Lecturas de Análisis Matemático II. Oswaldo Sevilla

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1 Lecturs de Análisis Mtemático II Oswldo Sevill Febrero-Myo 203

2 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com Medid de Lebesgue Un medid es un función m : M M P() A M : ma 0. s deseble que M = P() b. s deseble que mi = li donde l es l longitud, I el intervlo c. Si ( n ) es un sucesión de elementos de M disjuntos, entonces m( n ) = m n d. Si T y es trslción, m(t y ) = m y = M donde T y = z z = x + y, x } Proposición Si m cumple b d y está definid en un σ-lgebr, entonces M se llm medid completmente ditiv. Se m contblemente ditiv y existe A M tl que ma < + entonces m = 0 contblemente ditiv: M es σ-lgebr m( n ) = m n m(t y ) = m Demostrción Se B n es tl que B 0 = A B n = n =,... m(a) = m( B n ) = n mb n = ma + m + m +... = m + (ma + m + m +...) = m + ma m(a) = m + ma = m = 0 Si A y B son disjuntos y A, B M entonces m(a B) = ma + mb Medid xterior Se m (, b) = b entonces m = inf m I α} C I ( ) I α Donde C I = I α } : I α intervlo A ( I α )} es contble jemplo Se A = [0, ) y (, 0, 5), (0, )} es cubrimiento de A α ( ɛ, I)} m A = m I + m I 2 = 2.5 cubrimiento de A = m A m I α = + ɛ = m A Medid xterior de Lebesgue Proposición 2 m I = li

3 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 2 Proposición 3 Se (A n ) sucesión de conjuntos, entonces m ( n A n ) n m A n Prueb Se A = A n y sen O A un cubrimiento contble de A, O n un cubrimiento contble de A n, O n cubrimiento contble de A m A = inf m I O A I O A inf m I O n I O n ( ) inf m I O n n I O n = n m A n Pues O n es elemento de l fmili de cubrimientos O n } O A } jemplo Se A = [0, ] Q = x n n Z + } C = B n (x n ) x n A n = ɛ } 2 n+ m A m I n = + i= = ɛ 2 < ɛ ɛ < 0 C : ɛ 2 n+ m I n < ɛ = m A = 0 I n C Definición 4 Se dice que es medible si pr todo A P() se tiene que m (A ) + m (A C ) = m A Notción Si es medible, M se define m : M m = m medid de Lebesgue Conjuntos Medibles es medible si pr todo A : m A = m (A ) + m (A C ) Pr probr que es medible bst probr que m A m (A ) + m (A C ) Proposición 5 Si m = 0 = es medible

4 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 3 Prueb Supong que es medible entonces pr todo A Teorem 6 m = m (A ) + m (A C ) m (A C C ) m A + m C Si, 2 son medibles = 2 es medible Prueb Q..D. m A m (A ( 2 )) + m (A ( 2 ) C ) Teorem 7 Si es medible = + y es medible Demostrción Se A rbitrrio Teorem 8 A ( 2 ) = (A ) (A 2 ) = (A ) (A 2 C ) A ( 2 ) C = A C C 2 m (A ( + y)) + m (A ( + y) C ) = m ((B + y) ( + y)) + m ((B + y) ( + y) C ) Se M = medible} siendo lgebr, es σ-lgebr Observción m = 0 = M A = 2 + r r Q, r } B x = xq x A q Q} Proposición 9 x A B x M x A = m ((B ) + y) + m ((B C ) + y) ( ) B x contble m B x = 0 Se un conjunto, ls siguientes proposiciones son equivlentes:. Si pr todo ɛ > 0 existe O (O bierto) tl que m (0 \ ) < ɛ b. es medible c. Si pr todo ɛ > 0 existe F (F cerrdo) tl que m( \ F ) < ɛ d. xiste G G δ G tl que m (G \ ) = 0 e. xiste F F δ F tl que m ( \ F ) = 0 f. Si m < entonces existe U unión finit de biertos tl que m (U ) < ɛ pr culquier ɛ > 0 x A

