2. Propagación en fluidos. Fuentes sonoras

Transcripción

1 . Popagaión en fluidos. Fuentes sonoas. Ondas planas y esféias Sabemos que el sonido se popaga en foma de ondas. El álulo de los paámetos de una onda en oneto suele se muy difíil ya que influyen muhos fatoes: las aateístias del fluido y la foma y la igidez de la supefiie que limita el fluido. Peo podemos esolve el poblema paa unos asos simplifiados, que son una buena apoximaión paa muhos asos eales... Euaión de onda Simplifiamos la situaión on ietas suposiiones, planteamos euaiones de las leyes físias elativas a la pesión y movimiento de los fluidos, esolviendo el sistema de euaiones llegamos a la euaión difeenial que ha de umpli la pesión p, es la euaión de onda en 3D, también llegamos a una expesión de donde obtene la veloidad u. La soluión de la euaión difeenial depende de las ondiiones de ontono. Los asos más fáiles de esolvela son el de ondas planas, uando la onda se popaga sólo en un eje de oodenadas atesianas, y el de ondas esféias, que sólo se popagan en el eje adial de oodenadas esféias. Suponiendo: - dv inluye muhas moléulas, peo muho meno que la longitud de onda aústia más ota, '6 m. - g no afeta > p y P Kte( (La vaiaiones de pesión on la altua solo tienen efeto apeiable on difeenias de altua muy gandes, muho mayoes que la longitud de onda aústia más laga, 6 m. - fluido homogéneo, isotópio, pefetamente elástio/poeso asi adiabátio - no hay disipaión --> visosidad ni onduión de alo - amplitud pequeña --> P/P << Temodinámia, euaión de estado paa gas pefeto: PV nrt --> P T P Pesión instantánea en ualquie punto V Volumen n nº de moles R Constante univesal de los gases 8'35 J/(mol.ºK T Tempeatua en gados Kelvin Densidad instantánea en ualquie punto M/V M Masa Constante patiula del gas R/M Poeso asi adiabátio : inteambio insignifiante de alo ente las patíulas del fluido entopía asi onstante. Euaión de estado adiabátio paa un gas pefeto : P o Pesión de equilibio onstante en el fluido P Pesión instantánea en ualquie punto P P γ

2 ( u x x dv dv o Densidad de equilibio onstante del fluido Densidad instantánea en ualquie punto γ Razón de aloes espeífios (a pesión ó volumen kte. C P /C V Euaión de ontinuidad: "Lo que enta sale ó se queda dento". in out dento u x dz dy dx u (u x dx x Flujo de masa en dieión x atavés de un volumen dieenial dv fijo u x Veloidad de patíula en la dieión x x Teniendo en uenta las 3 oodenadas x, y, z : u veloidad de patíula ( u ª ley de Newton: f ma Suponiendo que no hay pédidas po visosidad y que la amplitúd aústia es pequeña euaión de fueza no visosa: u p Euaión de onda en 3D, tidimensional: p Sobepesión ó pesión aústia en ualquie punto p p La veloidad del sonido depende de la tempeatua P γp γt K C T 73' 5 Potenial de veloidad u v Φ Φ Potenial de veloidad No hay flujo otaional no hay apas de fontea, ondas otantes, o tubulenia.

