BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA

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1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS Teorems sobre el intercmbio en el orden de integrción T E S I S que pr obtener el título de: LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Present: Jorge Luis Pérez Cordero Director de tesis: Dr. Frncisco Jvier Mendoz Torres PUEBLA, PUE. FEBRERO DE 2013

2 ii

3 Teorems sobre el intercmbio en el orden de integrción

4 ii

5 iii Dedicdo mis pdres

6 iv

7 L originlidd de ls mtemátics consiste en el hecho de que en l cienci mtemátic se exhiben conexiones entre coss que, prte de por l cción de l rzón humn, son extrordinrimente poco obvis. -A.N. Whitehed. v

8 vi

9 Agrdecimientos A mis pdres, mis hermnos, mis profesores de l Fcultd de Ciencis Físico- Mtemátics y mis migos. vii

10 viii

11 Índice generl Agrdecimientos Índice generl Prólogo VII IX XI 1. Conceptos generles de integrción Integrl de Riemnn Integrl de Riemnn-Stieltjes Integrl de Lebesgue Integrl de Henstock-Kurzweil Teorems de Intercmbio de integrles En l integrl de Riemnn En l integrl de Riemnn-Stieltjes En l integrl de Lebesgue En l integrl de Henstock-Kurzweil Conclusiones 69 Bibliogrfí 71 Índice lfbético 72 ix

12 x ÍNDICE GENERAL

13 Prólogo En l Teorí de Integrción de Riemnn el problem de clculr integrles dobles se resuelve, en ciert form, por el Teorem de Fubini. L ide que encierr este teorem se puede ilustrr de l siguiente mner. Consideremos un función continu positiv f : [, b] [c, d] R. Se P = {t 0, t 1,..., t n } un prtición de [, b] y se divide [, b] [c, d] en n bnds por medio de los segmentos {t i } [c, d]. Si g x se define por g x (y) = f(x, y), entonces el áre de l región debjo del gráfico de f y por encim de {x} [c, d] es: d c g x = d c f(x, y)dy. El volumen de l región debjo de l gráfic de f y por encim de [t i 1, t i ] [c, d] es proximdmente igul (t i t i 1 ) d c f(x, y)dy, pr cd x [t i 1, t i ]. Así, b d c f = es proximdmente igul n (t i t i 1 ) donde x i está en [t i 1, t i ]. i=1 n i=1 d c ti t i 1 d c f f(x i, y)dy, xi

14 xii ÍNDICE GENERAL Por otr prte, sums nálogs ést precen en l definición de b d c f(x, y)dydx. Si se define un función h como h(x) := d g c x = d f(x, y)dy, es de esperrse que h c se integrble en [, b] y que b d c f = b h = b d c f(x, y)dydx. Esto efectivmente es cierto si l función f es continu en el rectángulo compcto [, b] [c, d]. L cuestion que hor se present es l siguiente: Se puede tener un resultdo nálogo debilitndo l hipótesis de continuidd de l función f en [, b] [c, d] sólo integrbilidd sobre [, b] [c, d]? L respuest es no. Podemos ver inmeditmente que es imposible evitr cierts dificultdes. Por ejemplo, l integrl interior d f(x, y)dy puede no existir pr ciertos vlores de x, ún cundo l c integrl doble exist. L hipótesis de integrbilidd no es lo suficientemente fuerte pr segurr l existenci de l integrl de Riemnn d f(x, y)dy. c Est dificultd no se present en l Teorí de Integrción de Lebesgue. El Teorem de Fubini pr est integrl se cumple con l únic hipótesis de que f se integrble en el sentido de Lebesgue sobre el rectángulo compcto [, b] [c, d]. Aún más, el resultdo sigue siendo válido si f es Lebesgue integrble sobre R 2. En l Teorí de Integrción de Henstock-Kurzweil sucede lgo similr, el teorem se cumple con únicmente pedir que l función f se Henstock-Kurzweil integrble, no sólo sobre rectángulos compctos [, b] [c, d], sino tmbién sobre J K, donde J y K R. L cuestión que hor surge es l siguiente: Existen lguns otrs hipótesis, diferentes l continuidd y l integrbilidd, pr obtener teorems tipo Fubini? Si los hy Qúe relción gurdn con respecto l Teorem de Fubini? L respuest l primer interrognte es firmtiv. Sin embrgo como se mostrrá en este

15 ÍNDICE GENERAL xiii trbjo estos teorems, ni generlizn l Teorem de Fubini ni se deducen prtir de él. Estos teorems son tmbién objeto de nuestro estudio y, de igul form los nlizmos en ls distints integrles rrib mencionds. El resultdo principl de est tesis es el Teorem 2.10 donde se utiliz l integrl de Henstock-Kurzweil. Este resultdo fue publicdo en 2009 ([8]). Lo incluimos quí y que d respuest l interrogntes que cbmos de mencionr. El desrrollo de este trbjo está dividido en dos cpítulos, en el primero se estblecen los conceptos básicos de integrción, en cd un de ls integrles. Los teorems que se exponen en este cpítulo son resultdos principles de cd un de ls teorís, que permitirán llevr cbo nuestro objetivo. En el segundo cpítulo se hce l exposición sobre teorems que posibilitn el intercmbio en el orden de integrción.

16 Cpítulo 1 Conceptos generles de integrción En este cpítulo exponemos conceptos básicos de distints integrles como son: l integrl de Riemnn, l de Riemnn-Stieltjes, l de Lebesgue y por último l de Henstock-Kurzweil. Estos conceptos nos yudrán desrrollr el tem principl de l tesis, el cul bordremos en el cpítulo siguiente Integrl de Riemnn Un prtición de un intervlo cerrdo [, b] es un conjunto finito de puntos de [, b] que incluye los extremos. Un prtición P l representmos ordenndo sus puntos de menor myor, comenzndo en y terminndo en b: P = {t i } n i=0 = { = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n 1 < t n = b}. El conjunto de tods ls prticiones de [, b] lo indicmos como P([, b]). Un prtición como l indicd divide el intervlo [, b] en n subintervlos [t i 1, t i ], cd uno de longitud t i t i 1. Se f un función cotd definid en [, b], y se P P([, b]). Pr cd i = 0,..., n, definimos M i = sup{f(x) : x [t i 1, t i ]} m i = inf{f(x) : x [t i 1, t i ]}. 1

17 INTEGRAL DE RIEMANN L sum inferior de f socid P se define como: S(f, P) = n m i (t i t i 1 ), i=1 y l sum superior de f socid P es: S(f, P) = n M i (t i t i 1 ). i=1 Un función f cotd sobre [, b] es Riemnn integrble sobre [, b] si: sup{s(f, P) : P P([, b])} = inf{s(f, P) : P P([, b])} En este cso, este número recibe el nombre de integrl de f sobre [, b] y se denot por: b En el nálisis mtemático es frecuente considerr integrles en ls cules el integrndo depende de un prámetro. En tl cso uno dese tener condiciones que seguren l integrbilidd de l función en cuestión. En est sección estbleceremos ls condiciones necesris pr logrr este objetivo. f. Teorem 1.1 (Continuidd Uniforme). Si f es un función continu en [, b], entonces f es uniformemente continu en [, b]. Teorem 1.2. Si f es continu en [, b], entonces f es Riemnn integrble en [, b]. Teorem 1.3 (Del vlor medio pr integrles). Si f es continu sobre [, b], entonces existe x 0 [, b] tl que b f(x)dx = f(x 0 )(b ).

