ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE-

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1 Resumen teorí Prof Alón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- 1 Números enteros Un número rel se die entero si es ero o es un número nturl o es el opuesto de un número nturl Si indimos on N l subonjunto de R formdo por los opuestos de los números nturles, es deir, N = {x : x N} = { 1, 2, 3, }, result que el onjunto de los números enteros, denotdo Z, es Z = N {0} N = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } En el pítulo nterior vimos que tnto l sum omo el produto de números reles son operiones errds en el onjunto de los nturles Veremos hor que lo mismo ourre en el onjunto de los enteros Proposiión 1 Ls operiones + y definids en R son errds en Z: l sum de dos números enteros es un número entero y el produto de dos número enteros es tmbién un número entero Además, si x Z entones x Z Demostrión: Primero probemos que el opuesto de un entero es un entero Si x = 0 entones x = 0 Z; si x N entones x N Z; y si x N entones x N Z Sen y b números enteros; pr probr que l sum y el produto son errdos en Z, bst onsidermos los siguientes sos: = 0: entones + b = 0 + b = b Z y b = 0b = 0 Z N y b N: entones, por lo probdo en el pítulo nterior, + b N y b N; omo N Z, result que + b Z y b Z N y b N: entones N y b N, de donde ( ) + ( b) = ( + b) Z, result + b Z; por otr prte, ( )( b) = b Z N y b N: entones N y b N Si = b, l demostrión es trivil Si > b entones ( b) = + b N Z Si < b entones b = ( + b) N, de donde + b Z Finlmente, ( b) = (b) N Z, luego b Z Ejeriio 1: Potenis on exponente entero de un número rel: extendemos l definiión de poteni on exponente nturl de l siguiente form, m = ( 1 ) m pr ulquier m N Probr que m = ( m ) 1 y que ls propieddes probds en el pítulo nterior pr exponentes nturles siguen vliendo pr el so de exponentes enteros Se die que un número entero no nulo b divide un número entero, si existe k Z tl que = kb En tl so tmbién se die que b es divisor de, o que es divisible por b, o que es múltiplo de b En generl, b divide se denot b ; y b no divide se indi b Ejemplo 2: 1 es divisor de m pr todo m Z pues m = 1m Todo número entero no nulo m es divisor de sí mismo pues m = 1m Todo número entero no nulo m es divisor de 0 pues 0 = 0m b b b b pues = kb = ( k)( b) = (kb) = ( k)b = k( b) Proposiión 2 Si y b son enteros no nulos y b entones b Demostrión: Como b entones existe k Z tl que = kb Result que = kb = k b 1 b = b, donde usmos que k 1 lo ul se stisfe pues k Z y k 0 Ejeriio 3: Sen, b y enteros Probr que 1

2 1 1 = 1 2 ( b b ) = b 3 ( b b ) 4 ( b ) ( b + b ) Un número entero se die primo, si tiene extmente utro divisores Es lro que si p es primo entones p es primo Ejemplo 4: 0 no es primo, y vimos que tiene un ntidd infinit de divisores 1 no es primo, y vimos que tiene extmente dos divisores que son 1 y -1 2 es primo Efetivmente, si d divide 2, entones d 2 = 2 Como d es un entero debe ser d = 2 o d = 1 de donde los únios divisores de 2 son 2, 2, 1 y 1 Puede deirse tmbién que p es primo si y sólo si p ±1 y los únios divisores de p son 1, 1, p y p L llmd Crib de Erstóstenes nos permite visulizr los primero números primos positivos Consideremos un tbl en l que preen los primeros números nturles Iremos remrndo los números primos y thndo los que no lo son Observr que: (*) un número nturl n myor que 1 es primo si y sólo si d n pr todo nturl d on 1 < d < n Comenzmos thndo el 1 porque no es primo Luego sigue 2 que es primo, lo remrmos Todo número de l form 2k on k 2 no es primo por (*)( 2 lo divide y 1 < 2 < 2k), lo thmos El primer número no remrdo ni thdo es 3, él es primo por (*), lo remrmos Nuevmente, Todo número de l form 3k on k 2 no es primo por (*)( 3 lo divide y 1 < 3 < 3k), lo thmos El primer número no remrdo ni thdo es 5, él es primo por (*), lo remrmos Nuevmente, Todo número de l form 5k on k 2 no es primo por (*)( 5 lo divide y 1 < 5 < 5k), lo thmos 2

