Determinantes D - 1 DETERMINANTES

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1 Determinntes D - DETERMINNTES Determinnte e un mtri ur e oren os Definiión: D un mtri ur e oren os numero rel: Det (), se llm eterminnte e l El eterminnte e un mtri ur e oren os es igul l routo e los elementos e l igonl rinil menos el routo e los elementos e l igonl seunri. Ejemlos: Determinnte e un mtri ur e oren tres D un mtri ur e oren tres Det ()., se llm eterminnte e l numero rel: Est eresión es fáil e reorr meinte l regl e Srrus: Términos on signo Términos on signo os routos reeios or el signo más están formos or los elementos e l igonl rinil, los e ls igonles rlels on su orresoniente vértie ouesto. nálogmente se formn los routos on signo menos ero tomno omo refereni l igonl seunri. Ejemlos:. 9. Pág.

2 Determinntes D - Determinntes e oren n Definiión: Un ermutión σ en el onjunto {,,,..., n} es un orenión e los elementos:,,,..., n Ejemlo: En el onjunto{,, } ls ermutiones osiles son: σ, σ, σ, σ, σ, σ. El número totl e ermutiones e los elementos {,,,...,n} es n! Definiión: Se llm ermutión rinil e {,,,..., n}, l ermutión en l que los elementos se enuentrn en el oren nturl, es eir, l ermutión...n Definiión: Diremos que os elementos e un ermutión formn inversión si están oloos en istinto oren que en l ermutión rinil. Ejemlo: En {,,, }, se l ermutión. Pr ser el número totl e inversiones, ontremos ls inversiones que form elemento e l ermutión on los elementos que le siguen. Nº e inversiones El form inversión on el el... El form inversión on el... El form inversión on el... Totl: Definiión: Se ie que un ermutión es r si tiene un número r e inversiones, en so ontrrio se ie que es imr. De ls n! Permutiones que se ueen formr on n elementos l mit son res l mit imres. En el esrrollo e un eterminnte, l hlr e ermutiones e fils o e olumns nos referimos sus suínies. sí o el término e un eterminnte e terer oren se tiene: Permutiones e fil: Permutiones e olumns: Definiión: D l mtri ur e oren n n Se llm eterminnte e l número rel que se otiene l sumr toos los routos osiles e n elementos e l mtri e moo que en n routo figure un únio elemento e fil e olumn n reeio el signo o según que l ermutión e fils olumns se e l mism ri o no. n n n nn El eterminnte e un mtri se esign or et () Ejemlo: Se, l lulr su eterminnte los únios routos osiles son. En el elemento l ermutión e fil l e olumn tienen l mism ri (ms son res) or lo tnto l lulr el eterminnte irá reeio el signo. En l ermutión e fil es r l e olumn es imr, or lo tnto l lulr el eterminnte irá reeio el signo. Det () Proiees e los eterminntes. El eterminnte e un mtri ur es igul l e su trsuest: t ; t Pág.

3 Determinntes D -. Si elemento e un etermin fil (o olumn) es sum e vrios sumnos, el eterminnte es igul l sum e los eterminntes que se vn formno l sustituir ih fil (olumn) or los rimeros, segunos,..., sumnos.. Si multilimos o iviimos toos los elementos e un fil (olumn) or un número istinto e el eterminnte que multilio o iviio or ese número. Ejemlo:. Si se ermutn entre si os fils (olumns) e un eterminnte, este mi e signo. Ejemlo:. Si toos los elementos e un fil o olumn son eros, el eterminnte vle ero. Ejemlo:. Si un eterminnte tiene os fils (olumns) igules, vle ero. Ejemlo: 7. Si un eterminnte tiene os fils (olumns) roorionles, vle ero. Ejemlo: (l segun olumn es igul l rimer multili or ). Si un fil (olumn) es ominión linel e ls emás el eterminnte es ero. Ejemlo: 7 7 (l ª olumn ª ª) 9. Si los elementos e un fil (olumn) se les sum otr fil (olumn) rlel multili or un número el eterminnte no vrí. Ejemlo: (ª fil ª fil, ª fil ª ). Si los elementos e un fil (olumn) se les sum un ominión linel e ls restntes, el eterminnte no vrí. Ejemlo: Comroión: ; Pág.

4 Determinntes D -. Si B son os mtries urs e oren n, B B Ejemlo:, B ( ), B Ejeriio: Se se que. Elino que roiees e los eterminntes se utilin sin esrrollr, lulr el vlor e. Soluión: () () () ( ) () () l Permutr ª ª fil el eterminnte mi e signo. () os elementos e l ª olumn los esomonemos en os sumnos. () El rimer eterminnte tiene os olumns roorionles, or lo tnto es igul ero. () os elementos e l ª olumn los esomonemos en os sumnos. () El rimer eterminnte tiene os olumns igules or lo tnto es igul ero, el seguno eterminnte tiene l ª olumn multili or luego el eterminnte que multilio or. Menor omlementrio junto Definiión: Se un mtri ur e oren n, Se llm menor omlementrio el elemento ij e l eterminnte e l mtri oteni e l surimir l fil i l olumn j. Se reresent or α ij Ejemlo: En el eterminnte e urto oren el menor omlementrio e ( ) es: 9 α Definiión: Se un mtri ur e oren n, Se llm junto el elemento ij e, se reresent or ij, l menor omlementrio e ij reeio el signo o según que i j se r o imr. Es eir ij () ij α ij Proosiión: El eterminnte e un mtri ur e oren n es igul l sum e los routos e los elementos e un fil (olumn) ulquier or sus juntos resetivos. Es eir, tomno l fil i se tiene: i i i i in in Ejemlos: Pág.

