MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE

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1 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos TÁTIS BÁSIS LIPS FINIIÓN LIPS Un elipse es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles que l sum de sus distnis dos puntos fijos en el plno es onstnte. Los puntos fijos F 1 F se llmn foos. Gráfimente esto es: B 1 P d 1 d V F F 1 V 1 B d 1 d onstnte on relión l figur, el segmento de ret V V1 que ps por los foos es el eje mor. L meditriz B B 1 del eje mor es el eje menor. d etremo del eje mor V 1 V se llm vértie. l punto medio del segmento F F1 se llm entro de l elipse. L distni del entro d vértie se llm semieje mor l distni del entro d etremo del eje menor se onoe omo semieje menor. Pr diujr un elipse lo que se neesit es un uerd, dos lfileres un lápiz. Se olon los dos lfileres en un hoj de ppel (éstos son los foos de l elipse). Se tom un pedzo de uerd mor que l distni entre los dos lfileres (ést represent l onstnte de l definiión) se sujetn sus etremos d lfiler. Finlmente, se pone l punt del lápiz jo l uerd se mueve hi un mismo ldo. L figur resultnte es (por definiión) un elipse. Se otienen diferentes forms de elipses según l uiión de los lfileres l longitud de l uerd que los une. 1

2 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos UIÓN ORINRI L LIPS HORIZONTL ON NTRO N L ORIGN prtir de l definiión de l elipse de l epresión pr lulr l distni entre dos puntos, se puede deduir l euión de un elipse en un sistem de oordends retngulres. Si los vérties se uin en ls oordends V 1 (,0) V (,0), los foos están en 1 (,0) F ( ),0 F, el eje mor de l elipse es oinidente l eje, si su entro se ui en el origen, tiene l siguiente form: (0,) P(,) d 1 d V (-,0) V 1 (,0) F (-,0) F 1 (,0) (0,-) Si el punto P está en ulquier de los vérties, l sum de distnis d 1 d d omo resultdo, por lo que l sum onstnte se estlee en, > 0. l punto (, ) por lo tnto: P perteneerá l elipse si sólo si: ( ( )) ( 0) ( ) ( 0) que equivle : ( ) ( ) elevndo mos miemros l udrdo: ( ) ( ) desrrollndo: ( ) ( ) ( ) d d 1,

3 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos 3 ( ) eliminndo términos igules: ( ) que equivle : ( ) dividiendo todo por : ( ) elevndo nuevmente l udrdo mos miemros: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reduiendo términos semejntes: omodndo onvenientemente: ftorizndo en el primer miemro en el segundo miemro: ( ) ( ) si se denot omo l epresión se sustitue se tiene: dividiendo por tod l epresión: finlmente qued omo: 1 euión onoid omo euión ordinri o nóni de l elipse horizontl on entro en el origen, de semieje mor de semieje menor. LONGITU LOS LOS RTOS UN LIPS HORIZONTL Pr ulquier elipse, los segmentos perpendiulres l eje mor que psn por sus foos de l elipse on etremos sore l urv se denominn ldos retos ( ) LR. Gráfimente es:

4 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos P 3 P 1 F (-,0) F 1 (,0) LR LR P P Pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto, que ps por el foo F se sustitue el vlor de por en l euión despejd pr : ± pero omo, se tiene: ± ± ± por lo ul, ls oordends de los etremos P 1 P del ldo reto soido F 1 son: P P, Similrmente, pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto que ps por el foo F, el proedimiento es idéntio l tomr en uent que los puntos P 3 P son simétrios los puntos P 1 P on respeto l eje, on lo que se tienen l misms ordends respetivs, por lo que ls oordends de los etremos P 3 P del ldo reto soido F son: P3, P, L longitud, medid en uniddes lineles ( ) ordends. Por lo tnto: u, de d ldo reto viene ddo por l difereni de sus LR.