3 Continundo on este proedimiento obtenemos l siguiente tbl en l que preen remrdos los números primos Ejeriio 5: Verifir que los números primos menores o igules que 200 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Proposiión 3 Todo número entero distinto de 1 o 1 es divisible por lgún número primo Demostrión: Se un número entero distintos de 1 y de -1 Si = 0, l proposiión es verdder pues, por ejemplo, 2 es primo y 2 divide 0 Si 2, probremos por induión sobre (prinipio fuerte) que es divisible por lgún número primo Pr = 2, l proposiión es verdder pues 2 es primo y 2 divide 2 Se k 2 ulquier y summos que, pr d entero positivo s on 2 s k, se verifi que existe lgún primo p s que divide s Veremos que l proposiión se umple pr = k + 1 Si k + 1 es primo, l proposiión vle pues k + 1 divide k + 1 Si k + 1 no es primo entones existe un entero positivo d, d ±1 y d ±(k + 1), tl que d divide k + 1; demás, omo d divide k + 1 debe ser d k + 1 Así 2 d k, entones, por hipótesis indutiv, existe un primo p d que divide d; luego p d divide k + 1, omo querímos probr Finlmente, si 2 entones 2 Por lo demostrdo nteriormente existe un primo que divide ; el mismo primo divide Supongmos que quiero sber si un número entero positivo ddo, digmos 101, es primo Pr ello bst sber si existe un primo p menor que 101 tl que p divide 101 Ourre que los primos menores que 101 son vrios: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 Pr simplifir est tre podemos usr l siguiente proposiión Proposiión 4 Se n N, n 1 Si pr todo primo p tl que p 2 n se verifi que p no divide n, entones n es primo Demostrión: Como n 1 existe lgún primo que divide n, luego el onjunto A = {p N : p primo y p divide n} es un subonjunto no vío de N Como N es un onjunto bien ordendo, A tiene primer elemento, se p 0 Ahor, omo p 0 divide n, existe k N tl que n = kp 0 Si k 1, entones, por l Proposiión 3, existe p 1 primo positivo, tl que p 1 divide k, luego p 1 divide n Por l eleión de p 0, es p 0 p 1 ; omo demás p 1 k, tenemos que p 0 k Luego (p 0 ) 2 = p 0 p 0 kp 0 = n Esto ontrdie l hipótesis que todo primo uyo udrdo es menor o igul que n no divide n, l ontrdiión proviene de suponer k 1 Result k = 1 de donde n = 1p 0 = p 0 es primo, omo querímos probr Ejemplo 6: Pr sber si 101 es primo bst ver si 2, 3, 5 o 7 dividen 101 pues estos son los únios primos uyos respetivos udrdos son menores o igules que 101 Observr que 11 2 = 121 > 101 Es fáil ver que ninguno de estos números divide 101, por lo tnto 101 es primo 3

4 Proposiión 5 El onjunto de los número primos es infinito Demostrión: Supongmos que el onjunto P de los números primos es finito, entones existe n N tl que P = {p 1, p 2, p 3,, p n } Se m = p 1 p 2 p 3 p n +1; es lro que m 1, entones, por l Proposiión 3, existe un primo que divide m Sin pérdid de generlidd podemos suponer que este primo que divide m es p 1 Luego existe k Z tl que m = kp 1 ; esto es p 1 p 2 p 3 p n + 1 = kp 1, de donde 1 = kp 1 p 1 p 2 p 3 p n = p 1 (k p 2 p 3 p n ) Result que p 1 divide 1, lo ul ontrdie que p 1 es primo L ontrdiión proviene de suponer que P es finito, onluimos que P es infinito Teorem 6 (Algoritmo de l división en Z) Ddos números enteros y d, d 0, existe un únio pr de números enteros q y r tles que: = qd + r y 0 r < d Se die que q es el oiente de l división de por d; y que r es el resto de l división de por d Demostrión: Se A = {x N 0 : existe un entero k tl que x = kd} Observr que si 0 entones 0d A, y si < 0 entones (d)d = (1 d 2 ) A, luego, en ulquier so A es un subonjunto no vío de N Como N está bien ordendo, A tiene primer elemento, se r Result que r 0 y existe q Z tl que r = qd, de donde = qd + r Pr probr que q y r stisfen ls ondiiones pedids en el enunido del teorem, rest ver que r < d Supongmos que r d, entones h = r d N 0 y h = ( qd) d = (q ± 1)d, luego h A Como r es el primer elemento de A, debe ser r h = r d, de donde d 0, result d = 0, lo ul ontrdie ls hipótesis del teorem Como l ontrdiión proviene de suponer r d, obtenemos que r < d Vemos hor que q y r son los únios enteros que stisfen lo pedido Efetivmente, si q y r stisfen que = q d + r y 0 r < d, entones es lro que r A, luego r r y 0 = = (q d + r ) (qd + r) = (q q) (r r), de donde q q = r r 0 Si q q > 0 entones q q 1, luego q q + 1 Por otr prte, r = qd = q d + r r, sí tenemos que (q q )d = r r, es deir d divide r r Result por l Proposiión 2, d r r = r r r, lo ul ontrdie que r < d L ontrdiión proviene de suponer q q > 0, luego tenemos que q q = 0 y sí r r = 0 Ejemplo 7: Como 130 = y 0 10 < 15 tenemos que el resto de dividir 130 por 15 es 10, y el oiente es 8 Observr que unque 130 = no podemos deir que 10 es el resto de dividir 130 por 8 puesto que 10 8; en efeto, 130 = = = , luego el resto de dividir 130 por 8 es 2 Ahor sí, omo 2 < 16, tmbién podemos deir que el resto de dividir 130 por 16 es 2 Pr determinr resto y oiente en sos en que el dividendo o el divisor d sen negtivos, primero se onsider y d y luego se proede omo en los siguientes ejemplos sumndo y restndo el divisor si es neesrio Hllr oiente y resto de dividir -50 por 13 Sbemos que 50 = , luego 50 = ( 3)13 11 = ( 3) = ( 4)13 + 2, result que el oiente pedido es 4 y el resto es 2 Hllr oiente y resto de dividir 50 por -13 Como ntes, 50 = luego 50 = ( 3)( 13) + 11 Result que el oiente pedido es -3 y el resto 11 Hllr oiente y resto de dividir -50 por -13 Otr vez, 50 = luego 50 = 3( 13) 11 = 3( 13) = 4( 13) + 2 Result que el oiente pedido es 4 y el resto 2 Proposiión 7 [Propieddes del resto] Indiremos medinte r d () l resto de l división de por d 4

