APUNTE: TRIGONOMETRIA

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1 APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo es l región del plno omprendid entre dos semirrets de origen omún. Este punto en omún es el vértie del ángulo y ls semirrets son los ldos del ángulo. Los ángulos se denominn generlmente on letrs griegs: ˆ α, ˆ β, ˆ γ,... Si llmmos A l origen de ls semirrets, y B y C son dos puntos en d un de ls semirrets, entones el ángulo ˆ α = ángulo( BAC). Dd un irunfereni, se llm ángulo entrl, quel uyo vértie oinide on el entro de l irunfereni, y sus ldos son dos rdios de l mism. o Sistems de mediión de ángulos Los sistems más utilizdos son el sistem sexgesiml y el sistem irulr. El sistem sexgesiml tiene omo unidd l grdo sexgesiml. Un grdo sexgesiml es l mplitud del ángulo que se otiene l dividir l irunfereni en 360 prtes igules. Este sistem tiene omo sumúltiplos l minuto y l segundo. 60 minutos equivlen un grdo sexgesiml, y 60 segundos un minuto. Es deir: º = 60 = Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06

2 El sistem irulr tiene omo unidd l rdián. Un rdián (rd) es l medid del ángulo entrl de un irunfereni uy longitud de ro oinide on l longitud del rdio de l irunfereni. Entre mos sistems podemos hllr equivlenis. 360 º = π rd 80 º = π rd 90º = π / rd Vemos uántos grdos sexgesimles equivle un ángulo de un rdián. π rd rd 360º 360º rd x = π rd = 57,9º o Angulos omplementrios y suplementrios Dos ángulos son omplementrios si su sum es igul un ángulo reto, es deir un ángulo de 90º. Dos ángulos son suplementrios si su sum es igul un ángulo llno, es deir un ángulo de 80º. o Sum de los ángulos interiores de un triángulo En ulquier triángulo se umple que l sum de los ángulos interiores es igul 80º. Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06

3 o Teorem de Pitágors Reordemos que en un triángulo retángulo, los ldos del mismo se llmn hipotenus (el ldo opuesto l ángulo reto) y tetos (los ldos que formn el ángulo reto). Entones, el Teorem de Pitágors puede enunirse de l siguiente mner: En todo triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. o Rzones trigonométris de un ángulo gudo de un triángulo retángulo Consideremos un triángulo retángulo ABC, donde es l hipotenus y, y son los tetos. Sen Bˆ y Ĉ los dos ángulos gudos del triángulo, y se  el ángulo reto. Considermos el ángulo Bˆ, y definimos los siguientes oientes, los que llmmos rzones trigonométris del ángulo B: teto opuesto sen B = hipotenus teto dyente ot g B = teto opuesto teto dyente os B = hipotenus hipotenus se B = teto dyente teto opuesto tg B = teto dyente hipotenus os e B = teto opuesto Por lo tnto: sen B = os B = tg B = ot g B = se B = os e B = Si onsidermos hor el otro ángulo gudo, Ĉ, otendremos que ls rzones trigonométris del ángulo C son: sen C = os C = tg C = ot g C = se C = os e C = Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 3

4 o Reliones entre rzones trigonométris De lo nterior surge que: sen B = os C y os B = sen C Como B yc son dos ángulos omplementrios, podemos esriir que: sen B = º Por otro ldo se umple que: os ( 90 B) y os B = sen( 90º B) sen B = os e B os B = se B tg B = ot g B Y tmién: tg sen B B = os B ot g B = os B sen B o Identiddes trigonométris Son igulddes en ls que preen rzones trigonométris. Nos sirven pr poder operr (simplifir, et.) on expresiones que involurn ests reliones. A ontinuión, se enumern ls priniples identiddes trigonométris: sen α + os α = os α sen α = os α sen α osα = senα sen α = ( os α ) os α = ( + osα ) + tg α = se α + ot g α = ose α sen A os B = ( sen( A B) + sen( A + B) ) sen A sen B = (( os( A B ) os( A + B ))) os A os B = ( os( A B) + os( A + B) ) sen( A + B) = sena os B + os A senb sen( A B) = sena os B os A senb os( A + B) = os A os B sena senb os( A B) = os A os B + sena senb o Vlores de ls rzones trigonométris de ángulos notles Result muy útil onoer los vlores del seno y oseno de lgunos ángulos muy utilizdos, ser: 0º, 30º, 45º, 60º y 90º. α 0º 30º 45º 60º 90º sen α 0 3 os α 3 0 Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 4

5 o Funiones trigonométris A prtir de ls rzones trigonométris se definen ls funiones trigonométris. Veremos ls rterístis priniples de d un de ells. Funión Seno Dom = R Im = [ ] Impr: sen( x) = sen( x) Período = π Continu siempre Funión Coseno Dom = R Im = [ ] Pr: os( x ) = os( x) Período = π Continu siempre Funión Tngente π Dom = R (k + ), k Z Continu en su dominio Im = R Impr: tg( x) = tg( x) Período = π Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 5

6 Funión Cotngente { k k Z} Dom = R π, Im = R Impr: ot g( x) = ot g( x) Período = π Continu en su dominio Funión Sente Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 6

7 π Dom = R (k + ), k Z Im = ( ] [ + ) Pr: se( x ) = se( x) Período = π Continu en su dominio Funión Cosente { k π k Z} = ( ] [ + ) Dom = R, Im Pr: os e( x) = os e( x) Período = π Continu en su dominio o Euiones trigonométris Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 7

8 Son euiones en ls ules l vrile es un ángulo, que está fetdo por un funión trigonométri. Pr resolver ests euiones deen utilizrse ls identiddes trigonométris, y reordr que ls funiones trigonométris son periódis, por lo ul, pueden tener más de un soluión. Ejemplo: Se l euión sen ( x) = on 0 x < π. Semos que el seno de un ángulo es igul un medio undo el ángulo es igul 30º o ien 50º. Entones: x = 30º o x = 50º x = 5º o x = 75º En este so, hy dos soluiones. Apunte Prof. Mel Chresti Mtemáti I (Li. en Eonomí) UNRN Año 06 8