Cálculo Integral. Métodos de integración

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1 Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico

2 Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic Presentción de l unidd ctividd Métodos de integrción 4 Integrción por prtes 4 INTEGRLES POR PRTES 4 SUSTITUIÓN PR RIONLIZR 5 Integrción de unciones rcionles medinte rcciones prciles 6 QX ES PRODUTO DE FTORES LINELES DISTINTOS 8 QX ONTIENE FTORES LINELES, LGUNOS SE REPITEN 0 QX ONTIENE FTORES UDRÁTIOS REDUILES, NINGUNO SE REPITE QX ONTIENE UN FTOR UDRÁTIO IRREDUTILE REPETIDO 4 ctividd integrción por prtes y de unciones rcionles 5 Integrles trigonométrics 6 INTEGRLES TRIGONOMÉTRIS 6 INTEGRLES QUE ONTIENEN SENOS Y OSENOS 7 INTEGRLES QUE ONTIENEN TNGENTES Y SENTES 0 SUSTITUIÓN TRIGONOMÉTRI 0 Estrtegis de l integrción por medio de tls integrles TLS DE FÓRMULS INTEGRLES ESTRTEGIS PR INTEGRR ctividd Integrles trigonométrics 4 Integrles impropis 4 TIPO INTERVLOS INFINITOS 4 TIPO INTEGRNDOS DISONTINUOS 6 ctividd 4 Integrles impropis 8 Evidenci de prendizje álculo de un integrl 8 onsiderciones especíics de l unidd Error! Mrcdor no deinido Fuentes de consult 8 Universidd iert y Distnci de Méico

3 Unidd Métodos de integrción UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Presentción de l unidd En l unidd hemos visto el teorem undmentl del cálculo, el cul mencion que es posile integrr un unción si conocemos su ntiderivd, o su integrl deinid Tmién hemos dquirido hilidd pr resolver cierto tipo de integrles; sin emrgo, eisten integrles más complicds que no es posile resolverls con ls órmuls y métodos hst hor epuestos Por ello, en este cpítulo ordremos dierentes técnics y métodos pr resolver integrles Entre los métodos que veremos están integrción por prtes, integrción usndo unciones trigonométrics, integrciones por sustitución trigonométric, integrción de un cociente medinte l descomposición de rcciones prciles entre sus dierentes csos Tmién veremos el cómo ordr cierto tipo de integrles medinte tls y/o plicndo lguns estrtegis pr relizr el proceso de integrción con éito Incluso ordremos ls integrles impropis en donde etenderemos el concepto de integrl deinid l cso donde el intervlo es ininito y tmién l cso donde tiene un discontinuidd ininit en un intervlo [, ] Propósito de l unidd l término de l unidd: ompetenci especíic Incrementrás tu competenci en resolver integrles medinte dierentes métodos y regls de integrción Desrrollrás tu hilidd de escoger métodos propidos pr resolver integrles Identiicrás integrles que requiern el uso de tls de integrles pr su resolución Universidd iert y Distnci de Méico

4 Unidd Métodos de integrción Utilizr métodos de integrción pr resolver integrles medinte regls, identiddes, sustituciones, simpliicciones, deiniciones, estrtegis y tls, con se en ejercicios de práctic ctividd Métodos de integrción Investigr y proponer diversos métodos de integrción Integrción por prtes omo inicio de l unidd empezremos estudir el método de integrción por prtes Dicho método es un consecuenci invers del proceso de derivción de un producto de unciones Veremos tmién el proceso de integrción cundo tengmos unciones epresds como ríces cudrds Integrles por prtes L regl de integrción por prtes surge de l regl de derivción de un producto de dos unciones Supongmos que y g son unciones derivles L regl de derivción de un producto de unciones estlece: d d g g g Si plicmos l integrl l producto de unciones, tenemos: d d g d g g d En el primer término se cncel l integrl g g d g d Despejmos el primer término de l sum del ldo derecho g d g g d Llegmos lo que se conoce como órmul de integrción por prtes Si renomrmos los términos u y v g y sus respectivos dierenciles du d y dv g d ; reescriimos l órmul de integrción por prtes como: udv uv Universidd iert y Distnci de Méico 4 vdu

