Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.

Transcripción

1 Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones, exresds en teorems y/o roieddes, lguns de ells son ls siguientes: i) L sum de los ángulos interiores de un triángulo es 180. γ Es deir: α + β + γ 180 Not: esto umle on l fórmul generl r otener l sum S de los ángulos interiores de un olígono de n ldos: S 180 (n ) ii) Los ldos de un triángulo Se un triángulo de ldos, y. α β Se el ldo myor y y los ldos menores, entones se umle ue el ldo myor siemre es menor ue l sum de los ldos menores: < + iii) Teorem de l isetriz Se el triángulo ( ) de l figur y l isetriz del ángulo uyo vértie es ( ). x x iv) Teorem de Pitágors Este es, uizás, el teorem más fmoso de l geometrí, y or ierto uno de los más utilizdos. Es lile solo triángulos retángulos. Se el, en donde el vértie orresonde l ángulo reto. Los ldos ue formn el ángulo reto se denominn tetos ( y en l figur) y el ldo ouesto l ángulo reto se denomin iotenus (el ldo en l figur). Un triángulo retángulo es uel en ue uno de sus ángulos interiores es reto. Ángulo reto es uel ue mide 90 Teorem de Pitágors: + Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi 1

2 Not: Pr todo tio de triángulos, retángulos o no, existe un teorem l ue suele llmársele teorem generlizdo de Pitágors, ero r omrenderlo se neesitn onoimientos de trigonometrí, ue es mteri de otro nivel de rendizje, ero si lo dese verigur se denomin teorem del oseno. v) Teorem de Eulides Eulides fue un mtemátio griego muy imortnte, tnto ue rátimente tod l geometrí ue se estudi en un nivel ásio y seundrio se le denomin geometrí eulidin. Y, uriosmente, el únio teorem ue está signdo Eulides es, en relidd, el teorem de Pitágors. Los llmdos teorems de Eulides son dos, y son los siguientes: Primer teorem de Eulides, o teorem del teto "En un triángulo retángulo el udrdo de uno de sus tetos es igul l áre del retángulo ue tiene or ldos l iotenus y l royeión del mismo teto en l iotenus". Proyeión de un segmento sore otro Se y dos segmentos omo se muestr en l figur. El segmento EF es l royeión de sore. E y son los tetos y es l iotenus del triángulo retángulo. F es l ltur del triángulo, reseto l vértie, del ángulo reto. es l royeión del teto en l iotenus. es l royeión del teto en l iotenus. El teorem se exres de dos forms, uno or d teto: e lo nterior se dedue l siguiente roorión: Otrs rooriones ue se otienen son: y Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi

3 Segundo teorem de Eulides o teorem de l ltur "En un triángulo retángulo el udrdo de su ltur es igul l áre del retángulo ue tiene or ldos ls royeiones de los tetos en l iotenus". Un roorión ue se tiene es: vi) Áre y erímetro Sen un triángulo uluier de ldos, y y de ltur. Perímetro En todo triángulo su erímetro orresonde l sum de sus ldos: P + + Se llm semierímetro l semisum del los ldos de un triángulo, es deir: P + + Áre El áre de un triángulo se otiene or el semiroduto entre l se y l ltur del tringulo, es deir: Otr form de onoer el áre de un triángulo, y es útil r uluier tio de triángulo sin neesidd de onoer su ltur, es l ue viene dd or l fórmul de Herón. onde es el semierímetro del triángulo. ( )( )( ) Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi 3

4 Rzón del áre entre dos triángulos semejntes Sen dos triángulos retángulos semejntes,, mos on el ángulo reto en, omo los de l figur siguiente: Si los triángulos son semejntes, entones: k (1) donde k es l rzón de roorionlidd entre mos triángulos. ' ' ' El áre del es: El áre del es:, ' '' Si se dividen ms áres, se tiene: ' '' '' e l roorión lnted l omienzo (1), se tiene ue k y k, or lo tnto, k' k' se tendrá k k ' '' '' k Por lo tnto, l rzón entre ls áres de dos triángulos semejntes, de áres y, es: ' k Si fuern dos triángulos ulesuier en donde en donde los ldos y tún omo ses y tienen resetivmente lturs y, se tendrá l roorión k (), ' ' '' or lo tnto, sus resetivs áres serán: y ' Y, l lnter l rzón entre ls áres, se tendrá: ' ' '' onsiderndo ue de l rzón dd () se tiene ue k y k Se deduirá, igul ue en el so del triángulo retángulo, ue ' k Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi 4

