TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA

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2 CONTENIDO TRIGONOMETRÍA Tem. Pág. Coneptos y definiiones. Ángulos. Grdos. Aros. Rdines 4 Polígonos y irunfereni. 5 4 Sistems oordendos. Retngulres. Polres. 6 5 Triángulos. Definiión. Clsifiión. 7 6 Círulo trigonométrio (unitrio) 7 Funiones trigonométris. 0 8 Vlores extos de funiones trigonométris pr ángulos de 0, 45 y 60 9 Identiddes fundmentles, reípros, oientes, pitgóris 5 0 Triángulos retángulos. Csos y soluiones 6 Triángulos utángulos y oliuángulos 8 Ley de senos 8 Ley de ósenos 9 4 Csos y soluión. L L L, A L A, L A L 0 5 Apliiones. Áre del triángulo 6 Ángulos dyentes. Funiones seno, oseno, tngente y otngente. 7 Funión seno, sum de dos ángulos 8 Funión oseno, sum de dos ángulos 9 Funión tngente, sum de dos ángulos 0 Funión otngente sum de dos ángulos Ejemplo de pliión Funión seno difereni de dos ángulos 4 Funión oseno difereni de dos ángulos 4 4 Funión tngente difereni de dos ángulos 4 5 Funión otngente difereni de dos ángulos 4 6 Ejemplo de pliión 4 7 Funión seno de ángulo dole 5 8 Funión oseno de ángulo dole 5 9 Funión tngente de ángulo dole 5 0 Funión otngente de ángulo dole 5 Ejemplo de pliión 5 Funión seno en funión del semiángulo 6 Funión oseno en funión del semiángulo 6 4 Funión tngente en funión del semiángulo 6 5 Ejemplo de pliión 7 6 Funión seno de un semiángulo, prtir del oseno del dole del ángulo 8 7 Funión oseno de un semiángulo, prtir del ángulo oseno del dole del ángulo. 8 8 Funión tngente de un semiángulo, prtir del ángulo oseno del dole del ángulo 8 9 Funión tngente de un semiángulo, prtir del ángulo oseno del dole del ángulo 7 40 Ejemplo de pliión 8 4 Trnsformión de sum de senos de ángulos, en produtos. 9 4 Trnsformión de difereni senos de ángulos, en produtos. 9 4 Trnsformión de sum de osenos de ángulos, en produtos Trnsformión de difereni de osenos de ángulos, en produtos Trnsformión de sum de tngentes de ángulos, en produtos Trnsformión de difereni de tngentes de ángulos, en produtos. Ejemplo de pliión 0 47 Euiones trigonométris 48 Tl de fórmuls de trigonometrí 4 49 Tls de logritmos 7 50 Vínulos on rhivos reliondos Índie 46 Últim modifiión: 0/05/0 :05 AM - - CONTENIDO

3 Últim pertur ontrold: /05/0 :6 AM Sin ontrol /07/0 0:7.m. - - CONTENIDO

4 CONCEPTOS Y DEFINICIONES. Ángulo gudo. Es el menor que el reto, y que sus límites son de 0 90 ; o de 0 ½ rdián. Ángulo ónvo. Es myor que un llno, pero menor que 60. Ángulo onvexo. Es menor que el llno, pero myor que 0. Ángulo de revoluión (Perígono). Es el generdo l girr un ret sore un punto, y dr más de un vuelt. Mide más de 60 o rdines. Ángulo llno. Es el formdo por un solo ldo, se die tmién que sus ldos son olineles; y que mide 80 o rdines. Ángulo otuso. Es myor que el reto, y que sus límites son de 90 80, o de ½ rdián. Ángulo reto. Es el formdo por los ldos perpendiulres, y que mide 90 o ½ rdián. Ángulo. Es el espio omprendido entre dos rets que se ortn, o el generdo l girr sore uno de sus extremos. El punto sore el que gir, o quel en el que se ortn se llm vértie. Y ls rets que lo limitn ldos. Ángulos dyentes. Son los que tienen un ldo omún. Ángulos Son los dyentes o l sumrse, equivlen un reto o 90. omplementrios. Ángulos opuestos por el vértie. Son los que tienen el vértie omún, sus ldos son unos l prolongión de los otros, por lo que tmién son dyentes, y equivlen uno de revoluión o 60. Ángulos suplementrios. Son los dyentes, o los que l sumrse equivlen un llno o 80. Ls funiones trigonométris de estos ángulos son equivlentes. Axiom. Es tod proposiión verdder que por evidente, no neesit demostrrse, por lo es eptd. Congrueni. Deimos que dos figurs son ongruentes undo tienen l mism form, disposiión y tmño. O que l olorse un sore l otr oiniden todos sus puntos. Convergentes y Son quells que no son prlels. Al proximrse se llmn onvergentes, l divergentes. seprrse divergentes. Tods ls rets no prlels son onvergentes en uno de los extremos, y divergentes en el opuesto. Corolrio. Es l proposiión que por extensión se fundment en l demostrión de un teorem, o en l pliión de un xiom. Demostrión. Es el proedimiento que por rzonmientos, y sdo en prinipios ásios eptdos onvenen sin lugr duds, de l verdd o error de un proposiión. Esolio. Es tod refereni lo demostrdo en un teorem. Ldos o prtes Son quellos que oupn l mism posiión y rreglo, en ls figurs ongruentes. homólogs. Lem. Proposiión que sirve omo se pr el enunido de un teorem. Líne. Es un suesión de puntos, limitdos un sol dimensión, l longitud. Si siguen l mism direión perteneen un ret. Si no siguen l mism direión perteneen un urv. Medir. Consiste en omprr elementos de l mism espeie, tomndo uno de ellos omo unidd o ptrón. El que dee tener propieddes y rterístis definids, fijs y de eptión universl. Olius. Son ls rets que l er un sore otr est, se inlin hi ulquier de los extremos de l que e CONTENIDO

5 Prlels. Son dos o más rets que se enuentrn en el mismo plno no tienen ningún punto en omún. Perpendiulr. Son quells rets que l er un sore otr los ángulos dyentes formdos son igules, es deir ests no se inlinn hi ningún ldo. Plno. Es l superfiie generd por un líne l desplzrse. O tmién el espio omprendido entre dos línes. Postuldo. Es un proposiión verdder, pero no evidente unque no neesit demostrse. Prolem. Proposiión en l que se pide enontrr un respuest o soluión, sándonos en onoimientos fundmentles, y l informión onoid. Punto. En el espio es un refereni medinte tres distnis onoids, o distnis y direiones; que nos determin un posiión. Rzón o Es el resultdo o oiente numério, de omprr un ntidd on otr de su mism relión. espeie. Expresd en form deiml, o de querdo. Segmento de Es l prte de ret limitd por dos puntos definidos. ret. Superfiie. Prte del espio limitdo por dos dimensiones, y definido por lo menos tres puntos no onseutivos, perteneientes diho espio. Teorem. Es tod proposiión que neesrimente dee ser demostrd. Const de hipótesis que es el enunido de los elementos en que se s l suposiión. Y l tesis que es lo que se quiere demostrr. TRIGONOMETRÍA. Definiión.- Es l prte de l mtemáti que estudi los elementos, que onfigurn los triángulos; y l relión entre ellos; pr l determinión de sus medids, prtir de l lsifiión, ses, xioms, teorems, y postuldos hehos por l geometrí, sí su omo l pliión pr ls diferentes ienis. Ddo que los triángulos están formdos por tres línes (ldos) que se ortn entre sí (pr formr l figur pln, errd, más simple.), formndo en l interseión de ells (vérties) espios llmdos ángulos (interiores, y exteriores), por lo que pr determinr dihs figurs es neesrio ser sus dimensiones, y poder lsifir los triángulos, plindo los métodos neesrios pr su mediión. Ángulos, grdos, ros y rdines.- Los ángulos se pueden medir en grdos en el sistem sexgesiml, en el que se onsider l pertur entre l posiión iniil y l finl; de un segmento de ret, que gir sore uno de sus extremos. De mner que l efeturse un giro ompleto el espio generdo equivle 60º, teniendo omo sumúltiplos 60 (minutos); y estos los segundos 60. ) Los ángulos tmién se pueden medir, por l longitud del ro s, que es l prte de irunfereni omprendid entre los extremos de l líne que gir (rdio). Pr ello plimos l fórmul Comentrio [PRVC]: Const de grdos, minutos y segundos. Divididos en 60 prtes CONTENIDO

