Apuntes sobre la integral de Lebesgue

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1 Apuntes sobre la integral de Lebesgue Miguel Lacruz Martín Universidad de Sevilla 1. Medida de Lebesgue 1.1. Introducción La longitud l(i) de un intervalo I R se define habitualmente como la distancia entre los extremos del intervalo. La longitud es un ejemplo de función de conjunto, es decir, una función que asocia un número real a cada elemento de una familia de conjuntos. El objetivo es extender la noción de longitud a conjuntos más complicados que los intervalos. Se puede definir, por ejemplo, la longitud de un conjunto abierto como la suma de las longitudes de los intervalos abiertos que lo componen, pero la clase de los conjuntos abiertos es aún demasiado restringida. Se trata entonces de construir una función de conjunto m que asigne a cada conjunto E en alguna familia M de conjuntos de números reales, un número real no negativo m(e) llamado medida de E, de modo que se cumplan las siguientes propiedades: 1. Si I R es un intervalo entonces m(i) = l(i), ( ) 2. Si (E n ) es una sucesión de conjuntos disjuntos en M entonces m E n = m(e n ), 3. Si a R y E M entonces m(a + E) = m(e). Más adelante se verá que no es posible construir una función de conjunto que cumpla estas tres propiedades cuando M = P(R). La construcción se llevará a cabo entonces para una familia de conjuntos M P(R) lo más amplia posible Medida exterior Sea A R un conjunto de números reales, sea (I n ) una sucesión infinita de intervalos abiertos tal que A I n, y consideremos la suma infinita de las longitudes de estos intervalos. Como las longitudes son positivas, la suma infinita está bien definida, independientemente del orden de los intervalos. Se define la medida exterior m (A) como el ínfimo de tales sumas, es decir, { } m (A) := ínf l(i n ) : A I n. Se sigue inmediatamente de la definición que m ( ) = 0 y que si A B entonces m (A) m (B). También resulta evidente que la medida exterior de un conjunto que consiste de un punto es cero. A continuación se establecen dos proposiciones acerca de la medida exterior. Proposición 1. La medida exterior de un intervalo es igual a su longitud. 1

2 Demostración. Consideramos en primer lugar un intervalo cerrado y acotado, digamos I = [a, b]. Sea ε > 0 y observemos que I (a ε, b + ε), de modo que m (I) l(a ε, b + ε) = l(i) + 2ε. y por lo tanto m (I) l(i). Ahora debemos probar que m (I) l(i), o de forma equivalente, que para cualquier sucesión (I n ) de intervalos abiertos que recubre al intervalo I se tiene l(i n ) b a. Aplicando el teorema de Heine-Borel se obtiene un conjunto finito F N tal que I I n. n F Como a I n, existe n 1 F tal que a I n1 = (a 1, b 1 ), de modo que a 1 < a < b 1. Si n F b 1 b, entonces b 1 I, y como b 1 / I n1, existe n 2 F tal que b 1 I n2 = (a 2, b 2 ), es decir, a 2 < b 1 < b 2. Continuando este proceso, se obtiene una sucesión de intervalos I nj = (a j, b j ) tal que a j < b j 1 < b j. Como F es finito, el proceso debe terminar en cierto intervalo I nk = (a k, b k ), y el proceso solamente se detiene si b < b k. Tenemos por lo tanto l(i n ) k l(i nj ) = (b k a k ) + (b k 1 a k 1 ) + + (b 1 a 1 ) = b k (a k b k 1 ) (a k 1 b k 2 ) (a 2 b 1 ) a 1 > b k a 1, puesto que a j < b j 1. Ahora bien, b k > b y a 1 < a, luego b k a 1 > b a, y de ahí el resultado. Si I es un intervalo acotado cualquiera entonces para cada ε > 0 existe un intervalo cerrado J I tal que l(j) > l(i) ε, luego l(i) ε < l(j) = m (J) m (I) m (I) = l(i) = l(i). Así l(i) ε < m (I) l(i) para todo ε > 0, y por lo tanto m (I) = l(i). Si I es un intervalo no acotado entonces para cada M > 0 existe un intervalo cerrado J I tal que l(j) = M, luego m (I) m (J) = l(j) = M. Así m (I) M para todo M > 0, de donde se deduce que m (I) = = l(i). Proposición 2. Si (A n ) es una familia numerable de conjuntos de números reales entonces ( ) m A n m (A n ). Demostración. Si alguno de los conjuntos A n tiene medida exterior infinita entonces se cumple la desigualdad trivialmente. Si A n tiene medida exterior finita entonces para cada ε > 0 existe una sucesión de intervalos abiertos (I n,j ) tal que A n I n,j y l(i n,j ) < m (A n ) + ε 2 n. Ahora la familia (I n,j ) n, es numerable y recubre al conjunto A n, luego ( ) m A n l(i n,j ) [ m (A n ) + ε 2 n ] = m (A n ) + ε, de donde se sigue el resultado. 2

