MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 07-08

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso El omet Hlley desribe un orbit elíti de exentriidd e l longitud del eje myor de l órbit es, roximdmente, 6,18 uniddes stronómis (un u.., distni medi entre l Tierr y el Sol, es 9 millones de mills). ) Hllr un euión en olres r l órbit on el olo en el Sol b) Hllr l euión rtesin (eje myor el de bsiss y origen en el entro de l óni) ) Cuál es l distni más róxim l Sol (erihelio) y l más lejn (felio)? ) e = 0, 97 =, = u.. = 18,09 u.. Tommos un refereni olr de tio1, l euión orresondiente de l óni serí: b, donde = y e = ; e osα omo = e = 17.7 b = - 19,067 = 19, 067 = 1, ,09 Luego, un euión en olres r l órbit es: osα x y x y b) L euión en rtesins es + = 1, sustituyendo + = 1 b 7,81 19,067 ) L distni mínim (erihelio) entre el omet Hlley y el Sol es el vlor de r mínimo, que se obtiene undo el denomindor osα es máximo, es deir, r osα = 1: u.. Tmbién se obtiene on L distni máxim (felio) entre el omet Hlley y el Sol es el vlor de r máximo, que se obtiene undo el denomindor osα es mínimo, es deir, r os α = 1: , u.. Tmbién se obtiene on Dd l euión de l hiérbol x y = 1, hllr l euión olr de su rm 9 dereh suoniendo que l direión del eje olr oinide on l direión ositiv del eje de bsiss y que el olo está: ) en el foo dereho de l hiérbol. b) en el foo izquierdo de l hiérbol. ) en el so ), hllr l euión olr de sus diretries y síntots. x y = 1 =, b = = + b = + 9 = =. 9 b 9 b 9 Por tnto, e = =, = =, d = =. Unidd Doente de Mtemátis 1/6

2 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso ) L euión, en este so, es: 9 = 9 e osα 1 = os α osα. b) L euión que se debe emler hor es: 9 = 9 = e osα os α osα. Diretries en el so ): L euión olr de l diretriz soid l foo que oinide on el origen de l refereni olr es: dir 1 x = d = ( ) = r osα = osα L euión olr de l diretriz soid l foo que no oinide on el origen de l refereni olr es: dir x = d + = ( + ) = r osα = osα Asíntots en el so ): Son ls rets que sn or el entro de l hiérbol, P(-, 0), y tienen de endiente b ± = ±, luego su euión en el sistem de refereni rtesino soido l olr ddo es: y 0 = ± ( x + ). Psndo olres, se obtiene: rsen α = ± ( r osα + ), 1 / 1 / y senα osα senα + os α Unidd Doente de Mtemátis /6

3 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso L seión de un grn nten rbóli dmite omo modelo l gráfi de x y =, -100< x < ) Hllr su euión olr suoniendo que l direión del eje olr oinide on su eje de simetrí y que el olo está en el foo de l rábol. b) Euión olr de su diretriz y distni del foo l vértie. ) El áre de l nten. Soluión d O F ) L euión olr es de l form:. e osα De l euión rtesin deduimos que x =00y, luego = 00 = 100, omo demás e = 1: 100 osα b) L euión de l diretriz en el sistem rtesino soido l olr es x = -d, luego 100 sndo olres: r osα = 100 osα L distni del foo l vértie es el rámetro = 100. ) El áre de l nten, es el áre de l suerfiie de revoluión generd or el ro de l rábol undo gir lrededor del eje OY r 0 x 100. Como el giro es lrededor del eje de ordends l vrible de integrión es y desejndo l vrible x: x = 00y, y el intervlo de integrión r y es: y 00 =0 00 π dy 0 00y deir S,8 10 u π y = ( 1 10 ),8 10 u, es 1. Verifir que l euión determin un elise y hllr los semiejes y ls osα euiones olres de sus diretries = =, e = osα osα Por ser e < 1, se trt efetivmente de un elise; y, or l form de l euión, un foo está en el olo, l diretriz no ort l eje olr y l óni y el foo están en el mismo semilno reseto de l diretriz. Unidd Doente de Mtemátis /6

4 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso d y y` / F d 1 d x` x 1 1 = de d = = =. e = =, b = = 1. e e = b = 1 = =. L diretriz d 1 tiene de euión: 1 1 x = d = r os α = d 1 L otr diretriz d tiene de euión: 1 os α x = + = + = 9 r osα 9 = d 9 os α. Verifir que l euión determin l rm dereh de un hiérbol y osα hllr ls euiones olres de sus diretries y síntots. = = osα osα = + b = =., e =. Por ser e > 1, se trt de un rm de un hiérbol. A l vist de l euión, l óni y el foo están del mismo ldo reseto de l diretriz y el eje olr no ort dih ret, luego, l situión es l que reflej l figur de l izquierd. Así ues, se trt de l rm dereh de un hiérbol. d = =, = =, b = =. e e 1 e 1 Ls euiones olres de ls diretries se hlln de form nálog omo se hizo en el roblem nterior, obteniéndose: y y` d 1, d. osα osα d / F x b x` Ls síntots tienen or endientes ± y ls euiones de ls misms reseto l sistem de d d 1 refereni rtesino soido l olr (on origen en Unidd Doente de Mtemátis /6

5 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso el foo de l rm de l hiérbol, y ejes el olr y l erendiulr l olr or el foo) son:. y = ± ( x + ). Por onsiguiente, ls euiones olres de ests rets son: r senα = ± ( r osα ) ; y oerndo r d uno de los signos se obtiene: 0-0, senα - osα osα + senα 6. Hllr l euión olr de l órbit del lnet Tierr, de sus diretries y ls distnis del felio y erihelio sbiendo que: P = 9, 97x10 6 mills ; e = 0,07. A Perihelio = = 9, Afelio = + = 9, mills Proediendo omo en el ejeriio 1, y tomndo omo sistem de refereni olr l semirret on origen en el foo izquierdo de l órbit, se tiene: = e= 1, ; b = = 8, ; y el rámetro de l órbit elíti es: = = e osα 1 mills. b =9, y l euión es: 9, ,07 osα Unidd Doente de Mtemátis /6

6 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determinr ls ónis que se dn en oordends olres medinte ls euiones siguientes: 6 10 ) b) ) 1 os α os α os α 1 1 d) e) f) os α os α os α ) Elise b) Prábol ) Un rm de un hiérbol d) Elise e) Un rm de un hiérbol f) Prábol. ) Dd l euión de l hiérbol x y = 1, hllr l euión olr de su rm 1 izquierd, suoniendo que l direión del eje olr oinide on l direión ositiv del eje de bsiss y que el olo está: ) en el foo izquierdo de l hiérbol; b) en el foo dereho. 1 1 ) b) + 1os α + 1os α ) Hllr en l elise π π 6,, 6, 1 los untos uyos rdios olres son igules 6. osα 1 ) Hllr en l hiérbolρ = osα, π, 6, π. los untos uyos rdios olres son igules. ) Hllr en l rábol los untos : 1- osα ) uyos rdios olres sen mínimos. b) uyos rdios olres sen igules l rámetro de l rábol. π π ),π, b),,, Unidd Doente de Mtemátis 6/6