APUNTE: TRIGONOMETRIA
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- Vicenta Paz Mendoza
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1 APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo es l región del plno omprendid entre dos semirrets de origen omún. Este punto en omún es el vértie del ángulo y ls semirrets son los ldos del ángulo. Los ángulos se denominn generlmente on letrs griegs: ˆ α, ˆ β, ˆ γ,... Si llmmos A l origen de ls semirrets, y B y C son dos puntos en d un de ls semirrets, entones el ángulo ˆ α = ángulo( BAC). Dd un irunfereni, se llm ángulo entrl, quel uyo vértie oinide on el entro de l irunfereni, y sus ldos son dos rdios de l mism. o Sistems de mediión de ángulos Los sistems más utilizdos son el sistem sexgesiml y el sistem irulr. El sistem sexgesiml tiene omo unidd l grdo sexgesiml. Un grdo sexgesiml es l mplitud del ángulo que se otiene l dividir l irunfereni en 360 prtes igules. Este sistem tiene omo sumúltiplos l minuto y l segundo. 60 minutos equivlen un grdo sexgesiml, y 60 segundos un minuto. Es deir: º = 60 = Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06
2 El sistem irulr tiene omo unidd l rdián. Un rdián (rd) es l medid del ángulo entrl de un irunfereni uy longitud de ro oinide on l longitud del rdio de l irunfereni. Entre mos sistems podemos hllr equivlenis. 360 º = π rd 80 º = π rd 90º = π / rd Vemos uántos grdos sexgesimles equivle un ángulo de un rdián. π rd rd 360º 360º rd x = π rd = 57,9º o Angulos omplementrios y suplementrios Dos ángulos son omplementrios si su sum es igul un ángulo reto, es deir un ángulo de 90º. Dos ángulos son suplementrios si su sum es igul un ángulo llno, es deir un ángulo de 80º. o Sum de los ángulos interiores de un triángulo En ulquier triángulo se umple que l sum de los ángulos interiores es igul 80º. Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06
3 o Teorem de Pitágors Reordemos que en un triángulo retángulo, los ldos del mismo se llmn hipotenus (el ldo opuesto l ángulo reto) y tetos (los ldos que formn el ángulo reto). Entones, el Teorem de Pitágors puede enunirse de l siguiente mner: En todo triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. o Rzones trigonométris de un ángulo gudo de un triángulo retángulo Consideremos un triángulo retángulo ABC, donde es l hipotenus y, y son los tetos. Sen Bˆ y Ĉ los dos ángulos gudos del triángulo, y se  el ángulo reto. Considermos el ángulo Bˆ, y definimos los siguientes oientes, los que llmmos rzones trigonométris del ángulo B: teto opuesto sen B = hipotenus teto dyente ot g B = teto opuesto teto dyente os B = hipotenus hipotenus se B = teto dyente teto opuesto tg B = teto dyente hipotenus os e B = teto opuesto Por lo tnto: sen B = os B = tg B = ot g B = se B = os e B = Si onsidermos hor el otro ángulo gudo, Ĉ, otendremos que ls rzones trigonométris del ángulo C son: sen C = os C = tg C = ot g C = se C = os e C = Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 3
4 o Reliones entre rzones trigonométris De lo nterior surge que: sen B = os C y os B = sen C Como B yc son dos ángulos omplementrios, podemos esriir que: sen B = º Por otro ldo se umple que: os ( 90 B) y os B = sen( 90º B) sen B = os e B os B = se B tg B = ot g B Y tmién: tg sen B B = os B ot g B = os B sen B o Identiddes trigonométris Son igulddes en ls que preen rzones trigonométris. Nos sirven pr poder operr (simplifir, et.) on expresiones que involurn ests reliones. A ontinuión, se enumern ls priniples identiddes trigonométris: sen α + os α = os α sen α = os α sen α osα = senα sen α = ( os α ) os α = ( + osα ) + tg α = se α + ot g α = ose α sen A os B = ( sen( A B) + sen( A + B) ) sen A sen B = (( os( A B ) os( A + B ))) os A os B = ( os( A B) + os( A + B) ) sen( A + B) = sena os B + os A senb sen( A B) = sena os B os A senb os( A + B) = os A os B sena senb os( A B) = os A os B + sena senb o Vlores de ls rzones trigonométris de ángulos notles Result muy útil onoer los vlores del seno y oseno de lgunos ángulos muy utilizdos, ser: 0º, 30º, 45º, 60º y 90º. α 0º 30º 45º 60º 90º sen α 0 3 os α 3 0 Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 4
5 o Funiones trigonométris A prtir de ls rzones trigonométris se definen ls funiones trigonométris. Veremos ls rterístis priniples de d un de ells. Funión Seno Dom = R Im = [ ] Impr: sen( x) = sen( x) Período = π Continu siempre Funión Coseno Dom = R Im = [ ] Pr: os( x ) = os( x) Período = π Continu siempre Funión Tngente π Dom = R (k + ), k Z Continu en su dominio Im = R Impr: tg( x) = tg( x) Período = π Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 5
