeía en égimen estaionaio, en un instante dado tanta agua (enegía-impulso) enta po un extemo omo sale po el oto; sin embago esta imagen, pasia paa la patíula en algo que afeta a su masa, paee poo pobable. Según Abaham- Loentz la fuente de esta agua son las alteaiones del ampo popio de la patíula debidas a la aeleaión. Esta situaión no supone un desaoplo ente los téminos aeleatios y los téminos de adiaión, de no puede se abitaio ya que la ley lásia de adiaión de una aga aeleada elaiona la aeleaión de una aga puntual on la potenia de adiaión de/dt. Note el leto que, omo ya se ha diho, el pinipio de elatiidad hae poblemátio que las leyes físias dependan de la existenia de aiones simultáneas debido a la elatiidad de la simultaneidad. Siguiendo on el azonamiento, tenemos una patíula sometida a una inteaión de tipo aeleatio según las euaiones f d de a a p ; f dt d P p (5.) La expeienia en aeleadoes de patíulas india que, asoiado a la adiaión, hay un efeto de fenado sobe la patíula. Es neesaio algún aoplo ente la dinámia de la patíula y la adiaión que esta emite. La foma lásia de epesenta esto on las euaiones (5.) es intodui una fueza adiional de auto-fenado uyo oigen está en el ampo popio de la patíula aeleada. Esta fueza es la que se ha menionado antes; alulada teóiamente po Abaham y Loentz. Po tanto, la fueza que apaee a la izquieda en las euaiones (5.) es omposiión de otas dos: la fueza extena y la fueza de auto-fenado. Los téminos de la deeha oesponden a la modifiaión de enegía inétia e impulso de una patíula de masa onstante. Resumiendo la situaión, tenemos los siguientes supuestos: -La masa eletomagnétia esume las modifiaiones de enegía-impulso del ampo de la patíula y es una pate aditia de la masa meánia.

24 4 -La eloidad del punto agado y de la patíula es la misma. 3-La fueza extena tiene un efeto exlusiamente aeleatio. 4-Se dedue que el aumento de enegía intena de la patíula asoiado a la adiaión se ompensa simultáneamente on un témino de disminuión de enegía intena: la patíula debe emiti enegía y su masa es onstante. 5-Existe una fueza de auto-fenado ente la patíula y su ampo. El planteamiento intuitio de la fueza de auto-fenado faf es que, paa umpli on la onseaión de la enegía, el efeto enegétio de esta fueza es esta a la patíula una enegía inétia equialente a la de adiaión, y de este modo pooa su fenado. De la misma foma, la fueza de auto-fenado debe ontempla la onseaión del impulso: f af d de ; f af dt d P Es inmediato ompoba que estas elaiones son inompatibles, dado que los téminos de adiaión umplen (4.5) y la fueza de auto-fenado umple (4.4). Paee que la intoduión de la fueza de auto-fenado no soluiona el poblema del aoplo ente la dinámia de la patíula y la emisión de adiaión. Sin embago notemos que la euaión (4.7) tiende a se una igualdad en el límite de la eloidad de la luz de foma que todas las inteaiones de la patíula tienden al ompotamiento aeleatio desito en (4.4) en el límite de la eloidad de la luz, o a un estado de ompatibilidad. Esto no debeía extañanos onoiendo la esión elatiista de la meánia de Newton: una dinámia aeleatia asegua la neesidad de una enegía infinita, imposible de suminista, paa que una patíula llegue a la eloidad de la luz. Po tanto, al menos omo límite se puede mantene la fueza de auto-fenado junto on el esto de los agumentos utilizados. Hay algo mas allá de este límite?. Desde el Límite La fueza de Loentz :F=q(E+xB), intodue la masa meánia en el onjunto de las euaiones de Maxwell; en patiula intodue la enegía inétia en el teoema de Pointing. Conseuentemente intodue también el onepto de oiente elétia omo el moimiento de patíulas agadas. El éxito onjunto de la meánia y del eletomagnetismo lásio depende de la posibilidad de edui los poblemas al ompotamiento de algún tipo de patíulas inondiionalmente estables, es dei, su masa es un paámeto onstante. H.A Loentz hizo este planteamiento paa su teoía del eletón. Esta ondiión hae que estas teoías sean sistemas eados, iulaes, auto-onsistentes. Los poblemas se enfoan en elaiona el moimiento de las patíulas on fuezas y ampos y al eés. En la meánia de Newton sabemos que si hay una fueza sobe una patíula esta se aelea y que si se aelea entones está sometida a una fueza. La fueza de

25 5 auto-fenado se puede intodui utilizando esta lógia lásia, peo esto ondue a plantea el subpoblema de la estutua y estabilidad intena de las patíulas agadas [5]. Sin embago, el poblema de la estabilidad no es totalmente extaño al eletomagnetismo. La ley de Lenz die que las oientes asoiadas a fuezas eletomoties induidas en un onduto po alteaión del flujo magnétio exteno, genean ampos magnétios que, a su ez, tienden a anela las alteaiones del flujo magnétio exteno. Este ompotamiento se puede inlui dento del pinipio de Le Châtelie [6]. Según este pinipio, si un sistema en equilibio estable es sometido a tensión entones eaionaá paa ompensa esa tensión. Po oto lado, la emisión de adiaión de una patíula eal es disontinua en el tiempo. Po tanto no esulta difíil imagina una apaidad de aumula enegía intena paa la patíula. Esta apaidad de enta en tensión es la ota aa de la moneda de la fueza de auto-fenado. Esta fueza es neesaia paa ompensa tensiones intenas en las patíulas elaionadas on la emisión de adiaión. Si la estabilidad de algunas patíulas, omo pueda se el eletón, tiene una base eletomagnétia, entones solo se neesita la aión de este ampo; tensión y ompensaión deben se fases de un mismo poeso: la aión del ampo eletomagnétio sobe la patíula. Como se io, según el pinipio de elatiidad es oneniente que las aiones de tensión-ompensaión no sean simultáneas. Intentemos una expliaión que onsidee estas aiones omo pate de un poeso de tensión-ompensaión que afeta a la patíula. El aáte del tiempo asoiado a este poeso puede deduise de las onlusiones a que hemos llegado. Los supuestos al 5 son álidos en el límite de altas eloidades. En patiula según el supuesto 4 el poeso de tensión-ompensaión es instantáneo, no tiene duaión. Po tanto, omo ondiión inemátia, la duaión de diho poeso disminuye a medida que la eloidad de la patíula tiende a la eloidad de la luz. Po tanto esta duaión, que imaginamos asoiada una aión loal sobe la patíula, no se tansfoma omo el tiempo loal (.4) de una aión físia únia. Esto india que la aión no puede onsidease loal, es dei, no existe ningún sistema ineial de oodenadas en que la aión se eifique en un punto (y po tanto en una patíula). Paee mas adeuado asoia el poeso on el peiodo de alguna onda de tipo eletomagnétio o uántio. Si la onda uántia tempoal tiene que e on la adiaión entones la onda espaial tiene que e on el efeto aeleatio de las fuezas. Si la onda uántia es un objeto on entidad físia, entones debemos aepta que es algo on apaidad de aión y que puede absobe o ede enegía. Peo si esta onda se modifia paa absobe o ede el aumento de enegía intena de la patíula, entones habíamos enontado un foo paa modulala, lo ual no es posible po pinipio. Paa explia esto audo a las elaiones de Heisenbeg y onsideo que existen unos límites paa la modulaión de la onda uántia aotados po una expesión del tipo E T h

26 6 Esta expesión define un límite tempoal, una ondiión de ontono tempoal. Esto implia que las euaiones de onda de la meánia uántia deben tene estados o modos popios de osilaión bién definidos asoiados a esta ondiión de ontono; osa que habitualmente se asume en la fatoizaión de la funión de onda en pate espaial y pate tempoal. Po ota pate, si una onda olapsa e inteambia una enegía ΔE, entones el tiempo de su modulaión ha sido ΔT; además este tiempo tiene aateístias no-loales y se puede asoia al peiodo de una onda. Si un obseado quiee modula la onda uántia de un eletón, debeá ealiza al menos una inteaión mínima (fotón) on la patíula. Peo esto ya supone el olapso de diha onda, dado que la enegía tansfeida y el tiempo empleado son ompatibles on las ondiiones de ontono de la onda uántia. El esultado del olapso es un ambio de la onda uántia(n-0). Según la meánia uántia, sobe este ambio de estado solo es posible onoe una ieta distibuión de pobabilidad; lo ual supone que el obseado de diha onda no puede identifiala omo poedente de un oigen o foo deteminado. De este modo, el obseado sigue sin pode modula la onda uántia (aun uando enuente un foo), y po tanto no puede tansfei infomaión a eloidad supelumínia. Note el leto que el pinipio de onstania de la eloidad de la luz en el aío implia la posibilidad de identifia señales luminosas; de pode dei que la señal luminosa que pate de su foo en A(xa,ya,za,ta) es la misma que ahoa llega a B(xb,yb,zb,tb). Aunque la eloidad de la luz en el aío es independiente del foo que la genea, la luz aún tiene un oigen eonoible. Identifiamos la luz a pati de su poedenia y la onsideamos omo símbolo epesentatio del mismo objeto que la emite. En nuesta ida diaia siempe suponemos esta asoiaión, aunque a ees la asoiaión esté mal heha. Esta es una idea pofunda de la que dependen nuesta eenia en un mundo exteno no subjetio, así omo muhas ténias ientífias: teleomuniaiones, espetosopia, teledeteión, adioastonomía Sin embago, a niel uántio po pinipio no se puede distingui un fotón de oto. Esta patíula no tiene la identidad indiidual que se ha supuesto paa las señales luminosas. La deteión de la señal luminosa supone la deteión de fotones; po tanto debe se posible asoia fotones indiiduales a señales (ondas) luminosas paa que el pinipio de onstania de la eloidad de la luz tenga sentido físio. La dualidad onda-patíula die que fotones y señales luminosas no son independientes. El desaollo del pinipio de elatiidad y de la dualidad onda-patíula ondue a un ambio adial de nuestas ideas de Espaio, Tiempo, Moimiento, Mateia y Vaío. Mientas que las ideas lásias de espaio y tiempo subsisten a bajas eloidades, la idea lásia de patíula ambia adialmente: la mateia ya no se ompone de puntos on masa y aga. El aáte ondulatoio es un asgo intínseo de la mateia y del aío. La epesentaión mas elemental de la mateia es una paeja de ondas, espaial y tempoal, on popiedades muy difeentes peo que pemaneen asoiadas fomando las omponentes de una unidad mas pofunda. La onda espaial neesita un espaio simultáneo peo no tiene limitaiones tempoales; lo mas senillo es pensa que se tate de las dimensiones de lo que llamamos patíula; po tanto al habla de patíula nos estamos efiiendo solo a una de las omponentes. La onda tempoal neesita una

27 7 ibaión tempoal que no se anule paa ningún obseado, peo no tiene limitaiones espaiales. No se puede enonta un foo paa estas ondas, en una situaión eal no tiene po que habe un osilado on la misma feuenia que estas ondas; euede el leto el efeto Compton. Además existen dos fomas de inteaión paa la patíula. Las dos inteaiones pueden se anuladas paialmente (impulso o enegía) loalmente paa el obseado ineial en eposo instantáneo on la patíula. En el aso de la gaedad se supone la existenia de un obseado ineial instantáneo paa el que la inteaión gaitatoia se anula totalmente. También existe la posibilidad de estados de moimiento e inteaión indeteminados. En el aso de una aga aeleada emos la neesidad de aiones no-loales. La aeleaión pooa que el ampo aumule enegía en eposo en la patíula, enegía que debe se adiada si la patíula es apaz de mantene sus paámetos de masa y aga. El paso de enegía en eposo a enegía adiante, y po tanto la estabilidad de las patíulas, es un poeso disontinuo de natualeza uántia. Apaee un nueo objeto de estudio en físia: el aío. Además de sus popiedades geométias apaee también on popiedades ondulatoias efeentes a la apaidad intínsea de popaga ondas. La elatiidad espeial define una elaión intínsea ente espaio y tiempo; la elatiidad geneal una elaión intínsea espaio-tiempo-mateia; de lo aquí expuesto la onda uántia epesenta una elaión intínsea mateia-aío[9]. En la físia lásia espaio, tiempo, mateia y aío son oneptos independientes e indudables, en el sentido de la filosofía atesiana. Estos oneptos solo se elaionan lásiamente a taés del moimiento ineial de una patíula. La físia atual paee i pofundizando poo a poo esta pimea apoximaión lásia sobe la unidad que foman espaio-tiempo-mateia-aío.(n-)

28 8 4-COVELOCIDAD y DOMINIOS CINEMÁTICOS. El análisis anteio sobe el moimiento de una aga aeleada se basa en ideas lásias lleadas hasta un límite. El núleo del poblema es el desonoimiento lásio del poeso de inteaión ente patíulas y ondas; algo que está detás de la onoida atástofe del ultaioleta. Tal omo hemos intepetado los esultados 4.3-a y b podemos hae un planteamiento senillo sobe la inteaión de una onda y una patíula suponiendo que la enegía e impulso pedida po la onda es absobida po la patíula, o al eés. Obtenemos de esta foma ; V W E W V P V P V E o o p p donde el subíndie o hae efeenia a la onda y p a la patíula. Obtenemos una elaión inemátia 4 ente la eloidad de la patíula y la oeloidad de la onda. Note el leto que W y V no tienen po que se paalelos en este aso. Se puede demosta que la elaión anteio es un inaiante elatiista, de modo que el poeso de inteaión ente una patíula y una onda esulta se una aión objetia paa ualquie obseado. Paa un obseado en moimiento elatio unifome que mida una oeloidad W+ y una eloidad V+, supuesto que en el sistema - se eifia que el poduto esala ale, tenemos Según la dualidad onda/patíula, toda patíula puede mosta un aáte ondulatoio. Podemos pensa que la ealidad es alguna foma de agegaión ente onda y patíula. Paa esta agegaión podemos distingui dos dominios inemátios dom lásio V W dom uántio V W.. 4 note el leto que esta elaión también se deia de ( E o, P o )=λ ( E p, P p ), on λ un esala no nulo. x x x x x x x x x x x x x x x x z z y y x x x x x z x z x y x y x x x x W V V W V W W V V W V W V W W V V W V W V W V W W W V V W W V V W W V V V W

29 9 ambas elaiones son inaiantes ente sistemas ineiales, indiando el pimeo un estado de inteaión onda-patíula, al que llamaemos dominio uántio y el segundo un estado sin inteaión onda-patíula al que llamaemos dominio lásio. En el dominio lásio tomaemos W=/. Dominios inemátios, emisión de adiaión y modelo atómio En el dominio inemátio uántio, a pati del impulso meánio de una patíula podemos, haiendo uso de E=m y P=mV, plantea esta identidad: P p P o mv W E p o o P p P E E o p o (6.7) donde el subíndie p hae efeenia a la patíula y el o a la onda. El esultado (6.7) india que el sistema onda-patíula se ompota omo un sistema onseatio en el dominio uántio. Es una expesión simila a la que se obtiene en la seión de poblemas paa un hoque elástio ente patíulas: e.(7.). En el lenguaje de la eletodinámia uántia se diía que la onda uántia se ompota omo una patíula itual que hoa on la patíula eal en un poeso egula de emisión/eabsoión simila a un osilado uántio. Es fáil e que (6.7) también se eifia paa una patíula lásia en un ampo onseatio si intepetamos (ΔE, ΔP) omo la aión instantánea del ampo onseatio sobe la patíula: el inemento de enegía potenial y el inemento en impulso debido a la fueza. Po tanto es posible aopla o fatoiza estas dos aiones paa una patíula en un ampo onseatio P p Po P E E E (6.8) donde el subíndie se efiee a la aión del ampo sobe la patíula. En suma es posible un aoplo de las distintas aiones de modo que se eifique P E o o P E p E o P de este modo 6.8 se oniete en una aiaión de 6.6 on masa de la patíula onstante. Si aeptamos que las amplitudes de enegía-impulso de la onda anelan en pomedio, entones la enegía meánia total (patíula + ampo) se onsea en pomedio; aunque puntualmente puede aumenta o disminui espeto al alo pomedio lásio; esto puede se la base físia del efeto túnel. En este dominio la adiaión está de algún modo onfinada en el sistema patíula-onda-ampo, se ompota omo una petubaión o flutuaión en el sistema y es eabsobida peiódia y eesiblemente po el sistema. Una aión ontaesta la ota peiódiamente de modo que son posibles, omo sabemos, estados estaionaios en sistemas de patíulas onseatios dento del dominio uántio. En el dominio inemátio lásio seá p p 0 0