6 n n orrespondiente l longitud de l irunfereni y que es r r. Hiendo el rdio r =, medinte un regl de tres se determin que sí 60º equivlen, l longitud s del ro n de n grdos serín s, por lo que pr onvertir grdos longitud de ro en funión de, 80 st dividir el número de grdos entre 80, y el oiente es ftor de. Cundo l irunfereni tiene un rdio diferente de uno, el resultdo se multipli por r. Si no se requiere expresr l longitud omo ftor de, multiplir el resultdo por el equivlente numério de este (.46) Y pr onvertir ros grdos se multipli l longitud del ro por 80. Ej. Cuál es el ro de 05º? R = 05/80= Convertir el ro.4 grdos. R =.4 80 = 05.º. ) Se define l unidd rdin, omo l medid del ángulo en que l longitud del ro es igul, l del rdio. Como 60º desrien un ro (irunfereni), que su longitud es r, en un irunfereni unitri (rdio =); 60º= =.46 = 6.8 rdines; y medinte un regl de tres se determin que rdin 57.º y su inverso; º = 0.07 rdines. Ej. Convertir 0º rdines: =.5 rdines. Convertir.5 rdines grdos:.5 57.= 8.9º Digrm De Conversiones: ANGULO º ARCO RADIAN.4 Polígonos y irunfereni.- Considerndo que todo onjunto de puntos onstituyen un figur, sus forms fundmentles son l ret y el plno. Y l relión entre estos son estudidos por l geometrí, mnifestándose por medio de xioms, enunidos, postuldos, hipótesis, teorems, et. Definiéndose l líne ret omo l figur formd por un onjunto de puntos que siguen l mism direión, expresmos entre ls primers reliones; l que se refiere l espio de plno omprendido entre dos de ells que tienen un punto en omún (vértie), y que onoemos on el nomre de ángulo. Otr relión es l que se refiere l plno definido entre mínimo tres rets (ldos), que tienen un punto en omún diferente (vérties), onsiderds en pres; y que este onjunto de rets le llmmos polígono. Dentro de ests figurs l más simple es el triángulo, y l formd por un número infinito de ells irunfereni. En estos puntes onsiderremos primordilmente l primer, y solo trtremos lgunos oneptos de l segund, que tengn que ver on los vlores de los ángulos, sus equivlenis y mediiones. A ontinuión se ondensn ests, medinte un tl. CLASES DE ÁNGULOS DE ACUERDO CON SU POSICIÓN EN LA CIRCUNFERENCIA B B D A B A B A B C B C E B C A E C C D D A A B C A CONTENIDO D Fig. Fig. Fig. Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7

7 VÉRTICE CLASE FIGURA FÓRMULA VALOR Centro Centrl Fig. A = BC Aro BC Cirunfereni Insrito Fig. B = ½ AC Mitd ro AC Cirunfereni Semi-insrito Fig. B = ½ AB Mitd ro AC Interior Interior Fig. 4 B = ½ (AC +ED) Semi sum de ros Fuer Dos sentes Fig. 5 A = ½ (DE BC) Semi difereni de ros Fuer Sente y tngente Fig. 6 A = ½ (BC DC) Semi difereni de ros Fuer Dos tngentes Fig. 7 A = ½ (BDC BC) Semi difereni de ros Comentrio [PRVC]: Punto en el que se ortn dos rets Comentrio [PRVC]: De uerdo l posiión del vértie Comentrio [PRVC4]: Ls letrs indin vértie en el rue de dos línes. O punto de ontto on l irunfereni. ) Ejemplos. ) Cunto vle el ángulo entrl A de un irunfereni de rdio, si el ro BC mide.8 rdines? Dr l respuest en grdos. R: A =.8 rdines = ) El ro de un ángulo insrito mide ¾ rdines. Cunto vle en grdos el B? R: B ) En un B interior sus ros opuestos miden 0.9, y.5 rdines respetivmente. Cuál es el vlor en rdines, y grdos; de diho ángulo? R: B (0.9.5) ) El ro myor de A exterior mide ½ p rdines, y el ro menor 0.6p. Cuál es l medid de el expresd en grdos? R: A ( 0.6) Sistems oordendos.- Pr poder determinr l posiión de un punto, un ojeto, un figur, et. en un plno, o en el espio deemos referirnos siempre posiiones onoids, de mner que ulquier pued ser on extitud su lolizión; medinte l mediión de distnis (línes rets), direiones (ángulos), o l ominión de ms. De est refereni se emplen dos sistems, oordendos retngulres o Crtesinos, y polres. Conversiones, R P, y P R.- Pr onvertir del sistem retngulr l polr, o vievers lo podemos efetur de mner nlíti, o meáni. ) Coordends retngulres.- Consisten en el empleo de oordends (distnis), un punto fijo (origen), y línes fijs imginris (ejes), perpendiulres entre sí que dividen todo plno o espio, en udrntes. Llmándose ls línes onoids, eje horizontl, siss, x, onsiderándose positivs hi l dereh; y eje vertil, ordends, y, siendo positivs hi rri; y l punto donde se ruzn ms origen. Situdos en un sistem idimensionl (plno), si es un sistem tridimensionl (espio), se us un er. eje perpendiulr los nteriores, eje z. Y medinte ls perpendiulres x, e y (distnis), jds los ejes se determin l posiión. Esto se puede her de mner gráfi, y/o nlíti. ) Método gráfio: Se trzn dos línes perpendiulres medinte esudrs, o por medio de regl y ompás. Después sore d eje se miden ls distnis orrespondientes prtir del origen, si ls medids son pequeñs se usn ls dimensiones normles, si son grndes se emplen esls, levntándose perpendiulres en dihs distnis, y el punto donde se orten, es l posiión usd, formándose un retángulo. Cundo se onoe l digonl del retángulo, se trj on regl y ompás, CONTENIDO

8 riendo el ompás on l medid orrespondiente l digonl (nturl, o esl), y hiendo entro en el origen, se trz un ro; después on l medid de l oordend onoid, se re el ompás trz un ro hst ruzr su eje, y prtir de este punto se levnt un perpendiulr pr enontrr el ro de l digonl, siendo este el punto de posiión y determinándose el vlor de l otr oordend. ) Método nlítio: Bsándonos en el teorem de Pitágors, onoids ls oordends (tetos),se lul l digonl (hipotenus) d x y. Si se onoe l digonl y un de ls oordends, de l mism fórmul se despej l oordend desonoid, y se resuelve. d) Coordends Polres.- En este sistem se determin l posiión medinte el empleo de l distni l origen r, y l direión " (ángulo) respeto uno de los ejes, por ostumre se emple el positivo de ls x. e) Método pr onversiones. ) Retngulres polres: () Método nlítio: Se emple pr onvertir de un sistem otro, ls fórmuls orrespondientes l teorem de Pitágors, o ls funiones trigonométris. Ddos ls oordends, x e y, enontrr el rdio r, y l direión ángulo. ) Medinte el teorem de Pitágors, lulmos el rdio r = hipotenus. r x y. ) Ejemplo. x = 7; y = 5: r ( 7) (5) ) Se divide y x, y el oiente se lul l tngente invers, pr drnos el vlor del ángulo (direión). d) Ejemplo. = 5 7 = 0.74; Tn = 5º 5. Se onvierte positivo: 80º - 5º 5 = 44º7 45 () Método meánio. Se us l luldor pr her l onversión; usndo l seueni siguiente. Modo Deg x (vlor) 7 Shift R P (+) y(vlor) 5 pree el vlor de r (8.60)Shift x y pree el vlor del Shift º pree el vlor ngulr º7'5". Ejemplo: Usndo l seueni dd, on los vlores del iniso nterior. ) Polres retngulres: () Método nlítio: ) Se lul x e y plindo ls funiones seno y oseno, puesto que l hipotenus es el rdio (r), y el es el opuesto l ordend. Ejemplo. r =4; = 7º 5 ) Se lul l ordend y = r Seno.y = 4 Seno 7º 5 = = 4.5 ) Se lul l sis x = r Coseno : x = 4 Coseno 7º 5 = = 9. () Método meánio: Se us l luldor pr her l onversión; usndo l seueni siguiente. Modo Deg., r (vlor) 4 Shift P R () (vlor) 7 º º 5 º pree el vlor de x (9.) Shift x y pree el vlor de y (4.5). Ejemplo. usr l seueni dd, on los vlores del iniso nterior. 5 Triángulos.- Triángulo es l figur pln errd más simple, que onst de tres ldos, formndo tres ángulos uno en d interseión de ellos. Es el polígono que tiene myor importni, deido que ulquier otro se regulr o irregulr; los podemos desomponer en triángulos pr determinr su superfiie, y otrs dimensiones; este método le llmmos tringulión. Y de est mner resolver muhos prolems CONTENIDO

9 Los triángulos se pueden lsifir por l longitud de sus ldos, y por l pertur de sus ángulos. ) Por sus ldos los triángulos son: ) Equiláteros undo tienen sus ldos igules. ) Isóseles si tienen ldos igules. ) Esleno todos sus ldos son diferentes. ) Por los ángulos son: ) Autángulos, si tienen todos los ángulos gudos. ) Retángulos undo uno de sus ángulos es reto. ) Otusángulos si tienen un ángulo otuso. ) Propieddes, teorems y orolrios: ) Existe un relión diret entre el tmño de los ldos, y los ángulos opuestos, de mner que myor ldo, se opone myor ángulo; y vievers. ) Teorem.- L sum de los ángulos interiores de todo triángulo son 80º. ) Corolrio.- Los ángulos gudos de un triángulo retángulo sumn 90. 4) Teorem.- Los ángulos externos de todo triángulo equivlen utro retos, o 60. 5) Teorem.- Todo ángulo externo equivle dos internos no dyentes. 6) Dos o más triángulos son semejntes, undo todos sus ángulos son igules. 7) Los triángulos semejntes tienen sus ldos homólogos (orrespondientes) proporionles, es deir l dividir l longitud de ellos (los orrespondientes), tienen el mismo oiente. (Ver definiiones en l págin, y rzones y proporiones en Álger en l págin 46) Comentrio [PRVC5]: Son de l mism lse, pero de diferente tmño. Comentrio [PRVC6]: Es deir el ldo () del triángulo myor, es el homólogo del ldo ( ) del triángulo menor. Comentrio [PRVC7]: Es el resultdo de l división. Ángulos externos Ángulos internos CONTENIDO