5 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos XNTRII UN LIPS Pr ulquier elipse, l relión que eiste entre, se le onoe omo eentriidd de un elipse se denot on l letr e : e L eentriidd indi el grdo de htmiento que pose. Nótese omo siempre se umple que 0 <e <1. sto se epli de l siguiente mner: si se mntiene onstnte el vlor de se he mu pequeño, el oiente tiende ero, entones l elipse tiende un redondez deido que l distni interfol es mu ort. Por el ontrrio, si se sigue mnteniendo onstnte pero se he mu grnde, el oiente tiende uno l elipse tom un form mu htd. Gráfimente, esto se oserv en ls siguientes figurs: F F 1 F F 1 e 0 e 1 jemplo. lulr ls longitudes de los semiejes mor menor, ls oordends de los vérties, foos, etremos del eje menor, l longitud del ldo reto l eentriidd de l siguiente elipse: Soluión. ividiendo tod l euión entre 1 : , 9, 3. por lo tnto: 1 (, 0), V V ( 0), B ( 03) B ( 0, 3) por otr prte, los foos se uin en: 5

6 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos F ( 70) ( 70) L eentriidd es: F., e 7. L longitud del ldo reto es: LR ( 3) ( 9) 18 9 u. jemplo. Otener l euión de l elipse sus rterístis si se se que un etremo del eje menor está en ( 0, 3) un foo en ( 0),. Soluión. e los dtos se dedue que: 3 Oteniendo : sí que l euión usd es: ( 13 ) Los vérties se uin en: V ( 13 0) V ( 13 0), 0 F. l otro foo está en: ( ) L eentriidd es: e 13,. L longitud del ldo reto es: LR ( 3) ( 9) u. UIÓN ORINRI L LIPS VRTIL ON NTRO N L ORIGN l proedimiento pr otener l euión de l elipse vertil es mu similr l que se hizo on l elipse horizontl. n este so, los vérties foos están sore el eje en ls oordends V1 ( 0,), V ( 0, ) F1 ( 0,) F ( 0, ) que:,, respetivmente, plindo l epresión de distni entre dos puntos se tiene ( 0) ( ( )) ( 0) ( ) que equivle : ) ( ) ( después de desrrollr, eliminr rdiles simplifir, se lleg : 1 euión onoid omo euión ordinri o nóni de l elipse vertil on entro en el origen, de semieje mor de semieje menor. L elipse en este so tendrí l siguiente form: 6

7 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos V 1 (0,) P(,) d F 1 (0,) (-,0) (,0) d 1 F (0,-) V (0,-) LONGITU LOS LOS RTOS UN LIPS VRTIL Pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto de un elipse vertil, que ps por el foo F se sustitue el vlor de por en l euión despejd pr : ± pero omo, se tiene: ± ± ± por lo ul, ls oordends de los etremos P 1 P del ldo reto soido F 1 son: P P, Similrmente, pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto que ps por el foo F, el proedimiento es idéntio l tomr en uent que los puntos P 3 P son simétrios los puntos P 1 P on respeto l eje, on lo que se tienen l misms ordends respetivs, por lo que ls oordends de los etremos P 3 P del ldo reto soido F son: P P, 7

8 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos LR P F 1 (0,) P 1 P F (0,-) P 3 LR L longitud, medid en uniddes lineles ( u ), de d ldo reto viene ddo por l difereni de sus siss. Por lo tnto: LR. jemplo. Otener tods ls rterístis de l elipse vertil on entro en el origen, que teng un vértie en ( 0, 6) eentriidd e. 3 Soluión: el vértie se dedue que 6, por tnto: 1 e por otr prte se se que: 6 por lo tnto el otro vértie se ui en: V ( 06) ls oordends de los etremos del eje mor son: B ( 5,0), B ( 5,0) los foos se uin en F ( 0) F ( 0, ) L longitud del ldo reto es: ( 0 ) ( 0) 0 LR u. 5 8

9 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos jemplo. Otener l euión de l elipse sus rterístis si se se que un vértie está en ( 0 10) LR 5 u. Soluión. e los dtos se dedue que: 10 que: LR por lo tnto: ( ) sí que l euión usd es: por lo tnto el otro vértie se ui en: V ( 010) Los foos se uin en: F ( 05 3) F ( 0, 5 3) L eentriidd es: e., posee UIÓN L LIPS HORIZONTL UNO SU NTRO S ULQUIR PUNTO L PLNO Si el entro de l elipse horizontl es el punto ( h,k) su euión ordinri viene dd por:, que es el origen del sistem oordendo ' ', ( ) ( ) 1 pero teniendo en uent ls fórmuls de trslión: ' h ' k sustituendo en l euión nterior se tiene que: ( h) ( k ) que es l euión ordinri de l elipse horizontl on entro en ( h,k), de semieje mor de semieje menor. L siguiente figur muestr este so: 1 9

