1. Integral sobre regiones elementales.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. Integral sobre regiones elementales."

Transcripción

1 NTEGRAL MÚLTPLE Así omo l integrl simple resuelve el problem del álulo de áres de regiones plns, l integrl doble es l herrmient nturl pr el álulo de volúmenes en el espio tridimensionl. En ests nots se introdue el onepto de integrl múltiple, el ul inluye los sos nteriores en un ontexto generl. De este modo, ls pliiones no se limitn l álulo de áres y volúmenes sino que se extienden otros problems físios y geométrios. 1. ntegrl sobre regiones elementles Definiiones previs. Todo onjunto de l form = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] R n reibe el nombre de intervlo n-dimensionl o n-intervlo. Un prtiión de se define l dividir d intervlo [ i, b i ] medinte los puntos {x i 0,..., x i m i } y formr ls elds n-dimensionles J k = [x 1 j 1, x 1 j 1 +1] [x n j n, x n j n+1], 0 j i m i 1 (i = 1,..., n). De este modo, un prtiión de un n-intervlo es un onjunto P = {J 1,..., J N }, formdo por elds n-dimensionles, tl que int J i int J k = (i k), y J 1 J N =. Dd un funión f : R otd, si definimos l medid n-dimensionl de un eld omo el produto de ls longitudes de sus rists, llmremos sum inferior de f on respeto l prtiión P L(f, P ) = J k P ínf{f(x) : x J k } m(j k ). Análogmente, l sum superior de f respeto P es U(f, P ) = J k P sup{f(x) : x J k } m(j k ) Propieddes. i) L(f, P ) U(f, P ), pr tod prtiión P de. ii) Si P es un refinmiento de P (es deir, d eld de P está ontenid en lgun eld de P ), entones L(f, P ) L(f, P ) y U(f, P ) U(f, P ). iii) Si P y P son dos prtiiones rbitrris de, L(f, P ) U(f, P ). iv) sup{l(f, P ) : P prtiión de } ínf{u(f, P ) : P prtiión de }. 1

2 1.3. Definiión. Se define l integrl superior de f sobre f = ínf{u(f, P ) : P prtiión de }. Del mismo modo, se define l integrl inferior de f sobre f = sup{l(f, P ) : P prtiión de }. Diremos que l funión f es integrble sobre undo f = f y diho vlor omún se llm integrl de f sobre, que denotremos por f. En el so prtiulr n = 2 utilizremos freuentemente l notión f(x, y) dxdy y, si n = 3, utilizremos l notión nálog f(x, y, z) dxdydz Teorem. Se f : R n R otd. Son equivlentes: i) f es integrble en. ii) (Condiión de Riemnn.) Pr todo ε > 0, existe P ε prtiión de tl que U(f, P ε ) L(f, P ε ) < ε. iii) (Condiión de Drboux.) Existe un onstnte L on l siguiente propiedd: ε > 0, δ > 0 : f(x i )m(j i ) L < ε, donde P = {J 1,..., J N } es un prtiión de uys rists tienen longitud menor que δ y x i J i (i = 1,..., N). Demostrión. Supongmos en primer lugr que f es integrble y vemos que se umple l ondiión de Riemnn. Llmemos L = f. Por definiión de ínfimo, ddo ε > 0, existe un prtiión P ε tl que U(f, P ε) < L + ε/2. Análogmente, existe un prtiión P ε tl que L(f, P ε ) > L ε/2. Si llmmos P ε = P ε P ε, entones L ε/2 < L(f, P ε ) < L(f, P ε ) U(f, P ε ) < U(f, P ε) < L + ε/2. Por tnto, U(f, P ε ) L(f, P ε ) < ε. 2

3 Supongmos hor que se umple l ondiión de Riemnn y vemos que f es integrble en. Como L(f, P ) f f U(f, P ), entones f f < ε, ε > 0, on lo ul f = f. Probemos hor l equivleni entre i) y iii). Supongmos en primer lugr que se umple l ondiión de Drboux. Así pues, ddo ε > 0, elegimos δ > 0 tl que f(x i )m(j i ) L < ε/2. Elegimos tmbién x i J i de modo que f(x i ) sup{f(x) : x J i } < ε m(j i ) 2N. Entones U(f, P ) L < N U(f, P ) f(x i )m(j i ) + f(x i )m(j i ) L ε m(j i ) m(j i ) 2N + ε 2 = ε. Análogmente se prueb pr ls sums inferiores. Pr probr el reíproo, neesitmos el siguiente resultdo. Lem. Dd un prtiión P de y ulquier ε > 0, existe δ > 0 tl que pr d prtiión P en elds de rists on longitud menor que δ, l sum de ls medids de ls elds de P que no están totlmente ontenids en lgun eld de P es menor que ε. Demostrión. Pr demostrrlo, seprremos dos sos: n = 1: Si P = {x 0, x 1,..., x N }, bst elegir δ = ε/n porque los intervlos de P que no estén ontenidos en lgún intervlo [x k 1, x k ] deben inluir lgún x k, k = 1,..., N 1; por tnto, l sum de sus longitudes es menor que N δ (número de intervlos multiplido por l longitud de d uno). n > 1: Si P = {J 1,..., J N }, llmmos T l longitud totl de ls rists situds entre dos elds ulesquier de P y elegimos δ = ε/t. Se J P un eld no ontenid en ningún J k. Esto indi que ort dos elds dyentes de P. Por tnto, su n-medid es menor o igul que δ A, donde A es l medid de ls rs omunes dihs elds. Entones J P,J J k m(j ) δ T = ε. Terminemos hor l demostrión del teorem suponiendo que f es integrble en. Por ser f otd, existe M tl que f(x) M, x. 3

