PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo

Transcripción

1 . PROLEMS DE OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE GEOMETRÍ El triángulo ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014

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3 Prolems sore triángulos Trjo Fin de Máster presentdo en el Máster Interuniversitrio de Mtemátis Relizdo por: ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Dirigido por el Prof. Dr. D. Psul Jr Mrtínez Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014

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5 Introduión Ls olimpids mtemátis son un onurso que se eler nulmente desde el ño 1965, onsistente en resolver diversos prolems de lt difiultd pero en los que priniplmente se utilizn ténis de nivel de hillerto. En d sesión se proponen tres o utro prolems. Se oneden medlls de oro, plt y rone. d un de ls medlls tiene tmién un premio en metálio y, demás, estos nuevos estudintes prtiipn en ls olimpids espñols, de ls que se seleionn los que vn l olimpíd internionl. Existen lses de preprión, que no son solo útiles omo preprión pr ls olimpids, sino que son un introduión ténis senills que los estudintes podrán utilizr en sus lses, tnto en el hillerto omo en l Universidd. Ests leiones son su vez un oportunidd pr que los estudintes disfruten empezndo mnipulr oneptos mtemátios nuevos. En este Trjo de Fin de Máster (TFM) se relizrá un síntesis de quellos spetos que he onsiderdo espeilmente signifitivos e importntes, que se pueden desrrollr lo lrgo de los diferentes loques de Mtemátis ursdos hst segundo de hillerto, entrándonos espeilmente en quellos reliondos on el triángulo en el plno. Trs un desrrollo teório, neesrio pr resolver los prolems que se vn trjr, que oup los dos primeros pítulos de este trjo, se relion un oleión de prolems que hn preido en ls diverss ompetiiones de ls olimpids en Mtemátis, loles, nionles e internionles, y que tienen omo eje entrl el triángulo y sus propieddes. L difiultd de estos prolems es distint en d un de ests ompetiiones, por lo que los lsifimos tendiendo l mism o equivlentemente según ls ompetiiones en ls que se hn propuesto. Hemos prourdo que los ejeriios están omplemente desglosdos, explindo y nlizndo en detlle d uno de los psos de su resoluión, prondo d uno de los resultdos priles, lo que h permitido engrosr l prte teóri on estos resultdos on ojeto de her más esile l letur del texto.

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7 Índie generl Introduión 5 I Puntos notles de un triángulo. oneptos y resultdos ásios 1 1 Triángulo irunferenis en el triángulo Fórmuls del triángulo II Reliones métris en el triángulo 9 4 Teorems destles pr el triángulo Iguldd y semejnz de triángulos Poteni de un punto respeto de un irunfereni III Olimpids Loles 3 7 Prolems IV Olimpids Nionles 39 8 Prolems V Olimpids Internionles 63 9 Prolems iliogrfí 81 iliogrfí. Referenis We 83 Índie lfétio 85

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9 pítulo I Puntos notles de un triángulo. oneptos y resultdos ásios 1. Triángulo Un triángulo, en geometrí, es l unión de tres segmentos que determinn tres puntos, no olineles, del plno. d punto ddo pertenee dos segmentos extmente. Los puntos omunes d pr de segmentos se denominn vérties del triángulo y los segmentos de ret determindos son los ldos del triángulo. Dos ldos ontiguos formn uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es un figur estritmente onvex y tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 ldos y 3 vérties entre otros elementos Meditriz.irunentro L meditriz de un segmento es l ret perpendiulr l mismo en su punto medio. El irunentro O de un triángulo es el punto de interseión de ls tres meditries de un triángulo. O

10 P. I. PUNTOS NOTLES DE UN TRIÁNGULO. ONEPTOS Y RESULTDOS ÁSIOS 1.. ltur.ortoentro Un ltur de un triángulo es el segmento perpendiulr omprendido entre un vértie y el ldo opuesto. El ortoentro H de un triángulo es el punto de interseión de ls tres lturs de un triángulo. h H h h 1.3. isetriz.inentro L isetriz es l semirret que divide un ángulo en dos prtes igules. El inentro I de un triángulo es el punto de interseión de ls tres isetries de un triángulo. I E L isetriz de los ángulos exteriores de un triángulo se le llm isetriz exterior. Un exinentro E de un triángulo es el punto de interseión de ls isetries de ulesquier dos de los tres ángulos exteriores de un triángulo. Tmién se les llm exentros. Todo triángulo posee tres exinentros que son los entros de ls irunferenis exinsrits del triángulo. E El ángulo exterior de un polígono está formdo por un ldo ulquier y l prolongión del que está ontinuión. E PROPIEDD omo los dos ángulos externos son opuestos por el vértie, sus isetries son prolongión un de otr y perpendiulres l isetriz interior del mismo vértie. de septiemre de 014 urso

11 SE.. IRUNFERENIS EN EL TRIÁNGULO Medin. rientro Un medin es d un de ls rets que une el punto medio de un ldo on el vértie opuesto. El rientro G de un triángulo es el punto de interseión de ls tres medins de un triángulo. m m G m PROPIEDDES d medin divide l triángulo en dos regiones de igul áre. El rientro divide d medin en dos segmentos. El segmento que une el rientro on el vértie mide el dole que el segmento que une rientro on el punto medio del ldo opuesto.. irunferenis en el triángulo.1. irunfereni insrit en el triángulo Un irunfereni insrit en un triángulo es quell que, siendo interior, es tngente todos sus ldos. l rdio de un irunfereni insrit en un polígono se le denomin inrdio. El inentro (1.3) es el entro de l irunfereni insrit diho triángulo. D I F r E PROPIEDD Se: p el semiperímetro (I.1) del triángulo. D, E y F los puntos de tngeni de l irunfereni insrit en el triángulo on el ldo, y respetivmente. Entones: D = p, (I.1) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

12 4 P. I. PUNTOS NOTLES DE UN TRIÁNGULO. ONEPTOS Y RESULTDOS ÁSIOS nálogmente: D = p. E = p, E = p, (I.) (I.3) F = p, F = p. (I.4) DEMOSTRIÓN. Semos que: D = E, E = F, F = D. Entones el semiperímetro del triángulo quedrí: p = + + (ver semiperímetro (I.1) ) = D + E + F (plindo ls igulddes nteriores) Despejndo tenemos: = D + E + F. D = p (E + F ) = p (I.5) D = F = p (D + E) = p. (I.6) nálogmente se prorí: E = p, E = p, F = p, F = p... irunfereni irunsrit en el triángulo L irunfereni irunsrit de un triángulo es l irunfereni que ps por todos sus vérties y, por tnto, lo ontiene ompletmente en su interior. El entro de l irunfereni irunsrit es el irunentro (1.1) y su rdio se llm irunrdio. O de septiemre de 014 urso

13 SE.. IRUNFERENIS EN EL TRIÁNGULO 5.3. irunferenis exinsrits en el triángulo Ls irunferenis exinsrits de un triángulo son ls irunferenis tngentes un ldo y ls prolongiones de los otros dos. E E E3 E E1 E PROPIEDD Se: p el semiperímetro (I.1) del triángulo. E1, E y E3 los puntos de tngeni de l irunfereni exinsrit en el triángulo on el ldo, y, respetivmente. Entones: E1 = p, (I.7) nálogmente: E1 = p. E = p, E = p, (I.8) (I.9) 3 = p, 3 = p. (I.10) DEMOSTRIÓN. nálog l demostrión nterior (.1). TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

