Relaciones Métricas. 1º Año. Matemática. Cód

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1 Reliones Métris 1º Año Cód Mtemáti Dpto. de Mtemáti

2 1. PROPIEDAD DE LOS ÁNGULOS CONJUGADOS Los ángulos onjugdos internos (externos) determindos por dos rets prlels ortds por un terer son suplementrios. Dtos o hipótesis: H) A //B y C trnsversl α y β son onjugdos internos C Pr relizr l demostrión prtimos de iertos dtos o informión (HIPÓTESIS) que se onsidern verdderos y llegmos un resultdo o onlusión (TESIS) medinte el rzonmiento (DEMOSTRACIÓN) A B Tesis: T) 2R Demostrión: D) Considermos un ángulo uxilir δ dyente l ángulo α Complet : AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES (1).... (2)... pues... pues son.entre A //B/`/ C sustituimos en (1) por (2) Con lo que qued demostrd l propiedd pr ángulos onjugdos internos. Te proponemos que relies l demostrión pr los ángulos onjugdos externos ACTIVIDADES P O L I T E C N I C O 1

3 Reliones Métris Mtemáti 1) Si y son ángulos onjugdos internos entre rets prlels interseds por un terer y 2) Los ángulos 2. Clul l medid de los ángulos y. 3 y son onjugdos externos entre prlels y l medid de es l urt prte de l medid de. Clul y. 3) Siendo A // B C, pr d prtdo, lul l medid de los ángulos indidos en l figur. B ) ˆ = ) ˆ = 3 ˆ 1 ) ˆ = ˆ 6 d) ˆ = 3 x y ˆ = 12 x A C 4) Siendo d // : Clul en d prtdo, según los dtos, l medid de los ángulos interiores del ) ˆ = y isetriz de d ) ˆ = 2x + 30 ; ˆ = 6x y = 5x 5) Siendo que y d y Demostrr que: ) ) // d e // f e α f 2. SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO d 2 P O L I T E C N I C O

4 TEOREMA: L sum de los ángulos interiores de un triángulo es un llno, o se 2 R Dtos o hipótesis: H) Conlusión o tesis: T) â ˆ ĉ 2R Demostrión: D) S Considermos un ret S prlel l ldo opuesto que pse por un vértie. Quedn determindos dos ángulos onseutivos l ĉ que llmremos ˆ yˆ. Complet pr otener l demostrión AFIRMACIONES (1)... JUSTIFICACIONES pues.... son son lternos internos entre // S /`/ sustituimos en (1) por y por on lo que qued demostrdo el teorem. Oservión: omo hrás notdo, l demostrión de este teorem supone l eptión del quinto postuldo de Eulides: por un punto exterior un ret ps un y solo un prlel dih ret 3. TEOREMA DEL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO P O L I T E C N I C O 3

5 Reliones Métris Mtemáti Todo ángulo exterior de un triángulo es ongruente on l sum de los dos ángulos interiores no dyentes y myor que ulquier de ellos H) y T) ángulo exterior ; : de Demostrión: (1) 2R porque. (2) 2R Igulndo ls expresiones (1) y (2) result porque.. Oservmos que mos miemros está sumndo el mismo ángulo por lo tnto Además el resultdo de un sum es myor que d sumndo por lo tnto y 4. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Contest ls siguientes propuests justifindo tu respuest: En el triángulo qué lse de ángulos serán y si es reto u otuso? si es reto qué puedes deir de y? L respuest ests uestiones onstituye l demostrión de los orolrios del teorem que ontinuión enunimos. 4 P O L I T E C N I C O

6 Sólo un ángulo de un triángulo puede ser reto u otuso Si un ángulo de un triángulo es reto, los otros dos son omplementrios 5.1 Según sus ángulos Ests propieddes permiten efetur un lsifiión de los triángulos tendiendo sus ángulos. Podemos definir: Todo triángulo on un ángulo reto se denomin retángulo A los ldos del ángulo reto se los denomin tetos, l ldo opuesto l ángulo reto, hipotenus Triángulo otusángulo es el que posee un ángulo otuso Result, de uerdo on uno de los orolrios nteriores que el triángulo otusángulo posee dos ángulos gudos. Triángulo utángulo es el que posee los tres ángulos gudos P O L I T E C N I C O 5