4 Por ser f integrble, existen dos prtiiones P 1, P 2 tles que: L L(f, P 1 ) < ε/2 U(f, P 2 ) L < ε/2 (donde L es l integrl y ε > 0 rbitrrio). Si P es un refinmiento de P 1 y P 2, entones U(f, P ) ε/2 < L < L(f, P ) + ε/2. Por el lem nterior, existe δ > 0 tl que si P es un prtiión de uys rists tienen longitud menor que δ, entones J P,J J k,j k P m(j ) < ε 2M. Se P = {S 1,..., S N } un prtiión de rists on longitud menor que δ donde d S 1,..., S k está ontenido en lgun eld de P y S k+1,..., S N no lo están. Si x j S j, entones: f(x j )m(s j ) = f(x j )m(s j ) = k f(x j )m(s j ) + k f(x j )m(s j ) j=k+1 j=k+1 f(x j )m(s j ) U(f, P ) + M f(x j )m(s j ) L(f, P ) M ε 2M < L + ε. ε 2M > L ε. Por tnto, f(x j )m(s j ) L < ε, lo que orresponde l ondiión de Drboux. Ejemplos. Estudir l integrbilidd y lulr l integrl (en so de existir) de ls siguientes funiones en ls regiones indids: ) f(x, y) = [x] + [y], (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1]. b) f(x, y) = [x + y], (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1]. ) f(x, y) = sen(x + y), (x, y) [0, π/2] [0, π/2]. d) f(x, y) = x 3 + 3x 2 y + y 3, (x, y) [0, 1] [0, 1]. e) f(x, y) = y x 2, (x, y) [ 1, 1] [0, 2]. 4

5 2. Extensión del onepto de integrl regiones otds. Se A R n un onjunto otdo tl que A, donde es un n-intervlo, y f : A R un funión otd. Deimos que f es integrble en A undo { f(x) si x A g(x) = 0 si x \ A es integrble en. Esto sugiere que el tipo de regiones pr ls que un funión es integrble no puede tener fronter muy omplid. Por tnto, neesitmos ls siguientes definiiones Definiión. Un onjunto otdo A R n tiene ontenido (según Jordn) si l funión onstnte f(x) = 1 es integrble en A. En este so, el ontenido de A se define omo (A) = A 1. Por definiión de integrl, un onjunto A tiene ontenido ero si y sólo si ε > 0, {J 1,..., J N } n-intervlos que ubren A : m(j i ) < ε. Diremos entones que un onjunto otdo A R n es un dominio de Jordn si su fronter tiene ontenido ero. Ejemplo. L gráfi de un funión y = f(x) ontinu en [, b] tiene ontenido ero en R 2. En efeto, ddo ε > 0, omo f es uniformemente ontinu en [, b], existe δ > 0 tl que f(x) f(y) < ε si x y < δ. Se {x 0, x 1,..., x N } un prtiión de [, b] on x j = + jh (j = 0, 1,..., N), donde h = (b )/N y elegimos N sufiientemente grnde pr que h < δ. Si llmmos R j = {(x, y) : x j 1 x x j, y f(x j ) < ε}, entones (x, f(x)) R j undo x j 1 x x j, es deir l gráfi de f está ontenid en N R j. Como el áre de R j es igul 2ε(x j x j 1 ), entones l sum de ls áres de todos los retángulos es igul 2ε(b ). De form similr se puede probr que l gráfi de ulquier funión ontinu z = f(x, y) sobre un retángulo [, b] [, d] tiene ontenido ero en R 3. 5

6 2.2. Definiión. Un onjunto A R n, no neesrimente otdo, tiene medid nul (según Lebesgue) undo ε > 0, {J m } m N n-intervlos que ubren A : m N m(j m ) < ε. Ejemplo. Pr[ ver que R tiene medid ero en R 2, pr d ε > 0, bst elegir ε J n = [ n, n] 2n 2, ε ]. De este modo, m(j n+1 2n 2 n+1 n ) = ε/2 n y n N ε/2n = ε Propieddes. Si A tiene ontenido nulo, entones tiene medid nul. Si A tiene medid nul y B A, entones B tiene medid nul. Si {A m } m N tienen medid nul en R n, entones m N A m tiene medid nul en R n. [Por ejemplo, l suesión {x m } m N, on x m R n, tiene medid nul.] En efeto, existe pr d i N un reubrimiento {B i1, B i2,... } de A i tl que j N (B ij) < ε/2 i. Entones {B 11, B 12,..., B m1, B m2,... } reubre m N A m y (B ij ) < ε. i N j N Todo subonjunto de R m tiene n-medid ero si m < n Proposiión. Si A R n es otdo, f : A R es otd e integrble, f(x) = 0 x A \ F, donde F es un onjunto de ontenido ero, entones A f = 0. Demostrión. Como f es otd, existe M > 0 tl que f(x) M, x A. Por otr prte, omo F tiene ontenido ero, ddo ε > 0, F N R j, on N m(r j) < ε/m. Llmmos R un n-retángulo que ontiene A y extendemos f R de l mner usul. Se P un prtiión de R tl que R j P, j. Entones, on lo que A f = 0. ε L(f, P ) U(f, P ) ε, 6

