PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES

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1 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese que Por tnto, ee umplirse que: Luego, P, one y son números reles ulesquier

2 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino ) Sen, y C tres mtries tles que el prouto C es un mtriz y el prouto C t es un mtriz ur, sieno C t l trspuest e C Clul, rzonno l respuest, ls imensiones e, y C ) D M, otén tos ls mtries que onmutn on M, es eir, que verifin M M ) Clul l mtriz que verifi M M, sieno M l mtriz en ), M l mtriz invers e M e l mtriz uni e oren Soluión: ) Pr multiplir os mtries es neesrio que el número e olumns e l primer oini on el número e fils e l segun Es eir, pueen multiplirse mtries e imensiones m n por n p, sieno el resulto un mtriz e imensión m p Por tnto, si el prouto C es un mtriz, l mtriz ee ser e imensión n, l e imensión n p, y l C e imensión p Pr que pue relizrse el prouto C t, mtries ( n) ( p), es neesrio que n si el resulto, que es e imensión p, es un mtriz ur, entones p Por onsiguiente: es un mtriz e imensión ;, e imensión ; y C e imensión ) Si ee umplirse que: ; ; L mtriz ) M M, pues ( ) M M M t ij (Tmién puee otenerse por el métoo e GussJorn) Como M M (M M ) Luego: / /

3 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino Se l mtriz ) Compror que verifi O, on mtriz ienti y O mtriz nul ) Clul ) sánose en los prtos nteriores y sin reurrir l álulo e inverss hll l mtriz que verifi l igul Soluión: ) Multiplino se tiene: Por tnto, O ) Como ( ) Por tnto, ) De ) ( Luego,

4 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino Resolver l euión mtriil ) (, sieno, e Soluión: Operno en l euión se tiene: ) ( Multiplino por por mos los se tiene: Como se tiene que Not: L invers e puee lulrse por el métoo e GussJorn sí: ( ) ( ) F F L invers es

5 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino Ds ls mtries y ) Resolver el sistem ) Clulr el rngo e M Soluión: ) plino el métoo e reuión pr l resoluión e sistems lineles: E E Si se elimin l mtriz se tiene: E E ) M Como l terer fil es l sum e ls os primers, el rngo e M

6 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino 6 6 Ds ls mtries se pie: ) Enontrr ls oniiones que een umplir,, pr que se verifique ) Pr, lulr Soluión: ) Multiplino e igulno se otiene: Dee umplirse que: ) Pr, Luego: ; ;

7 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino Sen, y ls mtries s por, y 6 Contestr rzonmente l siguiente pregunt Existe lgún vlor e λ R tl que l igul ( ) λ se iert? En so firmtivo hllr iho vlor e λ Soluión: Cálulo e ( ) λ : ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ) ( Pr que ( ) λ ee umplirse que los elementos orresponientes e ms mtries sen igules En prtiulr que: λ λ Este vlor e λ umple l igul e los emás elementos e ms mtries Por tnto, sí existe el vlor e λ peio en l uestión

8 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino ) Compror que si es un mtriz ur tl que, one es l mtriz ienti, entones es invertile Cuál es l expresión e? ) Utilizr el prto ) pr lulr l invers e l mtriz Soluión: ) Si ( ) Por tnto, existe un mtriz,, que multipli por l ienti Es mtriz es l invers e : Pr ompror que posee invers hy que ver que su eterminnte es istinto e En efeto: ( ) ( ) ( ) ) Si se quiere utilizr el prto ) hrá que ompror que Por un prte: Por otr: Efetivmente Por tnto, Luego,

