RELACIONES METRICAS. Proyección de un segmento AB sobre una recta L

Transcripción

1 ELIONE METI ELIONE MÉTI P el estudio de ls eliones métis ente los elementos de los tiángulos, es indispensle se el onepto de poyeión. Poyeión de un punto: L poyeión de un punto P soe un et L, es el pie de l pependiul P jd desde P st L. En l figu nteio, se muestn ls poyeiones de un segmento soe l et L en ls difeentes posiiones. EFINIIÓN e llm elión méti ente vios segmentos l elión que existe ente sus medids on espeto un mism unidd. PP se llm poyetnte L se llm eje de poyeión. P ELIONE MÉTI EN EL TIÁNGULO ETÁNGULO Poyeión de un segmento soe un et L L poyeión del segmento soe l et L es el segmento uyos extemos son ls poyeiones de los extemos y soe L. P P ll l poyeión de un segmento soe un et, st on j ls pependiules desde sus extemos st l et. L L i en un tiángulo etángulo eto en, se tz l ltu H oespondiente l ipotenus, osevemos que: * Los tiángulos H, H y son semejntes * El segmento m es l poyeión del teto soe l ipotenus. * El segmento n es l poyeión del teto soe l ipotenus. * L ipotenus es l sum de ls poyeiones de los tetos soe l ipotenus. * L poyeión de l ipotenus soe un teto es este mismo teto. * L poyeión de un teto soe el oto teto es un punto que viene se el vétie del ángulo eto ().

2 θ m º. M. H θ H es medi popoionl ente los segmentos de l ipotenus. n 6º.M. = + L zón de los uddos de los tetos es igul l zón de los segmentos que l ltu detemin en l ipotenus. _ = _m_ n = m.n emostiones º. M. d teto es medi popoionl ente l ipotenus y su poyeión soe ell. =.m =.n º. M. H H θ = _n_ = m.n L.q.q.d. m º.M. (Teoem de Pitágos) L sum de los uddos de los tetos es igul l uddo de l ipotenus. º.M. H m_ =.m L.q.q.d. = 90º + = º.M. L ltu eltiv l ipotenus es ut popoionl ente l ipotenus y los tetos. H θ n_ = =.n 90º L.q.q.d... =. 5º.M. L inves del uddo de l ltu eltiv l ipotenus es igul l sum de ls invess de los uddos de los tetos. º.M. =.m =. n sum + =.m +.n + =.(m+n) + = L.q.q.d.

3 º.M. H 90º =. =. L.q.q.d. m H (-m) 5º.M. =.m =.m emostión Teoem de Pitágos =.n =.n sum + = + m n m.n. = + = _ m+n + = m.n 6º.M. =.m. =.n. divido m_ n L.q.q.d. H = + ( - m) H = + m est = m = + m L.q.q.d do. Teoem de Eulides El uddo del ldo opuesto un ángulo otuso es igul l sum de los uddos de los otos ldos más el dole poduto de uno de estos ldos po l poyeión del oto soe él. > 90º = + + m ELIONE MÉTI EN TIÁNGULO OLIUÁNGULO º Teoem de Eulides: El uddo del ldo opuesto un ángulo gudo es igul l sum de los uddos de los otos ldos menos del dole poduto de uno de estos ldos po l poyeión del oto soe él. < 90º = + m emostión m Teoem de Pitágos H = + ( + m) H = + m est = + m

4 = + + m etángulo Otusángulo utángulo NTULEZ E UN TIÁNGULO NOT en, y, ls longitudes de los ldos de un tiángulo, on el ldo myo de longitud. 5º 60º i: = + entones es etángulo i: > + entones es otusángulo i: < + entones es utángulo POLEM EUELTO. Ls digonles de un omo mide m y 6m. El ldo del omo mide: ) 9m ) 0m ) m d) m e) m esoluión 5º 0º l l l 8 l 5 = + 7 > +5 5 < + Pitágos l² = 6²+ 8² l² = 00 l = 00 l = 0 pt.

5 . lul el vlo de l ltu H del tiángulo etángulo, si = 6 y = 8. ) 8, ), ), 8 d), e), 7 esoluión H x + 8 = 0 pt.. Ls medins de un tiángulo etángulo tzds pti de los véties de los ángulos gudos mide 5 y 0. lul l medid de l ipotenus. esoluión ) ) ) 0 d) 0 e) 6 8 M N 0 0 = 6 x 8 0 = 8 =,8 pt. Pitágos 5 0 M. ² + ()² = 0 N ()² + ² = 5². Los ldos de un tiángulo etángulo están en pogesión itméti uy zón es m. Hll l medid de l ipotenus. ) m ) 6 m ) 0 m d) m e) 0 m um 5² + 5² = 65 Quint ² + ² = ² = = = esoluión = pt. x + x + 8 x Pitágos x² + (x+)² = (x+8)² (x+)² = (x+8)² - x² (x+)² = (x+8). 8 (x+) (x+) = 6(x+) x+ = 6 x = 5. En un omo l sum de ls medids de ls digonles es 70 m y el dio del íulo insito mide m. Hll l medid del ldo. ) 6 m ) 0 m ) m d) 5 m e) 0 m

6 esoluión: to + = 70 Mitd + = 5 Elevndo l uddo (+)² = 5² ² + ² + = 5 l² + (l) = 5 (l + 9)(l - 5) = 0 l l l = 5 l l pt. d 6. En l figu mostd. Hll l medid del dio de l iunfeeni, si: M² + M² + M² + M² = 00m² ) 0 m ) 5 m ) 0 m d) 5 m e) 0 m M. Tz E //. Tpeio Isóseles E = E = x. onjugdos intenos 90º + mme = 80º mme = 90º Entones E es diámeto. E Pitágos ()² = x² + y² ² = (² + ²) + (² + d²) ² = 00 = 0 pt. 7. e tiene un tpeio uys digonles se otn pependiulmente; si l se myo es igul l digonl e igul. lul l se meno, si = esoluión ) ) ) d) e) 5 E x x esoluión E ) Tz E // x M O x me = 90º oespondientes E = = E = = x d y ) E Pitgóio x + = 5 to ² + ² + ² + d² = 00 Inógnit: x = pt.

7 8. En un tiángulo etángulo, eto en se tzn l isetiz inteio del ángulo y l ltu H uy inteseión es el punto O. lul O, si.o=50 ) 6 ) 5 ) d) 8 e) 9 ) P. METI X² = lm... (I) ) Eulides l² = l² + 6² - lm lm = 6² lm = 8... (II) esoluión to:.. O = 50 (m) = 50 m = 5.. Métis x² = m x² = 5 x = 5 pt. x o θ x θ θ m m H ) II en I X² = 8 X = 6 x x = 8 pt. 0. En l siguiente figu, lul l medid de l tngente omún MN ms iunfeenis, siendo que l distni ente los entos es 0 m y que el dio myo mide 8m y el dio meno mide m ) m ) 5m ) 6m d) 9m e) 0m 9. e tiene un tiángulo isóseles ( = ). oe l ltu H se onside un punto P de mne que el ángulo P=90º; si = 6. lul P esoluión ) 8 ) 6 ) 8 d) e) N O O M esoluión 0 N O O l H l 8 M P x m x P 6 Pitágos O PO X² + ² = 0² X = 6 pt.

8 POLEM POPUETO. i ()(H)=; lule P ) 6 ) ) ) 6 E) 6. e tiene un udiláteo uys digonles son pependiules; m = 90º y = ; lule / ) 6 ) ) ) E) /. i: = ; lule ) ) ) ) E) 6. e tiene un semiiunfeeni de diámeto y ento O; en O se ui el punto Q tl que: (Q) + (Q) = 90; luego se tz l ued l ul es plel ; si =6; lule l distni de Q i el punto medio de. ) 6 ) 6 ) 6 7 ) E) 5. i: 5()=() y P=8; lule PQ. )6 ) ) 5 )60 E) e tiene un tiángulo etángulo eto en ; on diámeto se tz un semiiunfeeni que intese en ; en el o se ui l punto F tl que: F ={E} ; =, E= y E=; lule EF. ) 6 ) ) 5 ) E),8 7. i: PH = HT = y T = ; lule: (: punto de tngeni) ) /8 ) 5 ) 7/5 ) /7 E) 9/ 8. i: N = 6; = () y mn = mnq; lul T. (T: punto de tngeni) ) 6 ) 6 ) ) E) 5 9. i: ()(QN)=; lule P ) ) 6 ) ) 5 E) 6 0.En un tiángulo etángulo eto en se ui l punto M en

