a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.

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Ángeles Olivera Gil
hace 6 años
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1 Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l figur del ldo dereho. θ Si onsidermos el vetor omo se del prlelogrmo y denotmos por h su ltur entones por definiión de seno de un ángulo gudo en un triángulo retángulo tenemos que h sen θ o se h sen θ ; por onsiguiente el áre del prlelogrmo en onsiderión es h sen θ es deir Áre prlelógrmo sen θ Aunque el áre de diho prlelogrmo es un eslr de tods mners puede ser representdo por un vetor. Cuál? Aquel vetor que es perpendiulr l plno determindo por los vetores y uy norm es preismente el áre del prlelogrmo. θ Desde luego que otr eleión posile huiese sido el opuesto del vetor es deir -. Volveremos sore este punto más delnte. Cuáles son ls oordends del vetor en funión de ls oordends de y?

2 Sí y entones de ls ondiiones de perpendiulridd y podemos deduir que ls oordends del vetor son soluiones del sistem de euiones lineles Si y no son múltiplo uno del otro entones l menos uno de los siguientes determinntes es no nulo Sin perder generlidd en nuestro rzonmiento suponiendo que y si esogemos entones podemos ver que y son soluiones del sistem de dos euiones on dos inógnits uys soluiones son y de mner que Este vetor que represent el áre del prlelógrmo define el llmdo produto vetoril o produto ruz de dos vetores. Definiión El produto ruz o produto vetoril de dos vetores tridimensionles y es el vetor definido por l iguldd Oservemos que el vetor puede ser luldo de l siguiente mner 7

De los resultdos otenidos se oserv que si y son vetores ddos entones el sentido del produto ruz se otiene medinte l regl de l mnos dereh que explimos ontinuión.

3 entones pr ser si este vetor punt en un sentido o el opuesto podemos relizr los siguientes álulos: i j j k y k i. i j k k j k i j k i j i Tmién podemos lulr los produtos j i k j y i k. Háglo. De los resultdos otenidos se oserv que si y son vetores ddos entones el sentido del produto ruz se otiene medinte l regl de l mnos dereh que explimos ontinuión. Regl de l mno dereh: Si ponemos el dedo índie de l mno dereh puntndo en el mismo sentido del vetor y el dedo myor en el mismo sentido que entones el sentido del produto vetoril de los vetores y lo d el pulgr de l mism mno dereh undo este se estir de mner que quede perpendiulr los otros dos dedos. Pr fmilirizrse on el produto ruz proponemos: 8

4 Representr gráfimente los vetores y el prlelogrmo determindo por éstos. Clulr el produto vetoril representrlo gráfimente y verifir que el resultdo punt en el mismo sentido que el ddo por l regl de l mno dereh. Clulr el áre del prlelogrmo definido en l prte. Propieddes del produto ruz Si y son vetores tri dimensionles entones se verifi ls siguientes propieddes:..... α α. 7. Si tenemos presente que l norm del vetor represent el áre del retángulo definido por los vetores y podemos visulizr geométrimente ls propieddes y. Como el áre del prlelógrmo uyos ldos son y. es nul es nturl que vlg Si multiplimos por un eslr no negtivo l longitud de uno de los ldos de un prlelogrmo entones su áre se multipli por dih onstnte. Cómo se puede interpretr geométrimente 7? Sugerimos que el letor demuestre ls propieddes del produto ruz. A modo de ejemplo proremos y 7. Si y entones 9

5 Si y entones Por otro ldo Comprndo los resultdos podemos ver que se verifi. Un prolem interesnte: Cómo se puede lulr el volumen del prlelepípedo determindo por los vetores y de l figur dyente?

6 Como en todo prlelepípedo el volumen se otiene multiplindo el áre de l se por l ltur. En este so omo hemos visto nteriormente el áre sl es l norm del produto vetoril de y. θ θ h Si denotmos por h l ltur del prlelepípedo y por θ el ángulo determindo por los vetores y entones podemos ver que osθ h o se h osθ. Por lo tnto el volumen del prlelepípedo es V h os θ En so que el ángulo θ se otuso su oseno es negtivo en uyo so el volumen del prlelepípedo se otiene mindo el signo de. En onlusión el volumen del prlelepípedo determindo por los vetores y siempre puede ser luldo emplendo l fórmul V Es nturl preguntrse ómo lulr este volumen si los vetores hn sido ddos trvés de sus omponentes es deir sin onoer el ángulo θ? Pr responder est pregunt lo mejor es relizr el álulo diretmente. Se tiene:

7 El volumen requerido es igul l módulo de este resultdo. Sin emrgo hy un mner más rápid de proeder y que expliremos ontinuión. Cundo se estudi el tem de sistems de euiones lineles en l enseñnz medi vees el profesor define el determinnte de orden de l siguiente mner Est últim expresión es difíil de retener en l memori sin emrgo se emple freuentemente rzón por l ul dremos un regl mnemoténi pr lulr determinntes de orden sin difiultd. Si opimos l ldo dereho del determinnte ls dos primers olumns omo se muestr en l figur nterior podemos ver que los produtos que se formn multiplindo los tres oefiientes indidos por d fleh min su signo o no según que l fleh punte hi l dereh o hi l izquierd respetivmente. Como dihos produtos son los mismos que en el resultdo del determinnte podemos relizr el álulo de est mner. Por ejemplo: Pr fmilirizrse on este proedimiento invitmos l letor lulr los siguientes determinntes:

8 ost sen t sen t ost No tiene muho sentido lulr determinntes si no semos pr qué sirven ni que signifido tienen. Si reordmos que el determinnte que otuvimos lulndo el produto uyo módulo es el volumen del prlelepípedo definido por los vetores y deemos tener presente que el módulo de un determinnte de orden tres es el volumen del prlelepípedo definido por tres vetores uys omponentes son respetivmente los oefiientes de d un de ls fils del determinnte. El módulo del determinnte que hemos luldo pr ejemplifir es igul l volumen del prlelepípedo definido por los vetores y. Ahor que tenemos un interpretión geométri de definiión. pree nturl l siguiente Definiión: El produto mixto o produto j de los tres vetores y es Propieddes del produto mixto Pregunt Cómo podemos lulr el volumen de un tetredro? Reordemos que un tetredro es un poliedro que tiene utro rs utro vérties y seis rists. Y semos lulr el volumen de un prlelepípedo determindo por tres vetores y omo el que se muestr en l figur djunt. Entones pr lulr el volumen del tetredro definido por los tres vetores y es sufiiente determinr uántos de estos tetredros en en diho prlelepípedo.

9 Dividir el prlelepípedo en dos prisms del mismo tmño omo se indi en l figur de más jo tl vez nos yude enontrr un respuest. Es importnte onvenerse que en este prism en extmente tres tetredros de volumen igul l del tetredro definido por los vetores y de mner que el prlelepípedo ontiene extmente seis de estos. Del rzonmiento nterior podemos onluir que el volumen del tetredro definido por los vetores y está ddo por l fórmul Ejeriios resueltos: V. Clulr el volumen del prlelepípedo definido por los vetores y. Soluión: El volumen es igul l módulo del siguiente determinnte 8 8 por lo tnto el volumen pedido tiene uniddes de volumen.. Determinr el volumen del tetredro uyos vérties son los puntos A B C y D. Soluión: El volumen del tetredro es igul l sext prte del volumen del prlelepípedo determindo por los vetores AB AC y AD de mner que V AB AC AD. Como AB AC y AD fáilmente podemos ver que AB AC y AB AC AD. Por lo tnto el volumen requerido es V uniddes de volumen.

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