3 .. Soluión de la euaión de onda paa el aso de ondas planas 3D --> D x p p p(t -x p(t -x p(x,t p (t-xp (tx Es dei, ualquie distibuión de la pesión umple la euaión de onda, on tal de que sea funión de (t-x ó de (tx, ó suma de funiones de ese tipo. Y lo únio a lo que esta expesión ondiiona es a que la foma de la distibuión de la pesión en el espaio se mantiene a lo lago del tiempo peo en distinta posiión. Esa foma de onda avanza a veloidad (t -x (t -x --> ( t -t x -x x x (t -t x Expesión de p y de u paa el aso patiula (de utilidad geneal ya que ualquie foma de onda se puede eonstui po sus omponentes de Fouie de ondas amónias. j( ωt kx j( ωt kx p A e B e definiendo k ω / númeo de ondas A ( B ( u v j ωt kx j ωt kx e e x v Desomposiión de Fouie, ombinaión de exponeniales omplejas. Tubo de Kundt, paa medi ondas estaionaias, y así la veloidad del sonido. Es un tubo ilíndio de vidio on aenilla dento. En un extemo un pistón se hae viba on un tono puo. Si la feuenia se ajusta a la longitud del tubo la onda eflejada sumada a la inidente se ombina dando ondas estaionaias (AB, y la aena se aumula en los nodos de pesión nula...3 Soluión de la euaión de onda paa el aso de ondas esféias Fuente esféia --> Simetía adial --> usamos oodenadas esféias --> deivadas angulaes nulas. Expesión de la Laplaiana (on solo deivadas paiales espeto a. p p p Cambio de vaiable (p --> la misma foma que la euaión de onda plana. Soluión geneal p(,t f (t-f (t ( p ( p

4 p / f(t- Conueda on que la misma enegía (I popoional a p se distibuye en un áea eiente uadátiamente on Intensidad aústia de una onda sonoa es la apidez pomedio de flujo de enegía a tavés de un áea unitaia nomal a u Geneal onda plana onda esféia Euaión de p p p p p onda p x Potenial de Φ veloidad p Φ o p Φ p jω o jω o p Pesión j( t kx p ω Ae A j( t k p ω e Veloidad u v Φ A ( u v j ωt kx e j A x ( ˆ u v j t k e ω ˆ o k o Impedania p z ±o aústia z ok z ( k j u ( k espeífia Intensidad I i pudt P t t I PU os θ P I Densidad de enegía p ε i o u o PU ε o PU ε k >>

5 ..4 Impedania aústia espeífia Es la elaión ente pesión aústia en un medio y la veloidad de p patíula asoiada. z u La unidad MKS es Pa s/m y también ay en hono de John William Stutt, Baon Rayleigh. Depende del medio y del tipo de onda. Paa ondas planas z ±o que es la impedania aateístia del medio, peo en geneal z es ompleja. En onda plana pesión y veloidad de patíula están en fase. ok En onda esféia están desfasadas, z ( k j k ( on un desfase que depende de k (π/λ, uantas longitudes aben en una iunfeenia de adio. Compaamos la omponente esistiva (eal y la eativa (imaginaia on un tiángulo k >> Lejos del ento, la eatania es muy pequeña, la impedania es omo en una onda plana z o (k k k < Cea del ento pedomina la eatania. La intensidad PU osθ aústia tansmitida I es sólo una faión de PU. Puesto que osθ k es pequeño hae falta que PU sea gande paa que haya una onda de ieta intensidad. Esto es un poblema uando queemos genea sonido de baja feuenia on fuentes pequeñas. La fuente debe hae muho esfuezo paa genea una pesión que no da luga ondas. Y a donde va ese esfuezo/enegía? Se almaena en la eatania y se devuelve en el siguiente semiilo. Cuando p(t y u(t tienen el mismo signo la fuente ede enegía, y uando tienen signo ontaio la eupea. A mayo eatania mayo tiempo de p(t y u(t on signo ontaio. Peo donde se almaena esa enegía? (no hay bobinas ni ondensadoes ni es un iuito elétio. A la vez que el gas se mueve adialmente debe expandise iunfeenialmente paa llena toda la supefiie de una esfea más gande, po lo que queda desompimido. Al ontaese nuevamente la esfea el aie desompimido olaboa en ese esfuezo po volve a la pesión nomal. Y en sentido ontaio, uando la esfea se ompime adialmente también queda menos supefiie y po tanto se ompime el aie, que tendeá a volve a su pesión oiginal olaboando en eespandi la esfea. Las vaiaiones de pesión adial se popagan dando luga a la onda esféia, peo las vaiaiones tangeniales no se popagan, son la eatania. Este efeto es más ausado donde el adio es pequeño, ya que la vaiaión elativa de supefiie es gande paa un mismo desplazamiento adial. A un altavoz pequeño le uesta muho emiti sonidos gaves os θ John William Stutt, 3d Baon Rayleigh k j

