TEMA 2. Determinantes Problemas Resueltos

Transcripción

1 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem Clulo de deerminnes TEM. Deerminnes Prolems Resuelos. Hll el vlor de los siguienes deerminnes ) ) ) C Soluión ) Se desrroll por l primer fil. ( 8). ) Se desrroll por l primer fil. ( ) ( ) ( ) 8. ) C, pues iene dos olumns igules.. Hll el vlor del prámero pr que d deerminne ome el vlor que se indi ) m ) ) C Soluión ) Desrrollndo por l primer olumn m m m. ) Desrrollndo por l primer fil. ) El vlor de C es el produo de los elemenos de l digonl prinipl, luego y, por no, ± José Mrí Mrínez Medino

2 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem. Sen y. Clul,,, y. Soluión 8 ;. 8 ( )( ). 8 Como puede oservrse,.. Sen y. ) Clul,,,. ) Comprue que,. Se umple mién que? Soluión ) ; 8 ; 8 Puede oservrse que se umplen ls propieddes ( ) y ( ). ). Tmién se umple que En el prolem nerior se h oservdo que, efeivmene, Tmién se umple que, pues se r de un propiedd generl. En efeo ( )( ) 8 ; y.. Hll el vlor de los siguienes deerminnes (pregúne si es neesrio desrrollrlos) ) ) ) C Soluión Como ls mries y C son digonles, sus deerminnes se oienen muliplindo los elemenos de l digonl ( ) ; C ( ) ( ). Pr lulr puede plirse l regl de Srrus ( ) 9. José Mrí Mrínez Medino

3 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem 8 José Mrí Mrínez Medino. Hll, desrrollándolo por l fil ª y por l olumn ª, el vlor del deerminne de l mriz. Comprue que el resuldo es el mismo. Soluión Por l fil ª ) ( [ ( ) ( )] [( ) 8] 8. Por l olumn ª ( ) 8 ) ( 8) ( ) ( ) (. Uso de ls propieddes de los deerminnes. Uilizndo ls propieddes de los deerminnes, lul. Soluión Resndo l primer fil ls ors dos, qued, pues iene dos fils proporionles. 8. Uilizndo rsformiones de Guss, hll el vlor del deerminne de l mriz Soluión Hiendo rnsformiones que se indin, se iene. Se h desrrolldo por C.

4 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem 9 José Mrí Mrínez Medino 9. Clul el vlor. Soluión Hy diferenes forms de herlo, pero en ods deen plirse lguns rnsformiones de Guss. quí, si se res l ur olumn ls ors res, qued (Por ).. Comprue que ( )( )( ). Soluión Se rnsform por Guss y se eren fores de l segund y erer fil. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ).. plindo el resuldo nerior lul el vlor de 9. Soluión Si se ere el for de l primer olumn qued un deerminne omo el nerior, on, y. Por no 9 ( )( )( ) 9 )9 )( ( ) ( 9.. Demuesr, sin desrrollrlos, pero hiendo ls rnsformiones de Guss neesris, que el vlor de d uno de los siguienes deerminnes es ero. ) 9 8 ) ) Soluión En d so se he lo que se indi.

5 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem ) 8 9, pues iene dos fils proporionles. ), pues iene dos fils proporionles. Se puede ver que ( ) ( ). ) iene dos fils igules. (se ere el for de ) ( ), pues. Sen y mries udrds de orden les que y. Hll undo se posile el vlor de los siguienes deerminnes,,,,,,,,. Soluión plindo ls propieddes ( ) ; 8 ; ( ) Como I. Igulmene. ( ) ; ( ) ( ). ( ). El vlor de no puede serse. No hy ningun propiedd que filie su álulo Por ejemplo, si y. Como se puede ompror de mner inmedi se umple que ; ;. El leor ineresdo puede usr ors dos mries y que umpln que, y den un resuldo disino pr.. (Propueso en Seleividd, Csill L Mnh) Semos que el deerminne de un mriz udrd vle y que el deerminne de l mriz vle. Cuál es el orden de l mriz? Soluión José Mrí Mrínez Medino