3 Corolario 1. Si A R es numerable entonces m (A) = 0. Corolario 2. El intervalo [0, 1] es no numerable. Proposición 3. Si A R y ε > 0 entonces existe un abierto G A tal que m (G) m (A)+ε. Proposición 4. Si A R entonces existe un conjunto G G δ tal que G A y m (G) = m (A). Problemas 1. Sea A = Q [0, 1]. Probar que si (I n ) es una familia finita de intervalos abiertos que recubre al conjunto A entonces se tiene la desigualdad l(i n ) 1. n 2. Demostrar la proposición 3 y la proposición Demostrar que la medida exterior es invariante por traslaciones. 4. Probar que si m (A) = 0 entonces m (A B) = m (B) Conjuntos medibles y medida de Lebesgue La medida exterior tiene la ventaja de estar definida para cualquier conjunto de números reales, pero no es numerablemente aditiva. Sin embargo, se hace numerablemente aditiva cuando se restringe adecuadamente la familia de conjuntos donde está definida. Quizás la mejor forma de hacer esto sea usando la siguiente definición de Carathéodory. Definición. Se dice que un conjunto E R es medible si para todo A R se tiene m (A) = m (A E) + m (A E c ). Como siempre se tiene m (A) m (A E) + m (A E c ), resulta que E es medible si y sólo si m (A) m (A E) + m (A E c ). Como la definición de conjunto medible es simétrica respecto a E y E c, resulta que E es medible si y sólo si E c es medible. Está claro que y R son medibles. Lema 1. Si m (E) = 0 entonces E es medible. Demostración. Si A R entonces A E E, luego m (A E) m (E) = 0. Además A A E c, de donde m (A) m (A E c ) = m (A E) + m (A E c ), y por lo tanto E es medible. Lema 2. Si E, F R son medibles entonces E F es medible. Demostración. Sea A R es un conjunto cualquiera. Como F es medible, tenemos m (A E c ) = m (A E c F ) + m (A E c F c ), y como A (E F ) = [A E] [A F E c ], tenemos Así m (A [E F ]) m (A E) + m (A F E c ). m (A [E F ]) + m (A E c F c ) m (A E) + m (A F E c ) + m (A E c F c ) = m (A E) + m (A E c ) = m (A), y como (E F ) c = E c F c, se sigue que E F es medible. 3