30 30 P p P m V o p W E o o E E p o E o V p P o (6.9) Se io anteiomente que la oeloidad apaee elaionada on la adiaión de una aga aeleada. En el aso lásio los inementos de enegía-impulso de la onda en (6.9) se pueden intepeta omo asoiados a la emisión de adiaión de una aga aeleada ya que se eifia la desigualdad (6.9) E ad V P ad V E ad (6.9.) En suma tenemos que una patíula puede emiti adiaión detetable solamente en el dominio lásio, ya que en el dominio uántio el sistema patíula-ondaampo puede onsea la enegía. Asoiando los eletones atómios al dominio inemátio uántio tenemos una posibilidad de justifia la estabilidad del modelo atómio de Ruthefod. Podemos dedui qué desplazamiento asoiado a la fueza de adiaión ΔP ad /Δt poduiá el inteambio de enegía ΔE ad en el dominio inemátio lásio, esultando de ad d P dt ad d o de dt ad W d o d dt o ( W V / ) V es dei, en el dominio inemátio lásio el desplazamiento busado oesponde on la eloidad de fase de un gupo de ondas que se mueen a la eloidad de la luz. Podemos llama desplazamiento de onda a este onepto; es omo si la fueza de adiaión atuase dietamente sobe una onda, no sobe una patíula. Note el leto además que la aateístia de este desplazamiento se puede ajusta al dominio inemátio uántio : W*V= haiendo W=/ d 0 /dt; po lo que podemos pensa que el desplazamiento de onda, y po tanto la adiaión, está asoiado a una modifiaión de la oeloidad de la patíula po ambio ente dominios inemátios lásio - uántio. Dominio inemátio uántio y pinipio de Heisenbeg Sea una patíula en el dominio inemátio uántio. Si elijo un sistema de oodenadas ineial tal que se muea on una eloidad = w, donde w es la oeloidad instantánea de la patíula, en ese sistema de efeenia queda anulada instantáneamente la oeloidad según 3..b. En este dominio inemátio la eloidad toma un alo infinito; mientas que el impulso meánio está pefetamente deteminado si intepetamos P omo su inetidumbe o amplitud de modifiaión posible. Dado que no podemos aepta una eloidad infinita, deduimos que en el dominio uántio la oeloidad de una patíula no puede anulase en ondiiones físiamente posibles. Del oto lado, si elijo el sistema de oodenadas de modo que se anule la eloidad de la patíula, la oeloidad toma un alo infinito a la pa que la posiión de la patíula está pefetamente deteminada en diho sistema de

31 3 oodenadas. Razonablemente la oeloidad no puede toma un alo infinito, ya que puede ondui a enegías infinitas. Si aeptamos esto, entones en el dominio inemátio uántio la oeloidad, y po tanto también la eloidad, debe toma un alo finito no nulo en ualquie sistema de efeenia ineial. Enonta un sistema de oodenadas en que se anulen tanto la eloidad omo la oeloidad de una patíula en el domino uántio supone que su eloidad debe umpli V W V V W V V es dei, no es posible ya que equiee un sistema de oodenadas que se muea a la eloidad de la luz. Estas onsideaiones nos llean a uestiona la existenia, en el dominio inemátio uántio, de un sistema de oodenadas ineial popio solidaio a una patíula, en el que la patíula se pueda onsidea en eposo en algún sentido. Po el ontaio, paa una patíula en el dominio uántio la utilizaión de los sistemas de oodenadas ineiales implia aepta una ieta indeteminaión, amplitud o falta de infomaión en la posiión y el impulso de la patíula, de auedo on el pinipio de inetidumbe de Heisenbeg. Po el lado de la oeloidad, tenemos que también debe existi una indeteminaión o amplitud en el tiempo y en la enegía de la patíula. Cuando imos el poblema de la adiaión de una aga aeleada asignamos la emisión de adiaión on la modifiaión de enegía inétia de la aga aeleada. Peo si podemos imagina un sistema de oodenadas en que la aga esté en eposo, desde ese sistema de oodenadas no existiá enegía inétia disponible a pati de la ual se genee la adiaión. Según los agumentos desaollados hasta ahoa, si la emisión de adiaión neesita de una onmutaión ente dominios inemátios; podemos entones pensa que no existe tal sistema de oodenadas en el que la aga esté en eposo y siempe debemos aepta la existenia de ieta amplitud de enegía inétia a pati de la ual se emite la adiaión Casos dinámios en el dominio uántio Podemos plantea una apoximaión a la dinámia lásia de una patíula utilizando un sistema de efeenia donde la amplitud de posiión de diha patíula sea despeiable fente a la posiión eal (pomedio). Aunque eemos que esto no es sufiiente paa elimina la neesidad de inopoa una amplitud de posiión. Este heho se utiliza omo pinipio expliatio en el efeto Lamb [30]. Consideemos la siguiente tabla de símbolos p mv p k E m E L p L p Sea la eloidad de la patíula (), la posiión adial de la patíula () y el eto de onda de la onda asoiada (k); podemos plantea la siguiente identidad etoial

32 3 V ( k) ( k V ) k( V ) Si haemos el poduto esala po el eto de posiión de la patíula obtenemos y multipliamos el esultado po el esala mh, siendo m la masa de la patíula y h la onstante de Plank, apliando esultados anteioes y la tabla de símbolos tenemos V ( k) ( k) ( V ) Patíula en una tayetoia iula L L m E ( p)( p) ( k V ) ( k)( V ) (6.5) Supongamos ahoa la patíula siguiendo una tayetoia iula plana on eloidad onstante en módulo. Refeimos el eto de posiión al ento de la iunfeenia y dado que p y son pependiulaes tenemos, según 6.5 L E m L L donde se ha intoduido la feuenia de gio de la patíula en funión del momento angula. Esta feuenia de gio es igual que la feuenia de la onda asoiada, según las ondiiones de ompatibilidad; de modo que a lo lago de la tayetoia la onda uele en fase sobe si misma. Debido a la existenia de la onstante de Plank debemos aepta que ΔL no puede anulase; la intepetaión de esto atañe al pinipio de inetidumbe. Patíula osilante Podemos analiza el aso de un osilado lineal. Suponemos una osilaión amónia simple on feuenia bien definida y punto de equilibio 0 alejado del ento de oodenadas. Podemos elegi el sistema de oodenadas on un eje en la dieión de osilaión de modo que sea L=0; suponiendo una dinámia unidimensional tenemos según 6.5 m E ( p)( m ) E L'; L' p; amplitud de posiión y obtenemos paa las amplitudes una elaión simila a la anteio. La feuenia de osilaión es igual que la feuenia de la onda uántia asoiada, según las ondiiones de ompatibilidad. Debido a la onstante de Plank ΔL no puede anulase, lo que obliga a intodui una amplitud de posiión mínima ; esultado ompatible on el pinipio de Heisenbeg paa la posiión y el impulso meánio de una patíula. Note el leto que en este aso la onda uántia asoiada neesita unas ondiiones de ontono extenas en los límites de osilaión, mientas que en el aso anteio diha onda es auto-onsistente.

33 33 Paadoja Abaham-Minkowski de la luz en un medio tanspaente Existe una ontoesia lásia sobe lo que oue on el impulso meánio de un fotón que peneta en un medio tanspaente. Se puede pensa que, dado que la eloidad de la luz disminuye en el medio tanspaente, entones el impulso meánio del fotón disminuye. Peo si la eloidad de la onda disminuye y no se modifia la feuenia, entones la longitud de onda disminuye y según (4.) el impulso meánio del fotón aumenta. Paee una ontadiión, peo podemos plantealo en el ontexto de nuestas ideas. Al enta la luz en el medio mateial, existe una inteaión onda/patíula on los átomos del mateial; de modo que el moimiento de diho mateial también se e afetado. Suponemos que la inteaión onda/patíula, que onsideamos equialente a onda/fotón, se mantiene en el dominio inemátio uántio, de modo que no hay disipaión de enegía, y que se eifia paa la enegía del fotón E = m = ΔE = hω en todo momento 5. Como se ha diho el momento de la onda uántia aumenta al alo Δp = h/λ = mn = m /; siendo =λω la eloidad de la onda en el medio y n=/ el índie de efaión. De esto deduimos que el momento meánio del fotón disminuye en el medio tanspaente al alo p = m = m/n, de modo que el poduto de los dos impulsos se mantenga igual al uadado de la enegía del fotón según (6.5.). Po tanto los dos puntos de ista apaentemente opuestos paeen esta ontemplados en este planteamiento. Hay que dei que existe sopote expeimental paa las dos onlusiones; es dei, existen situaiones físias en que se pone de manifiesto el impulso de la patíula y otas en que se pone de manifiesto el impulso de la onda. Este impulso seía lo que en la bibliogafía apaee omo pseudomomento [6] y se euiá a él en el siguiente apatado. El impulso meánio total P de una onda eletomagnétia en el medio tanspaente se puede defini omo popoional al eto de Poynting ExH. Este alo no es el mismo que en el aso del aío, ya que en el medio tanspaente el ampo elétio genea una polaizaión y magnetizaión que afeta al alo de los ampos elétio y magnétio de la onda. Eidentemente este alo a a depende de las aateístias del medio oneto y puede aia de uno a oto. En todo aso, y dado que la eloidad de la luz en el medio mateial es meno que en el aío, podemos imagina un obseado ineial on el moimiento adeuado paa el ual el ampo en el medio mateial paeza no osila. Paa este obseado el eto de Poynting india un impulso meánio que no apaee asoiado a ningún flujo de enegía del ampo eletomagnétio. Una situaión análoga se explió en la seión sobe tansfomaión de feuenia y eto de onda (aso I), donde además imos allí que la onda en eposo implia una feuenia nula y po tanto una enegía nula según las elaiones de De-Boglie. Po ota pate sabemos que en el dominio inemátio uántio no podemos habla de una posiión e impulso pefetamente deteminados, po lo que debemos intodui una amplitud P en el impulso meánio asoiada a una inteaión onda/patíula de foma que la fómula del dominio inemátio uántio queda así 5 m es la masa equialente del fotón

34 34 E P P P P P P P P m; P P m / P m n ; P m n n n esultados que euedan a los de Mansuipu [6] Agumento de Abaham L Paa el sistema aislado fomado po la luz y el medio tanspaente, el ento de masas del sistema debe moese on la misma eloidad unifome antes de que la luz ente en el L medio mateial y después de sali de él. El tiempo T del poeso se puede estima omo L/, donde L es la longitud que eoe la luz en el medio mateial y la eloidad de la luz en diho medio mateial. En este tiempo T la luz en el aío hubiese eoido un tamo L =L/ = nl. Dado que la eloidad del ento de masas debe se la misma en los dos asos, paa la luz ataesando el medio mateial o paa la luz en el aío; entones la posiión final del ento de masas después del tiempo T debe se la misma en los dos asos. Esto supone que el medio mateial debe habese desplazado una antidad x de modo que se pueda umpli la identidad del ento de masas. Utilizando la masa equialente del fotón (m) y la masa del medio mateial (M) tenemos ml' mnl Mx ml Mx m( n ) L; T nl / P n / ; m / mateia x m( n ) L M m ; T nl / n y la onseaión de la antidad de moimiento exige P mateia Agumento de Minkowski P Abaham fotón mateia P P fotón aío Abaham fotón mateia m m P n m/ n Abaham fotón mateia Si se ealiza el expeimento de difaión po doble endija on todo el montaje sumegido en agua, entones se obsea que las fanjas de intefeenia están mas eanas unas de otas debido a una disminuión de la longitud de onda ausada po el índie de efaión del agua; y po tanto un aumento del impulso meánio del fotón de alo P Minkowski fotón mateia mn El sopote expeimental paa el planteamiento de Abaham apaee menos oninente, peo tiende a onfima la idea de que el efeto neto en el medio mateial debido al paso de la luz es onsistente on diho planteamiento. Sin

35 35 embago note el leto que el agumento de Abaham se basa esenialmente en la pimea ley de Newton; es dei, el moimiento unifome del ento de masas de un sistema aislado; lo ual no puede aseguase en el dominio inemátio uántio ya que no puede enontase un sistema de oodenadas en que el ento de masas esté en eposo. Tal ez sea esta iunstania el oigen del difíil ontaste expeimental del agumento de Abaham. Obitas uantizadas de De Boglie y estutua fina. Se ha pesentado antes una pimea apoximaión al aso de una patíula en el dominio inemátio uántio en moimiento iula unifome. En este punto se mejoa la apoximaión intoduiendo una amplitud en la posiión de la patíula. Patiendo de la aateístia del dominio inemátio uántio, expesada así WV ( f ) on 0< f <. Imaginemos una onda uántia que se muee en una óbita eada iula alededo el núleo atómio. Esta onda uele en fase sobe si misma en ada ilo y podemos alula su oeloidad en un ilo omo W nt donde T es el peiodo de la onda y n es el númeo de ondas que uben ompletamente la iunfeenia sobe la que se muee la onda. Sustituyendo tenemos nt V ( f ) en pimea apoximaión paa f=0 tenemos la uantizaión de De Boglie si tomamos λ d =TV omo la longitud de onda de De Boglie paa la patíula. n d Mas allá de la pimea apoximaión tenemos n d El esultado difiee de la uantizaión lásia basada en una óbita exatamente iula paa la patíula. Se puede ajusta la desigualdad anteio añadiendo una amplitud de posiión adial paa la patíula así n ( ); TV d d (6.0)

36 36 podemos imagina esto omo una obita iula ondulada o izada paa la patíula. Sustituyendo esto en la aateístia del dominio inemátio uántio y apoximando paa 0<f<< tenemos f nt W f nt W ) ( ) ( ) ( donde podemos identifia lo siguiente (6.) ;, f f n n d d on λ d =T / W, lo ual está de auedo on λ d =TV y on una pimea apoximaión on el poduto de módulos W*V= y po tanto f=0. El pime témino de 6. epesenta la uantizaión de De Boglie omo una pimea apoximaión, mientas que el segundo es una oeión de oden supeio. Siguiendo la intenión de [7] paa la uantizaión del témino oetio tenemos (6.) ' / / ' ' ' n n m nh m h n n n n f d d on n, n númeos uántios. Utilizamos λ omo la longitud de onda de De Boglie asoiada a Δp = m /; expesión esta última que imos en la seión anteio y que [7] asoia al moimiento del eletón sobe si mismo. Po tanto podemos apoxima la aateístia del dominio inemátio a pati (6.0) y (6.) omo n n n n d d ) ' ( La ª ley de Newton apliada al eletón del modelo de Boh en tayetoia iula unifome alededo del núleo ondue a (m es la masa elatiista) h Ke n n n Z m KZe n n m h n m h m KZe Ze K m d ; ' ) ' ( ; neesitamos ahoa apoxima el esultado anteio hasta º oden paa <<. En pimea apoximaión haemos /=0 en el lado deeho de la fómula paa la eloidad y tenemos en el lado izquiedo / = αz/n. Coloando ahoa este

37 37 esultado en el lado deeho obtenemos una segunda apoximaión en el lado izquiedo ' n Z n n n Z La enegía meánia del eletón es m m m Ze K m E apoximando hasta º oden en / tenemos m m E sustituyendo el alo de la eloidad alulada antes hasta º oden en / tenemos / 4 ' ; ax X ax X m ax X ax X m m E n n a n Z X apoximando hasta téminos en X en los téminos de ohete tenemos ' 4 / 4 4 / 4 / n Z n n n Z m m E X ax ax X X a ax ax X ax si haemos el ambio n k k k k n n ' ; ' ' obtenemos 0 0 ; 4 3 n Z m E n Z k n E m E n n que oesponde al espeto de estutua fina en átomos hidogenoides si tomamos k omo el númeo uántio aimutal. El leto puede ehae los álulos

38 38 patiendo de V=π/nT y e que esto no ondue a la misma apoximaión; po tanto la patíula no puede segui un íulo pefeto. Analogía ente patíulas agadas y iuitos elétios. La existenia de patíulas agadas estables omo el eletón india la existenia de un efeto ondensado o auto-apaidad C en dihas patíulas. Dado que el equilibio de estas patíulas es dinámio (zittebewegung) podemos, en el ontexto de la teoía lásia de iuitos, ompleta la imagen on una autoinduión L. En un planteamiento lásio de iuitos un sistema LC en seie estable de este tipo tiene asoiada una euaión difeenial d i i 0 dt LC Podemos supone una autoapaidad de la foma: C Donde λ es un paámeto indeteminado on dimensiones de longitud y α un paámeto adimensional. Si onsideamos el sistema omo una línea de tansmisión aoplada en esonania al aío, entones la esistenia aateístia de esta línea de tansmisión debe oesponde a la impedania del aío. Con esto obtenemos el alo de la autoinduión L C L En elaión al Spin, podemos supone que este esultado oesponde a la autoinduión de una espia iula de adio λ on seión también iula y adio de diha seión a<< λ 8 L ln a ln a 7 4 La feuenia aateístia del sistema la podemos estima omo la oespondiente a la feuenia de zittebewegung de la patíula. Igualando esto on la feuenia ω de la euaión difeenial tenemos m ( / ) LC m Paa que λ sea la amplitud del zittebewegung debe se α=, lo ual está en el límite de la apoximaión a<<λ. En el ontexto planteado en [6], este planteamiento apunta a un moimiento iula del punto agado entono al ento de masas (patíula). Vemos de este modo que el áea definida po la longitud de onda de Compton alededo de la patíula está íntimamente elaionada on las popiedades eletomagnétias de las patíulas. En un iuito lásio la esistenia aabaía po disipa ompletamente la enegía. Esta enegía

39 39 C elétio. G L R oespondeía a los fotones ituales emitidos po la patíula agada. Se neesita un agente que eintege esta enegía al sistema, eagando peiódiamente el ondensado. De auedo on el apatado Colapso uántio-gaitatoio este agente es la gaedad, y puede ese omo el geneado de tensión del iuito Momento angula mínimo y zittebewegung del eletón. Continuemos on la elaión ente zittebewegung y Spin planteada en el punto anteio. Vimos anteiomente la apliaión de la euaión 6.5 al aso de una patíula siguiendo una óbita iula; aunque se matizó que esto solo puede se una apoximaión en el dominio inemátio uántio. Se intodujo la siguiente euaión L L E L L ; (0.) m m Dado que la existenia de la onstante de Plank hae que los aloes ΔL y ΔE no puedan anulase en el dominio inemátio uántio, tenemos que el momento angula de la patíula L tampoo puede haelo. Llegaemos al mínimo momento angula si asignamos a la enegía uántia su alo mínimo posible o enegía de punto eo L L En pinipio esta enegía mínima debe oinidi on la enegía en eposo de la patíula m. Si esta situaión de mínimo momento angula es ompatible on el zittebewegung del eletón, entones debemos onsidea dos posibilidades paa la enegía uántia, lo ual supone dos posibilidades paa ΔL E m L m feuenia igual que la del zittebewegung del eletón. Eidentemente en (0.) el momento angula de la patíula L no puede anulase y es azonable asignale un alo mínimo igual al de la onda; de modo que el momento angula intínseo de la patíula onueda on los aloes posibles del spín del eletón. Esto hae que el adio de gio en (0.) sea L m

