1. Integral sobre regiones elementales.

Transcripción

1 NTEGRAL MÚLTPLE Así omo l integrl simple resuelve el problem del álulo de áres de regiones plns, l integrl doble es l herrmient nturl pr el álulo de volúmenes en el espio tridimensionl. En ests nots se introdue el onepto de integrl múltiple, el ul inluye los sos nteriores en un ontexto generl. De este modo, ls pliiones no se limitn l álulo de áres y volúmenes sino que se extienden otros problems físios y geométrios. 1. ntegrl sobre regiones elementles Definiiones previs. Todo onjunto de l form = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] R n reibe el nombre de intervlo n-dimensionl o n-intervlo. Un prtiión de se define l dividir d intervlo [ i, b i ] medinte los puntos {x i 0,..., x i m i } y formr ls elds n-dimensionles J k = [x 1 j 1, x 1 j 1 +1] [x n j n, x n j n+1], 0 j i m i 1 (i = 1,..., n). De este modo, un prtiión de un n-intervlo es un onjunto P = {J 1,..., J N }, formdo por elds n-dimensionles, tl que int J i int J k = (i k), y J 1 J N =. Dd un funión f : R otd, si definimos l medid n-dimensionl de un eld omo el produto de ls longitudes de sus rists, llmremos sum inferior de f on respeto l prtiión P L(f, P ) = J k P ínf{f(x) : x J k } m(j k ). Análogmente, l sum superior de f respeto P es U(f, P ) = J k P sup{f(x) : x J k } m(j k ) Propieddes. i) L(f, P ) U(f, P ), pr tod prtiión P de. ii) Si P es un refinmiento de P (es deir, d eld de P está ontenid en lgun eld de P ), entones L(f, P ) L(f, P ) y U(f, P ) U(f, P ). iii) Si P y P son dos prtiiones rbitrris de, L(f, P ) U(f, P ). iv) sup{l(f, P ) : P prtiión de } ínf{u(f, P ) : P prtiión de }. 1

2 1.3. Definiión. Se define l integrl superior de f sobre f = ínf{u(f, P ) : P prtiión de }. Del mismo modo, se define l integrl inferior de f sobre f = sup{l(f, P ) : P prtiión de }. Diremos que l funión f es integrble sobre undo f = f y diho vlor omún se llm integrl de f sobre, que denotremos por f. En el so prtiulr n = 2 utilizremos freuentemente l notión f(x, y) dxdy y, si n = 3, utilizremos l notión nálog f(x, y, z) dxdydz Teorem. Se f : R n R otd. Son equivlentes: i) f es integrble en. ii) (Condiión de Riemnn.) Pr todo ε > 0, existe P ε prtiión de tl que U(f, P ε ) L(f, P ε ) < ε. iii) (Condiión de Drboux.) Existe un onstnte L on l siguiente propiedd: ε > 0, δ > 0 : f(x i )m(j i ) L < ε, donde P = {J 1,..., J N } es un prtiión de uys rists tienen longitud menor que δ y x i J i (i = 1,..., N). Demostrión. Supongmos en primer lugr que f es integrble y vemos que se umple l ondiión de Riemnn. Llmemos L = f. Por definiión de ínfimo, ddo ε > 0, existe un prtiión P ε tl que U(f, P ε) < L + ε/2. Análogmente, existe un prtiión P ε tl que L(f, P ε ) > L ε/2. Si llmmos P ε = P ε P ε, entones L ε/2 < L(f, P ε ) < L(f, P ε ) U(f, P ε ) < U(f, P ε) < L + ε/2. Por tnto, U(f, P ε ) L(f, P ε ) < ε. 2