4 Corolario 3. La familia M de los conjuntos medibles es un álgebra de conjuntos. Lema 3. Si A R es un conjunto cualquiera y E 1... E n es una sucesión finita de conjuntos medibles disjuntos entonces n m A = m (A E j ). E j Demostración. Usamos inducción en n. El resultado es evidente cuando n = 1. Supongamos que se cumple el resultado cuando tenemos n 1 conjuntos medibles. Como los conjuntos E j son disjuntos, tenemos n n n 1 A E n = A E n, A En c = A, E i y como E n es medible, se sigue que n m A = m (A E n ) + m A E i E j n 1 E j n 1 = m (A E n ) + m (A E j ), E j donde la última igualdad se tiene por hipótesis de inducción. Teorema 1. La familia M de los conjuntos medibles es una σ-álgebra, es decir, el complemento de un conjunto medible es medible, y la unión y la intersección de una familia numerable de conjuntos medibles es medible. Además, cualquier conjunto con medida exterior nula es medible. Demostración. Ya hemos probado que M es un álgebra de conjuntos, así que solamente tenemos que probar que la unión de una familia numerable de conjuntos medibles es medible. Sea (E n ) una sucesión de conjuntos medibles y sea E = E n. Veamos en primer lugar que se puede expresar E como la unión de una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos. Consideremos la sucesión de conjuntos (F n ) definida mediante F n = E n \ (E 1 E n 1 ) = E n E c 1 E c n 1. Tenemos F n E n, y como M es un álgebra, cada F n es medible. Además, si m < n entonces F m F n E m F n = E m (E n E c n 1 E c m E c 1) =. Como F n E n, tenemos F n E n. Sea ahora x E n y sea n = mín{ j N : x E j }. Entonces x F n y por lo tanto E n F n. Resumiendo, (F n ) es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos con la propiedad de que E n = F n. 4

5 n Veamos ahora que E es medible. Sea A R un conjunto cualquiera y sea G n = F j E. Ahora se sigue del lema 2 que G n es medible. Además G c n E c, y por lo tanto m (A) = m (A G n ) + m (A G c n) m (A G n ) + m (A E c ). Según el lema 3 se tiene de donde se deduce que m (A G n ) = m (A F j ), m (A) m (A F j ) + m (A E c ). Tomando límites cuando n y usando la subaditividad de la medida exterior resulta m (A) m (A F j ) + m (A E c ) m (A E) + m (A E c ), y por lo tanto E es medible. Si E R es un conjunto medible, se define su medida de Lebesgue m(e) como su medida exterior, es decir, m(e) = m (E). Así, la medida de Lebesgue m es la restricción de la medida exterior m a la σ-álgebra M de los conjuntos medibles. Las siguientes proposiciones resumen dos importantes propiedades de la medida de Lebesgue. Proposición 5. Si (E n ) es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos entonces m( E n ) = m(e n ). Demostración. Como la medida exterior es numerablemente subaditiva se tiene la desigualdad Sea ahora n N y observemos que m( E n ) m(e n ). E j n E j. Aplicando el lema 3 resulta n m( E j ) m( E j = m(e j ), y tomando límites cuando n se obtiene la desigualdad deseada. Proposición 6. Sea (E n ) una sucesión decreciente de conjuntos medibles, es decir, E n E n+1, y supongamos que m(e 1 ) <. Entonces se tiene m( E n ) = lím m(e n). 5

