Departamento: Física Aplicada III

Transcripción

1 Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los puntos medios de sus utro ldos onstituyen los vérties de un prlelogrmo. D d Supongmos el udrilátero uyos ldos están formdos por los vetores,, y d. Sen D los puntos medios de los ldos del udrilátero, se umplirá: d = + =, =, D = Teniendo en uent que d = 0, se umple: + = ( + d) + = ( + d) = D = D + d D = Luego el polígono insrito es un prlelogrmo.

2 Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Digonles de un romo Usndo el álger vetoril, demuestre que ls digonles de un romo se ortn en ángulo reto. d D El romo se rteriz por ser un prlelogrmo on sus utro ldos de l mism longitud. En l figur los ldos vienen ddos por los vetores y, umpliéndose que = Ls digonles pueden expresrse en funión de los ldos: D = + Si son perpendiulres su produto eslr dee nulrse:, d = D d = + = = = ( ) ( ) 0

3 Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) ro pz del ángulo reto Dd un irunfereni de entro y rdio R, y un diámetro ulquier, demuestre que ls uerds P y P se ortn perpendiulrmente, pr todo punto P perteneiente l irunfereni (ro pz de 90º). P R Expresremos ls uerds en funión del semidiámetro = / y del vetor R P = R, P = + R = + R Si son perpendiulres, su produto eslr dee nulrse P P R R R R R ( ) ( ) = + = = = 0

4 Fundmentos Físios de l Ingenierí. (Industriles) Demostrión del teorem de los senos Supondremos el triángulo determindo por los vetores,, tl que + + = 0, Multiplindo vetorilmente l expresión nterior por d unos de los vetores se otiene: + = 0 + = 0 + = 0 = = = = = = Resumiendo = =. Expresndo los módulos de los produtos vetoriles se otiene sen = sen = sen y dividiendo por el produto se otiene el teorem de los senos sen sen sen = = Demostrión del teorem del oseno Supongmos el triángulo determindo por los vetores,, tl que =. Multiplindo eslrmente por si mismo qued = + Desrrollndo el produto eslr os(, ) = +

5 Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Determinión de los vérties de un tetredro Los puntos,,, son los vérties del tetredro regulr uys rs son triángulos equiláteros on ldos de longitud λ. prtir de ls rists de diho tetredro se definen los siguientes vetores lires: ω = = = 4 = 5 = 6 = Pr desriirlos nlítimente se dopt un sistem de refereni rtesino XYZ, tl que l r del tetredro está ontenid en el plno XY, y el vértie es un punto del eje Y. Utilizndo ls herrmients del Álger Vetoril, determine ls oordends rtesins de los vérties del tetredro. X Z ω ω 6 4 ω 5 ω ω ω Tetredro regulr Y Por simple inspeión geométri se deduen ls oordends de los vérties (0,0,0), (0,-λ,0), es preiso determinr ls de y. Ls oordends de pueden expresrse en funión de los ángulos diretores de ω ω = λ( os π / 6 os π / 0), λ λ 0 Ls oordends del vértie (x,y,z), se luln determinndo el vetor ω 4 = ( x y z) De este vetor onoemos su módulo y el produto eslr on ω y ω x + y + z = λ () X π/6 Z π/ ω ω ω Tetredro regulr Y ω ω = ω ω os π / x y z λ λ = 0 λ = x+ y,, ω ω ( ) λ λ x+ y = λ nálogmente on el produto eslr ω4 ω x+ y = λ () ω ω = ω ω os π / 4 4 (el ángulo que form on el sentido positivo de ω es π π /= π /) λ ω4 ω = ω4 ω = x y z λ 0 0 = λ y,, ( ) ( ) λ y = () Sustituyendo () en () se otiene el vlor de x x = λ 6 y sustituyendo x e y en () se otiene el vlor de z 6 z = λ En onseueni λ 6 = λ λ 6

6 Fundmentos Físios de l Ingenierí. (Industriles) Volumen del prlepípedo lule el volumen del prlepípedo que tiene omo rists los vetores, y. Ls oordends rtesins de dihos puntos vienen dds por ls terns (, 0, ), (,, 4), (, 6, 8) y (,, ), (uniddes del S.I.). P Prlepípedo Se el origen de oordends y P un punto que puede ser,, ó. Según se indi en l segund figur el vetor P se lul medinte l difereni: P = P ; en el so que nos oup los vlores en uniddes del S.I. son: = (,, 4) - (, 0, ) = (,, ) = (, 6, 8) - (, 0, ) = (, 6, 6) = (, -, ) - (, 0, ) = (, -, -) El volumen del prlepípedo, determindo por esos tres vetores, viene ddo por su produto mixto Vol = ( ) En oordends rtesins, el vlor numério se otener medinte el determinnte Vol = 6 6 = 0 (U. S.I.)

7 Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Volumen del tetredro Hllr el volumen de un tetredro del ul se se que ls oordends rtesins de dos de sus vérties se orresponden on ls terns (0,,) y (,-,), y que dos de ls rists que onurren en están definids por los vetores lires v = i j + k, y v = 4 k. Suponer que tods ls uniddes vienen dds en metros. (0,,) v (,-,) v : Volumen de un tetredro El volumen de un figur pirmidl viene ddo por: Vol. = S h, donde S represent el áre de l se y h l ltur El áre de l se puede lulrse medinte el produto vetoril de los vetores y v S = v v es perpendiulr l plno de l se determindo por y v que l definen. El vetor Por otr prte, l ltur h es l proyeión del otro vetor v S, luego Vol = v v = v v 6 ( ) sore El produto mixto se puede lulr medinte el determinnte, en el que d fil son ls omponentes de uno de los vetores. h (0,,,) v v (,-,) 4 Vol. = = m 6

8 Fundmentos Físios de l Ingenierí. (Industriles) Euión del plno. teng l euión del plno perpendiulr l vetor lire = i + j + 6k y que ontiene un punto P, uy posiión respeto del origen de un sistem de refereni XY Z viene dd por el rdiovetor r = i + 5 j + k. lule l distni que sepr l origen de diho plno. (Uniddes del S.I.) ulquier vetor ontenido en el plno h de ser perpendiulr l vetor ddo. Si suponemos que un punto genério del plno es Q(x,y,z), este punto h de stisfer l euión vetoril del plno donde PQ = Q P oordends. PQ = 0, y el punto es el origen de P Z r Ο Q (x,y,z) Y Sustituyendo vlores se otiene l euión rtesin del plno X ( x ) i ( y 5) j ( z ) k + + (i + j + 6 k) = 0 x+ y+ 6z 5= 0 álulo de l distni del plno l origen Est distni puede otenerse medinte l proyeión del vetor r = P perpendiulr l plno dd por el vetor. i + j + 6k d = P u, d = ( i + 5 j + k), d = sore l direión

9 Fundmentos Físios de l Ingenierí. (Industriles) Regls de nelión Demuestre que si se umplen simultánemente ls ondiiones () = () = siendo 0, entones = ; pero si sólo se umple un de ells, entones. plimos l regl de nelión d un de ls expresiones () = = + λ, donde λ es un vetor ulquier. () = = +μ donde μ es ulquier eslr. Los vetores omplementrios λ y μ son perpendiulres entre si y nun oiniden exepto en el so de ser λ = 0 y μ=0, en ese so =. Sin emrgo si sólo se umple un de ells en generl.