5 Ejeriios lgunos ejeriios fueron tomdos de: Texto Terero Medio, Ed. Sntilln, We: guí del rofesor José Jiménez Nieto. 1.- En el, retángulo en, de l figur, 1,8 m, 3, m. etermine los vlores de, y..- En el, retángulo en, se tiene ue 5 m y 1 m. etermine los vlores de,, y. 3.- emuestre ue en un triángulo retángulo, el reíroo del udrdo de l longitud de l ltur es igul l sum de los reíroos de ls longitudes de los tetos Hy ue demostrr ue +. Se sugiere utilizr los teorems de Eulides. 4.- Un esler de 10 m de longitud está oyd ontr un red vertil. Si el ié de l esler dist 6 m de l red, en un suelo orizontl y lno, ué ltur está el extremo suerior de l esler? 5.- etermine l longitud de l digonl d de un udrdo de ldo. 6.- etermine l rzón de ls áres de dos triángulos semejntes si l rzón de sus erímetros es : L rzón de ls áres de dos olígonos semejntes es 9 : 5. Si un ldo del rimero mide 18 m, uánto medirá su ldo orresondiente en el segundo olígono? 8.- Se el triángulo del rolem. Enuentre lo ue se ide en d so siguiente: i) Si 30 m y 50 m, llr. ii) Si 1 m y 9 m, llr. iii) Si 8 m y 1 m, llr. iv) Si 14 m y 35 m, llr. v) Si 7 5 m y 14 m, llr. vi) Si 6 5 m y 3 5 m, llr. 9.- El ldo de un triángulo euilátero mide m. etermine l longitud de su ltur. Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi 5

6 10.- En un triángulo retángulo, l ltur orresondiente l iotenus determin en ést dos segmentos de longitudes 3 m y 1 m. lul ls longitudes de sus tetos lule l digonl de un retángulo de 34 m de erímetro y 5 m de ltur. 1.- lul l medid de l digonl de los retángulos uyos ldos, en entímetros, mide: ) 0 y 1; ) 15 y L digonl de un retángulo mide 6 m y su erímetro 68 m. etermine l medid de los ldos del retángulo (se neesit l soluión de l euión de segundo grdo) Sen los siguientes tríos de medids, uáles orresonden los ldos de un triángulo retángulo?: ) 4 m, 5 m y 6 m, ) 6 m, 8 m y 10 m, ) 9 m, 10 m y 11 m, d) m, y m Un irunfereni tiene 50 m de rdio. Un uerd erendiulr l diámetro l divide en dos segmentos, uno de los ules mide 0 m. etermine l medid de l uerd En el siguiente triángulo de ldos 30 m, 40 m y 50 m, determine l ltur sore l iotenus y ls royeiones de los tetos sore l mism. m 0 m n 30 m 50 m 17.- L seión del tejdo de un s tiene l form de un triángulo retángulo, en Y, y sus dimensiones están indids en l figur. Si se uiere olor un vig desde X Y r ue resist mejor, llr su medid y l distni desde su ié st sus extremos ( y ). 4 m Y X 5,8 m 18.- En un triángulo retángulo ls royeiones de los tetos sore l iotenus miden 4 m y 16 m. etermine l iotenus, l ltur sore l iotenus y los tetos En un triángulo retángulo l iotenus mide 0 m y uno de sus tetos 10 m. etermine el otro teto, ls royeiones de los tetos sore l iotenus y l ltur sore l iotenus. Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi 6

7 0.- Un lind ormig roj está reorriendo or un írulo de 60 m de rdio. En un momento min sore un diámetro y se detiene 30 m del entro. Si entones deide ir i l irunfereni en un mino erendiulr l diámetro en ue se moví, ué distni reorrerá? lguns resuests: m; 3 m;,4 m.- 15 m; 0 m; 9 m (o 16 m); 16 m (o 9 m) m 5.- d : m m m y 6 5 m m 1.- ) 9 m; ) 5 m m y 4 m 14.- ) no, ) si, ) no, d) si m m; 18 m y 3 m 17.- Resultdos roximdos:,90 m;,76 m y 3,.04 m m; 8 m, y roximdmente los tetos miden 5,66 m y 11,31 m m; 0 m; 5 3 m; 5 m; 15 m 0.- roximdmente 5 m. Hernán Verdugo Fini Profesor de mtemáti y físi 7