Tema 1: ÁLGEBRA DE MATRICES

Transcripción

1 ÁLGER DE MTRIES

2 Tem : ÁLGER DE MTRIES Índie. Mtries... Definiión de mtriz... lsifiión de ls mtries... Tls, grfos y mtries.. Operiones on mtries... Sum de mtries... Multipliión de un número por un mtriz... Produto de mtries... Mtriz invers.. Rngo de un mtriz.

3 . MTRIES... Definiión de mtriz. Ls mtries tienen su origen en los udrdos ltinos y udrdos mágios, y utilizdos en el terer milenio.. En los Nueve pítulos, liro hino esrito en el siglo II., se utilizn ls mtries de form implíit, pr resolver uno de los prolems. Ls tls de rill usds por l ivilizión ilóni, muestrn omo se usn mtries pr l resoluión de sistems. En muhos otros prolems lgerios se neesit mnejr un ntidd grnde de informión numéri, el uso de mtries filit su resoluión. Se trt de uno de los elementos más importntes del Álger linel. El nomre se dee l mtemátio inglés Jmes J. Sylvester (8-89), queriendo indir que ern ls "mdres" de los determinntes. Otros mtemátios que hn trjdo sore l teorí de mtries son röenius, Hmilton y Von Neumnn. En l tulidd, demás de pr l resoluión de sistems, ls mtries se usn pr l resoluión de euiones difereniles, en el álulo numério. preen tmién en geometrí, estdísti, informáti, eonomí, psiologí, et L vent de entrds ls tres sls de un multiine se distriuye de l siguiente mner: Sl Sl Sl. Infntil 9 dulto 8 Estos dtos, presentdos en form de tl, se pueden mostrr de mner más esquemáti 9 8 Est form de representr un informión reie en mtemátis el nomre de mtriz. Se llm mtriz un disposiión retngulr de números o expresiones ordendos en fils y olumns. Se trt de esquems de diferentes situiones que tienen en omún el ser lineles. L notión que se sigue es l siguiente: ( ij ) : m : m : n n : mn De form que el término ij represent l número o expresión que oup en l fil i y l olumn j. sí, en l mtriz nterior, tenemos =, = 9, = 8 et. Los términos ii formn l digonl prinipl.

4 L mtriz omplet se puede representr tmién omo ij, representión que no dee onfundirse on l nteriormente vist pr un elemento de l mtriz, ij. Dos mtries y son igules undo tienen igules todos sus elementos: ij ij i, j omo onseueni pr que dos mtries sen igules es neesrio que tengn el mismo número de fils y el mismo número de olumns. L mtriz del ejemplo tiene dos fils y tres olumns, se die que es un mtriz de dimensión u orden x El número de fils y olumns de un mtriz se llm orden o dimensión de l mtriz y se represent omo mxn, siendo m el número de fils y n el número de olumns. undo el número de fils oinide on el número de olumns deimos que tenemos un mtriz udrd de orden n. Si multiplimos el número de fils de un mtriz por el número de olumns otenemos el número de términos (tmño) de l mtriz. En el ejemplo, el número de elementos es x=. undo un mtriz está formd por un sol fil se die que es un mtriz fil, si está formd por un sol olumn, se trt de un mtriz olumn. Mtriz fil: - Mtriz olumn: Un so prtiulr de mtriz es quell en l que todos sus elementos son ero, se trt de l mtriz nul. Por ejemplo l mtriz nul de orden es l mtriz: Si en l mtriz on l que representámos l vent de entrds ls sls de un multiine, inter-

5 mimos fils por olumns, otenemos l mtriz: 9 8 que es l mtriz trspuest de l mtriz y que se represent omo t Ejemplo: L mtriz trspuest de l mtriz 8, es l mtriz t 8.. lsifiión de ls mtries. L lsifiión que relizmos quí se refiere sólo mtries udrds y no es plile mtries retngulres. ntes de omenzr on l lsifiión vmos definir dos elementos importntes en tod mtriz udrd, se trt de l digonl prinipl y de l digonl seundri. En ls siguientes mtries, l mtriz tiene en negrit los elementos que formn l digonl prinipl, mientrs que l mtriz figurn en negrit los elementos que formn l digonl seundri. L digonl prinipl de un mtriz udrd es el onjunto onstituido por todos los elementos de l form ii. L digonl seundri es el onjunto ompuesto de todos los elementos de l form ij on i j n onsideremos ls siguientes mtries de orden :