5 Unidd Métodos de integrción Reescriiendo de est mner un integrl, es más sencillo resolverl Escrit de est mner te será más ácil recordrl Ejemplo Queremos determinr l integrl de l orm Solución ntes de relizr l integrl identiicmos u u dv u v sen d y v Lo que está en ros es lo que identiicmos y lo que está en mrillo es lo que tenemos que encontrr pr poder plicr l regl encontrr: u dv send encontrr: v du du d v cos Sustituimos en nuestr órmul de integrción por prtes, y procedemos integrr ls integrles ltntes En cso de que uer necesrio, volvemos nuevmente plicr l regl de integrción por prtes En este cso no es necesrio send cos cos d u dv integrles u v co cos d cos sen v du L integrl del coseno l scmos de ls tls de El ojetivo de l integrción por prtes es otener un integrl más ácil de resolver, en comprción con l inicil Sustitución pr rcionlizr En est sección evluremos integrles que tienen un epresión de l orm l cul eecturemos un sustitución Ejemplo Evlur l integrl Solución 4 d u n g n Hremos l sustitución de u g, es decir: u 4 que es lo mismo que u 4, despejndo y determinndo sus dierencis, Universidd iert y Distnci de Méico 5 n g, en

6 Unidd Métodos de integrción u 4 ; d udu Sustituyendo en l integrl, llegmos : 4 u d udu u 4 u du u 4 u du u 4 Este último término será evludo usndo rcciones prciles Integrción de unciones rcionles medinte rcciones prciles Revisremos lgunos métodos pr clculr integrles rcionles de l orm: P Q En donde P y Q son polinomios Pr integrr unciones con est orm, lo que hremos es epresr como un sum de rcciones más sencills, siempre que el grdo del polinomio P se de menor grdo que el polinomio Q Not: Recordemos que un polinomio se puede epresr de l siguiente mner P 0 n n n n En donde n 0 El grdo del polinomio está denotdo por n Por otr prte, deemos considerr que un unción propi P es menor que el grdo de myor que el grdo de Q Q es cundo el grdo de Y un impropi es cundo el grdo de P es onsiderndo el cso que tengmos un unción impropi, lo primero que hremos será relizr l división de polinomios P entre hst otener el residuo Es decir, P R S Q Q Q En donde R y S tmién son polinomios Revisemos el siguiente ejemplo pr entenderlo mejor Universidd iert y Distnci de Méico 6

7 Unidd Métodos de integrción Ejemplo Supongmos que nos piden determinr l integrl rcionl de: Solución Oservemos Se trt de un integrl impropi, pues el grdo del polinomio P es myor que el grdo del polinomio Q Procedemos relizr l división y l sustituimos dentro del rdicndo, tenemos: d d d ln El cálculo de l integrl ue más trivil l relizr l división Sin emrgo, después de her relizdo l división, es posile que nos quedemos trjndo con el cociente grdo de R R Q es menor que el grdo de que pued tener l orm de un unción propi El Q Universidd iert y Distnci de Méico 7 R Q undo tengs esto, lo que dees hcer es descomponer el denomindor Q en ctores, tnto como se posile pr convertir nuestro cociente R Q en un sum de rcciones prciles cuyos denomindores son potencis de polinomios de grdo menor o igul dos R F F F r Q R El siguiente pso consiste en epresr l unción rcionl propi, como un sum Q de rcciones prciles, dependiendo del ctor que esté contenido en Esto siempre v ser posile i ó c j Q

