10. Teoremas de Thales y Pitágoras

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1 140 SOLUCIONRIO 10. Teoems de Tles y itágos 5. Dibuj un eágono y todos sus ángulos. Cuánto sumn ente todos ellos? 1. LUGRES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS IENS Y CLCUL Cuánto mide d uno de los ino ángulos entles de un pentágono egul? : S (n ) 180 S (6 ) Cuánto mide d uno de los ángulos de un eptágono egul? CRNÉ CLCULIST Desoll: ( + 4)( 4) 16 Ftoiz: (3 + 1) 4 LIC L TEORÍ 1. Define iunfeeni omo un lug geométio. Un iunfeeni es el lug geométio de los puntos del plno que equidistn o están igul distni de un punto fijo llmdo ento.. Dibuj un ángulo de 0 y su suplementio. Cuánto vle? Vle Dibuj dos ets sentes y los ángulos que fomn, di uáles son igules y uáles suplementios t S (n ) 180 S (7 ) Cd uno de los siete ángulos mide 900 : TEOREM DE THLES IENS Y CLCUL Dien que itágos p medi l ltu de l piámide Keops oloó un plo de un meto, en el ento de un iunfeeni de dio 1 m y espeó st que l somb midiese etmente 1 m, en ese instnte l somb de l piámide medi 147 m. Cuánto mide de lto l piámide? L piámide de Keops mide 147 m poque en ese momento l ltu es igul l longitud de l somb. CRNÉ CLCULIST 3 5 Resuelve l euión: 1 6 5/ U 3 U y U 4 U Cd uno de los impes es suplementio de d uno de los pes. 4. Dibuj dos ángulos de ldos plelos y que sen suplementios. O α 180 α O LIC L TEORÍ 7. Clul l ltu de un molino eólio, sbiendo que su somb mide 5 m y que en ese mismo instnte un objeto de 1,5 m poyet un somb de 1, m Se pli el teoem de Tles. Somb del objeto ltu del objeto Somb del molino ltu del molino 1, 5 1,5 5 31,5 m 1,5 1,

2 SOLUCIONRIO Dibuj en tu udeno tes segmentos de medids 5 m, 4 m y 3 m. Divide el pime segmento en ptes popoionles los otos dos. b b b 9. o qué los tiángulos equiláteos son siempe semejntes? oque tienen los ángulos siempe igules y d uno de ellos mide 180 : Dibuj en tu udeno un segmento de 4 m y divídelo en 5 ptes igules. LIC L TEORÍ 13. Hll l ipotenus de un tiángulo etángulo en el que los tetos miden 1,5 m y 14,7 m 14,7 m b + 1,5 + 14,7 37,34 37,34 19,30 m 14. En un tiángulo etángulo se onoe un teto, que mide 6,45 m, y l ipotenus, que mide 9,55 m. Hll uánto mide el oto teto. b 1,5 m 9,55 m 11. Dibuj en tu udeno un tiángulo equiláteo de 1,5 m de ldo. Dibuj oto semejnte de zón de semejnz dos. O 1. S está en un foto on su pde Ismel; en l foto S mide 3 m e Ismel 3,5 m. Si en l elidd Ismel mide 1,75 m, uánto mide S? Ls pesons y l foto son figus semejntes. 3, m 1,50 m 3,5 3. TEOREM DE ITÁGORS IENS Y CLCUL Clul tes númeos enteos positivos menoes que 6 de fom que el uddo del myo se igul l sum de los uddos de los otos dos. 3, 4 y CRNÉ CLCULIST Resuelve l euión: + 1 7, C 5 C b + 6,45 + 9,55 49,6 49,6 7,04 m 15. Hll un ten pitgói en l que el númeo myo es 13 5, 1 y 13, pues , Los ldos de un tiángulo miden 4 m, 5 m y 6 m. Qué lse de tiángulo es? Como 6 < El tiángulo es utángulo. 17. Hll l ltu de un ono en el que el dio de l bse mide,7 m y l genetiz, 3,5 m R + H G,7 + H 3,5 H 4,96 H 4,96,3 m b 6,45 m H R,7 m G 3,5 m