9 y N en tl que M=M; m MN=90º; N=5 y N=; lule M ) 6 ) ) 5 ) 7 E) 5 tz l semiiunfeeni de diámeto ON que intese N en H; si H = 9 y HN = ; lule H. ) 5 ) 7 ) 6 ) 5 E) 7.e tiene un tiángulo etángulo eto en en el ul se tz l evin Q tl que: Q=6; Q= y Q=, lule. ) ) 6 ) 7 ) 0 E).e tiene un udiláteo insito tl que: =; = = y es diámeto; lule el 7.En un tiángulo ls medins tienen po longitudes: 9, y 5; lule l longitud del ldo meno de dio tiángulo. ) 0 ) 8 ) 9 ) E) 6 8.i: PQ = ; HQ = y L es l meditiz de PQ; lule OT dio. ) ), ),6 ) E) 6.En un tiángulo ; (=; =; = y m =7º); lul l m. i - = ) 8º ) 6º ) º ) 5º E) 5º.En un tpeio ( // ) uy se medi mide ; lul M si M es punto medio de y () (M) = ) ) ) 6 ) 5 E) ) 5 ) ) 7 ) 6 E) 9.e tiene un tiángulo ; (=; = y = 5); on diámeto se tz un semiiunfeeni en l egión exteio, l ul intese l polongión de l medin N en el punto Q; lule l distni de Q i ) 7 7 ) 6 ) 5.En un tiángulo se tz l medin M y en ell se ui l punto tl que = ; () () = 8 y M = ; lule:. ) ) ) ) E) ) E) e tiene un udnte O (O = O), en O se ui l punto N y se

10 ELIONE METI EN L IUNFEENI TEOEM E L UE i en un iunfeeni se tiene dos ueds sentes, el poduto de ls longitudes de los segmentos de un ued es igul l poduto de ls medids de los segmentos de l ot. θ θ P θ P x P = P x P emostión: P P () θ P = P P P P x P = P x P Lqqd TEOEM E L TNGENTE i desde un punto exteio un iunfeeni se tzn un sente y un tngente, l medid de l tngente es medi popoionl ente ls medids del totl de l sente y su pte exten. P x P = P x P emostión: P P () P = P θ P P P β θ β θ P x P = P x P Lqqd P² = P x P TEOEM E L ENTE i desde un punto exteio un iunfeeni se tzn dos sentes, los podutos de ls medids del totl de l sente y su pte exten son igules. emostión P - P () θ P = P β P P P² = P x P Lqqd θ θ P

11 TEOEM EL POUTO E LO LO En un tiángulo insito en un iunfeeni, el poduto de ls medids de dos ldos ulesquie es igul l poduto de ls medids del diámeto y l ltu eltiv l tee ldo. θ H o E x = x H θ θ i en un tiángulo se tz un medin se umple que: M : Medin M : m M ² + ² = m nálogmente ² + ² = m m + + =.. TEOEM E TEWT i en un tiángulo se tz un evin inteio se umple que: x m x² = ²m + ²n - mn n ² + ² = m + TEOEM E L POYEIÓN E L MEIN L difeeni de los uddos de dos ldos de un tiángulo es igul l dole poduto del tee ldo po l poyeión de l medin soe el tee ldo. M : Medin m HM = m TEOEM E L MEIN En todo tiángulo, l sum de los uddos de dos ldos ulquie es igul dole del uddo de l medin eltiv l tee ldo, más l mitd del uddo de este mismo ldo. H m M m : Poyeión de l medin ² - ² = m

12 TEOEM E OOTH En todo tiángulo se umple que l zón ente l sum de los uddos de ls medins on l sum de los uddos de sus ldos es igul ¾ d P Q P = P Q = Q M N N = m P = m M = m ² + ² + ² + d² = ² + ² + PQ² OOLIO. m P + m + + m + = TEOEM E HEON (álulo de ltu) p = semipeímeto + + p = En todo tpeio l sum de los uddos de ls medids de los ldos no plelos más el dole del poduto de ls medids de ls ses es igul l sum de los uddos de ls medids de ls digonles. ÁLULO E L IETIZ IETIZ INTEIO ( = X) X² = -mn = p(p )(p )(p ) X TEOEM E EULE En todo udiláteo (onvexo, ónvo ledo), l sum de los uddos de ls medids de los ldos es igul l sum de los uddos de ls medids de ls digonles más uto vees el uddo de l medid del segmento que une los puntos medios de ls digonles. m n + x = p(p ) = m, = n

13 IETIZ EXTEIO (F = X) 0y = 5() y =... () θ θ x² = mn ) Teoem de l tngente x² = ( + y)... () x ) eemplzndo () en () x² = ( + ) m x = (p )(p ) F = m, F = n POLEM EUELTO. Hll x ) 6 ) 8 ) d) 9 e) 7 esoluión Teoem de ls ueds x = () 6(8) = () Igulndo x = 6(8) 6 n 8 X = pt. F x x = 8. Hll x ) ) ) 8 d) 9 e) 6 esoluión Teoem de ls entes 5(5+7) = P.P x(x+) = P.P Igulndo X(x+) = 5() X(x+) = 6(0) X = 6 P. Hll x 5 x pt. e pt. d 7. Hll x ) 6 ) 9 ) 5 d) 8 e) 0 x 0 5 y ) 8 P x + y ) 6 ) x d) y e) 6 esoluión 0 5 esoluión ) Teoem de ls ueds ) Teoem de ls ueds 5y = 0()

14 y =... () ) Popiedd de Tngentes P = P = x + y... () ) Teoem de l Tngente P² = x (x+y+5)... () ) eemplzndo () en () (x + y)² = x (x+y+5)...() 5) eemplzndo () en () (x+)² = x(x + + 5) x² + 8x + 6 = x² + 9x 5. Hll x ) 0 ) 0 ) 0 d) 5 e) 6 esoluión 6 = x pt. ) Teoem de l tngente x² = (+)... () ) Teoem de l sente 6(6+9) = (+)...() ) Igulndo x² = 6(6+9) x = (5) x = 0 6. Hll x ) 9 ) 0 ) 8 d) 6 e) 7 x 9 pt. x 9 6 x = 0 7. Hll x ) ) 0 ) 5 d) 7 e) pt. esoluión 7 ) Teoem de tewt x²=(0)²+7()²-(7)() étim x² = (0)² + ² - () x² = x² = 675 x² = 5 x = 5 pt. 8. Hll M. i: el diámeto mide 0 y =, M = M, N = N ) 5 ) 6 ) 7 d) 8 e) 9 esoluión M o x 0 N esoluión x Teoem de l medin x 9² + ² = x² + x 50 = 5x 5x² = 500 M N

15 ) to = 0 ) Pitágos ² + ² = 0²... () ) Teoem de l medin ( ) ² + ² = x² +...() ) eemplzndo () en () 0² = x² + 8 x = 6 pt. 9. En un omo se ui el punto medio P de, tl que P² + P² = 50. Hll esoluión ) 6 ) 8 ) 0 d) 5 e) 0 l l P 7. lul l medid de l ot digonl esoluión ) ) 7 ) 0 d) e) 6 5 Teoem de l medin x 5² + 0² = = x x Po : 50 = x² = x² x = 7 x 0 pt. d l M l POLEM POPUETO ) to P² + P² = 50 ² + ² = () ) Teoem de l medin ² + ² = l² + l... () ) eemplzndo () en () 5l 50 = l = 0 pt. 0. Los ldos de un plelogmo miden 5 y 0, l digonl mide. i: = 9; ()=(), lule E. ) 9 ) 6 ) ) 5 E). i: Q = ; T = y N = ; lule ( y T son puntos de tngeni). ) ) 5 ) 5 ) E)

16 . i O es el ento del uddo ; PQ = y Q = ; lule. ) 5 ) 0 ) 5 ) E) 6. i G es iento de l egión tingul ; (N) (N) =. lule G. ) / ) ) 6 ) E) 5. i PQ = QH = ; lule Q. ) ) ) ) 5 E) 7 ; demás intese y en y T; lule T si P=6 y P=. ) 6 ) 5 ) 7 ) 6 E) 5 9. el gáfio, lule ( )( ). ( P)( ) ) ) :5 ) : ) :5 E) :5 0.i,, y son puntos de tngeni. lule PH en funión de y ) ) ) ) E) 6. i: H = HP y PT = ; lule: ()(). (T: punto de tngeni) ) 0 )6 ) ) E) 8 7. i: es un omoide; = 6; y Q son puntos de tngeni; lule PQ. P ) ) ) ) E) 8. En el ldo de un tiángulo equiláteo se ui l punto P; luego se tz un iunfeeni tngente en P y que ps po