14 6 P. I. PUNTOS NOTLES DE UN TRIÁNGULO. ONEPTOS Y RESULTDOS ÁSIOS.4. ro pz El ro pz es el lugr geométrio de los puntos desde los que un segmento se ve on el mismo ángulo; es deir, el lugr geométrio de los vérties de los ángulos que tienen l mism mplitud y rn un mismo segmento. El ro pz de un segmento, de ángulo λ, es un pr de ros de irunfereni simétrios d ldo del segmento que ontiene los vérties de ángulo λ y unidos por los puntos y. El ángulo que sutiende el segmento visto desde el entro del írulo es λ. λ.5. Ángulo insrito en un irunfereni Un ángulo insrito en un irunfereni es un ángulo sutendido en un punto de l irunfereni por otros dos puntos de est. Un ángulo insrito está definido por dos uerds de un irunfereni que tienen un extremo omún. PROPIEDD Si dos o más ángulos insritos omprten el mismo ro, éstos miden lo mismo. = D α = β. D α = 45 β = Fórmuls del triángulo Perímetro del triángulo El perímetro, P, es igul l sum de ls longitudes de sus tres ldos y se denot on un P myúsul. P = + +. (I.11) Semiperímetro del triángulo El semiperímetro, p, de un triángulo es igul l sum de sus ldos prtido por (Es el perímetro dividido entre dos). p = + +. (I.1) de septiemre de 014 urso

15 SE. 3. FÓRMULS DEL TRIÁNGULO 7 Áre del triángulo El áre, S, de un triángulo es igul se por ltur prtido por. donde: es l se del triángulo. h es l ltur del triángulo. S = h. (I.13) Áre en funión del rdio de su irunfereni insrit S = r p. (I.14) donde: r es el rdio de l irunfereni insrit (.1) en el triángulo. r p es el semiperímetro (I.1) del triángulo. Áre en funión del rdio de su irunfereni irunsrit donde: S = 4R. (I.15) R D R es el rdio de l irunfereni irunsrit (.) en el triángulo. O p es el semiperímetro (I.1) del triángulo. Áre onoiendo dos ldos de un triángulo y el ángulo que formn S = 1 sen. (I.16) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

16 8 P. I. PUNTOS NOTLES DE UN TRIÁNGULO. ONEPTOS Y RESULTDOS ÁSIOS de septiemre de 014 urso

17 pítulo II Reliones métris en el triángulo 4. Teorems destles pr el triángulo 4.1. Teorem de Pitágors Teorem 4.1 (Teorem de Pitágors) En todo triángulo retángulo el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. Es deir, pr todo triángulo se tiene: = +. (II.1) DEMOSTRIÓN. Este Teorem tiene vris demostriones interesntes en el siguiente enle se pueden ver detlldmente lguns de ells Teorem de Thles Existen dos teorems reliondos on l geometrí lási que reien el nomre de Teorem de Thles, mos triuidos l mtemátio griego Thles de Mileto. Teorem 4. (Teorem 1) Ddo un triángulo. Si se trz un segmento prlelo,, uno de los ldos del triángulo, se otiene otro triángulo, uyos ldos son proporionles los del triángulo. = =. (II.)

18 10 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO r s Teorem 4.3 (Vrinte del Teorem de Thles) Si dos rets ulesquier (r y s) se ortn por vris rets prlels (,, ) los segmentos determindos en un de ls rets (, ) son proporionles los segmentos orrespondientes en l otr (, ).Es deir, = =. (II.3) Teorem 4.4 (Teorem ) Se un punto de l irunfereni de diámetro, distinto de y de. Entones el ángulo, es reto. O DEMOSTRIÓN. En l irunfereni de entro O, los segmentos O, O y O son igules por ser todos rdios de l mism irunfereni, entones los triángulos O y O son isóseles por tener dos ldos igules. Notemos los ángulos igules del triángulo O on α y los del triángulo O on β, entones fijándonos en el triángulo tenemos: α + β = π. (II.4) α α β O β Dividiendo mos miemros por dos tenemos: = α + β = π. (II.5) orolrio 4.1 (orolrio 1) En todo triángulo retángulo l longitud de l medin (1.4) orrespondiente l hipotenus es siempre l mitd de l hipotenus. de septiemre de 014 urso

19 SE. 4. TEOREMS DESTLES PR EL TRIÁNGULO 11 orolrio 4. (orolrio ) L irunfereni irunsrit (.) todo triángulo retángulo siempre tiene rdio igul l mitd de l hipotenus y su irunentro (1.1) se uirá en el punto medio de l mism Teorems trigonométrios Teorem 4.5 (Teorem del seno) Si en un triángulo, ls medids de los ldos opuestos los ángulos, y son respetivmente,,, entones: DEMOSTRIÓN. sen = Ddo el triángulo, denotmos por O su irunentro (1.1) y diujmos su irunfereni irunsrit (.). Prolongndo el segmento O hst ortr l irunfereni, se otiene un diámetro P. sen = sen. P α α O (II.6) hor, el triángulo P es retángulo, puesto que P es un diámetro, y demás los ángulos y P son igules, porque mos son ángulos insritos (.5) que ren el segmento (vése definiión de ro pz (.4)). Por definiión de l funión trigonométri seno, se tiene: sen = sen P = P = R. (II.7) donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit. Despejndo R tenemos: sen = R. Repitiendo el proedimiento on un diámetro que pse por y otro que pse por, se lleg que ls tres friones tienen el mismo vlor R y por tnto: (II.8) sen = sen = sen. L onlusión que se otiene suele llmrse teorem de los senos generlizdo y estlee: (II.9) Si en un triángulo, ls medids de los ldos opuestos los ángulos, y son respetivmente,, y R es el rdio de l irunfereni irunsrit (.), entones: sen = sen = sen = R. (II.10) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

20 1 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO Teorem 4.6 (Teorem del oseno) Si en un triángulo, ls medids de los ldos opuestos los ángulos, y son respetivmente,,, entones: = + os α. (II.11) DEMOSTRIÓN. Vmos her l demostrión trvés del Teorem de Pitágors. Notemos que el Teorem de oseno es equivlente l Teorem de Pitágors (4.1) undo el ángulo es reto. Por tnto sólo es neesrio onsiderr los sos undo es dyente dos ángulos gudos y undo es dyente un ángulo gudo y un otuso. 1. es dyente dos ángulos gudos onsideremos l figur djunt. Por el teorem de Pitágors, l longitud es luld sí: = h + u. (II.1) Pero, l longitud h tmién se lul sí: h h = ( u). (II.13) Sumndo ms euiones y luego simplifindo otenemos: u = + u. (II.14) Por l definiión de oseno, se tiene: os = u, (II.15) y por lo tnto: u = os. (II.16) Sustituimos el vlor de u en l euión pr, onluyendo que: = + os, (II.17) y tenemos termindo el primer so. de septiemre de 014 urso

21 SE. 4. TEOREMS DESTLES PR EL TRIÁNGULO 13. es dyente un ángulo otuso onsideremos l figur djunt. El teorem de Pitágors estlee nuevmente: = h + u, (II.18) pero en este so h = ( + u). (II.19) ominndo ms euiones otenemos: h u = u + u u, (II.0) y de este modo: = u. De l definiión de oseno, se tiene: y por tnto: (II.1) os = + u, (II.) u = os. (II.3) Sustituimos en l expresión pr y simplifimos: onluyendo nuevmente: Esto onluye l demostrión. = ( os ), = + os. (II.4) (II.5) Es importnte notr, que si se onsider u omo un segmento dirigido, entones sólo hy un so y ls dos demostriones se onvierten en l mism Teorem de l isetriz Teorem 4.7 (Teorem de l isetriz) Ddo el triángulo, se D l isetriz del ángulo interno, entones se umple l siguiente proporión: = D D. (II.6) α α D TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