18 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 3 Consideremos el siguiente rectángulo D en R R definido como: D = {(x, t) : x b, c t d}. (1.1) Teorem 1.4. Se f : D R continu. Si definimos un función F como F (t) := b f(x, t)dx, (1.2) pr t [c, d], entonces F es continu en [c, d]. Demostrción. El Teorem de l Continuidd Uniforme implic que ddo ϵ > 0, existe δ(ϵ) > 0 tl que si t y t 0 están en [c, d] y t t 0 < δ(ϵ), entonces f(x, t) f(x, t 0 ) < ϵ pr todo x [, b]. Así se tiene que: F (t) F (t 0 ) = b b f(x, t) f(x, t 0 )dx f(x, t) f(x, t 0 ) dx ϵ(b ). Por tnto F es continu de [c, d] R.

19 INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 1.2. Integrl de Riemnn-Stieltjes L integrl de Riemnn-Stieltjes es un modificción l integrl de Riemnn obtenid por el reemplzo de l longitud x i x i 1 de los subintevlos [x i 1, x i ] que precen en ls sums de Riemnn, por ls diferencis α(x i ) α(x i 1 ), donde α : I R es un función dd. Así l integrl de Riemnn-Stieltjes permite considerr un función longitud pr myor generlidd. Fue introducid por el mtemático Thoms J. Stieltjes ( ). Est integrl involucr dos funciones f y α. El símbolo que utilizremos es b f(x)dα(x) o lguno similr. Cbe resltr que l integrl de Riemnn se obtiene como cso prticulr cundo α(x) = x. Si α tiene derivd continu, l definición es tl que l integrl de Riemnn-Stieltjes b f(x)dα(x) se convierte en l integrl de Riemnn b f(x)α (x)dx. Sin embrgo, l integrl de Riemnn-Stieltjes tiene myor sentido en el cso en que α es no diferencible e incluso cundo no es continu. De hecho, l trtr con funciones discontinus α, es cundo se hce ptente l importnci de l integrl de Riemnn-Stieltjes. Est modificción de l integrl de Riemnn h probdo ser de considerble utilidd en problems físicos como los que considern l distribución de mss que son en prte discrets y en prte continus; tmbién en l teorí mtemátic de l probbilidd y l estdístic est integrl es un herrmient muy útil que hce posible l considerción simultáne de vribles letoris continus y discrets. Definmos lgunos conceptos que nos serán de utilidd pr l exposición de est sección. Si P = {I i : i = 1,..., n} es prtición del intervlo I = [, b], e I i = [x i 1, x i ] pr i = 1,..., n, un etiquet de I i es un punto t i I i. Si pr cd i existe t i I i se dice que l prtición es etiquetd y se escribe Ṗ := {(I i, t i )} n i=1. Sen f,α : I = [, b] R funciones cotds sobre un intervlo compcto I = [, b]. Si Ṗ := {(I i, t i )} n i=1 es un prtición etiquetd de I, entonces un sum de Riemnn-Stieltjes de f con respecto α pr l prtición Ṗ es: n S(f, α, Ṗ) = f(t i )[α(x i ) α(x i 1 )]. i=1

20 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 5 Se dice que f es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto α sobre [, b] si existe un número rel B tl que pr cd ϵ > 0 existe ζ ϵ > 0 tl que si Ṗ := {(I i, t i )} n i=1 es culquier prtición con µ(ṗ) := mx i{x i x i 1 } ζ ϵ, entonces S(f, α, Ṗ) B ϵ. En este cso, se escribe B = b fdα. A l funcion f se le llm el integrndo, y l función α el integrdor. Otro concepto que utilizremos es el de vrición cotd de un función. Si α est definid en [, b], y si existe un número positivo M tl que pr culquier prtición P = {x 0,..., x n } de [, b] se cumple que: n α(x k ) α(x k 1 ) M, k=1 entonces se dice que α es de vrición cotd en [, b]. El siguiente resultdo es conocido como el Criterio de Cuchy pr l existenci de l integrl de Riemnn-Stieltjes. Teorem 1.5. Sen f y α funciones cotds sobre I := [, b]. Entonces f es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto α si y sólo si pr cd ϵ > 0 existe θ ϵ > 0 tl que si Ṗ 1 y Ṗ2 son culesquier prticiones etiquetds de [, b] que cumplen que µ(ṗ1) θ ϵ y µ(ṗ2) θ ϵ, entonces S(f, α, Ṗ1) S(f, α, Ṗ2) ϵ. El siguiente es un teorem de existenci pr l integrl de Riemnn-Stieltjes. Teorem 1.6. Si f es continu en [, b] y α es de vrición cotd en [, b], entonces f es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto α en [, b]. Demostrción. Como f es uniformemente continu, ddo ϵ > 0 existe δ ϵ > 0 tl que si t y s [, b] y t s 2δ ϵ, entonces f(t) f(s) ϵ.

21 INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Supong que Ṗ1 := {([x i 1 x i ], t i )} n i=1 y Ṗ2 := {([y j 1 y j ], s j )} m j=1 son prticiones etiquetds de [, b] que cumplen que µ(ṗ1) δ ϵ y µ(ṗ2) δ ϵ, y se P 3 := {[z k 1, z k ]} r k=1 l prtición (no etiquetd) que se obtiene l usr todos los puntos x i y y j de Ṗ1 y de Ṗ2. Así cd uno de los subintervlos [x i 1, x i ] y [y j 1, y j ] es unión de un número finito de los subintervlos [z k 1, z k ], por tnto si [z k 1, z k ] está contenido en l intersección [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], entonces ls etiquets t i, s j stisfcen t i s j 2δ ϵ, luego f(t i ) f(s j ) ϵ. L sum Riemnn-Stieltjes S(f, α, Ṗ1) puede escribirse como un sum sobre los subintervlos en P 3, esto es S(f, α, Ṗ1) = = n f(t i )[α(x i ) α(x i 1 )] i=1 r f(t i )[α(z k ) α(z k 1 )], k=1 donde t i es l etiquet en Ṗ1 correspondiente l único subintervlo [x i 1, x i ] que contiene [z k 1, z k ]. De igul form, S(f, α, Ṗ2) pude escribirse como un sum sobre P 3, usndo hor puntos s j que son etiquets correspondientes l único subintervlo [y j 1, y j ] que contiene [z k 1, z k ]. Se puede ver que S(f, α, Ṗ1) S(f, α, Ṗ2) = r [f(t i ) f(s j )][α(z k ) α(z k 1 )]. k=1 Por tnto tenemos lo siguiente S(f, α, Ṗ1) S(f, α, Ṗ2) r ϵ α(z k ) α(z k 1 ) k=1 ϵ V r(α, [, b]). Como ϵ es rbitrrio, el Teorem 1.5 implic que f es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto α en [, b].

22 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 7 Teorem 1.7. Se f un función continu en D := {(x, y) : x b, c y d}. Supongmos que α es de vrición cotd en [, b] y se F l función definid en [c, d] por medio de l relción F (y) = b f(x, y)dα(x). (1.3) Entonces F es continu en [c, d]. En otrs plbrs, si y 0 [c, d], tenemos b lím f(x, y)dα(x) = y y 0 = b b lím f(x, y)dα(x) y y 0 f(x, y 0 )dα(x). Demostrción. Supongmos que α es monóton creciente en [, b]. Ddo que D es un conjunto compcto, f es uniformemente continu en D. Así ddo ϵ > 0, existe δ > 0 tl que, pr cd pr de puntos z = (x, y) y z = (x, y ) de D tles que z z < δ, tenemos f(z) f(z ) < ϵ. Si y y < δ, se tiene que F (y) F (y ) b f(z) f(z ) dα(x) ϵ[α(b) α()]. Esto estblece l continuidd de F en [c, d]. Cbe resltr que, cundo α(x) = x, este resultdo se convierte en un teorem de continuidd pr ls integrles de Riemnn que dependen de un prámetro. En l integrl de Riemnn-Stieltjes existe un notble relción entre el integrndo y el integrdor. L existenci de b fdα implic l existenci de b αdf, y el recíproco tmbién es cierto. Además, entre mbs integrles se verific un relción interesnte que expres un ciert ley de reciprocidd pr l integrl, se le conoce con el nombre de integrción por prtes.