5 1 d r d () = 0 2 r d ( + b) = r d (r d () + r d (b)) 3 r d ( b) = r d (r d () r d (b)) 4 r d ( n ) = r d ([r d ()] n ) Demostrión: L demostrión de 1 es trivil Demostrremos 2 y dejremos 3 y 4 omo ejeriios Sen q y q los oientes de dividir y b por d, respetivmente; luego = qd + r d () y 0 r d () < d b = q d + r d (b) y 0 r d (b) < d Sumndo ests expresiones tenemos que + b = (q + q )d + (r d () + r d (b)) No puedo deir que r d () + r d (b) se el resto de dividir + b por d porque no sé si r d () + r d (b) < d Luego dividimos r d () + r d (b) por d, por el goritmo de l división tenemos, r d () + r d (b) = q d + r d (r d () + r d (b)) y 0 r d (r d () + r d (b)) < d Reemplzndo en l expresión nterior obtenemos + b = (q + q )d + (r d () + r d (b)) = (q + q )d + r d () + r d (b) = q d + r d (r d () + r d (b)) = (q + q + q )d + r d (r d () + r d (b)) y omo 0 r d (r d () + r d (b)) < d, result que r d ( + b) = r d (r d () + r d (b)), omo querímos probr Ejemplo 8: Determinr el resto de dividir 2 93 por 3 y el resto de dividir 9 45 por 7 r 3 (2 93 ) = r 3 (22 92 ) = r 3 (r 3 (2)r 3 (4 46 )) = r 3 (2[r 3 (4)] 46 ) = r 3 (21 46 ) = r 3 (2) = 2 r 7 (9 45 ) = r 7 ([r 7 (9)] 45 ) = r 7 (2 45 ) = r 7 (8 15 ) = r 7 ([r 7 (8)] 15 ) = r 7 (1 15 ) = r 7 (1) = 1 Ejeriio 9: 1 Probr que n es pr si y solo si n 2 es pr 2 Determinr los posibles restos de l división de n 2 por 3 3 Probr que l sum de los udrdos de 3 números no divisibles por 3, es un múltiplo de 3 Sen y b enteros ulesquier Se die x es un ombinión linel enter de y b, si existen enteros s y t tles que x = s + tb; es lro que, en tl so, x Z Por ejemplo, 2 es ombinión enter de 462 y de 180 pues 2 = ( 7)180 1 es ombinión enter de 462 y 180? Ejeriio 10: Probr que si h es un divisor omún de y de b, esto es, h divide y h divide b, entones h divide tod ombinión enter de y b En lo que sigue relionremos el máximo omún divisor de dos enteros on sus ombiniones enters Probremos que x es ombinión enter de y b si y sólo si x es un múltiplo del máximo omún divisor de y b Teorem 8 (Existeni y uniidd del máximo omún divisor) Sen y b enteros, no mbos nulos Existe un únio d N, tl que: i) d y d b; y ii) pr todo entero h se verifi que si h y h b entones h d 5

6 Observr que, omo onseueni de ii), ulquier divisor omún de y de b es menor o igul que d, por eso d se llm máximo omún divisor de y b, en generl se denot (, b) Demostrión: Se A = {x N : x es un ombinión enter de y b} Observr que 2 + b 2 A, luego A es un subonjunto no vío de N Como N es un onjunto bien ordendo, A tiene primer elemento, se d; es lro que d N y existen enteros s y t tles que d = s + tb Veremos que d stisfe lo pedido en el enunido del teorem Por el lgoritmo de l división, existen enteros q y r tles que = qd + r o r < d; luego r = qd = q(s + tb) = (1 qs) + ( qt)b es un ombinión enter de y b Como r A, pues r < d y d es primer elemento de A, debe ser que r N, result r 0, y entones r = 0 Obtenemos que = qd, es deir d Análogmente se prueb que d B Finlmente, l ondiión ii) se umple pues d es ombinión enter de y b (Ver ejeriio nterior) Ahor supongmos existe otro entero positivo d que stisfe i) y ii) Tenemos que ((d d b) (h h b h d )) d d ; ((d d b) (h h b h d)) d d; de donde d d d d, luego d = d pues mbos son positivos Esto prueb l uniidd del máximo omún divisor Corolrio 9 El máximo omún divisor (, b) es l menor ombinión linel enter positiv de y b En prtiulr, si 1 es ombinión enter de y b entones (, b) = 1, pues no hbrá otr ombinión enter positiv menor Además, x es un ombinión enter de y b si y sólo si x es un múltiplo de (, b) Ejemplo 11: Sen y b enteros no nulos Por l propi definiión de máximo omún divisor es trivil que (, b) = (, b) = (, b) = (, b) (, 1) = 1 (, + 1) = 1 (, ) = b (, b) = Si p es primo y p no divide entones (, p) = 1 El siguiente resultdo es l bse del lgoritmo de Eulides que permite el álulo de (, b) medinte un seueni de divisiones Proposiión 10 Si y b son enteros positivos entones (, b) = (b, r b ()) Demostrión: Por simpliidd esribmos r = r b () y d = (b, r b ()) Veremos que d stisfe ls ondiiones del Teorem 8, luego podremos onluir que d = (, b) d pues = qb + r b () y d divide b y r b () d b pues d = (b, r b ()) Se h ulquier tl que h y h b Como r b () = qb result que h r b (); tenemos entoes que h b y h r b () de donde h (b, r b ()) = d Ejemplo 12: Proposiión 11 Si p es primo y p b entones p o p b Demostrión: Se p un primo que divide b (existe k Z tl que b = kp) y supongmos que p no divide ; luego (, p) = 1, de donde existen enteros s y t tles que 1 = s+tp Multiplindo por b obtenemos b = sb + tpb = skp + tpb = p(sk + tb); omo sk + tb Z resut que p divide b Ejeriio 13: 1 Probr por induión en n que si p es primo y p divide l produto 1 2 n entones existe un i, 1 i n, tl que p divide i 2 Probr que si y b son enteros no nulos entones pr todo nturl n se stisfe que ( n, b n ) = (, b) n 6