6 Demostración. Sea E = E n y sea F n = E n \ E n+1, de modo que (F n ) es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos tal que E 1 \ E = F n. Tenemos m(e 1 \ E) = m(f n ) = m(e n \ E n+1 ). Ahora bien, m(e 1 ) = m(e 1 \ E) + m(e) y m(e n ) = m(e n \ E n+1 ) + m(e n ), puesto que E E 1 y E n+1 E n. Además se tiene m(e n ) m(e 1 ) <, y por lo tanto m(e 1 \ E) = m(e 1 ) m(e) y m(e n \ E n+1 ) = m(e n ) m(e n + 1). Finalmente, m(e 1 ) m(e) = = m(e n+1 \ E n ) [m(e n ) m(e n+1 )] = lím [m(e j ) m(e j+1 )] = lím [m(e 1) m(e n+1 )] = m(e 1 ) lím m(e n+1), de donde se deduce que m(e) = lím m(e n). Problemas 1. Sea E R medible y sea a R. Probar que el conjunto trasladado a + E es medible. 2. Probar que si E, F R son medibles entonces m(e) + m(f ) = m(e F ) + m(e F ). 3. Sea A R un conjunto cualquiera y sea (E n ) una sucesión de conjuntos medibles disjuntos. Probar que entonces m(a E n ) = m(a E n ). 4. Probar que el conjunto ternario de Cantor es no numerable y tiene medida cero Conjuntos de Borel y regularidad Aunque la intersección de una familia cualquiera de conjuntos cerrados es cerrada y la unión de cualquier familia finita de conjuntos cerrados es cerrada, la unión de una familia de numerable de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada. El conjunto de los números racionales, por ejemplo, es la unión numerable de una familia de conjuntos cerrados, cada uno de los cuáles contiene exactamente un punto. Como nos interesan σ-álgebras de conjuntos que contengan los conjuntos cerrados, debemos considerar conjuntos más generales que los abiertos y los cerrados. Se define la familia de los conjuntos de Borel B como la menor σ-álgebra que contiene los subconjuntos abiertos. También se puede contemplar B como la menor σ-álgebra que contiene los subconjuntos cerrados y como la menor σ-álgebra que contiene los intervalos abiertos. 6

7 Lema 4. El intervalo (a, ) es medible. Demostración. Sea A R un conjunto cualquiera y sean A 1 = A (a, ), A 2 = A (, a]. Debemos probar que m (A 1 ) + m (A 2 ) m (A). Podemos suponer que m (A) <. Sea ε > 0 y sea (I n ) una sucesión de intervalos abiertos que recubre al conjunto A y tal que l(i n ) m (A) + ε. Sea J n = I n (a, ) y K n = I n (, a]. Entonces J n y K n son intervalos (posiblemente vacíos) y además l(i n ) = l(j n ) + l(k n ) = m (J n ) + m (K n ). Como la sucesión (J n ) recubre A 1 se tiene y como la sucesión (K n ) recubre A 2 se tiene m (A 1 ) m ( J n ) m (J n ), m (A 2 ) m ( K n ) m (K n ). Combinando las desigualdades anteriores se obtiene m (A 1 ) + m (A 2 ) = m (J n ) + m (K n ) l(i n ) m (A) + ε, y como ε > 0 es arbitrario, se deduce que m (A 1 ) + m (A 2 ) m (A). Teorema 2. Todo conjunto de Borel es medible. En particular, todo conjunto abierto y todo conjunto cerrado es medible. Demostración. Como la familia M de los conjuntos medibles es una σ-álgebra y como (a, ) es medible, se sigue que (, a] = R\(a, ) es medible. Como (, b) = (, b 1/n], se sigue que (, b) es medible. Así cualquier intervalo abierto (a, b) = (, b) (a, ) es medible. Pero todo conjunto abierto es unión numerable de intervalos abiertos y por lo tanto es medible. Ahora M es una σ-álgebra que contiene los conjuntos abiertos y por lo tanto contiene la familia B de los conjuntos de Borel, pues B es la menor σ-álgebra que contiene los conjuntos abiertos. Proposición 7. Sea E R un conjunto cualquiera. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. E es medible, 2. ε > 0 existe un conjunto abierto G E tal que m (G\E) < ε, 3. ε > 0 existe un conjunto cerrado F E tal que m (E\F ) < ε, 4. Existe G G δ con G E y tal que m (G\E) = 0, 5. Existe F F σ con F E y tal que m (E\F ) = 0. 7