9 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino Ds ls mtries y, se pie: ) Dr un efiniión e rngo (o rterísti) e un mtriz ) Es ierto que rngo() (rngo )(rngo )? Justifir l respuest Soluión: ) El rngo e un mtriz es igul l número e vetores fil (o e vetores olumn) linelmente inepenientes que tiene es mtriz Ese número oinie on el oren el myor menor no nulo e l mtriz Pr ls mtries s: rngo e, pues el menor rngo e, pues el menor ) El prouto es: Por tnto, rngo () (l mtriz sólo tiene tres fils) Como (rngo ) (rngo ) y rngo(), l respuest l pregunt formul es negtiv

10 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino D l mtriz, enuentr os mtries, y C, e tmño y e rngo, tles que el rngo e se y el rngo e C se Soluión: Hy infini e soluiones Por ejemplo, y C Como puee verse:, que tiene rngo C, que tiene rngo Oservión: De mner generl, este ejeriio puee resolverse tomno f e Multiplino, f e Pr que el prouto teng rngo st on que l fil (, ) no se proporionl l fil (, ) Por ejemplo, hieno,, y En mio, pr que el rngo el prouto se ee rse l proporionli; o her que un e ls fils se (, )

11 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino Ds ls mtries y ) Clul y ) Comprue que ( ) Soluión: ) Multiplino: ) Do que y que ( ) se umple que ( ) Tmién puee verse hieno ls operiones: sumno y multiplino

12 Mtemátis Álger e mtries ) Despej l mtriz en funión e e en l euión ( ), sieno y mtries urs e oren os, e l mtriz ienti e oren os ) Resuelve l euión, si e l mtriz ienti e oren os Soluión: ) Operno se tiene: ( ) ( ) ) De ( ) L invers e es, ( ) t ij, sieno ( ij ) l mtriz e los juntos e Como Por tnto: y ( ) ij José Mrí Mrtínez Meino

13 Mtemátis Álger e mtries Se un mtriz m n ) Existe un mtriz tl que se un mtriz fil? Si existe, qué oren tiene? ) Se puee enontrr un mtriz tl que es un mtriz fil? Si existe, qué oren tiene? ) us un mtriz tl que ( ) sieno Soluión: ) niilmente, l mtriz ee ser e imensión p m sí: p m m n () p n Si se ese que () p n se un mtriz fil, p Luego l mtriz ee ser e imensión m ) En este so, m n n p () m p Si se ese que () m p se un mtriz fil, m Luego l mtriz ee ser e imensión n p; sieno neesrio que se un mtriz fil, e imensión n ) Si ( ), sieno ; esto es, ( ) Entones: ( ) ( ) ( ) ( ), por el prto ), l mtriz ee ser e imensión ; L mtriz ( ) En prtiulr, ( ) José Mrí Mrtínez Meino

14 Mtemátis Álger e mtries Se un mtriz ur tl que, one es l mtriz ienti Se pue segurr que mite invers? Rzonr l respuest Soluión: De ( ) Luego, l mtriz mite invers, y es: Tmién puee verse que el eterminnte e es istinto e ero, pues: ( ) ( ) Si el prouto nterior vle, ninguno e los os ftores es Luego l mtriz es regulr José Mrí Mrtínez Meino

15 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino ) Determinr l mtriz pr que teng soluión l euión C( ), one, y C son mtries no singulres e oren n e l mtriz ienti e oren n ) plir el resulto nterior pr, y C Not: Mtriz singulr es quell e eterminnte nulo Soluión: ) Como ls mtries son no singulres, tienen invers; entones: C( ) C C( ) C C C ) Ls mtries s son invertiles: en toos los sos su eterminntes es istinto e Por tnto C Ls inverss e y C son: y C ; luego:

16 Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino 6 6 Ds ls mtries reles:,, C, D se pie: ) Clulr l mtriz M C ) Justifir que existe l mtriz D, invers e D, y lulr tl mtriz ) Clulr ls mtries, que umplen D M D Soluión: ) M 6 6 ) Como D, l mtriz D es no singulr tiene invers Mtriz junt: ) ( ij D nvers: ( ) t D ij D D ) D M D M 6 M D MD 6

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