5 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 4 Propieddes quivlentes Pr Todo α. x : f(x) < α} M 2. x : f(x) α} M 3. x : f(x) > α} M 4. x : f(x) α} M Si un de ests se cumple, entonces f ((α, α 2 )) M 4 = x : f(x) = α} M α Definición 0 f es medible si cumple 4. Ddo un conjunto A, se define χ A por χ A = Definición f : A es simple si f(a) es finito. jemplo Se f(x) = si x Q C 0 si x / Q Tres Principios de Littlewood si x A 0 si x / A Se medibles y cotds, f, convergenci csi uniforme ɛ > 0, δ > 0 : N, n > N : (x) f(x) < ɛ si x / A tl que ma = δ ɛ > 0, δ > 0 : n > N Z + A ma = δ (x) f(x) < ɛ si x / A tl que ma = δ tl que x / A = (x) f(x) < ɛ m C de Cntor donde C n C n+ C = C n+ = C n \ ( 3 n + k=0 n= C n ( 3k +, 3k n 3 n C = [0, ] C 2 = C \ (/3, 2/3) C 3 = C 2 \ (/9, 2/9) (7/9, /9) Se x n = m x C C n f(x) = x [0, ] \ C f : [, b] = ξ 0 < ξ <... < ξ n < ξ n = b ) ) Si son igules b S n = i n = n M k (ξ k ξ k ) M k = supf(x) : ξ k < x ξ x } k= n m k (ξ k ξ k ) m k = inff(x) : ξ k < x ξ x } k= f(x)dx = inf ξprt S n b sup i n ξprt b f = b f = b f

6 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 5 g = C i si x (ξ, ξ i+ } b b b b f = sup g s f f = inf g s f f(s)ds = inf g f f(s)ds = sup g f ϕ es simple si es medible, imgen finit jemplo si x [0, ] Q b g i b g s b b g(s)ds g(s)ds donde b g es esclond Se f(x) = si x [0, ] Q f(x) = χ C A + χ A2 + χ A3 A = [0, /2] Q A 2 = [/2, ] Q A 3 = [0, ] Q xpresión cnónic: ϕ es simple ϕ = C i χ i donde i = ϕ (C i ) y C i es l imgen Definición 2 g i = C i (ξ i+ ξ i ) Se ϕ simple, ϕ : se define por ϕ = Ci χ i = C i m i Proposición 3 Si ϕ = C i χ i donde i es medible y i j = entonces ϕ = C i m i Definición 4 Se f medible y cotd, ϕ simple f = inf ϕ f ϕ f = sup ϕ f ϕ Si f = f = α entonces f = α por definición (integrl de Lebesgue) Proposición 5 Se f es medible y ctotd, entonces f = f Proposición 6 Si Ψ, ϕ son dos funciones simples que se nuln fuer de un conjunto de medid finit. (Ψ + bϕ) = Ψ + b ϕ 2. Si ϕ Ψ csi en todos prtes entonces ϕ Ψ

7 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 6 Demostrción. (Ψ + bϕ) = ( x i χ i + b x i χ i ) = I = i } disjunto = = i } disjunto = i} disjunto i j = i j medibles j j = i i j} i = j i j Se puede reescribir Ψ = Ψ k χ k I = ϕ = ϕ k χ k ( Ψ k χ + b ϕ k k χ k = (Ψk + bϕ k )χ k = ((Ψ k + bϕ k )m k = Ψ k m k + bϕ k m k = Ψ + b ϕ 2. Supongmos que Ψ = ϕ, se 0 conjunto tl que x 0 = Ψ(x) ϕ(x) m 0 = 0 Ψ = Ψ i χ i ϕ = ϕ i χ i Ψ ϕ es cero fuer de 0 en 0 Ψ ϕ = 0χ 0 + (Ψ ϕ) i χ Ai 0 = A i A i = x 0 : Ψ ϕ = (Ψ ϕ) i 0} Ψ ϕ = 0m( 0 ) + (Ψ ϕ) i ma i = 0 = Ψ = ϕ De mner ltern = ( 0 ) 0 (Ψ ϕ) 0 es simple, (Ψ ϕ) 0 es simple Ψ ϕ x 0 : Ψ(x) ϕ(x) m 0 = 0 Ψ ϕ 0 ξ = Ψ ϕ ( = ξi χ + Ai ξ i χ Bi (Ψ ϕ) = ξ ) A i 0 B i 0 = ξ i ma i + ξ i mb i 0 Ψ = ϕ Se ϕ simple, cnónics Ψ = Ψ i χ i donde i = Ψ (Ψ i }), utiles Ψ = Ψ i χ i donde i = Ψ() medible Ψ : Ψ medible medible Definición 7 Ψ = Ψi χ i = Ψ i m i