3 Supongmos hor que se umple l ondiión de Riemnn y vemos que f es integrble en. Como L(f, P ) f f U(f, P ), entones f f < ε, ε > 0, on lo ul f = f. Probemos hor l equivleni entre i) y iii). Supongmos en primer lugr que se umple l ondiión de Drboux. Así pues, ddo ε > 0, elegimos δ > 0 tl que f(x i )m(j i ) L < ε/2. Elegimos tmbién x i J i de modo que f(x i ) sup{f(x) : x J i } < ε m(j i ) 2N. Entones U(f, P ) L < N U(f, P ) f(x i )m(j i ) + f(x i )m(j i ) L ε m(j i ) m(j i ) 2N + ε 2 = ε. Análogmente se prueb pr ls sums inferiores. Pr probr el reíproo, neesitmos el siguiente resultdo. Lem. Dd un prtiión P de y ulquier ε > 0, existe δ > 0 tl que pr d prtiión P en elds de rists on longitud menor que δ, l sum de ls medids de ls elds de P que no están totlmente ontenids en lgun eld de P es menor que ε. Demostrión. Pr demostrrlo, seprremos dos sos: n = 1: Si P = {x 0, x 1,..., x N }, bst elegir δ = ε/n porque los intervlos de P que no estén ontenidos en lgún intervlo [x k 1, x k ] deben inluir lgún x k, k = 1,..., N 1; por tnto, l sum de sus longitudes es menor que N δ (número de intervlos multiplido por l longitud de d uno). n > 1: Si P = {J 1,..., J N }, llmmos T l longitud totl de ls rists situds entre dos elds ulesquier de P y elegimos δ = ε/t. Se J P un eld no ontenid en ningún J k. Esto indi que ort dos elds dyentes de P. Por tnto, su n-medid es menor o igul que δ A, donde A es l medid de ls rs omunes dihs elds. Entones J P,J J k m(j ) δ T = ε. Terminemos hor l demostrión del teorem suponiendo que f es integrble en. Por ser f otd, existe M tl que f(x) M, x. 3

4 Por ser f integrble, existen dos prtiiones P 1, P 2 tles que: L L(f, P 1 ) < ε/2 U(f, P 2 ) L < ε/2 (donde L es l integrl y ε > 0 rbitrrio). Si P es un refinmiento de P 1 y P 2, entones U(f, P ) ε/2 < L < L(f, P ) + ε/2. Por el lem nterior, existe δ > 0 tl que si P es un prtiión de uys rists tienen longitud menor que δ, entones J P,J J k,j k P m(j ) < ε 2M. Se P = {S 1,..., S N } un prtiión de rists on longitud menor que δ donde d S 1,..., S k está ontenido en lgun eld de P y S k+1,..., S N no lo están. Si x j S j, entones: f(x j )m(s j ) = f(x j )m(s j ) = k f(x j )m(s j ) + k f(x j )m(s j ) j=k+1 j=k+1 f(x j )m(s j ) U(f, P ) + M f(x j )m(s j ) L(f, P ) M ε 2M < L + ε. ε 2M > L ε. Por tnto, f(x j )m(s j ) L < ε, lo que orresponde l ondiión de Drboux. Ejemplos. Estudir l integrbilidd y lulr l integrl (en so de existir) de ls siguientes funiones en ls regiones indids: ) f(x, y) = [x] + [y], (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1]. b) f(x, y) = [x + y], (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1]. ) f(x, y) = sen(x + y), (x, y) [0, π/2] [0, π/2]. d) f(x, y) = x 3 + 3x 2 y + y 3, (x, y) [0, 1] [0, 1]. e) f(x, y) = y x 2, (x, y) [ 1, 1] [0, 2]. 4

5 2. Extensión del onepto de integrl regiones otds. Se A R n un onjunto otdo tl que A, donde es un n-intervlo, y f : A R un funión otd. Deimos que f es integrble en A undo { f(x) si x A g(x) = 0 si x \ A es integrble en. Esto sugiere que el tipo de regiones pr ls que un funión es integrble no puede tener fronter muy omplid. Por tnto, neesitmos ls siguientes definiiones Definiión. Un onjunto otdo A R n tiene ontenido (según Jordn) si l funión onstnte f(x) = 1 es integrble en A. En este so, el ontenido de A se define omo (A) = A 1. Por definiión de integrl, un onjunto A tiene ontenido ero si y sólo si ε > 0, {J 1,..., J N } n-intervlos que ubren A : m(j i ) < ε. Diremos entones que un onjunto otdo A R n es un dominio de Jordn si su fronter tiene ontenido ero. Ejemplo. L gráfi de un funión y = f(x) ontinu en [, b] tiene ontenido ero en R 2. En efeto, ddo ε > 0, omo f es uniformemente ontinu en [, b], existe δ > 0 tl que f(x) f(y) < ε si x y < δ. Se {x 0, x 1,..., x N } un prtiión de [, b] on x j = + jh (j = 0, 1,..., N), donde h = (b )/N y elegimos N sufiientemente grnde pr que h < δ. Si llmmos R j = {(x, y) : x j 1 x x j, y f(x j ) < ε}, entones (x, f(x)) R j undo x j 1 x x j, es deir l gráfi de f está ontenid en N R j. Como el áre de R j es igul 2ε(x j x j 1 ), entones l sum de ls áres de todos los retángulos es igul 2ε(b ). De form similr se puede probr que l gráfi de ulquier funión ontinu z = f(x, y) sobre un retángulo [, b] [, d] tiene ontenido ero en R 3. 5