22 14 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO DEMOSTRIÓN. Fijándonos en l figur de l dereh tenemos:,, D m, D n, D D x, D y. x x y m π y n D plindo el teorem del seno (4.5) l triángulo D tenemos: m sen x = sen y. (II.7) Los ángulos y y π y son suplementrios 1, lo que impli: sen (π y) = sen (y), (II.8) entones plindo hor el teorem del seno l triángulo D tenemos: n sen x = sen y. (II.9) Dividiendo l euión (II.8) por l euión (II.9) y simplifindo otenemos: m n =. (II.30) 4.5. Teorem de Stewrt Teorem 4.8 (Teorem de Stewrt) Ddo el triángulo, sen,, ls longitudes de los ldos, y, respetivmente. Se D un punto dentro del segmento. Si D = m, D = n y D = d, se umple que: d d = m + n mn. (II.31) m D n 1 Los ángulos suplementrios son quellos uys medids sumn de septiemre de 014 urso

23 SE. 4. TEOREMS DESTLES PR EL TRIÁNGULO 15 DEMOSTRIÓN. Se D = α, entones D = 180 o α. Utiliemos el Teorem del oseno (4.6) en los triángulos D y D. D: = d + m dm os α os α = d + m. dm D: = d + n dn os (180 o α) d os α = os (180 o α) = d + n dn os α = d n +. dn m α D 180 o -α n Y que os (180 o α) = os α Igulndo ls dos expresiones de os α tenemos: d + m dm = d n + dn (d + m )n = ( d n + )m d n + m n n = d m n m + m d n + d m = m + n (n m + m n) d (n + m) = m + n nm(n + m) d = m + n nm, (y que m + n = D + D = = ) Teorem de polonio Teorem 4.9 (Teorem de polonio (Teorem de l medin)) Pr todo triángulo l sum de los udrdos de dos ldos ulesquier, es igul l mitd del udrdo del terer ldo más el dole del udrdo de su medin orrespondiente. DEMOSTRIÓN. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

24 16 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO Vmos her l demostrión trvés del Teorem del oseno (4.6). Se un triángulo ulquier de ldos, y, pr uyo ldo se h trzdo l medin orrespondiente M, entones: n m α α m = n = 1. (II.3) M L medin M form on el ldo los ángulos α y α omo podemos ver en el diujo. Entones según el Teorem del oseno tenemos: = m + M mm osα, (II.33) = n + M nm osα. (II.34) Teniendo en uent (II.3) y plindo el oseno de los ángulos del segundo udrnte en funión de los del primero en ls dos últims igulddes tenemos: = 4 + M M osα, (II.35) Sumndo ms euiones tenemos: = 4 + M + M osα. (II.36) + = + M. (II.37) Est expresión es l onlusión del Teorem de polonio relizd pr l medin M, omo se trt de un demostrión generl, on rzonmientos similres se puede otener expresiones equivlente pr ls restntes medins M y M ls ules serín: + = + M, (II.38) + = + M. (II.39) 4.7. Teorem de Euler El Teorem de Euler se us pr el álulo de l distni entre el inentro y el irunentro. Teorem 4.10 Se d = IO. Entones: os (180 o α) = os α. d = R Rr. de septiemre de 014 urso

25 SE. 4. TEOREMS DESTLES PR EL TRIÁNGULO 17 donde: R es el rdio de l irunfereni irunsrit (.). r es el: rdio de l irunfereni insrit (.1). DEMOSTRIÓN. Queremos hllr d, pr ello, sen: N el segundo orte de l isetriz que prte de on l irunfereni irunsrit. M el punto dimetrlmente opuesto. Si llmmos: Tenemos: α =, β =. α = N = N, β = I = I. omo N I = IN = α + β, el triángulo IN es isóseles y por tnto N = N I. Por otro ldo tenemos que l poteni (6) del inentro (1.3) I respeto de l irunfereni irunsrit (.) vle: d R = IN I = N I. (II.40) omo: qued: N = M N sen α, I = I P sen α. R d = M N sen α I P sen α = M N I P = Rr. Entones nos qued: d = R Rr. (II.41) Un onseueni importnte se deriv del resultdo nterior y de ser d 0. En efeto: d = R Rr 0. (II.4) Por lo que nos qued lo que onoemos omo l desiguldd de Euler: R r. (II.43) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

26 18 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO 4.8. Desiguldd triángulr L sum de ls medids de dos ldos de un triángulo es myor o igul que l medid del terero. L iguldd se umple si y solo si, y están linedos en ese orden. DEMOSTRIÓN. Vése l demostrión en el siguiente video: Fórmul del Herón S = p(p )(p )(p ). (II.44) donde: p es el semiperímetro (I.1) del triángulo. 5. Iguldd y semejnz de triángulos riterios de iguldd de triángulos Dos triángulos son igules undo tienen igules un ldo y sus dos ángulos dyentes. α α β β α = α, β = β y =. Dos triángulos son igules undo tienen dos ldos igules y el ángulo omprendido. β β β = β, = y =. de septiemre de 014 urso

27 SE. 5. IGULDD Y SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS 19 Dos triángulos son igules undo tienen los tres ldos igules. =, = y = Semejnz de triángulos Dos triángulos son semejntes si tienen l mism form, unque no neesrimente el mismo tmño. undo dos triángulos son semejntes, los ángulos orrespondientes son ongruentes y los ldos orrespondientes son proporionles en medid. Rzón de semejnz Llmmos rzón de semejnz entre dos triángulos y l onstnte de proporionlidd k entre sus ldos: = = = k. (II.45) Si tommos ls proporiones entre los ldos l revés, l rzón de proporionlidd será 1/k. riterios de semejnz de triángulos Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos igules. α β α β α = α y β = β. Dos triángulos son semejntes si tienen los ldos proporionles. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

28 0 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO = =. Dos triángulos son semejntes si tienen dos ldos proporionles y el ángulo omprendido entre ellos igul. α α = y α = α. Posiión de Thles Dos triángulos se dien en posiión de Thles ( = T ) si: Dos ldos de uno ontienen respetivmente dos ldos del otro. El terer ldo de uno es prlelo l terer ldo del otro. Dos triángulos en posiión de Thles son semejntes 6. Poteni de un punto respeto de un irunfereni Ddo un punto ulquier P y un irunfereni, se trz un ret que ps por P y ort l irunfereni en dos puntos M y N. Se verifi que el produto de ls distnis P M y PN tom siempre el mismo vlor, se ul se l posiión de l ret. Por tnto, tiene sentido definir l poteni de un punto respeto de un irunfereni omo el resultdo de este produto: k = P M PN. (II.46) de septiemre de 014 urso