7 Dos número enteros y b se dien oprimos si (, b) = 1 Ejemplo 14: Son oprimos: y + 1, pr un entero ulquier Efetivmente 1 = ( 1) + 1( + 1), luego (, + 1) = 1 p y q, pr p y q primos distintos ulesquier Efetivmente, omo (p, q) divide p debe ser (p, q) = 1 o (p, q) = p; y omo (p, q) divide q debe ser (p, q) = 1 o (p, q) = q Ddo que p q obtenemos que (p, q) = 1 p y (p 1)!, pr p primo ulquier myor que 2 Efetivmente, omo d = (p, (p 1)!) divide p debe ser d = 1 o d = p Supongmos que d = p, entones p divide (p 1)! = (p 1)(p 2) 21 Por lo probdo en el ejeriio nterior, debe existir i on 1 i p 1 tl que p divide p i, lo ul es un ontrdiión pues 0 p i < p L ontrdiión proviene de suponer que d = p, luego d p Result d = 1 (,b) y b (,b), pr y b enteros ulesquier no nulos OBSERVACION: Si y d son enteros tles que d divide, entones d Z: omo d, existe k Z tl que = kd, result d = d 1 = kdd 1 = k Z Sen s y t enteros tles que (, b) = s + tb Result que 1 = s (,b) + t b (,b), luego ( (,b), b (,b) ) = 1 Ejeriio 15: Probr que se y b son oprimos entones 1 n y b n b n 2 bn n Un euión linel diofánti en ls inógnits x e y es un euión linel on oefiientes enteros que requiere soluiones enters, es deir, un euión del tipo x+by = donde, b y son enteros y x e y tomn vlores enteros Como vimos en el Corolrio 9, est euión tiene soluión sí y solo sí (, b) divide, o en otrs plbrs, si es un múltiplo de (, b) El siguiente enunido ofree tmbién l form de ls soluiones de un euión diofánti Proposiión 12 Sen, b y enteros L euión x + by = tiene soluión en el onjunto de los número enteros sí y solo sí (, b) Más ún, undo (, b), si (, b) = s + tb entones el onjunto soluión de l euión dd es on m Z { xm = s (,b) m b y m = t (,b) + m (,b) (,b) Demostrión: Es fáil ver que, pr ulquier m Z, (s (,b) m b (,b) )+b(t (,b) +m (,b)) = Vemos que tod soluión enter tiene est form pr lgún m Z: se x e y un soluión ulquier de l euión dd, omo x 0 = s (,b), y 0 = t (,b) es soluión, tenemos que (s (,b) ) + b(t (,b) ) = x + by = (s x) + b(t y) = 0 (,b) Result (s (,b) x) = b(y t (,b)), de donde (,b) (s (,b) x) = (y t (,b)) Como (,b) y (,b) son oprimos tenemos que (,b) divide y t (,b), luego existe m Z tl que y t (,b) = m (,b), es deir, y = t (,b) +m (,b) Ahor, reeemplzndo este vlor de y en l expresión nterior tenemos (s (,b) x) = m (,b), de donde x = s (,b) m b (,b), omo querímos probr Ejemplo 16: (,b) b (,b) b 7

8 L eión 15x + 20y = 8 no tiene soluiones enters pues (15, 20) = 5 no divide 8 L euión 15x + 20y = 10 tiene infinits soluiones enters; omo (15, 20) = 5 y 5=120+(-1)15, ls soluiones enters de est euión son x = ( 1) 10 5 m 20 5 Por ejemplo, x = 2 e y = 2 es soluión = 2 m4 y = m 15 5 = 2 + m3 Teorem 13 (Existeni y uniidd del mínimo omún múltiplo) Sen y b enteros no nulos Existe un únio número m N, tl que: i) m y b m; y ii) pr todo entero h se verifi que si h y b h entones m h Observr que, omo onseueni de ii), ulquier múltiplo omún de y de b es myor o igul que m, por eso m se llm mínimo omún múltiplo de y b, en generl se denot [, b] Demostrión: Se A = {x N : x b x} Observr que A es un subonjunto no vío de N, por ejemplo b A Como N es un onjunto bien ordendo, A tiene primer elemento, se m Es fáil verifir que m stisfe ls ondiiones i) y ii) del enunido L uniidd se prueb suponiendo existe m N que tmbién stisfe ls ondiiones nteriores y onluyendo que m = m en form nálog l utilizd en el Teorem 9 Ejemplo 17: Sen y b enteros positivos Por l propi definiión de mínimo omún múltiplo es trivil que [, b] = [, b] = [, b] = [, b] [, 1] = [, ] = [, b] = b Proposiión 14 Si y b son enteros no nulos entones b = (, b)[, b] Demostrión: Sin pérdid de generlidd podemos suponer que y b son positivos Se m = b (,b) (,b) = b b = (,b); veremos que m = [, b], on lo ul hbremos probdo que b = (, b)[, b] Es lro que m N y que y b dividen m Se h Z tl que h y b h, veremos que m h Efetivmente, existen enteros s y t tles que (, b) = s + tb, luego 1 = s (,b) + t b (,b); multiplindo por b h result h = s (,b)h + t (,b) h Como existen enteros k y k tles que h = k = bk, reemplzndo en l expresión nterior obtenemos h = s (,b) k b b b + t (,b)k = (,b) (sk + tk) = m(sk + tk); omo sk + tk Z hemos probdo que m h Los oneptos de máximo omún divisor y mínimo omún múltiplo que hemos visto se pueden extender un myor ntidd de elementos, es deir, si 1, 2,, n son enteros no nulos, existe un únio número d N, tl que: i) d 1, d 2, d n ; y ii) pr todo entero h, si h 1, h 2, h n entones h d d se llm máximo omún divisor de 1, 2, y n, en generl se denot ( 1, 2,, n ) y se stisfe que ( 1, 2,, n ) = (( 1, 2,, n 1 ), n )) Análogmente, existe un únio número m N, tl que: i) 1 m, 2 m, n m; y ii) pr todo entero h, si 1 h, 2 h, n h entones m h m se llm mínimo omún múltiplo de 1, 2, y n, en generl se denot [ 1, 2,, n ] y se stisfe que [ 1, 2,, n ] = [[ 1, 2,, n 1 ], n ]] Ejemplo 18: 8