3 14 SOLUCIONRIO 18. Hll el peímeto de un ombo uys digonles miden 8 m y 6 m 1. Clul mentlmente el áe de un ombo uys digonles miden 8 m y 10 m b 4 m 3 m D 10 m d 8 m Áe: D d Ä m b Äm eímeto del ombo m 19. qué ltu se lleg on un esle de 5 m olondo l bse m de l ped? b m b + 1 +,5 5,5,5,9 4. ÁRE DE FIGURS LNS 5 m IENS Y CLCUL Hll mentlmente ls áes de un uddo de 7 m de ldo y de un etángulo de 9 m de lgo y 5 m de lto. Áe del uddo: 49 m Áe del etángulo: 45 m CRNÉ CLCULIST 5 y 17 3, y y 5 LIC L TEORÍ 0. Clul el áe de un tiángulo uyos ldos miden 7 m, 8 m y 13 m 8 7. Clul mentlmente el áe de un omboide en el que l bse mide 1 m y l ltu tiene 5 m Áe: b m 5 m b 1 m 3. Clul el áe de un tpeio en el que ls bses miden 5,4 m y 3,5 m y l ltu tiene 4,6 m b 3,5 m 4,6 m 5,4 m 4. Clul el áe de un eágono egul de ldo 6 m Áe: + 5,4 + 3,6 46, 0,47Ä m 3 m plindo el teoem de itágos se ll l potem ,Ä m Áe: 6 6 5, : 93,6 m 5. Clul l longitud de un iunfeeni uyo dio mide 5 m 6 m 6 m Se pli l fómul de Heón: eímeto 8 m p 14 Áe: p( p )( p b)( p ) ,5Äm R 5 m Longitud: L πr L π 5 31,40 m

4 SOLUCIONRIO Clul el áe de un íulo uyo dio mide 3,7 m 31. Dibuj un ángulo de 50 y ll su bisetiz. R 3,7 m Áe: πr π 3,7 43,01 m s 7. Clul l longitud de un o de 4,6 m de dio y uy mplitud es de O 3. Dibuj un ángulo de 50 y su suplementio. Cuánto vle? R 4,6 m Longitud: πr L n 360 Ä π 4,6 L 10 9,63Äm 8. Clul el áe de un seto iul de 3,5 m de dio y uy mplitud es de 76,5 76,5 R 3,5 m Áe: πr n π 3,5 76, 5 368,68Ä m Vle: Dibuj tes ets plels otds po un sente e indi uáles de los ángulos que se fomn son igules. s t 1X1 U 3U 4U 6U 5U 7U 8U 1X0 9U 1X U u 9. Clul el áe de un oon iul uyos dios miden: R 6,7 m y 5,5 m R 6,7 m 5,5 m Áe: π (R ) π (6,7 5,5 ) 45,99 m 1 U 3 U 5 U 7 U 9 U 11 X y U 4 U 6 U 8 U 10 X 1 X 34. Dibuj dos ángulos de ldos pependiules y que sen suplementios. O α β α O EJERCICIOS Y ROLEMS 1. LUGRES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS 30. Dibuj un segmento de 3 m y ll su meditiz. 35. Dibuj un etángulo y todos sus ángulos. Cuánto sumn ente todos ellos? Q L digonl divide l etángulo en dos tiángulos. Sum de ángulos 180

5 144 SOLUCIONRIO 36. Cuánto mide d uno de los ángulos de un otógono egul? 40. Dibuj en tu udeno un eágono egul de 1,5 m de ldo. Dibuj oto semejnte de zón de semejnz 0,5 y ento el ento del eágono. F F F E C D C S (n ) 180 S (8 ) Cd uno de los oo ángulos mide : TEOREM DE THLES 37. Clul l ltu de ls toes de Héules en Los ios (Cádiz), sbiendo que su somb mide 4 m y que en ese mismo instnte un peson de 1,74 m poyet un somb de 58 m 0,58 4 1, m 1,74 0, o qué los uddos son siempe semejntes? oque tienen sus ldos y ángulos igules; d uno de los ángulos es eto y mide TEOREM DE ITÁGORS E 4. Hll l ipotenus de un tiángulo etángulo en el que los tetos miden 10,8 m y 14,4 m D 38. Dibuj en tu udeno un segmento de 5 m y divídelo en 3 ptes igules. d 14,4 m b 10,8 m b b d 39. En un tiángulo equiláteo de ldo 5 m, tzmos un et plel l bse y 1 m de l bse. Hll l ltu de mbos tiángulos. b + 10,8 + 14, m 43. En un tiángulo etángulo se onoe un teto, que mide 5,5 m, y l ipotenus, que mide 7,85 m. Hll uánto mide el oto teto. 7,85 m H 5 m C b 5,5 m 1 m b,5 m 5 m C b + 5,5 + 7,85 34,06 34,06 5,84 m En el tiángulo C podemos ll el teto H : b + H,5 + H 5 H 18,75 H 18,75 4,33 m H 1 4,33 1 3,33 m 44. Hll tods ls tens pitgóis en ls que los tes númeos sen menoes o igules que 10 3, 4 y , 8 y