7 2.5. Teorem de Lebesgue. Se A R n un onjunto otdo y f : A R otd. Si A, donde es un n-intervlo, entones f es integrble en A si y sólo si el onjunto de disontinuiddes de f en tiene medid nul. Demostrión. Definimos l osilión de un funión f en un punto x 0 omo ω(f, x 0 ) = lím h 0 + sup{ f(x) f(y) : x, y B(x 0, h) }. Antes de proeder l demostrión vemos un pr de resultdos previos. Lem 1. ω(f, x 0 ) = 0 f es ontinu en x 0. Pr probrlo, bst observr que f es ontinu en x 0 si y sólo si ε > 0 existe B(x 0, h) tl que sup{ f(x) f(x 0 ) : x B(x 0, h)} < ε lo ul equivle su vez que ω(f, x 0 ) = 0. Lem 2. El onjunto D r = {x : ω(f, x) 1/r} es ompto. En primer lugr, D r es otdo por estr ontenido en el n-intervlo. Pr ver que es errdo, se y un punto de umulión de D r y supongmos que y D r. Así pues, ω(f, y) < 1/r y, por definiión de osilión, existe un bol B(y, h) tl que sup{ f(u) f(v) : u, v B(y, h) } < 1/r. Por tnto, B(y, h) D r =, lo que ontrdie el heho de ser punto de umulión. Vymos hor on l demostrión del teorem. Supongmos en primer lugr que el onjunto D de disontinuiddes de f en tiene medid ero. Como D = r N D r, tmbién d D r tiene medid ero. Al ser ompto, sólo un número finito de n- intervlos reubren D r. Tenemos sí que N D r J i, m(j i ) < 1/r. Consideremos hor un prtiión de sufiientemente fin pr que esté formd por C 1 C 2, donde C 1 esté formdo por ls n-elds ontenids en lgún J i y C 2 por ls n-elds disjunts on D r. De este modo, si J C 2, ω(f, x) < 1/r, x J. Por tnto, existe h > 0 tl que M h (f) m h (f) < 1/r, donde M h (f) = sup{f(y) : y B(x, h)} y m h (f) = ínf{f(y) : y B(x, h)}. Como J es ompto, un oleión finit de {B(x, h) : x J}, digmos {U 1,..., U m }, reubre J. 7

8 Dividimos J en elds de modo que d un de ells esté en lguno de {U 1,..., U m }. L prtiión resultnte verifi ( ) U(f, P ) L(f, P ) (M J (f) m J (f)) m(j) J C 1 + J C 2 J C 1 2K m(j) + m()/r < 2K/r + m()/r < ε (donde hemos supuesto que f(x) K, x ). Probemos hor el reíproo, pr lo ul supongmos que f es integrble. Esribimos nuevmente D = r N D r, on D r = {x : ω(f, x) 1/r}. Por hipótesis, existe un prtiión P de tl que U(f, P ) L(f, P ) = J P(M J (f) m J (f)) m(j) < ε. Hemos D r = J 1 J 2, on J 1 = {x D r : x fr J, pr lgún J P } y J 2 = {x D r : x int J, pr lgún J P }. Es lro que J 1 tiene medid nul. Se C el onjunto de ls elds de P que tienen un elemento de D r en su interior. Si J C, entones M J (f) m J (f) 1/r y 1 r J C m(j) J C(M J (f) m J (f)) m(j) J P (M J (f) m J (f)) m(j) < ε Conseuenis del teorem de Lebesgue. Un onjunto otdo A tiene ontenido (según Jordn), es deir l funión onstnte 1 es integrble si y sólo si l fronter de A tiene medid nul. Se A R n un onjunto otdo que tiene ontenido y f : A R un funión otd on un ntidd finit o numerble de puntos de disontinuidd. Entones f es integrble. Teorem. ) Si A R n es otdo y tiene medid nul y f : A R es integrble, entones f = 0. A b) Si f : A R es integrble, f(x) 0, x y f = 0, entones el onjunto {x A : A f(x) 0} tiene medid nul. Demostrión. ) Supongmos que A es un onjunto de medid nul y se S un n- intervlo que ontiene A. Extendemos f S hiendo f(x) = 0, si x S \ A. Sen P = {S 1, S 2,..., S N } un prtiión de S y M un onstnte tles que f(x) M, x A. Entones L(f, P ) = m i (f) m(s i ) M 8 m i (χ A ) m(s i ).