17 POLIGONO EGULE PEIMETO POLIGONO EGUL: Un polígono egul es quel que es equiláteo y equiángulo l vez. Todo polígono egul es insiptile y iunsiptile. o vmos estudi l polígono egul insito en un iunfeeni tl omo se muest en el gáfio infeio, p lo ul se dn ls siguientes definiiones. PINIPLE POLIGONO EGULE ontinuión se pesentn los ldos y potems de los polígonos egules sí omo ls medids de sus ángulos entles.. Tiángulo Equiláteo L = o. Αρ Ln. 0º 0º 0º0º L L o 0º 0º Αρ L 0º. uddo 0º 0º p = = 0º ENTO (O) El ento de un polígono egul oinide on el ento de l iunfeeni iunsit l polígono. 90º L = IO () Es el dio de l iunfeeni iunsit l polígono. TINGULO ELEMENTL O Es el fomdo po dos dios y un ldo del polígono. L n: Es el ldo del polígono egul de n ldos. p: Es el potem del polígono egul, : Es el ángulo entl del polígono egul. 60º = n 7º 90º 90º L 5º p 5º 5º. Pentágono egul 7º L p L 5 L 90º 7º L 5 7º = p = = 90º 0 5 ( 5 ) p = + = 7º

18 5º. Hexágono egul 60º º o 5. Otógono egul 5º 5º 60º p º 5º o p L 8 L 6 5º 5º L 8 5º 60º L 6 = p = = = 60º p = + 7. odeágono egul OEVIÓN: L i en un polem se die que = o p L L n 60º l m= n = p = + = 0º, entones se umple que LO E UN POLÍGONO EGUL E n LO INITO EN UN IUNFEENI E IO L n = 5º o H L n 6. eágono egul o L 0 = ( 5 ) L n = L n p L 0 p = = 6º

19 ÁLULO EL POTEM EL POLÍGONO EGUL NOT L 5 pt pt : potem : dio OH Pitágos pt² = ² - H² o H L n L 0 PEIMETO E FIGU Es el ontono de un figu geométi. TEOEM.- L longitud de un iunfeeni es igul su diámeto multiplido po el númeo π. = π L 6 = π pt = pt = Ln Ln LULO EL LO EL POLIGONO EGUL En el tiángulo O: (Teoem de Eulides) L n = +. os 0 L n = - os L n = (- os ) Ln : Longitud de l iunfeeni : dio de l iunfeeni : iámeto de l iunfeeni Qué es el númeo π? Podemos dei que π es l longitud de un iunfeeni de diámeto igul. esde e muo tiempo (e de 000 ños) se notó que el númeo de vees en que el diámeto est ontenido en l iunfeeni es siempe el mismo, se ul se el tmño de es iunfeeni. Este vlo onstnte de l zón / es un númeo, poximdmente igul,59, el ul se epesent po l let gieg π. Y los ilonios ín osevdo que el vlo de π está ompendido ente y o se 5/8 < π < /7 en 8 7 fiones deimles:,5 < π <,. L n = ( os ) Fomul Genel

20 El vlo más poximdo de π es de químedes (π = /7) on eo meno de /000 po exeso. esoluión Ot expesión muy notle es l de dino Meio 55 π = =, l 5º H 5º En 87, el inglés Willim nks luló π on 707 ifs deimles exts π/ = - / + /5 /7 + /9... En 98 en los Estdos Unidos, lulo π on más de diez millones (extmente 0095) ifs exts. π π POPIE Ls uvs son semiiunfeenis P: Peímeto de l figu somed P = π π Po π/ ( = + + ) π π π π = + + π... POLEM EUELTO. uál es el polígono egul, donde su potem es l mitd de su ldo? ) Hexágono ) Pentágono ) uddo d) Otógono e) Nonágono. to potem = l = OH. H = H = l = OH. m = m = 5º = 90º =. ngulo entl = 90º = 60º 90º = n n = O pt.. En un tiángulo, m = 60º y el iundio mide. lul ) ) 6 ) 8 d) e) esoluión E 60 to 0º 60 = 0 0º. onstuyo el E E es diámeto = = 8. m = E = 60º =. Tingulo notle E E = = pt. e

21 . En un tiángulo, m = 5º y el iundio mide. lul. ) ) 6 ) 8 esoluión d) e). tos m = 5º, = = 90º. ngulo entl 5 mo = = 90º. Tingulo notle O 5 x = pt. d 0 x o = ento. En un tiángulo, m = 60º y el iundio mide. lul l distni del iunento l ldo. ) ) ) d) 6 e) 8 esoluión 5 = 0º. ngulo entl mo = = 0º. Tingulo notle OH x = pt. 5. En que elión están ls potems del uddo y del tiángulo equiláteo insito en l mism iunfeeni. ) : ) : ) : d) : e) : esoluión x = potem del uddo potem del tiángulo Equiláteo x = x = pt. 6. En un tiángulo, =, = y el iundio mide. lul l medid del ángulo. ) 5º ) 60º ) 75º d) 90º e) 05º esoluión 0º 90º 0 60º 0 60 x 0 0º. to m = 60º, = H 60 0º. =, = x x

22 es el ldo de un equiláteo = 0º. =, = es el ldo de uddo mo = = 90º. ngulo Insito = = x = x. x+0º+90º = 60º x = 50 x = 75º pt. 7. lul x si: =, =, 0 es ento de l semiiunfeeni, O = : ldo del uddo = 90º. ++ = 80 º 60º+90º+ =80º = 0º. ngulo exteio x = x = 60º 0º x = 5º pt. 8. i un uddo y un exágono egul se insien en un mism iunfeeni, l zón de sus potems es: ) / ) / ) / d) / e) / esoluión 60º x O P ) 0º ) 5º ) 0º d) 0º e) 7º esoluión 90º 60º 0º o x x = potem del uddo potem del exágono egul x = = x = pt. e. to = : ldo del exágono = 60º. to = 9. i un tiángulo equiláteo y un exágono egul, sus

23 peímetos miden igules. lul l zón en l que se enuentn sus áes. ) / ) / ) / d) / e) / esoluión x = Áe del tingulo equiláteo Áe del exágono egul x = = pt. 6 POLEM POPUETO. L ipotenus de un tingulo etángulo mide +, l isetiz P es igul l teto meno. lul el teto ) ) ) ) E) 5. L ipotenus de un tiángulo etángulo mide + u, el ángulo es,5 : Hll el teto ) ) ),5 ) E),5. lul el dio de un íulo tngente tes ets dds, un es el ldo de un exágono egul de m de peímeto y ls ots son ls polongiones de los ldos ontiguos. ) ) ) ) E) 5. En un íulo se n tzdo dos ueds no plels y, se une on y on otándose en F. lul el ángulo F si = y = ( 5 ) ) 98 ) 00 )5 ) 7 E) 0 5. En un tiángulo isóseles ( = ), los ángulos y miden 0 d uno, se tzn ls ltus H y E. lul HE si = 6m. ) m ) 8m ) 9m ) 0m E) m 6. El ángulo de un tiángulo mide 5, lul si el iundio mide ( 5 ) m. ) m ),5m ) m ),5m E) m 7. En un tiángulo el ángulo mide 5, el ángulo mide 0 y el ldo es m. lul l distni del iunento l ldo.

24 ) 0,5m ) m ) m ),5m E) m 8. El ldo de un dodeágono egul EFGHIJKM es 6. lul el vlo de l digonl E. ) ) ) ) E) 5 9. El ldo de un otógono egul EFGH mide m.; se polongn ls digonles H y E st un punto de inteseión P. lu P. ) 5m ) m ) m ) m E) m 0. e tiene un otógono egul EFGH en el uál se n tzdo ls digonles E y. lul el ldo del otógono siendo que: E = ( ) ) ) 6 ) 7 ) 5 E) 5. El uddo y el tiángulo equiláteo EF están insitos en un mism iunfeeni. P es el punto de inteseión ente EF y. lule PE, si =u. ) u ) ) + u ( u u ) ) E) ) ( + u 5. En un otógono egul EFGH, P es el punto de inteseión ente y E. lule P, si el iundio de dio polígono es igul. ) ) 5 ) + ) E) 9 ) ) ) ) E) 5. e tiene un dodeágono egul EFGHIJKM. lul el ldo de dio polígono siendo que G E = u. ) u ) ) + u u ) ) E) ) ( + u ( u. un exágono egul de m de ldo, se le polog d uno de sus ldos en l mism longitud de su ldo y en un mismo sentido. Hll l potem del polígono que esulte, l uni los extemos de ests polongiones. ),5m ) m ) m ) m E) 6m. En un tiángulo se umple que m< =0, =u y = ( 5 + ) u. lule m <, siendo que es gudo.

