TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS: Inversión.

Transcripción

1 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. TRNSFRMCINES GEMÉTRICS: Invesión. INVERSIÓN siguientes leyes: La invesión es una tansfomaión que se ige po las M' ' 1. Dos puntos invesos y están alineados on un punto (ento de invesión), si ada uno de los puntos hom ó- logos que onstituyen un pa, y, y, están en un mismo (o a distinto) lado de la invesión se denom i- na positiva o negativa uando están a distinto lado. + M - ' ' 2. En todo pa de puntos invesos se veifia que el poduto de sus distanias al ento es onstante = = K. (K se llama onstante de invesión). 3. Dos paes de puntos invesos que no estén alineados son CNCICLI- CS, es dei peteneen a una iunfeenia. - ' ' ' ELEMENTS DLES DE UN INVERSIÓN ' 1. Las etas que pasan po, seán etas invesas peo no de puntos dobles (los puntos invesos de las etas se enuentan en la misma eta aunque no son ellos mismos). 2. Las iunfeenias de autoinvesión, son las iunfeenias de ento y adio SK. (En esta iunfeenia uando la potenia es positiva la misma es de puntos dobles, los puntos son invesos de si mismos ). J uando la potenia es negativa no es de puntos dobles. + k T=T' Ciunfeenia de puntos dobles 3. Todas las iunfeenias pasan po un pa de puntos invesos. La potenia de invesión CINCIDE siempe on la potenia del ento de invesión espeto de una iunfeenia C=C' D=D' + =' =' + k T =T' ' ' T - k=t ' ' T' Ciunfeenia de puntos dobles de puntos dobles. Ciunfeenia invesas de si mismas 1

2 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. TRZDS GRÁFICS DE PUNTS INVERSS Dados el ento de invesión,, dos puntos,, homólogos y oto punto,, halla su inveso. Dados el ento de invesión,, dos puntos,,, homólogos y oto punto, uando está alineado on. Puesto que la potenia de invesión, K, implia que: K = =, tazando una iunfeenia ualquiea po y una eta seante a ella que pase po, se veifiaá : = M M deteminando, luego, la iunfeenia que pasa po MM, esultaá en su inteseión on la eta, el punto, homólogo de, efetivamente: M' M = M M y M M = luego = = k. + ' ' Es dei,, umple la ondiión impuesta po la potenia de invesión dada, este poedimiento, es válido paa toda invesión, positiva o negativa. INVERSIÓN DE UN RECT QUE N PS PR EL CENTR DE La figua invesa de una eta que no pasa po es una iunfeenia que pasa po y que tiene el ento en la eta pependiula a tazada desde. Sean un ento de invesión positiva o negativa y una eta, sobe la ual un punto, situado en la pependiula po, tiene po inveso al punto. ' ' Todo punto de y su inveso, deben umpli: =. Paa ello debe petenee al segmento, y además, a la pependiula po a diho segmento. + ' + ' En efeto los tiángulos etángulos que se foman son semejantes (poseen iguales los ángulos en ) y, po tanto, popoionales, veifiándose, ' = = ' = ' ' - ' ' - ' ' Peo el heho de que el ángulo en deba se eto, implia que todo punto (inveso de oto sobe ) debe petenee a la iunfeenia de diámeto. 2

3 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. INVERSIÓN DE UN CIRCUNFERENCI QUE PS PR EL CENTR La figua invesa de una iunfeenia que pasa po es una eta que no pasa po y es pependiula a la eta definida po el ento y el ento de la iunfeenia dada. Éste es el eípoo del teoema anteio. INVERSIÓN DE UN CIRCUNFERENCI QUE N PS PR EL CENTR DE L TRNS- FRMCIÓN En toda homoteia (de azón positiva o negativa) ente dos iunfeenias 1 y 2, si se pem u- tan los puntos que peteneen a una de ellas y a un mismo ayo de homoteia se tiene: = ; ' = ' = ' ' K Luego : Dos iunfeenias son invesas on ento de invesión oinidentes on los de + ' ' hom oteia. 1 2 La potenia de una iunfeenia 1 que no pasa po el ento de invesión es ota iunfeen- T' T'' ia nomotétia on ella espeto del mismo ento y on azón de homoteia k K H =, Pt o T'' siendo K la potenia de invesión ' T' ' 3

4 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS Realiza la invesión del semiíulo dado onoiendo el ento de la tansfomaión,, y un pa de puntos invesos, y. ' ' La eta es doble poque el ento está sobe ella. La figua invesa de una iunfeenia que pasa po el ento de invesión () es ota eta que no pasa po el ento de invesión y pependiula al diámeto, po se invesa de debeá pasa también po. En este segundo ejeiio la figua invesa de la eta que pasa po es una iunfeenia que pasa po y y uyo ento esta en la eta pependiula a que pas a po. La figua invesa de iunfeenia que pasa po es una eta que no pasa po omo la invesa de es la eta debeá pasa po y se pe- ' D M ' pendiula al diámeto D. Paa sabe el la zona invesa de la pate ayada ogeemos puntos ente y y la semiiunfeenia D, la invesa es y la semiiunfe- D' enia D. En este ejeiio la potenia de invesión es negati- va. Como el ento está en el peímeto del dado el esultado seá una foma infinita. La invesa del segmento es la semiiunfeenia que pasa po, ; C. La figua invesa de la semii- ' ' unfeenia son dos semietas. 4

5 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS Halla la figua invesa de una eta que no pasa po ni. ' Halla la figua invesa de una eta que pasa po sin se pependiula a. ' Halla la figua invesa de una eta que pasando po es pependiula al. ' 5

6 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS Halla la figua invesa de una iunfeenia que pasa po y y tiene ento fuea de. ' Halla la figua invesa de una iunfeenia que no pasa po, ni, ni. ' Halla la figua invesa de una iunfeenia tangente a en el punto. ' 6

7 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS La figua invesa de una iunfeenia que pasa po y, teniendo su ento fuea de. ' En la invesión definida po y sus invesos y, halla la invesa de. ' ' Halla la figua invesa del tiángulo C, siendo el ento de invesión y la azón L x L. C L L' 7

8 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS Halla la figua invesa de una eta que no pasa po ni. ' Halla la figua invesa de una eta que pasa po sin s e pependiula a. ' ' Halla la figua invesa de una eta que pasando po es pependiula al. ' 8

9 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS Halla la figua invesa de una iunfeenia que pasa po y y tiene ento fuea de. ' que no pasa po, ni, ni. Halla la figua invesa de una iunfeenia k T 1 ' T 2 Halla la figua invesa de una iunfeenia tangente a en el punto. ' 9

10 PRFESR: FRNCISC MNUEL GLÁN SN JSÉ. EJERCICIS La figua invesa de una iunfeenia que pasa po y, teniendo su ento fuea de. k T 1 ' T 2 En la invesión definida po y sus invesos y, halla la invesa de. ' ' M' M Halla la figua invesa del tiángulo C, siendo el ento de invesión y la azón L x L. N' N C P K S L M M' L' P' 10