9 Si m i (χ A ) 0 pr lgún i, entones S i A lo que es bsurdo pues m(a) = 0 pero m(s i ) 0. En definitiv, L(f, P ) 0. Análogmente, U(f, P ) = M i (f) m(s i ) = m i ( f) m(s i ) = L( f, P ) 0. Como f es integrble y L(f, P ) 0 U(f, P ), entones f = 0. A b) Se A r = {x A : f(x) > 1/r} y vemos que tiene ontenido nulo. Se S un retángulo que ontiene A y P un prtiión de S tl que U(f, P ) < ε/r (f se extiende S de l form usul). Si {S 1,..., S k } P tienen interseión no nul on A r, k k m(s i ) r M i (f) m(s i ) r U(f, P ) < ε lo que indi que A r tiene ontenido nulo. Como A = r N A r, A tiene medid nul. Ejemplos. 1) f(x) = sen(1/x) { es integrble en [ 1, 1]. x 2 + sen(1/y) si y 0 2) f(x, y) = es integrble en B(0, 1). x 2 si y = 0 3. Propieddes de l integrl. Sen A, B R n otdos, f, g : A R integrbles, k R. i) f + g es integrble y A (f + g) = A f + A g. ii) kf es integrble y A (kf) = k A f. iii) f es integrble y A f A f. iv) Si f g, entones A f A g. v) Si A tiene ontenido y f M, entones A f M (A). vi) Si f es ontinu, A tiene ontenido y es ompto y onexo, entones existe x 0 A tl que A f = f(x 0) (A). vii) Se f : A B R. Si A B tiene medid nul y f A B, f A, f B son integrbles, entones f es integrble en A B y A B f = A f + B f. 9

10 3.1. Teorem del vlor medio. Se K R n un dominio de Jordn ompto y onexo y se f : K R un funión ontinu. Si g : K R es otd, g(x) 0, x K y es ontinu exepto en un onjunto de ontenido ero, entones existe z K tl que f g = f(z) g. K K Demostrión. Sen u, v K tles que f(u) f(x) f(v), x K. Como g es no negtiv, f(u) g(x) f(x) g(x) f(v) g(x), x K, de donde f(u) g f g f(v) g. K K K Si g = 0, entones f g = 0 y el teorem es ierto pr ulquier z K. K K Si g > 0, entones K K f(u) f g K g f(v). Por el teorem del vlor intermedio pr funiones ontinus, existe z K tl que K f(z) = f g K g. 4. ntegrles impropis. Se f : A R n R otd y no negtiv, on A no otdo. Extendemos f todo R n de l mner usul. Deimos que f es integrble en A undo f es integrble en todo n-intervlo [, ] n y existe lím f. [,] n Not. Al ser f no negtiv, podemos expndir l región de integrión simétrimente. Por ejemplo, l funión f(x) = x mbi de signo y result que xdx = 0 on lo que f = 0 pero 0 f y f no existen Teorem. Si f 0, está otd y es integrble en d [, ] n, entones f es integrble si y sólo si dd ulquier suesión {B k } k N de onjuntos otdos on ontenido tles que B k B k+1 y existe k tl que C B k, pr todo n-ubo C, entones existe lím k B k f. 10

11 4.2. Definiión. ) Se f 0 no otd definid en A R n no otdo. Pr d M > 0, se define { f(x) si f(x) M f M (x) = 0 si f(x) > M. Si existe lím M A f M, deimos que f es integrble en A. b) Si f : A R es rbitrri, sen { { f + f(x) si f(x) 0 (x) = 0 si f(x) < 0, f f(x) si f(x) 0 (x) = 0 si f(x) > 0. Así, f = f + f y f es integrble en A si lo son f + y f y definimos f = f + A f. A A Como f = f + + f, si f es integrble, tmbién lo es f y f = f + + f A A A f A. Reípromente, si f es integrble y f es integrble en d ubo, entones f es integrble. 5. Teorem de Fubini. Un herrmient fundmentl pr bordr el problem del álulo de integrles múltiples se obtiene prtir del teorem de Fubini. Veremos que, en situiones fvorbles, el álulo de un integrl n-dimensionl se redue l álulo de n integrles simples, llmds integrles iterds. A lo lrgo de est seión, representremos todo punto de R n omo un pr (x, y), donde x R k, y R n k. Análogmente, todo n-intervlo lo esribiremos omo = 1 2, on 1 R k, 2 R n k Teorem. Sen R n un n-intervlo y f : R un funión otd e integrble en. ) Supongmos que, pr d x 1, l funión f x (y) = f(x, y) es integrble en 2. Si llmmos g(x) = 2 f x (y)dy, entones g es integrble en 1 y [ ] f = g(x)dx = f(x, y)dy dx. 1 2 b) Si, pr d y 2, l funión f y (x) = f(x, y) es integrble en 1, entones g(y) = 1 f y (x)dx es integrble en 2 y [ ] f = g(y)dy = f(x, y)dx dy