29 SE. 6. POTENI DE UN PUNTO RESPETO DE UN IRUNFERENI 1 Si l distni entre el punto y el entro de l irunfereni es d, y el rdio r, l poteni es: k = d r = (d + r)(d r). (II.47) Est expresión nos permite oservr fáilmente que: si k < 0, entones P es interior l irunfereni. si k = 0, entones P es está en l irunfereni. si k > 0, entones P es exterior l irunfereni. Un so de espeil onsiderión es el formdo por un ret tngente y un sente, omo en l figur. En est situión el ángulo T P es semiinsrito y mide l mitd del ro T, l igul que el ángulo insrito (.5) TP. T P Se llm ángulo semiinsrito en un irunfereni ulquier ángulo que teng su vértie en l irunfereni, un de ls semirets que determin sus ldos se tngente l irunfereni y l otr se sente L iguldd de ángulos nuevmente impli un semejnz de triángulos, entre los triángulos PT y P T. Dih semejnz impli: P P T = P T P. (II.48) Y por tnto: P T = P P. (II.49) 6.1. Puntos oílios D Los puntos oílios (o onílios) son quellos que perteneen un mism irunfereni. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

30 P. II. RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO PROPIEDDES DE LOS PUNTOS OÍLIOS 1. Dos puntos siempre son oílios (so trivil). Tres puntos siempre serán oílios exepto en el so de que estén linedos. En el so de utro puntos D,,,, serán oílios sólo si los ángulos D y son suplementrios 3. D. Teorem 6.1 (Ángulo onstnte) Sen,, y D utro puntos oílios, olodos en este orden en el írulo. Entones tenemos l iguldd de ángulos: = D. DEMOSTRIÓN. mos ángulos miden el dole del ángulo l entro O. Diho de otro modo, si se onsider l uerd y un punto móvil que reorre el írulo quedándose del mismo ldo on relión, entones el ángulo M es onstnte. Se die que se ve desde M jo un ángulo onstnte. Tomndo otr uerd, se otiene otr iguldd: por ejemplo, on : = D. 3 Los ángulos suplementrios son quellos uys medids sumn 180 o. de septiemre de 014 urso

31 pítulo III Olimpids Loles 7. Prolems Ejeriio (013, Ver 40 en ls Referenis we) Sen, y los vérties de un triángulo y P, Q y R los respetivos pies de ls isetries (1.3) trzds desde esos mismos vérties. Siendo que PQR es un triángulo retángulo en P se pide pror: Que h de ser otusángulo 1. Que en el udrilátero RPQ, pese no ser ílio, l sum de sus ángulos opuestos es onstnte. SOLUIÓN. Primero pliquemos el Teorem de l isetriz (4.7) en el triángulo : = P P, = P P. R P Q Expresndo P omo P y P omo P tenemos: = P P, = P P.

32 4 P. III. OLIMPIDS LOLES Despejndo P y P respetivmente tenemos: P = P = +, +. nálogmente tenemos: Q = Q = R = R = +, +, +, +. hor vmos plir el Teorem de Stewrt (4.8) : P = P + P P P. (III.1) Sustituyendo en (III.1) los vlores luldos nteriormente on el Teorem de l isetriz tenemos: P = = ( + ) = ( + + ) ( + ) = ( + + ( + os )) ( + ), plindo el Teorem del oseno (4.6) ( = + os ) = (1 + os ) ( + ). de septiemre de 014 urso

33 SE. 7. PROLEMS 5 plimos ríes en mos ldos y tenemos: P = = 1 + os os + os =, plindo l fórmul del oseno del ángulo mitd. + hor vmos lulr los ldos del triángulo PQR. QR: QR = Q + P Q R os, plindo el Teorem del oseno = ( + ) + ( + ) + + os sustituyendo los vlores del prinipio luldos on el Teorem de l isetriz. RP: PR = P + R P R os ( /), plindo el Teorem del oseno = 4 ( + ) os ( /) + ( + ) ( + )( + ) os ( /) sustituyendo los vlores del prinipio luldos on el Teorem de l isetriz = 4 ( ) ( + ) ( + ) os ( /) + ( + ). L fórmul pr el oseno del ángulo mitd es: os / = 1 + os TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

34 6 P. III. OLIMPIDS LOLES QP: QP = P + Q P Q os /, plindo el Teorem del oseno = 4 ( + ) os ( /) + ( + ) ( + )( + ) os ( /) sustituyendo los vlores del prinipio luldos on el Teorem de l isetriz = 4 ( ) ( + ) ( + ) os ( /) + ( + ). omo semos que el triángulo PQR es retángulo en P tenemos: QR = PQ + PR. (III.) sustituyendo el vlor de d ldo tenemos: 4 ( ) ( + ) ( + ) os ( /) + 4 ( ) ( + ) ( + ) os ( /) = + + os (1 + os )( )( + ) ( + ) ( + )( + ) (1 + os )( + ) = ( + ) os + (1 + os )( )( + ) ( + ) ( + )( + ) + ( ) os = 0 + ( + ) os = 0 Despejndo el oseno de est expresión tenemos: os = os = ( + ) = ( + )( + )( + ) os os = + os + +, plindo el Teorem del oseno + os = + os + os ( + ) = + os os = os = 1. de septiemre de 014 urso

35 SE. 7. PROLEMS 7 Entones = 10 o y on esto demostrmos que el triángulo es otusángulo. Por otro ldo semos que P = 90 o por ser el triángulo PQR retángulo en P. on lo que: P + = 10 o, R + Q = 360 o ( P + ) = 360 o 10 o = 150 o, y on esto qued demostrdo que en el udrilátero RPQ l sum de sus ángulos opuestos es onstnte. Ejeriio. 7.. (011, Ver 40 en ls Referenis we) Sen: un triángulo útngulo 3 on = 45 o. P el pie de l ltur (1.) por. Trzmos l irunfereni de entro P que ps por y que vuelve ortr en el punto X y l ltur P en el punto Y. Sen r y s ls rets perpendiulres l ret Y por P y X respetivmente y L y K ls interseiones de r y s on. Demuestr que L es el punto medio de K. SOLUIÓN. Por onstruión tenemos: PX = PY = P, (III.3) por ser todos rdio de l irunfereni. Los triángulos PY y P (son retángulos en P por ser P l ltur del triángulo ) son igules plindo el segundo riterio de iguldd de triángulos (5) : 1. PY = P.. P = P por ser el triángulo P isóseles (tiene dos ángulos igules: P = 90 o, P = 45 o y por tnto P = 180 o 45 o 90 o = 45 o ) s r L K Y Q X P 3. PY = P por (III.3). Entones todos sus ángulos y ldos son igules y en prtiulr: PY = P. (III.4) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

36 8 P. III. OLIMPIDS LOLES Por otro ldo el triángulo PY Q (retángulo en Q por ser r perpendiulr Y ) es semejnte PY por el primer riterio de semejnz (5.1). 1. Y QP = Y P por ser mos ángulos retos.. PY = PY Q por ser el mismo ángulo. Entones todos sus ángulos son igules y en prtiulr: Entones: Y PQ = PY. LP = Y PQ = PY. (III.5) (III.6) Por otro ldo el segmento P L es prlelo : Si nos fijmos en los triángulos QP y P respetivmente tenemos: QP = 180 o PQ QP = 180 o PY 90 o = 180 o P 90 o = 180 o P P = P, teniendo en uent (III.3) y que los ángulos QP y P son retos. Entones los ángulos LP = QP y P son igules, por lo que si desplzmos el segmento hi donde está el segmento P L el ángulo que form on el segmento no vrí. Y l mism vez los segmentos P L (ret r) y son prlelos KX (ret s) por onstruión, sí que plindo el Teorem de Thles (4.3), tenemos: K L X P = L P = K X, (III.7) nos quedmos on l primer iguldd y tenemos: K L X P = L P P X P = L K L PX X P = L K L porque P = PX (vése (III.3)) L K L = 1 L = K L. de septiemre de 014 urso