23 INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Teorem 1.8 (Integrción por prtes). Sen f, α : I = [, b] R funciones cotds. Entonces f es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto α en [, b] si y sólo si α es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto f en [, b] y se tiene que b fdα + b αdf = f(b)α(b) f()α(). (1.4) El siguiente lem será de grn utilidd pr probr que en l integrl de Riemnn- Stieltjes se cumple un teorem del vlor medio. Lem 1.1. Se α función monóton creciente en [, b] y supong que f es integrble con respecto α en [, b]. Entonces f es integrble con respecto α en [, b] y b b fdα f dα sup f(x) [α(b) α()]. (1.5) x [,b] Si m f(x) M pr cd x [, b], entonces m[α(b) α()] b fdα M[α(b) α()]. (1.6) Teorem 1.9 (Del vlor medio pr l integrl de Riemnn-Stieltjes). Supongmos que α es monóton creciente y que f es Riemn-Stieltjes integrble con respecto α en [, b]. Si M y m designn, respectivmente, el sup y el inf del conjunto {f(x) : x [, b]}. Entonces existe un número rel c que stisfce m c M tl que b f(x)dα(x) = c b dα(x) = c[α(b) α()]. (1.7) En prticulr, si f es continu en [, b], entonces c = f(x 0 ) pr lgún x 0 en [, b]. Demostrción. Si m = inf{f(x) : x [, b]} y M = sup{f(x) : x [, b]} por Lem 1.1 se tiene que m[α(b) α()] b fdα M[α(b) α()].

24 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 9 Si α(b) = α(), entonces l relción (1.7) es inmedit; si α(b) > α(), entonces plicndo el Teorem del Vlor Intermedio de Bolzno, existe c [, b] tl que f(c) = b fdα α(b) α().

25 INTEGRAL DE LEBESGUE 1.3. Integrl de Lebesgue L integrl de Riemnn b f(x)dx es frecuentemente motivd por el concepto geométrico de áre, esto es, dd un función continu, no negtiv sobre el intervlo [, b] y un considerción de rectángulos inscritos y circunscritos pr l curv; ls sums de ls áres de estos rectángulos genern estimciones superiores e inferiores pr el áre bjo l curv. Conforme l prtición lleg ser más fin ess estimciones proximn mejor el áre bjo l curv. L integrl de Riemnn es el límite común de ests estimciones cundo l longitud de l prtición tiende cero. Ls dificultdes surgen cundo este proceso trt de ser plicdo funciones que no son continus. No hy problem pr funciones que son continus trozos, pero no sí con funciones de pésim discontinuidd tl como X Q (l función crcterístic de los números rcionles) que no tiene integrl de Riemnn en [0, 1]. L interpretción de áre lleg ser poco clr, pero no es difícil convencerse que el áre bjo X Q deberá ser cero. L incpcidd pr enfrentrse con funciones discontinus es un de ls deficiencis de l integrl de Riemnn. L integrl de Riemnn tmbién tiene otrs severs deficiencis, no cubre con tods ls necesiddes de un ánlisis superior. En est sección trtremos un extensión de l integrl de Riemnn, l integrl de Lebesgue. Est integrl fue introducid en 1902 por el mtemático frncés Henri Lebesgue ( ) con el objetivo de corregir ciertos defectos en l integrl de Riemnn. L integrl de Lebesgue permite integrr funciones más generles, trt simultánemente funciones cotds y no cotds y permite reemplzr el intervlo [, b] por conjuntos más generles. Est integrl es un de ls más usds en investigciones moderns de mtemátics. Definiremos lgunos conceptos cerc de est integrl que utilizremos en est sección. Un función s, definid en un intervlo compcto [, b] se dice función esclond si existe un prtición P = {x 0, x 1,..., x n } de [, b] tl que s es constnte en cd subintervlo bierto, por ejemplo: s(x) = c k si x (x k 1, x k ). Un función esclond es Riemnn integrble en cd subintervlo [x k 1, x k ] y

26 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 11 su integrl sobre el mismo está dd por xk x k 1 s(x)dx = c k (x k x k 1 ), independientemente de los vlores de s en los extremos. L integrl de Riemnn de s en [, b] es por consiguiente igul l sum b n s(x)dx = c k (x k x k 1 ). (1.8) k=1 Hy que señlr que l sum en (1.8) es independiente de l elección de P mientrs s se constnte en los subintervlos biertos de P. Es conveniente eliminr l restricción que supone exigir que el dominio de un función esclond se compcto, esto es, supongmos que I denot un intervlo culquier (cotdo, no cotdo, bierto, cerrdo o semibierto). Un función s es un función esclond en I si existe un subintervlo compcto [, b] de I en el que s se un función esclond en [, b], si demás s(x) = 0 pr x I [, b]. L integrl de s en I, designd por s(x)dx o por s, es l integrl de s en [, b], I I dd por (1.8). Existen muchos intervlos compctos fuer de los cules l función s se nul, pero l integrl de s es independiente de l elección de [, b]. Un subconjunto T R tiene medid cero si, pr cd ϵ > 0, es posible recubrir T por medio de un colección numerble de intervlos, l sum de cuys longitudes es menor que ϵ. Se dice que un propiedd se verific csi en todo un conjunto S, lo breviremos c.e.t S, si se verific en todo S slvo en un conjunto de medid cero. Un función rel f definid en un intervlo I se dice función superior en I, y se denot f U(I), si existe un sucesión creciente de funciones esclonds {s n } tl que: () s n converge f c.e.t I

27 INTEGRAL DE LEBESGUE (b) lím s n I n es finito. Si existe un sucesión que cumpl con ls condiciones nteriores se dice que l sucesión s n gener f. L integrl de f en I se define como: f = lím s n. I n I Observe que { I s n} es un sucesión de números reles creciente, l condición (b) equivle firmr que l sucesión { I s n} está cotd superiormente. Denotmos por L(I) l conjunto de tods ls funciones f de l form f = u v, donde u, v U(I). Cd función f de L(I) se llmrá función Lebesgue integrble en I, y su integrl se define por medio de l relción: f = u v. I I Tod función f L(I) se puede escribir como diferenci de dos funciones superiores y no necesrimente de form únic. Tod función f Lebesgue integrble en un intervlo I es el límite, c.e.t. I, de un ciert sucesión de funciones esclonds. Sin embrgo, el recíproco no es cierto. Por ejemplo, l función constnte f = 1 es un límite de funciones esclonds sobre l rect rel R, pero est función no está en L(R). Por tnto l clse de funciones que son límites de funciones esclonds es más mpli que l clse de funciones que son Lebesgue integrbles. Ls funciones de est clse más mpli se llmn funciones medibles. Un función f definid en I se dice medible en I, y se denot f M(I), si existe un sucesión de funciones esclonds {s n } en I tl que lím s n(x) = f(x), c.e.t. I. n I

28 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 13 Teorem Supongmos que f L(I) y se ϵ > 0 ddo. Entonces: () Existen funciones u y v de U(I) tles que f = u v, donde v es no negtiv c.e.t. I e I v < ϵ. (b) Existe un función esclond s y un función g en L(I) tles que f = s+g, donde g < ϵ. I Demostrción. () Ddo que f L(I), podemos escribir f = u 1 v 1, donde u 1, v 1 son funciones de U(I). Se {t n } un sucesión que genere v 1. Y que t I n v I 1, podemos elegir N N de tl form que 0 (v I 1 t N ) < ϵ. Se v = v 1 t N y u = u 1 t N. Así u, v U(I) y u v = u 1 v 1 = f. Además v es no negtiv c.e.ti y se tiene que v < ϵ. I (b) Pr este inciso utilizremos l prte () del teorem pr elegir u y v de U(I) de tl mner que 0 v c.e.t.i, f = u v y 0 v < ϵ 2. I Ahor elegimos un función esclond s tl que 0 (u s) < ϵ. Entonces I 2 f = u v = s + (u s) v = s + g, donde g = (u s) v. Luego g L(I) y g u s + v < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ. I I I