6 Funión Cotngente { k k Z} Dom = R π, Im = R Impr: ot g( x) = ot g( x) Período = π Continu en su dominio Funión Sente Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 6
7 π Dom = R (k + ), k Z Im = ( ] [ + ) Pr: se( x ) = se( x) Período = π Continu en su dominio Funión Cosente { k π k Z} = ( ] [ + ) Dom = R, Im Pr: os e( x) = os e( x) Período = π Continu en su dominio o Euiones trigonométris Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 7
8 Son euiones en ls ules l vrile es un ángulo, que está fetdo por un funión trigonométri. Pr resolver ests euiones deen utilizrse ls identiddes trigonométris, y reordr que ls funiones trigonométris son periódis, por lo ul, pueden tener más de un soluión. Ejemplo: Se l euión sen ( x) = on 0 x < π. Semos que el seno de un ángulo es igul un medio undo el ángulo es igul 30º o ien 50º. Entones: x = 30º o x = 50º x = 5º o x = 75º En este so, hy dos soluiones. Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 8
TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal
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α A TRIGONOMETRÍA PLANA
TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.
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TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente
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1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
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TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51
Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y
1. Definición de Semejanza. Escalas
Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión
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3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t
3- Clul l mplitud de los ángulos interiores de los siguientes udriláteros. s t 36 r u rstu trpeio isóseles û x 16 tˆ x 30 TRIÁNGULOS Se llm triángulo tod figur de tres ldos. Un triángulo tiene tres vérties,
Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza
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TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan:
TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn:. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml ( 0 ) si su ro entrl orrespondiente,
INTRODUCCIÒN Solución de triángulos rectángulos
INTRODUIÒN omo se vio en l unidd 1, l trigonometrí, se encrg de enseñr l relción entre los ldos y los ángulos de un tringulo. Es de sum importnci y que nos yud encontrr ls respuests en l físic, pr medir
SenB. SenC. c SenC = 3.-
TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
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c c a c a b b a c a A estas razones numéricas se les da el nombre: Si en cambio consideramos γ, resulta: Comparando (1), (2), (3), (4) obtenemos:
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cos α sen α sen 0º 30º 45º 60º 90º cos 90º 60º 45º 30º 0º
Preuniversitrio Populr Vítor Jr 7.. TRIGONOMETRÍA L trigonoetrí (del griego, trigono = tres ldos o triángulo, y etrí = edid) es l r de ls teátis que estudi ls reliones entre los ldos y los ángulos de triángulos,
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
7 Pág. Págin 66 PRTI Rzones trigonométris de un ángulo gudo Hll ls rzones trigonométris del ángulo en d uno de estos triángulos: ) ) ), m, m,6 m 8, m m 8, m ) sen, 0, os 0, 0,89 tg 0, 0,, 0,89 ) tg,6,
TRIGONOMETRÍA II = = ; procediendo igual que antes, pero con h : longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos).
TEMA: 1. TEOREMA DE LOS SENOS despejndo h de ms igulddes: En generl tendremos que resolver triángulos no retángulos, y, en ellos, no es posile plir ls definiiones de ls rzones trigonométris de sus ángulos.
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Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles
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Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
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Qué tienes que saber?
Trigonometrí Qué tienes que sber? QUÉ tienes que sber? tividdes Finles Ten en uent Rzones trigonométris de un ángulo gudo, α: teto opuesto sen α hipotenus teto dyente os α hipotenus teto opuesto tgα teto
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