8 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 7 Proposición 8 Ψ = Ψi χ i = Ψ i m i Proposición 9 (Ψ + bϕ) = Ψ + b ϕ si Ψ ϕ Ψ ϕ Si Ψ, ϕ=0 en Ẽ m < soporte Proposición 20 Dd un función cotd f entonces inf Ψ f Ψ = sup ϕ f ϕ si y solo si f es medible. Demostrción. Se f es medible α i = M + ih i α i+ = M + (i + ) 2 h i Pr i se define i = f ( i ) = f ((α i, α i+ )) Sen Ψ = Ψ i χ y ϕ = ϕ i χ donde = i } (Ψ ϕ ) 0 por l form de definir Ψ, ϕ (Ψ ϕ ) = (α i+ α i )m i = h i m i = 2M n m i = 2M n mi = 2M n m 0 ɛ > 0 : (mx h i )m por definición de i ɛ rbitrrio ɛ > 0 (Ψ ϕ ) < ɛ = inf Ψ f Ψ = sup ϕ f ϕ b. Supónemos que inf Ψ f Ψ = sup ϕ f Ddo ɛ n podemos encontrr Ψ n,ϕ n tl que (Ψ n ϕ n ) < ɛ }} n ξ n 0 ϕ n f Ψ n ξ n ϕ

9 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 8 ξ n 0 sucesión, ξ n Ψ n+ Ψ n por l construcción de Ψ n, ϕ n ξ n ϕ n+ ϕ n ξ = Ψ ϕ medibles Ψ = inf Ψ n (x) ϕ = sup ϕ n (x) ξ 0 = ξ = 0 Se cumple == ξ = 0 ϕ n ϕ f Ψ Ψ n = 0 f ϕ Ψ ϕ = ξ = 0 = f = ϕ = f es medible pues ϕ es medible Se F = ϕ : ϕ Se es medible simple} contble ϕ (x) = sup ϕ(x) = ϕ ϕ F x : ϕ x > } = ϕ Fx : ϕx > } contble = ϕ medible Se f simple, f 0, f > 0 en, m > 0 entonces existe ɛ > 0 tl que mf ((ɛ, + )) = 0 mf ((0, + )) n mf ((ɛ, + )) = 0 Proposición 2 Si f existe, entonces f = f Demostrción Supongmos que f existe, f es integrble f = f Cd función esclond Ψ,ϕ es simple. ntonces existen Ψ, ϕ simples tl que ϕ ϕ f Ψ Ψ f = sup ϕ f ϕ sup ϕ f ϕ inf ϕ f ϕ inf ϕ f ϕ = f () () = = f f f = f f f Funciones Medibles Proposición 22 Se (x) f(x), dominio de medible, existe M tl que < M entonces = f

10 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 9 Demostrción Por el tercer principio de Littlewood ɛ > 0, δ > 0 N > 0 : (x \ A = f(x) (x) < ɛ si n > N) ma < δ pr lgún A f = ( f) por linelidd f = f + f \A < ɛ/2 m( \ A) + 2MmA m < ɛ 2 + 2M ɛ 4M f = ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ P.D. f f f f f = f f f b b = f = f A Se f medible, no negtiv. F = g : g medible, cotd y g(x) f(x)} f = sup g F g jemplo Se ξ simple f medible, cotd f = f + f Sen f + (x) = fχ + f (x) = fχ donde + = f ([0, + ]) = \ + = f ((0, + )) Se F cf = g : medible, cotd g cf} g f = cg cf cf = sup g g F Si g F f = cg F cf cf f F cf Si g F Cf = c g F f F cf c F f F f c F cf Si g F f cg cf = cg F cf = g c F cf g = c cg c cg c F cf Si g c F cf = g = c h h F cf = cg = h cf = g f = g F f