12 Demostrión. Por simpliidd en l notión, hremos l demostrión del prtdo ) pr el so n = 2 (el prtdo b) es ompletmente nálogo). Si llmmos = [, b] [, d], omo f es otd en, entones g es otd en [, b]. Además, g(x) d f(x, y) dy (d ) sup f(x, y). (x,y) Por ser f integrble, ddo ε > 0, existe un prtiión P = {R ij, 1 i m, 1 j n} de, on R ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Si llmmos M ij = N i = entones, fijdo x [x i 1, x i ]: m ij (y j y j 1 ) Sumndo pr todos los vlores de j, Por tnto, sup f(x, y), m ij = ínf f(x, y), (x,y) R ij (x,y) R ij sup g(x), n i = ínf g(x), x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] yj n m ij (y j y j 1 ) g(x) n m ij (y j y j 1 ) n i N i y j 1 f(x, y)dy M ij (y j y j 1 ). n M ij (y j y j 1 ). n M ij (y j y j 1 ). Multiplimos miembro miembro por (x i x i 1 ) y summos sobre i: m n m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) Esto quiere deir que m n i (x i x i 1 ) m m M i (x i x i 1 ) n M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ). L(f, P ) L(g, P x ) U(g, P x ) U(f, P ). Deduimos sí que U(g, P x ) L(g, P x ) < ε, es deir g es integrble en [, b]. Además, b f = sup L(f, P ) g(x)dx ínf U(f, P ) = f, lo que demuestr el teorem. 12

13 Corolrio 1. Si f : R es ontinu, entones ( ) f = f(x, y)dy dx = ( ) f(x, y)dx dy. 1 Corolrio 2. Sen f 1, f 2 : [, b] R ontinus, on f 1 (x) f 2 (x), x [, b], D = {(x, y) R 2 : x b, f 1 (x) y f 2 (x)} y f : D R ontinu. Entones ( b ) f2 (x) f = f(x, y)dy dx. D f 1 (x) Demostrión. Extendemos f = [, b] [, d], donde f 1 (x) f 2 (x) d, definiendo f(x, y) = 0 si (x, y) \ D. De este modo, el onjunto de disontinuiddes de f está formdo por los puntos (x, f 1 (x)) y (x, f 2 (x)) (x [, b]), que tiene medid nul. Lo mismo ourre on ls funiones f x y f y, por lo que tods son integrbles. Bst por tnto plir el teorem de Fubini pr obtener el resultdo. Observiones. (1) Un resultdo nálogo se obtiene pr regiones de l form D = {(x, y) R 2 : g 1 (y) x g 2 (y), y d}, on g 1, g 2 : [, d] R ontinus, tles que g 1 (y) g 2 (y), y [, d]. En este so, l integrl se lul omo ( d ) g2 (y) f = f(x, y) dx dy. D g 1 (y) En lgunos sos, l región de integrión se puede esribir de dos forms diferentes, por ejemplo: D = {(x, y) R 2 : x b, f 1 (x) y f 2 (x)} = {(x, y) R 2 : g 1 (y) x g 2 (y), y d}. Entones se puede lulr l integrl doble de un funión ontinu en D de dos forms diferentes. En l práti h de elegirse l que simplifique los álulos. (2) Si f : [, b] [, d] R es disontinu en un segmento {(x, y) : x b, y = y 0 }, entones b f y 0 (x)dx no existe; sin embrgo, existe l integrl doble b d f(x, y)dxdy. Esto sugiere que se extiend el teorem de Fubini pr tener en uent ls integrles superior e inferior Teorem. Se f otd en = [, b] [, d]. Entones 13

14 i) ii) iii) iv) f f f f b b ( d ) f x (y)dy dx ( ) d f x (y)dy dx d d ( b ) f y (x)dx dy ( ) b f y (x)dx dy b b ( d ) f x (y)dy dx ( d ) f x (y)dy dx d d ( b ) f y (x)dx dy ( b ) f y (x)dx dy v) Si existe f, entones ls desigulddes nteriores son igulddes. Ejemplos. (1) Se f : [0, 1] [0, 1] R definid por f(x, y) = ) Existe t f(x, y)dy pr todo t [0, 1] y 0 ( t f(x, y)dy ) dx = t 2, 1 0 Deduir que existe 1 b) Existe 1 0 ( 1 0 ( t 0 f(x, y)dy ) dx = t. ( 1 0 f(x, y)dy ) dx. 0 f(x, y)dx ) dy. f. f. f. f. { 1 si x Q 2y si x Q. Probr: ) L funión f no es integrble en el udrdo [0, 1] [0, 1]. (2) Se A = {(i/p, j/p) R 2 : p es primo, 1 i, j p 1}. Es fáil probr que d ret horizontl o vertil ort A omo máximo en un número finito de puntos. Sin embrgo, A no tiene ontenido ero porque es denso en Q = [0, 1] [0, 1]. De heho A es un onjunto sin ontenido (su fronter no tiene ontenido ero). { 1 si (x, y) A Si definimos f : Q R por f(x, y) = entones f no es integrble en Q (l integrl inferior vle ero y l integrl superior vle 1). Sin em- 0 si x Q \ A, brgo, existen ( 1 ) 1 f(x, y)dy dx = ( 1 ) 1 f(x, y)dx dy, pues f x y f y tienen un número finito de disontinuiddes. (3) Se f : Q = [0, 1] [0, 1] R l funión definid por { 0 si x ó y son irrionles f(x, y) = 1/n si y es rionl, x = m/n on m y n primos entre sí y n > 0. Entones f = ( 1 ) 1 f(x, y)dx dy = 0 pero 1 f(x, y)dy no existe si x es Q rionl. 14

TEMA 4: Integración múltiple

TEMA 4: Integración múltiple TEMA 4: ntegrión múltiple Cálulo ngeniero de Teleomuniión Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 1 / 32 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre

Más detalles

5 Integral doble de Riemann

5 Integral doble de Riemann Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM 1 5 Integrl doble de iemnn 5.1 Definiión Llmremos retángulo errdo de 2 l produto de dos intervlos errdos y otdos de, es deir = [, b] [, d] = { (x, y) 2 : x b,

Más detalles

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales Clse : Integrión de funiones de vris vribles on vlores reles C.J. Vnegs de junio de 8 eordemos.. L integrl f. fx)dx, pr f represent el áre bjo l gráfi de Similrmente si tenemos un funión de dos vribles:

Más detalles

1.1 Integral doble de una función acotada en un rectángulo.

1.1 Integral doble de una función acotada en un rectángulo. Tem Integrl doble Tods ls definiiones y resultdos que preen en este Tem son un so prtiulr de ls definiiones y resultdos más generles del Tem siguiente. in embrgo, el so de l integrl doble permite un mejor

Más detalles

1. INTEGRALES MÚLTIPLES

1. INTEGRALES MÚLTIPLES 1. INTGALS MÚLTIPLS 1.1. INTGAL OBL SOB UN CTÁNGULO Se f : 2 un funión otd de dos vribles, denid sobre el retángulo = [, b] [, d] = {(x, y) 2 : x b, y d} A ontinuión se onsider un prtiión de en subretángulos.

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Víctor Manuel Sánchez de los Reyes. Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

CÁLCULO INTEGRAL. Víctor Manuel Sánchez de los Reyes. Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid CÁLCULO INTEGRL Vítor Mnuel Sánhez de los Reyes Deprtmento de nálisis Mtemátio Universidd Complutense de Mdrid Índie 1. Integrión 5 1.1. Funiones integrbles.............................. 5 1.2. El teorem

Más detalles

f(t)dt para todo x [a, b].

f(t)dt para todo x [a, b]. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. L integrl lnz todo su poder undo se li on l derivd. Esto ourre en el Teorem Fundmentl del Cálulo. Funiones definids trvés de l integrl. Dd

Más detalles

El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b

El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b Cpítulo 5 El teorem de Fubini Hst hor hemos rterizdo ls funiones que son integrbles y hemos estudido ls propieddes básis de l integrl, pero en relidd no sbemos ómo lulr ls integrles inluso de ls funiones

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE Mrí Susn Montelr Fultd de Cienis Exts, Ingenierí y Agrimensur - UNR EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL < b f(x) dx = g(x) dx b = b f(x) dx = 0 PROPIEDADES

Más detalles

Integrales Dobles e Integrales Triples

Integrales Dobles e Integrales Triples Tem 6 Integrles Dobles e Integrles Triples 6.1 Introduión Comenzremos este tem on un repso de l Integrión de funiones de un vrible rel, pr introduir posteriormente ls integrles dobles y triples. 6.2 epso

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. (Integral impropia de 1ª especie).

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. (Integral impropia de 1ª especie). Integrles Impropis INTEGRALES IMPROPIAS L integrl f ()d se die impropi si ourre l menos un de ls hipótesis siguientes: º, o mos son infinitos. 2º L funión f() no está otd en el intervlo [,]. Ejemplos:

Más detalles

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1 ntegrles oles NTEGRALES OBLES e l mism mner que el onepto e integrl efini pr funiones e un vrile sirve pr resolver e un moo generl, el prolem e l eterminión e áres e figurs plns, el onepto e integrl ole

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES IMPROPIAS INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C... 8 4.- Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0 DEFINICION DE INTEGRALES

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Integración compleja

Integración compleja ntegrión omplej Aunque l interpretión ms omún de l integrl (definid) de un funión rel f es omo el áre bjo l urv y f(x) l definiión de l integrl es independiente de est interpretión, y l integrl puede usrse

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

Tema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann.

Tema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann. Tem 9 L Integrl de Riemnn. 9.1. Construcción de l integrl de Riemnn. Definición 9.1.1. Se I = [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = {x 0, x 1,,

Más detalles

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias. Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Tema 4.1: Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva

Tema 4.1: Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva Tem 4.1: Integrl urvilíne. Crterizión de l existeni de primitiv Fultd de Cienis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo En este tem se front el problem que en Vrible Rel se onoe omo Teorem Fundmentl del

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

1.-Algunas desigualdades básicas.

1.-Algunas desigualdades básicas. Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso 05-6. Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd

Más detalles

Notas de Análisis I. Gabriel Larotonda. Parte 7: Integrales múltiples

Notas de Análisis I. Gabriel Larotonda. Parte 7: Integrales múltiples Nots de Análisis I Gbriel Lrotond 1. Integrles en el plno Prte 7: Integrles múltiples Comenemos por definir integrles pr funiones on dominio en lgún subonjunto 2. Nos vmos enontrr on difiultdes propis

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Integrales Impropias. ,b) , c) Cuando no existe límite se dice que no existe valor de la integral o ésta es. 0 senxdx

Integrales Impropias. ,b) , c) Cuando no existe límite se dice que no existe valor de la integral o ésta es. 0 senxdx Integrles Imrois. INTEGRALES IMPROPIAS L integrl f ()d se die imroi si ourre l menos un de ls hiótesis siguientes: º, o mos son infinitos. º L funión f() no está otd en el intervlo [,]. Ejemlos: d ; d