6 8 m SOLUCIONRIO Hll l potem de un eágono egul en el que el ldo mide 1 m 1 m 50. Clul mentlmente el áe de un etángulo que mide l mitd de lto que de lgo y uy ltu es de 5 m ,39 m 46. Clul l ltu de un tpeio isóseles en el que ls bses miden 9 m, 7 m, y los ldos obliuos, 6 m 7 m 1 m 6 m b 10 m Áe: b m 51. Clul el áe de un tpeio etángulo uys bses miden 7,5 m y 6,4 m, y el ldo pependiul ls bses mide 5,3 m b 6,4 m 5 m 6 m 6 m 5,3 m plimos el teoem de itágos l tiángulo etángulo de l dee: ,9 m 7 m 1 m 9 m 1 m 47. Hll l potem de l siguiente piámide udngul: 7,5 m Áe: + b 7,5 + 6,4 Ä 5,3 36,84 m 5. Clul el áe de un íulo uyo dio mide 7,3 m 8 m R 7,3 m Áe: πr π 7,3 164, m ,54m 4. ÁRE DE FIGURS LNS 48. Clul mentlmente el áe de un tiángulo uy bse mide 7 m y uy ltu es de 5 m Áe: b 7 m 6 m 5 m b m 17,5 m 49. Clul mentlmente el áe de un uddo uyo ldo mide 0,6 m R MLIR 53. Dibuj un segmento de 5 m y ll su meditiz. Q 54. Dibuj un ángulo de 60 y ll su bisetiz. s Áe: l 0,6 0,36 m l 0,6 m O

7 146 SOLUCIONRIO 55. Cuánto miden d uno de los otos tes ángulos de un ombo en el que uno de sus ángulos mide 60º? 60 8 m 8 m b 5 m,5 m El ángulo opuesto mide lo mismo, 60 Los otos dos ángulos son suplementios l de 60 y tmbién son igules. Mide d uno: Dibuj un et y un punto que no esté en di et. Tz l et plel que ps po el punto s 57. Dibuj en tu udeno un segmento de 3 m y divídelo en 5 ptes igules., ,75 57,75 7,60 m b 5,4 7,6 0,5 m 61. En l siguiente mp, el ldo oizontl mide 13 m, y l ltu, 3 m. Cuánto mide l mp? 3 m Se pli el teoem de itágos: d d d ,34 m d 13 m 6. Clul el áe de un tpeio isóseles en el que ls bses miden 10 m y 4 m, y los otos dos ldos tienen 5 m d uno. 4 m 58. Clul l longitud de un sp del molino, sbiendo que su somb mide 5 m y que en ese mismo instnte un peson de 1,80 m poyet un somb de,5 m,5 5 1,80 5 3,60 m 1,80,5 59. De los siguientes tiángulos di uál es utángulo, etángulo y obliuángulo: ) 6 m, b 8 m, 10 m b) m, b 3 m, 4 m ) 5 m, b 6 m, 7 m ) , , omo son igules es etángulo. b) , 4 16, omo es myo es obtusángulo. ) , 7 49, omo es meno es utángulo. 60. Clul el áe de un tiángulo isóseles en el que los ldos igules miden 8 m, y el desigul 5 m 5 m 5 m 3 m 3 m 10 m Hy que pli el teoem de itágos p lul l ltu: m + b Clul el áe del siguiente pentágono: 8Ä m 4 1,60 m 5,33Ä Ä 1,6 Ä 9,3Ä m l,33 m