8 Esta proposición expresa una propiedad de regularidad para la medida de Lebesgue, es decir, que los conjuntos medibles están muy cercanos a conjuntos con buenas propiedades. Su demostración se deja como ejercicio. Problemas 1. Demostrar la proposición 7 usando las siguientes indicaciones: a) Probar que cuando m (E) < se tiene (1) = (2). b) Probar que cuando E R es arbitrario se tiene (1) = (2) = (4) = (1). c) Probar que (1) = (3) = (5) = (1) Existencia de conjuntos no medibles Vamos a demostrar la existencia de un conjunto no medible. Se define una relación de equivalencia en el intervalo [0, 1) del siguiente modo: dos números x, y [0, 1) son equivalentes si x y Q. Esta relación define una partición del intervalo [0, 1) en clases de equivalencia. Gracias al axioma de elección, existe un conjunto S [0, 1) que contiene exactamente un elemento de cada clase. Sea ahora (r j ) una numeración de los números racionales en el intervalo ( 1, 1) y sea S j = r j +S. Veamos cómo (S j ) es una sucesión de conjuntos disjuntos. Si x S j S k entonces x = r j + s j y x = r k + s k con s j, s k S, pero s j s k = r k r j Q, luego s j = s k y por lo tanto n = m. Además se tiene [0, 1) S j ( 1, 2), porque si x [0, 1) entonces x está en alguna clase de equivalencia, luego existe algún y S tal que x y Q, de modo que x y = r j para algún j 1, y así x S j. Ahora probamos que S no es medible por reducción al absurdo. Si S es medible entonces S j es un conjunto medible con m(s j ) = m(s) para todo j 1 y por lo tanto m( S j ) = m(s j ) = m(s), y esto es una contradicción porque 1 m( S j ) 3, mientras que la serie de la derecha converge a cero o diverge, según sea m(s) cero o positiva. Problemas 1. Probar que si A R es un conjunto cualquiera con m (A) > 0 entonces existe un conjunto no medible E A. Indicación: Si A (0, 1), sea E j = A S j. La medibilidad de E j implica que m(e j ) = 0, mientras que m (E j ) m (A) > Construir un ejemplo de una sucesión (E j ) de conjuntos disjuntos tal que m ( E j ) < m (E j ). 8

9 2. La integral de Lebesgue 2.1. Introducción La integral clásica de Riemann, introducida en el siglo XIX, tropieza con dificultades cuando se enfrenta a procesos de convergencia. La integral de Lebesgue permite la transición al límite sin ningún tipo de restricciones. Además, la integral de Lebesgue no se reduce a funciones definidas en intervalos acotados, sino que permite la integración extendida a dominios mucho más generales. También, las integrales impropias se engloban dentro del mismo marco, sin necesidad de procesos especiales de paso al límite. Finalmente, la integral de Lebesgue constituye una herramienta imprescindible en el Análisis de Fourier, el Análisis Funcional y otras ramas de las Matemáticas Funciones simples La función característica χ A de un conjunto cualquiera de números reales A R se define como { 1, si x A χ A (x) = 0, si x / A. Una función simple es cualquier función de variable real de la forma f = a j χ Ej, donde a j R y cada E j R es un conjunto medible. Observemos que esta representación para f no es única. Una función es simple si y sólo si toma una cantidad finita de valores. Si f es una función simple y {a 1,..., a n } es el conjunto de valores no nulos de f entonces se tiene una representación f = a j χ Aj, donde A j = {x R : f(x) = a j }. Esta representación para f se llama representación canónica y se caracteriza porque los conjuntos A j son disjuntos y los valores a j son distintos. Si f es una función simple que se anula fuera de un conjunto de medida finita, entonces se define su integral de Lebesgue como f(x)dx := a j m(a j ), R donde f = a j χ Aj es su representación canónica. A veces se escribe de forma abreviada f. Si E R es un conjunto medible cualquiera entonces se define la integral de f extendida a E mediante la expresión f := f χ E. E A menudo resulta conveniente trabajar con representaciones que no son canónicas y el siguiente lema tiene mucha utilidad. Lema 5. Sea f = a j χ Ej, con E j E k = cuando j k. Supongamos que cada conjunto E j es medible y tiene medida finita. Entonces f = a j m(e j ). 9