25 . EGION TINGUL Es un figu geométi (onjuntos de puntos) que onsiste en un tiángulo más su inteio.. EGION POLIGONL Es un figu geométi fomd po l eunión de un númeo finito de egiones tingules en un plno, de modo que si dos ulesquie de ells se intesen, su inteseión es o ien un punto o un segmento. ÁE E EGIONE POLIGONLE 6. OEVIONE * Entendemos el áe de un tiángulo, áe de un udiláteo, áe de un polígono, omo el áe de l egión oespondiente. * os egiones ulesquie que tienen igul áe se llmn equivlentes, independiente de l fom que teng d egión. Ejemplo: el tiángulo y el etángulo que tiene igul áe, son equivlentes. 8m < > 8m. POTULO tod egión poligonl, le oesponde un númeo el positivo únio.. E E UN EGION POLIGONL El áe de un egión poligonl es el númeo el positivo que se le sign según el postuldo nteio. 5. UNI E E Po ostume se esoge omo unidd de áe l unidd longitudinl l uddo; o se: U = u FIGU EQUIVLENTE * i dos tiángulos son onguentes, entones ls egiones tingules tienen l mism áe. * Es pti del postuldo de l unidd de áe (áe del uddo) que se de muestn ls fómuls ásis p el álulo de áe de ls difeentes egiones elementles: etángulo, tiángulo, tpeio, et. 7. E EL UO El áe de un uddo es igul l longitud de su ldo l uddo; o se: L = L L 8. E EL ETNGULO El áe de un etángulo es el poduto de su se po l ltu. u u: unidd de longitud U: unidd de e =. u

26 emostión En l figu,, =, = = e ( ) = = totl m+n = + + =(+) + + = ++ emostión = e ( H) + e ( H) nelndo y = Mitd =. L.q.q.d. = = m n + ( m n) m + n + = m H n =. L.q.q.d. 9. E E UN TINGULO ETÁNGULO El áe de un tiángulo etángulo es igul l semipoduto de ls longitudes de los tetos. emostión Po áe del etángulo =. = s. s =. 0. E E UN TINGULO ULQUIE El áe de todo tiángulo es igul l semipoduto de l longitud de un ldo y l ltu eltiv dio ldo.. E E UN TINGULO EQUILTEO El áe de todo tiángulo equiláteo es igul l uddo de l longitud del ldo multiplido po el fto. 60º L L = e ( ) = emostión L L. = x...(i). 0º y 60º L = 0º 0º L L L 60º...(II)

27 . (II) en (I) =. en L L =. = L L.q.q.d.. E EL TINGULO EN FUNION E U LO emostión.. =...(I). = en = en...(ii). (II) en (I). = en L.q.q.d (Teoem de Heón) = p(p )(p )(p ) p : semipeimeto + + p = emostión = e ( ). =...(I). E E UN TINGULO EN FUNIÓN EL INIO El áe de todo tiángulo es igul l poduto del semipeimeto y el indio. I. Teoem de Heon = p(p )(p )(p )...(II). (II) en (I) =. p(p )(p )(p ) = e ( ) : Indio P: semipeimeto emostión = p. = p(p )(p )(p ) L.q.q.d.. FOMUL TIGONOMETI En todo tiángulo, el áe se puede expes omo el semipoduto de dos ldos, po el seno del ángulo ompendido ente ellos. =e( ) = e (+)+e(i)+ e(i)... = = = p. L.q.q.d. 5. E E UN TINGULO EN FUNION EL IUNIO

28 El áe de todo tiángulo es igul l poduto de ls longitudes de los tes ldos, divido po el uáduple del iundio = e ( ) : iundio emostión.. =. =. (III) en (I) =. = =...(I)...(II) L.q.q.q 6. E E UN TINGULO EN FUNION E UN EXIO +- =++- = p- 7. ELIONE FUNMENTLE EN EL TINGULO onsideemos un tingulo ulquie de áe, de indio, iundio, exdios,,, y ltu,,. entones: I. El áe de un tiángulo es igul l íz udd del poduto del indio y los tes exdios. = II. L inves del indio es igul l sum de ls invess de los exdios = + + III. L inves del indio es igul l sum de ls invess de ls ltus. El áe de todo tingulo es igul l poduto del exdio eltivo un ldo y l difeeni ente el semi peímeto y dio ldo. = + + = (p-) : Exdio eltivo l ldo p: semipeimeto E IV. Exdios en funión de ls ltus = = = V. demás eodemos el teoem de teine

29 + + = 8. TEOEM E ULET = e() = F. F El áe de un tiángulo etángulo es igul l poduto de ls longitudes de los dos segmentos deteminds po l iunfeeni insit soe l ipotenus. = e () m m = m. n emostión. pitulo de iunfeeni F = P F =. = p... en.. F.. n = F. F L.q.q.d 0. El áe de un tiángulo etángulo n es igul l poduto de ls emostión. el gáfio: = +n y = +m longitudes de los exdios eltivos los tetos =.. =. = (+n)(+m). El áe de un tiángulo etángulo es igul l poduto = +m + n +mn... (). = p. = (m+n+)...() del indio y el exdio eltivo l ipotenus.. estndo () y (): = mn Lq.q.d. 9. e un tiángulo etángulo eto en. (ve figu). e diuj l iunfeeni exinsit eltiv uno de los tetos que es tngentes l polongión de l ipotenus en F. Entones umple:

30 ) E =. e( ) e( EF) =.. F emostión. = p....() e( ) e( EF) =. pitulo de iunfeeni = p...(). eemplzndo () en () =. =. L.q.q.d. El áe de un tingulo etángulo es igul l poduto de ls longitudes de los dos segmentos que detemin en l ipotenus, l espetiv iunfeeni exinsit. = m.n. OMPION E EGIONE TINGULE, POPIEE I. i dos tiángulos tienen igul ltu, sus áes son popoionles sus espetivs ses. ) elión de áes l tz un evin : evin = e( ) =.. = e( ) = L.q.q.d. s s II. i dos tiángulos tienen igul se, sus áes son

31 popoionles sus espetivs ltus. se deteminn uto tiángulos piles equivlentes. E F M N = e( ) ; = e( EF) =.. = L.q.q.d. III. i dos tiángulos tienen un ldo onguente y ls espetivs ltus onguentes entones son equivlentes. E P = e ( MN); = e ( MP) = e ( MNP); = e ( NP) * Po se onguentes los tiángulos MN, MP, MNP y NP se tendán: = = = = e( ) F Osevión. = = IV. En todo tiángulo, un medin ulquie detemin dos tiángulos piles equivlentes. M= Medin = e (M) = e (M) El áe del tpeio MN es igul l tiple del áe del tiángulo MN. M N M. = = V. En todo tiángulo, l uni los puntos medios de los tes ldos,

32 VI. En todo tiángulo, l tz ls tes medins se deteminn seis tiángulos piles equivlentes M.. x y G x z P z G: IENTO N y. M. G: IENTO = = = G P N e( ). x +z = y + z MIT x = y. y+x = z + x MIT y = z. Luego: x = y = z VII. En todo tiángulo, si se une el iento on los tes véties se detemin tes tiángulos piles equivlentes = x+y, = x+z, = y+z IX. En todo tiángulo, l uni el iento on los puntos medios de dos ldos ulesquie, se detemin un egión tingul uy áe equivle l doev pte del áe totl.. M. G N 6 G = e ( ) G: IENTO = = = e( ) = x, = y, =z VIII. En todo tiángulo, l uni el iento on los puntos medios de los tes ldos, se deteminn tes egiones equivlentes. = e( ) L.q.q.d. X. i dos tiángulos tienen un ángulo onguente o ángulos suplementios entones sus áes son popoionles los podutos de los ldos que fomn ese ángulo que mide igul o esos ángulos suplementios. F E