8 Unidd Métodos de integrción Veremos en ls siguientes secciones los dierentes csos que se pueden encontrr pr el denomindor Q de l unción propi Q es producto de ctores lineles distintos Se el cso que tengmos un unción propi El grdo de Q R F F Q F r P es menor que el grdo de so I, cundo el denomindor Q es un producto de ctores lineles distintos Es decir, puedes representr tu polinomio como producto de ctores lineles, l potenci de cd uno de ellos es uno Q Q No dee her ctores repetidos on esto es posile reescriir el cociente como: donde,,, k Ejemplo Resuelve l siguiente integrl d R Q k k son constntes encontrr Solución Se trt de un unción propi, y que el polinomio del denomindor es de myor grdo que el polinomio del numerdor omo comentmos nteriormente, tenemos que epresr el denomindor en términos de ctores de grdo uno Mir, lo hemos puesto con TRES FTORES LINELES DISTINTOS, con polinomios de grdo uno Soy muy redundnte? Pues, sí, que no se te olvide que el grdo de cd ctor es uno! k k Universidd iert y Distnci de Méico 8

9 Universidd iert y Distnci de Méico 9 álculo Integrl Unidd Métodos de integrción Entonces, hor reescriimos nuestro cociente como el resultdo de rcciones prciles, en términos de ls constntes, y Lo que hremos hor es hllr ls constntes, y Pr logrrlo multiplicmos mos ldos de l epresión por Reordendo pr conseguir l igulción de literles Encontrmos que los coeicientes en ms ecuciones tienen que ser igules E Es un sistem de ecuciones que hy que resolver pr encontrr los vlores de, y Puedes usr culquier método que desees pr resolverlo Resolviendo el sistem de ecuciones se encontrron los siguientes vlores l resolver el sistem otenemos:, 5 y 0 Finlmente, podemos reescriir nuestr integrl originl en términos de rcciones prciles d d 0 ln 0 ln 0 5 Reclcndo, el denomindor Q se escriió como un producto de ctores lineles distintos k k Q E

10 Universidd iert y Distnci de Méico 0 álculo Integrl Unidd Métodos de integrción Q contiene ctores lineles, lgunos se repiten Si Q R S Q P, nlizremos el cso II, cundo el denomindor Q es un producto de ctores lineles, lgunos de los cules se repiten Se el cociente de polinomios F r F F Q R El cul es un unción propi, donde descomponemos el denomindor Q en un producto de ctores lineles, lgunos de los cules se repiten r r Oserv que los ctores se repiten r veces Un ejemplo clro es el siguiente: E D Hicimos esto, y que el ctor es linel y se repite r veces, por lo que se escrien los términos y Y tmién el ctor es linel y se repite r, por lo que puedes escriir tres términos, D y E nlicemos un ejemplo de integrción Ejemplo Determine l integrl d 4 4 Solución El primer pso es dividir pr otener el cociente de l orm nteriormente vist Q R S Q P Dividiendo result 4 4 4

11 Universidd iert y Distnci de Méico álculo Integrl Unidd Métodos de integrción El segundo pso es epresr Q en ctores Fctorizmos, ddo que es solución de 0 tenemos el primer ctor, tmién lo podemos descomponer en dos ctores Reescriiendo tenemos: El ctor linel, prece dos veces on esto y podemos trjr con l prte Q R sí que este cociente qued epresdo como: Relizndo l mism técnic del ejemplo nterior pr hllr ls constntes, multiplicmos por el mínimo común denomindor y otenemos 4 Igulmos coeicientes en relción con ls literles: Resolviendo el sistem de ecuciones otenemos:, y Un vez que hemos hlldo el vlor de ls constntes procedemos sustituirls en nuestrs rcciones prciles y reescriimos nuestr integrl pr resolverls in in in d d 4 4 Un vez más hemos descompuesto el denomindor Q en un producto de ctores lineles, lgunos de los cules se repiten 4

12 Unidd Métodos de integrción r r Q contiene ctores cudráticos reduciles, ninguno se repite so III Es el cso tl que l descomposición de Universidd iert y Distnci de Méico Q irreduciles, de los cules ninguno se repite Esto es cundo c c, en donde 4c 0 El cociente R Q contiene ctores cudráticos Q posee el ctor tendrá un término de l orm: Siendo y constntes ser determinds onsider que es posile que Q conteng términos lineles y no lineles Si el denomindor contiene ctores lineles, utilizrás el método de l sección nterior pr determinr ls rcciones prciles deido los términos lineles Y pr determinr l orm de ls rcciones prciles cundo los ctores del denomindor tienen ctores cudráticos, usrás el método epuesto en est sección El siguiente ejemplo lo ilustr mejor Ejemplo L unción 4 l siguiente mner: D E 4 4 Ls rcciones prciles 4 y y D E 4 respectivmente; y l rcción descompuest en rcciones prciles qued de surgen deido los ctores cudráticos Vemos un ejemplo donde se teng que integrr un unción rcionl Ejemplo lcule l siguiente integrl Solución 4 d 4 es consecuenci del término linel