9 (10, 15, 35) = ((10, 15), 35) = (5, 35) = 5 [10, 15, 35] = [[10, 15], 35] = [30, 35] = 210 Teorem 15 (Teorem Fundmentl de l Aritméti) Se m un número entero distinto de 0, 1 y -1 Existen número primos positivos p 1 p 2 p k tles que m = ξp 1 p 2 p k donde ξ = 1 o ξ = 1 Est esritur (que se llm desomposiión de m en ftores primos o ftorizión de m en primos) es úni, es deir, si p 1, p 2, p s son primos positivos tles que: p 1 p 2 p s y m = δp 1p 2p s, donde δ = 1 o δ = 1 entones k = s, ξ = δ, y p i = p i pr todo i = 1,, k Demostrión: Observr que bst probr que todo entero myor que 1 se ftoriz en primos Se S = {n Z : n > 1 y n no se ftoriz en primos} Como todo primo positivo p se ftoriz en primos hiendo p = 1p, result que S no ontiene números primos (1) Supongmos S En tl so, omo S N y N es un onjunto bien ordendo, S tiene primer elemento, se Como S, sbemos que es distinto de 1 y de -1; luego, por Teorem 3, existe lgún primo positivo que divide Se p 0 el menor primo positivo que divide ; y se m N tl que = mp 0 Observr que m <, luego m S Pero m > 1 (pues si m = 1 result que = p 0 ontrdiiendo 1), entones debe ser que m se ftoriz en primos, es deir, existen primos positivos p 1 p 2 p k tles que m = p 1 p 2 p k Como p 0 es el menor primo positivo que divide tenemos p 0 p 1 p 2 p k y = p 0 m = p 0 p 1 p 2 p k, luego se ftoriz, lo ul ontrdie que S L ontrdiión proviene de suponer S, entones onluimos que S = y sí todo entero myor que 1 se ftoriz en primos Uniidd: supongmos que m se ftoriz en primos de dos forms distints, es deir: m = p 1 p 2 p k = p 1p 2p h on primos positivos p 1 p 2 p k y p 1 p 2 p h Observr que omo p 1 es primo y p 1 divide p 1p 2p h, entones existe i tl que p 1 = p i Análogmente, existe j tl que p 1 = p j Ahor, p 1 = p i p 1 = p j p 1, on lo ul son todos igules, es deir p 1 = p 1 Simplifindo result p 2 p k = p 2p h ; repitiendo el rzonmiento nterior obtenemos p 2 = p 2 y sí suesivmente Result que k debe ser igul h y p 1 = p 1, p 2 = p 2,,p k = p k Ddo m Z, m 0, pr d primo positivo p llmmos v p (m) = myor{i N 0 / p i m}; en otrs plbrs v p (m) es l ntidd de vees que el primo p pree en l ftorizión de m Ejemplo 19: m = = , luego v 2 (m) = 3; v 3 (m) = 1; v 11 (m) = 1; v 13 (m) = 2; y v p (m) = 0 pr ulquier otro primo positivo p Corolrio 16 Sen y b enteros no nulos Se stisfe que: 1 v p (b) = v p () + v p (b) pr todo primo positivo p 2 b divide v p (b) v p () pr todo primo positivo p 3 Si b divide, entones v p ( b ) = v p() v p (b) pr todo primo positivo p 4 Si k N, entones v p ( k ) = kv p () pr todo primo positivo p 5 v p ((, b)) = menor{v p (), v p (b)} pr todo primo positivo p 9