10 Línes priniples y puntos notles. Definiiones. Altur.- Líne perpendiulr que j del vértie l ldo opuesto. En los triángulo otusángulo, ls lturs de los vérties dyentes en sore l prolongión del ldo myor, fuer del triángulo. Figur 4. Bisetriz.- Line que prtiendo del vértie, divide l ángulo en dos prtes igules. Figur. Medin.- Línes que vn de un vértie l mitd del ldo opuesto. Figur. Meditriz.- Líne perpendiulr que se levnt en el punto medio del ldo. Figur. Ret de Euler.- Líne que ps por el rientro, ortoentro y irunentro. Brientro.- Es el punto donde se ortn ls medins, y es donde sitú el entro de grvedd del triángulo. Fig.. Cirunentro.- Es el punto donde se intereptn ls meditries, y es el entro del írulo que insrie l triángulo. Figur. Inentro.- Punto de interseión de ls isetries, y donde ree el entro del írulo insrito en el triángulo. Fig.. Ortoentro.- Punto de interseión de ls lturs del triángulo. Figur 4. Alturs Inentro ½ Bisetries ½ ½ Figur Cirunentro ½ Figur ½ Meditries ½ Figur Brientro ½ ½ Figur 4 Ortoentro Medins ½ Polígonos, definiión, elementos y propieddes. Ls figurs plns errds formds por más de tres rets, se llmn polígonos. Los elementos (Ver figur ) son: ) Ldos.- Son ls rets que limitn el espio omprendido entre ells, del resto del plno que ls ontienen. ) Vérties.- Es el punto de interseión de dos ldos. ) Digonl.- Son ls rets que unen dos vérties no onseutivos, o dyentes. d) Ángulos interiores.- Son formdos por dos ldos onseutivos y que tienen su vértie hi el espio externo del polígono. e) Ángulos exteriores.- Son los dyentes los internos que se formn l prolongr uno de los ldos, y que están en espio fuer del limitdo por el polígono. Vérties Digonles Ángulo exterior CONTENIDO Ángulo interior Figur

11 Los polígonos según sus ldos y sus ángulos se pueden lsifir (Figur )en: ) Equilátero.- El que sus ldos están formdo por rets igules. ) Equiángulo.- Cundo todos sus ángulos son igules. ) Convexo.- Cundo ningún vértie del ángulo formdo por dos de sus ldos está dirigido hi dentro. d) Cónvo.- Cundo l menos uno de sus ángulos tiene su vértie dirigido hi dentro. e) Regulr.- Es el que tiene sus ldos y sus ángulos igules, o es equilátero y equiángulo. En los polígonos regulres se identifin los siguientes elementos diionles: ) Centro.- Punto de interseión de ls línes que vn de d vértie l mitd del ldo opuesto. Y es el entro de ls irunferenis insrit, y l irunsrit. ) Rdio.- Tod líne que v de un vértie l entro. Y es igul l rdio de l irunfereni irunsrit. ) Ángulo entrl.- El formdo por dos rdios onseutivos. d) Apotem.- Es l perpendiulr jd del entro un ldo. Y es igul l rdio de l irunfereni insrit. Centro Cirunfereni irunsrit Ángulo entrl 90 Cirunfereni insrit Propieddes de los polígonos de n ldos. Medid del ángulo entrl.- α 60 n Medid de d ángulo interno.- 80 (n - ) n Sum de los ángulos internos.- Σι 80 (n - ) 4 Medid de d ángulo externo.- ε 60 n 5 Sum delos ángulos externos.- Σε 60 6 Número de digonles de d vértie.- (n - ) 7 Totl de digonles.- Τδ n( n - ) Tl de fórmuls de polígonos. Apotem Rdio Figur Triángulo B h x C Retángulo A Elementos, perímetro y áre. x y ; x Cos C ; y Cos A h A h Sen C ; h Sen A Ángulos: A B C 80 A s(s ) (s ) (s ) p Ver.- Ley de senos en l Pág. 8, y A Semi perímetro: Ley de osenos en l Pág. 9. s Hipervínulos.- Hoj de álulo Pág. 46. d ; d CosΦ ; p ( ) d Cos A Ver.- Funiones 0 B Págin de 48 CONTENIDO d

12 D D TRIGONOMETRÍA Ángulos: Tn ; Tn A 80 ; B 80 Hipervínulos.- Hoj de álulo Pág. 46. Romo A Trpezoide D x h Polígono n ldos Ver págin 0 Círulo l D l B D d h d r D y l D d Ángulos: A ; B d Tn d ; Sen D l D Cos D ; Tn l d D Sen d ; Cos l l h Sen h ; Sen d x h ; y d h D h ( x) D h ( y) p 4 l 4 D d D d A Ver.- Funiones 0 Hipervínulos.- Hoj de álulo Pág. 46. ( d ) D Cos d ( ) D Cos p d A h. Medid del ángulo entrl.- 5. Sum delos ángulos externos α 60 n.- Σε 60. Medid de d ángulo interno 6. Número de digonles (n - ) n (n - ). Sum delos ángulos internos 7. Totl de digonles.-.- Σι 80 (n - ) Τδ n( n - ) 4. Medid de d ángulo externo p l n.- ε 60 n A ( p) r D A r D 4 Figur Coron irulr d r r Elementos, perímetro y áre. C D r d r A r D 4 A r d 4 Coron: C D d) ( r r ) ( A ( r ) ( r D d ) 4 Setor irulr s n D n Aro s : Áre: s r 80 n A r r s p ( r) s 60 s A r Págin de 48 CONTENIDO r

13 Hipervínulos.- Hoj de álulo Pág. 46. Segmento irulr n r Elipse s h f n s r 80 n Sen r n h r Cos f r h p s p ( ) A n ( h) r s ( h) A r 60 Hipervínulos.- Hoj de álulo Pág. 46. Funiones trigonométris.- Son ls diferentes reliones de los triángulos retángulos. Entre los vlores de los ángulos, on l longitud de los tetos opuestos, y l hipotenus. 6 Círulo trigonométrio.- Es un írulo de rdio unitrio (r =), por lo que ls funiones trigonométris pr triángulos retángulos, tomn ls forms y vlores, que se muestrn en el digrm, y tl en l págin 0. Si trzmos un írulo uyo rdio es igul, y su entro se enuentr en el origen de un sistem oordendo, se estleen ls diferentes reliones entre el rdio r, l sis x, y l ordend y ; deido los triángulos retángulos que se formn. Y l mir de posiión (ángulo) el rdio, se produen vriiones de los tmños máximos de los ldos. Pr omprender ests reliones, nliemos el írulo trigonométrio, y los triángulos ABO, CDO y FGO formdos por el rdio, sus proyeiones y extensión onsiderndo ls igulddes siguientes: E y F Comentrio [PRVC8]: Es l representión numéri en form de un división indid, o querdo. Comentrio [PRVC9]: Los triángulos se representn por medio de ls letrs de sus vérties, siendo l de en medio l que orresponde l ángulo reto, o myor. AB = y; CD =y OB = x OD = OA =FG = r = r = A C O B D G x Funión Seno.- Es el vlor del que result de l relión del ldo opuesto él y, entre l hipotenus r del triángulo formdo. Seno y r Págin de 48 CONTENIDO

14 Funión Coseno.- Es el vlor del que result de l relión del ldo dyente él x, entre l hipotenus r del triángulo formdo. Coseno x r Funión tngente.- Es el vlor del que result de l relión del ldo opuesto él y, entre el dyente x del triángulo formdo. Tngente y x Funión Cotngente.- Es el vlor del que result de l relión del ldo dyente él x, entre el opuesto y del triángulo formdo. Cotngente y x Funión Sente.- Es el vlor del que result de l relión de l hipotenus r y el ldo dyente x él, del triángulo formdo. Sente r x Funión Cosente.- Es el vlor del que result de l relión de l hipotenus r y el ldo opuesto él, y, del triángulo formdo. Cosente r y 7 Vlores extos de ls funiones 60 0 Triángulo Equilátero Fig trigonométris, pr ángulos de 0, 45 y 60. Comentrio [PRVC0]: Se s en un triángulo equilátero de uniddes por ldo. Cuyos ángulos miden 60, y dividiendo el triángulo prtir de l medin (líne que v de un vértie l punto medio del ldo opuesto), que en este so oinide on l meditriz (líne que divide un ángulo en dos dyentes igules). Y plindo el teorem de Pitágors se estleen ls reliones. De uerdo on l figur tenemos los vlores siguientes pr ls funiones trigonométris: Funiones de 0 Funiones de 60 sen os sen tg tg Págin 4 de 48 CONTENIDO os