6 2.2. Definiión. Un onjunto A R n, no neesrimente otdo, tiene medid nul (según Lebesgue) undo ε > 0, {J m } m N n-intervlos que ubren A : m N m(j m ) < ε. Ejemplo. Pr[ ver que R tiene medid ero en R 2, pr d ε > 0, bst elegir ε J n = [ n, n] 2n 2, ε ]. De este modo, m(j n+1 2n 2 n+1 n ) = ε/2 n y n N ε/2n = ε Propieddes. Si A tiene ontenido nulo, entones tiene medid nul. Si A tiene medid nul y B A, entones B tiene medid nul. Si {A m } m N tienen medid nul en R n, entones m N A m tiene medid nul en R n. [Por ejemplo, l suesión {x m } m N, on x m R n, tiene medid nul.] En efeto, existe pr d i N un reubrimiento {B i1, B i2,... } de A i tl que j N (B ij) < ε/2 i. Entones {B 11, B 12,..., B m1, B m2,... } reubre m N A m y (B ij ) < ε. i N j N Todo subonjunto de R m tiene n-medid ero si m < n Proposiión. Si A R n es otdo, f : A R es otd e integrble, f(x) = 0 x A \ F, donde F es un onjunto de ontenido ero, entones A f = 0. Demostrión. Como f es otd, existe M > 0 tl que f(x) M, x A. Por otr prte, omo F tiene ontenido ero, ddo ε > 0, F N R j, on N m(r j) < ε/m. Llmmos R un n-retángulo que ontiene A y extendemos f R de l mner usul. Se P un prtiión de R tl que R j P, j. Entones, on lo que A f = 0. ε L(f, P ) U(f, P ) ε, 6

7 2.5. Teorem de Lebesgue. Se A R n un onjunto otdo y f : A R otd. Si A, donde es un n-intervlo, entones f es integrble en A si y sólo si el onjunto de disontinuiddes de f en tiene medid nul. Demostrión. Definimos l osilión de un funión f en un punto x 0 omo ω(f, x 0 ) = lím h 0 + sup{ f(x) f(y) : x, y B(x 0, h) }. Antes de proeder l demostrión vemos un pr de resultdos previos. Lem 1. ω(f, x 0 ) = 0 f es ontinu en x 0. Pr probrlo, bst observr que f es ontinu en x 0 si y sólo si ε > 0 existe B(x 0, h) tl que sup{ f(x) f(x 0 ) : x B(x 0, h)} < ε lo ul equivle su vez que ω(f, x 0 ) = 0. Lem 2. El onjunto D r = {x : ω(f, x) 1/r} es ompto. En primer lugr, D r es otdo por estr ontenido en el n-intervlo. Pr ver que es errdo, se y un punto de umulión de D r y supongmos que y D r. Así pues, ω(f, y) < 1/r y, por definiión de osilión, existe un bol B(y, h) tl que sup{ f(u) f(v) : u, v B(y, h) } < 1/r. Por tnto, B(y, h) D r =, lo que ontrdie el heho de ser punto de umulión. Vymos hor on l demostrión del teorem. Supongmos en primer lugr que el onjunto D de disontinuiddes de f en tiene medid ero. Como D = r N D r, tmbién d D r tiene medid ero. Al ser ompto, sólo un número finito de n- intervlos reubren D r. Tenemos sí que N D r J i, m(j i ) < 1/r. Consideremos hor un prtiión de sufiientemente fin pr que esté formd por C 1 C 2, donde C 1 esté formdo por ls n-elds ontenids en lgún J i y C 2 por ls n-elds disjunts on D r. De este modo, si J C 2, ω(f, x) < 1/r, x J. Por tnto, existe h > 0 tl que M h (f) m h (f) < 1/r, donde M h (f) = sup{f(y) : y B(x, h)} y m h (f) = ínf{f(y) : y B(x, h)}. Como J es ompto, un oleión finit de {B(x, h) : x J}, digmos {U 1,..., U m }, reubre J. 7

