TRIGONOMETRÍA DEFINICIÓN

Transcripción

1 Tigonometí TRIGONOMETRÍ DEFINIIÓN L tigonometí se oup, piniplmente, de estudi l elión ente ldos y ángulos de un tiángulo, y sugió zón de ls neesiddes de l stonomí, l togfí (el estudio de mps), l tilleí, ente ots. L tigonometí, que neesitó p su desollo de elementos de itméti (p l onfiguión de tls), álge (p estlee fómuls que elionn ángulos y ldos de un tiángulo) y geometí, tuvo un floeimiento muho más tdío que l geometí. HLEMOS DE TRIÁNGULOS omo lo expesmos en l definiión de tigonometí, tjemos en este pítulo fundmentlmente on tiángulos. Po lo tnto, diemos que un tiángulo es un polígono de tes ldos (se soeentiende que se tt de un tiángulo edo). Vemos en el tiángulo : Los puntos, y se llmn véties. Los segmentos, y se llmn ldos (tmién los podemos llm, y, de uedo que estén opuestos los véties, y espetivmente). Los ángulos, y se llmn ángulos inteioes (l let que se esie en el medio de ls tes que fomn pte del nome del ángulo, es l que oesponde l vétie del mismo). Pueden designse tmién, y, de uedo l vétie. Los tiángulos, de uedo sus ángulos, se pueden lsifi en utángulos (undo los tes ángulos son gudos), etángulos (undo un ángulo es eto) y otusángulos (undo un ángulo es otuso). Ptiulmente, en el tiángulo etángulo el ldo myo (que es el que se opone l ángulo eto) se llm hipotenus. Los demás ldos (que se oponen los ángulos gudos) se llmn tetos. Los tiángulos, de uedo sus ldos, se pueden lsifi en equiláteos (undo los tes ldos son igules), isóseles (undo dos ldos son igules y uno es desigul) y eslenos (undo los tes ldos son desigules). Un ptiul popiedd de los tiángulos, nos die que l sum de sus ángulos inteioes es igul 180, o dos ángulos etos. su vez, en todo tiángulo etángulo, el uddo de l hipotenus es igul l sum de los uddos de d uno de los tetos. Est 97

2 MTEMÁTI ÁSI popiedd se onoe omo Teoem de Pitágos y nos seá de muh utilidd más delnte. ÁNGULOS ORIENTDOS EN UN SISTEM RTESINO Peisemos ómo onsidemos un ángulo en un sistem de oodends tesins: su vétie es el oigen de oodends. está genedo po l otión de un semiet o yo on oigen en (0;0). El yo pte desde un posiión iniil oinidente on el semieje positivo de ls x -éste seá su ldo iniil- y gi y 0 + x _ mnteniendo fijo su oigen hst lleg un posiión que m su ldo teminl. demás puede eliz más de un gio ompleto. es positivo undo está genedo en el sentido ontio l movimiento de ls gujs del eloj y negtivo undo está genedo en el sentido hoio. p efeinos su uiión, onsidemos el plno tesino dividido en uto setoes, llmdos udntes, y lolizmos el ldo teminl. MEDIIÓN DE ÁNGULOS Hy vios sistems de mediión de ángulos. Ente ellos, los más usdos son el sistem sexgesiml y el sistem iul. En el sistem sexgesiml, l unidd de medid es el gdo, que oesponde l 360-v pte de l iunfeeni. su vez, d gdo sexgesiml se divide en 60 ptes igules llmds minutos, y d minuto se divide en 60 ptes igules llmds segundos. sí, si un ángulo mide leemos: 34 gdos, 14 minutos, 3 segundos. Po lo tnto: un ángulo entl tiene 360, un ángulo llno tiene 180, un ángulo eto tiene 90, 98

3 Tigonometí un ángulo otuso tiene ente 90 y 180 gdos, un ángulo gudo tiene ente 0 y 90 gdos. Llmmos ángulos omplementios los que sumn 90 y ángulos suplementios los que sumn 180. En el sistem iul, se llm dián l ángulo que, teniendo su vétie en el ento de un íulo, ot en su iunfeeni un o de longitud igul l dio. O α Si semos que un iunfeeni omplet tiene 360 y su longitud es.. podemos ve que:.. dines Se puede osev en l gáfi, l medid poximd de un dián que equivle poximdmente (α ) De est mne, podemos otene l medid en dines de un ángulo de α gdos: 360 α.. α x dines. x 360 sí, po un simple egl de tes simple, podemos onveti gdos sexgesimles dines y vieves. Vemos estos ejemplos. Ejemplo 1: onveti 90 dines x dines dines. x 360 Ejemplo : onveti 1,5 gdos sexgesimles. 360 α ,5 α 70. 1,5. Ejeiios de pliión. onvesión de sistems de mediión. 1- omplet l siguiente tl: 99