13 Unidd Métodos de integrción Procedemos descomponer Q 4 4 y reescriimos el cociente surgen dos rcciones, un deido un ctor linel y otr deido l ctor cudrático Igul que en los ejemplos nteriores multiplicmos por de, y pr resolver los vlores Resolviendo llegmos los vlores, Entonces, l reemplzr estos vlores pr,, y, l integrl tom l orm: 4 d 4 d 4 Fíjte que est integrl, hor está epresd como l integrl de un sum, que es lo mismo que l sum de dos integrles 4 d d d 4 4 El cálculo del primer término es trivil; sin emrgo, el segundo término lo podemos epresr en dos prtes como: d 4 d 4 d 4 L primer integrl l resolvemos usndo un sustitución de vrile con du d d tn respectivmente En l segund integrl se us l integrl: u 4 Identiicmos que Oservemos que inlmente nuestr integrl originl puede ser descompuest en tres rcciones prciles, un linel y dos cudrátics 4 d 4 d In d d 4 4 In 4 tn y Universidd iert y Distnci de Méico

14 Unidd Métodos de integrción 4 Q contiene un ctor cudrático irreductile repetido En este tópico tendremos el cso IV en el cul el denomindor d c descomponer en el ctor r R Q repetido r veces se descompone en ls rcciones prciles de l orm: c r r c r c Ejemplo Descompón en rcciones prciles el siguiente cociente: Solución D Q E F G H se puede I J El ctor es linel y tiene potenci r, por lo que se escrie el término es linel y tiene potenci r El ctor es cudrático y tiene potenci D hor pon much tención, como el ctor r, por lo que tmién se escrie el término, es posile escriir tres ctores de l orm: E F G H I J, y Ejemplo Determinr d r, el ctor, por lo que se escrie el término no es linel y tiene un potenci Solución Pr l descomposición de rcciones, deemos poner tención en l potenci r de cd ctor Q Universidd iert y Distnci de Méico 4

15 Unidd Métodos de integrción El ctor emrgo, el ctor término es linel y tiene potenci r, por lo que se escrie el término y el término no es linel y tiene potenci D D Entonces tenemos que el cociente R Q D E Multiplicmos por Se tiene: 0 es: r pr hcer un igulción de coeicientes: D E 4 4 D 4 D E D E Resolviendo el sistem de ecuciones se lleg ls soluciones: D Sustituyendo los vlores de ls constntes, llegrás : E 0 d d ln d d d ln tn d ; sin, entonces se escrie el E ctividd integrción por prtes y de unciones rcionles L intención de est ctividd es que determines el vlor del áre de dierentes cuerpos curvos Universidd iert y Distnci de Méico 5

16 Unidd Métodos de integrción Integrles trigonométrics En est sección nos enrentremos integrles que contienen unciones trigonométrics Pr ello conoceremos y plicremos lguns identiddes trigonométrics recuentemente usds Integrles trigonométrics Ls identiddes trigonométrics juegn un ppel importnte l hor de integrr cierts cominciones de unciones trigonométrics L ide centrl de este método consiste en reescriir un integrl dd en un integrl más ccesile que permit relizr el proceso de integrción de orm práctic Podemos usr ls siguientes identiddes, según nuestr convenienci l hor de evlur integrles sen cos ó sen cos cos cos tn cot sec csc sen cos ó cos sen sen m cos n Pr evlur integrles de l orm d, dó cos m cos n d, puedes usr ls siguientes identiddes sen cos sen sen sen sen cos cos cos cos cos cos demás, podemos usr otrs identiddes como: Identiddes recíprocs csc sen sec cos sen m sen n Universidd iert y Distnci de Méico 6