6 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem n Se se que, pr un mriz de orden n. Por no, omo n n ( ) n. L mriz será de orden.. (Propueso en Seleividd, leres) Si es l mriz invers de y de(), uáno vle de(), el deerminne de? Soluión Se se que, pr y mries del mismo orden. Por no, omo I.. Supueso que ) ), lul el vlor de los siguienes deerminnes Soluión El ojeivo es esriir d deerminne en funión del supueso ddo, que es el modelo ddo. Pr ello se uilizn ls propieddes de los deerminnes, y se omprndo en d pso el deerminne oenido on el ddo. ) (se eren los fores, de y de ) Se oserv que en el modelo ddo, en pree,, (se inrodue el for en ) Se oserv que en el modelo ddo, en C los signos esán midos (se ere el for de C). ) (se ere de, de y de ) (se min de orden ls fils por ) José Mrí Mrínez Medino

7 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem (se min de orden ls olumns C por C) (se ere el for de C). Rngo de un mriz. Deermin, por menores, el rngo de ls siguienes mries ) ) ) C Soluión ) Como el menor Rngo de. Se he el deerminne de. Como vle, el rngo no puede ser. Por onsiguiene, rngo de. ) rngo() <. Como el menor Rngo de. ) Es evidene que rngo de C. Hy vrios menores de orden disinos de. En l mriz dd se pueden onsiderr menores de orden uno por d olumn que se eluy. El menor C Con ese menor el rngo no umen. Si ese menor vle eise un ominión linel de olumns. Por no, puede suprimirse un de ells efeos del álulo del rngo. (En ese so, hy que suprimir l ª o l ª, pues son proporionles). Si se suprime l ª, qued el menor C. Por no, el rngo de C. José Mrí Mrínez Medino

8 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem José Mrí Mrínez Medino 8. Deermin el rngo de ls siguienes mries en funión del prámero. ) ) ) C d) D Soluión ) si ; undo. Por no rngo() si ; rngo() si. ) si ; undo. Por no rngo() si ; rngo() si. ) C independienemene del vlor que ome undo. Por no, el rngo() siempre es. d) D D si ±; undo ±. Por no rngo(d) si ±; rngo(d) si y. 9. Deermin el rngo de ls siguienes mries en funión del prámero. ) ) ) Soluión ) ( ) 9 undo, y ; si, o. Por no Si, y, el rngo de será. Pr, o el rngo será menor que. Si, su rngo es. El menor 9. Si, su rngo es. El menor. Si, su rngo es. El menor.

9 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem José Mrí Mrínez Medino ) ) ( ) ( ) ( ) ( Por no Si, el rngo de será, pues. Si, su rngo es. El menor. ) El rngo de es omo máimo igul l mriz iene fils. Se onsider el menor,. Su vlor es si. Pr ese vlor de, l mriz será. Como iene dos fils igules, su rngo será. Por no si, rngo() ; si, rngo().. (Propueso en Seleividd, Csill L Mnh) Clul el rngo de l mriz 9 8. Soluión El rngo de un mriz es el número de fils linelmene independienes de es mriz. Tmién es igul l orden del myor menor no nulo. Hiendo ls rnsformiones de Guss que se indin, se iene Como ls fils ª, ª y ª son proporionles, el rngo de es. (Todos los menores de orden serán nulos. El menor.)

10 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem José Mrí Mrínez Medino Mriz invers. plindo l fórmul ( ) lul l invers de ls siguienes mries, si eise. ) ) ) C Soluión ). djun ( ). ) 8. djun ( ) / 8 / / 8 / 8. ) C l mriz C no es inverile.. plindo l fórmul ( ) lul l invers de ls siguienes mries, si eise. ) ) ) C Soluión ). djun ( ) ( ). Puede omprorse que I. En efeo ). djun ( ) / / / / / / / / /. ) C l mriz C no iene invers.