40 40 Este esultado equiee onsidea que la feuenia puede adopta aloes positios o negatios según (0.), aunque esto es solamente onseuenia del signo de la eloidad. A taés de la feuenia ω podemos intodui la eloidad de una onda on el adio de gio oespondiente: ω=/, on lo que tenemos m m / m lo que esulta en una eloidad, en módulo, igual a la de la luz. Po tanto no se puede asoia este moimiento a una patíula on masa, sino que, en el aso del eletón, oespondeía al moimiento iula de un punto agado sin masa. (e seión ). Con estos datos y el modelo que enimos manejando podemos impoisa un álulo del momento magnétio del eletón giando en íulo (e= aga del eletón, T=peiodo) : e IS T e e m sin embago este momento magnétio difiee del enontado expeimentalmente en un fato de apoximadamente. Note el leto lo siguiente en el desaollo heho: Si L y ΔL tienen el mismo signo, entones la enegía ΔE es positia en (0.) y L+ΔL no se anula. Po el ontaio si L y ΔL tienen signos difeentes, entones la enegía ΔE es negatia en (0.) y L+ΔL=0. El pime estado, on ΔE >0, oesponde a la mateia y está elaionado on el fato en el momento magnétio del eletón. En el apítulo 4, en la seión Obitas uantizadas de De Boglie y estutua fina analizamos un aso simila on L y ΔL del mismo signo y imos que mientas el moimiento de la onda puede onsidease iula on adio onstante, el de la patíula no; y debemos onsidea una amplitud de posiión paa la patíula Δ. Podemos aplia el mismo iteio en este aso y alula el momento magnétio del eletón así: e IS ( ) T Si onsideamos Δ omo aiable estadístia tomando aloes positios y negatios on un pomedio uadátio (Δ) tenemos paa el pomedio del momento magnétio e ( T ( ) ) ( e ) T ( e ) m

41 4 El alo T no está afetado po el pomedio ya que está asoiado al moimiento egula de la onda. El alo medido del momento magnétio del eletón oesponde on un fato de en la expesión anteio * El leto puede ompoba que <Δ> está póximo al alo del adio lásio del eletón. Paa intepeta esto, tenemos que onsidea que la aiable puede toma aloes positios y negatios, es dei, que se suman y se estan al alo de, tal omo apaee en el dibujo adjunto. La existenia de un alo medio no nulo paa se debe a las dimensiones lásias del eletón, que en este planteamiento apaee omo una distania límite intena. A pati de los aloes de alo uadátio medio y alo medio, podemos alula el alo de la aianza y ajusta una funión de distibuión nomal paa el eletón. El segundo estado, on ΔE<0, oesponde al aío. Podemos e el signifiado de este estado en el fenómeno de la emisión de un fotón po pate del eletón. Si suponemos que iniialmente el eletón tiene un momento angula intínseo on L=ΔL=ħ /, después de la emisión del fotón y paa onsea el momento angula seá L=ΔL=-ħ/ debido a que el momento angula intínseo del fotón es ħ. Sin embago es posible que este ambio de estado en el eletón no sea instantáneo y haya un estado intemedio on L=-ΔL, que oespondeía al aío. Podemos estima la duaión de este estado de aío po la elaión: E t Este estado de aío eueda al onepto de poeso o patíula itual de la Eletodinámia Cuántia. Note el leto que siempe hemos onsideado la enegía de la patíula, su masa m, omo positia. Desde el punto de ista lásio el modelo popuesto inluye una aga aeleada, lo ual supone emisión de adiaión; sin embago se tata de una aga puntual sin masa. Esto desabastee de enegía el poeso de emisión de adiaión ya que, omo imos en ota seión, esta enegía poede de la enegía inétia de la patíula o de su masa. Po tanto si la patíula mantiene un estado estaionaio: o bien no emite adiaión o la adiaión que emite la eabsobe. La onlusión anteio de que la estutua intena del eletón z inluya un moimiento a la eloidad de la luz es oheente on la idea de que no es posible enonta un sistema de efeenia en el x ual el eletón pueda onsidease en eposo. La imagen epesenta un punto que se muee en una espia eada a la y eloidad de la luz. En el sistema de oodenadas en que la espia está en eposo es fáil e que este moimiento eifia W V W V ; que es la euaión aateístia del dominio inemátio uántio y y y z z + - es inaiante ente sistemas de oodenadas ineiales.

42 4 5-Fotones y Relatiidad Fotones y Relatiidad Espeial Sea un foo de luz que se muee a una eloidad onstante espeto de un obseado en eposo y que emite un fotón en onta de la eloidad elatia, tal omo apaee en la imagen Sabemos que debido al efeto Dopple la feuenia del fotón que eibe el obseado en eposo es meno (desplazada al ojo) que la feuenia del fotón peibida po el obseado en moimiento. De la elaión de Plank E=hω tenemos la misma elaión paa enegías: la enegía del fotón medida po el obseado en eposo es meno que la enegía del fotón medida po el obseado en moimiento. Supongamos que después de la emisión del fotón el obseado en moimiento esa, po efeto de alguna fueza, en su moimiento elatio y omenta el poeso on el oto obseado; paa un obseado la enegía que ha pedido el foo es supeio a la enegía detetada po el oto obseado. Se ha iolado el pinipio de onseaión de la enegía? El fotón que absobe el obseado en eposo está desplazado al ojo; sin embago este obseado puede en pinipio eeti el poeso haiendo hoa un foo idéntio al emiso y on la misma eloidad elatia onta su fotón desplazado al ojo. Este es el poeso ineso en el sistema de oodenadas del obseado en eposo. Po tanto la enegía se onsea manteniendo su aáte elatio a un sistema de oodenadas deteminado. Los obseadoes en moimiento elatio deben oodina las medidas de enegía e impulso de un mismo poeso físio po unas elaiones similaes a las de Loentz paa el espaio-tiempo. De heho estas elaiones epesentan una unión análoga que da luga al onepto de enegíaimpulso P0 x E 0 E0 P0 x E ; Px ; Py Py 0; Pz Pz 0 Mientas todos los obseadoes utilien estas elaiones no enontaán inonguenias sobe la enegía medida po un obseado deteminado, y tampoo tendán poblemas on el pinipio de onseaión de la enegía mientas que todas las enegías medidas oespondan a un sistema de oodenadas bien definido. Se puede pensa que en el ejemplo dado hay que tene enuenta también el efeto de etoeso en la emisión y absoión del fotón. El efeto Mossbaüe

43 43 onstata que son posibles emisiones y absoiones de fotones en que el efeto de etoeso no solo afeta al átomo que emite/absobe el fotón, sino solidaiamente a toda la ed moleula en que el átomo está. De esta foma el etoeso pooado es, en téminos enegétios, del oden de P /M donde P es el impulso del fotón y M es la masa de un objeto maosópio. Esto supone dos osas: -Se pueden diseña expeimentos en que el efeto enegétio de etoeso sea despeiable espeto de la enegía de fotón emitido/absobido. -Se pueden diseña expeimentos en los que la enegía del fotón emitido/absobido po un átomo sea medida on una peisión altísima. Fotones y Relatiidad Geneal El onepto de ed-shift gaitatoio suge en las pimeas fases del poeso de maduaión en que Einstein desaollo una genealizaión del pinipio de elatiidad que inluye el ampo gaitatoio. Podemos desibi este poeso así. -Apliaión de la elatiidad espeial a sistemas aeleados. Se intodue el sistema ineial instantáneo omo uno que en un instante deteminado dt paa un sistema ineial base, está instantáneamente en eposo espeto de un sistema de oodenadas aeleado. De esta foma Einstein estudia el ompotamiento de las euaiones de Maxwell en sistemas de oodenadas aeleados obteniendo dos onlusiones A: Las euaiones de Maxwell en sistemas aeleados mantienen su foma matemátia peo a osta de aepta que la eloidad de la luz es una funión de la posiión. La Relatiidad Geneal modifiaá esta onlusión, omo eemos en el apatado dediado a la métia de Shwazhild. B: El pinipio de onseaión de la enegía asoiado a las euaiones de Maxwell debe inlui un témino adiional de la foma ΦE/ donde psi es una funión de la posiión. -Pinipio de equialenia. En base a este pinipio el estudió heho paa los sistemas aeleados es álido, instantánea y loalmente, paa ampos gaitatoios. En patiula la funión psi anteio se intepeta omo potenial gaitatoio. La expesión anteio muesta la equialenia ente Enegía eletomagnétia, masa gaitatoia y masa ineial. 3-Planteamiento del ed-shift gaitatoio. En funión de las ideas anteioes podemos estudia el ompotamiento de un fotón en un ampo gaitatoio simplemente apliando el pinipio de onseaión de la enegía. Supongamos que hay un foo en el teho de una habitaión que emite un fotón que llega hasta el suelo. La onseaión de la enegía se plantea así

44 44 hw t hw t hw t s hw s Supuesto / s w s t s wt Según la euaión anteio, dado que el potenial gaitatoio del teho es supeio al del suelo, tenemos que la feuenia del fotón al llega al suelo es supeio que la feuenia on la que patió. Einstein se da uenta de que esto neesita una expliaión físia y poede según esta línea de pensamiento: Supongamos que desde el teho se emite un ten de ondas on un númeo definido de estas o ilos. Paee eidente que el obseado del suelo ontaá el mismo númeo de estas. Sin embago la elaión anteio paee esta en onta de esta expetatia : el númeo de ilos po unidad de tiempo, o feuenia, es difeente paa los dos obseadoes. Señala Einstein que el poblema está en lo que entendamos po unidad de tiempo y que es posible que dos elojes, uno loal al teho y oto loal al suelo mahen on itmos difeentes en un ampo gaitatoio. De heho la elaión ente elojes se puede dedui de la elaión que asegua la igualdad del númeo de ilos paa los dos obseadoes: w T w T s s de este modo se dedue que uando el eloj del teho maa un intealo de segundo, el eloj del suelo no ha ompletado todaía este intealo. Este ompotamiento del tiempo equiee mas expliaiones. La duaión de un mismo poeso físio medido po un eloj loal ofeeá en pinipio el mismo alo en ualquie luga del ampo, ya que la modifiaión del tiempo no distingue ente el poeso y el eloj que lo mide, lo mismo es apliable a la mediión de distanias. t t

45 45

46 46 6-SISTEMAS DE COORDENADAS INERCIALES Y ACELERACIÓN. Se tatan aquí de expone una seie de ondiiones neesaias en el paso de los sistemas de oodenadas ineiales de la elatiidad espeial a los sistemas de oodenadas no ineiales aeleados. Como eemos la aeleaión supone una pédida de simetía ente sistemas de oodenadas y deja una huella físia en los sistemas ineiales que puede se medida e intepetada. Veemos omo podemos utiliza los sistemas ineiales omo heamienta de medida en este aso. Imagine el leto dos sistemas de oodenadas ineiales, Ay B. Los elojes en eposos de ada sistema están sinonizados según el iteio de la elatiidad espeial. Los elojes del sistema A deben ese de-sinonizados al se obseados simultáneamente desde el sistema B; de lo ontaio, debido a la elatiidad de la simultaneidad, los elojes estaían de-sinonizados en el sistema A; lo ual es falso de patida, po tanto A- Un obseado ineial e, en un instante dado, los elojes móiles de oto sistema ineial de-sinonizados. Considee el leto ahoa la siguiente expeienia desde un sistema de oodenadas deteminado, A: Tomamos dos elojes iguales en eposo, sepaados espaialmente y sinonizados en A; les apliamos a ada uno la misma fueza de modo que esultan aeleados de la misma foma y duante el mismo tiempo según A. Al abo de ieto tiempo la fueza esa y los elojes se mueen po ineia. Qué alo señalan estos elojes finalmente? Podemos onstata que los elojes han estado sometidos a las mismas ondiiones físias y po tanto no hay azón paa que en la situaión final no indiquen el mismo alo. Además podemos onsidea, tal omo se hae en la inemátia lásia, que el poeso de aeleaión onsiste en la aumulaión de pequeños impulsos en que la eloidad ambia de modo difeenial seguidos de intealos ineiales. De este modo podemos aplia el esultado (.) en foma integal paa alula el etaso aumulado del los dos elojes espeto al tiempo en A l ( ta) tm dta Debido a la elatiidad de la simultaneidad, desde el sistema de oodenadas ineial de los elojes que han sido desplazados, estos no maaán simultáneamente los mismos aloes. Esto signifia que, paa un obseado solidaio on uno de los elojes en la fase de aeleaión (obseado aeleado), las ondiiones físias de los dos elojes aeleados no han sido las mismas. Vemos de esta foma la pédida de simetía ente obsedoes ineiales y aeleados.

47 47 Resumiendo: B-La aeleaión de un sistema de oodenadas ineial podue una desinonizaión de sus elojes. Debido a esto debemos eplantea lo que signifia una medida espaio-simultánea paa un obseado aeleado. Pensemos la expeienia desde el sistema de oodenadas aeleado, paa un obseado que se muea on uno de los dos elojes. Paa este obseado son los elojes del sistema ineial los que se mueen en bloque. Si azonamos de la misma foma que antes tenemos que el obseado, una ez sinonie sus popios elojes, eá que los elojes del sistema A maan lo mismo simultáneamente; peo dada la elatiidad de la simultaneidad esto supone que los elojes en A se han de-sinonizado, lo ual es falso de patida. La ealidad es que eía los elojes de A de-sinonizados. Además po medio de la imagen del pinipio de equialenia sistema aeleado-ampo gaitatoio: paa el obseado aeleado los dos elojes están a distinto potenial gaitatoio; también hay que onsidea el aso disutido en el poblema de los ohetes espaiales: hay una modifiaión de la distania ente elojes paa el obseado aeleado. Po tanto la ondiión -Los elojes han sido sometidos a las mismas ondiiones físias, no es ieta paa el obseado aeleado. C-Un obseado aeleado no puede hae, en geneal, estimaiones sobe la maha de los elojes de un sistema ineial; solamente puede hae estimaiones basadas en la elatiidad espeial paa una egla y un eloj ineiales muy póximos a su egla y su eloj; nuna paa una distibuión espaial abitaia de elojes ineiales. Mantenemos además que un obseado no ineial, aeleado o gaitatoio, es apaz de sinoniza elojes no ineiales loales muy póximos a un eloj no ineial de efeenia: el eloj del obseado no ineial. Diho de oto modo, un obseado no ineial (aeleado o gaitatoio) puede onstui loalmente líneas sínonas en ualquie dieión. Esto es neesaio paa mantene el onepto de espaio-simultáneo y pode ompaa elojes en eposo on elojes en moimiento, al menos loalmente, paa un obseado no ineial; ya sea aeleado o gaitatoio. En estas ondiiones, matemátiamente solamente se puede aplia la elatiidad espeial de modo loal e instantáneo. Esta onlusión se aplia dietamente al aso de la paadoja de los gemelos, que se disute mas adelante en este tabajo utilizando el onepto de ondiión iniial loal. Duante la fase de aeleaión de patida, que suponemos dua muy poo, el gemelo iajeo solamente puede sabe lo que maa el eloj del gemelo en tiea po medida dieta; solamente onoe ese sueso o ondiión iniial loal al poeso aeleado de patida, poeso muy póximo al gemelo en tiea. Duante la fase ineial puede hae estimaiones de los elojes en tiea solamente efeidos a esa ondiión iniial, que es en ealidad lo únio que onoe. Cuando el gemelo iajeo fena y uando etona puede hae una estimaión de lo que maan los elojes ineiales utilizando la elatiidad espeial, peo esto solo es legítimo paa

48 48 alula el alo que maque un eloj ineial loal póximo espeto del poeso (aeleado) de llegada a la estella lejana y sinonizado on el del gemelo en la tiea. Antes de que el gemelo iajeo llegue a la tiea tiene que hae el álulo de lo que maan los elojes ineiales tomando omo efeenia la ondiión iniial loal anteio, y el poeso de álulo es álido solo paa alula lo que maa un eloj ineial loal póximo al poeso (aeleado) de ateizaje. Paadoja de los gemelos (P.Langein) Dos hemanos gemelos. Uno de ellos pate de iaje a una eloidad eana a la de la luz hasta la estella alfa-entauo e inmediatamente uele a la tiea. Qué edad tienen los gemelos uando uelen a enontase? Disusión La palaba paadoja se efiee a lo poo intuitio o de sentido omún de la soluión de este poblema de auedo a la elatiidad. Sin embago, dento de la elatiidad, hay una foma no paadójia y ota paadójia de plantea la soluión al poblema. Foma no paadójia: Diidimos el iaje en dos tamos: ida y uelta. Podemos supone que ada tamo del iaje se ealiza a eloidad elatia onstante y despeia los iniios y finales de tayeto, en que apaeen aeleaiones. Veamos si en estas ondiiones llegamos a ontadiión. En esta disusión se habla de la obseaión de un eloj en moimiento. Note el leto que, en geneal, todo poeso físio de obseaión o medida se onsidea una aión loal; es dei, la obseaión o medida supone una aión póxima ente lo medido y el apaato (o pesona) que ealiza la medida. De aquí la impotania de onsidea la existenia de líneas sínonas en los sistema de oodenadas ineiales, que pemitan la poximidad ente un eloj sínono fijo y el eloj en moimiento. Pensemos en el eloj de pulsea del gemelo iajeo. Paa este eloj los suesos A= patida de la tiea, B= llegada a alfa-entauo y C= etono a la tiea están bien definidos y son suesos loales, po tanto los tiempos tba y tcb son tiempos loales paa el gemelo iajeo. Paa el gemelo en la tiea estos tiempos se tansfoman omo la elaión de tiempos (.4). Po tanto el gemelo en tiea ha enejeido mas en el poeso que el gemelo iajeo. Desde el punto de ista del gemelo en tiea, el eloj de pulsea del gemelo iajeo es un eloj en moimiento y po tanto peibe que la maha de este atasa pogesiamente espeto de su eloj de pulsea según la elaión de tiempos.; exatamente lo mismo que en el aso anteio. t BA nae t BA tiea