7 Reliones Métris Mtemáti En se ests definiiones, en el onjunto de los triángulos pueden distinguirse los siguientes suonjuntos no víos. T = triángulos T O R A O = triángulos otusángulos R = triángulos retángulos A = triángulos utángulos Oserv que: R O O O A R R A A T O, R y A determinn un prtiión de T en 3 suonjuntos 5.2 Según sus ldos Teniendo en uent l lsifiión de los triángulos según sus ldos: Todo triángulo que posee sus tres ldos ongruentes se denomin equilátero Todo triángulo que posee l menos dos de sus ldos ongruentes se denomin isóseles r rp rq El ldo pq es se En un triángulo isóseles l ldo desigul se lo llm se p q Todo triángulo que no posee ningún pr de ldos ongruentes se denomin esleno m 6 P O L I T E C N I C O h t

8 Simolizmos los onjuntos: I = { triángulos isóseles} E = { triángulos eslenos} Q = { triángulos equiláteros } De l definiión, es inmedito que: Q I I E I E T En un mismo digrm se muestr l prtiión de T (según sus ángulos) en 3 suonjuntos, en form vertil, y su prtiión en 2 suonjuntos (según sus ldos), en form horizontl; uindo el onjunto de los triángulos equiláteros inluido en A I I O R A E T Q Justifi por qué Q A I En el digrm de lsifiión de los triángulos, mr omo se te indi, dónde se enuentr un triángulo on ls rterístis siguientes: Retángulo isóseles, on un º Retángulo esleno, on un Otusángulo isóseles, on un Otusángulo esleno, on un Isóseles equiángulo, on un * P O L I T E C N I C O 7

9 Reliones Métris Mtemáti ACTIVIDADES 1) Indi ls rterístis geométris de los triángulos perteneientes d uno de los siguientes onjuntos: ) O I ) I A e) R E ) R I d) E A f) Q A 2) Estlee l flsedd o veridd de d un de ls siguientes expresiones, justifindo tu respuest ) equilátero isóseles ) isóseles equilátero ) retángulo e isóseles equilátero 5. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES: Los ángulos dyentes l se de un triángulo isóseles son ongruentes Se puede justifir tmién que: Es sufiiente que un triángulo pose dos ángulos ongruentes pr segurr que es isóseles Ls dos últims propieddes pueden reunirse estleiendo que: En todo triángulo ángulos ongruentes se le oponen ldos ongruentes y reípromente Demuestr que todo triángulo equilátero es equiángulo 8 P O L I T E C N I C O

10 ACTIVIDADES En lo suesivo, enontrrás prolems uyo enunido se individuliz on el símolo (). Esto signifi que es un propiedd muy importnte en l resoluión de futuros prolems 1) Ddo, onstruye un triángulo isóseles de se Es únio? 2) Clul l medid de los ángulos de ulquier triángulo retángulo isóseles. 3) () Demuestr que si los ángulos onjugdos internos (externos) entre 2 rets oplnres interseds por un terer son suplementrios, dihs rets son prlels. 4) Demuestr que ls isetries de los ángulos onjugdos internos entre prlels son perpendiulres. 5) En l figur 40º y 26º d es retángulo en d, Hll l medid de, y. Justifi los psos que reliz 6) x z y t Si z punto medio de xt y zt 1 demuestr que x y zt 2 zy 7) En l figur es isetriz de isetriz de e d; d 32 y Clul l medid de d d, d 51 e d P O L I T E C N I C O 9

11 Reliones Métris Mtemáti 8) Clul l medid de los ángulos interiores del qsh 81º y pst 34º.Justifi el proedimiento que relizs rst,siendo que rt // sp, 9) Si es isóseles on y 68º 20' 12" ) lul l medids de y. ) determin l medid del ángulo exterior orrespondiente l 10) En un triángulo mn p los ángulos del triángulo. es 2 m p y 3 p n. Determin ls medids de d uno de 11) Siendo que y = 102º,6; lul d uno de los ángulos del triángulo. 12) En un triángulo, un ángulo interior es de 35º 40 y un ángulo exterior no dyente él es de 150º 10. Determin l medid de los otros dos ángulos interiores. 13) Clul l medid de los ángulos interiores del triángulo uidos según muestr el gráfio, pr d so: rst y del ángulo exterior ) r 2x 14º s 5x 3º t 6x 13º ) 10 3 x 46º P O L I T E C N I C O t 6x 28º r s s ω t r