4 MTEMÁTI ÁSI Gdos Rd lul el ángulo entl y el inteio de un deágono egul, tnto en gdos omo en dines (eued que un deágono es un polígono de 10 ldos). 3- lul l medid, en dines, de los dos ángulos que fomn ls gujs del eloj undo son ls 4 hs. onside que mos se genen en sentido negtivo. 4- Hll l medid, en dines, de estos ángulos: α 1 45 α 130 α α Hll l medid, en gdos sexgesimles, de estos ángulos: β 1 /5 β 3 β 3 β 4 5 RZONES TRIGONOMÉTRIS onsideemos un tiángulo etángulo. En él, el vétie oesponde l ángulo eto y los véties y oesponden los ángulos gudos. Po onsiguiente, l let oespondeá l ldo que se opone l ángulo eto (que denominmos nteiomente hipotenus) y y los ldos que se oponen los ángulos gudos (que denominmos tetos). uánts zones podemos fom ente los ldos, y? Son 6 y oesponden : ; ; ; ; Vmos defini ests zones dándoles un nome. Tomemos omo efeeni l ángulo gudo. P este ángulo, el teto (que es el que se opone l vétie, está enfente de él) se llmá teto opuesto y el teto (que es el que está ontiguo l vétie ) se llmá teto ; 100

5 Tigonometí dyente. Se definen, entones, ls siguientes zones tigonométis (seno, oseno, tngente, otngente, sente y osente del ángulo ): teto opuesto sen hipotenus tg teto dyente os hipotenus teto opuesto teto dyente teto dyente ot g teto opuesto se ose hipotenus teto dyente hipotenus teto opuesto Ls pimes zones tigonométis son ls fundmentles, pues podás osev que ls ots tes son eípos de ls pimes (mi tu luldo, y veás que sólo se enuentn ls funiones ot g 1 tg 1 se os 1 ose sen tigonométis seno, oseno y tngente). Entones: lguns identiddes tigonométis impotntes Ls tes igulddes que osevmos en el ptdo nteio, nos pemiten elion ls zones tigonométis. Ests igulddes se llmn identiddes, pues son válids p ulquie ángulo. Veemos ho ots dos. Si sen su vez,si os.sen.os 101

6 MTEMÁTI ÁSI Teniendo en uent el Teoem de Pitágos que definimos en el pime ptdo de este pítulo : + sen + os 1 Ot identidd impotnte que vinul l seno, el oseno y l tngente es l siguiente: Hgmos el oiente ente el seno y el oseno del ángulo : sen os tn sen + os y si dividimos mos miemos po sen os y eemplzndo po ls igulddes que otuvimos nteiomente,.. El oiente es l tngente.po lo tnto :, nos qued : L IRUNFERENI TRIGONOMÉTRI Podemos visuliz gáfimente el seno, el oseno y l tngente de un ángulo en un sistem tesino, si onsidemos un punto P soe un iunfeeni de dio 1, l que llmmos iunfeeni tigonométi o iunfeeni unidd. Soe l iunfeeni tigonométi y, poyándonos en ls definiiones dds de ls zones tigonométis, enontemos segmentos que oinidn en su medid on d un de ls zones definids, demás de pode dles un signo. y y p 0 1 α α P x y p y p sen α y p 1 Po lo tnto, el segmento y p está soido l seno deα. 10

7 Tigonometí y 0 1 α P x p x xp xp osα xp 1 Po lo tnto,elsegmentox p estásoidolosenode α. y p 0 1 α y P y p x p M Q x y p y p MQ MQ tg α demás MQ x x 1 Po se los tiángulos Po lo tnto, el segmento MQ está tngente deα. p p OPx p y OMQ, semejntes. soido l Lo que hemos definido quí p el ejemplo del ángulo lf (que es gudo) se puede he extensivo p ulquie ángulo, unque deeemos tene en uent el signo de ls zones tigonométis, de uedo los udntes en los ules se hllen los ángulos. Estos gáfios te yudán eodlo: y y y do. udnte 3e. udnte 1e. udnte + + _ + _ + x x _ + + _ 4to. udnte x SENO OSENO TNGENTE 103