11 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 0 c F cf = F f c φ(f cf = φ(f f ) Si f = sup φ(f f ) ( ) c φ(f cf) = φ c F cf = φ(f f Si es nul es trivil P.D. F f+g F f + F g = x : x = f + g f F f F g } hf F f = hf f hg F g = hg g Si hf + hg f + g = hf + hg F f+g P.D. F f+g F f + F g = c sup(f cf) = sup φ(f f ) cf = f c = cf = c f h F f+g = h f + g = h = (h f) + f f + g = h F f + F g F f+g = F f + F g φ(f f+g ) = φ(f f + F g ) = φ(f f ) + φ(f g ) Si A, B no negtivos, entonces sup(a + B) = sup A + sup B sup φf f+g = φ(f f + F g ) (f + g) = f + g Si f g = f g entonces A B = sup A+ B h F f h f g = h g por hipótesis = h F g luego F f F g = φ(f f ) φ(f g ) = sup φf f sup φf g = f g Lem de Ftou Dd un sucesión de funciones no negtivs ( ) medibles definids en tles que f puntulmente, entonces f lim Se (x n ) sucesión, entonces limx n = sup inf x k n k n = lim inf x k n k n sucesión creciente

12 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com Demostrción Se h H funciones no myores que f. Se h cotd, no negtiv y que se nul fuer de un conjunto de medidd finit h h n (x) = min (x), h(x)} x h h n = h n h donde h luego lim x n = limx n h = h h = lim = lim lim lim h h n h h n h por convergenci cotd n : h n expndir dominio inferior de funciones no negtivs x n y n = limx n limy n luego pr h H se tiene que h lim f = sup h H lim h Se f : [0, ] f(x) = si x Q c [0, ] 0 si x Q [0, ] f = f = 0 sup (f(x))χ i x i i inf (f(x))χ i x i i Teorem de Convergenci Monóton Se o negtiv, ( ) un sucesión creciente de funciones no negtivs, medibles y lim = f entonces f = lim f Demostrción Por el lem de Ftou y sbemos que f lim n : f = = = f f lim f = lim

13 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 2 Observción Pr un sucesión (x n ) limx n = limx n limx n = lim x n = limx n Si α = supx n } = α limx n Si α = infx n } = α limx n Porposición 23 Se U n funciones no negtivs y entonces Proposición 24 f = f = + U n n= + n= U n Se ( i ) sucesión disjunt de conjuntos medible = i, o negtiv entonces f = f i i n g n = f χ i Teorem de Convergenci Monóton i= n = U i i= U i = f χ i = i f Se (U n ) no negtiv y f = U n entonces f = U n Demostrción Sen ( i ) disjuntos medibles, = i entonces f = f o negtiv y = i n k= fχ k monóton f = lim n = lim n n n = lim n = k= + f k= k fχ k k= fχ k

14 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 3 Definición 25 Se f : es integrble si f es finit o negtiv n generl f finit, es decir f + f finits Teorem de Convergenci de Lebesgue Se ( ) sucesión de funciones medible y pr cd n g. Si f = lim entonces f = lim Demostrción Se g f 0 h n h puntulmente y h n no negtiv, l ser sí podemos usr el lem de Ftou h lim h n (g f) lim (g ) g g o negtiv g f lim (g ) ( = lim g ) (g + f) lim (g + ) g + f lim (g + ) g f g lim g + f g + lim = lim = f Se x n y limx n y lim g f lim (g f) lim (g ) = g f = f lim = f lim lim = f = lim = f = lim g lim Demostrción Se o negtiv y f f = lim

15 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 4 Se g g integrble h n = g g o negtiv (g f) lim (g ) (2) lim (g ) Se h 2 n = g + 0 g + g + f (g + f) lim (g + ) (3) lim (g + ) (2) = g f lim g lim = f lim Se lim(x n y n ) = limx n limy n limx n limx n inf(a + B) = inf A + inf B inf(a B) = inf A inf B sup( x n ) = inf(x n ) inf( x n ) = sup(x n ) (3) = = f lim f = lim lim (4) l límite de dos infimos siempre existe, por lo tnto (2) = g f lim g lim = f lim (3) = f lim f = lim (5) (4)(5) f = lim Convergenci en Medid Definición 26 Pr todo ɛ > 0 existe N tl que n N entonces mx : (x) f(x) ɛ} < ɛ f uniforme = f en medid jemplo Se (x) = x /n x [0, ] converge en medid f (x) = pero no converge puntulmente f f en medid, f no tiene porque ser únic Si f b = f entonces f b en medid