15 tg tg se se s s Fig Según l figur tenemos, ls siguientes funiones pr el 45. sen ; os Comentrio [PRVC]: Bsándose en un triángulo retángulo isóseles, de un unidd en los ldos igules, y plindo el teorem de Pitágors. 8 Signos de ls funiones de uerdo on el udrnte de un sistem rtesino. II I se n, s + ls de má s T o d s + t n, o t n + ls de má s III o se n, se + ls de má s IV 9 Tl de vlores extos pr ángulos de 0, 45 y 60. Equivlenis en rdines FUNCIONES Grdos Seno Coseno Tngente Cotngente Sente Cosente Rdines Págin 5 de 48 CONTENIDO

16 Identiddes de igulddes de funiones.- ) Funiones reípros: () s sen () se os () tg tg ) Funiones Pitgóris. ) Funiones oientes: sen () tg os os () tg sen Comentrio [PRVC]: Son quells funiones que l multiplirse entre si el produto es, o tmién son sus reípros Comentrio [PRVC]: Son quells que provienen o se formn omo resultdo de l división de otrs dos. A = = os A B = se n A C ( Ver Pág.) De uerdo on l figur de l izquierd tenemos =, y ls funiones serín: sena sena os A os A Comentrio [PRVC4]: Referids l írulo trigonométrio, y onsiderndo = x, = y. Comentrio [PRVC5]: Referids l írulo trigonométrio, y onsiderndo = x, = y. () Aplindo el teorem de Pitágors.- sen A os A, que es l identidd fundmentl. Y despejndo los diferentes términos ell tenemos: ) sen A os A.) sen A os A.) os A sen A () Dividiendo los términos de l identidd fundmentl, entre os A tenemos Págin 6 de 48 CONTENIDO

17 ) sen A os A sen A os A os A os A os A ) tg A se A Despejndo los diferentes términos de l identidd : ) tg A se A.) tg A se A.) se A tg A () Dividiendo los términos de l identidd fundmentl, entre sen A tenemos ) sen A os A sen A os A sen A sen A sen A ) ot A s A Despejndo los diferentes términos de l identidd : ) tg A s A.) tg A s A.) s A tg A Triángulos Retángulos.- Pr determinr el vlor de sus diferentes elementos; omo son ángulos, tetos e hipotenus, siempre se deen onoer dos elementos. Y uno de sus ángulo siempre vle 90º. L nomenltur que se emple en l identifiión de los elementos es el uso de letrs myúsuls pr los ángulos, y letrs minúsuls pr los ldos opuestos ellos, empezndo por nomrr l reto, on l A y l hipotenus on, y los otros ángulos on ls letrs B y C, siempre en sentido ontrrio ls mneills del reloj. Pr resolver ls inógnits nos tenemos que sr en el teorem de Pitágors, ls funiones trigonométris, y en l propiedd de l sum de los ángulos interiores de todo triángulo; deiendo usrse preferentemente los dtos onoidos, pr evitr el rrstre de errores. Se pueden presentr los siguientes ino sos: ) Conoidos los tetos, lulr l hipotenus, y el vlor de los ángulos gudos. Ejemplo: =5; = 8; lulr B, C, y l hipotenus. ) Clulmos l hipotenus, por medio del teorem de Pitágors C ) Determinmos el vlor del B, por medio de l funión tngente, Tn B = 58 =.875 Tn - = = 7 = 5 B = 6º55 9 ) Otenemos vlor del C, restndo de 90º el ángulo B, C = 90 6º55 9 = 8º04 A B ) Conoidos un teto y l hipotenus; lulr el otro teto y el vlor de los = ángulos. 8 Ejemplo: =7, = 5; lulr, B, C:. Clulmos el otro teto, por medio del teorem de Pitágors Clulmos el C, por medio de l funión Seno.- Seno C Seno 6º55 9 C 6º55 9. Clulmos el B, restndo de 90º el ángulo C.- Comentrio [PRVC6]: Se les llm tetos los ldos que formn el ángulo reto en un triángulo retángulo. Al más grnde se le denomin teto myor, que se opone l ángulo myor; y l otro teto menor, el uál lógimente es el opuesto l ángulo menor. Comentrio [PRVC7]: En un triángulo retángulo el ldo myor de él, y opuesto l ángulo reto se le llm hipotenus. Comentrio [PRVC8]: El símolo que sigue, y que se ntepone un letr myúsul, se lee ángulo. Págin 7 de 48 CONTENIDO

18 B 90º 6º55 9 8º04 C ) Conoidos un ángulo y l hipotenus; lulr el otro ángulo, y los tetos. = 8 Ejemplo.- C = 6º55 9, y = 7; lulr B,, y. = 7 ) Clulmos el B, restndo de 90º el ángulo C.- B 90º6º55 9 8º4 ) Clulmos el teto por medio de l funión A B = 5 Seno.- C Seno C = Seno C Seno 6º = ) Clulmos el teto, por medio de l funión = 7 oseno C.- A B Coseno C Coseno C Coseno 6º55 9 7= = 8 d) Conoidos un ángulo y el teto opuesto; lulr el otro ángulo, y el teto dyente y l hipotenus. Ejemplo.- C = 6º55 9, = 5 ) Clulmos el ángulo B restndo de 90º el ángulo C.- B = 90º - 6º55 9 = 8º04 ) Clulmos l hipotenus por medio de l funión Seno C.- Seno C Seno C 5 Seno 6º55 9 = ) Clulmos por medio de l funión Tngente C.- Tngente C Tngente C 5 6º e) Conoidos un ángulo y el teto dyente, lulr el otro ángulo, el teto opuesto y l hipotenus. Ejemplo C 6º55 9, = 8; lulr B,, y.. Clulmos el B, restándole 90º el C.- B = 90º - 6º55 9 = 8º04. Clulmos l hipotenus por medio de l funión Coseno C.- Coseno C = = Coseno C = 8 Coseno 6º55 9 = = 7. Clulmos el ldo opuesto por medio de l funión Tngente C.- Tngente C = Tngente C 8 Tngente 6º B B = 5 A A C = 8 C Págin 8 de 48 CONTENIDO

19 Triángulos oliuángulos, y utángulos.- Deimos que un triángulo es oliuángulo, undo uno de sus ángulos es myor de 90º; y utángulo undo sus tres En un triángulo no retángulo trzmos l ángulos son gudos. En mos sos pr poder resolver ltur C D todos sus elementos es neesrio onoer de ellos. Pr poder enontrr los elementos fltntes nos poymos en l propiedd de l sum de los ángulos interiores (80º), y en ls leyes de los Senos, y Cosenos. Ests últims resultn de C Figur l demostrión geométri de ls propieddes de ls lturs, semejnz de los triángulos, y propieddes de los ángulos formdos por prlels l ser ortds por un h sente. D De l Figur triángulo ACD deduimos.- Sen A h h Sen A Sen B h h Sen B Igulndo y : Sen A Sen B En el mismo triángulo, trzmos l ltur De l iguldd tenemos : B D Sen A SenB C De l Figur triángulo ABD deduimos.- Figur D Sen A h h Sen A Sen C h h Sen C h Igulndo y : Sen A Sen C De l iguldd tenemos: Sen A SenC Por l propiedd de trnsitividd de ls euiones y ; tenemos ls fórmuls siguientes: Ley de Senos.- Los ldos de los triángulos oliuángulos, y utángulos están en relión on el seno de sus ángulos opuestos. Al empler ests igulddes deemos onsiderr que l determinr ulquier ángulo el vlor siempre orresponderá un ángulo gudo, por lo que se deerá verifir que l sum de ellos se de 80. En so ontrrio el vlor rel del ángulo opuesto l myor ldo deerá ser el otuso, y se determinrá tomndo el de su suplemento (Ver definiiones en l págin ). Y su fórmul es.- De ests igulddes se derivn ls siguientes fórmuls SenA SenB SenC Cundo se onoen ángulos. Se determin el er ángulo restndo l sum de los onoidos 80º. ) A = 80 (B +C) () ) B = 80 (A +C) () ) C = 80 (A +B) () Pr determinr ldo, onoiendo ángulos y el ldo opuesto uno de ellos. ) SenA; SenA...(4) A SenA SenB SenC SenB SenC ) SenB ; SenB...(5) SenA SenB SenC SenA SenC ) SenC ; SenC...(6) B C SenA SenB SenC SenA SenB Cundo se us un ángulo y se onoen ldos: ) Sen A SenB ; Sen A SenC...(7) SenA SenB SenC ) Sen B SenA; Sen B SenC...(8) SenA SenB SenC Comentrio [PRVC]: Reordr que l ltur de un triángulo es ulquier líne perpendiulr que e, de un vértie l ldo opuesto o su prolongión. Comentrio [PRVC9]: Considerndo que l ltur CD, divide l triángulo ABC, en los triángulos retángulos ACD, y CDB Comentrio [PRVC0]: Considerndo que l ltur BD, divide l triángulo ABC, en los triángulos retángulos ADB, y BDC Comentrio [PRVC]: Ests fórmuls se emplen undo onoemos dos ángulos y un ldo. O dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos. Págin 9 de 48 CONTENIDO

