Integrales impropias

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1 Integrles impropis Ejeriios resueltos CRESLINE, S.L. Integrles impropis Ejeriio : Estudir l onvergeni de l impropi os x y en so de onvergeni, lulr su vlor. Soluión: Pr b>, se tiene b os x= [sin x]b = sin b En onseueni, os x= sin b, b + límite que no existe, y que el seno osil entre y, ltenderb hi +. Ejeriio :Estudir l onvergeni de l impropi +x y en so de onvergeni, lulr su vlor. Soluión: +x = +x + +x = = + +x +x = = (rtn ) + (rtn ) = ³ = π + π = π.

2 Ejeriio : Estudir l onvergeni de l (x ) /, y en so de onvergeni, lulr su vlor. Soluión: Tomndo tl que <<, setiene Al ser (x ) / = tenemos = (x ) / (x ) / = h(x ) /i = h ( ) /i + +( )/ = (x ) = / + h ( ) /i = Por t nto, l impropi es onvergente y su vlor es (x ) = /. Ejeriio 4: Estudir si es onvergente l +e x. Soluión: Primero desomponemos l en sum de dos es, que estudiremos seprdmente: +e x = +e x + +e x = I + I. Pr estudir si I onverge, pliremos el riterio del oiente on l funión g(x) =: +e x = x x +e x = R Por el riterio del oiente, I onverge si y sólo si onverge. Pero R es divergente. Por tnto, I tmbién es divergente. Así pues, y podemos onluir que +e x

3 es divergente. Ejeriio 5: Estudir si es onvergente de l x lnx. Soluión: Podemos lulr el vlor de l usndo l definiión de de primer espeie: = M x ln x= x (ln x ) M M M M x x ln x = M 4 M (ln M ) 9 (ln ) x ln x= = M Por tnto, l es divergente. Tmbién podrímos estudir si l del enunido es onvergente medinte el riterio del oiente, omprndo on l funión g(x) =x: R x x ln x = ln x =. x x Como g(x) = R x es divergente, por el riterio del oiente sbemos que l tmbién diverge. x ln x Ejeriio 6: Estudir si es onvergente l 4 x + x + x. Soluión: El polinomio del denomindor, x + x + x, se nul sólo undo x =, luego se trt de un impropi de segund espeie. Observmos que 4 x + x + x pr <x. x /4 Sbemos que l x /4 es onvergente. Por el teorem de myorión y minorión, onluimos que l 4 x + x + x es tmbién onvergente. =

4 Funiones de Euler: Gmm y Bet Ejeriio 7: Demostrr que l funión Γ, definid por Γ(p) = R x p e x, es onvergente si p>. Soluión: L Γ(p) = R x p e x es un impropi de terer espeie, y que el intervlo de integrión es de mplitud infinit, y l funiónqueseintegrnoestáotdenx =. Por tnto, desomponemos l en sum de dos: Γ(p) = x p e x = x p e x + x p e x = I + I, d o nde es un punto u lqu ier del i nt ervlo (, ). I es un impropi de segund espeie, on un solo punto de impropiedd en x =. Apliremos el riterio del oiente on g(x) = x p : x p e x x + = xp e x x p = x p x + xp + p e x = x + x e x =. + Por el riterio del o iente,i onverge si lo he R x. Sbemos que l R p x es onvergente si p<. Por tnto, I p es onvergente si p<, esdeir,sip>. Por otro ldo, I es un impropi de primer espeie. Apliremos el riterio de oiente on g(x) = x : x x p e x = x xp e x x = x x x p+ e x = pr todo p. Sbemos que l R x es onvergent e. Por el riterio del o iente, deduimos que l I es onvergente pr tod p. I e I onvergen simultánemente si p>. Por onsiguiente, es onvergente si p>. Γ(p) = Ejeriio 8: Clulrl x p e x x n (ln x) m. Soluión: Aplimos el mbio de vrible x = e t = e t dt. 4

5 Clulmos los extremos del nuevo intervlo de integrión: Sustituyendo, obtenemos: x = t =, x = t =. (e t ) n (ln(e t )) m ( e t ) dt = = Aplimos un nuevo mbio de vrible: ( ) m e t(n+) t m dt t(n +)=z dt = n + dz e tn ( t) m e t dt = Los extremos del intervlo de integrión no vrín. Sustituyendo, obtenemos: Por tnto, ( ) m e z z ( n + )m n + dz = ( )m (n +) m+ = ( )m (n +) m+ Γ(m +) = ( )m m! (n +) m+ x n (ln x) m = ( )m m! (n +) m+. Eje riio 9 : Demostrr que l f unión β, de fini d p o rβ (p,q) = R x) q, es onvergente si p> y q>. Soluión: L β(p, q) = x p ( x) q z m e z dz = xp ( es un de segund espeie, y que l funión que se integr no está otd en x =(si p<) nienx =(si q<). Por tnto, desomponemos l en sum de dos: β(p, q) = x p ( x) q = x p ( x) q + x p ( x) q = I +I, donde es un punto ulquier de (, ). I es un impropi de segund espeie on un solo punto de impropiedd, en x =. Aplimos el riterio del oiente on g(x) = x p : x p ( x) q x + = x p x xp ( x) q x p = + x +( x)q =. 5

6 Por el riterio del oiente, I es onvergente sólo s i lo es R x lo es. p Sbemos que R x es onvergente si p<, esdeir,sip>. Por p tnto, I es onvergente si p> (pr ulquier vlor de q). I es un impropi de segund espeie on un solo punto de impropiedd, en x =. Aplimos el riterio del oiente on h(x) = ( x) q : x x p ( x) q = ( x) q x xp ( x) q ( x) q = x l x p =. Por el riterio del oiente, I es onvergent e sólo si lo es R R ( x) q lo es. Sbemos que ( x) es onvergente si q<, es deir, si q>. q Por tnto, I es onvergente si q> (pr ulquier vlor de p). I e I onvergen simultánemente si p> y q>. Por onsiguiente, l β(p, q) = es onvergente si p> y q>. Ejeriio : Clulr l Soluión: donde p y q umplen: Por tnto, π/ π/ x p ( x) q (sin x) 4 (os x) 5. (sin x) 4 (os x) 5 = β(p, q), p =4 p = 5 q =5 q =. β(5, ) = Γ( 5 ) Γ() Γ( ) = Γ( )! Γ( ) =