6 ..5 Radiaión de ondas aústias Radiaión po una esfea pulsante La esfea pulsante es la fuente más simple (matemátiamente paa genea ondas aústias. Po simetía se ve que genea ondas esféias, y si es en el espaio libe A j( ωt k no hay eflexiones, solo onda de salida. p(, t e Si la supefiie de la esfea viba on veloidad u(a,t U e jωt y si ka << <> π a << λ (la esfea es pequeña espeto a λ a j ωt k p, t j U kae entones --> ( ( Paa una misma U uanto más pequeña es la esfea muho más pequeña es la pesión, p a Pode de fuente, Q El pode de una fuente de foma abitaia, vibando a una sola feuenia, mide la apidez on que desplaza un volumen de fluido jωt Q e u v nds ˆ S En esfea pulsante Q4πa U o Fuente simple Sus dimensiones son muho menoes que λ Las fuentes simples on igual pode de fuente adian exatamente la misma enegía y on la misma distibuión espaial. Es dei, da igual que sea una fuente esféia o on ota foma, si es pequeña genea ondas esféias, y basta el dato Q paa india su intensidad. Q 4πa U 4π λ Esfea pulsante Fato de P a k U ka eipoidad de ampo libe En ualquie fuente simple: j( ωt k Pesión instantánea p( t j e Pesión pio Intensidad aústia Enegía total P Qk 4π Qk Q 4π λ, Q I 8 λ π Q Π λ

7 Pinipio de eipoidad aústia Si se inteambian las posiiones de una pequeña fuente y un pequeño eepto la señal eibida seá la misma [Dem. Th. Geen ] p u p u nds ˆ Sup. fuentes ( En una fuente simple (pequeña en ompaaión on λ la pesión oiginada po la ota fuente es la misma en todos los puntos de la supefiie (si están sepaadas. > u nds ˆ Sup A unds ˆ > Q /p ( Q /p ( p. p Sup. B Rayos En muhos asos es ómodo pensa que el sonido se popaga en foma de ayos (líneas pependiulaes a los fentes de onda. Aunque esa desipión no es la exata que define la euaión de onda, en ietos asos es una buena apoximaión. Fuente simple sobe fontea plana ígida (pantalla aústia La paed es ígida u v nˆ Reflexión ompleta p i p > p t p i Qk π j( ωt k La pesión es doble que sin pantalla p( t j e, P Q La intensidad 4 vees mayo I o λ La potenia total se alula integando la intensidad sobe toda la supefiie, un Q hemisfeio... Π π doble que sin pantalla. Poque el mismo pode de λ fuente, la misma veloidad, atúa sobe un ampo de pesión doble (le estamos pidiendo más enegía al altavoz, ó se quema ó seguamente daá menos veloidad. Radiaión dipola Doblete aústio ó dipolo, dos fuentes simples eanas emitiendo la misma onda en ontafase. Es un aso simple en que no hay simetía esféia, la fuente no es omnidieional, y paa defini la dieionalidad definimos algunos paámetos. Fato dieional H(θ,φ Es el témino de la expesión de la pesión que depende del ángulo. Se nomaliza paa que tenga omo máximo H H dipolo senθ Patón de emisión Vaiaión del nivel de intensidad on el ángulo b(θ,φ log[i(,θ,φ/i ax (] logh(θ,φ Amplitud de emisión Amplitúd angula en que el patón de emisión está po enima de ieto nivel. Hay que india ual, ya que se usan vaios: H '5, '5, ' <> b -> -3 db, -6 db, - db Nivel de Fuente Nivel de "Pesión Axial" a meto.