37 SE. 7. PROLEMS 9 Ejeriio (011, Ver 40 en ls Referenis we) En un triángulo llmremos: O l irunentro (1.1). I l inentro (1.3). r l rdio de l irunfereni insrit (.1). Si l meditriz (1.1) del segmento OI ort l irunfereni irunsrit (.) en L y LI vuelve ortr en M, demuestr que: I M = r. (III.8) SOLUIÓN. L Se R el rdio de l irunfereni irunsrit, por lo que plindo el Teorem de Euler (4.7) tenemos: OI = R Rr. (III.9) Q r I O R T Sen T y Q los puntos de orte de l ret OI on l irunfereni irunsrit. M onsiderndo ls uerds LM y TQ y plindo l poteni (6) del punto I respeto l irunfereni irunsrit, on respeto ms uerds, tenemos: I L I M = I T IQ. (III.10) Semos que: I L = OL, por ser L un punto de l meditriz de IO. OL = R, por ser O el entro de l irunfereni irunsrit y L estr en está. Entones tenemos: I L = OL = R. (III.11) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

38 30 P. III. OLIMPIDS LOLES Por otro ldo tenemos: IT = OI + OT = OI + R, IQ = OQ - OI = R - OI, por ser OT y OQ rdios de l irunfereni irunsrit. Sustituyendo en (III.10) ests dos igulddes tenemos: I L I M = I T IQ R I M = (OI + R)(R OI) por (III.11) R I M = R OI R I M = R (R Rr) por (III.9) R I M = Rr. Despejndo I M nos qued: I M = Rr R = r. (III.1) Ejeriio (010, Ver 40 en ls Referenis we) Determin los ldos del triángulo retángulo del que se onoen el perímetro (3) P = 96 y l ltur (1.) sore l hipotenus h = SOLUIÓN. onsidermos el triángulo retángulo en. Tenemos que el áre del triángulo (I.13) omo: se puede lulr S = h tomndo omo ltur h y se. h S = tomndo omo ltur y se. Igulndo ms expresiones tenemos: h =. (III.13) de septiemre de 014 urso

39 SE. 7. PROLEMS 31 Por otro ldo omo onoemos el perímetro tenemos que: P = + + = 96 + = P. (III.14) Elevndo l udrdo mos miemros tenemos: ( + ) = (P ). (III.15) Desrrollmos: + + = P P = P P +, plindo Pitágors (4.1) en el triángulo retángulo = P P h = P P utilizndo (III.13) (h + P) = P. Despejndo tenemos: = P (h + P). (III.16) omo por el enunido del ejeriio onoemos h y P tenemos: 96 = = = 40. (III.17) Y tenemos determindo el ldo, pr determinr los ldos y st on resolver l euión: z ( + )z + = 0. (III.18) Ls soluiones de est euión serán los ldos y del triángulo 4. L euión es equivlente : usndo (III.14) y (III.13). omo onoemos y P tenemos: z (P )z + h = 0, (III.19) z (96 P (h + P) )z + P 96 (h + P) 5 = 0 z 56z = 0. (III.0) 4 L euión z ( + )z + = 0 es iert porque semos que los vlores y son soluiones de l euión (z )(z ) = 0 equivlente l nterior. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

40 3 P. III. OLIMPIDS LOLES Resolviendo l euión tenemos ls dos soluiones: z = z = = = Entones los ldos del triángulo son 40, 3 y 4. = = 56 8 = 3, (III.1) = 4. (III.) Ejeriio (008, Ver 40 en ls Referenis we) En el triángulo, el áre (3) S y el ángulo son onoidos. Hll el vlor de los ldos y pr que el ldo se lo más orto posile. SOLUIÓN. Por el Teorem del oseno (4.6) tenemos: = + os = ( ) + os = ( ) + (1 os ). Del áre (I.16) del triángulo onoiendo dos ldos de un triángulo y el ángulo que formn tenemos: Entones: = ( ) + S sen (1 os ), S = 1 sen = S sen. teniendo en uent el vlor de (vése (III.3)). (III.3) omo ( ) > 0 l expresión nterior será mínim undo =, entones volviendo (III.3) tenemos: = S S sen = = sen. (III.4) Ejeriio (008, Ver 40 en ls Referenis we) Sen D, E y F los puntos de tngeni de l irunfereni insrit (.1) l triángulo on los ldos, y respetivmente. Demuestr que: 4S DEF S, (III.5) donde S X Y Z denot el áre (3) del triángulo X Y Z. de septiemre de 014 urso

41 SE. 7. PROLEMS 33 SOLUIÓN. Se I el inentro (1.3) del triángulo. Tenemos que: I D, F r E I E, I I F, por ser D, E y F los puntos de tngeni de l irunfereni insrit. D Por otro ldo usndo el áre (I.16) del triángulo onoiendo dos ldos y el ángulo que lo formn tenemos: S = 1 sen = 1 sen, (III.6) S EI F = 1 EI F I sen EI F = 1 r sen EI F, (III.7) S F I D = 1 I D I F sen DI F = 1 r sen EI F, (III.8) S EI D = 1 I E I D sen EI D = 1 r sen EI D. (III.9) Los ángulos y EI F son suplementrios 5 (l fijrnos en el udriltero F I E tenemos que I F = I E = 90 o por definiión de los puntos F y E, entones + EI F = 360 o 90 o 90 o = 180 o ). Entones tenemos que: sen = sen EI F, verifindo un de ls propieddes de los ángulos suplementrios 6. (III.30) Entones: S EI F S = r. (III.31) 5 Los ángulos suplementrios son quellos uys medids sumn El seno de dos ángulos suplementrios verifi: sen (180 o α) = sen α. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

42 34 P. III. OLIMPIDS LOLES nálogmente tenemos: S EI D S = r, (III.3) S F I D S = r. (III.33) Sumndo ests tres friones tenemos: Por otro ldo: S DEF = S EI F + S EI D + S F I D = r ( + + ). (III.34) S S S S Usndo el áre (I.14) en funión del rdio de su irunfereni insrit y el semiperímetro (I.1) : + + S = pr = r. (III.35) Usndo el áre (I.15) en funión del rdio de su irunfereni irunsrit: S = 4R 4RS =. (III.36) Sustituyendo ests dos últims igulddes en (III.34) tenemos: S DEF S = rs 4RS = r R. (III.37) hor plimos l desiguldd de Euler (II.43) (R r): S DEF = r S R r r = 1 4. (III.38) Por lo que nos qued: 4S DEF S. (III.39) Y l iguldd se verifi undo es equilátero. omo podemos ver en el diujo de l dereh, el áre del triángulo hio es 1.55, que multiplid por 4 d 6. (orrespondiente on el áre del triángulo grnde). F I Áre de = 6. E Áre de FDE = 1.55 D de septiemre de 014 urso