20 ) Sen C SenA; Sen C SenB...(9) SenA SenB SenC Ley de los osenos.- Cundo se onoen ldos y el ángulo omprendido entre ellos, o los ldos emplemos est ley; que se interpret sí, el udrdo del ldo es igul l sum de los udrdos de los ldos onoidos, menos el dole produto de los ldos onoidos, por el oseno del ángulo onoido. Se dee usr preferentemente est ley en l determinión del vlor de los ángulos de ulquier triángulo no retángulo; deido que undo orrespond un otuso, su vlor rel se determinrá diretmente, sin neesidd de her onversiones. En un triángulo no retángulo Figur, trzmos l ltur C D. En el mismo triángulo, trzmos l ltur B D Comentrio [PRVC]: Reordr que l ltur de un triángulo es ulquier líne perpendiulr que e, de un vértie l ldo opuesto o su prolongión. Figur C Figur D C x h y x h y Deduión de ls fórmuls.- D Bsándonos en l figur : En los + ADC, y BDC por el teorem de Pitágors tenemos: h x, y h y Restndo de.- h y h x y x Ftorizndo el miemro de.- (y x) (y- x) Pero en l Fig. " y x" Reemplzndo, en : (y - x) (y - x) 4 Sumndo y : y x - y x - - y y - y 5 Restndo y : y x - y x - x - x - x 6 De los + retángulos ADC, y BDC tenemos: y CosB x CosA 7 Sustituyendo y en y " respetivmente: - - CosB CosB - - CosA CosA Comentrio [PRVC4]: Considerndo que l ltur CD, divide l triángulo ABC, en los triángulos retángulos ACD, y CDB Comentrio [PRVC5]: Aplindo un de l propiedd ls funiones de dos ángulos suplementrios, que die ests son igules pero de signo ontrrio. Págin 0 de 48 CONTENIDO

21 8 Bsándose en l figur, ompromos l Sumndo y : fórmul pr el ángulo C y x h x, y h y ; y x - y x y CosC - 9 Restndo de.- y y h y h x - y y x 0 Ftorizndo el miemro de.- Sustituyendo en.- (y x) (y- x) Pero en l Fig. " y x" - - Cos C Cos C Reemplzndo, en : (y - x) (y - x) Fórmuls de uerdo on los dtos onoidos.- ldos y un ángulo.- ( ) ( CosA ) ( ) ( CosA )...() ( ) ( CosB ) ( ) ( CosB )...() ( ) ( CosC ) ( ) ( CosC )...() Los ldos.- ( ) A Cos...(4) ( ) B Cos...(5) ( ) C Cos...(6) Csos que se pueden presentr, pr mos tipos de triángulos (Ver: Hipervínulos.- Hoj de álulo Pág. 46): L L L, se onoen los tres ldos. Ejemplo.- = 0, = 8, = 4. Clulr s: A, B, C. ( ) (8 4 ) 0 (4 6) A 0.467Cos 47' ( ) (0 4 ) 8 (400 6) 4 9 A B 0.775Cos 5454' = 4 = 8 C 80 ( A B) 80 (47' 5454') 8069' 09' L A L, dos ldos y el omprendido entre ellos; dos ldos y el dyente uno de ellos: ) er. so dos ldos y omprendido entre ellos. º lulmos el ldo desonoido. Ejemplo.- A = 6º, = 5, = 5; lulr B, C,. ) Se lul el otro ldo: B = 0 C Comentrio [PRVC6]: Siempre se deen onoer tres dtos, uno de ellos dee ser diferente. El únio so en que los tres son de l mism espeie, son los tres ldos. Comentrio [PRVC7]: Ests son l form en que se pli l ley de los osenos, pr lulr el ángulo. Medinte el ro oseno Comentrio [PRVC8]: Oliuángulo y otusángulo. Págin de 48 CONTENIDO

22 ( ) (CosA) = (5 5 ) ( 55Cos6) ( 65 65) ( ) ( ) Clulmos el otro ángulo medinte l ley de Senos A =6 SenB SenA Sen Sen B = 5 ) Clulmos el otro ángulo restndo de 80º l sum de los A y B.- C = 80º (A B) 80º6º7º80087º B ) L A L, º so dos ldos y dyente, uno de ellos; º se lul el otro. Ejemplo.- A = 75º, = 7, =; lulr B, C,.- ) SenB SenA Sen Sen B 47'" C 7 7 ) Clulmos el otro ángulo restndo de 80º l sum de los onoidos.- = 7 = C = 80º (A B) 80º75º4º7 8099º7 80º 9 ) Clulmos el último ldo.- B A =75 ( ) (CosC ) (7 ) (7 Cos80º'9" ) ( 49 9) ( ) ( = 5 C A L A, dos ángulos y un ldo; º se lul el er. ángulo. Ejemplo.- A = 0º, B = 0º, = 0, lulr C,,. () C = 80º (A B) 80º0º0º8050º 0º A =0 0 0 () SenA Sen = 0 SenC Sen () SenB Sen B =0 C SenC Sen0 0.5 Apliiones.- Cálulo del áre de triángulos, onoiendo l longitud de sus ldos. Se p el perímetro de ulquier triángulo; y s el semi perímetro. p = + + ; s = p. Fórmul de Heron de Alejndrí A s( s )( s )( s ). Ejemplo.- Determinr el áre del triángulo de ldos =; =4; =5. ) Clulmos el semi perímetro.- s = ( ) = = 6 ) Determinmos el áre.- A s( s )( s )( s ) 6(6 ) (6 4) (6 5) Cálulo de l ltur en un triángulo no retángulo. ) Bse ldo.- h senb ; h senc ) Bse ldo.- h senc ; h sena ) Bse ldo.- h sena; h senb Cálulo del áre: Por medio del semiproduto de dos ldos onseutivos, por el seno del ángulo omprendido entre ellos. ) S SenC B A h C Págin de 48 CONTENIDO

23 ) S SenA TRIGONOMETRÍA ) S SenB Ejemplo.- Ddos ángulos, y un ldo: A 675'; B 5';.5m C 80 (675' 5' 88' ) 6' SenB.5 Sen5' m SenA Sen675'.9 SenC.5 Sen6' m SenA Sen675'.9 SenC S 58.09m FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE, DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS. Triángulo OAP de l figur.- y P Figur Funiones seno y oseno. AP sen( ) senaop...() OP OA os( ) os AOP...() D C OP En l figur tenemos: AD BC; AP AD DP BC DP x sustituyendo en ().- O A B AP BC DP sen( )...() OP OP En l figur por onstruión los triángulos OBC, CPD y OCP ; son retángulos de donde: BC OC sen DP PC os OC OP os PC OP sen Por lo tnto sustituyendo OC y PC : BC OP os sen...(4) DP OP sen os...(5) Sustituyendo (4) y (5), en (): sen( ) senos senos OA OB AB OB DC De l mism mner: os( )...(6) OP OP OP OB OC os DC PC sen Como: ; reemplzndo en (6), tenemos: os( ) os os sen sen OC OP os PC OP sen Por ls demostriones tenemos los enunidos siguientes: ) El seno de l sum de dos ángulos, es igul l produto del seno del primero, por el oseno del segundo; más el produto del oseno del primero por el seno del segundo. ) El oseno de l sum de dos ángulos, es igul l produto de los ósenos de los dos ángulos, menos el produto de los senos de ellos. Págin de 48 CONTENIDO

24 Funiones tngente y otngente Como l funión tngente es igul l oiente de l funión seno entre l funión oseno; tenemos sen( ) sen os sen os tn( ). Si dividimos l fórmul entre os os tenemos: os( ) os os sen sen Como l funión otngente es igul l oiente de l funión oseno entre l funión seno; tenemos os( ) os os sen sen ot( ). Si dividimos todo entre sen sen tenemos sen( ) sen os os sen os os sen sen sen sen sen sen ot ot ot( ) sen os os sen ot ot sensen sensen Por lo nterior tenemos: L tngente de l sum de dos ángulos es igul l oiente de ls sum de ls tngentes de dihos ángulos, entre l difereni de uno menos el produto de ls tngentes. L otngente de l sum de dos ángulos es igul l oiente que result de dividir el produto de ls otngentes de los ángulos menos uno ; entre l sum de ls otngentes de dihos ángulos. Método. Pr empler ests fórmuls, usr vlores extos (Ver págin ) ) Se desompone el ddo, en l sum de otros dos de 0, 45 y 60. O que sen múltiplos de ellos. ) Se sustituyen los vlores extos de ellos en ls fórmul y se simplifi. ) Se omprue el resultdo lulndo diretmente el vlor del ángulo, pr d funión. Ejemplo de pliión: Clulr los vlores extos del ángulo de 90, en tods ls funiones. Y demostrr que sen 90 =, os = 0, tn =, ot = 0. ) Desomponemos el 90, en funión de l sum de dos ángulos: : sen ) Se usn los vlores extos: 0 : sen, os, os, tn, tn, ot, ot ) sen ( ) sen os sen os Sen60os 0 sen0os ) os( ) os os sensen os 60os 0 sen60sen tn tn tn 60 tn 0 ( ) 5) tn( ) tn tn tn 60tn 0 0 ot ot ot 60ot 0 0 6) ot( ) 0 ot ot ot 60 ot 0 4 Por los vlores otenidos se omprue l demostrión. 4 FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS. ) Funiones seno y oseno. Págin 4 de 48 CONTENIDO