8 MTEMÁTI ÁSI LS FUNIONES TRIGONOMÉTRIS omo l medid en dines de un ángulo oientdo es un númeo el, podemos defini ls funiones seno, oseno y tngente de un númeo. omenzemos on l funión f(x) sen x. L funión f(x) sen x, uyo dominio es R, sign d númeo el "x" el seno de ese númeo. P epesentl, se puede dividi l iunfeeni de dio 1 en doe ptes igules y detemin los vloes:... /6; /3; /; /3 ;... Luego, se tzn los segmentos soidos esos vloes y se tsldn omo muest l figu. Reued lo que mostmos en el ptdo nteio: p osev l medid del seno de "x", deeás osev l medid del teto opuesto l tiángulo fomdo en l iunfeeni (que nteiomente hímos llmdo x p ) l uni los puntos se otiene el gáfio de l funión. Est gáfi se llm sinusoide. Es ontinu y otd (es dei, p ningún vlo de x vlen más de 1 ni menos que -1). omo f(0) 0, el gáfio ot l eje y en (0,0). omo los vloes que tom l funión se epiten ílimente d, se umple que: sen (x + ) sen x Po eso l funión es peiódi; su peíodo es. L funión f(x) os x, uyo dominio es R, sign d númeo el "x" el oseno de ese númeo. 104

9 Tigonometí l igul que on el seno, p epesentl, se puede dividi l iunfeeni de dio 1 en doe ptes igules y detemin los vloes:... /6; /3; /; /3 ;... Luego, se tzn los segmentos soidos esos vloes y se tsldn omo muest l figu. Reued lo que mostmos en el ptdo nteio: p osev l medid del oseno de "x", deeás osev l medid del teto dyente l tiángulo fomdo en l iunfeeni (que nteiomente hímos llmdo y p ). l uni los puntos se otiene el gáfio de l funión. Est gáfi se llm osinusoide. Es ontinu y otd (es dei, p ningún vlo de x vlen más de 1 ni menos que -1). omo f(0) 1, el gáfio ot l eje y en (0,1). omo los vloes que tom l funión se epiten ílimente d, se umple que: os (x + ) os x Po eso l funión es peiódi; su peíodo es. omo tg x sen x / os x, l funión f(x) tg x, está definid p todos los númeos eles p los que os x 0. P onstui su gáfio, poedemos sí: en ls siss oespondientes los vloes que están exluidos del dominio de l funión (...- /; /; 3/ ;...), es dei, en los vloes p los que os x 0, tzmos ets vetiles on línes punteds. 105

10 MTEMÁTI ÁSI Tzmos un et tngente l iunfeeni en el punto M. Soe est et se mn los segmentos soidos ls tngentes de los vloes indidos en l iunfeeni de dio 1. Después, se tsldn los segmentos ls posiiones que oespondn. Su gáfio, difeeni de l sinusoide y de l osinusoide, no puede se diujdo de un solo tzo, es dei, sin levnt el lápiz del ppel. Esto se dee ls inteupiones que pesent en los vloes exluidos de su dominio. Po este motivo, l funión tngente es disontinu. El onjunto imgen es R. omo f(0) 0, el gáfio ot l eje y en (0,0). Es un funión peiódi; su peíodo es M Se umple que tg (x + ) tg x Tiene infinits síntots vetiles: un en d uno de los vloes eles exluidos del dominio: (...; x - /; x /; x 3/ ;...). INVERSS DE LS FUNIONES TRIGONOMÉTRIS d vez que usmos un ángulo onoiendo el vlo de lgun de sus zones tigonométis, estmos plindo un de ls eliones invess de ésts. Ls funiones tigonométis invess se llmn oseno, ooseno y otngente y son ls invess de ls funiones seno, oseno y tngente espetivmente. 106

11 Tigonometí Si queemos, po ejemplo, onoe el vlo del ángulo x que he vedde l siguiente iguldd, utilizmos ls funiones invess. sen x 0,5 po lo tnto x osen 0,5 y esto es igul x 30 (es impotnte tene en uent que est soluión no es úni si tenemos en uent que x tiene que vle ente 0 y 360, pues si 180 le estmos 30,otenemos el ángulo de 150 pále ul el seno es igul 0,5. Si tommos omo dominio todos los eles, podemos osev que los vloes 390, 750, et. tmién son soluión, pues l vlo 30 le summos suesivs vees 360 ). Oto ejemplo: tg x 1 po lo tnto x otg 1 y esto es igul x 45 (ho, es impotnte tene en uent que est soluión no es l úni si tenemos en uent que x tiene que vle ente 0 y 360, pues si 45 le summos 180 -otenemos 5 -, el vlo de l tngente nos dá tmién 1. Es dei, podemos osev que los vloes 45, 5, 405, et. tmién son soluión, pues l vlo 45 le summos suesivs vees 180 ). Ejeiios de pliión. Funiones tigonométis invess TIVIDD 6 Hll los vloes de x que veifin ls siguientes euiones, siendo 0 x 360 : ) tg x -3 ) os x 0,5 ) sen x 0,6 d).sen x 0,9 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS undo onoemos dtos sufiientes p que un tiángulo quede ompletmente definido, esolvelo es enont ls medids de los estntes elementos (ángulos y/o ldos). P tiángulos etángulos se pueden pesent dos polems: onoido un ldo y un ángulo, lul los demás elementos Ejemplo: Ddo el ángulo 35º y el ldo dyente 10 m de un tiángulo etángulo, lul los demás ángulos y ldos. omenzmos oquizndo un tiángulo 10m 107