10 6 v p ([, b]) = myor{v p (), v p (b)} pr todo primo positivo p Demostrión: es onseueni diret de l uniidd del Teorem Fundmentl de l Aritméti Ejemplo 20: = b = b = (, b) = 3 1 y [, b] = Se die que un entero m es un udrdo perfeto si existe n Z tl que m = n 2 Observr que m es un udrdo perfeto si y sólo si v p (n) es pr pr todo primo positivo p Por ejemplo, 6552 no es un udrdo perfeto pues su ftorizión en primos es = Si queremos hllr el menor número nturl n tl que 6552n se un udrdo perfeto, podemos proeder de l siguiente mner: Como pr todo primo positivo p, v p (6552n) = v p (6552) + v p (n), por lo diho ntes neesitmos que v p (n) se pr si v p (6552) es impr y vievers; omo demás queremos n lo más hio posible, tommos v 2 (n) = 1, v 7 (n) = 1, v 13 (n) = 1 y v p (n) = 0, pr ulquier otro primo p; luego n = 2713 = 182 es el menor entero positivo tl que multiplido por 6525 result un udrdo perfeto, efetivmente = =( ) 2 = Observr que en form nálog podemos ver que no existe un entero positivo impr n tl que 6552n se un udrdo perfeto Si queremos determinr el menor entero positivo m tl que 6552m se un ubo perfeto tendremos que elegir v 3 (m) = 1, v 7 (m) = 2 y v 13 (m) = 2; por lo tnto l soluión es m = = Efetivmente, = (23713) 3 Ahor, si quiero determinr el menor udrdo perfeto que divide 6552, se trt de = 36 Vemos que no existen enteros no nulos n y m tles que n 2 = 180m 4 Si sí fuer, es deir, si n 2 = 180m 4 entones, pr todo primo positivo p, deberí umplirse que v p (n 2 ) = v p (180m 4 ), de donde 2v p (n) = v p (180) + v p (m 4 ), entones 2v p (n) = v p ( ) + 4v p (m) En prtiulr pr p = 5, debe ser 2v 5 (n) = v 5 ( ) + 4v 5 (m); pero entones, omo v 5 ( ) = 1, result 2v 5 (n) = 1 + 4v 5 (m), luego 2(v 5 (n) 2v 5 (m)) = 1, lo ul es un ontrdiión Result que tles n y m no existen Proposiión 17 Sen p 1, p 2, p k primos positivos distintos entre sí y n 1, n 2, n k números nturles L ntidd de divisores positivos de m = p n1 1 pn2 2 pn k n es igul (n 1 + 1)(n 2 + 1) (n k + 1) Demostrión: pr que un entero positivo d se divisor de m, por el punto 2 de Corolrio 16, debe umplirse que 0 v p (d) v p (m) pr d primo p; luego tenemos que 0 v p1 (d) v p1 (m) = n 1, 0 v p2 (d) v p2 (m) = n 2, 0 v pk (d) v pk (m) = n k y v p (d) = 0 pr ulquier otro primo p Result que el exponente de d primo p i puede tomr n i + 1 vlores distintos, luego d puede tomr (n 1 + 1)(n 2 + 1) (n k + 1) vlores distintos, omo querímos probr Ejemplo 21: Como 20 = l ntidd de divisores positivos de 20 son 32=6, efetivmente ellos son =1; =5; =2; =10; =4 y =20 Si quiero determinr un múltiplo de 20 que teng extmente 10 divisores positivos, puedo pensr de l siguiente mner Llmemos m l número que estoy busndo, pr que m se múltiplo de 20 debe ser v 2 (m) 2 y v 5 (m) 1; luego podemos esribir m = 2 v2(m) 5 v5(m) p v p i (m) i donde los p i son primos distintos de 2 y 5 Result que l ntidd de divisores positivos de m son (v 2 (m) + 1)(v 5 (m) + 1)(v pi (m) + 1) = 10 = 25 Luego, omo v 2 (m) 2 y v 5 (m) 1, debe ser v 2 (m) + 1 = 5; v 5 (m) + 1 = 2 y v pi (m) + 1 = 1 pr ulquier otro primo p i Así tenemos que v 2 (m) = 4 y v 5 (m) = 1; entones m = = 80 es múltiplo de 20 y tiene extmente 10 divisores positivos: 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40 y 80 10

11 11 Congruenis Se n un número nturl Se die que un entero es ongruente módulo n on un entero b si n divide b, es deir, si n b Pr indir que es ongruente on b módulo n esribiremos b mod(n) Por ejemplo 15 es ongruente on 7 módulo 4 pues 15 7 = 8 = 24; luego esribimos 15 7mod(4) L relión ongrueni módulo n es un relión de equivleni en Z Efetivmente, es reflexiv pues pr todo entero se verifi que n = 0; es simétri, pues n b si y sólo si n b ; y es trnsitiv porque si n b y n b entones n ( b) + (b ) = El onjunto oiente de Z por mod(n) se indi Z n Como l relión es simétri, podemos deir es ongruente on b o b es ongruente on o y b son ongruentes L siguiente proposiión ofree un mner lterntiv de definir l relión ongrueni módulo n Proposiión 18 b mod(n) si y sólo si r n () = r n (b) Demostrión: Por el lgoritmo de l división = qn + r n () y b = q n + r n (b) o r n () < n y 0 r n (b) < n Podemos suponer, sin pérdid de generlidd, r n () r n (b) y sí tenemos que 0 r n () r n (b) < n Restndo ls expresiones nteriores obtenemos b = (q q )n + r n () r n (b) Como 0 r n () r n (b) < n entones r n () r n (b) = r n ( b) Result r n () r n (b) = 0 si y solo si r n ( b) = 0, omo querímos probr Result que, pr ulquier n, el onjunto oiente Z n tiene extmente n elementos Por ejemplo, Z 3 = {0, 1, 2} donde 0 = {x Z : r 3 (x) = r 3 (0)} = {x Z : x = 3k on k Z} = 3Z; 1 = {x Z : r 3 (x) = r 3 (1)} = {x Z : x = 3k + 1 on k Z} = 3Z + 1; y 2 = {x Z : r 3 (x) = r 3 (2)} = {x Z : x = 3k + 2 on k Z} = 3Z + 2 L siguiente propiedd puede expresrse en form sintéti diiendo que l relión de ongrueni es omptible on l sum y el produto de enteros Proposiión 19 Si mod(n) y b b mod(n), entones + b + b mod(n), b b mod(n), b b mod(n), y k k mod(n) pr todo nturl k Demostrión: Usremos l proposiión 7: r n ( + b) = r n (r n () + r n (b)) = r n (r n ( ) + r n (b )) = r n ( + b )) Análogmente se puebn ls otrs reliones; l últim por induión sobre k Ejeriio 22: Probr que si pr todo i entre 1 y m, i imod(n), entones m m m m ( i ) ( i) mod(n) y ( i ) ( i) mod(n) i=1 i=1 i=1 i=1 Ejemplo 23: usremos los resultdos nteriores pr demostrr el riterio de divisibilidd por 3: Un número es divisible por 3 si y solo sí l sum de sus dígitos lo es Por ejemplo, 2345 no es divisible por 3 pues = 14 no es múltiplo de es divisible por 3 pues = 30 es múltiplo de 3 Nos bsremos en el desrrollo deiml del número: un entero positivo m se puede esribir omo l sum de un ntidd finit de términos en l form i (10) i i 0 11