29 INTEGRAL DE LEBESGUE Teorem Se {f n } un sucesión de funciones de L(I) tl que () {f n } es creciente csi en todo I, (b) lím f n I n existe. Entonces {f n } converge csi en todo I hci un función límite f L(I) y lím f n = f. n I I Teorem 1.12 (Convergenci Domind de Lebesgue). Se {f n } un sucesión de funciones Lebesgue integrbles en un intervlo I. Supongmos que: () {f n } converge csi en todo I hci un función f, y (b) existe un función no negtiv g de L(I) tl que, pr cd n 1, f n (x) g(x) c.e.t. I. Entonces f L(I), l sucesión { I f n} converge y demás I f = lím f n. (1.9) n I Demostrción. L prueb de este resultdo est estructurd de l siguiente mner: Obtener cots superiores e inferiores de l form: g n (x) f n (x) G n (x) (1.10) donde l sucesión {g n } se creciente y l sucesión {G n } se decreciente csi en todo I hci l función límite f.

30 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 15 Utilizremos el Teorem 1.11 pr mostrr que f L(I) y que f = lím g n = lím G n, I n I n I pr sí obtener (1.9). Pr construir {g n } y {G n }, utilizmos repetids veces el Teorem Definimos un sucesión {G n,1 } como sigue: G n,1 (x) = máx{f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)}. Notr que cd función G n,1 L(I), y que l sucesión {G n,1 } es creciente en I. Ddo que G n,1 g(x) csi en todo I, tenemos G n,1 G n,1 g. (1.11) lím n I I Así l sucesión { G I n,1} es creciente y cotd superiormente por g, luego G I I n,1 existe. Aplicndo el Teorem 1.11, l sucesión {G n,1 } converge csi en todo I hci un función G 1 L(I) y demás G 1 = lím G n,1 g. I n I I Ddo que se cumple (1.11) tenemos tmbién l desiguldd I g I G 1. Notemos que si x I pr el que G n,1 (x) G 1 (x), entonces tenemos tmbién que G 1 (x) = sup{f 1 (x), f 2 (x),...}. Así mismo, pr cd r 1 considermos G n,r (x) = máx{f r (x), f r+1 (x),..., f n (x)} I

31 INTEGRAL DE LEBESGUE pr n r. Entonces l sucesión {G n,r } es creciente y converge csi en todo I hci un función límite G r de L(I) con g G r g. luego I Además, en todos los puntos en los que G n,r (x) G r (x), tenemos csi en todo I. I G r (x) = sup{f r (x), f r+1 (x),...}, f r (x) G r (x) Exminemos hor ls propieddes de l sucesión {G n (x)}. L sucesión {G r (x)} es decreciente csi en todo I, por tnto converge csi en todo I. Ahor notemos que G n (x) f(x) siempre que I lím f n(x) = f(x). (1.12) n Si se verific (1.12), entonces pr cd ϵ > 0, existe un nturl N tl que pr cd n N. Luego, si m N tenemos f(x) ϵ < f n (x) < f(x) + ϵ f(x) ϵ sup{f m (x), f m+1 (x),...} f(x) + ϵ. En otrs plbrs, m N implic que f(x) ϵ G m (x) f(x) + ϵ,

32 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 17 es decir csi en todo I. lím G m(x) = f(x), (1.13) m Por otro ldo, l sucesión { G I n} está cotd inferiormente por g, por I tnto converge. Por (1.13) y el Teorem 1.11, vemos que f L(I) y que G n = f. lím n Si plicmos el mismo tipo de rzonmiento l sucesión I g n,r (x) = mín{f r (x), f r+1 (x),..., f n (x)}, pr n r, obtenemos que {g n,r } decrece y converge csi en todo I hci un función límite g r de L(I), donde g r (x) = ínf{f r (x), f r+1 (x),...} csi en todo I. Además, se tiene que g r (x) f r (x) csi en todo I, {g r } es creciente, lím g n(x) = f(x) y n lím g n = f. n I I Ddo que (1.10) se verific csi en todo I, tenemos que g n f n G n. Si n tendremos que { f I n} converge y que f n = f. I lím n I I I I I

33 INTEGRAL DE LEBESGUE El siguiente teorem es de utilidd pr hllr funciones que son Lebesgue integrbles. Teorem Se {f n } un sucesión de funciones de L(I) que convergen c.e.t I un función f. Supongmos que existe un función no negtiv g de L(I) tl que Entonces f L(I). f(x) g(x) c.e.t.i. Demostrción. Pr l prueb definmos un sucesión de funciones {g n } en I de l siguiente mner g n = máx{mín(f n, g), g}. Geométricmente l función g n, se obtiene prtir de l función f n cortándole l prte de l gráfic que se hll por encim de g y l que se hll por debjo de g. (Ver Figur 1.1). Entonces se tiene que g n (x) g(x) c.e.t. I, sí g n f c.e.t. I. Luego, por el Teorem de l Convergenci Domind de Lebesgue, f L(I). Hemos señldo que tod función de L(I) es medible en I y que el recíproco es flso. El teorem que sigue proporcion un recíproco prcil. Teorem Si f M(I) y f(x) g(x) c.e.t. I pr l función no negtiv g de L(I), entonces f L(I). Demostrción. Existe un sucesión de funciones esclonds {s n } tl que s n (x) f(x) c.e.t. I. Luego, por el Teorem 1.13, f L(I). Los siguientes corolrios muestrn lguns de ls propieddes de ls funciones medibles. Corolrio 1.1. Si f M(I) y f L(I), entonces f L(I). Corolrio 1.2. Si f es medible y cotd en un intervlo cotdo I, entonces f L(I).

34 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 19 Figur 1.1: Del Teorem Teorem Sen X e Y dos subintervlos de R y se f un función definid en X Y que stisfce ls siguientes condiciones: () Pr cd y Y, l función f y definid en X por medio de l relción es medible en X. f y (x) = f(x, y) (b) Existe un función no negtiv g L(X) tl que, pr cd y Y, f(x, y) g(x)

35 INTEGRAL DE LEBESGUE csi en todo X. (c) Pr csi todo x X, f(x, y) es un función de y continu en Y. Entonces l integrl de Lebesgue X f(x, y)dx existe pr cd y Y, y l función F definid por l relción F (y) = f(x, y)dx es continu en Y. Esto es, si y Y tenemos lím f(x, t)dx = lím f(x, t)dx. t y X X t y X Demostrción. Como f y es medible en X y domind csi en todo X por un función no negtiv g L(X), el Teorem 1.14 prueb que f y L(X), es decir l integrl de Lebesgue f(x, y)dx existe pr cd y Y. X Ahor elegimos un punto fijo y Y. Se {y n } un sucesión de puntos de Y tl que lím y n = y. Probremos que lím F (y n ) = F (y). Se G n (x) = f(x, y n ), n n cd G n (x) L(X), luego por (c) G n (x) f(x, y) csi en todo X. Notr que F (y n ) = G X n(x). Por l hipótesis (b) y el Teorem de l Convergenci Domind de Lebesgue se tiene que {F (y n )} converge y lím F (y n) = f(x, y)dx = F (y). n X Pr el resto de est sección vmos considerr lo siguiente: L función f : X [, b] R, tl que x f(x, t) es medible en X pr cd t [, b].