6 Ls dos mtries se rterizn porque todos los elementos por dejo (en el so de ) o por enim (en el so de ) de l digonl prinipl son nulos, deimos que se trt de mtries tringulres. es un mtriz tringulr superior y es un mtriz tringulr inferior. Deimos que un mtriz dd es tringulr superior, undo todos los elementos situdos por dejo de l digonl prinipl son nulos. Deimos que un mtriz dd es tringulr inferior, undo todos los elementos situdos por enim de l digonl prinipl son nulos. Ejemplo: De ls siguientes mtries, indi uáles son tringulres y uáles no. ) ) ) d) ) Tringulr superior ) No es tringulr ) Tringulr inferior d) Tringulr inferior Oservs lgun relión entre los elementos de ls siguientes mtries? ) ) En el so de l primer mtriz oservmos que los elementos simétrios on respeto l digonl prinipl son igules, deimos que es un mtriz simétri Llmmos mtriz simétri tod mtriz udrd tl que ji ij En l segund mtriz, oservmos que los elementos simétrios respeto l digonl prinipl son igules en vlor soluto pero de signo ontrrio, tenemos un mtriz hemisimétri o ntisimétri

7 Llmmos mtriz ntisimétri o hemisimétri tod mtriz udrd tl que ji ij. omo onseueni de est definiión, l digonl prinipl de un mtriz ntisimétri está formd por eros Ls siguientes mtries: se rterizn por tener nulos todos los elementos que no perteneen l digonl prinipl, deimos que son mtries digonles. Llmmos mtriz digonl tod mtriz udrd, en l que todos los elementos que no perteneen l digonl prinipl son nulos, es deir, j i ij undo en un mtriz digonl, los elementos de l digonl prinipl son todos igules, deimos que tenemos un mtriz eslr. Por ejemplo: Si demás, estos elementos son igules l unidd, tenemos l mtriz unidd o identidd, que representmos por I n, donde n indi el orden de l mtriz. I I I.. Tls grfos y mtries. Ls mtries se pueden empler pr lmenr todo tipo de informión, pr desriir reliones, pr el estudio y resoluión de sistems de euiones y son usds on freueni en Soiologí, Eonomí, Psiologí, et. L informión que se nos proporion en un tl puede representrse en form de mtriz

8 Ejemplo: L distriuión de vitmins en grmos de dos produtos y viene dd por l siguiente tl: Vitmin,, Vitmin,, lio,, Est informión se puede representr en ulquier de ls siguientes mtries:,,,,, M,, N,,,,, Ejemplo: Un imprent edit rteles de tres lses diferentes X, Y, Z. Los preios de oste de d rtel y los ingresos que otiene l empres por d uno, vienen ddos por l siguiente tl: X Y Z oste Ingreso 9 L mtriz que represent l informión ontenid en est tl puede ser: 9 o 9 L siguiente tl muestr l distni, en Km, que seprn lugres de Vldemoro Prque del risto (S), Plz de l Piñ (LP), Plz de l onstituión (P) y Plz de ánovs (P) S LP P P S,,, LP,,, P,,, P,,, Est tl de distnis l podemos representr on l siguiente mtriz:

9 , D,,,,,,,,,,, Sin emrgo, no tods los lugres están onetds entre si. Ls onexiones reles entre ls distints plzs, undo nos movemos en ohe, vienen dds por el siguiente esquem: S P LP P Este tipo de representión se llm grfo. Está formdo por un onjunto de nudos (o puntos nodles), unidos por segmentos llmdos rms o onexiones. prtir del grfo podemos otener l mtriz de omuniión, mtriz onetiv, o mtriz de dyeni de mner que en est mtriz representmos on un el rue de fil y olumn orrespondientes puntos que se enuentrn omunidos y on un ero undo no existe omuniión. L mtriz orrespondiente l grfo nterior serí: S LP P P S LP P P Ejemplo: El siguiente grfo muestr ls reliones lorles entre tres empledos de un empres Empledo Empledo Empledo 8