17 Unidd Métodos de integrción cot tn sen tn cos cos cot sen Identiddes pitgórics sen cos tn sec cot csc Identiddes de pridd sen sen cos cos tn tn Ejemplo cos Queremos evlur l integrl d omo notrás, no l puedes evlur directmente con los métodos nteriormente vistos Solución Por ello, utilizremos ls identiddes nteriores pr hcerl más ácil de resolver Pr empezr, como: cos cos cos cos sen lo podemos reescriir con yud de ls unciones trigonométrics cos Reescriiendo l integrl inicil con un cmio de vrile cos d sen u du cos d u u Regresmos l vrile inicil, reemplzndo u sen cos d sen sen u sen y du cos d Integrles que contienen senos y cosenos En est sección conocerás el método de evlur integrles de l orm Universidd iert y Distnci de Méico 7

18 Unidd Métodos de integrción sen m cos n d Pr evlur este tipo de integrles, hy que considerr los siguientes tres csos: SO UNO En el cso que tengmos cos n n k un potenci impr, descomponemos el cos sen en ctores, posteriormente utilizmos l identidd con l intención de epresr los ctores restntes en términos de unciones trigonométrics senos Finlmente, tenemos l integrl con potenci pr reescrit en términos de senos m k sen cos d sen m cos k cos d Reemplzndo nuestr identidd sen m cos k d sen m cos sen sen k cos d tenemos un integrl de l orm, Puedes resolver est integrl hciendo un cmio de vrile u sen y l hcer du cos d u k u m l inl tendrímos que resolver un integrl de l orm: du SO DOS Si te enrentrs con integrles donde l potenci m es impr, m k Usmos l mism técnic que en el cso uno Descomponemos sen k cos n n sen d en ctores, sustituimos l identidd k sen sen cos cos k n d sen cos Universidd iert y Distnci de Méico n 8 d sen Est orm se puede resolver por medio de un sustitución, hciendo du send omo en l epresión no tenemos un ldos por - y nos qued l epresión du sen d sen d cos u cos, multiplicmos mos Finlmente tendrás que clculr est integrl k n u u du omo te drás cuent est integrl es más ácil de resolver SO TRES Veremos que éste es más ácil, y que se trt de un cso donde ls potencis son pres, tnto pr el seno como pr el coseno En este cso tendremos que plicr ls siguientes identiddes: sen cos

19 Unidd Métodos de integrción cos cos cos sen sen Ejemplo Determin 5 sen cos Solución d Podrímos convertir cos términos de sen sin ctor reescriimos el ctor 5 sen cos 4 Sustituyendo sen 4 sen cos u cos sen cos pero nos quedrímos con un epresión en etr En vez de eso, seprmos un sólo ctor seno y restnte en términos de sen cos cos, tenemos du send luego cos sen : Otro ejemplo Evlur = = = Universidd iert y Distnci de Méico 9

20 Unidd Métodos de integrción = Integrles que contienen tngentes y secntes tn m sec En est sección nos interes evlur integrles de l orm:d Tienes dos csos n i undo l potenci n k es pr: descompondrás sec en ctores, mnteniendo en un ctor un potenci igul Reemplzrás l identidd sec Epresrás l integrl en términos de tn m sec k d tn tn m m sec tn k tn sec k d sec d n tn Hcemos un sustitución y y l integrl que evlurás quedrí sí: tn m sec k d k m u u du m k ii undo l potenci es impr: lo que hrás será descomponer en ctores, mnteniendo en un ctor un potenci igul Después reemplzrás l identidd tn k tn sec n sec d tn sec tn k Posteriormente, epresrás l integrl en términos de sec k sec k n sec sec tn d n sec tn d onvertimos y y nos qued un orm más sencill de integrl: 4 Sustitución trigonométric En est sección prenderemos integrr unciones de l orm un constnte MYOR cero Hremos un cmio de vrile de medinte l sustitución Empleremos l identidd d sen, siendo cos sen con el ojetivo de quitr l ríz, oserv: Universidd iert y Distnci de Méico 0