36 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 21 Teorem Supong que pr lgún t 0 [, b], f(x, t 0 ) = lím t t0 f(x, t) pr cd x X y que existe un función integrble g sobre X tl que f(x, t) g(x). Entonces lím t t 0 f(x, t)dµ(x) = f(x, t 0 )dµ(x). Demostrción. Se {t n } en [, b] tl que t n t 0, sí f n (x) = f(x, t n ) pr x X, luego lím f(x, t n ) = f(x, t 0 ), por l hipótesis existe g función integrble sobre X tl n que f(x, t) g(x), el Teorem de l Convergenci Domind de Lebesgue implic que lím f(x, t)dµ(x) = f(x, t)dµ(x). t t 0 Teorem Si l función t f(x, t) es continu en [, b] pr cd x X y si existe g función integrble sobre X tl que f(x, t) g(x), entonces l función F definid por F (t) = f(x, t)dµ(x) es continu pr t [, b]. Demostrción. Como t f(x, t) es continu en [, b] pr cd x X, se tiene que lím x x 0 f(x, t) = f(x 0, t), luego como f(x, t) g(x), por el Teorem 1.16 lím x x 0 Por tnto F es continu. f(x, t)dµ(x) = f(x, t)dµ F (t) = lím f(x, t)dµ(x). x x0

37 INTEGRAL DE LEBESGUE Teorem Supong que pr lgún t 0 [, b] l función x f(x, t 0 ) es integrble sobre X, que f existe sobre X [, b], y que existe un función integrble t g sobre X tl que f (x, t) t g(x). Entonces l función F (t) = f(x, t 0 )dµ(x) es diferencible sobre [, b] y df dt (t) = d dt f(x, t)dµ(x) = f (x, t)dµ(x). t Demostrción. Se t 0 [, b], {t n } un sucesión en [, b] tl que t n t 0, t n t 0. Entonces Así, f (x, t) es medible. f f(x, t n ) f(x, t 0 ) (x, t) = lím, x X. t t n t 0 t n t 0 y, Si x X y t [, b] por el Teorem del Vlor Medio, existe s 1 tl que t 0 < s 1 < t f(x, t) f(x, t 0 ) = (t t 0 ) f t (x, s 1) f(x, t) = (t t 0 ) f t (x, s 1) + f(x, t 0 ) f(x, t) = f(x, t 0 ) + (t t 0 ) f t (x, s 1) f(x, t) f(x, t 0 ) + t t 0 g(x). Lo cul muestr que l función x f(x, t) es integrble pr cd t [, b].

38 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 23 Luego si t n t F (t n ) F (t) t n t = = = f(x, tn )dµ f(x, t)dµ t n t f(x, tn ) f(x, t)dµ t n t f(x, tn ) f(x, t) dµ. t n t Nótese que: f(x, t n ) f(x, t) t n t = f t (x, t n) g(x), por el Teorem de l Convergenci Domind de Lebesgue se tiene que: df dt = F (t n) F (t) t n t f = (x, t)dµ t = d f(x, t)dµ. dt

39 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL 1.4. Integrl de Henstock-Kurzweil Iniciremos desrrollndo lguns ides fundmentles sobre l integrl de Henstock- Kurzweil. Los conceptos y teorems expuestos en est sección pueden consultrse en [2]. Si P := {I i : i = 1,..., n} es un prtición del intervlo I = [, b] tl que, pr cd subintervlo I i existe un punto t i I i, entonces decimos que t i es un etiquet de I i. En este cso, decimos que l prtición es etiquetd y se escribe Ṗ := {(I i, t i )} n i=1. Ddo I := [, b] R, entonces un función δ : I R es un función medidor sobre I, si δ(t) > 0 pr tod t I. Al intervlo [t δ(t), t + δ(t)] se le dice controldo por un función medidor. Se Ṗ := {(I i, t i )} n i=1 y δ es un función medidor sobre I = [, b], entonces decimos que Ṗ es δ fin si I i [t i δ(t i ), t i + δ(t i )] pr tod i = 1,..., n. Un función f : I = [, b] R se dice que es Henstock-Kurzweil integrble sobre I, si existe un número A R tl que ϵ > 0, existe un función medidor δ ϵ sobre I tl que si Ṗ := {(I i, t i )} n i=1 es culquier prtición etiquetd de I que es δ ϵ fin, entonces S(f; Ṗ) A ϵ. El número A será l integrl de f sobre I := [, b] y se denotrá como: A = b f = b f(x)dx = I fdx. Se puede mostrr que A es único ([2]). L colección de tods ls funciones que son Henstock-Kurzweil Integrbles sobre un intervlo I ls denotremos por HK (I ). Se puede definir est integrl sobre intervlos no cotdos, esto es, se define l integrl de un función f : I R, donde puede ser de l siguiente form: [, ], [, ]o[, ]. Primermente definiremos lgunos conceptos de utilidd. Un prtición etiquetd Ṗ del intervlo [, ] en R : se define como: Ṗ := {([x 0, x 1 ], t 1 ),..., ([x n 1, x n ], t n ), ([x n, x n+1 ], t n+1 )}

40 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 25 de tl form que: x 0 = y x n+1 =. Se define f( ) := 0. Tmbién definimos un prtición δ fin, Ṗ de tl mner que l etiquet finl t n+1 =, sí el término finl en l sum de Riemnn S(f, Ṗ) es f( )( x n) el cul es igul cero. Se define tmbién un función medidor sobre [, ] como un función rel vlud que es estrictmente positiv, δ, definid sobre [, ]. Se dice que l prtición Ṗ es δ fin si los subintervlos finitos stisfcen: [x i 1, x i ] [t i δ(t i ), t i + δ(t i )] 1 pr i = 1,..., n, y si el subintervlo finito [x n, ] stisfce [x n, ] [, ] o δ( ) 1 de mner equivlente x δ( ) n. Como el subintervlo finl [x n, ] es el único subintervlo en Ṗ que contiene, l condición de que Ṗ se δ fin oblig que l etiquet t n+1 =. Ahor y que f( ) = 0, entonces pr culquier prtición Ṗ que se δ fin, l sum de Riemnn qued como: S(f, Ṗ) = n f(t i )(x i x i 1 ) i=1 y todos los términos son números reles finitos. Con esto en mente podemos definir l integrl de Henstock-Kurzweil de un función f : [, ) R que suponemos se h mplido como f( ) := 0. Si I := [, ] y f : I = [, ) R, entonces se dice que f es Henstock-Kurzweil integrble sobre [, ] si existe un número C R tl que pr cd ϵ > 0 existe un función medidor δ ϵ sobre [, ), entonces S(f, Ṗ) C ϵ. Al conjunto de tods ls funciones Henstock-Kurzweil integrbles sobre [, ] lo denotmos por HK([, )). Si f es HK([, )) escribiremos: C = f = f = f(x)dx. I Se obtienen definiciones nálogs pr el resto de los csos.