10 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos B 1 k V (h-,k) F (h-,k) (h,k) F 1 (h,k) V 1 (h,k) B h e l figur se puede preir que los vérties están en: V 1 ( h,k) V ( h,k) menor están en: B 1 ( h,k ) B ( h,k ), por su prte, los foos se uin en F ( h,k) ( h,k) F. L longitud del ldo reto sigue siendo h ±, k ±. jemplo., los etremos del eje 1 LR, los etremos de los ldos retos son: ( ) ( ) nontrr todos los elementos de l elipse u euión es: 1 Soluión. e l euión se prei que h 3 1, 1, 1. k por lo que el entro se ui en ( 3, 1) los vérties se uin en: V ( 3, 1) V ( 3, 1) que equivle V ( 5, 1) V ( 1, 1) Oteniendo : los foos están en: F ( 3 3, 1) F ( 3 3, 1) l eentriidd es: ( 1) ( 1) e l longitud del ldo reto es: LR 1u.. que 10

11 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos UIÓN L LIPS VRTIL UNO SU NTRO S ULQUIR PUNTO L PLNO Si el entro de l elipse vertil es el punto ( h,k) euión ordinri viene dd por:, que es el origen del sistem oordendo ' ', su ( ) ( ) 1 pero teniendo en uent ls fórmuls de trslión: ' h ' k sustituendo en l euión nterior se tiene que: ( h) ( k ) que es l euión ordinri de l elipse vertil on entro en ( h,k), de semieje mor de semieje menor. L siguiente figur muestr este so: 1 V 1 (h,k) F 1 (h,k) k B (h,k) B 1 F (h,k-) V (h,k-) h 11

12 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos e l figur se puede preir que los vérties están en: V 1 ( h,k ) V ( h,k ) menor están en: B 1 ( h,k) B ( h,k), por su prte, los foos se uin en F ( h,k ) ( h,k ) F. L longitud del ldo reto sigue siendo h ±, k ±. jemplo. nontrr l euión de l elipse uos vérties son: V ( 1) ( 9) 1 e., los etremos del eje 1 LR, los etremos de los ldos retos son: V que tiene eentriidd, Soluión. omo ls siss de los vérties no min, se trt de un elipse vertil. l entro se ui en 9 1, (, 5), esto es: h, k 5 oteniendo : 9 5 de l euión de l eentriidd, se despej : 1 e. ( ) por tnto, l euión es: ( 1 ) 16 1 ( 5) ( ) ( 5) UIÓN GNRL L LIPS HORIZONTL Se l euión ordinri trsldd de l elipse horizontl: ( h) ( k ) 1 desrrollndo se tiene: h h k k multiplindo por : 1 ( h h ) ( k k ) ( 1) ( h h ) ( k k ) h h k k omodndo: h k h k 0 1

13 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos relizndo los siguientes mios de vrile:,, h, k, F h k l epresión qued omo: F 0 que es l euión generl de l elipse horizontl. jemplo., pero del mismo signo. Otener l euión generl de l elipse on vérties en V 1 ( 5, ) ( 10, 5) ( 6, 7). Soluión. omo ls ordends no min, se trt de un elipse horizontl on entro en: 10,5 oteniendo : 10 6 ( 6,5) sustituendo el punto ( 7) ( 6) ( 7 5) 6, en l euión ordinri trsldd qued: l euión ordinri es: ( 6) ( 5) ( 6) ( 5) 1 multiplindo por 6 : ( 6) 6( 5) ( 6) 16( 5) V que pse por el punto ( ) ( ) omodndo se lleg l euión generl pedid: UIÓN GNRL L LIPS VRTIL Se l euión ordinri trsldd de l elipse vertil ( h) ( k) 1 desrrollndo se tiene: h h k k multiplindo por : 1 13