21 Unidd Métodos de integrción sen sen cos cos Podrás ver que, con este cmio de vrile, l integrl se convierte en un más sencill cilitndo l integrción Hemos elimindo l ríz que nos complic el trjo este tipo de sustitución se le llm sustitución invers Eisten otros csos en los que se puede empler el mismo seguimiento continución tenemos un tl donde se muestr l epresión y lo que puedes usr dependiendo de los signos de los términos del rdicndo Form del rdicl Sustitución sen tn sec Nuevo límite de integrción 0 ó Identidd empled cos sen sec tn tn sec En video puedes ver lgunos ejemplos Ejemplo Determin l integrl 4 d Solución Identiicmos que se trt del segundo cso que se encuentr en l tl Entonces, l sustitución empled será tn deinid en el intervlo, / / El dierencil de es d sec d Trjndo con el rdicl y relizndo ls sustituciones respectivs se tiene: 4 4tn 4sec Reemplzmos en nuestr integrl originl: sec sec d sec d sec d 4 tn sec 4 tn Universidd iert y Distnci de Méico

22 Unidd Métodos de integrción El integrndo lo podemos reescriir de l siguiente orm: sec cos cos tn cos sen sen L integrl qued: d 4 sec d tn Relizndo l sustitución cos d sen d cos du d d 4 4 sen u 4 Resolviendo u sen y su respectivo dierencil se tiene: du csc 4 u 4 u 4sen 4 Empleremos el triángulo siguiente pr identiicr los ldos y l cosecnte del ángulo en cuestión csc 4 d Estrtegis de l integrción por medio de tls integrles Ddo que l integrción orece más retos que l dierencición, dremos unos puntos que dees tener en considerción cundo trtes de resolver integrles Es de much yud tener tls de integrles y es muy consejle trtr de memorizrls, por lo menos ls órmuls ásics de integrción 4 Tls de órmuls integrles L tl siguiente te será de much yud l hor de resolver integrles Universidd iert y Distnci de Méico

23 Unidd Métodos de integrción n n d n d In e d e d ln sen d Tl de órmuls de integrción con cos cos d sen sec d tn csc d cot sec tn d sec n csc cot d csc sec d ln sec tn csc d ln csc cot tn d In sec cot d In sen senh d cosh cosh d senh d tn d sen d ln 9 0 d ln 4 Estrtegis pr integrr Hemos visto vris técnics de integrción; sin emrgo, es necesrio tener un estrtegi pr enrentr ls integrles Pr resolver un integrl, lo primero que tienes que hcer es: Simpliicr el integrndo en lo posile Detectr si eiste un sustitución ovi lsiicr el integrndo de cuerdo l orm que teng, pr plicr los métodos propidos de integrción y sen: Integrción de unciones trigonométrics Integrción de unciones rcionles c Integrción por prtes d Integrción de rdicles Universidd iert y Distnci de Méico

24 Unidd Métodos de integrción 4 Intentr de nuevo si no se h llegdo l respuest con los primeros psos, se puede intentr con lo ásico, por sustitución o por prtes Prue l sustitución Intent integrr por prtes c Intent integrr modiicndo el integrndo d Relcion integrles con prolems resueltos nteriormente, consider que l eperienci es muy importnte e Utiliz vrios métodos de integrción, veces no se lleg l resultdo con un método Un mner más eiciente que te yudrá incrementr tus hiliddes pr resolver integrles es l eperienci, por lo cul te recomiendo que resuelvs tntos integrles como te se posile pr cd uno de los métodos vistos lo lrgo del curso y en especil de est unidd Ánimo!, sigue resolviendo muchs integrles ctividd Integrles trigonométrics trvés de est ctividd, Resolverás ejercicios relciondos integrles trigonométrics 4 Integrles impropis Un integrl impropi es quell que se encuentr en el cso que está deinid en un intervlo ininito y tmién en el cso donde eiste un discontinuidd ininit en [, ] Estudiemos mos csos Tipo Intervlos ininitos onsideremos un integrl en un intervlo ininito Por ejemplo, l curv descrit por l unción y Universidd iert y Distnci de Méico 4