33 F.E en e( FE) = e( ). en e( FE) = e( ) F.E. EJEIIO. Enont el áe de un tiángulo uyos ldos miden 0, y m. ) 0 7 ) 6 ) 0 ) 6 E) 6 XI. i dos tiángulos son semejntes entones sus áes son popoionles los uddos del ulquie p de elementos omólogos.. lul el áe de tiángulo equiláteo, siendo que el dio de l iunfeeni insit mide m. ) ) 6 ) ) E) 6 θ. En un tiángulo ls ltus se otn en 0. i x O =. lul el áe del udiláteo O ) ) )8 ) 8 E). e K l zón de semejnz de los tiángulos y :. = = = = K...(). = =....().. eemplzndo () en () = =. = = = = K = = K. En un tiángulo etángulo eto en, se tzn l medin M y l isetiz inteio N. lule el áe de l egión tingul MN, si =6m y =m. ),m ),m ),5m ),6m E),8m 5. En un uddo se tz l tngente T l semiiunfeeni inteio de diámeto. En el o T se ui un punto po el ul se tz un tngente l semiiunfeeni meniond, otndo en P y T en Q. i P.QT=6m. lule el áe de l egión tingul PQ. ) 6m ) 9m ) m ) 8m E) 0m 6. os tetos de un tiángulo etángulo miden = 7m y

34 = m. lul el áe del tiángulo etángulo uyos véties son el otoento, el iunento y el inento del tiángulo indido. ) m ),75m ) 5m ) 0m E) 5m 7. Los ldos de un tiángulo miden = m, = 8m y = 5m. e tzn ls iseties P y Q, ls ules se otn en el punto I. lul l el áe del tingulo IQ. ) 0m ) 0m ) 5m ) 70m E) 75m 8. Los tetos y de un tiángulo etángulo miden 8m y 6m espetivmente. M y N son los puntos de tngeni de l iunfeeni insit de ento O y l exinsit eltiv l ldo. Hll el áe del tiángulo OMN. )m ) m )m )m E) 5m 9. Los ldos de un tiángulo etángulo miden: = 0m, = 0m y = 50m. e tz l isetiz L y l ltu H otándose ms en el punto M. lul el áe del tiángulo M. ) 60m ) 80m )90m )0m E) 5m 0.En un tiángulo etángulo eto en, se tz H ltu eltiv l ipotenus y ls iseties P y E otándose en F y otndo l ltu en G y M. i l distni de F GM es de m. lul el áe del tiángulo FGM, si E = 5m y P = 6m. ) m ) m ) m ),5m E),5m.El tiángulo tiene omo ldos = 0m, = 6 5m, = 0m. e tz l ltu E y po E se tz EM pependiul. lul el áe del tingulo EM. ) 0m ) 5,5m ) 8m ) 7,m E) 6,m.En un tiángulo sus ldos miden = m, = 6m y = 0m. Po el punto medio M del ldo se levnt un pependiul que ot l ldo en N. Tomndo omo diámeto MN se onstuye un iunfeeni que ot en Q. lul el áe del tiángulo MQN. ) m ),5m ) 9m ) m E),5m.e d un tiángulo isóseles ( = ) en donde = 5m y l ltu H mide m. lul el áe del tiángulo OH siendo O l inteseión de ls ltus H y P ) 5/6m ) 7m )7/8m ) 9/96m E) m.e tiene dos iunfeenis exteioes de dios y 8 metos espetivmente uys tngentes inteioes son pependiules. lul el áe del tiángulo fomdo po dis tngentes y un de ls exteioes omún ls dos iunfeenis. ) m ) 8m ) 9m ) 0m E) m

35 E E EGIONE UNGULE Y IULE. ÁE EL UO() L = d L = = L² = d = d d. ÁE EL PLELOGMO() =.. ÁE EL OMO () L L L 5º 0 : se : ltu = e ( ) + e ( ).O.O = + (O + O) = L d L L 5º. = : digonl meno : digonl myo. ÁE EL TPEIO (). M = e ( ) + e ( ) = + = + =. : se myo + m = : se meno m: medin = m. : ltu 5. TEOEM i se une el punto medio de un ldo no plelo de un tpeio on los extemos del oto ldo no plelo, se fom un tiángulo uy áe es igul l mitd del áe del tpeio.. M.. m m N e() = = e ( M) X X N

36 emostión = X = m. m. = Peo m. = e () = e () 6. ÁE EL TPEIO () M =.. e() e(). : e () emostión = e( M). = =.. L.q.q.d O 8. FÓMUL TIGONOMÉTI () = e () ( + ) =...() = en = O en O = en = O en O um: + = en...() () en () =. en 9. TEOEM En todo udiláteo onvexo se umple, que l uni los puntos medios de sus ldos se fom un plelogmo; uy áe es igul l mitd del áe del udiláteo. M 0 N Q P 7. ÁE E UN TPEZOIE () = e () = e ( ) + e ( ).. = + ( ) = + emostión ompión de Áes e () e () = ; = umndo ls expesiones e () + e() + = e() + =...() nlógimente:

37 e() + =...() = e () E () E () + + = e () e () = L.q.q.d Osevión: Igulndo () y () + = + 0. ÁE EL UILÁTEO IUNITO En todo udiláteo iunsito un iunfeeni, el áe es igul l poduto del semipeímeto y el dio de di iunfeeni. = p d p = = e () emostión = e (I) + e (I) + e (I) + e (I) = d = = p.. I d d. L.q.q.d = ( p )(p )(p )(p d) d = e (), p = * e dej l demostión l leto. Áe del udiláteo iéntio () (Teoem de Leudesdof) = d emostión: ) PITHOT + = +d = p ) Teoem de mgupt = ( + )( + d )( + )( + d d) = d. d.. d. = d L.q.q.d. POPIEE E L EGIONE UNGULE. i en un udiláteo onvexo se tzn ls digonles se detemin uto tiángulos piles y umple que los podutos de ls áes de los tiángulos opuestos son igules.. =.. Áe del udiláteo Insito (Teoem de mgupt)

38 . i es Tpeio X p X emostión ) ompión de Áes = ; = ) Igulndo =. =. L.q.q.d. En todo tpeio, ls áes de los tiángulos lteles detemindos l tz ls dos digonles, son igules. Es dei dios tiángulos son equivlentes. = emostión. ) Áe () = Áe () = + Z = Z + ) implifindo Z = Z L.q.q.d. = e (P) = e (P) = e () = ( ) + emostión ) Popiedd. e (P) = e (P) = X ) Popiedd. X² =. X =....() ) = + X +... () ) () en () =( )²+ + ( )² = ( + )² ÁE E EGIONE IULE IULO. Es l egión del plno limitd po un iunfeeni Teoem. El áe de todo íulo es igul l semipoduto de l longitud de su iunfeeni y el dio : Áe del íulo : Longitud de l iunfeeni o = = π = = π ² π. : iámeto = π

39 : dio = π = π 60 en II. ETO IUL Es l poión del íulo limitd po dos dios Teoem. El áe de todo seto iul de dio y ángulo entl es: : e del eto iul π² º s º o l π 60º = (I) O es ento π º es dio l l es longitud de o = π en 80 IV. ZON O FJ IUL Es l poión de íulo limitd po dos ueds plels. ) Ls ses un mismo ldo del ento. : Áe de l fj iul o mo = mo = β = segmento segmento π l = 60º ividendo I ente II = l (II) ( β) π = en + enβ 80º i + β = 80º en = en β π 60º = ( β) = l III. EGMENTO IUL Es l poión del íulo limitd po un ued y su espetivo o. = e del egmento iul = - o ) Ls ses difeentes ldos del ento. O : ento : e de l fj iul mo = º mo = βº = π² - segmento segmento = π (60 β) + en + enβ 80 i + β = 80º => en = en β β o = [ π + en] V. OON IUL

40 e llm sí l egión del plno exteio l meno de dos iunfeenis onéntis e inteio l myo : Áe de l oon iul = π ² - π ² o = π (² - ²) Pitágos: ² - ² = = π es ued tngente l iunfeeni meno VI. TPEIO IUL O es el ento es áe del tpeio iul o = π π 60º 60º = π ( ) 60 OEVION En lgunos polems donde no se neesio eslt el ángulo entl del seto iul l que gmos efeeni esiiemos ls expesiones diets p el áe, omo un fión del íulo oespondiente L Mitd de iulo Un Teio de iulo o π π 60º Un uto de iulo Un exto de iulo POPIE o 0º = + x : Longitud del o : Longitud del o : : : + = Áe del semiíulo de diámeto Áe del semiíulo de diámeto Áe del semiíulo de diámeto emostión.. = 8 π ², = 8 π ², = 8 π ². + = 8 π (² + ²)