8 Ä Ä SOLUCIONRIO Clul l longitud de un o uyo dio mide 5,4 m y uy mplitud es de Cuánto mide d uno de los ángulos de un deágono egul? 95 R 5,4 m πr L n 360 L π 5,4 95 8,95Ä m 65. Clul el áe del segmento iul oloedo de zul en l siguiente figu: R 5 m S (n ) 180 S (10 ) Cd uno de los 10 ángulos mide : Dibuj tes puntos no linedos y, utilizndo ls popieddes de los luges geométios, tz l iunfeeni que ps po ellos. El ento es un punto que equidist de los etemos y es el iunento del tiángulo fomdo po los tes puntos. Áe: segmento seto tiángulo πr b segmento n π ,13Ä m 66. Clul el áe de un tpeio iul de dios R 8,4 m y 6,5 m, y de mplitud, 43 Ciunento 43 R 8,4 m 6,5 m 70. Dibuj un iunfeeni y tz l et tngente di iunfeeni po uno de sus puntos. Utiliz l popiedd de que l et tngente es pependiul l dio que une el punto on el ento. Áe: π( R ) n π( 8,4 6,5 ) Ä 43 10,6Ä m ROLEMS 67. Dibuj un et y un punto eteio di et. Tz l et pependiul que ps po el punto t s 71. Clul l ltu de l Gild de Sevill, sbiendo que su somb mide 49,5 m y que en ese mismo instnte un objeto de 4 m poyet un somb de m 49,5 49,5 4 98,5 m 4

9 Ä 148 SOLUCIONRIO 7. Hll l ltu de un piámide egonl en l que l ist de l bse mide 3,6 m, y l ist ltel, 5,6 m 5 m H 4 m 3,6 m 5,6 m + 1, 5 + 1,44 5 3,56 3,56 4,85 m b 1, m H + 3,6 5,6 H + 1,96 31,36 H 18,4 H 18,4 4,9 m 73. Se tiene un etángulo insito en un tiángulo isóseles en el que un ldo del etángulo está en el ldo desigul del tiángulo. El ldo desigul del tiángulo mide 10 m, y l ltu oespondiente, 1 m. Si l bse del etángulo mide m, uánto mide de ltu? 76. Clul l digonl del otoedo de l figu: Se pli el teoem de itágos en el espio: D D 48 15,75 m 14 m d D 6 m 4 m 1 m 77. Clul el númeo de vuelts que d un ued de biilet p eoe 1 km si el dio de l biilet mide 40 m m 3 m C R 40 m Los tiángulos C y C están en posiión de Tles, po tnto son semejntes , m Clul el áe de un tiángulo equiláteo uyo ldo mide 7 m Longitud de l ued: L πr L π 0,4,51 m N.º de vuelts: :,51 398,4 vuelts. 78. Clul el dio de un iunfeeni que mide 37,5 m de longitud. 7 m R 3,5 m + 3, , ,75 36,75 6,06 m b 7 6,06 1,1 m 75. Un globo está sujeto un ued de 5 m y obsevmos que se desplzdo 1, m po el viento. qué ltu está el globo? L πr πr 37,5 37,5 R 5,97Ä m π 79. Clul el dio de l Tie sbiendo que un udnte mide km πr R 6 366,19Ä km π

10 SOLUCIONRIO Clul el áe de un eágono egul de ldo 6 m 6 m R ROFUNDIZR 83. Dibuj un tiángulo etángulo y l iunfeeni que ps po los tes véties. Dónde está el iunento del tiángulo? 6 m 3 m Ciunento ,0 m 6 6 5,0 93,6 m 81. En l siguiente iunfeeni el dio mide 1,64 m, y l ued,,55 m. Hll l distni del ento de l iunfeeni l ued. 1,8 m El iunento está en el ento de l ipotenus. 84. L somb de un toe de lt tensión mide 15 m. En ese mismo momento l somb de un objeto de 1,5 m mide m. Clul l ltu de l toe de lt tensión. Se pli el teoem de Tles ,5 11,5 m 1,5 85. Clul el áe del siguiente etángulo insito en un semiiunfeeni. d + 1,8 1,64 d 1,051 d 1,051 1,03 m 8. Clul el áe del siguiente tpezoide:,6 m 1,64 m,4 m 3,8 m 4 m Tenemos que desomponelo en dos tiángulos y pli en d uno de ellos l fómul de Heón: Tiángulo de ldos: 4 m,,6 m y 3,8 m eímeto: 10,4 Semipeímeto: 5, Áe: 5, 1,,6 1,4 4,77Ä m Tiángulo de ldos: 3,8 m,,4 m y 3,4 m eímeto: 9,6 Semipeímeto: 4,8 Áe: 4,8 1,4 14, 4,0Ä m Áe totl: 4,77 + 4,0 8,79 m d 3,4 m 3 m plimos el teoem de itágos p ll : m L bse mide 4 8 m Áe b Áe m 86. Hll l genetiz de un tono de ono en el que los dios de ls bses miden 5, m y 3,8 m, y l ltu, 6, m G (R ) + H G (5, 3,8) + 6, 1,4 + 6, 40,4 G 40,4 6,36 m 87. Clul el vlo de en el siguiente dibujo,81 m 1,75 m Se pli el teoem de itágos: + 1,75 (,81 + 1,75) 17,73 17,73 4,1 m H 6, m 5 m 3,8 m R 5, m 90 G