25 Si onsidermos que: ( ) ( ( )) Bst reemplzr en ls fórmuls y determinds el vlor en ells. De mner que tenemos. ) sen ( ) sen os sen os. De donde el seno de l difereni de dos ángulos es igul l difereni del produto del seno del primer ángulo por el oseno del segundo; menos el oseno del primero por el seno del segundo. ) os ( ) os os sen sen. De mner que el oseno de l difereni de dos ángulos es igul l sum del produto de los ósenos, más el produto de los senos de dihos ángulos. ) Funión tngente. Por ls misms onsideriones tenemos. sen ( ) sen os os sen tn ( ). Si dividimos todo entre osen osen tenemos os ( ) os os sen sen sen os os sen os os os os tn tn tn ( ) os os sen sen tn tn os os os os Que se enuni omo l tngente de l difereni de dos ángulos, es igul l oiente de l difereni de l tngente del primero menos l del segundo; entre l sum de uno, más el produto de ls tngentes de los ángulos. ) Funión otngente. Considerndo que otngente es igul oseno entre seno, y que est fórmul se otiene del rtifiio de dividir el segundo término de l iguldd de l tngente, entre el produto de sen, por sen. os ( ) os os sen sen ot ( ). Si dividimos todo entre sen sen tenemos sen ( ) sen os os sen os os sen sen sen sen sen sen ot ot ot ( ) sen os os sen ot ot sen sen sen sen Que se enuni l otngente de l difereni de dos ángulos es igul l oiente que result de dividir el produto de ls otngentes de los ángulos, más uno ; entre l difereni de ls otngentes del segundo ángulo menos el primero. Pr el signo orrespondiente l vlor onsiderr el udrnte l que perteneen. d) Método. Pr empler ests fórmuls, usr vlores extos (Ver págin ) () Se us el ddo, por l difereni de otros dos de 0, 45 y 60. O que sen múltiplos de ellos. () Se sustituyen los vlores extos de ellos en ls fórmul y se simplifi. () Se omprue el resultdo lulndo diretmente el vlor del ángulo, pr d funión. Ejemplo de pliión: Clulr tods ls funiones de un ángulo de 5, usndo vlores extos. ) Busmos el equivlente del 5, en funión de l difereni de dos ángulos: : sen ) Se usn los vlores extos: 4) 5) 0 : sen, os, os, tn sen ( ) sen os sen os Sen45os 0 sen0os 45 os( ) os os sensen os 45os 0 sen45sen0, ot, tn, ot Págin 5 de 48 CONTENIDO

26 6) TRIGONOMETRÍA tn tn tn 45 tn 0 tn( ) tn tn tn 45tn 0 7) ot ot ot ot( ) ot ot 45ot 0 ot 0 ot 45 5 FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE. Ls fórmuls pr ls funiones de los ángulos doles, se otienen prtir de her = ; en ls fórmuls de l sum de dos ángulos.. Seno y oseno: sen ( ) sen os sen os ) Seno.- sen ( ) sen os sen os sen sen os Por lo que el seno del dole de un ángulo, es igul l dole produto del seno por el oseno del ángulo. os ( ) os os sen sen ) Coseno.- os ( ) os os sen sen os os sen Por lo que el oseno del dole de un ángulo, es igul l difereni del oseno udrdo de él, menos el seno udrdo del mismo ángulo. tn tn tn( ) tn tn ) Tngente.- tn tn tn( ) tn tn tn tn tn Por lo que l tngente del dole de un ángulo es igul l oiente que result de dividir el dole de l tngente del ángulo; entre l difereni de uno menos l tngente udrd de diho ángulo. ot ot ot( ) ot ot d) Cotngente.- ot ot ot( ) ot ot ot ot ot e) Por lo que l otngente del dole de un ángulo es igul l oiente que result de dividir l otngente udrd del ángulo, más uno; entre el dole de l otngente de diho ángulo.. Método. Pr empler ests fórmuls, usr vlores extos (Ver págin ) () Se desompone el ddo, en l sum de otros dos igules. () Se sustituyen los vlores extos en ls fórmul y se simplifi. () Se omprue el resultdo lulndo diretmente el vlor del ángulo, pr d funión. Ejemplo de pliión: Clulr tods ls funiones de un ángulo de 60, usndo vlores extos. ) Busmos el equivlente del 60, en funión de l sum de dos ángulos igules: Págin 6 de 48 CONTENIDO

27 ) Se usn los vlores extos: 0 : sen, os, tn, ot ) d) sen sen os sen 0os 0 4 os os os 0 sen sen tn tn 0 (4) tn tn tn 0 9 ot ot 0 (5) ot ot ot 0 6 Funiones seno, oseno y tngente usndo el semiángulo. A prtir de ls fórmuls de los ángulos doles, y hiendo. Se otienen ls fórmuls pr los semiángulo. ) Funión seno, hiendo sen sen os sen sen os sen sen os De mner que el seno de un ángulo es igul l dole produto del seno por el oseno del semiángulo. ) Funión oseno, hiendo os os sen os os sen os os sen De mner que el oseno de un ángulo es igul l oseno udrdo menos el seno udrdo del semiángulo. ) Funión tngente, hiendo tn tn tn tn tn tn tn tn tn De mner que l tngente de un ángulo es igul l oiente del dole de l tngente del semiángulo; entre l difereni de uno menos el udrdo de l tngente del semiángulo. Págin 7 de 48 CONTENIDO

28 4) Funión otngente, hiendo = / ot ot ot ot ot ot ot ot ot De mner que l otngente de un ángulo es igul l oiente de más el udrdo de l tngente del semiángulo; entre el dole de l tngente del semiángulo.. Método. Pr empler ests fórmuls, usr vlores extos (Ver págin ) () Se desompone el ddo, en l sum de sus mitdes. () Se sustituyen los vlores extos en ls fórmul y se simplifi. () Se omprue el resultdo lulndo diretmente el vlor del ángulo, pr d funión. Ejemplo de pliión: Clulr tods ls funiones de un ángulo de 0, usndo vlores extos. ) Busmos el equivlente del 0, en funión de l sum de dos ángulos igules: ) Se usn los vlores extos: 60 : sen,os, tn,ot ) d) e) f) sen sen os Sen 60os 60 4 os os sen os 60 sen tn tn 60 tn tn 60 tn ot ot 60 9 ot ot 60 ot 7 Funiones del ángulo (semi-ángulo), prtir del os Dole A prtir de l fórmuls os sen, fundmentl; y os sen os, ángulo dole. Y hiendo se tiene: os sen () os sen os (). Págin 8 de 48 CONTENIDO

29 sen os ) Restndo de :...() os sen De donde el seno del semiángulo es igul l mitd de l ríz udrd de menos el oseno del ángulo, os os ) Sumdo y :...(4) os os De donde el oseno del semiángulo es igul l ríz udrd de l mitd de más el oseno del ángulo. os sen ) Dividiendo entre 4: os os tn os os os os () De donde l tngente del semiángulo es igul l ríz udrd del oiente de dividir l difereni de menos el oseno del ángulo; entre l sum de más el oseno del mismo ángulo. os os d) Dividiendo 4 entre : tg os os os os sen os () De donde l tngente del semiángulo es igul l ríz udrd del oiente de dividir l sum de más el oseno del ángulo; entre l difereni de menos el oseno del mismo ángulo.. Método. Pr empler ests fórmuls, usr vlores extos de ser posile. (Ver págin ) ) Se us el dole del ddo. ) Se sustituyen los vlores extos en ls fórmul y se simplifi. ) Se omprue el resultdo lulndo diretmente el vlor del ángulo, pr d funión. Ejemplo de pliión: Clulr tods ls funiones de un ángulo de 5, usndo vlores extos. ) Busmos el dole del : 0 ) Se usn los vlores extos: 0 : sen, os, tn, ot os os 0 / ) 5 sen sen os os 0 / d) os 5 os e) tn os tn 5 os os 0 os / / Págin 9 de 48 CONTENIDO