25 Unidd Métodos de integrción L región S está cotd por l unción y y el eje, cotd en el ldo izquierdo por l rect verticl en el ldo derecho hst el ininito En principio se pensrí que el áre S es ininit; sin emrgo, esto no es sí El áre de un región cotd por l verticl está dd por: t t y por l rect verticl movile en el eje t t d t Si nos ponemos hcer cálculo vrindo t, sin importr qué tn grnde se, notremos que el áre no res el vlor de un unidd, por lo tnto, concluimos que t Oservmos tmién, que si clculmos el límite cundo dierente de ininito lim t t lim t t Universidd iert y Distnci de Méico 5 t El áre de l región es igul uno y esto lo podemos escriir como: lim d t d t, llegmos un vlor Este ejemplo te dio un noción intuitiv de que el áre no es ininit; sin emrgo, consider l deinición siguiente, l cul te epone tres csos: Deinición de un integrl impropi de tipo i Si te enrentrs un integrl que eiste de l orm, entonces: d lim t t d t d pr culquier Mucho ojo! Siempre y cundo eist el límite como un número inito ii Si te enrentrs un integrl que eiste de l orm d pr culquier t, entonces: t t

26 Unidd Métodos de integrción d lim t t d Mucho ojo! Siempre y cundo eist el límite como un número inito Estos dos csos de integrles impropis nos permiten nomrrls como convergentes si eiste dicho límite y divergentes si no lo hy iii Si en ms integrles d y d de los csos nteriores, son divergentes, entonces por deinición se tiene l sum de integrles: d d d Ejemplo Determin si l integrl es divergente o convergente d Solución De cuerdo con l deinición nterior, l integrl se mold l cso i d lim t lim t t d lim ln t ln t ln lim ln t t t El vlor es ininito, no es un número inito, por lo tnto de l deinición podemos concluir que l integrl impropi diverge Si tuvieses un integrl impropi de l orm: d Será convergente siempre y cundo p y divergente cundo p p Tipo Integrndos discontinuos Tenemos jo un tl que deine ls integrles impropis con integrndos discontinuos Deinición de un integrl impropi de tipo i Si te enrentrs un integrl cuy es continu en [, y discontinu en t d lim d t Mucho ojo! Siempre y cundo eist el límite como un número inito Universidd iert y Distnci de Méico 6

27 Unidd Métodos de integrción ii Si te enrentrs un integrl cuy es continu en, ] y discontinu en d lim t t d Mucho ojo! Siempre y cundo eist el límite como un número inito Estos dos csos de integrles impropis nos permiten llmrls como convergentes si eiste dicho límite y divergentes si no lo hy iii Si tienes un discontinuidd en c que está entre los intervlos y, y demás son convergentes ls integrles c d y c d d d c d c, por deinición tendrás: Ejemplo Determin l integrl 5 d Universidd iert y Distnci de Méico 7

28 Unidd Métodos de integrción Solución L gráic de l unción es l siguiente Oserv y vers que tiene un síntot verticl en mrcd en 5 d lim t lim t lim t t 5 De l deinición ii de est sección, se tiene: d 5 t t L discontinuidd es ininit Por lo tnto, podemos concluir que se trt de un integrl impropi convergente El áre es región somred de l región ctividd 4 Integrles impropis trvés de est ctividd, Resolverás ejercicios pr determinr el vlor medio de un unción Evidenci de prendizje álculo de un integrl trvés de est ctividd, tomndo en cuent todo el conocimiento otenido durnte l unidd resolverás prolems que presenten rgumentos sore integrles Fuentes de consult postol, T M 008 lculus Espñ: Reverté Lrson, R E 005 álculo Méico: Mc Grw Hill Leithold, L 009 El álculo Méico: Oord University Press Universidd iert y Distnci de Méico 8

29 Unidd Métodos de integrción Stewrt, Jmes 008 álculo Trscendentes temprns Méico: engge Lerning Universidd iert y Distnci de Méico 9