5 Determinntes D -. El eterminnte. Clul lo oemos lulr or los juntos e l segun olumn:. Desrrollno or los juntos e l rimer fil se tiene: 9 Métoo rtio r lulr eterminntes e oren n Pr lulr eterminntes e oren n, l regl e álulo más senill es l e esrrollr or fils (o olumns) hieno ntes el mor número e eros utilino ls roiees e los eterminntes. Ejemlo: Se orí seguir el roeso otener un eterminnte en form tringulr, es eir que toos lo elementos que están or ejo e l igonl rinil son eros. Un eterminnte en form tringulr, es igul l routo e los elementos e l igonl rinil. n n n nn Menor e oren n e un mtri Rngo e un mtri Definiión. Se un mtri e oren m n. os elementos erteneientes l interseión e r fils r olumns, sieno r min.(m, n), formn un sumtri ur e oren r uo eterminnte reie el nomre e menor e oren r e l mtri. Ejemlo. Se os menores e oren tres e l mtri son: ; ; ; Entre los menores e oren figurn: nn Pág.

6 Determinntes D - ; ; ; Ovimente los menores e oren son toos uno e los elementos e. Se un mtri e oren mn. Si tiene un menor e oren, no nulo, entones ls fils (olumns) que eterminn tl menor son linelmente ineenientes. Reoremos que el rngo e un mtri es el número e vetores fil linelmente ineenientes que oinie on el número e olumns linelmente ineenientes. El rngo e un mtri e imensión mn es el oren el mor menor no nulo. Cálulo rátio el rngo e un mtri: Se, omo l mtri no es l mtri ero, su rngo es mor o igul que Pr eterminr si tiene rngo, se us un menor (eterminnte) e oren no nulo. Por ejemlo: Pr eterminr si tiene rngo, rtieno el menor e oren istinto e ero, se estuirán toos los osiles menores e oren que lo ontengn. Si toos ellos son nulos, el rngo e es. Si or el ontrrio, lguno e ellos es istinto e ero, el rngo es. En este so: ero rngo. Ejeriios:. Estui el rngo e l mtri M según los vlores el rámetro. Soluión: et( M) et ± Si et() or lo tnto rngo Si, et (), eiste lgún menor e oren istinto e ero, or ejemlo, or lo tnto rngo. Si, et (), eiste lgún menor e oren istinto e ero, or ejemlo, or lo tnto rngo.. Hll el rngo e l mtri según los vlores el rámetro : Soluión: Pág.

7 Determinntes D - 7 Como l mtri no es l mtri ero, su rngo es mor o igul que. Pr eterminr si tiene rngo, se us un menor (eterminnte) e oren no nulo. Por ejemlo: Pr eterminr si tiene rngo, rtieno el menor e oren istinto e ero, se estuirán toos los osiles menores e oren que lo ontengn. ( ) ( ) ½ ( ) ( ) ± /. mos menores e oren se nuln l ve r, or lo tnto: Si rngo si rngo ues l menos uno e los menores e oren es istinto e ero. Mtri invers D un mtri ur, llmmos mtri invers e l mtri que reresentmos or - que umle: - - I. Definiión.- Mtri junt e un mtri ur. Se llm mtri junt e un mtri ur se reresent or j.(), l mtri que se otiene l sustituir elemento ij or su junto ij. Ejemlo: Hllr l mtri junt e l mtri.,, 7,,,,, 7. entones: j( ). Proosiión.- Se un mtri ur e oren n, su mtri invers, si eiste, es: (.( )) j t Proosiión.- Se un mtri ur e oren n. es inversile. ) Si tiene invers - - I, I, - -. ) se uee lulr / or el teorem nterior ( ) Ejeriios:. Clulr l mtri invers e. j.( ) t es l mtri invers e..- Se lul.- Se lul l mtri junt e (ver ejeriio nterior): j.() 7 Pág. 7

8 Determinntes D -.- Se lul l trsuest e l junt: (j.()) t 7.- mtri invers e es: ( ) j t.( ) 7 7. Hll un mtri X que verifique X B C, sieno: C B Soluión: X B C, X C B, - (X) - (C B), ( - )X - (C B), I X - (C B), X - (C B) Vmos lulr l mtri invers e, - :, j. (), [j. ()] t, - C B ; X / /. Hll los vlores el rámetro r los ules l mtri no tiene invers. Tiene invers r?. En so firmtivo lulrl. Soluión:. Por lo tnto no tiene invers r,,. ± Pr los emás vlores h invers tiene invers r.,,..,,,,,,,, j(), [j. ()] t - Pág.

9 Determinntes D - 9. Ds ls mtries, se ie: e I ) Hllr n r too entero ositivo n. [ unto] ) Clulr, si eiste, l invers e l mtri e l mtri I. [, untos] (junio ) Soluión: ) En onseueni, r n, n es l mtri nul. ) Como, l mtri no tiene invers mtri I, I tiene invers. mtri junt j (I ) [j (I )] t (I ) ( ) [ ] I I j t Pág. 9