8 Dividimos J en elds de modo que d un de ells esté en lguno de {U 1,..., U m }. L prtiión resultnte verifi ( ) U(f, P ) L(f, P ) (M J (f) m J (f)) m(j) J C 1 + J C 2 J C 1 2K m(j) + m()/r < 2K/r + m()/r < ε (donde hemos supuesto que f(x) K, x ). Probemos hor el reíproo, pr lo ul supongmos que f es integrble. Esribimos nuevmente D = r N D r, on D r = {x : ω(f, x) 1/r}. Por hipótesis, existe un prtiión P de tl que U(f, P ) L(f, P ) = J P(M J (f) m J (f)) m(j) < ε. Hemos D r = J 1 J 2, on J 1 = {x D r : x fr J, pr lgún J P } y J 2 = {x D r : x int J, pr lgún J P }. Es lro que J 1 tiene medid nul. Se C el onjunto de ls elds de P que tienen un elemento de D r en su interior. Si J C, entones M J (f) m J (f) 1/r y 1 r J C m(j) J C(M J (f) m J (f)) m(j) J P (M J (f) m J (f)) m(j) < ε Conseuenis del teorem de Lebesgue. Un onjunto otdo A tiene ontenido (según Jordn), es deir l funión onstnte 1 es integrble si y sólo si l fronter de A tiene medid nul. Se A R n un onjunto otdo que tiene ontenido y f : A R un funión otd on un ntidd finit o numerble de puntos de disontinuidd. Entones f es integrble. Teorem. ) Si A R n es otdo y tiene medid nul y f : A R es integrble, entones f = 0. A b) Si f : A R es integrble, f(x) 0, x y f = 0, entones el onjunto {x A : A f(x) 0} tiene medid nul. Demostrión. ) Supongmos que A es un onjunto de medid nul y se S un n- intervlo que ontiene A. Extendemos f S hiendo f(x) = 0, si x S \ A. Sen P = {S 1, S 2,..., S N } un prtiión de S y M un onstnte tles que f(x) M, x A. Entones L(f, P ) = m i (f) m(s i ) M 8 m i (χ A ) m(s i ).

9 Si m i (χ A ) 0 pr lgún i, entones S i A lo que es bsurdo pues m(a) = 0 pero m(s i ) 0. En definitiv, L(f, P ) 0. Análogmente, U(f, P ) = M i (f) m(s i ) = m i ( f) m(s i ) = L( f, P ) 0. Como f es integrble y L(f, P ) 0 U(f, P ), entones f = 0. A b) Se A r = {x A : f(x) > 1/r} y vemos que tiene ontenido nulo. Se S un retángulo que ontiene A y P un prtiión de S tl que U(f, P ) < ε/r (f se extiende S de l form usul). Si {S 1,..., S k } P tienen interseión no nul on A r, k k m(s i ) r M i (f) m(s i ) r U(f, P ) < ε lo que indi que A r tiene ontenido nulo. Como A = r N A r, A tiene medid nul. Ejemplos. 1) f(x) = sen(1/x) { es integrble en [ 1, 1]. x 2 + sen(1/y) si y 0 2) f(x, y) = es integrble en B(0, 1). x 2 si y = 0 3. Propieddes de l integrl. Sen A, B R n otdos, f, g : A R integrbles, k R. i) f + g es integrble y A (f + g) = A f + A g. ii) kf es integrble y A (kf) = k A f. iii) f es integrble y A f A f. iv) Si f g, entones A f A g. v) Si A tiene ontenido y f M, entones A f M (A). vi) Si f es ontinu, A tiene ontenido y es ompto y onexo, entones existe x 0 A tl que A f = f(x 0) (A). vii) Se f : A B R. Si A B tiene medid nul y f A B, f A, f B son integrbles, entones f es integrble en A B y A B f = A f + B f. 9

