a b c =(b a)(c a) (c b)

Transcripción

1 E N U N C I D O S ÁLGEBR + y + z P.- Ddo el sistem de euiones se pide: y + z ) Enontrr pr qué vlores de el sistem tiene soluión úni ) Resuelve el sistem pr P.- Despej l mtriz X en l siguiente euión y hll su vlor X B X siendo y B CUESTIONES C.- Demuestr sin desrrollr que el determinnte de Vndermonde ( )( ) ( ) C.- Hll ls mtries X e Y siendo que: 5 X + Y 5 y X + Y NÁLISIS CONTINUIDD Y DERIVBILIDD PROBLEMS P.- Demostrr que l euión e - + tiene l menos un soluión rel. P.- Se f() Hll y pr que l urv y f() teng en un punto de infleión y que l ret tngente en él se horizontl CUESTIONES C.-.-Se l funión f(). El segundo miemro de l iguldd ree de sentido undo Cómo elegir el vlor de f() pr que l funión se ontinu en ese punto? C.- Clul, utilizndo l regl de L Hôpitl - -

2 REPRESENTCIÓN GRÁFIC DE FUNCIONES E INTEGRCIÓN P.- Dd l funión y ) Su dominio ) Sus síntots se pide: ) Sus puntos singulres d) Su gráfi on los dtos otenidos en los prtdos nteriores ( NO on luldor) P..- Resuelve l integrl. sen d C..- Cuántos puntos de infleión puede tener, omo máimo, un funión polinómi de urto grdo? Qué se preis pr que no teng puntos de infleión? C..- Dds ls funiones y y + y 7, lul el áre itd por ls dos funiones En d prtdo, d prolem vle puntos y d uestión puntos NOT: Se onsiderrá que el lumnos h superdo est prte undo hy lnzdo l not de puntos. S O L U C I O N E S ÁLGEBR + y + z P.- ) El sistem, pr que teng soluión úni, es neesrio que rngo, y + z siendo l mtriz de los oefiientes del sistem Enontremos el vlor de ( ) Cundo y el sistem tiene soluión úni. + y + z ) Pr tendremos el sistem y + z donde l mtriz mplid es - -

3 - - Vemos que C C y que C C por lo que rngo mtriz mplid rngo mtriz < nº inóg Tenemos un sistem omptile e indetermindo Tomemos el menor M y prtir de él formemos el sistem: + z y uy soluión es e y - z > (, - z, z ) P.- Se l euión X B X.donde y B Despejmos X > X + B X ( + B ) X >. X () Como ; est mtriz tiene su invers y sus djuntos son : de donde Invers de M Multiplindo, l izquierd de los dos miemros de l relión (), result... X >. 8 X C.- Se el determinnte > F, F.F, F F > ) ( ) ( ( - ) ( ). desrrollndo por l ª olumn ( - ) ( ). ( - ) ( ). ( ) C.- Tenemos el sistem 5 X + Y 5 X + Y

4 Resolvemos por reduión. Multiplindo l ª euión por y l ª por 5 tenemos: 5 X + 9 Y X - Y. Sumndo m.. m. y multiplindo por > Y 5 De igul modo. Multiplindo l ª por y l ª por y sumndo > X NÁLISIS ) CONTINUIDD Y DERIVBILIDD P.- P.- Tenemos l euión e - + y prtir de ell onsideremos l funión f() e Est funión es ontinu en todo R por ser ominión linel de funiones ontinus Busquemos un intervlo donde l funión pued mir de signo en sus etremos y sí, por ejemplo: Pr > f( ) e + > Pr > f( ) e - + e + < Por el T. De Bolzno l funión f() se nulrá pr lgún vlor (, ). Pr él f( ) e - + > de donde e - + P.- Tenemos l funión f() Si pr tiene un punto de infleión > f (). + de donde - Si en tiene un ret tngente horizontl es que f (). +`.. + de donde C.- Un funión es ontinu en si se verifi que f() f() según esto f(). ( + )( ) ( + ) C.- plindo l regl de L Hôpitl Podemos plir L Hôpitl >. ln ln ln ln ln - -

5 REPRESENTCIÓN GRÁFIC DE FUNCIONES E INTEGRCIÓN P.- Dd l funión y se pide: ) Su dominio: R - { } porque elñ denomindor se nul pr ) Sus síntots Sólo pueden ser de dos tipos.- Vertiles: omo ± podemos firmr que es un. vertil unque no se pide diretmente será neesrio verigur l posiión entre síntot y urv pr ontestr orretmente l d) Olius - + síntot oliu y - Difereni entre urv y síntot y y Cundo tiende + infinito y y > > urv por enim de l síntot Cundo tiende - infinito y y < > urv por dejo de l síntot ) Sus puntos singulres quellos donde f () > f () > - Est euión ree de soluiones reles por lo que no hrá puntos singulres. L monotoní de l funión será onstnte lo lrgo de todo su dominio ( reimiento negtivo) d) Su gráfi on los dtos otenidos en los prtdos nteriores ( NO on luldor)

6 P..- Resuelve l integrl. sen d Es un integrl que se resuelve por prtes I. sen su vez d.(- os ) + os d > u dv os d u dv sen d os d ( ) du d on lo que v sen du d v os os d. sen - sen d sen + os Si llevmos este resultdo () tendremos finlmente I.(- os ) + ( sen + os ) + C C..- un funión polinómi de º grdo es de l form f() d + e f () d f () + + f ( ) + Pr que eistn puntos de infleión f () + + El número de puntos de infleión que, omo máimo pueden eistir, oinidirá on ls ríes reles de un euión de º grdo que pueden ser dos omo máimo y ninguno omo mínimo C..- Dds ls funiones y y + y 7, lul el áre itd por ls dos funiones Consideremos l funión d() - ( 7 ) Sus ríes son : - ( 7 ) > 7 + uys ríes son y Áre pedid ( + 7) d.ln ln + 8 ( - 7) - -