14 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos ( h h ) ( k k ) ( 1) ( h h ) ( k k ) h h k k omodndo: h k h k 0 relizndo los siguientes mios de vrile:,, h, k, F h k l epresión qued omo: F 0 que es l euión generl de l elipse vertil., pero del mismo signo. jemplo. Otener l euión generl de l elipse on foos en F ( 38) ( 3) F, on eentriidd Soluión. l no mir ls siss de los foos, se trt de un elipse vertil on entro en: 8 ( 3,5) 3, Oteniendo : de l epresión de l eentriidd, se despej : 3 ( 3) e 3 3 oteniendo : ( 3) ( 7 ) ( 5) ( 3) ( 5) multiplindo por 11 : ( 3) 11( 5) ( 3) 7( 5) ( ) ( ) omodndo se lleg l euión generl pedid: e RTRÍSTIS L LIPS PRTIR SU UIÓN GNRL Se l euión generl de l elipse: F 0 omodndo onvenientemente: 1

15 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos 15 F tomndo omo ftor omún los primeros dos términos omo los dos siguientes: F ompletndo los trinomios udrdos perfetos: F ftorizndo los trinomios: F F si se he el mio de vrile: F l euión tom l form: dividiendo todo entre, si 0 : esto equivle : 1 que es un euión de l form: ( ) ( ) 1 k h si > o de l form: ( ) ( ) 1 k h si <. en mos sos se prei que: h k

16 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos lo impli que el entro se ui en:, Por lo tnto: Si > 0 l elipse es rel en ulquier de sus dos versiones Si 0 l euión es un punto de oordends Si < 0 no h gráfi posile., jemplos. eterminr si l gráfi de ls siguientes euiones orresponde un elipse, un punto o si no h gráfi lgun. e eistir l elipse, otener su euión ordinri, ls oordends de su entro, sus vérties foos; ls longitudes de sus ldos retos, su eentriidd trzr su gráfi. 1) Soluión., 9, 8, 18, F 3 el entro tiene oordends: ( 8) ( 18), ( 1 ) ( ) ( 9) ( 8) ( 18) ( 3) , 9 omo ( ) ( ) > se tiene un elipse horizontl on euión ordinri: ( 1) ( 1) 3 por tnto: 3, oteniendo : 1 3 los vérties se uin en: V ( ) V ( ), que equivlen : V ( 1) V ( 1), los foos están en: F ( 1 51) F ( 1 51) l eentriidd es: su gráfi es:, 5, 5 () () 8 e l longitud del ldo reto es: LR u

17 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos B 1 (1,3) V (-,1) (1,1) V 1 (,1) F F 1 B (1,-1) ) Soluión., 8, 1, 16, F 6 el entro tiene oordends: ( 1) ( 16), ( 31, ) ( ) ( 8) ( 1) ( 16) ( 6) ( ) ( 8), l euión represent l punto ( 3,1) omo 0 3) Soluión. 9, 1, 36, 96, F 55. el entro tiene oordends: ( 36) ( 96), (,) ( 9) 1 ( ) ( 36) ( 96) ( 55) ( 9) 1 ( ) omo < 0, no eiste lugr geométrio que orrespond est euión. 17

18 Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos PLIIONS Ls pliiones que posee est óni son mu diverss en muhos de los ámitos de l ieni. ntre ls más relevntes, se pueden itr ls siguientes: L rterísti de l elipse en un espejo de form elipsoidl permite que un hz de luz que se origin en uno de sus foos se impte ontr el espejo, se reflej en direión del otro foo. n l onstruión, lgunos puentes se diseñn on ros semielíptios. Un ro on l form de un elipse de l prte superior se us pr soportr l estrutur del puente. L propiedd ústi de l elipse se pli en lguns onstruiones. Por ejemplo, eiste un fmoso inmuele onoido omo l glerí de los murmullos lolizdo en el onvento del esierto de los Leones en l que un person uid en uno de sus foos que murmur, su voz puede esuhrse por otr person que se lolie en el otro foo, pesr que se impereptile pr otrs persons que estén en dih glerí. isten lgunos hornos onstruidos en form de elipsoides. L fuente de lor se ui en uno de sus foos los elementos por lentr se olon en el otro foo, provehndo que l trnsfereni térmi se onentr hí. Un de ls lees de Kepler er del movimiento de los plnets del sistem solr plnte que los plnets desrien tretoris elíptis que en uno de sus foos se loliz el Sol. Los uerpos que girn lrededor de otros, tmién desrien tretoris elíptis, tl es el so de lgunos steroides, los omets que girn lrededor del Sol, ls luns girndo lrededor de sus respetivos plnets. 1 ste lugr se ui en l delegión ujimlp, l poniente de l iudd de éio. 18

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