49 49 Donde ttiea es el tiempo medido po un eloj en eposo desde el sistema-base (gemelo en eposo) y tnae es el tiempo medido po un eloj en eposo paa el gemelo iajeo (gemelo no ineial). La euaión anteio supone que existe un eloj en alfa-entauo en eposo espeto de la tiea y sinonizado on los elojes en tiea. Po tanto, de nueo, el gemelo en tiea ha enejeido mas en el poeso que el gemelo iajeo. Pensemos ahoa en el eloj de pulsea del gemelo en tiea. Paa el gemelo iajeo es un eloj en moimiento y etasa pogesiamente espeto del suyo. Cómo puede se que el gemelo en tiea enejeza mas y que el eloj de diho gemelo paee i mas lento?. Detás de esta pegunta se esonde la idea lásia del tiempo absoluto. Suponemos que el tiempo de los dos gemelos es ompaable (mas o menos ápido); en el fondo suponemos que existe un tiempo absoluto de efeenia. En elatiidad hay que matiza mas la pegunta y aota las aiones en el tiempo y en el espaio. Lo que en ealidad puede detemina el gemelo iajeo es lo que maa el eloj del gemelo en tiea simultáneamente a su llegada (del gemelo iajeo) a alfa-entauo. La pédida de simultaneidad paa el gemelo en tiea aumenta el tiempo de esta aión en justo lo neesaio: t BA tiea t BA nae ( t BA nae ) Paa el gemelo en tiea la llegada de la nae a alfa-entauo es posteio a la obseaión que el gemelo iajeo hae de su (del gemelo en tiea) eloj; debido a esto el gemelo en tiea tiene que suma un tiempo adiional a diha obseaión. El leto puede estudia el aso en que el gemelo en tiea obsea su popio eloj simultáneamente a la llegada de su hemano a alfa-entauo. Paa el gemelo iajeo su llegada a alfa-entauo es anteio a la obseaión que el gemelo en tiea hae de su eloj teeste y po tanto t BA nae t BA tiea De foma análoga, en el tamo de uelta también juega un papel impotante la simultaneidad en el álulo de tcb. La ontinuidad de la aión físia equiee onsidea omo efeenia paa la uelta un eloj en alfa-entauo (B) en eposo espeto de la tiea. Este aspeto de la ontinuidad apaee de foma natual si se epesenta este poblema en el espaio de Minkowsky. Finalmente no hay paadoja: el gemelo en tiea es mas iejo uando se podue el eenuento. Foma paadójia: Si onsideamos la aión AC ompleta, tenemos que tac es un tiempo loal paa los dos gemelos: Si los dos gemelos, un instante antes de e-enontase, tansfoman este intealo según. llegaán a ontadiión: Paa los dos

50 50 gemelos el eloj del oto ha atasado espeto del popio. Eidentemente esto es físiamente inonsistente; el estado de los elojes está pefetamente definido en la llegada. En el aso no paadójio hemos desompuesto el poblema en dos pates, en ada una de las uales se puede apoxima el moimiento del gemelo iajeo utilizando una eloidad elatia unifome; y po tanto es legítimo aplia las tansfomaiones de Loentz a ada una de estas pates. Po ota pate existe una asimetía básia en los suesos onsideados A y B: paa un obseado la medida del tiempo es loal y paa el oto no. En el aso paadójio hemos apliado las tansfomaiones de Loentz al moimiento ompleto, peo paa se oheentes on las tansfomaiones de Loentz tendíamos que habe definido al menos una eloidad pomedio unifome del moimiento ompleto, la ual seía eidentemente nula ya que el punto iniial y final oiniden. Poblema de los ohetes espaiales: (J. Bell) Tenemos dos ohetes iguales en eposo sepaados ieta distania y unidos po un débil filamento eto. El filamento es tal que puede ompese si se alaga o aota demasiado. En el sistema ineial base, en el instante t=0, aanan los dos ohetes simultáneamente y siguen una tayetoia eta on la misma aeleaión y en la misma dieión del filamento, dieión que podemos onsidea eje x. Se ompe el filamento?. Los ohetes tienen sendos elojes iniialmente sinonizados en el sistema ineial base. Cómo se ompotan los elojes desde el sistema de oodenadas de los ohetes? Disusión Si las dos naes funionan exatamente igual (son eplias gemelas), la eloidad (t) medida po el obseado del sistema ineial base es la misma paa las dos. Esto implia que la distania ente las dos naes se mantiene onstante y que los elojes pemaneen sínonos duante todo el poeso isto desde el sistema ineial base; ya que dihos elojes están sometidos a las mismas ondiiones físias. Paa aplia la elatiidad espeial a este sistema aeleado pensemos en que la aeleaión se impate altenado fases de impulso aeleatio on fases ineiales. Las fases de impulso aeleatio duan hasta que el efeto de la aeleaión se ha popagado a todos los puntos del sistema de oodenadas. Al final de diha fase podemos utiliza la elatiidad espeial, es dei, los sistemas de oodenadas ineiales. Podemos aepta que los peiodos no ineiales duen un tiempo supeio al de funionamiento del moto de la nae, tal que sea sufiiente paa que los dos ohetes y el filamento ean eliminados los efetos popagaión de impulso meánio asoiados a la aeleaión. Veemos que la aeleaión deja una huella sobe los sistemas ineiales que nos pemitiá intepeta omo se ompota el espaio-tiempo en los sistemas aeleados.

51 5 Estudiemos el ompotamiento de los elojes En pime luga estudiemos el aso en que los elojes se mueen ineialmente. Sabemos que los elojes se eían en geneal desinonizados desde la estaión base ineial, peo si utilizamos elojes de agujas podemos ajustalos iniialmente de modo que, en un instante dado, las agujas maquen simultáneamente el mismo alo t 0 paa el obseado base. Consideemos en diho instante sendas aiones simultáneas loales a ada eloj según el obseado base ineial. Desde el sistema ineial de los elojes estas aiones no son simultáneas y según las tansfomaiones de Loentz esulta, en pimea apoximaión, un intealo de tiempo de alo ( xb xb ) t El esultado india que el sueso en - es anteio en el tiempo al sueso en -. Po tanto en el sistema de los elojes, si el eloj - maa t 0 hay que espea Δt segundos paa que el eloj - maque lo mismo. O diho de oto modo, en el instante en que - maa t 0 - maa t 0 - Δt y en geneal t ( xb xb ) t Paa el aso en que los dos elojes están sometidos a la misma aeleaión tenemos, omo ya se ha diho, que la distania ente elojes se mantiene onstante y que los dos elojes maan lo mismo desde el sistema base en todo momento. Estas dos ondiiones haen que podamos toma pequeñas aiaiones de la expesión anteio de este modo ( xb xb t t ) Paa intepeta este esultado imaginemos ota ez que el obseado altena fases de aeleaión on fases ineiales. En la fase ineial iniial tenemos que los elojes - y - tienen sus agujas desfasadas una ieta antidad onstante que no se modifia on el tiempo, tal omo alulamos paa el aso ineial. Pasada la fase de aeleaión y llegados a la siguiente fase ineial el obseado ompueba que existe un desfase ente - y - peo ha aumentado en la antidad oespondiente a la fómula anteio. Po tanto el obseado puede pensa que duante la fase no ineial el itmo de los elojes - y - no ha sido el mismo. Intepeta la fómula anteio diiendo que la aeleaión de los elojes hae que

52 5 estos mahen on un itmo difeente. En los sistemas ineiales hemos supuesto que todos los elojes del sistema una ez sinonizados pemaneen sinonizados; lo que equiale a que el itmo de todos los elojes es el mismo independientemente de sus oodenadas espaiales. Vemos que en el aso de sistemas aeleados esta pemisa ya no es sostenible. En este poblema esulta que uando las manillas de - maan minuto las de - están mas aanzadas: El eloj maha mas ápido que el istos desde el sistema aeleado. Hay un desplazamiento elatio en el tiempo ente los elojes. Dado que la pimea apoximaión de un ampo gaitatoio es un sistema aeleado tenemos que los elojes en el ampo gaitatoio teeste tienen un itmo que depende de su altua. Esta situaión la expeimenta diaiamente el sistema de posiionamiento global GPS, omo ya se ha diho. Po oto lado, si los elojes están tan eanos omo se quiea, esulta que la disepania ente los itmos de los elojes es una difeenial de pime oden t t x b t t y po tanto podemos asumi de foma natual la existenia de líneas sínonas loales a un obseado no ineial (gaitatoio o aeleado), lo ual es una ondiión neesaia paa pode aplia loalmente la elatiidad espeial en un sistema de oodenadas aeleado. Este esultado onueda on la idea de ontinuidad del espaio-tiempo. Estudiemos ahoa la distania ente naes. Si las dos naes tienen el mismo pogama de funionamiento de los motoes los impulsos siempe an a se simultáneos paa el obseado de la base. Duante el peiodo ineial paa los obseadoes en el ohete no existe moimiento elatio ente ellos. En efeto, la apliaión de la omposiión de eloidades paa sistemas ineiales da ' 0 / donde es la eloidad omún de las naes desde el sistema base y es la eloidad de una nae espeto de la ota. En ambio paa el obseado base no existe el efeto de la ontaión de Loentz del filamento, que se supone ígido omo una egla. La distania ente naes es onstante en ualquie fase ineial paa diho obseado base. Este obseado puede pensa que, duante las fases no ineiales, se ha modifiado el espaio ente las naes paa un obseado solidaio al sistema de las naes. Además este efeto se anula en las fases ineiales. Sin embago la ondiión de la eloidad elatia nula india que el aumento de distania no se debe a un moimiento elatio, sino a una modifiaión del espaio-simultáneo. Esto se puede intepeta omo una modifiaión en la métia en el sistema de oodenadas aeleado. Esta modifiaión es tal que la ontaión de Loentz esulta anelada paa el obseado base ineial. Sin embago habla es espaio-simultáneo en sistemas

53 53 aeleados supone la existenia de líneas sínonas, lo ual solo está justifiado paa medidas loales, muy eanas al obseado; en igo en téminos difeeniales. De este modo el espaio simultáneo ente naes se tansfoma según la elaión dx dx b ( t) Donde dxb es la distania iniial ente naes, es dei, la distania que paa el obseado base existe ente las naes en todo momento y dx es la distania ente naes paa el obseado situado en el sistema no ineial de las naes. Note el leto el efeto adial de la aeleaión: el ompotamiento desito es álido aún paa aeleaiones muy pequeñas siempe que los ohetes se muean on la misma aeleaión. En este ejemplo emos que el espaio es flexible, ompesible y expansible ; aumulable y dispesable. Vemos que el filamento aaba ompiéndose po el aumento de la sepaaión ente naes. Esta sepaaión es un heho objetio debido a la iolaión de la ontaión de Loentz paa el obseado base. Tal omo se ha planteado desde el pinipio la aeleaión está asoiada a un ambio de sistema ineial, y po tanto supone un desplazamiento elatio en el tiempo paa el obseado aeleado; puesto que ada sistema ineial tiene su popia expeienia del tiempo. Voliendo a la onlusión C anteio, lo que hasta ahoa podemos onoe del espaio-tiempo, en téminos geneales, son las tansfomaiones ente distintos sistemas de oodenadas loales ineiales y Catesianos muy eanos a un punto o sueso dado. La estutua del espaio-tiempo a gan esala no debe pesumise que sea la de un sistema de oodenadas de tipo Catesiano ó simila al Eulídeo; omo hae la físia lásia. En ez de esto, la elatiidad geneal utiliza los sistemas de oodenadas Gaussianos, que admiten la uatua del espaio-tiempo en esalas supeioes a la loal. Finalmente euede el leto la popiedad fundamental del ampo gaitatoio: loalmente todos los uepos aen on la misma aeleaión (Galileo).

54 54 7-TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS Y CAMPO GRAVITATORIO. INTRODUCCIÓN ELEMENTAL A LA MÉTRICA DE SCHWARZSCHILD. Las tansfomaiones de oodenadas mas geneales x - (x+,t+); t- (x+,t+) se plantean en foma difeenial y tienen matemátiamente esta foma dx dt x x t x t te t te dx dx x t t t xte xte dt dt Tomando omo base la tansfomaión de Loentz podemos intepeta los siguientes oefiientes x x t te d x d x s ; t l t d t xte d t ; omo las tansfomaiones del espaio simultáneo y el de tiempo loal, es dei se tata de los téminos simétios de la tansfomaión de Loentz. Paa los téminos no simétios tenemos x t xte d x d t l ; t d t s x d x t te donde emos que dependen dietamente de la eloidad elatia ente sistemas de oodenadas. Estos son los oefiientes de tansfomaión ente sistemas de oodenadas ineiales y emos que se pueden alula a pati de medidas on eglas ígidas y elojes loales en los sistemas de oodenadas que se tatan de elaiona. Paa el aso de sistemas de oodenadas no ineiales la osa ambia pofundamente. No tenemos una definiión senilla de tiempo paa ualquie sistema de oodenadas. Es pobable que el leto haya utilizado el autobús; que al intenta llega a los asientos del fondo el autobús haya empezado a aelea. Esto podue una fueza que paee tia de uno. Pesonalmente me sopende esta sensaión po que paee se muy pofunda, no afeta solo a los pies, sino a todo el uepo. Realmente paee tatase de un ampo de fuezas lo que esta atuando. Según Einstein esta peepión físia es oeta y ealmente el obseado aeleado del autobús puede pensa que está en eposo y atúa un ampo de tipo gaitatoio. El aáte gaitatoio de este ampo depende de la onoida popiedad de indui la misma aeleaión a toda entidad físia. Una onsideaión de este tipo está en el oigen de la elatiidad geneal.[]. Razonando sobe ;

55 55 expeienias omo la del autobús, Einstein intuyó que ea posible expesa las leyes físias sin que estas hiiesen efeenia a ninguna foma de moimiento absoluto, ya sea eloidad o aeleaión. Un sistema de oodenadas aeleado se puede desibi omo un sistema en eposo en el que atúa un ampo gaitatoio; y al eés, un ampo gaitatoio puede desibise (loalmente) omo un sistema de oodenadas aeleado. Einstein esumió estas ideas en el pinipio de equialenia ente ineia y gaedad[]. En lo que sigue onsideaemos omo leyes físias la elaión ente espaios-simultáneos ( ontaión de Loentz) y tiempos-loales tal omo se han pesentado; es dei, dependiendo de la eloidad elatia ente obseadoes. También se utilizaá la onoida popiedad del ampo gaitatoio de aelea, elatiamente a un obseado gaitatoio, igualmente todos los entes físios. Tomemos omo ontexto un ampo gaitatoio estátio simila al teeste y alifiaemos omo gaitatoio a un obseado en eposo espeto del ento de fueza del ampo. Cuando este obseado se enuente a una distania sufiientemente alejada omo paa despeia la influenia de la gaedad lo alifiaemos omo en el infinito. Antes que nada es neesaio establee un sistema de oodenadas que sea omún paa todos los obseadoes gaitatoios, de foma que ualquie sueso tenga unas oodenadas espaiotiempo peisas. Como paso peio imaginemos una línea en la dieión adial heha de algún mateial esistente y que onete a un obseado gaitatoio on un obseado en el infinito. Un obseado en aída libe que pate del infinito posee un eloj que maa segundos y una egla de meto apaz de emiti señales simultáneamente po sus dos extemos. Este obseado aplia la egla paalelamente a la línea adial y genea estas señales que, atuando sobe el mateial de la línea anteio, dejan una maa indeleble. Con esto el obseado en aída libe a maando segmentos sobe la línea adial de modo que todo punto de la línea queda o bien dento de un únio segmento o bien en el límite ente dos segmentos. Si asignamos un númeo oelatio a ada segmento, esta onstuión pemite loaliza suesos ouidos en las eanías de la línea adial a pati de diho númeo que podemos onsidea omo oodenada adial. En el mismo poeso, el obseado en aída libe oloa una maa indeleble, distinguible de las anteioes, en la línea oodenada adial oespondiente a su posiión ada ez que su eloj aumenta la uenta de tiempo en segundo. Llamaemos a estas maas, maas sinonizadas. Paa defini las oodenadas de un sueso imaginemos que tenemos un númeo indefinido de elojes en aída libe que paten del infinito a intealos de segundo, po simpliidad. A estos elojes les amos a onede la alidad de obseadoes, de modo que son onsientes de suesos físios. Paa detemina las oodenadas espaio-tiempo de un sueso ouido en nuesto ontexto físio el eloj en aída libe oinidente espaio-tempoalmente on el sueso maa su posiión en la línea adial y ajusta un eloj gaitatoio en eposo en diha posiión on el alo que maa el popio eloj en aída libe. Denominaemos a diho eloj omo eloj L y egista el tiempo en nuesto sistema de oodenadas, que denominaemos sistema L.