41 . + = 8 π ². + = L.q.q.d. = - L.q.q.d. POPIE LUNUL E HIPÓTE X Z = + + y son áes de ls lúnuls. : Áe del tiángulo + = emostión: Popiedd : = e () Lúnuls: + = e () Igulndo: = + emostión: Po l popiedd = + + L.q.q.d. ( + X) + ( + Z) = (X + + Z) = + = L.q.q.d. POPIE : e del tiángulo emostión: Po l popiedd (Z+X+ )+( +Y+W) = (Z + + W) Z x + + y + = + = X Y W POLEM POPUETO. Ls digonles de un udiláteo miden 0m y 0m. lul el áe del udiláteo siendo demás que dis digonles fomn un ángulo de 0. ) 00m ) 00 m ) 00 m ) 00 m E) 500 m. oe l iunfeeni de un íulo de 6m de dio se tom el punto M, luego iendo ento en M y on dio 6 m. se tz un o en el inteio, otndo l iunfeeni en los puntos y. lul el áe de l lúnul que se fomdo. ) m ) 0 m ) 0 m ) 6 m E) 6 m. e tiene un etángulo en l que = m y = 6m; se tom omo diámeto y se onstuye el semiíulo en el inteio del

42 etángulo y luego iendo ento en y se onstuyen en el inteio del uddo, utos de íulos. lul el áe omún los tes os. ) 6( - π) ) 6( - π) ) ( + π) ) ( - π) E) ( + π). EF, es un exágono egul d ldo 6m. on ento en, se tz un o E. Luego on ento en se tz un o de dio 6m. ll el áe de l egión que enien dios os. ) (0π - 6 ) )(0π- ) ) ( +6π) ) ( - 0π) E) ( - 6π) 5. es diámeto de un semiiunfeeni iunsit l tiángulo isóseles. on ento en y dio, se tz un o F, estndo F en l polongión de. Luego exteiomente l tiángulo se diuj ot semiiunfeeni de diámeto F. Hll el áe de l egión que enie ls uvs, F y F, si l egión tingul tiene un áe de 8m. ) πm ) 5 πm )6π m ) 8π m E) 6πm 6. oe el diámeto de un semiíulo se tom el punto y se diuj inteiomente dos semiiunfeenis y (>). Hll el áe de l egión que enien los os, y, si el segmento tngente omún y mide 8m. ) 6πm )πm )πm ) 6πm E) 8πm 7. Un etángulo de 8m de supefiie est insito en un iunfeeni de 0 metos de diámeto. Hll el peímeto del etángulo ) 8m ) 8m )0m ) 0m E) 5m 8. En el inteio de un etángulo, se ui el punto P y en se ui el punto M, tl que el tiángulo MP es equiláteo. lul el áe de l egión udngul P, si M= M=u. ) 7 u ) 9 u ) 8 u ) 9 u E) 5 u 9. Hll el áe de un tpeio etángulo uys se miden y metos, siendo que un digonl es pependiul un ldo ) m ) 5m )6m ) 6m E) 60 m 0.e tiene un uddo, en l polongión de se ui el punto M y en l punto L tl que MNL se un uddo y M=0u. lul el áe de l egión udngul NM )5 u ) 0 u )50u )00 u E) 60 u.hll el áe de un omo si M ise ; M ot en, M=u y <M=5. ) u ) u )6u ) 8u E) 60u.Hll el áe de un tpeio etángulo, si ; l se meno es =; el ldo no plelo = y l digonl = 5. ) 68u ) 78u )88u ) 98u E) 00 u.hll el áe de egión limitd po el etángulo. i ls

43 poyeiones de y soe son m y 8m epetivmente ) m ) m ) 8 m ) m E) 6 m

44 ET, PLNO. IEO, TIEO Y POLIEO

45 GEOMETÍ EL EPIO O ETEEOMETÍ Estudi l fom y extensión de ls figus geométis uyos puntos no están en un mismo plno (espio tidimensionl) EPIO TIIMENIONL di ide tenemos dos postuldos impotnte:. d un et ulquie L, y po lo menos un punto P, tl que P no petenee L.. do un plno ulquie M, y po lo menos un punto P, tl que P no petenee M.. os ets sentes. L L 0 d. os ets plels. L L POTULO EL PLNO. Todo plno ontiene l menos tes puntos no olineles.. os puntos ulesquie de un plno deteminn un et, que est ontenid en el plno. POTULO EL EPIO. El espio ontiene l menos uto puntos que no son oplnios.. Po un punto del espio psn infinits ets.. Po un et del espio psn infinitos plnos. ETEMINIÓN E UN PLNO Un plno qued detemindo po:. Tes puntos no olineles. P.. Un et y un punto exteio ell.... L U POIIONE ELTIV E O ET EN EL EPIO. ets sentes.- undo se intesetn y tiene po tnto un punto omún. Ls ets sentes son oplnes. L L P. ets plels.- undo se enuentn en un mismo plno y no se intesetn. E L L. ets oinidentes.- undo se supeponen, p lo ul st que teng dos puntos omunes. E

46 d. ets leds.- Llmdo tmién ets que se uzn, son quells ets que no están en un mismo plno y no tiene ningún punto omún. L L. oinidentes. L et está ontenid en el plno, en uyo so todos los puntos de l et peteneen l plno. P que sen oinidentes, st que l et y el plno tengn dos puntos omunes. L L L M POIIONE ELTIV E UN ET Y UN PLNO dos un et L y un plno M, que pueden est situds de tes distints mnes.. entes.- undo se intesetn, l et y el plno sólo tienen un punto omún. L. Plelos.- En uyo so no tienen punto omún lguno. M L M Popiedd: P que un et se plel un plno es ondiión neesi y sufiiente que di et se plel un et del plno. POIIONE ELTIV E O PLNO. Plnos sentes.- undo se intesetn y tiene po tnto un et omún llmd inteseión de dos plnos. L

47 . Plnos plelos.- on quellos que no tienen punto omún lguno. O P. Plnos oinidentes.- undo se supeponen, p lo ul st que teng tes puntos omunes no olineles. P NGULO ENTE O ET LE Es el ángulo que fomn uno de ellos on un plel l ot tzd po un punto ulquie de l pime. L Q L L ET PEPENIULE on quells dos ets que l inteeptse o l uzse en el espio fomn ángulo eto. NGULO E UN ET ENTE ON UN PLNO Es el ángulo que e l et on su poyeión soe el plno. ITNI E UN PUNTO UN PLNO. L longitud del segmento de pependiul tzd del punto l plno. MENO ITNI ENTE O ET QUE E UZN Es l longitud del segmento de pependiul, omún ms. ET PEPENIUL UN PLNO i un et es pependiul un plno entones es pependiul tods ls ets ontenids en el plno. Popiedd: P que un et se pependiul un plno es ondiión neesi y sufiiente que di et se pependiul dos ets sentes del plno. TEOEM E L PEPENIULE i desde el pie de un pependiul un plno tzmos un segund pependiul un et del plno, entones tod et que une el pie de l segund pependiul on un punto ulquie de l pependiul l plno seá pependiul l et del plno. : Es el ángulo que fomn ls ets que se uzn L y L P mp = 90º M

48 NGULO IEO Es l figu fomd po dos semiplnos que tienen l mism et de oigen omún los semiplnos se les denominn s y l et omún ist. L medid de un ángulo diedo θ est dd po l medid de su ángulo plno o etilíneo que es quel ángulo detemindo l tz po un punto ulquie de l ist, dos ets pependiules l ist, un ontenid en d. Popiedd.- Todo punto soe el semiplno iseto, se enuent igul distni de ls s del diedo. TEOEM i los ldos de un ángulo plno son pependiules ls s de un diedo. El ángulo y el diedo son suplementios. m + mf = 80º F θ P E Q P. Los diedos se lsifin similmente los ángulos en el plno. EMIPLNO IETO Es quel semiplno que ptiendo de l ist de un diedo, lo divide en dos diedos de igul medid. M P E EMIPLNO IETO PM = PN ET E MÁXIM PENIENTE i dos plnos se inteeptn, l et de uno de ellos, que fom el ángulo máximo on el oto, es pependiul l inteseión de mos plnos. Hipótesis Tesis P m > m Q MN : et de máxim pendiente P Q N M N

49 PLNO PEPENIULE on quellos plnos que l inteeptse fomn diedos etos.. i un et es pependiul un plno, todo plno que ps po ell es pependiul l pimeo.. i dos plnos son pependiules ente sí, tod et ontenid en uno de ellos y pependiul su inteseión, es pependiul l oto plno. E E L POYEIÓN E UN TINGULO EN EL PLNO P θ e (H) = e (). os θ H NGULO POLIEO, ÓLIO O NGULOIE Es l figu fomd po tes o más plnos (s), que se otn dos dos y uys inteseiones (ists) onuen en un mismo punto denomindo vétie. NGULO TIEO E - s :,, - Vétie : El punto V - ists : V, V, V. - iedos :, β, γ V Notión : Tiedo V- γ. β. POPIEE E LO TIEO. En todo tiedo, un es meno que l sum de ls ots dos, peo myo que su difeeni. < < +. En todo tiedo, l sum de sus s es myo que 0º peo meno que 60º. 0º < + + < 60º. En todo tiedo myo se opone myo diedo y s onguentes se oponen diedos onguentes. d. En todo tiedo, l sum de sus diedos es myo que 80º peo meno que 50º El tiedo es un ánguloide de tes s, tes ists y tes diedos; es el ángulo poliedo de meno númeo de s que puede e, no pudiendo se más que onvexo.