10 Demostración. Sea A a = {x R : f(x) = a}. Observemos que A a = E j, y por aditividad se sigue que am(a a ) = a j m(e j ), luego f = am(a a ) = a j=a a R a j=a a j m(e j ). Proposición 8. Si f, g son dos funciones simples que se anulan fuera de un conjunto medible de medida finita entonces (af + bg) = a f + b g. Si además f g entonces f g. Demostración. Consideremos las representaciones canónicas f = j a j χ Aj, g = k b k χ Bk, y sea E jk = A j B k, de modo que los conjuntos E jk son medibles y disjuntos. Además se tiene f = j,k a j χ Ejk, g = j,k b k χ Ejk, y por lo tanto af + bg = j,k (aa j + bb k )χ Ejk. = a j,k Ahora se sigue del lema 5 que (af + bg) = (aa j + bb k )m(e jk ) j,k a j m(e jk ) + b j,k b k m(e jk ) = a f + b g. Además, si f g entonces f g 0, luego f g = (f g) 0, porque una consecuencia inmediata de la definición es que la integral de una función simple no negativa es no negativa. Supongamos que f = a j χ Ej. Se sigue de la proposición 8 que f = a j m(e j ), y por lo tanto, la restricción de que los conjuntos E j sean disjuntos en el lema 5 no es necesaria. Problemas 1. Sean A, B R. Probar las siguientes identidades: a) χ A B = χ A χ B, b) χ A B = χ A + χ B χ A B, c) χ A c = 1 χ A. 2. Sean f, g funciones simples. Probar que f + g, f g y fg también son funciones simples. 10

11 2.3. Funciones medibles Se dice que una función real de variable real f es medible si f 1 (B) = {x R : f(x) B} es medible para cada conjunto de Borel B R. El siguiente resultado proporciona algunas condiciones sencillas para comprobar en la práctica si una función dada es medible. Proposición 9. Sea f una función real de variable real. Son equivalentes: (a) f es una función medible, (b) α > 0 el conjunto {x R : f(x) α} es medible, (c) α > 0 el conjunto {x R : f(x) > α} es medible, (d) α > 0 el conjunto {x R : f(x) α} es medible, (e) α > 0 el conjunto {x R : f(x) < α} es medible. Demostración. Tenemos (a) = (b) porque (, α] B y {x R : f(x) α} = f 1 ((, α]). A continuación (b) = (c) porque {x R : f(x) < α} = R\{x R : f(x) α} y el complemento de un conjunto medible es un conjunto medible. Análogamente, (d) = (e). Ahora (c) = (d) porque {x R : f(x) α} = {x R : f(x) > α 1/n} y la intersección de una sucesión de conjuntos medible es un conjunto medible. Finalmente, sea A = {B B : f 1 (B) M}. Estamos suponiendo que (, α) A para todo α R. Además, si (A n ) es una sucesión de conjuntos en A entonces f 1 ( A n ) = f 1 (A n ), luego A n A. Si A A entonces se tiene f 1 (R\A) = R\f 1 (A) luego R\A A. Así A es una σ-álgebra, A B y A contiene todos los conjuntos de la forma (, α). Se deduce entonces que A = B y por lo tanto f es medible. Esto prueba que (e) = (a). Los siguientes resultados muestran cómo ciertas operaciones con funciones medibles conducen a nuevas funciones medibles. Proposición 10. Si f, g son dos funciones medibles y c es una constante entonces las funciones f + c, cf, f + g, fg también son medibles. Demostración. Tenemos {x R : f(x) + c < α} = {x R : f(x) < α c} luego f + c es medible. Un argumento similar sirve para cf. Supongamos ahora que f(x) + g(x) < α, de modo que f(x) < g(x) α. La densidad de los números racionales implica que existe algún r Q tal que f(x) < r < g(x) α. Esto prueba que {x R : f(x) + g(x) < α} = r Q{x R : f(x) < r} {x R : g(x) < α r} y como la unión de una familia numerable de conjuntos medibles es un conjunto medible, se deduce que f + g es medible. La función f 2 es medible porque {x R : f 2 (x) > α} = {x R : f(x) > α} {x R : f(x) < α} si α 0 y {x R : f 2 (x) > α} = R si α < 0. Finalmente, fg también es una función medible porque se tiene la identidad fg = 1 4 [(f + g)2 (f g) 2 ]. 11