56 56 Debemos hae algunas onsideaiones impotantes sobe este sistema de oodenadas. El intealo de tiempo, medido po el eloj en aída libe, neesaio paa que diho eloj llegue desde el infinito a una oodenada espaial L deteminada puede onsidease el mismo en todos los asos, ya que todos los elojes-obseado son iguales y el ampo es independiente del tiempo: llamemos a esta elaión T( L ). De esto deduimos que si un eloj en aída libe al pasa po el punto de oodenada L maa el alo t L, entones el siguiente eloj en aída libe maaá t L + segundos en la misma oodenada debido a que patió on un alo iniial segundo supeio, y esto independientemente de la oodenada L elegida. La feuenia, medida según los elojes en aída libe, on que dihos elojes apaeen en una posiión fija es la misma en ualquie punto de la línea L : eloj/segundo. Podemos po tanto onstui un eloj L en eposo que genee los aloes oespondientes a la oodenada tempoal, simplemente aumentando su uenta en segundo ada ez que apaee un eloj en aída libe o enontando alguna ota egla paa establee la maha de diho eloj L. Sin duda ada uno de estos elojes-obseado al hae las maas sinonizadas oinidiá on las ya hehas po el pime obseado, peo lo que maa su eloj seá segundo supeio al anteio eloj-obseado que ealizó la misma aión. Imaginemos dos elojes onseutios numeados po n+ y n según el alo iniial de tiempo on que fueon lanzados desde el infinito, imaginemos dos maas sinonizadas onseutias de oodenadas k y k+, donde se supone que k+ está mas eana a la fuente del ampo (mas abajo). El tiempo que maan los elojes n+ y n uando alanzan las maas k y k+ oespondientes es T n k n T( k) n ; Tk T( k ) n po tanto la difeenia de tiempos ente estos dos suesos es T n k n Tk T( k ) T( k) 0 dado que un eloj en aída libe adelanta segundo ente dos maas sinonizadas. Po tanto, medido on elojes L situados en las maas sinonizadas, todos los elojes libes llegan en todo aso simultáneamente a dihas posiiones. Cada segundo medido po el sistema de elojes L los elojes libes se alinean on las maas sínonas oespondientes; peo podemos dei que los elojes L an todos al mismo itmo?, ómo podemos ompoba físiamente esto? Si podemos esponde afimatiamente, omo eemos mas adelante, entones los elojes L maan ealmente el tiempo omún del sistema de oodenadas. Finalmente el sistema de oodenadas popuesto puede egista paa ada oodenada espaial la eoluión tempoal de los suesos en un intealo de tiempo abitaio; aunque la infomaión dependa de aios elojesobseado en aída libe, dependenia que eemos puede se mejoada. Podemos onstui también el sistema de oodenadas de esta ota foma: se toman aias eglas iguales de meto numeadas onseutiamente y se an tendiendo, on sus extemos en ontato, desde el obseado gaitatoio hasta

57 57 el obseado en el infinito. El númeo asignado epesenta la oodenada espaial y utilizaemos este onepto en bee. En uanto a la oodenada tempoal tenemos elojes idéntios que amos estaionando uno po egla; sin embago no tenemos lao omo maneja este tiempo en esalas supeioes a la loal, ya que no tenemos lao el onepto de simultaneidad on estas oodenadas. Llamemos a este sistema de oodenadas sistema G. Tenemos po tanto un sistema de oodenadas fomalmente ompleto y oto que no lo está. Sin embago podemos enonta elaiones ente las oodenadas de estos dos sistemas paa suesos póximos (difeeniales). Basta onsidea que paa tales suesos las oodenadas L las puede detemina un únio obseado en aída libe, que suponemos ineial. Paa el aso espaial, ealuado po el obseado en aída libe tenemos que una pequeña aiaión de oodenadas G (d G ) se epesenta po una pequeña aiaión de oodenadas L (d L ) de modo que (el supeíndie india oodenada ) d G dl Paa el aso tempoal imaginemos un eloj gaitatoio ealuado po el obseado en aída libe de modo que la elaión ente oodenadas L y G es dt G dt L Note el leto que las dos elaiones anteioes onstituyen una tansfomaión de oodenadas ente los sistemas L y G; los uales están en eposo elatio, po lo que no apaeen en la tansfomaión de oodenadas téminos lineales en la eloidad elatia. Esta tansfomaión india que, en una oodenada espaial deteminada, los itmos del eloj L y del G no son los mismos. Esta elaión sie paa establee la maha del eloj L en funión de un alo iniial y de la indiaión de un eloj G, el ual no es mas que un eloj nomal. Es esenial en todo esto que el leto distinga laamente ente oodenada y medida, en patiula paa la tansfomaión espaial. Pese a que el sistema de oodenadas L está esenialmente en eposo paa el obseado gaitatoio, este obseado no puede da una intepetaión métia dieta de las oodenadas espaiales L, omo muesta la expesión paa la tansfomaión de oodenadas utilizada. Esto es fundamental po que no hemos de supone la métia apliable en el sistema de oodenadas L, que seá intoduida en base a otas onsideaiones. Matemátiamente las oodenadas L se onoen omo oodenadas uilíneas y las distiniones hehas ente oodenadas y métia aen ompletamente en la ama matemátia onoida omo Geometía Difeenial. Si utilizamos la teoía lásia de Newton paa ealua la eloidad de aída libe podemos extapola las tansfomaiones de oodenadas anteioes así:

58 58 dt G GM L dt L ; d G d L GM L El sistema de oodenadas G tiene una popiedad impotante: paa suesos póximos a una oodenada espaio-tempoal de efeenia se puede onsidea ineial. Esto pemite expesa el elemento de línea de Minkowsky paa suesos póximos en oodenadas L de esta foma ( dl ) GM d dt ds ( dt ) ( ) G G GM Si asignamos a esta antidad popiedades métias inaiantes entones las oodenadas L que apaeen:, t quedan despojadas de dihas popiedades desde el punto de ista del obseado G, aunque pueden se medidas po el obseado adeuado en aída libe. De este modo nuesto sistema de oodenadas L queda ompletado al añadile esta foma métia. Los suesos asoiados al moimiento de un ayo de luz popagándose en la dieión se aateizan po ds=0, lo que implia que, en oodenadas L, la eloidad de la luz no es. Sin embago a este esultado el obseado gaitatoio no puede asignale el ango de medida. De esta foma suesos on las mismas oodenadas L tienen asignadas distintas medidas paa el obseado gaitatoio y el del infinito. Podemos ompleta fáilmente el esto de oodenadas y obtene la métia de Shwazshild L L L ds ( d) GM ( d ) ( sen( ) d ) ( dt) ( ) GM dado que las omponentes pependiulaes al moimiento de aída libe no esultan alteadas en el ambio de efeenia y son iguales en L y en G. Vamos ahoa on la uestión de si los elojes L funionan todos al mismo itmo y que signifia esto físiamente. Hemos obtenido un esultado peio, en pimea apoximaión, sobe la disepania de itmos de elojes gaitatoios (elojes G) situados a distinta altua (Fotones y Relatiidad Geneal y Poblema de los ohetes espaiales). Podemos obtene este mismo esultado a pati del ompotamiento de elojes L a distinta altua si suponemos que la maha de elojes L sepaados espaialmente es idéntia.

59 59 t t G G GM GM t t L L ; si t t L L t t G G ( V V ) ; V = -GM/ es el potenial gaitatoio lásio. (7.) Esto nos die que, si está a un potenial mayo que entones una uenta de segundo en oesponde a una uenta de menos de segundo en. La maha del eloj G es mas ápida que la del eloj G y podemos ompaa su maha sin neesidad de moelos po la existenia del patón egula intemedio de los elojes L. Imaginemos ahoa el obseado del infinito on un foo que emite luz on feuenia bien definida w. Este obseado emite un ayo sobe la dieión haia el obseado gaitatoio. Cómo afeta el ampo gaitatoio a la luz?, a pioi no lo sabemos peo podemos supone la maha egula de elojes L y en funión de ella podemos plantea la siguiente hipótesis: El peiodo de la luz medida on elojes L es igual independientemente de la posiión (oodenada ) del obseado. Esta hipótesis genea inmediatamente este esultado T G GM T L G w G w G GM L donde T es el peiodo de la onda eletomagnétia, el subíndie G hae efeenia al obseado gaitatoio y el subíndie infinito hae efeenia al obseado en el infinito; paa el ual los elojes L y G funionan al mismo itmo. Esta elaión ente feuenias se ha ompobado expeimentalmente, paa bajas modifiaiones de feuenia, en el expeimento de Pound-Rebka. En onlusión podemos onsidea alidada nuesta hipótesis sobe el tiempo, al menos en pimea apoximaión, y onsidea que los elojes L mahan todos al mismo itmo y definen un tiempo omún paa el sistema de oodenadas L utilizado paa desibi el ampo gaitatoio. Popongo ahoa al leto la siguiente uestión: Un obseado en aída libe desde el infinito onstata efeto Dopple en la luz que eibe de un foo en el infinito? Cuanto ale este efeto? Paa e esta uestión imaginemos un ampo gaitatoio ental estátio y un túnel que pasa po la masa que ea el ampo, tal omo apaee en el dibujo. Existen dos obseadoes iniialmente en infinito (A y B). Estos obseadoes empiezan a ae de modo que en un instante dado el sistema pesenta la onfiguaión del dibujo. En ese momento obsean un fotón emitido po la fuente en A.

60 60 En el instante señalado los dos obseadoes pueden onsidease sistemas ineiales y po tanto pueden aplia las tansfomaiones de feuenia de la elatiidad espeial ente ellos; po tanto la feuenia del fotón no a a se la misma paa ambos obseadoes: w w donde la eloidad elatia es ente () y (). Po la alidez loal de la elatiidad espeial podemos alula esta eloidad utilizando el punto de ista de un obseado gaitatoio oinidente on () y (), utilizando la omposiión de eloidades de la elatiidad espeial y tomado G omo se ha enido haiendo G G w w GM GM Podemos alula ahoa w apliando la alidez loal de la elatiidad espeial junto on la ley espeada paa la feuenia de una onda eletomagnétia poedente del infinito w w G w / w w GM Paa el límite de agujeo nego ( = GM/ ), tenemos que el obseado peibiía una feuenia w finita poedente del foo A y deduimos que el obseado peibiía una feuenia w infinita en el límite del agujeo nego. Esta situaión físia indeseable se eita si onsideamos, omo se piensa atualmente, que el obseado no tiene foma de ataesa el agujeo nego. El obseado gaitatoio en eposo en el bode del agujeo nego también peibiía una feuenia infinita poedente de A. Esto se intepeta omo una limitaión debida a las oodenadas usadas: ea del agujeo nego los obseadoes deben se móiles, no estaionaios o en eposo omo supone la métia de

61 6 Shwazshild 6. Además este moimiento debe se haia el inteio del agujeo paa eita un fotón de feuenia infinita poedente del foo A si el moimiento fuese haia el exteio. Po tanto un obseado no tiene impedimento paa enta y no puede sali de un agujeo nego. El tabajo Qué pasa dento de un agujeo nego?, en esta misma web, amplía las onlusiones de esta seión. 6 Note el leto la elaión ente esta ondiión de la métia de Shwatzshild y el pinipio po el ual podemos asigna a toda patíula un obseado ineial en eposo elatio a diha patíula.

62 6 8-RADIACIÓN DE UNA CARGA ACELERADA Y CAMPO GRAVITATORIO. Existe una onoida imagen denominada a ees "el ajón de Einstein" en la que un obseado dento de un ajón aeleado po un moto exteno, supuesto inobseable paa diho obseado, no es apaz de distingui ente su estado físio eal y un estado de eposo en que atúa un ampo gaitatoio unifome. En base a esta imagen se suele explia el pinipio de equialenia y supone una simetía físia loal ente un obseado gaitatoio y oto obseado aeleado. Así po ejemplo, en el aso del obseado del ajón, podemos imagina que expeimentando llega a la siguiente ley físia: Paa que ualquie objeto físio pemaneza sin aeleaión hay que atua sobé diho uepo on una fueza de alo deteminado mg, donde m es la masa ineial del objeto y g es la aeleaión ineial. Inoando la simetía del pinipio de equialenia esulta que esto también es ieto paa un obseado en eposo en la supefiie de la tiea; intepetando ahoa g omo intensidad del ampo gaitatoio y m omo la masa o aga-gaitatoia. El heho eleante de la simetía es que la masa ineial y la masa gaitatoia son siempe iguales ente sí, lo ual se aeptó sin expliaión desde los tiempos de Newton. Como onseuenia esulta que la aeleaión impatida po la gaedad es la misma independientemente del alo de la masa y de la natualeza físio-químia del objeto; hehos estos que se onoen desde Galileo. En adelante se onsidea omo efeenia un ampo gaitatoio que se pueda onsidea de intensidad onstante en el áea en que se ealizan las expeienias, tal omo podemos expeimenta habitualmente en la supefiie de la tiea. Como es usual, los objetos de nuestas expeienias se toman lo bastante pequeños omo paa onsidea que no modifian el ampo gaitatoio existente. El pinipio de loalidad Sin embago hay fenómenos físios que paeen no segui esta simetía ente gaedad y aeleaión. En patiula el aso de la emisión de adiaión po una aga aeleada, onoida en la teoía eletomagnétia lásia. Paa este aso, la simetía implia que un objeto agado en eposo paa el obseado del ajón aeleado emite adiaión y po tanto un objeto agado en eposo sobe la supefiie de la tiea emitiía adiaión. Paee que esto no oue en base a lo que onoemos en la tiea o datos astonómios. Peo hay un detalle eleante en el aso de la emisión de adiaión de una aga en el ajón aeleado: si el obseado se peguntase po el oigen de la enegía adiada debeía onlui que la fuente u oigen de la enegía adiada no está en el inteio del ajón, sino que poede del objeto exteno que podue la aeleaión del ajón. Es dei, debeía da una expliaión no-loal al poeso de adiaión. Conluimos que la simetía asoiada al pinipio de equialenia solamente es apliable a suesos loales uyas ausas estén dento del ajón, Po tanto el pinipio es apliable al aso de la adiaión en tanto que la ausa de la adiaión sea loal o intena al ajón aeleado. La adiaión simétia equialente debeía esta asoiada a un poeso loal tal omo una modifiaión de enegía inétia o de masa de la aga adiante

63 63 y debe desontase la adiaión asoiada a las aeleaiones no-loales dento del ajón aeleado si se quiee mantene la simetía. Como el mismo Einstein señaló, es mejo atende a lo que los físios haen que a lo que dien. En oneto, es impotante dei que la foma en que se aplia el pinipio de equialenia en la teoía geneal de la elatiidad no es la imagen anteio del ajón, sino lo que podemos llama el pinipio de loalidad: En todo ampo gaitatoio existe un obseado ineial en aída libe paa el que las leyes físias ealuadas loalmente son las de la elatiidad espeial; en patiula la métia apliable es la de Minkowsky. Qué tiene que e esto on la imagen anteio del ajón aeleado? Las palabas lae son ineial y loal: el obseado en aída libe no debe se apaz de detemina su estado de moimiento a pati de expeimentaión físia loal. Podemos imagina ahoa al obseado eneado en oto ajón en aída libe en el ampo gaitatoio y manejando solamente la infomaión disponible en el inteio de diho ajón. El heho de que la aeleaión gaitatoia atúe de foma homogénea sobe ualquie objeto físio, tal omo se io al pinipio, anula una posibilidad paa que el obseado pueda detemina su estado de moimiento, ya que la gaedad no a a afeta las posiiones elatias de patíulas dento del ajón y estas solamente se an a moe po efeto de fuezas intenas al ajón. Peo que podemos espea ahoa del aso de la aga en aída libe?, si apliamos el pinipio de loalidad expesado anteiomente debemos espea que la aga en aída libe no emita adiaión, ya que se tata de una aga en eposo paa un obseado ineial. Diho de oto modo, si emitiea adiaión el obseado en aída libe tendía una base físia paa detemina su estado de moimiento y no podía onsidease ineial, a la pa que neesitaía justifia el oigen de la enegía adiada po una aga en eposo. Supongamos que todo esto es oeto y físiamente ompobable; todaía la adiaión nos seguiá dando poblemas. Cambiemos las paedes opaas del ajón po istal y amplias entanas al exteio. Imaginemos que el ajón en aída libe pasa ea de un objeto agado y en eposo en el ampo gaitatoio: po ejemplo en lo alto de un asaielos. El aso seá el de una aga aeleada y un obseado ineial. Diho así esto lásiamente signifia emisión de adiaión desde la aga. Peo debemos se más uidadosos en nuesto análisis: el obseado en aída libe obsea que es todo su entono el que está afetado po la misma aeleaión y po tanto también un obseado gaitatoio en la supefiie de la tiea. Según la elatiidad geneal tanto el obseado en aída libe omo el obseado gaitatoio en tiea pueden onsidease, loal e instantáneamente, ineiales. Peo el obseado en tiea, tomado omo ineial, no puede esta de auedo on la fase la fueza de ontato está aeleando la aga ya que paa diho obseado ineial la aga está pemanentemente en el mismo luga. En la meánia lásia dos obseadoes ineiales están de auedo en si un uepo está aeleando o no. En elatiidad geneal la aeleaión también puede se elatia y puede habe unos obseadoes ineiales que la peiban y otos obseadoes ineiales que no lo hagan; omo es este aso. Po tanto el obseado en aída libe debe onsidea que la aeleaión que peibe es no-