12 MTEMÁTI ÁSI etángulo insetndo los dtos y ls inógnits. El ángulo 90º, el ángulo 180º º - 90º - 35º 55º (Reod que l sum de los ángulos intenos de un tiángulo sums 180º). P lul el ldo, podemos elion los ldos, y el ángulo, medinte l zón tigonométi llmd tngente de : tg. tg 10. tg(35º ) 7m De fom simil lulmos el ldo (hipotenus): elionndo los ldos, y el ángulo : 10 os 1, 1m os os(35º ) onoidos dos ldos, lul los demás elementos Ejemplo: Ddo el ldo dyente 10 m y el ldo opuesto 4 m de un tiángulo etángulo, lul los ángulos y el ldo estntes. omenzmos oquizndo un tiángulo etángulo insetndo los dtos y ls inógnits. El ángulo 90º, el ángulo puedo hlllo elionndo diho ángulo on los ldos onoidos: 4 tg tg tg 1.8º 1º 48' 5.07'' 10 El ángulo 90º, y el ángulo 180º º - 90º - 1.8º 68,º. El ldo desonoido, lo lulmos medinte: ) el Teoem de Pitágos (plindo dietmente los dtos): + (4) + (10) , 77 m o ien: ) elionndo los ldos, y el ángulo : 10 os 10, 77 os os( 1,8º ) o tmién, si utilizmos l zón sen. Dejmos l lumno omo tividd, lul el ldo medinte este último plnteo. onfimmos que el esultdo es el mismo. Ejeiios de pliión. Resoluión de tiángulos etángulos 10m m 4 m 7- Se neesit instl un toe de 50 m de ltu. 108

13 Tigonometí ) lul l longitud de l ued que une el extemo supeio de l toe on el punto de me () situdo 80 m de l se. ) Hll el ángulo que fom l ued on l hoizontl. 8- lul: ) el ángulo gudo de un tiángulo etángulo ente el ldo dyente de longitud y su hipotenus de longitud igul 5/3 de. ) Hll l longitud del ldo que flt. 9- Ddo un tiángulo uyos ldos tienen ls siguientes longitudes: 3 m, 4 m y 5 m espetivmente, hll los ángulos del mismo. Gfi. 10- Resolve el siguiente polem utilizndo ls zones tigonométis fundmentles. Un peson desde el punto osev el extemo de un edifiio on un ángulo de 30º. Si vnz 30 m en líne et hi l se del edifiio, osev el mismo extemo on un ángulo de 50º. ) Qué ltu tiene el edifiio? ) uál es l distni desde l mediión del último ángulo hst l se del edifiio? 11- Si sen 5 3, detemin en vlo exto los vloes del os, de l tg y de l se. 1 m 3 m 1- Dd l siguiente toe uy vist ltel fom h un tiángulo isóseles, hll l ltu totl "h", si l 3,5 se tiene un nho de 5 m, y l sepión ente dos s hoizontles del etiuldo que 5 m onfomn l toe, de 3 m y 3,5 m espetivmente es de 1 m. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS ULQUIER P esolve estos tiángulos elionmos los dtos onoidos on los desonoidos medinte fómuls. P ello utilizmos dos teoems: ) Teoem del seno. ) Teoem del oseno. Teoem del seno Su enunido es el siguiente: L longitud del ldo es l seno del ángulo opuesto, omo l longitud del ldo es l seno del ángulo opuesto, y omo l longitud del ldo lo es l ángulo opuesto. Donde ests popoiones son igules l onstnte, siendo es el dio de l iunfeeni iunsipt l tiángulo : 109