12 donde d i es un entero tl que 0 i 9 L existeni y uniidd de este desrrollo es un onseueni diret del lgoritmo de l división Los oefiientes i son los dígitos de m Pr los números de los ejemplos nteriores el desrrollo deiml es: 2345 = = En lo que sigue, por simpliidd, solo esribiremos en lugr de mod(3) Como 10 1, entones 10 i 1 i, de donde 10 i 1, pr todo i 1 Ahor, omo 10 i 1 y i i, entones i 10 i i 1, de donde i 10 i i, pr todo i 1 Result que i i10 i i i, es deir, m i i, omo querímos probr En rigor hemos demostrdo que: ddo un número entero positivo m el resto de dividir m por 3 es igul l resto de dividir l sum de sus dígitos por 3 Clulr el resto de dividir por 35 En lo que sigue signifi mod(35) Como 34 ( 1) = 35, entones 34 1, de donde ( 1) Además, omo 36 1, entones (6 2 ) Result que Como 33 ( 2) = 35, entones 33 2 Así tenemos que de donde onluimos que el resto de dividir por 35 es igul 33 En form similr l utilizd pr probr el riterio de divisibilidd por 3, se puede probr que si m = i i10 i es el desrrollo deiml del entero positivo m, entones el resto de dividir m por 11 es igul l resto de dividir i ( 1)i i por 11 Por ejemplo, r 11 (11) = r 11 (1 1) = r 11 (0) = 0; r 11 (111) = r 11 ( ) = r 11 (1) = 1, luego 111 no es múltiplo de 11; r 11 (1111) = r 11 ( ) = r 11 (0) = 0; r 11 (9754) = r 11 ( ) = r 11 (3) = 3 Hllr un múltiplo de 11 piú on 8 dígitos, los utro primeros distintos entre sí: puede ser pues = 0 Efetivmente, = Teorem 20 ( Euler-Fermt-Vivldi) Se p primo positivo Pr todo nturl n vle que n p n mod(p) Demostrión: por induión sobre en n: l proposiión es verdder si n = 1, pues pues 1 p = 1 Se k > 1 y summos que k p k mod(p), veremos que l proposiión se stisfe pr k + 1 Por omodidd esribiremos sólo ( ) p Reordndo que si p es primo entones p divide l número ombintorio pr todo i tl que 0 < i < p, i tenemos que existe h Z tl que (k + 1) p = 0 i p ( p i ) ( k i p = 0 ) ( p + hp + p Entones (k + 1) p = 1 + hp + k p, esto es (k + 1) p 1 + k p Como por hipótesis indutiv k p k mod(p), result que (k + 1) p 1 + k p 1 + k, omo querímos probr ) k p Ejemplo 24: ddo un primo ulquier, por ejemplo 7, y un entero ulquier por ejemplo 88, vle que 7 divide Efetivmente, = = = Corolrio 21 Se p primo positivo Si (n, p) = 1, entones n p 1 1 mod(p) Demostrión: omo 1 = rn + sp entones 1 rn rn p = rnn p 1 1n p 1 = n p 1, donde es módulo p 12

13 2 Números rionles Un número rel x se die rionl si existen enteros y b, b 0, tles que x = b = b 1 El subonjunto de R formdo por los números rionles se indi on Q Proposiión 22 Ls operiones + y definids en R son errds en Q Demostrión: Si x e y son rionles entones existen enteros, b, y d, b y d no nulos, tles que x = b e y = d+b d Como d+b Z y bd Z es no nulo, entones bd Q Result que d+b bd = (d+b)(bd) 1 = d(bd) 1 + d(bd) 1 = db 1 d 1 + db 1 d 1 = b 1 + b 1 = b + d = x + y Q omo querímos probr En form nálog se prueb pr el produto Proposiión 23 Si x Q y x 0, entones x 1 Q Demostrión: trivil Observr que N Z Q Es lro que N es un subonjunto propio de Z A su vez Z es un subonjunto propio de Q, por ejemplo 1 2 Q Z, porque si fuer k = 1 2 Z, entones 2k = = 1, luego 2 divide 1 ontrdiiendo lo probdo en l seión nterior Pr probr que Q es un subonjunto propio de R deberemos sumir un nuevo xiom válido sobre los números reles pues todos los y sumidos listdos l omienzo del pítulo tmbién se stisfen en el onjunto de los números rionles Axiom de ompletitud de R: Todo subonjunto no vío y otdo inferiormente de R tiene ínfimo O equivlentemente, todo subonjunto no vío y otdo superiormente de R tiene supremo Proposiión 24 Si x R entones existe n N tl que x < n Demostrión: Supongmos que el enunido no es ierto, entones existe x R tl que pr todo n N se verifi que n x Result N es un subonjunto no vío otdo superiormente de R; luego N tiene supremo, se Como 1 <, tenemos que 1 no es ot superior de N, luego existe m N tl que 1 < m Result < + 1 = ( 1) + 2 < m + 2 N ontrdiiendo que es supremo de N Corolrio 25 Si x R y x > 0 entones existe n N tl que 0 < 1 n < x Demostrión: Por l proposiión nterior existe n N tl que x 1 < n El siguiente teorem pueb que el onjunto de los números rionles es denso en R, los rionles están por tods prtes entre todos los reles, o en otrs plbrs: ddos dos reles ulesquier, distintos entre sí, no import un er esté uno de otro, entre ellos hy lgún número rionl, más ún entre ellos hy un ntidd infinit de números rionles Teorem 26 Q es denso en R, es deir, si x e y son números reles tles que x < y entones existe q Q tl que x < q < y Demostrión: Vmos onsiderr tres sos: i) x = 0, ii) x > 0 y iii) x < 0 Cso i): Como 0 = x < y, por Corolrio 25 existe n N tl que 0 < 1 n < y Cso ii): si 0 < x < y entones 0 < y x, luego por Corolrio 25 existe N tl que 0 < 1 < y x (2) Ahor S = {m N : x < m} es un subonjunto de N Por Teorem 24, S es no vío, entones existe m 0 primer elemento de S Result que Vemos que el rionl q = m0 stisfe x < q < y x < m 0 result diretmente de 3 Pr probr m0 < y, proedemos por el bsurdo: supongmos m 0 N y x < m 0 (3) y m 0 (4) 13