41 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL En l Integrl desrrolld por Henstock y Kurzweil se tienen Teorems de Convergenci similres los existentes en l Teorí de Integrción de Lebesgue. A continución exponemos el Lem de Ftou y el Teorem de l Convergenci Domind en est integrl. Lem 1.2 (Ftou). Sen f k, α HK(I) tl que α(x) f k (x) (1.14) pr cd x I, k N. Además supong que lím inf f k <. (1.15) k Entonces lím inf k f k HK(I) y < I lím inf k I f k lím inf k I f k <. (1.16) El siguiente resultdo es un extensión l integrl de Henstock-Kurzweil del Teorem 1.12, probdo en 1908 por Lebesgue, este resultdo es clve en l Teorí de Integrción. Teorem 1.19 (Convergenci Domind). Se {f k } un sucesión de funciones HK(I) donde lím f k = f(x) pr cd x I := [, b]. Supong que existen funciones α, w KH(I) tl que: pr x I, k N. Entonces f HK(I) y α(x) f k (x) w(x), (1.17) lím f k = f. (1.18) k I I

42 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 27 Demostrción. L hipótesis implic que f(x) = lím f k (x) = lím inf f k (x) R pr cd x I. De (1.17) se tiene que α f k w I I pr cd k N, ddo que lím inf f I k y lím sup f I k existen. Por el Lemm 1.2, se tiene entonces que f HK(I) y que f lím inf f k. (1.19) k I Si plicmos el Lem de Ftou l sucesión { f k }, junto con el hecho de que lím inf( x k ) = lím sup(x k ), entonces se tiene que f = ( f) I I lím inf ( f k ) k I = lím sup k f k. De quí que Ls ecuciones (1.19) y (1.20) implicn que: f k = f. I I I lím sup f k f. (1.20) k I I lím k I I Teorem Supong que f es medible sobre I := [, b], entonces f HK(I) si y sólo si existen α, w HK(I) tl que α(x) f(x) w(x) pr csi tod x I. (1.21)

43 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL Demostrción. Si f HK(I), bst con tomr α = w = f. Se {s n } un sucesión de funciones esclonds tl que {s n } f(x) pr csi todo x I y se s n = mid{α, s n, w}(x) 1, por tnto α(x) s n (x) w(x) pr x I. Ahor como s n (x) f(x) csi en todo I, plicndo el Teorem 1.19 se tiene que f HK(I). Teorem Si {f n } es un sucesión en M(I) y si f n f csi en todo I := [, b], entonces f M(I). Teorem Se f : [, b] [c, d] R tl que pr cd t T := [c, d] l función x f(x, t) es medible sobre I := [, b] y supong que: (i) Existe t 0 T tl que f(x, t 0 ) = lím t t0 f(x, t) pr cd x I. (ii) Existen funciones α, w HK(I) tl que α(x) f(x, t) w(x) pr cd x I, t T. Entonces l función F : I R dd por: F (t) := b existe sobre T y F (t 0 ) = lím t t0 F (t), esto es: b f(x, t 0 ) = lím f(x, t)dx (1.22) t t0 b f(x, t)dx. (1.23) Demostrción. Como l función x f(x, t) es medible sobre I := [, b] y demás existen funciones α, w HK(I) tl que α(x) f(x, t) w(x) pr cd x I, t T, el Teorem 1.20 implic que x f(x, t) HK(I) pr cd t T. Por tnto l función F está definid sobre T. Ahor se {t n } un sucesión en T que converj 1 Aquí mid{α, s n, w}(x) denot el medio de los números reles α(x), s n (x), w(x); mid por su brevitur en inglés middle.

44 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 29 t 0. Si definimos f n (x) := f(x, t n ) y f(x) := f(x, t 0 ) pr x I, por l hipótesis (i),(ii) y el Teorem 1.19, tenemos que F (t 0 ) = b b f(x) = lím n f n (x)dx = lím n F (t n ). Como {t n } es un sucesión rbitrri en T que converge t 0, se tiene entonces que F (t 0 ) = lím t t0 F (t). Teorem Se f : [, b] [c, d] R tl que, pr cd t T := [c, d], l función x f(x, t) es medible sobre I := [, b] y supong que: (i) L función t f(x, t) es continu sobre T pr cd x I : [, b]. (ii) Existen funciones α, w HK(I) tl que: α(x) f(x) w(x) pr csi tod x I, t T. Entonces l función F : T R definid como: es continu sobre T. F (t) := b f(x, t)dx Demostrción. Bst con plicr el Teorem 1.22 cd punto de T. Teorem Se f : [, b] [c, d] R tl que, pr cd t T := [c, d], l función x f(x, t) es medible sobre I := [, b] y supong que: (i) Existe t 0 T tl que l función x f(x, t 0 ) HK(I). (ii) L derivd prcil f t := f t existe sobre I T. (iii) Existen α, w HK(I) tl que: α(x) f t (x, t) w(x)

45 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL pr cd x I, t T. Entonces se concluye que: () L función x f(x, t) HK(I) pr cd t T. (b) L función x f t (x, t) HK(I) pr cd t T. (c) L función F : I R dd por F (t) := b f(x, t)dx está definid y es diferencible sobre T y pr cd t T. F (t) = b f t (x, t)dx (1.24) Demostrción. () Se t 0 como en (i). Si x I y t T, t t 0, son fijos, entonces por l hipótesis (ii) y el Teorem del Vlor Medio existe un punto s entre t y t 0 tl que f(x, t) f(x, t 0 ) = (t t 0 )f t (x, s). Luego, si t t 0, l hipótesis (iii) implic que f(x, t 0 ) + (t t 0 )α(x) f(x, t) f(x, t 0 ) + (t t 0 )w(x), mientrs que si t t 0, entonces l hipótesis (iii) implic que f(x, t 0 ) + (t t 0 )w(x) f(x, t) f(x, t 0 ) + (t t 0 )α(x). Ddo que f es medible, ls desigulddes nteriores podemos plicrles el Teorem 1.20, sí pr cd t T, l función x f(x, t) HK(I). (b) Sen t T fijo y {t n } culquier sucesión en T con t n t,tl que t n t. Por l hipótesis (ii) f t (x, t) = lím n f(x, t n ) f(x, t) t n t pr x I.

46 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 31 Ddo que f es medible, el Teorem 1.21 implic que l función x f t (x, t) es medible sobre I. De l hipótesis (iii) y el Teorem 1.20, se concluye que pr cd t T l función x f t (x, t) HK(I). (c) Si t T es fijo y {t n } es como ntes, l hipótesis (ii) y otr plicción del Teorem del Vlor Medio implicn que: f(x, t n ) f(x, t) t n t = f t (x, s n ), donde s n = s n (x, t n, t) se encuentr entre t n y t, sí l hipótesis (ii) implic que α(x) f(x, t n) f(x, t) t n t w(x). Ahor como F (t n ) F (t) t n t = b f(x, t n ) f(x, t) dx, t n t entonces plicndo el Teorem de l Convergenci Domind se tiene que: F (t n ) F (t) lím n t n t = b f t (x, t)dx. Como {t n } es un sucesión rbitrri que converge t con t n t, se tiene que F (t) existe y demás pr cd t T F (t) = b f t (x, t)dx.

47 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL Pr que un función f se HK-integrble sobre I = [, b] se requiere que, ddo ϵ > 0 exist un función medidor δ ϵ sobre I tl que si Ṗ es culquier prtición δ ϵ -fin de I, entonces l sum de Riemnn S(f, Ṗ) stisfce l desiguldd S(f, Ṗ) b f ϵ. El Lem de Scks-Henstock, que veremos continución, segur que el mismo grdo de proximción es válido pr l diferenci entre culquier subconjunto de términos de est sum de Riemnn y de l sum de l integrl de f sobre los correspondientes subintervlos. Este hecho puede no precer sorprendente cundo los subintervlos en el subconjunto de Ṗ consiste de intervlos colindntes. Así, no es del todo obvio que el resultdo sig siendo verddero pr un colección rbitrri de subintervlos. Incluso sucede lgo más, podemos reemplzr el vlor bsoluto de l sum de ess diferencis por l sum de los vlores bsolutos y todví tener esencilmente el mismo grdo de proximción. Pero ntes necesitmos lguns definiciones. Se I := [, b] un intervlo compcto no degenerdo. Un subprtición de I es un colección {J j } s j=1 de intervlos cerrdos no trslpdos en I. Un subprtición etiquetd de I es un colección Ṗ0 := {(J j, t j )} s j=1 de pres ordendos, consistentes de intervlos {J j } s j=1 que formn un subprtición de I, y etiquets t j J j pr j = 1,..., s. Si δ es un función medidor sobre I, se dice que l subprtición etiquetd Ṗ0 es δ-fin si J j [t j δ(t j ), t j + δ(t j )] pr j = 1,..., s. Lem 1.3 (Scks-Henstock). Se f HK(I) y pr ϵ > 0 se δ ϵ un función medidor sobre I tl si Ṗ es un prtición δ ϵ -fin, entonces S(f, Ṗ) I f ϵ. (1.25) Si Ṗ 0 = {(J j, t j ) : j = 1,..., s} es culquier subprtición de I que es δ ϵ -fin,