30 f) tg os tn 5 os TRIGONOMETRÍA 4 os 0 os 0 / /.7 8 Trnsformiones de sums y diferenis en produtos, de funiones. sen ( ) sen os sen os...() sen ( ) sen os sen os...(). Sum y difereni de senos de dos ángulos. sen ( ) sen os sen os ) Sumndo () y () sen ( ) sen os sen os...() sen ( ) sen ( ) sen os ) Formndo ls igulddes: A, y B ) A A B Sumándols tenemos: B Despejndo :...(4) A B d) A A B Restándols tenemos: B Despejndo :...(5) A B e) Sustituyendo (4) y (5) en (): sen ( ) sen ( ) sen os ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) sen sen sen os ( A B) ( A B) sen A sen B sen os De donde l sum de los senos de dos ángulos es igul l dole produto de l semi sum del seno de dihos ángulos, por l semidifereni del oseno de los mismos. sen ( ) sen os sen os. Restndo l iguldd () de l () sen ( ) sen os sen os, sustituyendo (4) y (5) sen ( ) sen ( ) sen os ( A B) ( A B) tenemos: sena senb sen os De donde l difereni de los senos de dos ángulos es igul l dole produto de l semi difereni del seno de dihos ángulos, por l semi sum del oseno de los mismos.. Sum y difereni del oseno de dos ángulos. os ( ) os os sen sen...() os ( ) os os sen sen...() os( ) os os sen sen ) Sumndo () y (): os( ) os os sen sen os( ) os( ) os os...() sustituyendo (4) y (5) ( A B) ( A B) os A os B os os De donde l sum de los osenos de dos ángulos es igul l dole produto del oseno de l semisum de dihos ángulos, por el oseno de l semi difereni de los mismos. Págin 0 de 48 CONTENIDO

31 os( ) os os sen sen 4. Restndo () de (): os( ) os os sen sen...(6) sustituyendo (4) y (5) os( ) os( ) sen sen ( A B) ( A B) os A os B sen sen, multiplindo por ( A B) ( A B) os B os A sen sen De donde l difereni de los osenos de dos ángulos es igul l dole produto del seno de l semisum de dihos ángulos, por el seno de l semi difereni de los mismos. 5. Sum de tngentes. sena senb sena os B senb os A ) A prtir de: tn A tn B..() os A os B CosA os B Como. senaos B senbos A sen( A B) ; reemplzndo en () sen( A B) tn A tn B os A os B 6. Difereni de tngentes. sena senb sena os B senb os A ) A prtir de: tn A tn B...() os A os B os A os B ) Como: sen( A B) senaos B senbos A; reemplzndo en () sen( A B) ) tn A tn B os A os B 7. Método. Pr empler ests fórmuls, usr vlores extos de ser posile. (Ver págin ) ) Se usn pr demostriones, y simplifiión de funiones en álulo. ) Se sustituyen los vlores en ls fórmul y se simplifi. ) Se omprue el resultdo lulndo diretmente el vlor del ángulo, pr d funión. 4 Ejemplo de pliión en demostrión: Compror que tgt 0 tgt 60. ) Se usn los vlores extos: 0 : sen,os sen (0 60) sen ) tgt 0 tgt60 os (0 60) os 0 os 60 / / / 4 sen55 sen5 Ejemplo en álulo de vlor: Clulr el vlor de l expresión sn5 sn55 (55 5) (55 5) 90 0 sen os sen os sen55 sen 5 os 0 ) tg os 5 os 55 (55 5) (55 5) 90 0 sen0 sen sen sen sen TABLA DE FUNCIONES. PITAGÓRICAS Sen Sen A Cos A Cos A Sen A A Cos A ÁNGULOS DOBLES sen sen os ÁNGULOS MEDIOS (SEMIÁNGULOS) sen sen os Págin de 48 CONTENIDO

32 Se A Tn A Se A Tn Tn A Se Cs A Cot A A A Cs A Cot A Cot A Cs A SUMA DE DOS ÁNGULOS Sen( A B) Sen ACos B SenBCos A os ( ) os os sen sen tn tn tn ( ) tn tn ot ot tg ( ) ot ot DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen ( ) sen os sen os os ( ) os os sen sen tn tn tn ( ) tn tn ot ot tg ( ) ot ot TRIGONOMETRÍA os os sen tn tn tn ot ot ot TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTO ( A B) ( A B) Sen A Sen B Sen Cos ( A B) ( A B) Sen A Sen B Sen Cos ( A B) ( A B) os A os B os os ( A B) ( A B) os B os A sen sen sen( A B) tn A tn B os A os B sen( A B) tn A tn B os A os B os os sen tn tn tn ot ot ot SEMIÁNGULOS EN FUNCIÓN DEL COSENO DEL ÁNGULO sen os os os os tgt os os tg os ECUACIONES TRIGONOM{ETRICAS. DEFINICIÓN.- Euión trigonométri es l iguldd entre rzones trigonométris del mismo ángulo. Que omo tl solo se stisfe pr ierto vlor del ángulo.. Ls euiones pueden ser de ulquier grdo, simples o simultánes. Pr resolverls:. Se deen reduir un sol rzón equivlente.. Emplendo los métodos o proedimientos lgerios, se determinn su ríz o ríes. Sin que exist un método fijo o determindo. Ejemplos. Funiones uys vriles son funiones de ángulos de 0, 45 o 60 grdos. Referidos sus vlores extos (Ver l tl orrespondiente ) Método de reduión un funión de º grdo, plindo ls fórmuls: Generl, prtiulr en sus forms omplets o inomplets. tn ot 4. Págin de 48 CONTENIDO

33 TRIGONOMETRÍA ) Se us l funión equivlente entre tngente y otngente.- ot De donde l euión se tn trnsform en: tn 4 tn ) Eliminndo el denomindor, multiplindo tod l euión por tn tenemos: tn 4 tn ) Trnsponiendo todos los términos l primer miemro.- tn 4 tn 0 Por lo que se onvierte en un euión de º grdo de l form x x 0 Siendo " x " tn ; ; 4 ; d) Aplindo l fórmul generl: 4 ( 4 ) (4 ) 4 (6 ) (6) 4 tn Porlo 4 (4 ) 6 tn 60º (4 ) tn 0º Verifiión : tn 60º ot 60º tn 0º ot 0º sen os l. q. q. d. 4 l. q. q. d ) Siendo os sen se sustituye en l euión.- sen sen 4 7 ) Se trnsponen los términos l primer miemro.- sen sen 0 4 ) Se elimin el denomindor del término independiente, multiplindo por 4 l euión.- 8 sen 4 4sen 7 0 d) Se orden l euión, se reduen términos y se identifin ls equivlenis.- 4 sen 8 sen 0 De donde = 4; = -8 y = e) Se pli l fórmul generl, y se resuelve.- 8 (8) (4 4 ) sen sen Siendo el límite de seno, sen 0º este vlor se desrt 7 f) Verifindo.- sen 0º os 0º l. q. q. d. 4 4 os ( ) ;os ( ) ) Siendo os 60º, y os 0 º Se reemplzn estos vlores en ls euiones de mner que ( ) 60º, ( ) 0º Págin de 48 CONTENIDO

34 ) Sumndo ms igulddes: ) Restndo ms igulddes: 0 d) Por lo que 45º y 5º TRIGONOMETRÍA 60º 90 0º de donde 45º 0 90º 60º 0 0º de donde 5º 0º e) Comprondo: os (45 5) os 60º l. q. q. d. ; os (45 5) os 0º l. q. q. d. 4 sen os ) Siendo sen sen y reemplzndo en l euión tenemos: sen ( sen ) sen sen ) Trnsponiendo l primer miemro: sen sen 04sen 0 ) Despejndo: sen sen 4 d) De donde: 60º, y 40º e) Comprondo: sen y os 4 5 se tn, de donde l. q. q. d ) Siendo: se tn Reemplzmos en l euión, tn tn ) Elevndo l udrdo l euión: tn tn ) Trnsponiendo l primer miemro tenemos: tn tn 0tn 0 d) Despejndo: tn, de donde 45º e) Comprondo: se tn se45º tn45º De donde l. q. q. d. tn ( A B) 6 Sistems.- Resolver: tn ( A B) ) Siendo tn 60º y tn tn 0º Sumndo ls igulddes: tn tn ) Despejndo: A 90 45º tn ( A B) 60º ) Restndo ls igulddes: tn ( A B) 0º tn 0 B 0º d) Despejndo: B 0 5º tn e) Comprondo: tn (45º (45º 5º ) 5)º tn De donde tn 60º 0º ( A ( A A B) B) 0 l. q. q. d. 7 Siendo os C 0º C 0º ; Resolver tn ( C B) sen ( A ( C B) 0 ) Como tn ( C B) 60º, y C 0º Reemplzndo en ls igulddes tenemos: tn sen (0 ( A B) (0 60 0) B 0º 0 A 60º 60º 0º 90º Págin 4 de 48 CONTENIDO