64 64 loal y en ealidad la fueza de ontato no es la ausa de esta aeleaión. El obseado en aída libe debe distingui ente se mide po y depende de. Puede medi la fueza de ontato po la ley F=ma, peo la aeleaión a no está ausada po la fueza F en este aso. De la misma foma el desplazamiento de la fueza de ontato sobe la aga que peibe el obseado en aída libe no supone una tansfeenia eal de enegía a la aga. Esto es análogo al esultado no-simétio del aso del ajón aeleado en que la adiaión impliaía una fuente de enegía inobseable, peo en este aso la fuente también es inexistente y po tanto no debeía habe emisión de adiaión. Conluimos po tanto que una aga aeleada solo emite adiaión si su aeleaión poede de una aión loal exlusia, es dei, de una fueza apliada a la aga. En onseuenia, la gaedad no puede onsidease omo una fueza po su falta de loalidad. Reodemos que el teoema de Poynting, que inluye el témino de adiaión eletomagnétia, se plantea paa un sistema de agas afetadas po fuezas elétias y magnétias. Estas fuezas, mediadas po el ampo eletomagnétio, tienen un punto de apliaión loal sobe las patíulas agadas. Imagine el leto una aga puntual q de pueba on masa m aeleada en el ampo gaitatoio eado po una masa M puntual muy gande y en eposo. La masa M ontiene también una aga elétia Q que ejeeé una fueza elétia sobe la aga. Paa un obseado en aída libe la inteaión gaitatoia se y este obseado solo es apaz de obsea la aeleaión poduida po la fueza elétia sobe la aga. Po tanto este obseado solamente puede medi la adiaión emitida debido al efeto del ampo eletomagnétio sobe la aga. Paa que este esultado sea oheente, la adiaión obseada po un obseado gaitatoio en eposo debe esta asoiada a la difeenia ente la aeleaión total de la aga y la aeleaión po efeto de la gaedad. Matemátiamente esto signifia que la aeleaión apaz de podui adiaión oesponde a la deiada oaiante de la eloidad de la aga. Signifiado físio de la adiaión de una aga aeleada La adiaión de una aga aeleada se puede intepeta omo asoiada a un meanismo de tansfeenia de infomaión que ajusta el estado del ampo popio de la aga on el estado inemátio de diha aga. La adiaión de una aga aeleada onllea el eajuste de las líneas de ampo popio en funión del estado inemátio de la aga en un tiempo etadado; debido a que las alteaiones del ampo en el aío se popagan a la eloidad de la luz. La adiaión está po tanto asoiada a un poeso básiamente infomatio. Esta elaión infomatia ente la aga y su ampo se e laamente en el límite de la eloidad de la luz: no podemos aelea la aga po enima de la eloidad de la luz. Si esto fuese posible y el ampo siguiese las leyes de Maxwell, entones la aga y su ampo eoluionaían de foma independiente. El teoema de Gauss podía iolase: el ampo en la supefiie de una esfea que englobase la aga móil podía mantenese sin ambios a pesa de que, un instante mas tade, la aga ya estuiese fuea de diha esfea; dado que las modifiaiones del ampo se popagaían a la eloidad de la luz. No paee pobable que se puedan mantene las leyes de Maxwell y agas aeleadas po enima de la eloidad de la luz; de

65 65 heho estas euaiones epesentan peisamente una elaión ausal ente el ampo y sus fuentes. Podemos e en la existenia del límite de la eloidad de la luz una señal de dependenia intínsea ente el ampo y sus fuentes. Po tanto solamente existe adiaión en la medida que suponga una tansfeenia de infomaión ente la patíula y su ampo. No paee oeto intodui una limitaión físia a la posibilidad de que un obseado pueda aede a la misma infomaión que ualquie oto obseado en un expeimento deteminado. Po tanto en el aso de una aga aeleada si hay un obseado que no es apaz de deteta emisión de adiaión, entones ningún obseado puede haelo. Esto no quiee dei que la infomaión sobe el estado inemátio de la patíula se pieda; puede habe asos en que esta infomaión sea onoida de antemano. Veamos un ilo físio ompleto de aída de una aga hasta que queda en eposo en el suelo y uele a ae: -Caga en aída libe. Paa el obseado ineial en aída libe se tata de una aga sin aeleaión y po tanto no hay emisión de adiaión. Po tanto el obseado gaitatoio tampoo deteta adiaión, ya que no puede onsegui mas infomaión que el obseado en aída libe. Esto puede expliase también pensando que tanto la aga omo su ampo aen simultáneamente on la misma aeleaión en el ampo gaitatoio. -Impato de la aga on el suelo. En el instante de hoque podemos pensa que el ampo popio de la aga sigue ayendo al no esta infomado simultáneamente del estado dinámio de la aga. La adiaión está asoiada al tanspote de infomaión que intenta eonstui el ampo popio de auedo al estado de moimiento de la aga. La fuente de enegía de la que se extae la adiaión es la popia enegía inétia de la aga. 3-La aga pemanee en eposo paa el obseado gaitatoio. En este aso no podemos loaliza una fuente que justifique la emisión de adiaión y paee lao también que el ampo de la aga es estaionaio; po tanto no debeíamos espea emisión de adiaión. Sin embago, siendo la aída libe el estado ineial en el que hay que da menos expliaiones podemos peguntanos omo sabe el ampo que su aga ya no está en aída libe. Esto indue a pensa en un meanismo de omuniaión que no suponga adiaión. Una posibilidad es que la aga posea algún momento magnétio intínseo o induido po impato que genee un eto de Poynting ligado a la aga, tal omo el aso de una aga moiéndose a eloidad onstante en un sistema de oodenadas ineial. El eto de Poynting en este aso desibe un flujo de enegía alededo de la aga que no esapa del ampo popio de diha aga. En sopote de esta idea se puede dei que son onoidos asos de magnetizaión po impato, omo el aso de un lao golpeado po un matillo. También es pobable que, al menos en pate, el magnetismo luna poeda de impatos de meteoitos. El iento sola está fomado po patíulas agadas a altas eloidades que, al no tene la luna una atmósfea, impatan dietamente en su supefiie. Según nuesto agumento,

66 66 esto podía se una fuente del magnetismo luna. Oto aso puede se la magneti apet o alfomba magnétia en la supefiie del sol 7. 4-La aga uele a ae desde su estado de eposo. Pemítanme un pequeño odeo antes de aboda este punto. El aso del péndulo Emitiía adiaión una aga osilando en un péndulo lásio? El análisis infinitesimal lásio de este moimiento intodue dos omponentes que ombinan etoialmente: La omponente gaitatoia y la omponente de la tensión de la ueda del péndulo. Un obseado en aída libe que instantáneamente oinida on la aga y on su misma eloidad eá el moimiento de esta ompensado en uanto al efeto gaitatoio y solo peibiá el moimiento ausado po la tensión de la ueda. Paa este obseado la aión sobe la aga es loal y oinide on la tensión de la ueda. La aga debe infoma a su ampo de esta aión loal y po tanto debeía emitise adiaión. Esta adiaión es a osta de la enegía inétia de la aga, po lo que al agotase esta fuente de enegía el péndulo dejaá de adia. Además notamos que la aión de la tensión de la ueda sobe la aga no supone tansfeenia de enegía. Esto es análogo a una aga que se muee en un ampo magnétio afetada po la fueza de Loentz y emitiendo adiaión a expensas de su enegía inétia, lo ual es un heho expeimentable denominado adiaión sinotón. Retomemos el punto 4 anteio: Qué pasaía si, estando el péndulo en eposo, se ota la ueda?. Paee eidente que un punto del ampo elatiamente alejado de la aga no puede eaiona simultáneamente al ambio inemátio loal expeimentado po la aga. En el mismo instante en que se ota la ueda una aga de pueba elatiamente alejada sigue expeimentando la misma fueza duante un ieto tiempo oespondiente al etado de popagaión de la infomaión. Po tanto paa que una aga en eposo alane el estado de aída libe debe pasa un peiodo tansitoio, a lo lago del ual zonas ada ez mas gandes del ampo se an ajustando al estado de aída libe de la patíula. Es posible que a este tansitoio haya asoiada ieta antidad de adiaión. Debido a que las distintas pates del ampo no aen al mismo tiempo las líneas de ampo apaeeán flexionadas de foma simila a omo apaee en la figua. Según el pinipio de equialenia esta onfiguaión de líneas no debe supone emisión de adiaión y en las poximidades de la aga, supuesta puntual, paa un obseado gaitatoio las líneas son iguales que las de una aga on la eloidad instantánea de aída oespondiente. 7 e seión de bibliogafía sobe sol/oona sola

67 67 Pinipio de Equialenia, métia de Shwazshild y tansfeenia de enegía. Según se ha expuesto en la seión dediada a la métia de Shwazshild en el apítulo 7, el obseado gaitatoio se supone equialente a un onjunto de obseadoes ineiales en aída libe que en instantes suesios están en eposo elatio on diho obseado gaitatoio. Debido a esto y a que ualquie obseado en aída libe se puede onsidea loalmente ineial hemos podido utiliza allí las tansfomaiones de espaio-tiempo de la elatiidad espeial. Po tanto la apoximaión tomada desde el punto de ista inemátio es de pime oden y atañe a la eloidad elatia de los obseadoes. En el segundo oden inemátio (aeleaiones), ualquie obseado ineial en aída libe mediía una aeleaión paa los objetos que estén en eposo espeto al obseado gaitatoio, y po tanto sin aeleaión paa este obseado gaitatoio. Po tanto en el º oden inemátio el obseado gaitatoio no puede onsidease instantáneamente ineial; y es en este oden en el que hay que onsidea el fenómeno de adiaión de una aga aeleada. Veamos omo peibe el obseado en aída libe la fueza de ontato ente la aga y el asaielos, según el ejemplo que hemos planteado antes. Paa el obseado en aída libe la posible adiaión emitida po la aga debeía poede del desplazamiento de esta fueza de ontato, ya que la gaedad queda anulada instantáneamente desde su punto de ista. Vemos en el dibujo que, en un instante, la fueza de ontato que sufe la aga, epesentada omo un íulo, es igual y opuesta a la fueza que la aga ejee sobe el asaielos: aión y eaión. Paa el obseado en aída libe, en un instante, la enegía tansfeida po la fueza que atúa sobe la aga es igual y de signo opuesto a la enegía tansfeida po la fueza que atúa sobe el asaielos. Esto es así po que dihas fuezas son iguales y opuestas y el desplazamiento es el mismo paa las dos, juzgado po el obseado en aída libe. Si diidimos el asaielos en segmentos ideales, omo en el dibujo, el obseado iá onstatando que hay un flujo de enegía desde los segmentos mas bajos del asaielos hasta los mas altos. Imagine que el asaielos se polonga debajo de la supefiie teeste hasta llega a las antípodas. Podemos polonga la aída del obseado po medio de un túnel que ataiese la tiea. Diho obseado podá segui onstatando este flujo de enegía sobe los segmentos oespondientes y puede intepeta que el aso es simila al de una lanza; espeando enontase al final la mano o moto que genea la enegía inétia que impulsa la punta de la lanza, equialente a la aga. Peo he aquí que al sali po las antípodas no e nada paeido a lo que espeaba enonta. No hay una fuente de enegía que impulse la aga del oto extemo. Po ota pate, es eidente según la elatiidad geneal que la ausa de la aeleaión elatia ente la aga y el obseado en aída libe no es la fueza de ontato sobe la aga, sino la distinta estutua métia del espaio-tiempo paa los obseadoes afetados. En el apítulo -Notas adiionales se popone una foma de álulo de la emisión de adiaión paa el aso del péndulo.

68 68 mas peguntas Según Isaa Asimo el momento en que nos aeamos al onoimiento no es uando exlamamos Eueka!, sino uando pensamos que extaño es esto. -Se ha utilizado la idea de tanspote de infomaión ente la aga y su ampo popio. Peo esta tansmisión de infomaión: Es unidieional de la aga al ampo o también es posible en la dieión ontaía, del ampo a la aga? Qué efeto tiene sobe la aga el tanspote de infomaión desde el ampo? Un efeto aeleatio, una modifiaión del momento magnétio, ambas osas? -Un obseado en aída libe desde el infinito haia el ento de un agujeo nego aompaña a una aga también en aída libe. Ataiesan el límite del agujeo nego y la aga hoa onta la singulaidad ental: el supuesto punto que aumula toda la mateia. Cómo infoma la aga a su ampo de este sueso? Se supone que no es posible tansmiti infomaión desde el inteio del agujeo nego al exteio; entones paa un obseado gaitatoio en eposo en el exteio del agujeo nego El ampo elétio sigue ayendo haia el agujeo nego, y po tanto disminuyendo en intensidad, etenamente? 8. Qué sentido tiene entones un agujeo nego agado? Lo mismo se puede plantea paa el ampo gaitatoio de una masa que ae al agujeo nego. 8 Esta uestión puede esta elaionada on el poblema de la pédida de infomaión en un agujeo nego.

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70 70 9-LA CORONA SOLAR, UN INDICIO CUÁNTICO EN LA GRAVEDAD? Las hipótesis físias atuales sobe el funionamiento de la oona sola no aaban de se onluyentes de aa a justifia aias aateístias de esta egión de la atmósfea sola: en patiula su eleada tempeatua espeto de otas apas adyaentes. La pesente seión pesenta una nuea hipótesis sobe la físia de la Coona Sola. Se pueden distingui una seie de apas ontiguas en la atmósfea sola: -Fotosfea: Se onsidea en ontato on la supefiie del sol. Toda la enegía emitida po el sol poede de la Fotosfea. La tempeatua osila ente K. Su espeso es de unos 500Km y el límite supeio se toma omo la altua en que la tempeatua llega a un mínimo entono a 4000K. A pati de aquí la tempeatua empieza a aumenta -Comosfea: Se extiende sobe la Fotosfea hasta 3000 Km apoximadamente sobe la supefiie. En esta apa se egistan emisiones en el espeto infaojo y isible, lo ual pemite distinguila mediante obseaión on filtos óptios adeuados. La tempeatua de esta apa es supeio a la de la Fotosfea y osila ente K. Aaba en lo que se onoe omo zona de tansiión, una egión de poos kilómetos de anhua en que la tempeatua ambia adialmente hasta llega a los millones de Kelin. 3-Coona: Se extiende algunos millones de Km. sobe la Comosfea. La tempeatua de esta apa es del oden de millones de Kelin. Podemos e en esta desipión un ompotamiento muy difeente a lo que abe espea; y es que, a medida que nos alejamos de la fuente emisoa o Fotosfea, la tempeatua no disminuye, sino que aumenta pogesiamente. Desde un punto de ista temodinámio podemos pensa que se está poduiendo una tansfeenia de alo desde un foo a tempeatua baja a oto on muha mayo tempeatua; lo ual supondía una eduión de entopía notable y difíil de justifia. Podemos pensa altenatiamente en la existenia de algún meanismo de tansfeenia de enegía que no sea de tipo aloífio en iniio, peo que al llega a la omosfea, y en espeial a la oona, sea disipada en foma de alo. Se han popuesto aias posibilidades paa este meanismo. Las mas eleantes paeen se estas: A-Teoía de alentamiento po ondas. Se supone la existenia de ondas magnetoaústias y ondas de Alfén que tanspotaían enegía desde la Comosfea a la Coona. El punto débil de este meanismo es que no es apaz de tanspota la enegía sufiiente a la oona debido a la baja pesión de la Comosfea y a la eflexión en la fontea Comosfea-Coona. Las feuenias de estas ondas se suponen entono a 00 milihetzios.