10 3.1. Teorem del vlor medio. Se K R n un dominio de Jordn ompto y onexo y se f : K R un funión ontinu. Si g : K R es otd, g(x) 0, x K y es ontinu exepto en un onjunto de ontenido ero, entones existe z K tl que f g = f(z) g. K K Demostrión. Sen u, v K tles que f(u) f(x) f(v), x K. Como g es no negtiv, f(u) g(x) f(x) g(x) f(v) g(x), x K, de donde f(u) g f g f(v) g. K K K Si g = 0, entones f g = 0 y el teorem es ierto pr ulquier z K. K K Si g > 0, entones K K f(u) f g K g f(v). Por el teorem del vlor intermedio pr funiones ontinus, existe z K tl que K f(z) = f g K g. 4. ntegrles impropis. Se f : A R n R otd y no negtiv, on A no otdo. Extendemos f todo R n de l mner usul. Deimos que f es integrble en A undo f es integrble en todo n-intervlo [, ] n y existe lím f. [,] n Not. Al ser f no negtiv, podemos expndir l región de integrión simétrimente. Por ejemplo, l funión f(x) = x mbi de signo y result que xdx = 0 on lo que f = 0 pero 0 f y f no existen Teorem. Si f 0, está otd y es integrble en d [, ] n, entones f es integrble si y sólo si dd ulquier suesión {B k } k N de onjuntos otdos on ontenido tles que B k B k+1 y existe k tl que C B k, pr todo n-ubo C, entones existe lím k B k f. 10

11 4.2. Definiión. ) Se f 0 no otd definid en A R n no otdo. Pr d M > 0, se define { f(x) si f(x) M f M (x) = 0 si f(x) > M. Si existe lím M A f M, deimos que f es integrble en A. b) Si f : A R es rbitrri, sen { { f + f(x) si f(x) 0 (x) = 0 si f(x) < 0, f f(x) si f(x) 0 (x) = 0 si f(x) > 0. Así, f = f + f y f es integrble en A si lo son f + y f y definimos f = f + A f. A A Como f = f + + f, si f es integrble, tmbién lo es f y f = f + + f A A A f A. Reípromente, si f es integrble y f es integrble en d ubo, entones f es integrble. 5. Teorem de Fubini. Un herrmient fundmentl pr bordr el problem del álulo de integrles múltiples se obtiene prtir del teorem de Fubini. Veremos que, en situiones fvorbles, el álulo de un integrl n-dimensionl se redue l álulo de n integrles simples, llmds integrles iterds. A lo lrgo de est seión, representremos todo punto de R n omo un pr (x, y), donde x R k, y R n k. Análogmente, todo n-intervlo lo esribiremos omo = 1 2, on 1 R k, 2 R n k Teorem. Sen R n un n-intervlo y f : R un funión otd e integrble en. ) Supongmos que, pr d x 1, l funión f x (y) = f(x, y) es integrble en 2. Si llmmos g(x) = 2 f x (y)dy, entones g es integrble en 1 y [ ] f = g(x)dx = f(x, y)dy dx. 1 2 b) Si, pr d y 2, l funión f y (x) = f(x, y) es integrble en 1, entones g(y) = 1 f y (x)dx es integrble en 2 y [ ] f = g(y)dy = f(x, y)dx dy

12 Demostrión. Por simpliidd en l notión, hremos l demostrión del prtdo ) pr el so n = 2 (el prtdo b) es ompletmente nálogo). Si llmmos = [, b] [, d], omo f es otd en, entones g es otd en [, b]. Además, g(x) d f(x, y) dy (d ) sup f(x, y). (x,y) Por ser f integrble, ddo ε > 0, existe un prtiión P = {R ij, 1 i m, 1 j n} de, on R ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Si llmmos M ij = N i = entones, fijdo x [x i 1, x i ]: m ij (y j y j 1 ) Sumndo pr todos los vlores de j, Por tnto, sup f(x, y), m ij = ínf f(x, y), (x,y) R ij (x,y) R ij sup g(x), n i = ínf g(x), x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] yj n m ij (y j y j 1 ) g(x) n m ij (y j y j 1 ) n i N i y j 1 f(x, y)dy M ij (y j y j 1 ). n M ij (y j y j 1 ). n M ij (y j y j 1 ). Multiplimos miembro miembro por (x i x i 1 ) y summos sobre i: m n m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) Esto quiere deir que m n i (x i x i 1 ) m m M i (x i x i 1 ) n M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ). L(f, P ) L(g, P x ) U(g, P x ) U(f, P ). Deduimos sí que U(g, P x ) L(g, P x ) < ε, es deir g es integrble en [, b]. Además, b f = sup L(f, P ) g(x)dx ínf U(f, P ) = f, lo que demuestr el teorem. 12