10 L mtriz onetiv que represent diho grfo es l siguiente: Si lulmos, otenemos un mtriz que nos indi ls reliones posiles entre dos empledos utilizndo un empledo intermedio. Por ejemplo, el empledo se puede omunir on el empledo utilizndo un empledo intermedio, diretmente no podrí. El empledo se puede omunir onsigo mismo utilizndo un empledo intermedio de dos forms diferentes (el elemento es un ). represent ls reliones posiles entre dos empledos utilizndo dos empledos intermedios. que el elemento se un signifi que hy dos posiiliddes de que el empledo tres se relione on el empledo dos utilizndo dos empledos intermedios (--- y ---).. OPERIONES ON MTRIES... Sum de mtries. Pr introduir est operión omenzremos on un senillo ejemplo, suponiendo dos mtries udrds de orden. y L sum de ests mtries es otr mtriz de orden, en l que d elemento se otiene sumndo los orrespondientes de y. Por ejemplo, el elemento se otiene sumndo los elementos y ( = + =-+=), tenemos entones: 9

11 En generl: L sum de dos mtries =( ij ) y =( ij ), del mismo orden (mxn), es otr mtriz =( ij ) del mismo orden, tl que ij = ij + ij Ejemplo: Dds ls mtries: 9 y, Ls mtries + y ++ son: L últim mtriz otenid en el ejemplo nterior es l mtriz nul. Propieddes: ) Propiedd onmuttiv: +=+ ) Propiedd soitiv: +(+)=(+)+ ) Elemento neutro: El elemento neutro pr l sum de mtries es l mtriz nul. d) Elemento opuesto: Dd un mtriz, definimos l mtriz opuest de, que representmos por, omo quell mtriz que umple +(-)=. Teniendo en uent l definiión de sum de mtries, y que ésts están formds por números reles, los elementos de l mtriz opuest se otienen lulndo el opuesto de d uno de los elementos de l mtriz. e) t t t Un vez definid l mtriz opuest, podemos lulr l difereni de dos mtries sin más que tener en uent que ) ( Ejemplo: Utilizndo ls mtries del ejeriio nterior l mtriz será: 9

12 9 ( ).. Multipliión de un número por un mtriz. El produto de un número por un mtriz es un generlizión del produto de un número por un vetor (no olvidemos que un vetor puede ser tomdo omo un mtriz fil o omo un mtriz olumn) y sí tenemos: ) ( ) ( Si en lugr de un mtriz fil, tenemos un mtriz formd por tres fils, multiplimos tmién los elementos de l segund y terer fil. 9 El produto de un número rel por un mtriz =( ij ), es un mtriz =( ij ) del mismo orden que l mtriz y tl que: ij ij l número se le llm eslr. Propieddes ) Propiedd soitiv: ) ( ) Propieddes distriutivs: h h ) ( ) Elemento neutro:

13 .. Produto de mtries. El produto de dos mtries sólo se puede relizr si el número de olumns de l primer mtriz oinide on el número de fils de l segund mtriz, se die entones que tenemos dos mtries multipliles: El produto de l mtriz =( ij ), de orden mxn, por l mtriz =( ij ), de orden nxq, es l mtriz ) ( ij, de orden mxq tl que el elemento de l fil i-ésim, olumn j-ésim viene dd por: n k kj ik ij Ejemplo: Dds ls mtries y, el produto será: 9 Propieddes: ) No es, en generl, onmuttivo. ) soitiv: ) El produto de dos mtries no nuls puede dr l mtriz nul. Por ejemplo: 9 d) Elemento neutro: El produto de mtries udrds tiene elemento neutro, l mtriz identidd, de tl form que I I e) t t t demás ls dos operiones unids tienen l propiedd distriutiv:

14 o.. Mtriz invers. Dds ls mtries y, lulmos y : Oservmos que en este so si se umple que, y demás, que mos produtos son igules l mtriz identidd de orden. Deimos que l mtriz es l mtriz invers de l mtriz. Dd un mtriz de orden n, si existe l mtriz de orden n, tl que I,se die que es l mtriz invers de y se represent omo No siempre existe l mtriz invers. undo un mtriz tiene invers, se die que es regulr. Si l mtriz no tiene invers, deimos que es un mtriz singulr El primer proedimiento que vmos utilizr pr el álulo de l mtriz invers es l propi definiión: Dd l mtriz, l mtriz invers de tendrá l form d y deerá umplir que I : d d d d d Resolviendo el sistem otenemos ; ; ; d, por tnto l mtriz invers de

15 es Otro proedimiento pr lulr l mtriz invers es el método de Guss omo ejemplo desemos hllr l mtriz invers de onstruimos un mtriz formd por l mtriz seguid de l mtriz unidd de orden I Hiendo trnsformiones similres ls que hemos undo resolvemos sistems por el método de Guss, intentremos llevr l mtriz unidd l ldo izquierdo Si hor dividimos ls dos fils por 8, otenemos: 8 8 l mtriz invers de será l formd por ls dos olumns de l dereh: 8 Vemos hor un ejemplo on un mtriz de orden,

16 Dividimos l segund fil por -, y l terer por -:, quedándonos pr l mtriz invers de : En resumen, lo que hemos es l trnsformión: tl que si ij ij y Pr relizr dih trnsformión podremos: Multiplir un fil por un número distinto de ero. Sumr un fil otr multiplid por un número.. RNGO DE UN MTRIZ. Por su utilidd en el estudio y resoluión de sistems de euiones lineles vmos estudir un nuevo prámetro, el rngo de un mtriz. El rngo de un mtriz, r(), es el número de fils o olumns linelmente independientes Un fil distint de ero, depende linelmente del resto de fils, si se puede expresr omo ominión linel de ésts. Un fil de un mtriz es linelmente independiente undo no depende linelmente de otrs fils de l mtriz.

17 Ejemplo: L mtriz tiene rngo. L segund fil se puede expresr omo, ls dos fils son linelmente dependientes, y por tnto, sólo un fil es linelmente independiente. Ejemplo: L mtriz tiene rngo. L segund fil no es proporionl l primer, ls dos fils son linelmente independientes. Ejemplo: En l mtriz: l terer fil se puede poner omo ominión linel de ls dos primers,, por tnto ls tres fils no son linelmente independientes. Si suprimimos ulquier de ells, ls dos que quedn sí lo son. Por tnto r ( ) Μétodo de Guss pr el álulo del rngo de un mtriz: onsiste en trnsformr l mtriz iniil en un mtriz uyos elementos por dejo de l digonl sen eros, utilizndo ls trnsformiones elementles deuds. El rngo de l mtriz será el número de fils no nuls que tiene l mtriz tringulr que hemos otenido. Si llmmos i l fil i-ésim y j l fil j-ésim, ls trnsformiones elementles son ls que se reogen en l siguiente tl:

18 Trnsformiones elementles Ejemplo Intermir dos fils. Lo representmos j i Multiplir todos los elementos de un fil por un número rel no nulo k. i i k Sumr un fil los elementos orrespondientes de otr fil multiplid por un número rel, k. j i i k Ejemplo: lul el rngo de l mtriz omo hemos otenido un mtriz eslond on tres fils no nuls, entones r()=. Ejemplo: lul el rngo de l mtriz omo nos quedn dos fils distints de ero, ) ( r

19 8. EUIONES MTRIILES. Un Euión es mtriil undo sus inógnits son mtries. Pr su resoluión deeremos tener en uent ls propieddes de ls mtries. En generl, después de ls trnsformiones deuds nos enontrremos on lguno de los sos siguientes. ) X ) X En el primer so resolvemos multiplindo por l izquierd de y de : X X I X En el segundo so, multiplirímos por l dereh de y de Ejemplo: Resuelve l euión mtriil X, siendo: ; ;