16 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 5 Proposición 27 Lem de Ftou, teorem de convergenci monóton, teorem de convergenci de Lebesgue siguen vlidos si convergen por convergenci en medid Por convergenci de Lebesgue g g integrble m f = lim = f m f y f = f b entonces m f b m f m f b = = f b Si n N = mx : (x) f (x) ɛ} = mx (x) / T (ɛ)} < ɛ Ddo ɛ existe N tl que n N = mx (x) / T (x)} < ɛ Ddo ɛ existe N b tl que n N b = mx (x) / T b (x)} < ɛ f (x) f b (x) f (x) (x) + (x) f b (x) 2ɛ si (x) T (ɛ), T b (ɛ) x : f (x) f b (x) 2ɛ} x (x) / T (ɛ)} x (x) / T b (ɛ)} mx : f (x) f b (x) 2ɛ} mx (x) / T (ɛ)} + mx (x) / T b (ɛ)} < 2ɛ pr n mxn, N b } ɛ > 0 : mx : f (x) f b (x) 2ɛ} < 2ɛ = mx : f (x) f b (x) > 0 Se lim f(x) lim sup f(x) = limf(x) donde sup función monóton x + h 0 + x x (,+h) x (,+h) lim x +f(x) = lim lim x f(x) = lim lim x +f(x) = lim h 0 + lim x f(x) = lim h 0 + inf h 0 + x (,+h) f(x) inf f(x) h 0 + x (,+h) sup x ( h,) sup x ( h,) f(x) f(x) jemplo ( ). Se f(x) = sin x lim x 0 +f(x) = lim x 0 f(x) = g(h) = inf f(x) g(h) = x (0,h) 2. Se f(x) = x 2 g(x) = x 2 f = g x 2 si x A A = Q [0, ] f(x) = 0 si x B B = ( 2 + Q) [0, ] x 2 si x C C = (A B) C [0, ] f S (x) = sup f(t) t [x,] f S (x) = constnte f S (0) = f S (/2) = lim x = lim x f S(x) =

17 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 6 Observción ess sup supremo esencil ess sup f(x) = inf x [0,] y=f ( = sup g(x) x [0,] = 0 f i (x) = inf t [x,] f(t) sup f(x) x [0,] = inf t [ h,] f(t) = lim x f(x) = lim h 0 + ( ) ) inf f(t) t [ h,] = lim x f i(x) lim x 0 +f(x) = 0 = lim x 0 +f(x) sup f(t) = x 2 t [0,x] inf f(t) = x2 t [0,x] sup f(x) = x [0,] ess inf infimo esencil ess inf x S jemplo f(x) = sup y=f inf y(x) x S Se ess inf x [,2] f(x) = (x ) 2 si x A f(x) = 2 (x )2 + si x A 3 2(x ) 2 + si x A 2 Observción Teorem de convergenci cotd, ( ) cotds por M en un conjunto de medid finit, entonces f = lim δ = (f ) m f Si h : A medible y h(x) M pr todo x A entonces MmA A h h A A MmA Ddo ɛ existe N ɛ, si n N ɛ f(x) (x) < ɛ en un conjunto \ 0 y mx : f(x) (x) ɛ} = m ɛ < ɛ

18 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 7 δ = (f ) = (f ) + (f ) \ ɛ ɛ (f ) + (f ) \ ɛ ɛ (f ) + (f ) \ ɛ ɛ ɛm( \ ɛ ) + 2M(ɛ) ɛ(m + 2M) f en δ n > N f uniformemente en \ δ m δ > δ jemplo ɛ, δ si n > N = mx : (x) f(x) ɛ} < δ = m δ < δ. Se f : (0, + ) f(x) = e x si x Q C g(x) si x Q g(x) = ( ) m si x = n (expresión mínim) m (x) = e [ ( /n)x] n n : (x) f m n f e x 2. Se A k = x p k (x)} p k (x) proposición B k = i k A i C = k B k P.D. Si x X \ C entonces existe N N tl que si n N se cumple p n (x) A n B n X A k, B k, C no necesrimente vcios A k = [ /k, /k] A k = [, /k] B k = i k A k = [ /k, /k] B k = i k A k = [, /k] C = k B i = 0} C = [, 0] = k B i