13 Corolrio 1. Si f : R es ontinu, entones ( ) f = f(x, y)dy dx = ( ) f(x, y)dx dy. 1 Corolrio 2. Sen f 1, f 2 : [, b] R ontinus, on f 1 (x) f 2 (x), x [, b], D = {(x, y) R 2 : x b, f 1 (x) y f 2 (x)} y f : D R ontinu. Entones ( b ) f2 (x) f = f(x, y)dy dx. D f 1 (x) Demostrión. Extendemos f = [, b] [, d], donde f 1 (x) f 2 (x) d, definiendo f(x, y) = 0 si (x, y) \ D. De este modo, el onjunto de disontinuiddes de f está formdo por los puntos (x, f 1 (x)) y (x, f 2 (x)) (x [, b]), que tiene medid nul. Lo mismo ourre on ls funiones f x y f y, por lo que tods son integrbles. Bst por tnto plir el teorem de Fubini pr obtener el resultdo. Observiones. (1) Un resultdo nálogo se obtiene pr regiones de l form D = {(x, y) R 2 : g 1 (y) x g 2 (y), y d}, on g 1, g 2 : [, d] R ontinus, tles que g 1 (y) g 2 (y), y [, d]. En este so, l integrl se lul omo ( d ) g2 (y) f = f(x, y) dx dy. D g 1 (y) En lgunos sos, l región de integrión se puede esribir de dos forms diferentes, por ejemplo: D = {(x, y) R 2 : x b, f 1 (x) y f 2 (x)} = {(x, y) R 2 : g 1 (y) x g 2 (y), y d}. Entones se puede lulr l integrl doble de un funión ontinu en D de dos forms diferentes. En l práti h de elegirse l que simplifique los álulos. (2) Si f : [, b] [, d] R es disontinu en un segmento {(x, y) : x b, y = y 0 }, entones b f y 0 (x)dx no existe; sin embrgo, existe l integrl doble b d f(x, y)dxdy. Esto sugiere que se extiend el teorem de Fubini pr tener en uent ls integrles superior e inferior Teorem. Se f otd en = [, b] [, d]. Entones 13

14 i) ii) iii) iv) f f f f b b ( d ) f x (y)dy dx ( ) d f x (y)dy dx d d ( b ) f y (x)dx dy ( ) b f y (x)dx dy b b ( d ) f x (y)dy dx ( d ) f x (y)dy dx d d ( b ) f y (x)dx dy ( b ) f y (x)dx dy v) Si existe f, entones ls desigulddes nteriores son igulddes. Ejemplos. (1) Se f : [0, 1] [0, 1] R definid por f(x, y) = ) Existe t f(x, y)dy pr todo t [0, 1] y 0 ( t f(x, y)dy ) dx = t 2, 1 0 Deduir que existe 1 b) Existe 1 0 ( 1 0 ( t 0 f(x, y)dy ) dx = t. ( 1 0 f(x, y)dy ) dx. 0 f(x, y)dx ) dy. f. f. f. f. { 1 si x Q 2y si x Q. Probr: ) L funión f no es integrble en el udrdo [0, 1] [0, 1]. (2) Se A = {(i/p, j/p) R 2 : p es primo, 1 i, j p 1}. Es fáil probr que d ret horizontl o vertil ort A omo máximo en un número finito de puntos. Sin embrgo, A no tiene ontenido ero porque es denso en Q = [0, 1] [0, 1]. De heho A es un onjunto sin ontenido (su fronter no tiene ontenido ero). { 1 si (x, y) A Si definimos f : Q R por f(x, y) = entones f no es integrble en Q (l integrl inferior vle ero y l integrl superior vle 1). Sin em- 0 si x Q \ A, brgo, existen ( 1 ) 1 f(x, y)dy dx = ( 1 ) 1 f(x, y)dx dy, pues f x y f y tienen un número finito de disontinuiddes. (3) Se f : Q = [0, 1] [0, 1] R l funión definid por { 0 si x ó y son irrionles f(x, y) = 1/n si y es rionl, x = m/n on m y n primos entre sí y n > 0. Entones f = ( 1 ) 1 f(x, y)dx dy = 0 pero 1 f(x, y)dy no existe si x es Q rionl. 14