14 MTEMÁTI ÁSI sen ˆ sen ˆ senˆ h Demostión: Si tommos l ldo omo se del tiángulo, l ltu es l mínim distni desde l se l vétie (medid pependiulmente l se). L designemos omo h. onsidendo el ángulo y el ángulo, podemos expes ls siguientes zones tigonométis: sen ˆ h sen ˆ h l despej ls ltus, otenemos: h. sen igulndo ls ltus, y opendo, llegmos : ho, l onside l se, y su nuev ltu h medid vetilmente, h h sen ˆ y sen ˆ podemos expes: que l despej h se otienen espetivmente: h sen ˆ y h sen ˆ.. y l igul ms ltus y ope, otenemos: sen ˆ senˆ ( II ) ˆ h. sen ˆ sen ˆ sen ˆ Po ot pte suponemos este tiángulo insipto en un iunfeeni, y onsidemos un tiángulo etángulo tmién insipto en l mism donde es omún mos tiángulos. Los ángulos y son igules poque oesponden un mismo o de dos tiángulos insiptos en l mism iunfeeni. Si es etángulo, su hipotenus es igul l diámeto (). Entones se dedue: h ( I ) 110

15 Tigonometí sen ˆ sen ˆ' sen ˆ' sen ˆ ( III ) sen ˆ onsidendo ls expesiones deduids ( I ), ( II ) y ( III ), teniendo en uent que sus pimeos miemos son igules, y po áte tnsitivo llegmos : sen ˆ sen ˆ senˆ lo que demuest el enunido del teoem. pliiones del teoem del seno: 1º) onoido dos ángulos y un ldo. Ejemplo: Supongmos que onoemos 30º, 40º y el ldo 10 metos. Hll todos los demás elementos. Gfimos e identifimos en el mismo, d 10 m dto e inógnit: El ángulo 180º º - 30º - 40º 110 º (Es ovio que si l sum de los ángulos ddos es myo de 180º, el polem no tiene soluión). P detemin los ldos plimos el teoem del seno: sen ˆ sen ˆ sen ˆ donde p lul, utilizmos solmente l pime iguldd del teoem del seno: sen ˆ sen30º ,78metos sen sen sen ˆ sen 40º ho, p el álulo de plimos l iguldd que elion on los senˆ. sen sen sen ˆ dtos: sen 110º ,6 metos sen 40º 111

16 MTEMÁTI ÁSI º) onoido dos ldos y el ldo opuesto uno de dihos ldos. Ejemplo: Supongmos que onoemos Q 50º y los ldos QR 15 m, PR 0 m. Hll los dos ángulos estntes y el ldo desonoido. Q omo en el ejemplo nteio, gfimos e identifimos en el mismo, d dto e 50º p 15 m inógnit: p q plimos el teoem del seno: sen Pˆ R sen Qˆ q 0 m donde l ope, otenemos: ˆ p ˆ 15 P sen P. senq. sen50º 0, q 0 P sen(0, ) 35º 4' 1,05'' y ho R 180º - P - Q (35º 4 1,05 ) - 50º 94º 55 58,9 plindo nuevmente el teoem del seno p hll : q se otiene: sen Rˆ sen Qˆ sen Rˆ sen(94º55'58.9'') q. 0. 6, 01metos senqˆ sen50º Ejeiios de pliión. Resoluión de tiángulos ulquie utilizndo el teoem del seno 13- Resolve el siguiente tiángulo onoido el ldo 15 m y los ángulos 60º y 50º. 14- Dos viones vijn l mism ltu, l distni ente ellos es de 4º 8º 8 km. Despei l uvtu de l tie. Un osevdo desde tie los ve on ángulos difeentes. lul: ) Ls distnis del osevdo d uno de los viones. ) L ltu l que están volndo los viones (medid pependiulmente tie). 11

17 Tigonometí 15- Un teeno de fom tingul dee ese on lmdo. Se neesit onoe el peímeto p soliit los mteiles neesios. Los dtos se suministn junto l gáfi. 110º 38º Rut povinil 500 m Teoem del oseno Su enunido es el siguiente: Ddo un tiángulo ulquie, el uddo de l longitud de de un ldo es igul l sum de los uddos de ls h longitudes de los otos dos ldos menos el dole poduto de ls D longitudes de estos dos ldos po el poduto del oseno del ángulo ompendido ente ellos. Y que un tiángulo tiene tes ldos, el teoem del oseno puede expesse de tes foms distints: Demostión:...os ˆ...os ˆ...os ˆ Desollmos solmente l pime de ells y que ls ots dos demostiones, se otienen medinte el mismo poedimiento. Del tiángulo D, y plindo el Teoem de Pitágos, otenemos: h + D po ot pte, del tiángulo D, podemos expes: h D l sustitui l segund expesión en l pime, esult: ( D ) + D 113