50 LIFIION E TIEO. Tiedo esleno: us s tienen difeentes medids.. Tiedo isóseles: os de sus s miden igules.. Tiedo equiláteos: us s tienen igul medid (no neesimente de 60º) d. Tiedo etángulo: Un de sus s miden 90º. e. Tiedo ietángulo: os de sus s miden 90º d un. f. Tiedo tietángulo: us s miden 90º d un. g. Tiedo imétio: Es quel fomdo po ls polongiones de ls ists de un tiedo.. Tiedo pol o suplementio: os tiedos son suplementios undo ls s de uno son los suplementos de los diedos del oto. POLIEO on quellos sólidos limitdos po uto o más egiones poligonles plnos no oplnes llmdos s. Elementos: - s: on polígonos - ists: O, O,,... - Véties: O,,,... -igonl: Es el segmento que une dos véties que no están en l mism s. - iedos - Ángulos poliedos O LE E POLIEO. Poliedos onvexos.- undo l onside ulquie de ls s, todo el sólido qued un mismo ldo de él.. Poliedos ónvos.- undo l onside lgun de ls s, todo el poliedo qued eptido uno y oto ldo de l onsided. TEOEM E EULE En todo poliedo se umple que su númeo de s más el númeo de véties es igul l númeo de ists más. + V = + TEOEM En tod poliedo l sum de los ángulos en tods sus s es igul 60º po el númeo de véties menos. ng. = 60º (V-) s POLEM POPUETO. L distni del punto P del espio, un plno H es 5m y l poyeión de PQ soe el plno H mide 8m, Q L y L H. Hll l distni de P L. ) 7m ) 8m ) 9m ) 0m E) 5 m. do el etángulo, = m y = m. Po el vétie se levnt un segmento E de longitud m pependiul l plno del etángulo. i M es punto medio de. Hll EM ) m ) 7 m ) 8 m ) 9 m E) m

51 . esde un punto P un plno, se tzn ls olius P y P ( y soe dio plno), fomndo los ángulos de 0 y 5 espetivmente on el plno. i P= 6. Hll P ) ) ) ) E) 6. el ento O del íulo iunsito un tiángulo equiláteo de ldo se levnt l pependiul O l plno del tiángulo y se une el punto on los tes véties del tiángulo. lul l longitud del segmento O p que el tiedo se tietángulo. ) ) / ) 0,5 ) 0, E) ª 5. En un tiedo, el diedo es eto y ls s y son tiángulos de 5. lul l. ) 0 ) 60 ) 70 ) 90 E) 0 6. e tiene un tiángulo de áe 50m² po se ps un plno que fom un diedo on el plno el tiángulo. uál es el áe del tiángulo poyetdo soe el plno, si el diedo mide 60º? ) 00m² ) 0m² ) 0m² ) 5m² E) 50m² 7. uál es el áe de l poyeión de un de un tetedo egul soe ot ulquie, si l ist del tetedo mide m? ) 0.8m² ) m² )0.5m² ) m² E) m² Hll l distni de F l ldo, si F =,8 ) ) ) ),5 E) 9. es un tiángulo etángulo isóseles ( = = ). Po se levnt T pependiul su plno. Hll TM siendo M punto medio de demás T= ) ),5 ) ) E),5 0. esde un punto P de l im de un poste se osev los puntos y del suelo un mism distni, demás el ángulo P = 60. Hll l ltu del poste siendo que el ángulo que fom P on el suelo es 5 y que = 0 ) 5 ) 0 )5 ) E) 5. e tiene un uddo de ldo igul. Po se levnt P pependiul su plno, tl que P = 5. i M es punto medio de. Hll l medid del ángulo fomdo po PM y. )0 )5 )7 )5 E)60. En un plno H está ontenido un iunfeeni de ento O y dio 5m sí mismo l longitud de l ued MN es 8m, Po O se levnt l pependiul O l plno H. iendo el ángulo que fomn el plno H y el plno NM de 5, lul el áe de l egión tingul. ) 0m ) 0m )0m ) 0m E) 8m 8. En el tiángulo eto en, =, =; soe l pependiul l plno del tiángulo levntdo po el vétie se tom un punto F.

52 ÓLIO GEOMÉTIO I. PIM Es el sólido geométio que tiene po ses polígonos plelos e igules y po s lteles plelogmos. L E IT LTEL LTEL Volumen =. E LIFIIÓN I. Los pisms se lsifin según sus ses en: ) Pism tingul, si su se es un tiángulo. ) Pism udngul, si su se es un udiláteo. ) Pism pentgonl, si su se es un pentágono. II. PIM ETO. Es quel pism que tiene sus ists lteles pependiules ls ses; sus s lteles son etángulos; ist ltel igul l ltu del pism. L = e Ltel p = Peímeto de l se = e de l se III. PIM EGUL Es un pism eto, uys ses son polígonos egules. IV. PIM OLIUO Es quel pism uys ists lteles son olius ls ses, sus s lteles son plelogmos (omoides), l ltu es meno que l ist ltel. eión et del Pism ( ) Es l seión del pism on un plno pependiul ls ists lteles. EIÓN ET E L = (p ) () = ltu T = e totl T = L + PLNO = Áe de l seión et. p = Peímeto de l seión et. L = (p ) ( L ) L = ist ltel T = L +

53 Volumen =. Volumen =. L ) UO O HEXEO EGUL Es plelepípedo en el ul tods sus s son uddos. V. PLELEPÍPEO on pisms uys s son todos plelogmos. lsifiión: ) Plelepípedo etngul Es un pism, llmdo tmién j etngul, otoedo o etoedo. Tods sus s son etángulos. x Volumen = x L = ² T = 6² Volumen = = ) OMOEO Es un plelepípedo oliuo. Tods sus s son omos. L = + T = L + T = + + TONO E UN PIM TINGUL ETO Es el sólido que se detemin l inteept un pim eto on un plno no plelo su se. ² = ² + ² + ² Not: (++)² = ²+²+²+++ um de ls ² dimensiones = ² + T + + Volumen = T = L + +

54 TONO E UN PIM ETNGUL OLIUO Es el sólido que se detemin l inteept un pism oliuo on un plno no plelo su se. T = L + + lsifiión: I. Po el númeo de ldos de su se en: ) Piámide tingul, si su se es un tiángulo, llmdo tmién tetedo. ) Piámide udngul, si su se es un udiláteo. ) Piámide pentgonl, si su se es un pentágono, et. + + Volumen = II. PIÁMIE EGUL. Es un piámide uy se es un polígono egul, sus s lteles son tiángulo isóseles igules. El pie de l ltu oinide on el ento de l se. POTEM E UN PIÁMIE EGUL: Es el segmento pependiul tzdo desde el vétie de l piámide un ist ási. Volumen = ( + + ) L p PIÁMIE Es el sólido geométio que tiene omo se un polígono que tienen un vétie omún que viene se el vétie de l piámide y los otos dos véties de d tiángulos oinide on los véties de l se espetivmente. p = potem de l Piámide p = potem de l se. p ² = ² + p² L ² = ² + ² = dio de l iunfeeni iunsist l se. o L p L L = emipeímeto de l se x p VETIE T = L + LTEL IT LTEL Volumen = e de l se x IT ÁI E