8 No neesaiamente la que hay ealmente sino la extapolada de la uva lejana. Dietividad Mide la apaidad de diigi/onenta el sonido en una dieión deteminada. Es el inveso del pomedio de H Indie de Dietividad ID logd 4 π D sen θdω 4π

9 . El doblete aústio y aays Doblete aústio ó dipolo, dos fuentes simples eanas emitiendo la misma onda en ontafase. Un altavoz abieto se puede modela de esa foma (omo pimea apoximaión. [Se alula p omo suma de la p de las dos fuentes, se simplifia al estudia solo el ampo lejano tayetoias paalelas-, y también al supone que las fuentes están ea ente si]. Fato dieional H(θ,ϕ sen θ... 4π 4 Aiketa: Dietividad de un doblete aústio? D ' 7 sen θdω π ID logd 38 Amplitud de emisión a 3, 6 y db --> 3º, 5º, 68º 4π Aay lineal de N fuentes Tenemos N fuentes sepaadas unifomemente, que emiten el mismo sonido, en fase. [Se alula p omo suma de la p de las N fuentes, se simplifia al estudia solo el ampo lejano tayetoias paalelas-]. La emisión es máxima en algunos ángulos y nula en otos (ángulos que depende de la feuenia. H( θ Retasando, desfasando las fuentes podemos vaia la dieionalidad. Si etasamos justo lo que tada la onda en llega a la siguiente fuente tenemos un Aay de dispao en el extemo 4 7 θ 3 Teoema del poduto En ampo lejano los ayos son pátiamente paalelos, y po ello: Un aay de fuentes dieionales ombina las dieionalidades. El fato dieional del onjunto es el poduto del fato dieional del aay, H a, po el de la fuente p, θ, φ P H θ, φ H θ dieional, H e. ( ( (.3 El pistón en pantalla infinita ax e Es un pistón plano iula vibando unifomemente y oloado al as on una pantalla plana infinita (paa aisla la pesión geneada po el eveso del pistón. Es el tipo de situaión que se da en el extemo de un tubo de ógano, y también en un altavoz onvenional. Estudiamos el ampo de pesión geneado uando la supefiie del pistón se mueve on veloidad U e jωt Cada punto del pistón se puede onsidea una fuente simple de pode de fuente dq U ds En ualquie fuente simple la pesión instantánea es (ve..5 : Qk j( ωt k p(, t j e y si está sobe pantalla infinita el doble. 4π a

10 Sumando la ontibuión de todos los puntos del pistón: j( ωt k' ( 9 k e 6 p, θ, t j ds.8 π S ' Intepetaión Bessel Pesión axial. H( θ H( θ θ 7 θ.4 Absoión sonoa (.4 Al plantea la euaión de onda supusimos que no había disipaión. Peo hay -> pédidas en el medio. - pédidas visosas (ozamiento ente moléulas - pédidas po onduión de alo (en la uva P-V el amino de ida y el de vuelta son distintos, el áea eneada son las pédidas. - pédidas po inteambios moleulaes de enegía, vibaión, otaión, asoiaión y disoiaión de iones (más impotantes en líquidos -> pédidas en las fonteas Se agupan todas en tono al tiempo de elajaión τ --> αω τ/ Se suele gafia α/f aumenta on la feuenia. Paa ondas planas en un medio on atenuaión unifome PP e -αx e j(ωt-kx P e jωt e -(αjkx La amplitud pio de la pesión deae exponenialmente on la distania α nepes/meto <-- oefiiente de absoión a db/m <-- valo de pédida (la pédida de intensidad Añaden atenuaión las inhomogeneidades, niebla en el aie (evapoondensaión y bubujas en agua (ompesión desompesión dispesión (olas, pees, estelas de baos. Absoión aústia en fluidos Gases. - Np/m Agón 87 Helio 54 Oxígeno 9 Nitógeno 64 Aie (seo 37, α/f pio en 4 Hz Dióxido de abono 4, α/f n 3 khz Líquidos. -5 Np.s /m Glieina 3 Meuio 5 Aetona 3 Agua 5 Agua de ma α/f pio en khz y 36 khz