18 MTEMÁTI ÁSI L longitud del segmento D es igul: D D, sustituyéndol en l nteio y opendo: D + ( D) D +.. D + D +.. D peo D.os ˆ +...os ˆ Demostd sí, l pime expesión del teoem del oseno. undo el ángulo es igul 90º (so ptiul), el teoem del oseno se tnsfom en el Teoem de Pitágos: Si ˆ ˆ + 90º os os 90º 0...os 0 pliiones del teoem del oseno: 1º) onoido dos ldos y el ángulo ompendido ente ellos Ejemplo: onoemos el ángulo 37º, el ldo 10 m y el ldo 18 m. Hll todos los demás elementos. Gfimos. 10 m plimos el teoem del oseno: +...os ˆ (10) 11,68m + (18).(10).(18).os37º 136,49 18 m P onoe el ángulo, deemos pli el teoem del seno: ˆ 10 sen. sen ˆ. sen37º 0,51553 sen ˆ sen ˆ 11,68 ˆ sen(0,51553) 31º 0' 51,6'' ho el ángulo : 180º º - 37º - 31,01 111º 59 8,3 º) onoido los tes ldos Ejemplo: Ddos los ldos RS 1 m, el ldo RT 8 m y el ldo ST 19 m. Hll todos los demás elementos. Gfimos. 114

19 Tigonometí plimos el teoem del oseno p d uno de los ldos y despejmos sus osenos: s s ( 8) ( 19) + t. s. t.os Rˆ os ˆ s R + (1) (19) 0,84375.(8).(1) Rˆ os(0,84375) + t.. t.os Sˆ 3º 7' 4,' ' os ˆ S + (1) (8) 0, (19).(1) Sˆ os( 0,611841) 17º 43' '' + t. s. t + t s.. t R S t 1 m 19 m s 8 m T El ángulo T, podemos deteminlo hiendo: T 180º - R - S 19º 48 55,5 o tmién plntendo l tee euión oespondiente l teoem del oseno: t ( 19) + s.. s.ostˆ os ˆ T + s t.. s + (8) (1) 0, (19).(8) Tˆ os(0, ) 19º 48' 55.5'' Ejeiios de pliión. Resoluión de tiángulos ulquie utilizndo el teoem del oseno. 16- Ddo el tiángulo gfido, hll el ldo x º 45 x 115

20 MTEMÁTI ÁSI 17- Detemine todos los ldos del tiángulo que tiene ls siguientes longitudes es sus ldos: 30 m, 55 m y 75 m. Gfi e identifi todos los dtos e inógnits en l mism. OTRS IDENTIDDES TRIGONOMÉTRIS Y hemos visto que tg θ osθ y l identidd fundmentl de l tigonometí: sen θ + os θ 1 y eodndo que: 1 osθ 1 1 ot gθ, seθ, oseθ tgθ osθ podemos otene ots identiddes tigonométis, po ejemplo: Tomndo l identidd fundmentl de l tigonometí y dividiéndol miemo miemo po os θ, otengo: sen θ os θ 1 + tg θ + 1 se θ os θ os θ os θ Si ho tommos l identidd fundmentl y l dividimos po sen os θ 1 + sen θ sen θ sen θ θ ot g θ + 1 os e θ sen θ : Ejeiios de pliión. Identiddes tigonométis. Veifi ls siguientes identiddes tigonométis ose( x) + ose( x).ot g( x) sen( x).ot g( x) os( x) 1. se( x) ( 1+ os x)(. 1 os x) sen x 19. ( tg x + ot g x). tg x se x ( 1 sen x)(.1+ tg x) 1 116

21 Tigonometí RELIONES ENTRE ÁNGULOS ontinuión nlizemos ls distints eliones onsidendo que: ) El seno es popoionl l teto opuesto diigido ( o se on el signo + o - según esté soe el eje de ls x o po dejo de él). ) El oseno es popoionl l teto dyente diigido ( o se on el signo + o - según esté l deeh del eje y o su izquied). ) L tngente es igul l oiente ente el seno y oseno del ángulo oespondiente. Ángulos opuestos Reliones ente ángulos: θ y θ sen( θ ) os( θ ) osθ sen( θ ) tg( θ ) tgθ os( θ ) osθ Ángulos que difieen en 180º ( dines) Reliones ente ángulos: + θ y θ sen( + θ ) os( + θ ) osθ sen( + θ ) tg( + θ ) tgθ os( + θ ) osθ Ángulos omplementios Reliones ente ángulos uy sum es 90º (es / dines) β θ y θ º sen θ osθ os θ sen θ osθ tg θ ot gθ os θ Ángulos suplementios Relión ente ángulos uy sum es 180º (es dines): 117