11 150 SOLUCIONRIO 88. Clul el vlo de l ltu del siguiente tiángulo equiláteo: Se pli el teoem de itágos. + 0, ,5 1 0,75 0,75 0,87 m m 89. Clul el áe del segmento iul oloedo de millo en l siguiente figu: ,5 m Áe del oiginl 1 9,7 63,7 m Medids de l fotoopi: 1 0,5 5,5 m 9,7 0,5 7,45 m Áe de l fotoopi 5,5 7,45 38,9815 m COMRUE LO QUE SES 1. Qué es un ten pitgói? on un ejemplo. Un ten pitgói son tes númeos enteos que veifin el teoem de itágos. Ejemplo: 3, 4 y 5. Dibuj un segmento de,5 m y ll su meditiz. segmento seto tiángulo Áe del seto: πr n 60 R 3 m π 3 Ä 60 4,71Ä m Hy que pli el teoem de itágos p ll l ltu. 3. Dos tiángulos están en posiión de Tles y sbemos que 5 m, C 3 m y 4 m. Clul uánto mide C C 4 C 4 3 C 4m, C Clul l ltu de un ono en el que el dio de l bse mide 3,5 m, y l genetiz, 7 m Q G 7 m H 3 m 3 1,5 6,75,60 1,5 m Áe del tiángulo: 3,6 : 3,9 m Áe del segmento: 4,71 3,9 0,81 m R 3,5 m R + H G 3,5 + H 7 H 36,75 H 36,75 6,06 m 5. Clul el áe de un seto iul de dio 5 m, y mplitud, 150 LIC TUS COMETENCIS 90. Se dibuj un teeno de fom que 300 m en l elidd son m en el oquis. Hll l esl y veigu si es un plno o un mp. m : 300 m m : m : : Es un mp. 91. Se dibuj un teeno de fom que 100 m en l elidd son m en el oquis. Hll l esl y veigu si es un plno o un mp. m : 100 m m : m : : Es un plno. 150 R 5 m πr n π ,7 m 6. Clul los tes ángulos del siguiente tiángulo que tiene un vétie en el ento del pentágono egul y los otos dos en dos véties onseutivos. 9. Un fotoopi está eduid l 5 %. Si el oiginl e un ppel DIN 4 uyo tmño es 1 m 9,7 m. Hll el áe del oiginl y de l fotoopi.

12 SOLUCIONRIO 151 Ángulo entl : 5 7 Cd uno de los otos ángulos (180 7) : Clul l ltu de l toe Eiffel de ís sbiendo que undo su somb es de 33,58 m, l somb de un peson de 1,75 m es 1,5 m. Redonde el esultdo metos. 1,5 1, ,75 35 m 1,5 8. Clul el áe de un uddo en el que l digonl mide 6 m 94. Dibuj un ángulo y tz su bisetiz. Resuelto en el libo del lumndo. 95. Compueb el teoem de Tles. Resuelto en el libo del lumndo. 96. Compueb el teoem de itágos. Resuelto en el libo del lumndo. RCTIC d 6 m 97. Dibuj un pentágono egul y sus ángulos. Resuelto en el libo del lumndo Áe 18 m 98. Dibuj un tiángulo, ll su iunento y dibuj l iunfeeni iunsit. Resuelto en el libo del lumndo. 99. Clul el vlo de π WINDOWS/LINUX GEOGER SO SO 93. Dibuj un segmento y su meditiz. Resuelto en el libo del lumndo. Resuelto en el libo del lumndo Dibuj un etángulo de bse 7 m, y ltu, 3,5 m. Clul su peímeto y su áe. Resuelto en el libo del lumndo.