43 SE. 7. PROLEMS 35 Ejeriio (007, Ver 40 en ls Referenis we) Demostrr que un triángulo, l distni de un vértie ulquier l ortoentro (1.) es el dole de l distni del irunentro (1.1) l ldo opuesto ese vértie. SOLUIÓN. s Sen: H el ortoentro del triángulo. O el irunentro del triángulo. R H O H el simétrio de H respeto del ldo. P Q O el simétrio de O respeto del ldo. H O omo los triángulos P y R son retángulos por estr P y R en dos de ls lturs (1.) del triángulo, mos triángulos tienen un ángulo reto. Si esto le summos que mos triángulos tmién omprten el ángulo tenemos que mos triángulos son semejntes plindo el primer riterio de semejnz de triángulos (5.1). Esto impli que tmién su terer ángulo es igul, es deir: P = R. (III.40) Equivlentemente mirndo el diujo podemos ver que l iguldd nterior es equivlente : H = H P. (III.41) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

44 36 P. III. OLIMPIDS LOLES Y por otro ldo semos de estos dos ángulos que: H = H por rr mos ángulos el mismo ro 7. H P = PH por ser H simétrio de H respeto de. Entones: H = PH. (III.4) Y esto último prue que H est en l irunfereni irunsrit (.) el triángulo. hor tenemos dos igulddes: 1. omo H es simétrio de H, tenemos que: OH H = H HO. (III.43). omo HH y OO son dos prlels (por estr dentro de l ltur (1.) y de l meditriz (1.1) respetivmente) ortds por l sente HO tenemos que: H HO = OO H, (III.44) por ser ángulos lternos internos 8. Entones por (1) y () tenemos que: OH H = H HO = OO H. (III.45) Por otro ldo O y OH son rdios de l irunfereni irunsrit por ser vértie del triángulo y por estr H en dih irunfereni (demostrdo nteriormente). Entones el triángulo H O es isóseles, lo que impli que sus ángulos OH = OH H y H O = HO son igules. Y teniendo en uent (III.45) l nterior iguldd se qued: OO H = HO. (III.46) Y hemos prodo que los ángulos opuestos y O en el udrilátero HO O son igules, nos quedrí ver que tmién los ángulos O y H son igules. Tenemos: 1. O H = 180 o H HO, por ser P l ltur del triángulo. 7 Los ángulos insritos,5 que rn el mismo ro son igules. 8 Se les llm ángulos lternos internos los que, en un trnsversl que ort dos prlels (o dos rets), son internos ls rets pero lternos en l trnsversl. de septiemre de 014 urso

45 SE. 7. PROLEMS 37. O O = O OH + H O = OH H + H O, por (III.45) = OH H + (180 o OH ), por ser el triángulo H O isóseles = OH H + (180 o OH H), vése el diujo = 180 o OH H = 180 o H HO, por (III.45). Entones el udrilátero HO O es un prlelogrmo 9. Y por lo tnto por ser prlelogrmo: H = OO. (III.47) Y omo OO = OQ por ser O simétrio de O respeto de Q tenemos: H = OQ. (III.48) lterntiv de uno de los Ejeriios internionles Ejeriio Usndo regl y ompás onstruye el triángulo onoids: h, h y m, donde: h es l ltur 1, del triángulo que prte del ldo (vése (1.)). h es l ltur del triángulo que prte del ldo (vése (1.)). m es l medin del triángulo que prte del vértie (vése (1.4)). SOLUIÓN. L onstruión se podrí relizr omo sigue: 1. Diujmos l medin m y trzmos un irunfereni que pse por sus extremos.. on entro en el pie de l medin M, trzmos dos irunferenis, un on rdio l semidistni de H (que llmremos 1) y otr on l semidistni de H ( que llmremos ). 9 Si mos pres de ángulos opuestos de un udrilátero son ongruentes, entones el udrilátero es un prlelogrmo. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

46 38 P. III. OLIMPIDS LOLES 3. Estos irunferenis ortrán l irunfereni en dos puntos d un. Nos quedremos on un punto de d. Tomremos el punto superior de l 1 (que lo llmremos P) y el punto inferior de l (que lo llmremos O). 4. Trzremos un prlel l segmento O l distni H. Donde est prlel orte l ldo P, estrá el vértie usdo. 5. Trzremos un prlel l segmento P l distni H. Donde est prlel orte l ldo O tendremos el vértie usdo. 6. omo el vértie lo tenemos, qued determindo el triángulo. P M D O de septiemre de 014 urso

47 pítulo IV Olimpids Nionles 8. Prolems Ejeriio (Pmplon, 011, Ver 40 en ls Referenis we) Se un triángulo on = y > 90 o Sen: D: punto de l ret tl que: D. M: punto medio de. Demuestr que M = DM. SOLUIÓN. L ret que ps por y es prlel ort DM y D en los puntos N y F respetivmente. Tenemos: N M = DN DM, (IV.1) plindo el Teorem de Thles (4.) l triángulo DM, y tenemos: DN DM = N F M, (IV.) plindo el Teorem de Thles (4.) l triángulo M D.

48 40 P. IV. OLIMPIDS NIONLES D α N F α M α α ominndo ls dos últims igulddes tenemos: N M = DN DM = N F M. (IV.3) M = M por ser M el punto medio, por lo que N = N F. Esto impli que N es l medin del triángulo F (triángulo retángulo por D ). Entones plindo el orolrio 1 del Teorem de Thles (4.1) tenemos que N = N. de septiemre de 014 urso

49 SE. 8. PROLEMS 41 Esto último impli que el triángulo N es isóseles, entones: N = N, por ser N isóseles =, por ser N y ángulos lternos internos 1. Entones: N = =, donde en l últim iguldd se utilizo l hipótesis: =. (IV.4) Por otro ldo omo N (por onstruión) tenemos que el udrilátero N es isóseles. Entones los otros dos ldos del trpeio isóseles son igules ( = N ) por definiión de trpeio isóseles. Entones por: = N, por ser los ldos igules del trpeio isóseles nterior. N =, por (IV.4). M = M, por ser M el punto medio de diho segmento. podemos usr el terer riterio de iguldd de triángulos (5) y tenemos que: por lo que: M = N M, M = N M = DM. (IV.5) (IV.6) L últim iguldd podemos verl lrmente en el diujo. Entones y tenemos lo que querímos demostrr: M = DM. (IV.7) Ejeriio. 8.. (Torrelodones, 007, Ver 40 en ls Referenis we) Se O el irunentro 1,1 de un triángulo. L isetriz 1,3 que prte de ort l ldo opuesto en P. Pror que se umple: P + O OP =. (IV.8) 1 Se les llm ángulos internos los que, en un trnsversl que ort dos prlels (o dos rets), son internos ls rets pero lternos en l trnsversl. Un trpeio isóseles es el que tiene los ldos no prlelos de igul medid TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

50 4 P. IV. OLIMPIDS NIONLES SOLUIÓN. Diujmos l irunfereni irunsrit (.) l triángulo y prolongmos P hst que orte on dih irunfereni. este punto de orte le llmmos M. Por otro ldo tenemos que: = M por estr insritos,5 en el mismo ro (vése (.5)). O M = M por definiión de isetriz. P Entones los triángulos M y P son semejntes por el primer riterio de semejnz (5.1), y esto impli que: P = M. Despejndo tenemos que: = M P (IV.9) M = (P + P M) P, desomponiendo M = P + P M = P + P M P = P + (O OP ), por ser P M P poteni de P respeto de l irunfereni, (vése (6)) = P + O OP. de septiemre de 014 urso