48 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 33 entonces s j=1 [ ] S(f, f(t j )l(j j ) f = Ṗ 0 ) J j U(Ṗ) f ϵ. (1.26) Corolrio 1.3. Con ls misms hipótesis del Lem 1.3 se tiene que s f(t j )l(j i ) j=1 J j f 2ϵ. (1.27) Teorem 1.25 (Hke). Sen I := [, b] y f : I R. Entonces l función f HK(I) si y sólo si existe A R tl que pr cd c (, b) l restricción de f [, c] es integrble y En este cso, A = lím c b c f. (1.28) A = b A continución enuncimos el Teorem de Hke, hor pr intervlos no cotdos. Teorem 1.26 (Hke). Sen I := [, ] y f : I R. Entonces f KH([, ]) si y sólo si f HK([, c]) pr cd intervlo compcto [, c] con c [, ], y existe A R tl que f. En este cso, A = lím c c f. (1.29) A = f.

49 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL El siguiente teorem conocido como el Criterio de Cuchy pr funciones HK(I) cundo se trt de un intervlo no cotdo de l form I := [, ]. Teorem Sen I := [, ] y f : I R tl que f HK([, c]) pr cd c. Entonces f HK(I) si y sólo si pr cd ϵ > 0 existe K(ϵ) tl que si q > p K(ϵ), entonces q f ϵ. (1.30) p Demostrción. Supongmos que f HK([, ]). Por el Teorem 1.26 el límite c J := lím f existe. Así, ddo ϵ > 0 existe K c ϵ > tl que si p K ϵ, entonces p J f ϵ 2. De est mner, si q > p, se tiene que q f = p q ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ. f J + J p f El próximo teorem muestr como es que el producto de un función que es HK-integrble y un función rbitrri de vrición cotd es HK-integrble, cbe señlr que pr l prueb de este resultdo interviene l integrl de Riemnn- Stieltjes. Teorem 1.28 (Multiplicdor). Si f HK(I) y g es de vrición cotd sobre I, entonces el producto fg HK(I) y b fg = b gdf = F (b)g(b) b F dg, (1.31)

50 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 35 donde F es l integrl indefinid F (x) := x f sobre I y l segund y tercer integrl son integrles de Riemnn-Stieltjes. Si R y b =, entonces el producto fg HK((, ]) y (1.31) tiene l siguiente form b [ b ] fg = lím gdf = lím F (b)g(b) F dg, (1.32) b b donde, nuevmente, F (x) := x f pr x (, ] y ls integrles de ldo derecho son Riemnn-Stieltjes integrbles. Demostrción. Como F es continu sobre I, el Teorems 1.6 y el Teorem 1.8 implicn que ls integrles nteriores existen. Así, ddo ϵ > 0 existe ζ ϵ > 0 tl que si Ṗ := {([x i 1, x i ], t i )} n i=1 es culquier prtición etiquetd de I con µ(ṗ) ζ ϵ, entonces n b g(t i )[F (x i ) F (x i 1 )] gdf ϵ. i=1 Ahor g es de cotd, esto es, g(x) K pr todo x I. Como f es HK(I), existe un función medidor δ ϵ sobre I tl que si Ṗ es un prtición δ-fin, entonces n {f(t i )(x i x i=1 ) [F (x i ) F (x i 1 )]} ϵ 2K i=1 luego por Corolrio 1.3 se tiene que n f(t i )(x i x i 1 [F (x i ) F (x i 1 )] ϵ K. i=1 Podemos suponer que δ ϵ ζ ϵ pr cd x I, luego tenemos lo siguiente: n b f(t i )g(t i )(x i x i 1 ) gdf i=1

51 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL n n f(t i )g(t i )(x i x i 1 ) g(t i )[F (x i ) F (x i 1 )] i=1 i=1 n b + g(t i )[F (x i ) F (x i 1 )] gdf i=1 n K f(t i )(x i x i 1 ) [F (x i ) F (x i 1 )] + ϵ i=1 K( ϵ K ) + ϵ = 2ϵ. Como ϵ > 0 es rbitrrio, entonces fg HK(I) y por tnto l primer iguldd en (1.31) se cumple. Pr obtener l segund iguldd en (1.31) plicmos el Teorem de Integrción por Prtes (Ver Teorem 1.8). Omitimos l prueb de l segund prte de este teorem y remitimos l lector l referenci [2]. Un concepto que utilizremos es el de función reguld, esto es, un función f : I R se dice que es reguld sobre I := [, b], si pr cd ε > 0 existe un sucesión esclond s ε : I R tl que f(x) s ε (x) ε pr cd x I. Observciones. 1. Tomndo ε = 1 (n N), entonces un función f es reguld si y sólo si existe n un sucesion {s n } de funciones esclonds, s n : I R, que convergen uniformemente f sobre I. 2. Si f HK(R), definmos l siguiente función: F (t) := t f(y)dy, entonces (i) Si F es continu, entonces F es reguld. (ii) F ( ) := lím F (t) = 0. Esto quiere decir ddo ε > 0 existe M 1 > 0 tl t que si t < M 1, entonces F (t) ε.

52 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 37 (iii) F ( ) = lím t F (t) = α, α R. Signific que ddo ε > 0 existe M 2 > 0 tl que si t > M 2, entonces F (t) α ε. 3. Con lo nterior tenemos que: Ddo ε > 0, existe un función esclond s ε : [ M 1, M 2 ] R tl que pr cd t [ M 1, M 2 ]. F (t) s ε (t) ε Definimos l siguiente función como: s ε si t [ M 1, M 2 ] σ(t) := α si t > M 2 0 si t < M 1. σ es un función esclond, sí pr cd t R se cumple que F (t) σ(t) ε, luego F (t) σ n (t) 0 si n. Ahor vemos lguns definiciones pr l Integrl de Henstock-Kurzweil en R 2 = R R, donde R denot los números reles extendidos. Un intervlo I en R 2 es un producto I 1 I 2 donde I 1 e I 2 son intervlos en R. Se dice que I es un intervlo cerrdo (bierto) si I 1 e I 2 son cerrdos (biertos). El interior de I, denotdo por inti, es el producto de los interiores I 1 e I 2. Si I es un intervlo cerrdo, un prtición de I es un colección finit de subintervlos cerrdos de I, {I k : k = 1,..., m}, tl que inti k inti j = si k j y I = m k=1 I k. Un prtición etiquetd P de I es un colección finit de prejs {(x i, I i ) : 1 i m} tles que {I i : 1 i m} es un prtición de I y x i I i pr 1 i m, l I i se les llm subintervlos de P y x i ls etiquets socids l respectivo I i. Un función medidor γ sobre I es un función definid sobre I tl que γ(x) es un intervlo bierto conteniendo x pr cd x I. Un prtición etiquetd P = {(x i, I i ) : 1 i m} es γ-fin si x i I i γ(x i ) pr 1 i m.