11 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem José Mrí Mrínez Medino. Dd l mriz, hll ) Los vlores de pr los que l mriz pose invers. ) L invers de pr. Soluión ) L mriz posee invers undo su deerminne se disino de ero., Por no, l mriz posee invers undo y. ) Pr, y. L mriz invers viene dd por ) (, siendo ( ) l mriz de los djunos de (Propueso en Seleividd, Csill L Mnh) ) Despej l mriz en funión de e I ) ( I en l euión, siendo y mries udrds de orden dos, e I ) Resuelve l euión l mriz idenidd de orden dos. I, si. Soluión ) Operndo se iene ) ( I ( ) ) ( I I I I ) ( I ) De I I ) ( I L invers de es, ) (, siendo ( ) l mriz de los djunos de. Como y ( ) Por no

12 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem. Dd l mriz ) Hll los vlores del prámero pr los que iene invers. ) Pr, lul l mriz que verifi ( ). Soluión ) L mriz iene invers undo su deerminne es disino de. si o Por no, l mriz endrá invers undo ±. ) Si, l mriz undr invers, luego ( ) ( ) Si, de Luego, ; ( ). Su invers es ( ) ( ) ( ), siendo ( ) l mriz de los djunos. Dds ls mries y, enuenr un mriz siméri P no singulr l que P P. Soluión Si P es siméri y no singulr signifi que P y que P. d De P P (muliplindo por l izquierd por P) P P. Por no, dee umplirse que d d d d d d d P, on. d d d d José Mrí Mrínez Medino

13 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem 8 José Mrí Mrínez Medino. (Propueso en Seleividd, leres) Se onsider l mriz ) Resuelve l euión de(). ) En qué sos dmie invers l mriz? Soluión ) ( ) ( ) Luego ( ) ó /. ) L mriz dmie invers siempre que y /. 8. (Propueso en Seleividd, Pís Vso) Dd l mriz α α ) Cones rzondmene l siguiene pregun eise lgún vlor de α R l que no eng invers pr ese vlor? ) Clul, en so de que se posile, l mriz invers de pr α. Soluión ) L mriz no endrá invers undo su deerminne vlg. α α α pr odo α R. Por no, l mriz endrá invers siempre. ) Pr α,. Su invers es ) (, siendo ( ) l mriz de los djunos de. L mriz de los djunos es ( ).

14 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem 9 Eso es. L mriz invers de será ( ). Or lerniv es lulr y her l invers después. 9. Se l mriz ) Hll su rngo en funión del vlor de. ) Clul su invers pr el vlor o vlores de pr los que el deerminne de es miz vle. Soluión ) ( ) Si y, el deerminnes es disino de. Por no Si y su rngo es. Si l mriz es su rngo es, pues l fil ª y ª son l.i. S l mriz es. Tmién on rngo, pues el menor. ) El deerminne vle undo ( ). Pr, l mriz es. Su invers será. Se onsidern ls mries y I, donde es un onsne e I es l mriz idenidd de orden. ) Deermin los vlores de pr los que no iene invers. ) Clul pr. Soluión José Mrí Mrínez Medino

15 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem ) I. L mriz no endrá invers undo su deerminne vlg. ( )( ) o ) Si, l mriz es ; que iene invers, pues. / Su invers es. λ. Se onsidern ls mries y λ, donde λ es un número rel. Enuenr los vlores de λ pr los que l mriz iene invers. Soluión λ λ λ λ λ Pr que eng invers es neesrio que. λ λ Como λ λ si λ o λ l mriz endrá invers λ undo λ y λ ½.. Un mriz es orogonl undo I. Demuesr que el deerminne de un mriz orogonl vle ó. Soluión Se se que pr un pr de mries y, mulipliles, se umple que. Por no, si I I. Como, demás, ±.. Dd l mriz ) Clul, de( ) y ( ) -. ) Ls mries y ( ) - neriores son siméris. Es eso un oinideni? Soluión ) José Mrí Mrínez Medino

16 Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem 89 ( ) / 89 / / 89 / 89 ) Efeivmene, ls mries neriores son siméris. Eso no es un oinideni, pues siempre se umple. En efeo, si es un mriz ulquier de dimensión n m, el produo es un mriz de udrd de orden n. Será siméri si umple que es igul su rspues. En efeo ( ) ( ) (Reuérdense ls propieddes de ls mries rspuess viss en el párrfo del Tem ). José Mrí Mrínez Medino