51 SE. 8. PROLEMS 43 Ejeriio (Sevill, 006, Ver 40 en ls Referenis we) Se un triángulo isóseles on = y P un punto ulquier de l irunfereni tngente los ldos en y en. Pongmos,, ls distnis desde P los ldos, y respetivmente. Pror que: =. (IV.10) SOLUIÓN. Pongmos: S P R m = P y n = P. Sen Q, R, S ls proyeiones de P sore los ldos, y respetivmente. m Q n Se P el punto dimetrlmente opuesto P. P Vmos demostrr que PP y PS son semejntes: mos triángulos son retángulos por los que mos tienen un ángulo reto, en onreto: PS = PP. (IV.11) Si nos fijmos en el triángulo P: 1. Llmmos u = P P = OP donde O es el entro de l irunfereni y l mism vez vmos tener en uent que OP = OP = u por ser el triángulo OP isóseles, (OP = O).. Entones el ángulo que nos qued por onoer de este triángulo es P P = 180 o 90 o u = 90 o u. 3. Si nos fijmos hor en el triángulo SP tenemos que PS = OS OP = 90 o u, por tnto este ángulo es igul P P. Entones los triángulos PP y PS son semejntes plindo el primer riterio de semejnz de triángulos (5.1) : m = r m, TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO (IV.1) Eliseth González

52 44 P. IV. OLIMPIDS NIONLES de donde se tiene que: m = r. (IV.13) nálogmente se puede demostrr que los triángulos P P y PR son semejntes y otenemos: n = r n, (IV.14) de donde se tiene que: n = r. (IV.15) Por otro ldo plindo el Teorem del Seno (II.10) l triángulo P tenemos: r = n sen P, (IV.16) de donde se tiene: sen P = n r. (IV.17) Y del triángulo retángulo PQ otenemos: sen P = sen PQ = m, (IV.18) de donde se tiene despejndo : = sen Pm = nm r, por (IV.17). Si elevmos l udrdo: = n m 4r = rr 4r, por (IV.13) y (IV.15) =. de septiemre de 014 urso

53 SE. 8. PROLEMS 45 Ejeriio (Sntigo de ompostel, 005, Ver 40 en ls Referenis we) En un triángulo de ldos,, donde el ldo es l medi ritméti de y. Pror: 1. 0 o 60 o.. L ltur reltiv l ldo es tres vees el inrdio (.1) r. 3. L distni del irunentro (.) l ldo es: R r (donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit (.) ). SOLUIÓN. 1. Por l desiguldd triángulr (4.8) tenemos: + = + +, de donde se tiene que: 3. + = + +, de donde se tiene que: 1 3. (IV.19) (IV.0) Entones tenemos: (IV.1) Por otro ldo por el Teorem del oseno(4.6) tenemos: = + os = os, de donde despejndo os se tiene: os = (IV.) 8 Dividimos por numerdor y denomindor, llmmos por omodidd x = y otenemos: f (x) = os = 3x + x 3 8x = 3x x + 3 8x = 3 8 x x on (IV.3) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

54 46 P. IV. OLIMPIDS NIONLES Tenemos que: 1 f = = 1, f (3) = = 1, f (x) = x, de donde igulndo ero otenemos que hy un mínimo en x = 1 f (1) = = 1. Entones nos qued: 1 os 1. (IV.4) nálogmente: 0 o 60 o. (IV.5). Designndo:, y los vérties opuestos los ldos, y, respetivmente. I l inentro (1.3). h l ltur (1.) orrespondiente l ldo. S l re (3) del triángulo. p l semiperímetro (I.1). h T r I O d S R r l inrdio (.1). Tenemos: S = pr, ver (I.14) = + + r, ver semiperímetro (I.1) = + r, usndo = + = 3 r. de septiemre de 014 urso

55 SE. 8. PROLEMS 47 S = 1 h, ver (I.13). Igulndo ms fórmuls tenemos: h = 3r. (IV.6) 3. Se d 0 l distni entre el irunentro (1.1) y el ldo. En el triángulo retángulo SO semos por el Teorem de Pitágors (4.1) que: R = d +, (IV.7) de donde se tiene: d = R 4. (IV.8) Por otro ldo en el triángulo retángulo I T tenemos: tn / = r T = r, ver propiedd de l irunfereni insrit (.1) p = = r, ver semiperímetro (I.1) + + r + = r = r. Por lo que nos qued: tn / = r. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO (IV.9) Eliseth González

56 48 P. IV. OLIMPIDS NIONLES hor tenemos: R = = sen, usndo el Teorem del Seno generlizdo en el triángulo (II.10) 3 tn /, vése el seno en funión de l tngente del ángulo mitd 1 + tn / 1 + tn / = tn / 1 + = r r, por (IV.9). = + 4r 4r = + 4r 4r = 4r + r. Por lo que tenemos: 4 = r(r r). (IV.30) Volviendo (IV.8) y sustituyendo (IV.30) tenemos: d = R Rr + r = (R r). (IV.31) de donde se tiene: d = R r. (IV.3) 3 Seno en funión de l tngente del ángulo mitd: sen = tn / 1 + tn /. de septiemre de 014 urso

57 SE. 8. PROLEMS 49 Vmos ver otr soluión de este prtdo sin usr trigonometrí. Se S l interseión de l isetriz de on l meditriz de (que est en el punto medio del ro ). Y sen P, P y P3 los puntos de tngeni de l irunfereni insrit (.1) en el triángulo y los ldos, y, respetivmente. P3 P I P Q O S Usndo un propiedd de l irunfereni insrit (.1) llmmos: x = P = P y = P = P3 z = P = P3 y tenemos: = x + y = +, por ser l medi ritméti de y. = y + z y = z = z + x z = x Entones tenemos: x = + y, despejndo x en (3) = + = + + z, sustituyendo y por su vlor (3) + x, sustituyendo z por su vlor (3) = + + x. Despejndo x se tiene: x = 3. (IV.33) 4 plindo el Teorem de l isetriz (4.7) l triángulo tenemos: = Q Q. TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO (IV.34) Eliseth González

58 50 P. IV. OLIMPIDS NIONLES Semos que: Q + Q = = +. (IV.35) Dividimos por Q y plimos (IV.34): Despejmos Q y nos qued: 1 + = + Q. Q =. (IV.36) (IV.37) omo es l mitd de : = = + 4. (IV.38) Vmos lulr: Q PQ = ( Q) (Q P), (vése el diujo) = x, usándose (IV.37) y (IV.38) = + 4 ( + ) ( + ) + 3, usándose (IV.38) 4 = = 0. Por lo que Q = PQ. Y omo: I PQ = Q S = 90 o. IQP = QS por ser ángulos lternos internos 4. Entones on por ls tres últims igulddes tenemos que los triángulos P IQ y S Q son igules por el primer riterio de iguldd de triángulos (5), por tnto S = I P = r, de donde qued finlmente: O = OS S = R r. (IV.39) 4 Se les llm ángulos internos los que, en un trnsversl que ort dos prlels (o dos rets), son internos ls rets pero lternos en l trnsversl. de septiemre de 014 urso