35 ) Comprondo: tn (0 sen (60 8 Resolver: tnx tn x ) Como 0) (0 TRIGONOMETRÍA tn 60º 0) 0 l. q. q. d. tn x tn x tn x Reemplzndo en l iguldd tenemos tn x tn x tn x ) Dividiendo l iguldd entre tn x, tenemos: ) Simplifindo: tn x d) Quitndo denomindor: tn x tn x tn x tn x tn x tn x tn x tn x tn x ( tn tn x x) tn x e) Resolviendo: tn x x 0º; x 50º Equivleni en rdines 0º y º 6 f) Considerndo ls ríes enontrds, demás del orrespondiente 0º; estos vlores se repiten dentro del intervlo 0º x 60º, en los siguientes ángulos: xº 0º 0º 50º 80º 0º 0º 60º x rdines Comentrio [PRVC9]: Busndo equivlenis de ls funiones de ángulos doles, plimos l orrespondiente l tngente (Ativndo el íono se esuh l iguldd) Comentrio [PRVC0]: Busndo equivlenis de ls funiones de ángulos doles, plimos l orrespondiente l tngente (Ativndo el íono se esuh l iguldd) tn ( 0º ) tn 0º tn 60 tn 0 g) Comprondo: tnx tn x.- 9 reduiendo el º miemro : l. q. q. d. TABLA DE FÓRMULAS FÓRMULA USO APLICACIÓN PÁG. r Longitud de l irunfereni 4 grdos ro 80 Conversión de grdos ro de irunfereni (longitud) 4 grdos ro 80 Conversión de ro (longitud) grdos 5 grdos rdián 57. Conversión de grdos rdines 5 grdos rdián 57. Conversión de rdián grdos 5 ro rdián Conversión de rdián ro de irunfereni 5 rdián ro Conversión de ro de irunfereni, rdián 5 A B C 80º Sum de los ángulos interiores de todo triángulo 8 y sen ; si" r" sen y r Funión seno, írulo trigonométrio. x os ; si" r" os x r Funión oseno, írulo trigonométrio y tg x Funión tngente, írulo trigonométrio Págin 5 de 48 CONTENIDO

36 x ot y Funión otngente, írulo trigonométrio r se ; si" r" se x x se os sen Funión sente, írulo trigonométrio r s ; si" r" se y y se sen os Funión osente, írulo trigonométrio s sen Funiones reípros 5 se Funiones reípros 5 os ot tn Funiones reípros 5 sen tn os Funiones oientes 5 os ot Funiones oientes 5 sen sen A os A Identidd fundmentl, funiones Pitgóris 5 tn A se A tn A se A Funiones Pitgóris, tngente 5 ot A s A ot A s A Funiones Pitgóris, otngente 5 FÓRMULA USO APLICACIÓN PÁG. Triángulos retángulos vlor del ángulo B, onoiendo B sen ; B os l hipotenus y un teto 6 Triángulos retángulos vlor del ángulo C ;onoiendo C sen ; C os l hipotenus y un teto 7 B tg ; B tg Triángulos retángulos vlor del ángulo B ;onoiendo, x los tetos 6 C tg ; C tg Triángulos retángulos vlor del ángulo C ;onoiendo, x los tetos 7 sena senb senc Triángulos No retángulos, ley de senos 8 senb A sen sena B sen sena C sen ; ; ; senc A sen senc B sen senb C sen sena ; sena senb senc Triángulos No retángulos, ley de senos: Cálulo del ángulo A Triángulos No retángulos, ley de senos: Cálulo del ángulo B Triángulos No retángulos, ley de senos: Cálulo del ángulo C Triángulos No retángulos, ley de senos: Cálulo del ldo Págin 6 de 48 CONTENIDO

37 senb ; senb sena senc senc ; senc sena senb ( ( ( A B ) ( osa) ) ( osb) ) ( osc) os ( ) os ( ) TRIGONOMETRÍA Triángulos No retángulos, ley de senos: Cálulo del ldo Triángulos No retángulos, ley de senos: Cálulo del ldo Triángulos No retángulos, ley de ósenos: Cálulo del ldo Triángulos No retángulos, ley de ósenos: Cálulo del ldo Triángulos No retángulos, ley de ósenos: Cálulo del ldo Triángulos No retángulos, ley de ósenos: Cálulo del ángulo A Triángulos No retángulos, ley de ósenos: Cálulo del ángulo B ( ) Triángulos No retángulos, ley de osenos: Cálulo del C os ángulo C A s( s ) ( s ) ( s ) : s Cálulo del áre de un triángulo, onoiendo sus ldos h senb ; h senc Altur triángulos no retángulo. Bse ldo. h senc ; h sena Altur triángulos no retángulo. Bse ldo. h sena; h senb Altur triángulos no retángulo. Bse ldo S SenC S SenA S SenB Cálulo de áres onoiendo dos ldos, y omprendido Cálulo de áres onoiendo dos ldos, y omprendido FÓRMULA USO APLICACIÓN PÁG. Cálulo de áres onoiendo dos ldos, y omprendido sen ( ) sen os sen os Funión seno de l sum de dos ángulos os ( ) os os sen sen Funión oseno de l sum de dos ángulos tn tn tn ( ) Funión tngente de l sum de dos ángulos tn tn ot ot tg ( ) ot ot Funión otngente de l sum de dos ángulos sen ( ) sen os sen os Funión seno de l difereni de dos ángulos 4 os ( ) os os sen sen Funión oseno de l difereni de dos ángulos 4 tn tn tn ( ) tn tn Funión tngente de l difereni de dos ángulos 4 ot ot tg ( ) ot ot Funión otngente de l difereni de dos ángulos 4 sen sen os Funión seno de ángulo dole 5 os os sen Funión oseno de ángulo dole 5 tn tn tn Funión tngente de ángulo dole 5 ot ot Funión otngente de ángulo dole 5 ot Págin 7 de 48 CONTENIDO 8 0 0

38 sen sen os Funión seno, prtir del semi ángulo 6 os os sen Funión oseno, prtir del semi ángulo 6 tn tn tn Funión tngente, prtir del semi ángulo 6 ot ot ot Funión tngente, prtir del semi ángulo 7 os sen Funión seno del semi ángulo, usndo ángulo dole 8 os os Funión oseno del semi ángulo, usndo ángulo dole 8 os tgt os Funión tngente del semi ángulo, usndo ángulo dole 8 os tg os Funión otngente del semi ángulo, usndo ángulo dole 8 ( A B) ( A B) sena senb sen os Trnsformión de sum de senos, en produto 9 ( A B) ( A B) sena senb sen os Trnsformión de difereni de senos, en produto 9 ( A B) ( A B) os A os B os os Trnsformión de sum de osenos, en produto 9 FÓRMULA USO APLICACIÓN PÁG. ( A B) ( A B) os B os A sen sen Trnsformión de difereni de osenos, en produto 0 sen( A B) tn A tn B os A os B Trnsformión de sum de tngentes, en produto 0 sen( A B) tn A tn B os A os B Trnsformión de difereni de tngentes, en produto 0 Hipervínulo: Con hoj de álulo pr pliión de fórmuls. 46 TABLAS DE LOGARITMOS Págin 8 de 48 CONTENIDO

39 SENO NATURAL INTERPOLACIÓN (SUMAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 9 de 48 CONTENIDO

40 SENO NATURAL TRIGONOMETRÍA INTERPOLACIÓN (SUMAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 40 de 48 CONTENIDO

41 COSENO NATURAL TRIGONOMETRÍA INTERPOLACIÓN (RESTAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 4 de 48 CONTENIDO

42 COSENO NATURAL INTERPOLACIÓN (RESTAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 4 de 48 CONTENIDO

43 TANGENTE NATURAL TRIGONOMETRÍA INTERPOLACIÓN (SUMAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 4 de 48 CONTENIDO

44 TANGENTE NATURAL TRIGONOMETRÍA INTERPOLACIÓN (SUMAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 44 de 48 CONTENIDO

45 COTANGENTE NATURAL TRIGONOMETRÍA INTERPOLACIÓN (RESTAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 45 de 48 CONTENIDO

46 COTANGENTE NATURAL TRIGONOMETRÍA INTERPOLACIÓN (RESTAR) º 0' 0' 0' 0' 40' 50' ' ' ' 4' 5' 6' 7' 8' 9' Págin 46 de 48 CONTENIDO

47 Págin 47 de 48 CONTENIDO

48 ARCHIVOS VINCULADOS.- Álger: Hoj de álulo on fórmuls: Geometrí nlíti: Hoj de álulo: A Ángulos, grdos, ros y rdines... 5 C Círulo trigonométrio... 4 E Euiones trigonométris... 7 F Funiones Círulo trigonométrio... 4 Funiones Vlores de ángulos... 5 Funiones oientes... 7 Funiones identiddes... 7 Funiones pr ángulo dole... 9 Funiones pr l difereni de dos ángulos... 7 Funiones pr l sum de dos ángulos... 5 Funiones Pitgóris... 7 Funiones usndo el oseno del ángulo... Funiones usndo el semiángulo... Funiones. Trnsformión de sums o diferenis, en produtos... 5 S Sistems oordendos... 7 Polres... 7 Retngulres... 7 T Tl de fórmuls... 9 TABLAS DE LOGARITMOS... 4 Triángulos... 9 Triángulos oliuángulos, y utángulos... 0 Cálulo de lturs \i... 4 Cálulo del áre... 4 Csos A L A... L A L-... L A L-... L L L... Ley de los osenos... Ley de Senos... 0 Triángulos Retángulos... 8 Conoidos los tetos... 8 Conoidos un ángulo y el teto dyente... 9 Conoidos un ángulo y el teto opuesto... 9 Conoidos un ángulo y l hipotenus... 8 Conoidos un teto y l hipotenus... 8 CONTENIDO Págin 48 de 48 CONTENIDO