12 Teorema 3. Si (f n ) es una sucesión de funciones medibles entonces las funciones sup{f 1,... f n }, ínf{f 1,... f n }, sup{f n : n N}, ínf{f n : n N}, lím sup f n, y lím inf f n también son medibles. Demostración. Sean f = sup{f 1,... f n }, g = sup{f n : n N} y sea α R. Tenemos {x R : f(x) > α} = {x R : g(x) > α} = n {x R : f j (x) > α}, {x R : f j (x) > α}, luego f, g son medibles. Un razonamiento similar sirve para el ínfimo. A continuación observamos que lím sup f n = ínf f j, luego lím sup f n es medible. Análogamente, lím inf f n es medible. sup n N j n Se dice que dos funciones f, g son iguales en casi todo punto y se simboliza como f = g c.t.p. si el conjunto {x R : f(x) g(x)} tiene medida nula. Proposición 11. Si f es una función medible y f = g c.t.p. entonces g es medible. Demostración. Sea E = {x R : f(x) g(x)}, de modo que m(e) = 0. Sea α R y observemos que el conjunto {x R : g(x) > α} = {x E : g(x) > α} {x R\E : f(x) > α} es medible por ser la unión de dos conjuntos medibles. Se dice que una sucesión de funciones (f n ) converge hacia una función f en casi todo punto si existe un conjunto E R tal que m(e) = 0 y f(x) = lím f n (x) para todo x R\E. Proposición 12. Si una sucesión de funciones medibles (f n ) converge en casi todo punto hacia una función f entonces f es medible. Demostración. Sea E R tal que m(e) = 0 y f(x) = lím f n (x) para todo x R\E. Sea g n = f n χ R\E + f χ E. Entonces g n es medible por ser g n = f n c.t.p. Además f(x) = lím g n (x) para todo x R y por lo tanto f es medible. Problemas 1. Sea D R un subconjunto denso. Sea f una función tal que {x R : f(x) < α} es medible para todo α D. Probar que entonces f es medible. 2. Probar que si f es una función medible y g es una función continua entonces la función compuesta g f es medible. 3. Construir un ejemplo de una función medible f y una función continua g de tal modo que la función compuesta g f no sea medible Integración de funciones no negativas Si f es una función medible no negativa entonces se define su integral de Lebesgue mediante { } f = sup s : s simple, 0 s f. El siguiente resultado proporciona un tratamiento útil de la integral de una función medible no negativa como el límite de una sucesión de integrales de funciones simples. 12