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE-

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Resumen teorí Prof Alón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- 1 Números enteros Un número rel se die entero si es ero o es un número nturl o es el opuesto de un número nturl Si indimos on N l subonjunto

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

2. Integrales iteradas dobles.

2. Integrales iteradas dobles. 2 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. 2. Integrles iterds dobles. 2.. Integrles iterds en dominios simples respeto de x. Se omo en l subseión.2, el retángulo

Más detalles

5.1. Integral sobre regiones elementales.

5.1. Integral sobre regiones elementales. Cpítulo 5 INTEGRAL MÚLTIPLE SECCIONES. Integrles dobles sobre rectángulos.. Integrles dobles sobre regiones generles. 3. Cmbio de vribles en l integrl doble. 4. Integrles triples. 5. Ejercicios propuestos.

Más detalles

Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral.

Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral. TEMA Ojetivos. álulo de rimitivs. L integrl deinid. Funiones integrles. Integrles imrois. Aliiones geométris de l integrl. Plnter y lulr integrles de uniones de un vrile y lirls l resoluión de rolems reltivos

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b):

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b): TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Integrl efini omo límite e sums superiores o inferiores. 6. Propiees e l integrl efini. 6. Regl e Brrow. 6.4 Apliiones e l integrl efini (Áre). 6.1 Integrl efini. Se f un

Más detalles

C alculo Octubre 2010

C alculo Octubre 2010 Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

Aproximación por rectángulos del área de f(x) = x 3 en [0, 2]

Aproximación por rectángulos del área de f(x) = x 3 en [0, 2] Cpítulo 5 Integrión 5.. Introduión Hst hor hemos borddo tems reliondos básimente on el Análisis y el Cálulo iferenil (espeilmente en espios de Bnh), y que en prinipio relionábmos on el so prtiulr en que

Más detalles

1. Definición de Semejanza. Escalas

1. Definición de Semejanza. Escalas Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

Funciones continuas. Mariano Suárez-Alvarez. 4 de junio, Índice

Funciones continuas. Mariano Suárez-Alvarez. 4 de junio, Índice Funciones continus Mrino Suárez-Alvrez 4 de junio, 2013 Índice 1. Funciones continus................... 1 2. Alguns propieddes básics............ 3 3. Los teorems de Weierstrss y Bolzno... 6 4. Funciones

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo El problem del áre Tem 5: Integrción. Integrl de Riemnn El objetivo finl del tem es hllr el áre de

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Creimiento y dereimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cundo un funión es derivle en un punto, podemos onoer si es reiente o dereiente

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior

Más detalles

La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral

La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral Febrero, 2005 Índice generl Se f : I IR. Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I. Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, / k IR

Más detalles

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.. Áre jo un urv El prolem que pretendemos resolver es el álulo del áre limitd por l gráfi de un funión f() ontinu y positiv, el eje X y ls siss = y =. Si l gráfi

Más detalles

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O. TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos

Más detalles

Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza

Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS

6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS 6 INTEGRL DEFINID - ÁRES INTRODUCCIÓN Histórimente, el álulo integrl surgió de l neesidd de resolver el prolem de l otenión de áres de igurs plns. Los griegos lo ordron, llegndo órmuls pr el áre de polígonos,

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1 GUI DETERMINNTES DETERMINNTES. Los determinntes fueron originlmente investigdos por el mtemátio jponés Sei Kow lrededor de 8, por seprdo, por el filósofo mtemátio lemán Gottfried Wilhelm Leiniz lrededor

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

El Teorema de Arzela-Ascoli Rodrigo Vargas

El Teorema de Arzela-Ascoli Rodrigo Vargas El Teorem de Arzel-Ascoli Rodrigo Vrgs Definición 1. Sen M, N espcios métricos y E un conjunto de plicciones f : M N. El conjunto E se dice equicontinuo en el punto M cundo, pr todo ε > eiste δ > tl que

Más detalles

a b c =(b a)(c a) (c b)

a b c =(b a)(c a) (c b) E N U N C I D O S ÁLGEBR + y + z P.- Ddo el sistem de euiones se pide: y + z ) Enontrr pr qué vlores de el sistem tiene soluión úni ) Resuelve el sistem pr P.- Despej l mtriz X en l siguiente euión y hll

Más detalles

Coordinación de Matemática II (MAT022)

Coordinación de Matemática II (MAT022) oordinión de Mtemáti II (MT22) Primer semestre de 23 Semn 8: Lunes 6 de Myo Viernes de Myo ÁLULO ontenidos lse : Integrles Impropis de primer espeie. L integrl p. riterios de onvergeni. lse 2: Integrles

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

Departamento: Física Aplicada III

Departamento: Física Aplicada III Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemáticas INTEGRALES IMPROPIAS

GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemáticas INTEGRALES IMPROPIAS GUÍA DE EJERCICIOS Áre Mtemátis INTEGRALES IMPROPIAS Resultdos de prendizje. Reonoer integrles de primer segund espeie. Aplir proedimientos, que onduzn l soluión de un integrl impropi de primer o segund

Más detalles

Seminario de problemas. Curso Soluciones Hoja 18

Seminario de problemas. Curso Soluciones Hoja 18 Seminrio de problems. Curso 015-16. Soluiones Hoj 18 10. Sen, b, y d utro números enteros. Demostrr que el produto de ls seis diferenis b,, d, b, d b, d es múltiplo de 1. Soluión Vemos que diho produto

Más detalles

α A TRIGONOMETRÍA PLANA

α A TRIGONOMETRÍA PLANA TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.