19 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 8 X C = X \ B k k = X ( ) B k = X ( ) B k k k = (X B k ) k = k (X \ B k ) Vrición Pr un división (prtición) de un intervlo [, b] que se = t 0... t n = b Se define V = f(t i ) f(t i+ ) T = sup V ( ) jemplo Se vr tn x = π vr ( sin) x = + vr π,π sin x = 4 vr 0,ɛ sin vr (,b) f Q (x) = + x si x Q donde f Q = f Q (x) = 0 si x / Q i N Proposición 28 Si f es monóton en [, b] entonces vr [,b] f(x) = f(b) f() D + D + D D f creciente (f 0) Demostrción Supong que o es creciente en (, b), existe x, y (, b) tl que x < y f(x) > f(y) z = supt f(t) > f(y)} = sup M y. Se z M y z y z < y f(z + ɛ) y z + ɛ y (z + ɛ) (z, y) f(z + ɛ) f(z) f(y) f(y) = 0 f(z + ɛ) f(z) Pr ɛ > 0 : 0 ɛ D + f 0 D + f 0 Si o es creiciente en (, b) = D + f 0 D + f 0 en lgún z (, b) b. Se z / M y f(z) f(y) z = sup M y t n M y : t n z si sup A / A = sup A A z = sup M y = y f(t n ) > f(y) f(z) f(t n ) < 0 f(z) f(y) f(z) f(t n ) z t n 0 = D f(z) 0 D f(z) 0 Si f es no creciente existe x < y tl que f(x) < f(y) = (D + f D f D f D + f) 0 en lgún punto

20 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 9 jemplo e tn x 2 si 0 x π 2 Se f(x) = 0 si x > π 2 M π/2 = [0, π/2] sup M π/2 π/2 / M π/2 D f(π/2) = 0 D f(π/2) = 0 Teorem 29 Sen D + D D + D son myores que cero en todo (, b) = f es creciente jemplo x + si x 0. Se f(x) = x si x > 0 D + f D + o existe en 0, lo demás es myor que cero D f(x) = = D f(x) > 0 o crece y es continu si x C 0} = A 2. Se f (x) = x si x (0, 2) \ A 3 x f : (0, 2) = 0 si x (0, 2) 3 x Se f 2 (x) = ess inf x I f(x) = 0 ess sup f(x) = 0 x I si x A x 2 ( 0 0 sin ) si x (0, 2) \ A x 2 ( ) 0 0 sin 0 x 2 ( ) 0 sin x 2 lo lcnz infinits veces en (2 ɛ, 2) ess sup f 2 (x) = x I ess inf x I f 2(x) = 0 Se f 3 (x) = si x A x 2 ( 0 sin x) si x (0, 2) \ A 0 ess sup f 3 (x) = x I ess inf x I f 3(x) = Si pr lgún n N : 2nπ + π/2 / Cntor Si no es ess sup f 3 (x) = 0.9 (, b) C C f3 ( ) = I i pr cd I i : I i \ C i Luego f 3 (x) = en x i I i \ C Se f 4 (x) = si x A x 2 ( 0 0 sin x 2) 5 si x (0, 2) \ A ess sup f 4 (x) = 4 = inf sup y=f I y ess inf f 4 (x) = 6 = sup y=f sup y I b f ess sup f(x)(b ) x I

21 ditdo por Muricio Zely Aguilr en L A TX.com 20 ess sup f(x) sup f(x) rctn h(x) six Se f(x) = rctn h(x) + six > D f(x) = D +/ +/ rctn h(x) pues en ( ɛ, ) : f(x) rctn h(x) = cte D : (x 0 ɛ, x 0 ) D + + : (x 0, x 0 + ɛ) D +/ +/ f(x) = si x 0 D+ +f(x) = si x = 0 D f(x) = si x = 0 3. Se f(x) = e x + h(x) f : (, + ) h(x) = pr x 2 h es discontinu en n n = 2, 3,... D +/ +/ = D+/ +/ (ex ± ) = e x si x n n = 2, 3,... n x = n pr ɛ suficientemente pequeño ɛ = Si y (x ɛ, x) = h(x) h(y) = ±2 Si y (x, x + ɛ) = h(y) h(x) = 0 n + n 2 D + (e x+ɛ + h(x + ɛ)) (e x + h(x)) f(x) = lim ɛ 0 + ɛ e x+ɛ e x = lim ɛ 0 + ɛ = lim ɛ 0 + e x+ɛ e x ɛ = e x = D + f(x) (e x + h(x)) (e x ɛ + h(x ɛ)) D f(x) = lim ɛ 0 + ( ) ɛ ( ) e x e x ɛ h(x) h(x ɛ) = lim ɛ 0 + = e x ± = ± = D f(x) ɛ + lim ɛ 0 + ɛ D + +f(x) = e x