12 ) 145 º r 2x s 2r 14) En un triángulo retángulo uno de los ángulos gudos es el uádruplo del otro. Cuál es l medid de d uno de ellos? 15) () Demuestr que l sum de los ángulos interiores de un udrilátero es ) Si n// y n ise t demuestr que es isóseles t n 17) Si el ángulo opuesto l se de un triángulo isóseles es de 114º, lul los ángulos de l se. 18) Si â 4822'32'' ; ˆ 3â 9035'. Clul: ˆ ; ˆ y ĉ. 6. ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN POLÍGONO CONVEXO 7.1 Sum de los ángulos interiores de un polígono Diuj un udrilátero, un pentágono, un hexágono y un otógono, tom en d uno de ellos un punto interior y únelo on segmentos sus vérties Cuántos triángulos quedn determindos?... Qué regulridd desures? P O L I T E C N I C O 11

13 Reliones Métris Mtemáti Consideremos un polígono onvexo ulquier de n ldos, se oserv que l trzr todos los segmentos desde un punto interior del mismo, qued desompuesto en n triángulos. L sum de los ángulos interiores de dihos triángulos será 2R n. Entones l sum de los ángulos interiores del Polígono de n ldos, que simolizmos on Sn result: e d f o g h Sn = d e... 2Rn 4R (4R es l sum de los ángulos de vértie o) Expresndo 4 R = 2. 2R Sn = 2Rn 2.2R = 2R.(n - 2) (Por Propiedd distriutiv) Sn = 2 R.(n 2 ) 7.2 Sum de los ángulos exteriores de un polígono L sum de los ángulos exteriores de un polígono onvexo es de 4 R Completndo ests proposiiones demostrrás est propiedd d e En d vértie un ángulo interior ( i ) y su exterior orrespondiente ( e ) sumn... o se i + e =... (*) En un polígono de n ldos, hy... vérties, en d vértie existe un ángulo 12 P O L I T E C N I C O

14 interior y uno exterior que verifin (*) por lo ul l sum de todos los ángulos interiores (Sn) y l de todos los exteriores (Se) es..., o se Sn + Se = 2 R. n (1) y omo se se que Sn = 2 R.n - 4R reemplzndo en (1) result : 2R.n - 4R + Se = 2Rn Se = 2R n - 2R n + 4R o se : Se = 4R ACTIVIDADES 1) En un udrilátero d es 2, d 3. Determin l medid de d uno de los ángulos del udrilátero.(sugereni : plnte l euión en funión del ) 2) En un hexágono tres de sus ángulos interiores sum 427º Los otros tres ángulos son ongruentes. Cuál es l medid de d uno de esos ángulos? 3) En qué polígono l sum de sus ángulos interiores es de 1080º? 4) Complet l siguiente tl n Sn º º º R 5) Determin l medid de un ángulo interior de ) un pentágono regulr ) un heptágono regulr 6) En qué polígono regulr el ángulo exterior es 5 1 del ángulo interior dyente él? P O L I T E C N I C O 13

15 Reliones Métris Mtemáti 7) Si ontests firmtivmente ls siguientes pregunts, greg uántos ldos tiene el polígono regulr en ese so: ) Puede ser 45º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? ) Puede ser 100º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? ) Puede ser 140º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? d) Puede ser 60º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? e) Puede ser 135º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? f) Puede ser 156º l medid de un ángulo interior de un polígono regulr? t 8) Se el hexágono regulr e d de l figur def. Demuestr que x y t es equilátero. x f y 9) Demuestr que el udrilátero d, l sum de los ángulos l ángulo onvexo ˆd., y es igul d L revisión y tulizión de este punte estuvo rgo de los profesores: Veróni Filotti y Mrí del Luján Mrtínez Biliogrfí: GEOMETRÍA METRICA- RELACIONES MÉTRICAS de Susn S. de Hinrihsen, Noemí B. de González Beltrán y Lilin L de Cttneo TRIGONOMETRÍA de Jun Crlos Bue, Dniel Cndio, Veróni Filotti, Noemí Lgre y M. del Luján Mrtínez. Impreso por Reursos del IPS TRIGONOMETRÍA de : A. Nssini,L de Cttneo y N. Bushizzo. 14 P O L I T E C N I C O

16 MATEMATICA 1 (9º Ediión) de An M. Bogni, Els Di Estévez y Mry G. Ohrriz. Editoril Plus Ultr. Año 1995 Crpet de Mtemáti 8 (1º ediión)de Grvent, Legoruru, Rods y Turno. Editoril Aique. Año 2001 P O L I T E C N I C O 15