Más detalles

PROBABILIDAD II Cuarto Artículo: Integral de Riemann-Stieltjes

PROBABILIDAD II Cuarto Artículo: Integral de Riemann-Stieltjes PROBABILIDAD II Curto Artículo: Integrl de Riemnn-Stieltjes Resumen En est escrito estudiremos un modo especil de integrción, introducido por primer vez por el mtemático lemán Thoms Jonnes Stieltjes en

Más detalles

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS MATEMÁ TTCAS BÁSICAS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Ddos números reles l', b l, b, l Y ' l pr de euiones lx + b,y=l Y x + b y = se denomin un sistem linel de dos euiones en ls dos

Más detalles

3º Año. Vectores. Matemática

3º Año. Vectores. Matemática 3º Año Cód. 1302-18 P r o f. M ó n i N p o l i t n o P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z R e v i s i ó n P r o f. P t r i i G o d i n o Dpto. de 1- INTRODUCCIÓN En diverss oportuniddes nos hemos

Más detalles

3º Año. Vectores. Matemática

3º Año. Vectores. Matemática 3º Año Cód. 1302-17 P r o f. M ó n i N p o l i t n o P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z R e v i s i ó n P r o f. P t r i i G o d i n o Dpto. de M temáti 1- INTRODUCCIÓN En diverss oportuniddes nos

Más detalles

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA Mrí Susn Montelr Fcultd de Ciencis Excts, Ingenierí y Agrimensur - UNR El problem del áre Dd f : [, b] R, tl que f(x) 0 pr todo x [, b] b x Se f un función no negtiv

Más detalles

Cálculo integral y series de funciones

Cálculo integral y series de funciones UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Cálculo integrl y series de funciones Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Febrero 2005

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S Integrles LA INTEGRAL DEFINIDA Integrl definid: áre jo un urv L integrl definid permite lulr el áre del reinto limitdo, en su prte superior por l gráfi de un funión f (, ontinu y no negtiv, en su prte

Más detalles

Cálculo diferencial e integral 4

Cálculo diferencial e integral 4 Cálculo diferencil e integrl 4 Guí 2. emuestr el cso del teorem de Fubini que no se demostró en clse. Concretmente: se R = A B R n un rectángulo compcto con A y B rectángulos de dimensión menor. Supongmos

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Cuestionario Respuestas

Cuestionario Respuestas Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

Lecturas de Análisis Matemático II. Oswaldo Sevilla

Lecturas de Análisis Matemático II. Oswaldo Sevilla Lecturs de Análisis Mtemático II Oswldo Sevill Febrero-Myo 203 ditdo por Muricio Zely Aguilr en www.write L A TX.com Medid de Lebesgue Un medid es un función m : M M P() A M : ma 0. s deseble que M = P()

Más detalles

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0

Más detalles

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un

Más detalles

β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{}

β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{} Vmos lulr ls siguientes integrles de tryetori ) Se α(t) = (os(t), sin(t)) on t [, π ] y f(x, y) = x + y Sol. Tenemos que f(α(t)) = os(t) + sin(t) por otro ldo α (t) = ( sin(t), os(t) α (t) = ( os(t)) +

Más detalles

Programación: el método de bisección

Programación: el método de bisección Progrmión: el método de iseión Este texto fue esrito por Egor Mximenko y Mri de los Angeles Isidro Perez. Ojetivos. Enter l ide del método de iseión, progrmr el método de iseión usndo un ilo while, pror

Más detalles

CAPÍTULO. Aplicaciones

CAPÍTULO. Aplicaciones CAPÍTULO Aliiones. Longitud de urvs Entre los roblems que dieron origen l integrl, menionmos en el ítulo el de lulr l longitud de un urv, dd omo l gráfi de un funión f./ ontinu en un intervlo Œ; b. f./

Más detalles

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho. Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción

Más detalles

f : [a, b] R, acotada

f : [a, b] R, acotada 6. Integrción 6.1 Integrl definid Problem del áre. Ejemplos: 1 3 f(x 0, x [, b] f : [, b] R, cotd Figur 1 P n = { = x 0 < x 1

Más detalles

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto. º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems

Más detalles

TEMA 3. MATRICES Y DETERMINANTES

TEMA 3. MATRICES Y DETERMINANTES TEMA. MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Un mtriz es un tbl de números ordendos en fils y columns de l siguiente form: n A m mn que es un mtriz de m fils y n columns, donde el elemento ij es el número

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

APUNTE: TRIGONOMETRIA

APUNTE: TRIGONOMETRIA APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático

Más detalles

1 Integrales impropias

1 Integrales impropias Integrles impropis Eliseo Mrtínez Herrer 3 de mrzo del 4 Abstrct Se estudin ls integrles impropis sobre l bse del cálculo de integrles definids y el límite de funciones Integrles impropis b Un integrl

Más detalles