71 7 B-Teoía de eonexión magnétia. Se basa en la apaidad del ampo magnétio sola, uyo oigen no es totalmente onoido, paa eonetase o olapsa súbitamente, libeando la enegía aumulada en foma de alo,oiente induida y ondas. Hipótesis Se ha pesentado anteiomente la idea de que las ondas uántias deben esta sometidas a un fenómeno de olapso. El oigen de este olapso seía la inapaidad de modula una onda uántia. La expesión que detemina este olapso seía esta ET h signifiando que si una onda uántia inteambia una antidad de enegía ΔE, entones olapsaá en un tiempo ΔT, de modo que el poduto de ambos aloes se apoxima a la onstante de Plank. También hemos isto fenómeno de ed-shift gaitatoio. La onda poedente de un osilado emitiendo en la supefiie del Sol es peibida paa un obseado en el infinito desplazada al ojo en el espeto de feuenias. Esto se puede intepeta omo una tansfeenia de enegía ente el ampo gaitatoio y la onda eletomagnétia. Podemos supone que a toda onda eletomagnétia se asoia una onda uántia, de modo que las dos ideas anteioes induen a pensa que la modifiaión de enegía de la onda eletomagnétia debida a la gaedad está limitada po un fenómeno de olapso uántio. Podemos hae un álulo simple utilizando el potenial gaitatoio paa el Sol h h GM( s ) E GM ; ; D s T s s ET h GMD D 3 s 3 s 0 D donde se ha intoduido la masa equialente del fotón, el adio del sol s 7x0 5 Km y la altua de olapso D. Despejando D y haiendo númeos se llega a s D Note el leto que toda feuenia tiene asoiada una altua de olapso paa ualquie altua de emisión posible ( s ), no solo la supefiie del sol. Las feuenias y las altuas de olapso oespondientes esultan se 5

72 7 Feuenia Espeto Altua de Colapso: D Región 00 EHz Rayos Gamma ~0 metos Fotosfea 000 PHz Rayos X ~300 metos Fotosfea 350 THz Visible ~ Km Fotosfea THz Infaojo Lejano ~300 Km Fotosfea 34GHz Resonania H O ~500 Km Fotosfea/Comosfea 83 GHz Fondo-Mioondas/ ~800 Km Comosfea Resonaia H O GHz Resonania H O ~500 Km Comosfea/Coona GHz Mioondas/Radio ~0.000 Km Coona MHz Radio ~ Km Coona KHz Radio ~ Km Óbita teeste Hz Baja Feuenia ~ Km Heliopausa Los datos disponibles señalan un ambio en la tempeatua y densidad atmosféia en la zona Fotosfea/Comosfea: hasta unos 500Km sobe la supefiie sola la tempeatua atmosféia disminuye on la altua, peo a pati de aquí la tempeatua aumenta y la densidad disminuye on la altua; y en la zona Comosfea/Coona el aumento de tempeatua es adial. Al ataesa la omosfea se pasa de una tempeatua de 4000K en la pate infeio hasta llega a los millones de kelin al llega a la Coona. Vemos que paa la Coona las feuenias están en el espeto de adio; po tanto pueden genea, antes del olapso, oientes de induión en el mateial de la oona agado elétiamente. El olapso supone un ambio de estado de la onda eletomagnétia, peo es difíil imagina en que se tansfoma; aunque en todo aso debe onsease la enegía. Podemos imagina el olapso de foma análoga al aso de un iuito elétio indutio que se desoneta súbitamente de la fuente. Se podue un ambio buso del flujo magnétio que, si no hay posibilidad de aumulalo, genea un hispazo; fenómenos omo el iento sola, las llamaadas solaes (sola flaes) Líneas de ampo magnétio ataesando la Coona Sola. Imagen tomada en el espeto de ayos X. pueden se los oespondientes. Este planteamiento supone que las ondas de adio no olapsan antes po impato de sus fotones on patíulas o mateial atmosféio. Es dei, se supone que desde la Fotosfea hasta la Coona la atmósfea es sufiientemente tanspaente a las ondas de adio. La existenia de ieta apaidad de aumulaión de enegía en el sol es deseable de aa a explia los ilos de

73 73 atiidad sola. De esta foma, según nuesta hipótesis, no toda la enegía adiada desde la fotosfea se aleja pogesiamente del sol, sino que una faión es aumulada onstantemente y esta aumulaión está elaionada on el fenómeno de olapso de la adiaión eletomagnétia. Esta enegía puede alimenta el eimiento de las manhas solaes y el ampo magnétio sola (global y sun magneti apet ); hasta llega al máximo sola en que la apaidad de aumulaión es sobepasada y apaeen las tomentas solaes (CME). En el máximo sola se podue un fuete eajuste o eonexión del ampo magnétio sola que genea un exedente de enegía en foma de tomenta sola, iento sola y otas manifestaiones que pueden afeta al sistema de teleomuniaiones e inluso al lima en la tiea. Según la tabla anteio, si suponemos que no es mea oinidenia; podemos pensa que hay alguna atiidad elatia a la moléula de agua en la Comosfea. Paee que hay ieta eidenia espetosópia sobe la existenia de agua (apo) en la atmósfea sola []. Se han detetado líneas de absoión oespondientes a esonanias de la moléula de agua en la adiaión poedente de algunas manhas solaes; de modo que existe algo omo un efeto inenadeo sola asoiado a la moléula de agua que pooa una aumulaión de enegía a expensas de la adiaión emitida desde la fotosfea. También se ha detetado en la omosfea omponentes fíos ( K) del gupo moleula abonilo, hasta 900Km de altua [3]. El apo de agua puede sopota tempeatuas eanas a 4.000K. Las espíulas son flujos de gas que sube y bajan ente la fotosfea y la omosfea; son patiulamente intensos en pesenia de manhas solaes y pueden esta elaionados on este tema. Colapso uántio-gaitatoio. Vemos en la tabla que la distania de olapso disminuye a medida que la feuenia aumenta. Es posible que la distania de olapso sea igual o meno que la longitud de onda? Paa esponde esto imaginemos que, en el ontexto del sistema de oodenadas de Shwazshild, se emite un fotón en la dieión adial desde una oodenada del ampo y olapsa en +λ, donde λ es la longitud de onda del fotón en el infinito. Intoduiendo la masa equialente del fotón podemos pone λ = h/m. Podemos imagina que el fotón se emite en el tiempo oodenado 9 t=0, de modo que al llega al punto de olapso el tiempo que maa un eloj loal (ΔT) seá a T t donde a=gm/ es el adio de Shwazshild. La modifiaión de enegía del fotón en el intealo seá 9 Este tiempo es el indiado po los elojes L en la seión: Intoduión elemental a la métia de Shwazshild

74 74 a a m E además podemos alula la modifiaión de tiempo oodenado (tiempo L) apliando la métia de Shwazshild paa este aso a d t a d a dt 0 En estas ondiiones la ondiión de olapso ΔE ΔT=h se esibe así a a d a a Veamos a ontinuaión dos apoximaiones a esta fómula: -Apoximaión on >> λ=h/m; lo que oesponde on ampos gaitatoios en el dominio maosópio omo puede se el sol y la luz que emite. En este aso podemos onsidea λ d, omo un difeenial de la oodenada adial, on lo que tenemos a a a a apoximando la pate izquieda de la igualdad anteio po medio de la deiada de la funión oespondiente y despeiando λ en la pate deeha tenemos a a a a a a a a a a 0 3 / Po tanto en la apoximaión de ampo gaitatoio maosópio, paa que el olapso se poduza en menos de una longitud de onda, la emisión del fotón se tiene que podui pátiamente en el límite del agujeo nego, lo ual es una situaión físiamente extema en el mundo maosópio. Po ota pate un fotón poedente del infinito, en ondiiones maosópias nomales, olapsaá po efeto gaitatoio al eoe una distania adial que debe se supeio a su

75 75 longitud de onda. En esta apoximaión podemos onsidea que, exeptuando las poximidades de un agujeo nego, la gaedad no es apaz de pooa el olapso de un fotón en una distania infeio a su longitud de onda, y po tanto en un tiempo infeio a su peiodo. - Apoximaión on a < << λ. Este aso puede oesponde a ampos gaitatoios miosópios, omo seía el aso del eletón en elaión a la luz isible. En este aso hay que hae una integaión en la métia ente y +λ paa alula el intealo de tiempo oodenado dx a ln( ) a / x a y dento de esta apoximaión podemos despeia el logaitmo nepeiano ya que el témino dominante es λ y esibi la ondiión de olapso así a / a / 4 4 a a 3 a / 3 Note el leto que este esultado está ligeamente po debajo del adio de la última óbita iula posible (=3/a) alededo de la masa ental en el espaio métio de Shwazshild[]. El eletón omo agujeo nego: gaedad, fotones ituales y tiempo en el dominio inemátio uántio. La apoximaión que se ha seguido en este último aso es esta GM h m G 3 40 ( m h) M M 0 paa el aso del eletón es M 0-30 Kg y po tanto el ango de feuenias oespondiente es << 0 70 Hz, lo ual abaa pátiamente todo el espeto eletomagnétio onoido. Desde luego estos esultados no signifian que el eletón sea un agujeo nego; sin embago si onsideamos al eletón omo un agujeo nego, entones los fotones emitidos en la ásaa esféia ente =a y =4/3a olapsan en una distania meno que su longitud de onda. Esto puede intepetase omo un fotón itual que, de algún modo, no llega a fomase ompletamente en el dominio inemátio lásio. Si suponemos que el efeto del olapso es una tansfeenia del dominio inemátio uántio al lásio, en este aso no había nada que tansfei al dominio lásio. Esto no signifia que el fotón itual se pieda. En el dominio inemátio uántio se puede intepeta el olapso omo el hoque del fotón itual onta un espejo tempoal, es dei, el fotón itual se muee haia atás en el tiempo uántio y etona al entono póximo del

76 76 eletón. Al dei etona quieo dei que la patíula itual uele a olapsa en las eanías del eletón y se uele a efleja en el tiempo del dominio inemátio uántio, y así peiódiamente. El ebote del espejo es neesaio ya que si el fotón itual ontinuase su amino umpliía ΔE *ΔT > h; ondiión popia del dominio inemátio lásio. Este planteamiento implia que en el dominio inemátio uántio hay que tata a ada patíula on su popio tiempo 0 [9] independiente del esto; ya que la inesión tempoal de una patíula itual no tiene po que afeta al esto. Vemos po tanto la existenia de un ontexto apopiado paa la geneaión de patíulas ituales. Po oto lado, un fotón eal exteno en umbo de olisión onta el eletón olapsaá po efeto gaitatoio antes de llega al límite del agujeo nego; lo que es una ondiión neesaia paa la existenia del efeto Compton ya que tiene que habe alguna posibilidad que eite la entada del fotón en el agujeo nego. El efeto del olapso en las poximidades del eletón puede supone la inteaión del fotón on una patíula itual; que puede esta situada en un magen de distania espeto del agujeo nego del oden de la longitud de onda Compton del eletón. Esto epesenta una inteaión on el aío: en el dominio inemátio uántio. De esta foma el fotón e modifiada su enegíaimpulso y el eletón también al eabsobe la patíula itual. El esultado neto seá la dispesión de fotones po efeto Compton. Si, según se expone en el Apéndie I, la gaedad tal omo la onoemos solamente tiene sentido en el dominio inemátio lásio, ya que solo en este dominio tienen sentido los oneptos de espaio-simultáneo y tiempo-loal; entones no es posible habla de osas tales omo el ampo gaitatoio que puede ea una patíula itual en el dominio inemátio uántio. De este modo no existen osas omo agujeos negos ituales y pueden dase patíulas ituales de masa elatiamente eleada sin que haya poblemas on la gaedad. En mi opinión el poblema de la unifiaión ente gaedad y meánia uántia onsiste en desibi el tansito de un sistema físio ente dominios inemátios; onsideo en este ontexto la fomulaión de la meánia uántia en base al onepto de integal de aminos. El efeto de la gaedad sobe esta fomulaión seía estingi los aminos posibles a aquellos que no impliquen un olapso uántio-gaitatoio. Mi punto de ista on espeto a la eduión del estado uántio (olapso) es que se tata ealmente de un poeso objetio, y que es siempe un fenómeno gaitatoio. Página 44 del libo de Roge Penose: El amino a la ealidad. Una guía ompleta a las leyes del unieso. Ed. Debate, Baelona Igo Saaeda: El tiempo en físia : El tiempo en las elaiones de inetidumbe es un tiempo que mide el itmo de eoluión del popio sistema, y que es aateístio de él.

77 77 Espaio, tiempo y entelazamiento en el dominio inemátio uántio. La oiente mayoitaia atual es onsidea que la gaedad puede se expliada desde la meánia uántia. Con nuesto planteamiento de dominios inemátios podemos i onta oiente y pensa que un pime paso es entende los oneptos de espaio y tiempo en el dominio inemátio uántio. Si los oneptos de espaio y tiempo tuieon que se edefinidos en la elatiidad tal ez sea neesaio un paso mas. Si el leto ha llegado hasta aquí no le impotaá i onta oiente una ez más. Cuando hemos hablado del olapso gaitatoio de una patíula itual hemos supuesto que no apaee ninguna patíula eal en el dominio inemátio lásio omo onseuenia de este olapso. Si onsideamos que el fenómeno es algo eal, tenemos que aepta que existe alguna manifestaión del fenómeno en el dominio lásio, posiblemente una fueza omo la que apaee en el efeto Casimi. Una azón paa esto es la neesidad de entende el papel que juega el tiempo en este poeso: hay que explia de alguna foma que es la inesión del tiempo. Podemos imagina el aso de la emisión de un fotón itual desde las eanías del eletón simila a la emisión de una onda esféia. Cuando esta onda sufe olapso gaitatoio onsideamos que esto debe deja alguna huella en el dominio lásio sufiiente omo paa que un eloj A de nuesto sistema de oodenadas, eano al sueso, pueda asoia el tiempo oespondiente. La inesión tempoal signifia que, en el instante de olapso, debemos ajusta oto eloj B en la misma loalizaión que el eloj A, que maque iniialmente lo mismo que diho eloj A peo que mahe al eés. Este eloj B está asoiado a la onda y maaá el tiempo de la onda en nuesto sistema de oodenadas a medida que esta se muee haia atás en el tiempo etonando a su foo. Esto lo podemos imagina omo la pelíula de una onda fomada po la aída de una gota en un estanque peo ista maha atás. Cuando la onda eflejada llega a las poximidades del eletón también olapsa, y omo hemos isto lo hae antes de enta en el agujeo nego. Po tanto podemos dispone de un eloj A póximo al sueso de olapso al que apliamos el mismo tatamiento que antes; peo esta ez la eflexión es en la misma dieión del tiempo asoiada al sistema de oodenadas, po lo que no neesitamos intodui un nueo eloj B sino solo asoia el eloj A on la onda. Asoia elojes a ondas implia pode distingui ondas en este ontexto. Las inesiones tempoales que hemos desito deben se ealmente hoques en el tiempo onta el ampo gaitatoio. En el dominio lásio, un hoque tal que un objeto no ambia su dieión de moimiento peo si su sentido supone que debe existi un instante en que la eloidad del objeto se anule. Peo esto no es posible en el dominio uántio pues aquí debe se V*W= y la eloidad no puede se nula paa ningún obseado. Vemos de esta foma la difeenia ente un hoque en el espaio y un hoque en el tiempo. Hemos hablado de un tiempo aateístio de ada objeto en el dominio inemátio uántio. Sin embago es posible que exista algún tipo de aoplo o entelazamiento uántio de ondas que implique ompati un mismo tiempo ente ellas. Un ompotamiento de entelazamiento queda en eidenia en el aso de los expeimentos EPR de Aspet y Zeillinge; en estos expeimentos también se

78 78 eidenia un ompotamiento no-loal en los sistemas uántios entelazados. Reuede el leto las onlusiones que imos en el apítulo 3 sobe la adiaión de una aga aeleada: el tiempo de la expesión ΔE *ΔT = h tiene aateístias no-loales según la elatiidad espeial. Las medidas de este fenómeno de entelazamiento aunan dos aateístias que impiden la tansfeenia de infomaión ente patíulas: indeteminaión en el esultado de la medida en una de las patíulas e ineitabilidad del esultado en la medida de la ota patíula. La poteión de un espaio popio es aateístia onoida de la mateia en el dominio inemátio lásio. El ompotamiento de hoque está de auedo on esto: el hoque se podue po que ada objeto potege un espaio popio no ompatible; mientas que el tiempo de un sistema de oodenadas es omún y ontinuo paa todos los objetos. Si seguimos la simetía, tenemos que en el dominio uántio el tiempo es popio paa ada objeto y el espaio es omún y ontinuo paa todos los objetos. Esta última aateístia oinide on el ompotamiento lásio de una onda: aias ondas pueden ompati un mismo espaio en un medio on ompotamiento sufiientemente lineal.sin embago esto puede se solo oinidenia, omo eemos mas adelante. En el dominio inemátio uántio no hay un ahoa, sino muhos. Pasado, pesente y el futuo no son oneptos omunes y ontinuos, sino piatios y disontinuos. La histoia de ada objeto puede afeta a su ompotamiento futuo en aso de olapso y po tanto onoe las posiiones e impulsos de los objetos en un instante dado no es sufiiente paa detemina su eoluión; el esultado de una medida lásia no nos podá infoma sobe la posiión e impulso de una patíula en el instante de la medida, sino sobe su eoluión históia desde un tiempo anteio al de la medida. En el dominio inemátio uántio hay un únio luga que es todo el espaio libe de olapso; en el ual los objetos se distibuyen de modo ontinuo. No tiene sentido distingui un luga de oto: todo punto del espaio no sometido a olapso es loal al objeto uántio (espaio-loal). En el dominio inemátio uántio no existe el moimiento de un punto a oto de la misma foma que en el dominio lásio no podemos iaja al futuo o al pasado. En el dominio inemátio uántio el espaio es una onstuión onenional heha a pati de la eloidad de la luz y el tiempo, de foma simila a omo hemos onstuido en el dominio lásio el tiempo a pati de espaio y la eloidad de la luz. Todo esto supone que los objetos uántios no son desibibles mediante ampos lásios. El onepto fundamental ahoa es el de distibuión y po tanto el ontexto matemátio apopiado paa las leyes físias en el dominio inemátio uántio son los espaios funionales de distibuiones, omo el espaio de Hilbet de la meánia uántia. La eoluión tempoal de las distibuiones equiee onsidea al tiempo omo una aiable peiódia popia de ada distibuión y limitada a extemos deteminados po ondiiones de olapso debidas a la obseaión, inteaión o gaedad. La inteaión básia en el dominio inemátio uántio es el hoque en el tiempo que solo puede se unidimensional y está asoiada a la poteión de un tiempo popio. La linealidad es un asgo esenial de la meánia uántia.