14 y m0 y x m0 x 0 < 1 < y x m 0 x por 2 1 < m 0 x x < m 0 1 ( ), Observr que si m 0 1 N entones, por (*), m 0 1 S, lo ul ontrdie que m 0 es el primer elemento de S Result que m 0 1 N, luego m 0 = 1 Ahor, nuevmente por (*), tenemos que x < m 0 1 = 1 1 = 0, lo ul es bsurdo pues 0 < x y N Hemos probdo que m0 < y Cso iii): se dedue fáilmente de los sos nteriores Finlmente probremos que Q R, es deir, probremos que Q es un subonjunto propio de R Pr ello primero veremos que existe un número rel uyo udrdo es 2, en otrs plbrs probremos l existeni del número rel 2 Proposiión 27 Existe s R tl que s 2 = 2 Demostrión: Se A = {x R : x 2 2} Observr que 1 A, luego A es no vío Result que A dmite supremo, se s R Veremos que s 2 = 2 Si s 2 < 2, entones 2 s2 1 2s > 0 Luego, por el Corolrio 25, existe R, < 1, tl que 0 < 2 < < 2 s2 1 2s Result 2 s 2 > (1 + 2s) = + 2s, de donde 2 > + 2s + s 2 = ( + s) 2 Esto impli que + s A, pero omo s es el supremo de A tenemos + s s, luego 0, ontrdiiendo que > 0 Si s 2 > 2, entones s2 2 2s > 0 Luego, por el Corolrio 25, existe R, < 1, tl que 0 < 2 < < s2 2 2s, entones s 2 2 > 2s > 2s 2, de donde 2 < s 2 s + s 2 = (s ) 2 ( ) Por otr prte, < s2 2 2s = s 2 1 s < s 2 < s, entones 0 < s < s Como s es el primer elemento de ls ots superiores de A, result que s no es ot superior de A, es deir, existe x A tl que s < x, luego (s ) 2 < x 2 < 2, lo ul ontrdie ( ) Conluimos que s 2 = 2 Además s es el únio número rel positivo uyo udrdo es 2, pues si s es un rel positivo y s 2 = 2 entones s 2 s 2 = 0, de donde (s s )(s + s ) = 0, result s = s o s = s, pero omo mbos son positivos tenemos que s = s Ejeriio 25: 2 Q L Proposiión 27 es generlizd por el siguiente teorem Omitiremos l demostrión, es similr l de dih proposiión Teorem 28 Si x R, x > 0, y n N entones existe un únio y R + tl que y n = x, este elemento y se llm riz n-ésim de x y se denot n x Se un rel positivo, m Z y n N Se define l poteni on exponente rionl m n de en l form: m n = n m Vemos que l poteni está bien definid, es deir, si m n = m n entones m n = m n Llmemos x = m n = n m Por definiión x es el únio número rel positivo tl que x n = m, entones, elevndo l m, result que (x n ) m = ( m ) m Como todos los exponenetes son números enteros, por propieddes probds pr l poteniión on exponentes enteros de números reles, vle que x nm = mm Como por hipótesis nm = mn, result x mn = mm y sí (x n ) m = ( m ) m, de donde x n = m Result que x debe ser el únio número rel positivo que elevdo l n d m, es deir x = n m = m n, omo querímos probr Ls propieddes onoids pr l potenis on exponentes enteros de números reles se extienden pr el so de pontenis rionles, esto es: Ejeriio 26: Sen y b reles positivos; q y q rionles Probr que: 1 q q = q+q 2 q q = q q 3 ( q ) q = qq 4 (b) q = q b q 14

15 5 ( b )q = q b q Observr que undo q = 1 n, q = 1 n, on n y n números nturles, de ls propieddes probds en el ejeriio nterior result que: 1 n n = nn n+n 2 3 n n = nn n n n n = nn Se llm número irrionl todo número rel no rionl, es deir, el onjunto de los números irrionles se define omo I = R Q Ls operiones sum + y produto no son errds en I, por ejemplo, 2 y n 2 son números irrionles, pero 2 + ( 2) = 0 no es irrionl y 2( 2) = 2 no es irrionl Ejeriio 27: Probr que x I, q Q x + q I x I, 0 q Q xq I En prtiulr x I x I, x 1 I Además I es denso en R, es deir: Si x e y son reles y x < y entones existe z I tl que x < z < y 15