22 MTEMÁTI ÁSI β θ y θ sen( θ ) os( θ ) osθ sen( θ ) tg( θ ) tgθ os( θ ) osθ Ángulos que difieen Ángulos opuestos en 180º θ +θ θ θ Ángulos omplementios Ángulos suplementios +θ θ θ θ RZONES TRIGONOMÉTRIS DE L SUM Y DE L DIFERENI DE ÁNGULOS ( θ + β ) Y ( θ β ). Ls expesemos en funión de ls tzones tigonométis de los ángulos simples: sen θ,osθ, tgθ, sen β,os β y tg β Ddo los dos tiángulos etángulos O Y D on ángulos entles θ y β espetivmente, pueden D G β deteminse ls siguientes zones tigonométis: ED F + G sen( θ + β ) (I) OE OF DG os( θ + β ) ( II) O E F θ 118

23 Tigonometí Seno de l sum de dos ángulos Del tiángulo OF (semejnte O): F F O. ( III) O Del tiángulo GD (semejnte O): G osθ G D.osθ ( IV ) D Del tiángulo OD: D O sen β ( V ) os β ( VI) Sustituyendo (III ) y (IV ) en l expesión (I ): ED F + G O. + D.osθ sen( θ + β ) O D + osθ Sustituyendo (V ) y (VI ) en l últim: O D sen ( θ + β ) + osθ os β. + senβ. osθ sen ( θ + β ) os β. + senβ.osθ ( ) oseno de l sum de dos ángulos Ptimos de l expesión (II ): os OE OF DG ( θ + β ) ( II ) Del tiángulo OF, otenemos: OF osθ OF O.osθ ( VII) O DG Del tiángulo GD: DG D. ( VIII) D Sustituimos (VII ) y (VIII ) en l expesión (II ): OF DG O.osθ D. O D os θ + β.osθ. sen ( ) θ 119

24 MTEMÁTI ÁSI O D Peo del tiángulo OD: os β ( IX ) senβ ( X ) que l eemplz en l expesión nteio, se lleg l siguiente identidd: O D os( θ + β ).osθ. os β.osθ senβ. os θ + β os β.osθ senβ. ( ( ) ) sen os Dividiendo numedo y denomindo po tgθ + tgβ tg( θ + β ) ( ) 1 tgθ. tgβ L tngente esult: tg( θ + β ) ( θ + β ) os β. + senβ.osθ ( θ + β ) os β.osθ senβ. os β. osθ, se otiene: Si el segundo ángulo es negtivo, emplzmos en ls expesiones () y () y () el ángulo β po - β, oteniéndose: sen os tg ( θ β ) os β. senβ.osθ ( D) ( θ β ) os β.osθ + senβ. ( E) tgθ tgβ 1+ tgθ. tgβ ( θ β ) ( F) RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO DOLE Se pueden otene pti de ls expesiones () y () y () onsidendo los ángulos θ y β igules: sen θ + θ osθ. +.osθ.. os sen os os ( ) θ ( θ )..osθ ( G) ( θ + θ ) osθ.osθ sen θ. ( θ ) os θ sen θ ( H ) 10

25 Tigonometí tgθ + tgθ tg( θ + θ ) 1 tgθ. tgθ. tgθ tg θ ( I 1 tg θ ( ) ) RZONES TRIGONOMÉTRIS DE MITD DE ÁNGULO Sustituyendo en ls expesiones (G), (H) y (I) el ángulo θ po θ /, otenemos: θ θ sen( θ ). sen.os ( J ) os θ ( θ ) os ( K) sen θ Expesndo l euión fundmentl de l tigonometí en funión de los ángulos mitd, nos qued: sen θ + os θ 1 Y sustituyendo en ell ls euiones (J) y (K) y opendo, nos qued: θ 1+ osθ os θ sen 1 osθ θ 1 osθ tg 1+ osθ RZONES TRIGONOMÉTRIS ELEVDS L UDRDO Si en l expesión (H) sustituimos el seno en funión del oseno o vieves otendemos nuevs identiddes: 11

26 MTEMÁTI ÁSI os os ( θ ) os θ sen θ os θ (1 os θ ).os θ 1 1 os θ ( θ ) 1 sen θ ( 1+ osθ ) ( M ) os θ sen θ (1 sen θ ) sen θ 1. sen θ ( 1 osθ ) ( N) Dividiendo ms expesiones, otenemos: (1 os θ ) tg θ (1 + os θ ) ( O) Ejeiios de pliión. Resoluión de tiángulos utilizndo l elión ente ángulos. - Ddo un tiángulo etángulo. Si el oseno de es l mitd del oseno de, y el ángulo es de 90º, lul los ángulos y. Gfi. 3- Ls zones tigonométis de 5 son: sen 5 0,43; os 5 0,906; tg 5 0,466; on estos dtos, lul ls zones tigonométis de 65, 155 y lul el seno, el oseno y l tngente de 150, siendo que el sen 30 0,5; el os 30 0,866 y l tg 30 0, Si el sen 1 0, y el sen 37 0,6; lul el sen 49, os 49 y l tg Demuest que: sen +.sen sen sen 7- Detemin el sen x, os x y tg x, siendo que os x 0,6. EUIONES TRIGONOMÉTRIS ( ) ( ) Euión es l igulión de dos o más expesiones. En este so po lo menos un de ells deeá se tigonométi. omo en tod euión, el onjunto soluión dee stisfe l iguldd. El onjunto soluión es el onjunto de vloes que puede tom l vile o viles p stisfe l euión. 1