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80 80 0-SOBRE LA MASA DE PLANCK Y LA ESTABILIDAD DE LAS PARTÍCULAS. En la seión Dominio inemátio uántio y pinipio de Heisenbeg se popone la existenia de un límite supeio a la oeloidad en el dominio inemátio uántio. El objetio de esto es enonta una onexión ente el dominio inemátio uántio y el pinipio de inetidumbe de Heisenbeg. Sin embago paa ompleta el uado pesentado allí había que da alguna pueba sobe este límite supeio a la oeloidad. Las unidades de Plank se estableen a pati del análisis dimensional de las onstantes fundamentales: la onstante de Plank : h (ML T - ), la onstante de gaitaión G (M - L 3 T - ) y la eloidad de la luz en el aío: (LT - ). De esta foma se puede plantea la siguiente euaión dimensional M, L, T M L T M L T L T - donde el lado izquiedo oesponde a una unidad indiidual : Masa, Longitud o Tiempo. Paa ada uno de estos asos se obtiene un sistema de euaiones lineales ompatible on soluión no tiial que llea a la definiión, salo onstantes adimensionales, de la longitud, el tiempo y la masa de Plank. l p hg hg Kl ; t p Kt ; 3 5 m p K m h G Intepetaión físia de la masa de Plank Paa aplia un análisis de este tipo a nuesto aso hemos de tene en uenta que las unidades de Plank son uníoas, de modo que si busamos algo on las unidades de oeloidad W (TL - ) enontaemos omo espuesta el ineso de la eloidad de la luz W=/. Esto es oheente on la elaión WV= en el dominio inemátio uántio, peo supone un mínimo de la oeloidad oespondiente on el máximo de eloidad V =. Lo que busamos po tanto es una onstante asoiada a un mínimo de eloidad. Es azonable supone que el mínimo de eloidad es ealmente pequeño espeto de la eloidad de la luz y que no depende de la onstante. Peo si eliminamos la eloidad de la luz del análisis dimensional de Plank emos inmediatamente que no podemos dedui una expesión oheente paa la oeloidad. Si mantenemos la independenia espeto de la eloidad de la luz, entones tenemos que inlui en el sistema al menos ota onstante. Lo mas senillo es intodui una onstante on unidades de masa m (M). T L M L T M L T M A pati de la onstante adimensional de estutua fina se puede intodui también la aga de Plank q p : α=e / h4πε=(e/q p )

81 8 De este modo obtenemos la siguiente onstante on unidades de oeloidad h K Gm donde K es una onstante adimensional. Paee eidente que el alo m debe entendese omo la masa en eposo de una patíula, y no la masa equialente E/ que puede depende de la eloidad elatia al obseado. Vemos que la onstante admite aloes ealmente altos si la masa m es la de una patíula omo el eletón o el potón. Planteando los límites infeio y supeio de la oeloidad W tenemos h Gm W K ( K / ) Gm h m donde se ha tomado K = ½ on objeto de obtene un esultado fáilmente intepetable. Según este esultado, los límites en la oeloidad de una patíula on masa en eposo en el dominio inemátio uántio oesponden on la elaión ente la longitud de Compton de la patíula y el adio de un agujeo nego asoiado a la misma patíula. Paa que una patíula on masa en eposo pueda moese en el dominio inemátio uántio su longitud de onda Compton debe supea al adio del agujeo nego de Shwatzshild oespondiente. Reuede el leto que en la seión El eletón omo agujeo nego, se pesentó una imagen del eletón ompuesto de un agujeo nego y de una zona eana apopiada paa la emisión/eabsoión de patíulas ituales. La desigualdad anteio ente el adio de Shwatzshild y la longitud de onda Compton apaee también en la itada seión si onsideamos la existenia del aso límite en que la patíula itual emitida ontiene toda la enegía de la patíula. Vemos inmediatamente que al aumenta la masa disminuye el límite supeio de la oeloidad; de modo que hay un alo límite de la masa, que tomaemos omo masa de Plank, en que el magen paa la oeloidad de la patíula se anula h m P G En este ontexto, una patíula de masa en eposo supeio a la masa de Plank m P no puede moese en el dominio inemátio uántio, y po tanto solo le quedaía el dominio inemátio lásio aateizado po 0 < W < /. Esto no es apliable al aso de la luz en el aío, donde se admite omunmente una masa en eposo nula y una loalizaión inemátia en el límite ente el dominio lásio y el uántio; ya que paa la luz en el aío V= y W=/. Si onsideamos la dualidad onda-patíula, que podemos expesa po la elaión hω = m, omo un asgo esenial de la mateia; entones debemos eita exlui a ualquie patíula del dominio inemátio uántio. Si po el ontaio

82 8 onsideamos que no es un asgo esenial, entones puede habe patíulas exluidas del dominio inemátio uántio 3 paa las que la itada elaión deja de se ieta y suponemos que no tienen una feuenia (o longitud de onda) asoiada. Según nuesta línea agumental estas patíulas se pesentaían omo agujeos negos en el dominio inemátio lásio. En ambos asos debemos onsidea la existenia de un límite supeio absoluto de feuenia paa patíulas on masa en eposo no nula w w p 5 m p Gh t p (0.) Se ha tomado la feuenia w p (feuenia de Plank) igual a la del zittebewegung de una patíula de masa m p. Dado el aáte límite de este moimiento podemos intepeta este esultado así: No pueden existi poesos osilatoios loales peiódios que afeten a un objeto on ompotamiento uántio, masa en eposo distinta de eo y on un peiodo infeio al tiempo de Plank. La eloidad de la luz tansfoma este tiempo en la longitud de Plank l p que signifia un límite infeio de amplitud a la osilaión peiódia de un objeto on ompotamiento uántio y masa en eposo no nula. Pueden existi tiempos-loales y espaiossimultáneos menoes, peo deben efeise a objetos on masa en eposo nula o sin ompotamiento uántio. Reuede el leto que, dados dos obseadoes ineiales, la medida de la feuenia (enegía) y longitud de onda (impulso) de la luz depende del moimiento elatio ente ellos y po tanto existen obseadoes ineiales paa los que estas medidas pueden se tan gandes o pequeñas omo se quiea. Esta intepetaión seá etomada desde una pespetia difeente, tal ez mas laa, en el apatado Sobe el aoplo adiaión-patíula de las Notas Adiionales. La dualidad onda-patíula impone a la mateia algún tipo de poeso osilatoio simila al zittebewegung en un niel fundamental. En el apatado Sobe la euaión de Shödinge, antipatíulas, spin y zittebewegung del apítulo 4 se identifió el Spín de una patíula y el zittebewegung omo aspetos de un mismo poeso físio fundamental. Los álulos teóios sobe la densidad de enegía de punto eo o enegía del aío [5] dependen ítiamente de la existenia de una feuenia límite en que las flutuaiones de enegía de punto eo deaen. Se suele aepta que este límite es la feuenia de Plank. La altenatia en que la dualidad onda-patíula no sea un asgo esenial de la mateia nos llea a onsidea la existenia de agujeos negos de masa supeio a la masa de Plank en el dominio inemátio lásio, lo ual es una hipótesis muy extendida en astonomía[9]. La masa de Plank tiene un alo en el ango de objetos apeiables a simple ista omo motas de polo (~0-5 gamos). Paee que hasta ahoa no hay un efeente expeimental paa agujeos negos on masas de este oden. Si estos agujeos negos están afetados po la adiaión de Hawking, su 3 La mateia osua puede esta en este aso.

83 83 tempeatua T H seía altísima de modo que su duaión es efímea o desapaeieon hae tiempo T H 8 Gmk m en ambio, los agujeos negos astonómios suelen tene masas tales que la tempeatua de Hawking es muho meno que la tempeatua de la adiaión de fondo de mioondas; lo que difiulta la deteión de su adiaión Hawking. Finalmente, la intoduión de una onstante on dimensiones de masa supone intodui nueas esalas de espaio y tiempo. En patiula el leto puede ompoba la siguiente onstante on unidades de longitud h K Gm que paa el aso de la masa del potón tiene un alo, salo la onstante adimensional K, en el dominio de los límites del unieso obseable : millones de años luz. El unieso obseable es la distania espeto al sistema de oodenadas loal teeste de un supuesto fotón que fue emitido desde nuesto sistema de oodenadas loal en el instante t = 0 (Big Bang). Esta distania se puede apoxima teóiamente patiendo de la métia FLRW(Fiedman-Lemaîte- Robeson-Walke) y de la edad aeptada del unieso (3.700 millones de años), en el ontexto del modelo osmológio onsideado estánda atualmente. La distania esulta se supeio al poduto de la eloidad de la luz y la edad del unieso debido a la expansión métia del espaio (expansión del unieso) duante el tayeto del fotón. La elaión anteio apunta a una aiaión de las onstantes físias on el tiempo. La aiaión de G on el tiempo es un tema euente desde que lo intodujo Dia[8]. En ota línea, Zel doih utiliza el uadado de esta onstate omo apoximaión paa una onstante osmológia elaionada on el enegía del aío, desatando a pioi una aiaión de las onstantes on el tiempo. [7] El poblema de los agujeos negos agados En el apítulo sobe ampo gaitatoio y agas aeleadas ya se expuso el poblema de un obseado en aída libe desde el infinito haia el ento de un agujeo nego aompañado de una aga también en aída libe. Ataiesan el límite del agujeo nego y la aga hoa onta la singulaidad ental: el supuesto punto que aumula toda la mateia. Cómo infoma la aga a la pate de su ampo que está fuea del agujeo nego de este sueso? Se supone que no es posible tansmiti infomaión desde el inteio del agujeo nego al exteio. El ampo elétio en el exteio del agujeo sigue ayendo haia el agujeo nego etenamente?. Qué sentido tiene entones la aga en un agujeo nego? En las efeenias [9] el leto enontaá un esultado sobe agujeos negos onoido omo su falta de pelo. Esto quiee dei que la desipión físia de 3

84 84 ualquie agujeo nego solamente neesita de tes paámetos: su masa, su momento angula y su aga. Planteemos el aso en que un agujeo nego de masa supeio a la de Plank se onsidee agado. En pinipio podemos supone que un ampo elétio estátio exteno pooaía la aeleaión del agujeo nego. La hipótesis mas senilla seá supone toda la aga aumulada en el ento del agujeo nego, de modo que si es posible un expeimento en que se aeleaa un agujeo nego agado po efeto de un ampo elétio exteno estaíamos en ondiiones de obtene infomaión de la estutua intena de un agujeo nego. Si po el ontaio, suponemos que tal tansfeenia de infomaión sobe el inteio de un agujeo nego no es posible, entones no podemos sabe donde loaliza la aga elétia ni el alo del ampo elétio exteno efetio. Puede agumentase que se tata de un poblema de esala: a una esala en la que el tamaño del agujeo nego sea despeiable podemos onsidea el agujeo nego omo una aga puntual lásia y la fueza se apliaía a este punto. En oheenia on esta postua, en las poximidades de los agujeos negos la eletodinámia lásia no seía ya apliable y po tanto en este ontexto neesitamos una desipión no lásia del ampo eletomagnétio; independientemente del tamaño del agujeo nego. Peo hay algo que no uada on esta postua. En la esala lásia la aeleaión del agujeo nego puntual agado signifiaía una emisión de adiaión po aga aeleada; peo en el apitulo 4 onluimos que la emisión de adiaión implia una onmutaión ente el dominio lásio y el dominio uántio, lo ual no es posible en el aso de masas supeioes a la masa de Plank, según hemos isto. Po ota pate si hubiese adiaión po aga aeleada tendíamos que maneja la situaión en que un agujeo nego emite adiaión no témia, lo que ondue de nueo al poblema sobe tansfeenia de infomaión desde el inteio del agujeo. Desde luego este poblema se soluiona si estos objetos no existen o no son estables omo pedie Hawking. Sin embago los agujeos negos de masa sola po ejemplo, tienen asoiada una tempeatua muy baja y po tanto un deaimiento muy lento. En el apatado Colapso Cuántio-Gaitatoio se expuso la idea de que las patíulas elementales inluían un agujeo nego, y po tanto hablamos también de agujeos negos agados. Sin embago, según la meánia uántia, la inteaión eletomagnétia está mediada po patíulas ituales. En el apatado sobe el eletón omo agujeo nego imos que un áea de las dimensiones de la longitud de onda Compton alededo del agujeo nego es apopiada paa la inteaión on patíulas ituales y que existe un áea mas eana al agujeo nego paa su poduión y eabsoión. Al supea el límite de la masa de Plank estamos planteando un aso difeente en que el áea asoiada a la longitud de onda Compton está dento del agujeo nego. En este ontexto es omo dei que el agujeo no puede inteatua eletomagnétiamente y po tanto no puede tene aga u otas popiedades eletomagnétias 4. Esta postua exige algún meanismo que mantenga neuto un agujeo nego uando una patíula agada ae en él. Si po efeto de tal aída apaee un poeso de eaión de paes en el hoizonte de suesos, entones la patíula del pa on aga opuesta a la 4 Note el leto que la mateia osua se denomina así po no eaiona a las ondas eletomagnétias ni po absoión ni po eflexión, al menos de foma apeiable paa obseadoes teestes.

85 85 entante debe también se absobida. En analogía on adiaión Hawking, esto apunta a un poeso ealimentado que mantendía la emisión de patíulas en los límites del agujeo nego. Es posible que una dinámia paeida se dé en el aso del eletón. Ya que la mateia odinaia que onoemos se ompone de patíulas agadas; la situaión aquí desita supone un poblema en uanto a la foma de eimiento de los agujeos negos una ez que ya han sido eados; paee se que tas explosiones supenoa al final de la ida de estellas masias. Sin embago existe la posibilidad de que el eimiento de los agujeos negos sea a base de mateia osua; que según los datos astonómios disponibles apota el 7% del total de mateia en el unieso obseable, fente al 5% de mateia odinaia y 68% de enegía osua. Ota posibilidad de eimiento es la unión de agujeos negos.

86 86 -NOTAS ADICIONALES Y EPILOGO Sobe el aoplo adiaión-patíula En el apítulo 3 sobe la meánia de una aga aeleada que emite adiaión apaeió el poblema del aoplo adiaión-patíula. Paa tata de entende este aoplo omo una fueza se hizo el supuesto de que la eloidad del punto agado y de la patíula oinide. Dado que imos que, en geneal, diho aoplo no se ajusta a la aión de una fueza; entones podemos supone que existe una disoiaión ente los moimientos de la patíula y del punto agado. De este modo la eloidad de la patíula y la eloidad del punto agado deben se difeentes si ha de existi el itado aoplo adiaión-patíula. Este aoplo es un estado de ompatibilidad popio del dominio inemátio uántio, mientas que en el dominio inemátio lásio adiaión y patíulas apaeen desaoplados. La idea de distingui el moimiento de la patíula y el de la aga apaee también en [6]. En esta misma efeenia se asoia la feuenia de zittebewegung al moimiento iula del punto agado alededo de la patíula. Podemos aplia estas ideas a la intepetaión de la fómula (0.), de modo que la feuenia de Plank seía la máxima feuenia de gio posible del punto agado alededo de la patíula. Esto supone que no puede habe patíulas agadas on ompotamiento uántio y masa supeio a la masa de Plank. De esta foma emos que la aga elétia apaee esenialmente ligada al ompotamiento uántio. La distinión ente moimiento del punto agado y moimiento de la patíula, que inluye la masa, pemite pensa en situaiones en que estos moimientos adquiean algún gado de desfase o desaoplo, de modo que el poeso de emisión de adiaión se ea afetado po esto y puedan se posibles situaiones en que lásiamente se espeaía adiaión peo en ealidad no se podue. Sobe el espaio y el tiempo en el dominio inemátio uántio En la seión Espaio y tiempo en el dominio inemátio uántio se die que el espaio en el dominio inemátio uántio debe onsidease un onepto onenional. Como tal es oneniente adapta el onepto de espaio a las leyes físias, en patiula a la euaión de Shödinge. Las distibuiones φ(x,y,z) soluión de diha euaión epesentan ealmente el espaio de la patíula oespondiente, on zonas pemitidas y zonas pohibidas; en geneal zonas mas o menos pobables de apaiión de la patíula. Este espaio está aoplado a la enegía de la patíula, po tanto aoplado a su feuenia según la ley de Plank E=hω y po tanto aoplado al tiempo popio de la patíula. La pegunta paadójia sobe po que endija pasa el eletón en el expeimento de la doble endija india que el onepto del espaio lásio no es apliable en este aso. El expeimentado y los apaatos de medida pueden onsidease en el espaio del dominio inemátio lásio, peo el eletón que ataiesa las endijas puede esta en el dominio inemátio uántio. De este modo paa explia el fenómeno había que utiliza un onepto de espaio (y tiempo) adaptado al

87 87 dominio inemátio uántio y no, omo habitualmente se hae, al onepto de espaio-tiempo en el dominio inemátio lásio. El moimiento en el tiempo solo tiene sentido en el aso de objetos uya existenia tiene un aáte neesaio, omo las patíulas elementales. Este moimiento se ealiza siempe sin tansfeenia de infomaión y supone que habá intealos de tiempo oespondientes a diho moimiento en que la patíula no seá detetable. Sobe la Comosfea Sola En el apítulo 9 se pesentan dos esultados expeimentales: la deteión de apo de agua en las eanías de manhas solaes y la deteión de gupos abonilo en la omosfea fomando una omponente fía en diha omosfea.la tempeatua de esta omponente fía es ompatible on la existenia de apo de agua ( K). Existe también un fenómeno que puede esta elaionado: las espíulas. Estas espíulas, que emos en la imagen en olo poesado, son flujos de gas que suben y bajan ente la fotosfea y la omosfea. Son patiulamente intensas en pesenia de manhas solaes o zonas de fuete ampo magnétio. Esto indue a pensa que las espíulas tanspotan ieta antidad de enegía desde la fotosfea (en espeial desde las manhas solaes) que es desagada en la omosfea; y que la moléula de agua es un agente en este tanspote de enegía. Sobe la el aso del péndulo agado que osila en un ampo gaitatoio P T φ Como se dijo, el obseado en aída libe que instantáneamente oinide on la eloidad de la masa agada del péndulo peibe el moimiento de diha masa ompensada en uanto al efeto de la gaedad. Si suponemos esto álido hasta análisis inemátio de º oden, tenemos que paa diho obseado la aeleaión de la masa agada se debe al efeto de la ueda. La tensión de la ueda se puede alula, po un obseado gaitatoio fijo a tiea omo T m( g os( )) en la dieión de la ueda; donde el ángulo es el que foman