53 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL Sen I un intervlo cerrdo en R 2 y f : I R. Entonces f es Henstock- Kurzweil integrble sobre I si existe A R tl que pr cd ϵ > 0 existe un función medidor γ sobre I tl que S(f, P) A < ϵ siempre que P se un prtición etiquetd γ-fin. El siguiente lem grntiz l existenci de un prtición etiquetd γ-fin, este lem será usdo pr probr el Teorem de Fubini en l Integrl de Henstock- Kurzweil. (Ver Teorem 2.8). Pero ntes hgmos lguns precisiones. Sen J y K intervlos cerrdos en R, e I := J K. Se γ un función medidor sobre I. Si P 1 y P 2 son ls proyecciones de R 2 sobre l primer y segund coordend, respectivmente, entonces γ 1 (x, y) = P 1 γ(x, y) y γ 2 (x, y) = P 2 γ(x, y) tienen l propiedd de que: 1. γ 1 (, y) define un función medidor sobre J, pr cd y K y 2. γ 2 (x, ) define un función medidor sobre K, pr cd x J. Lem 1.4. Pr y K, se P y un prtición etiquetd γ(, y)-fin de J. (i) Si γ 2(y) = {γ 2 (x, y) : (x, I) P y }, entonces γ 2(y) es un función medidor sobre K. (ii) Si K = {(y j, K j ) : 1 j m} es un prtición etiquetd γ 2-fin de K y si entonces P y = {(p y j, P y j ) : 1 j p y}, D = {((p y j i, y j), P y j i K j ) : 1 j m, 1 i p yj } es un prtición etiquetd γ-fin de I. D es llmd l prtición etiquetd compuest, generd por {P y : y K} y K.

54 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS GENERALES DE INTEGRACIÓN 39 Como se trbjrán sobre subintervlos rbitrrios de R, se necesit un resultdo que nos permit trtr el cso de intervlos no cotdos. El siguiente lem nos permite hcer esto. Lem 1.5. Existen un función estrictmente positiv φ : R (0, ) l cul es integrble sobre R y un función medidor γ tl que 0 S(φ, D) 1 pr cd prtición etiquetd D de R que se γ-fin. Ahor se verá l estrech relción que hy entre ls funciones bsolutmente continus y l integrl de Henstock-Kurzweil, obteniendo sí los Teorems Fundmentles del Cálculo en un versión fuerte, el uso de estos teorems se hrá explícito en los teorems de intercmbio de integrles pr l integrl de Henstock-Kurzweil. Consideremos un función F : [, b] R. Se dice que F es bsolutmente continu, AC, sobre un conjunto E [, b] si pr cd ϵ > 0 existe lgún δ > 0 tl que N i=1 F (x i) F (y i ) < ϵ pr todo conjunto finito de intervlos biertos disjuntos {(x i, y i )} N i=1 con puntos finles en E y N i=1 (y i x i ) < δ. Se dice que F es bsolutmente continu en el sentido restringido, AC, si en cmbio se tiene N i=1 sup x,y [x i,y i ] F (x i ) F (y i ) < ϵ bjo ls misms condiciones como con AC. Se dice que F es bsolutmente continu generlizd en el sentido restringido, ACG, si F es continu y E es unión numerble de conjuntos sobre cd uno de los cules F es AC. Teorem 1.29 (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo). Se f : [, b] R. Entonces b f existe y F (x) = x f pr todo x [, b] si y sólo si F es ACG sobre [, b], F () = 0, y F = f csi donde se sobre (, b). Si b d x f existe y f es continu en x (, b), entonces f = f(x). dx

55 INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL Teorem 1.30 (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo). Se F : [, b] R. Entonces F es (ACG ) si y sólo si F existe csi donde se sobre (, b), F es Henstock-Kurzweil integrble sobre [, b], y x F = F (x) F() pr todo x [, b].

56 Cpítulo 2 Teorems de Intercmbio de integrles En este cpítulo nlizremos diverss condiciones que nos permiten intercmbir el orden de integrción con ls diferentes integrles que nlizmos en el cpítulo nterior, siguiendo el mismo orden En l integrl de Riemnn En el Teorem 1.4 probmos que F, definid como en (1.2), es continu y por tnto Riemnn integrble en [c, d]. El siguiente teorem muestr que est hipótesis de continuidd es suficiente pr segurr que se puede intercmbir el orden de integrción. Teorem 2.1. Si f : D R, donde D = {(x, t) : x b, c t d}, es continu, entonces d b c f(x, t)dxdt = b d c f(x, t)dtdx. Demostrción. El Teorem 1.4 y el Teorem 1.2 implicn que ls dos integrles iterds existen, rest probr que se cumple l iguldd. Como f es uniformemente 41

57 EN LA INTEGRAL DE RIEMANN continu en D, ddo ϵ > 0, existe δ(ϵ) > 0 tl que x x < δ(ϵ) y t t < δ(ϵ), entonces f(x, t) f(x, t ) < ϵ. Elijmos n N tl que b d c < δ(ϵ), < δ(ϵ) y dividmos D en rectángulos n n igules dividiendo [, b] y [c, d] en n prtes igules. Pr j = 0, 1,..., n sen x j = +j( b ), t n j = c+j( d c ); l integrl de l izquierd n se puede escribir como: n n k=1 j=1 tk t k 1 xj x j 1 f(x, t)dxdt. Aplicndo dos veces el Teorem del Vlor Medio pr Integrles, se tiene que existen x j [x j 1, x j ] y t k [t k 1, t k ] tles que: Así que: tk xj t k 1 x j 1 f(x, t)dxdt = f(x j, t k )(x j, x j 1 )(t k t k 1 ). d b c f(x, t)dxdt = n n f(x j, t k )(x j, x j 1 )(t k t k 1 ). k=1 j=1 De l mism mner se hce pr l otr integrl, luego existen x j [x j 1, x j ] y t k [t k 1, t k ] tles que b d c f(x, t)dxdt = n n f(x j, t k )(x j, x j 1 )(t k t k 1 ). k=1 j=1 Ddo que x j, x j [x j 1, x j ] y t k, t k [t k 1, t k ], por l continuidd uniforme de f se concluye que ls dos sums dobles y por tnto ls dos integrles iterds, difieren, lo más en ϵ(b )(d c). Como ϵ > 0 es rbitrrio se tiene l iguldd.

58 CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE INTERCAMBIO DE INTEGRALES En l integrl de Riemnn-Stieltjes En el Teorem 1.7 se estbleció que l continuidd de l función f junto con l hipótesis dicionl de que α se de vrición cotd segur que l función F, definid en (1.3), es continu. Ests hipótesis como veremos en el siguiente teorem son suficientes pr poder intercmbir el orden de integrción. Teorem 2.2. Supongmos que α es de vrición cotd en [, b], β de vrición cotd sobre [c, d] y f continu en D := {(x, y) : x b, c y d}. Si (x, y) D, definimos: F (y) = b f(x, y)dα(x); G(x) = d c f(x, y)dβ(y). Entonces F es Riemnn-Stieltjes integrble respecto de β en [c, d], G es Riemnn- Stieltjes integrble respecto de α en [, b], y d c F (y)dβ(y) = b G(x)dα(x). En otrs plbrs, podemos intercmbir el orden de integrción como sigue: b d c f(x, y)dβ(y)dα(x) = d b c f(x, y)dα(x)dβ(y). Demostrción. Por el Teorem 1.7, F es continu en [c, d] y por tnto F es Riemn- Stieltjes integrble con respecto β en [c, d]. Análogmente G es Riemnn-Stieltjes integrble con respecto α en [, b]. Sólo rest probr l iguldd. Pr probr l iguldd, consideremos el cso cundo α y β son monótons crecientes en [, b] y [c, d] respectivmente. Como f es uniformemente continu en D, ddo ϵ > 0, existe δ > 0 tl que pr cd pr de puntos z = (x, y), z = (x, y ) D con