55 III. PIMIE IEGUL: Es quell que no umple on ls ondiiones de l piámide egul. TEOEM i se ot un piámide ulquie po un plno plelo l se se otiene un piámide pil semejnte l piámide totl. Popieddes ) i dos piámides son semejntes, ls áes de sus ses son popoionles los uddos de sus dimensiones omólogs. ) Los volúmenes de dos piámides semejntes, son popoionles los uos de sus dimensiones omólogs. Piámide -EF Piámide potem del Tono de Piámide egul: Es el segmento que une los puntos medios de ls ses de un ltel. P L = (p + p ) p T = L + + p y p : emipeímeto de ses. Volumen = ( + +. ) E F H POLEM EUELTO 0. Hll el númeo de s de un pism que tiene 60 ists ) 0 ) ) d) e) = E = F = H e( EF) = e( ) =.. H Volumen de l piámide EF = Volumen de l piámide = H TONO E PIÁMIE EGUL Es el sólido que se detemin l inteept un piámide egul on un plno plelo su se. us s lteles son tpeios isóseles igules. esoluión : Númeo de s del pim x : Númeo de s lteles 60 x = x = 0 = x+ = 0+ = pt.. Hll el númeo de véties de un pism que tiene 0 ists. ) 80 ) 8 ) 8 esoluión d) 8 e) 8 V : Númeo de véties del pism X : Númeo de s lteles

56 0 X = x = 0 V = x V = (0) V = 80 pt.. Hll l sum de ls medids de los ángulos de tods ls s de un pism que tiene ists ) 0º (-) ) 80º (-) ) 60º (-) d) 0º (-) e) 0º (-) esoluión X : Númeo de s lteles : um de ls medids de los ángulos de tods ls s del pism. ) = [80º(x-)]+60ºx..() ) x =...() ) eemplzndo () () = 60º + 60º = 0º º = 0º 70º = 0º(-) pt. d. L distni de un vétie l ento de l opuest de un uo es 6. lul el áe totl. ) ) 6 ) 0 d) e) 8 esoluión 6 ) x = x=...() x x ) Pitágos +x = 6...() ) eemplzndo () en () + = 6 = ) T : e Totl T = 6 T = 6() T = pt. d 5. lul el volumen de un exedo egul uy digonl mide 0 m. ) 80 m ) 800 m ) 00 m d) 80 dm e) 8 dm esoluión ) to = 0 m...() ) Fomul =...() ) Igulndo ()=() = 0 m = 0m = dm ) Volumen = Volumen = (dm) Volumen = 8dm pt. e 6. lul el volumen de un piámide egul, si su potem mide 5 y l ist de l se mide 8 ) ) 68 )97 d) 96 e) 8

57 = = 9 pt. d esoluión 9 ) Pitágos =5 =...() x ) Volumen =..() ) : e de l se = ( 8 ) =..() ) eemplzndo () y () en () x Volumen = Volumen = 97 pt. 7. El volumen de un tono de piámide udngul egul es 7m. i su ltu mide 6m y el áe de un de sus ses es 6m²? uál es el áe de l ot se? ) m ) 6m ) 8m d) 9m e) m esoluión Volumen = ( + +. ) 6 7 = ( ) 7 = = x = x 7 = 6 + x + x x + x = 0 (x + 7) (x - ) = 0 x = º 0º 8. lul el volumen de un pism tingul oliuo. i el áe de un ltel es 0 y l distni de l ist ltel opuest di es 5. ) 00 ) 5 ) 90 d) 80 e) 75 esoluión El volumen del pism tingul oliuo vle l mitd del plelepípedo. 5 Volumen = 0(5) Volumen = 75 pt. e 0 EJEIIO. En un pism eto tingul, M = 5, = = 6, m = 0. lul el volumen del pism si M es punto medio de. ) ) ) )6 E)8 6. lul el volumen de un pism eto uy se es un tpeio isóseles, siendo que = = = y = 5. Ls ses son y y >. ) )56 ) ) 0 E) 00

58 . En un eipiente úio que ontiene 5m de gu se intodue un uo mizo de modo que el gu se elev st lnz el nivel del eipiente. i l ist del uo mizo es l mitd de l ist del eipiente, lul el volumen del eipiente. ) 0m ) 0 m )60 m ) 80 m E) 00 m. L se de un pism tingul egul es insiptile en un iunfeeni de dio igul 8 m. i l ltu del pism es el dole del potem de l se. Hll el áe ltel del sólido. ) 576 ) 9 ) 576 ) 88 E) El desollo de l supefiie ltel de un pism tingul egul es un uddo insito en un iunfeeni de dio m. Hll el volumen del pism. ) 6/ ) 6/ ) 6 ) 6/ E) 6 6. lul el volumen de un pism egul udngul EFGH, si el áe de l se es m y m EH = 0. ) 6m ) 6 m )8 m ) 6m E) 5 5m 7. lul el volumen de un pism egul de se pentgonl si se se que el potem de l se mide u y el áe de un ltel es 6 u. en l elión de. i el áe totl es 88m. lul el volumen del plelepípedo. ) m ) 60m )6m ) m E) 8m 9. L se de un pism eto es un omo de áe. Ls áes de ls seiones digonles son igules y. Hlle el volumen del pism. ) ) 6 ) E) 5 ) 0. lul el volumen de un etoedo, sí su digonl mide 0 y fom un ángulo de 5 on l se y un ángulo de 0 on un ltel. ) 0 ) 0 ) 5 ) 00 E) 5.. En un piámide tingul, su potem mide 6 y sus ists lteles miden 0. Hlle el áe ltel de di piámide. ) 570 ) 600 ) 576 ) 60 E) 66.i un piámide posee ists. lul su ntidd de véties y su ntidd de s. ) 0 ; 0 ) ; ) ; ) 8 ; 6 E) 6 ; 8 ) 80u )0u )0u ) 60u E) 80u 8. L ist ltel de un plelepípedo etngul mide m y ls ots dos medids están

59 ILINO Y ONO ILINO ETO O ILINO E EVOLUIÓN Es el sólido genedo po un etángulo undo gi lededo de uno de sus ldos tomdo omo EJE. EOLLO E U UPEFIIE Genetiz. Ltel = πg. Totl = π (g + ). V = π ² ILINO OLÍUO i se ot un ilindo eto on dos plnos plelos se otiene un ilindo oliuo uys ses son elipses. g LTEL π ELIPE E emi-eje meno emi eje myo = π TONO E ILINO ETO Es el sólido que se detemin l ot un ilindo eto on un plno sente no plelo sus ses. EJE E UN TONO E ILINO Es el segmento de et que une los entos de ls ses de un tono de ilindo, es igul l semisum de l genetiz máxim y l genetiz mínim G + g EJE = 00 =. Ltel = π. EJE. Totl = π. EJE + π² + π. V = π². EJE EIÓN ET g O O ELIPE ELIPE. Ltel = πg = dio de l eión et G ÍULO Eje o g. Totl = Ltel + se. Volumen = eión et x g Volumen = se x ONO ETO O E EVOLUIÓN ELIPE

60 Es el sólido genedo po l otión de un tiángulo etángulo undo gi lededo de uno de sus tetos, tomdo omo eje. El teto eje es l ltu del ono, el oto teto es el dio de l se y l ipotenus es l genetiz del ono. se = π g esollo de su supefiie g g ELIPE TONO E ONO ETO O E EVOLUIÓN Es el sólido que se detemin l ot un ono eto on un plno plelo su se. e puede onside omo el sólido genedo po l otión de un tpeio etángulo lededo del ldo pependiul ls ses. LTEL. Ltel = πg º Ltel = πg² 60º =. 60º g. Totl = π (g + ). V = π² ONO OLÍUO Es el sólido que se detemin l ot un ono eto on un plno no plelo su se. u se es un elipse. g. Ltel = πg ( + ). Totl = πg. ( + ) + π(² + ²) π. V = (² + ² + ) V = se. = π

61 POLEM EUELTO. En l figu O es el ento de l, se infeio del ilindo uy áe ltel se dese lul, si O = 6. ) 96π ) 8π ) 8π ) π E) 06π esoluión ) Tiángulo O(5º y 75º) 6 x = x = ) eliones Métis = 6x = 6() = 6 ) L : e ltel L : π : π(6) L L = 8π pt.. lul el volumen de un ilindo de evoluión de 0m de ltu. i el desollo de su supefiie ltel tiene po áe 00πm ) 50πm ) 0πm ) 0πm d) 80πm esoluión 0 6 x 5º π (0) = 00π = 5 Volumen = π (0) Volumen = π5 (0) Volumen = 50π pt.. En un ono eto de evoluión uy ltu mide 6 l meditiz de un de sus geneties inteept l ltu tl que el segmento de meditiz detemindo mide. Hll el áe ltel del ono. ) 6π ) 0π ) π d) 0π e) 7π esoluión 6 ) L : e ltel del ono L = πg...() ) emejnz de tiángulo = θ 6 g g =...() ) eemplzndo () en () L = π() L = π pt. EJEIIO θ g θ g = 0 00π 0. El desollo de l supefiie ltel de un ilindo eto es un uddo de áe. lul el volumen del ilindo. π ) / π ) /π ) /π