59 SE. 8. PROLEMS 51 Ejeriio (nris, 003, Ver 40 en ls Referenis we) Ls lturs (1.) del triángulo se ortn en el punto H. Se se que = H. Determinr el vlor del ángulo. SOLUIÓN. Distinguimos tres sos: < 90 o : Llmemos y los puntos en los que ls lturs de y ortn l ldo opuesto respetivmente. Tenemos: El ángulo H = H porque son ángulos opuestos por el vértie. En el triángulo H el ángulo H es reto, entones el ángulo H = 180 o 90 o α = 90 o α. En el triángulo H el ángulo H es reto, entones el ángulo H = 180 o 90 o α = 90 o α. Dds dos rets r y s, del plno, que se ortn en el punto P, dos ángulos se dien opuestos por el vértie undo los ldos de uno son semirrets opuests los ldos del otro. Dos ángulos opuestos por el vértie son ongruentes. Por otro ldo tenemos: El ángulo H es igul l ángulo del triángulo retángulo, entones: = 180 o 90 o H = 180 o 90 o (90 o α) = α. 90 o -α 90 o -α α α H α H α α 90 o -α 90 o -α Entones los triángulos H y son igules plindo el primer riterio de iguldd de triángulos (5) (H = por ser un ondiión del enunido y los ángulos dyentes de los ldos H y son igules). Por tnto todos los ldos son igules, en prtiulr =. Si lulmos l tngente del ángulo en el triángulo tenemos: nálogmente: tn = = 1. = 45 o. (IV.40) (IV.41) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

60 5 P. IV. OLIMPIDS NIONLES > 90 o : Vmos rzonr nálogmente l prtdo nterior. Llmemos, y los puntos en los que ls lturs de, y ortn l ldo opuesto respetivmente, tenemos: El ángulo H = porque son ángulos opuestos por el vértie. En el triángulo H el ángulo H es reto, entones el ángulo H = 180 o 90 o α = 90 o α. 90 o -α α α En el triángulo H el ángulo H es reto, entones el ángulo = 180 o 90 o α = 90 o α. 90 o -α Dds dos rets r y s, del plno, que se ortn en el punto P, dos ángulos se dien opuestos por el vértieángulos!opuestos por el vértie undo los ldos de uno son semirrets opuests los ldos del otro.dos ángulos opuestos por el vértie son ongruentes. H Por otro ldo tenemos: El ángulo es igul l ángulo del triángulo retángulo, entones: 90 o -α α α = 180 o 90 o = 180 o 90 o (90 o α) = α. 90 o -α H Entones los triángulos y H son igules plindo el primer riterio de iguldd de triángulos (5) (H = por ser un ondiión del enunido y los ángulos dyentes de los ldos H y son igules). Por tnto todos ldos son igules, en prtiulr =. Si lulmos l tngente del ángulo en el triángulo tenemos: tn = = 1 (IV.4) Por tnto por un de ls propieddes de dos ángulos suplementrios tenemos: tn ( ) = tn (180 o ) = tn ( ) = 1 (IV.43) 4 L tngente de dos ángulos omplementrios verifi: tn (180 o α) = tn α. de septiemre de 014 urso

61 SE. 8. PROLEMS 53 nálogmente: = 135 o (IV.44) = 90 o : En este so oinide on H. Por lo que H = 0. omo 0, entones este vlor de no puede drse, por lo que este so no es válido. =H Ejeriio (iudd Rel, 004, Ver 40 en ls Referenis we) Demostrr que l ondiión neesri y sufiiente pr que, en el triángulo, l medin (1.4) desde se dividid en tres prtes igules por l irunfereni insrit (.1) en el triángulo, es: 5 = 10 = 13. (IV.45) SOLUIÓN. 1. Primero demostrremos l ondiión neesri. Prtimos de un triángulo tl que l medin K (donde K es el punto medio de ) orte l irunfereni insrit en dos puntos M y N tles que: T I K M = M N = N K = x. (IV.46) Se T el punto de tngeni de l irunfereni insrit y el ldo. M H N En el triángulo se verifin ls siguientes reliones: + = T. (IV.47) (Fórmul que deduimos diretmente de l propiedd de l irunfereni insrit (.1) ). TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

62 54 P. IV. OLIMPIDS NIONLES + = 4K. (IV.48) Fórmul de polonio (4.9) orrespondiente l medin del ldo y multiplid por dos. Y omo K = 3x (vése (IV.46)), tenemos: + = 4(3x) = 36x. (IV.49) L poteni del vértie respeto de l irunfereni insrit se puede esriir de dos mners teniendo en uent el prtdo (6) on su so espeil. T = M N. (IV.50) on lo que tenemos: T = M N + = M N, sustituyendo el vlor de T (IV.47) + = xx, teniendo en uent (IV.46). on lo que nos qued: ( + ) = 8x. (IV.51) En el triángulo, los puntos y K están igulmente lejdos del entro de l irunfereni insrit. Demostrémoslo: ) Trzmos l perpendiulr K que ps por I. ) Llmmos H l punto donde est perpendiulr ort K. ) Entones los triángulos retángulos en H (IHK, IH) son semejntes plindo el terer riterio de semejnz de triángulos (5.1) por tener el ldo IH omún y el ldo H = KH (por ser IH perpendiulr un ro de l irunfereni 5 ) y demás el ángulo omprendido entre los ldos igules ser igul. Entones todos los ldos son igules, en prtiulr I = K I. ) El ldo I es omún en mos triángulos. ) I = K I (lo mos de demostrr). ) I = IK porque K IH = IH d) Entones los triángulos K I y I son semejntes plindo el terer riterio de semejnz de triángulos (5.1). 5 ulquier ret perpendiulr que pse por el punto medio de ulquier uerd de un irunfereni ps por el entro de dih irunfereni. de septiemre de 014 urso

63 SE. 8. PROLEMS 55 Entones todos los ldos son igules, en prtiulr = K. Por lo que tenemos: =. (IV.5) Sustituyendo est últim iguldd en (IV.49) y (IV.51) tenemos: + 4 = 36x. Simplifindo y dividiendo entre dos tenemos: = 18x x = 18. (IV.53) ( + ) = 8x. Simplifindo tenemos: ( ) = 8x x = ( ). (IV.54) 8 Igulndo ls dos igulddes de x tenemos: 18 = ( ), 8 y nos qued: + = 9 4. (IV.55) Porque semos que 0 y hiendo álulos nos qued: = (IV.56) Uniendo est últim iguldd on (IV.5) tenemos:. hor demostrremos l ondiión sufiiente. Podemos suponer sin perdid de generlidd: = 5 = 10 = 13 5 = 10 = 13. (IV.57) TFM: OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE EL TRIÁNGULO Eliseth González

64 56 P. IV. OLIMPIDS NIONLES T T I K H N M T3 ntes de empezr on este prtdo vmos resolver el siguiente sistem (que tiene que ver on un propiedd de l irunfereni insrit (.1) ): x + y = 5 y + z = 10 donde: x = T = T3, y = T = T y z = T = T3, z + x = 13 uy soluión es: x = 4, y = 1 y z = 9. Estos vlores los usremos más trde pr terminr el prtdo. hor sustituyendo en ls fórmuls (IV.48) y (IV.49) usds en l ondiión neesri tenemos: + = T 8 = T T = 4 T = 16. (IV.58) + = 4K = 4K 4K = 88 K = 6. (IV.59) Resumiendo tenemos: y K = 6, (IV.60) 16 = T = M N. (IV.61) Si lulmos el semiperímetro (I.1) tenemos que p = 14 y usndo esto lulmos l superfiie (3) del triángulo medinte l fórmul de Herón (II.44) : S = 14(14 5)(14 10)(14 13) = (IV.6) Despejndo r (rdio de l irunfereni insrit) de l fórmul el áre (I.14) de un triángulo en funión del rdio de su irunfereni insrit tenemos: r = S p = = (IV.63) de septiemre de 014 urso