27 Tigonometí Osevión: Ls identiddes tigonométis vists nteiomente, son euiones peo que se stisfen p todos los vloes de l vile o viles. Ejemplo 1: 5. sen x.os x 5 0 Teniendo en uent l identidd fundmentl: os sustituil en l euión, otenemos: 5. sen x.(1 sen x) sen x +. sen x 7 sen x 1 sen x ± 1 x 90º ± n.180º (1 ±. n).90º Ejemplo : tg x ot g x 1 sen x os x 1 os x sen x tg x. sen x 1 1 sen x. os x os x 1. sen x os x sen x x tg () Ejemplo 3: sen x 8.os x 3.ose x. sen x sen x 8.os x 3.ose x. sen x 8.os x 4. sen x. sen x x sen 3 +. sen x sen x x 1 sen x, l x sen (1) x 90º ± n.360º x sen ( 1) x 90º ± n.360º donde n es un númeo ntul.. sen x 1 sen x. os x 1 1 os x 1. sen x 8. sen x.os x 3. sen x 1 x. tg () 31º 43' 8.os x 3 +. sen x 3 sen x.91'' 1. sen x 3. + sen x sen x 3 x 60º + n.360º x 30º + n.180º x 30º + n.360 x 15º + 180º 3 13

28 MTEMÁTI ÁSI onjunto x 30º.( n) soluión x 15º.( n) donde n es un númeo ntul Ejeiios de pliión. Euiones tigonométis. 8- Resuelve ls siguientes euiones (Tene en uent que x está expesdo en dines): ) senx tgx ) os x x sen x 1 ) os 3 4 Otos ejeiios. 9- Dd l gáfi y los dtos que figun ontinuión, detemin l longitud del ldo D. Ángulo 30 Ángulo D 70 Ángulo D 5 Ángulo m D 30- El viento ot un áol y l punt se poy en el suelo en un punto situdo 0 m de l se del tono fomndo un ángulo de 30º on el plno hoizontl. Qué ltu tení diho áol ntes de otse? 31- Los ldos de un tiángulo miden espetivmente 13, 14 y 15. Hll los ángulos, y. 30º 0 m

29 Tigonometí 3- En lo lto de un fol de 3 m de ltu ill un luz. Un home de 1,70 m de esttu se lej minndo del fol. Detemin l longitud de l som S undo X.5 m y undo X 5 m. X S 33- En el tiángulo otusángulo se tiene que el ángulo 8º y el ángulo 140º y 6m. lul l ltu D. D 34- Desde un OVNI que vuel 100 m de ltu, un E.T. mide 4º 8º on su pistol espil los ángulos de depesión de dos pesons que minn po un 100 m Petones lle, siendo estos espetivmente de 8º y 4º Qué distni sep los petones? 35- L toe inlind de Pis tiene 53,7 m de longitud. Deido flls del teeno, se inlinó un ángulo α omo muest l figu. un distni de 30 m desde el ento de l se de l toe, el ángulo de elevión l extemo supeio de l toe es de 65º. Hll el ángulo α, y l ltu H de l toe m lf 65º 30 m H 15

30 MTEMÁTI ÁSI 36- on los dtos del diujo, lul el nho de l lle y l ltu del sielo. 1 m 58º lle 14º 37- Ddo el siguiente tiángulo esleno : ) lul el ángulo ) lul l ltu h 3 h 8 ) lul l supefiie del tiángulo Desde el punto on un ángulo de 33º 40 se osev el extemo de un toe de ltu h. minndo 0 m hi l toe llegmos l punto donde osevmos on un ángulo de 6º 34 el ento de l toe. Qué ltu tiene l toe? 0 m h h/ 39- Un montñ de 650 metos de ltu sep dos puelos y. Desde el puelo se ve l im de l montñ on un ángulo de 4º, y desde el puelo l im se osev on un ángulo de 36º. uál es l distni ente los dos puelos? 40- Detemin el peímeto de l siguiente figu: 30 m m D 16