13 Teorema 4. Si f es una función medible no negativa entonces existe una sucesión (s n ) de funciones simples no negativas tal que s n (x) s n+1 (x) para todo x R y para todo n N, s n (x) f(x) para todo x R y para todo n N, lím s n(x) = f(x) para todo x R. Si (s n ) es una sucesión de funciones simples con estas propiedades entonces se tiene f = lím s n. Demostración. Sea n N y para cada k = 1, 2,..., n2 n 1 consideremos los conjuntos medibles E nk := f 1 ((k 1)/2 n, k/2 n ]), E n := f 1 ((n, )). Ahora definimos s n := nχ En + n2 n k=1 k 1 2 n χ E nk. Observemos que E nk = E n+1,2k E n+1,2k+1. Así, sobre E nk tenemos s n (x) = k/2 n = 2k/2 n+1, mientras que s n+1 (x) = 2k/2 n+1 o bien s n+1 (x) = (2k+1)/2 n+1, luego s n (x) s n+1 (x). Sobre el conjunto E n tenemos s n (x) = n s n+1 (x) y en los demás puntos se tiene s n (x) = 0 s n+1 (x). Por lo tanto s n (x) s n+1 (x) para todo x R. Sea ahora x R y sea N N tal que f(x) < N. Así f(x) 1/2 n s n (x) f(x) para todo n N, luego lím n(x) = f(x) para todo x R. Sea ahora (s n ) una sucesión de funciones simples con estas tres propiedades. Como cada s n es una función simple y como 0 s n s n+1, resulta que 0 s n s n+1 y por lo tanto existe c = lím s n para algún c 0, quizás c =. Como 0 s n f, se tiene s n f y por lo tanto c f. Veamos cómo f c. Sea r una función simple con 0 r f y p consideremos una representación r = a j χ Aj, donde los conjuntos medibles A j son disjuntos y además p A j = R. Tenemos s n = s n χ Aj, luego s n = j probar para cada j = 1,..., p la desigualdad a j m(a j ) lím s n. A j p Sea ε > 0 y sea B n = {x A j : s n (x) > (1 ε)a j }. Tenemos B n B n+1 y A j s n, y por lo tanto basta B n = A j. Usando aditividad numerable se tiene m(a j ) = m(b 1 ) + m(b n+1 \B n ), luego m(a j ) = lím m(b n), y por lo tanto (1 ε)a j m(a j ) = lím (1 ε)a jm(b n ) lím s n. Como ε > 0 es arbitrario, A j concluimos que a j m(a j ) lím s n. A j 13

14 Proposición 13. Si f es una función medible no negativa y c es una constante no negativa entonces se tiene cf = c f. Demostración. Observemos que, según la proposición 10, la función cf es medible. Aplicando el teorema 4, existe una sucesión (s n ) de funciones simples no negativase tal que s n (x) s n+1 (x) para todo x R y para todo n N, s n (x) f(x) para todo x R y para todo n N, lím s n(x) = f(x) para todo x R. Ahora resulta que (c s n ) es una sucesión de funciones simples no negativas tal que c s n (x) c s n+1 (x) para todo x R y para todo n N, c s n (x) c f(x) para todo x R y para todo n N, lím c s n(x) = c f(x) para todo x R. Aplicando de nuevo el teorema 4 y la proposición 8 resulta que c f = lím c s n = lím c s n = c lím s n = c f, como queríamos demostrar. Proposición 14. Si f, g son funciones medibles no negativas entonces (f + g) = f + g. Demostración. Observemos que, según la proposición 10, la función f + g es medible. Aplicando el teorema 4, existen sucesiones de funciones simples no negativas (r n ), (s n ) tales que r n (x) r n+1 (x), s n (x) s n+1 (x), para todo x R y para todo n N, r n (x) f(x), s n (x) g(x), para todo x R y para todo n N, f(x) = lím r n(x), g(x) = lím s n(x), para todo x R, f = lím r n, g = lím s n. Ahora resulta que (r n + s n ) es una sucesión de funciones simples no negativas con la propiedad de que r n + s n r n+1 + s n+1 f + g y f(x) + g(x) = lím r n(x) + g n (x). Aplicando de nuevo el teorema 4 y la proposición 8 resulta que ( ) (f + g) = lím (r n + s n ) = lím r n + s n = lím r n + lím s n = f + g, como queríamos demostrar. 14

15 Problemas 1. Sea f(x) = x si x 0 y f(x) = 0 si x < 0. Sea (s n ) la sucesión de funciones simples que aproxima a f en el teorema 4. Cuál es el máximo valor de f 4? Cuántos valores distintos hay en el rango de f 4? 2. Sea f una función medible no negativa. Probar que si f = 0 entonces f = 0 c.t.p Integración de funciones medibles Si f es una función medible entonces f se descompone como f = f + f, donde las funciones f + := máx{f, 0} y f := mín{f, 0} son medibles y no negativas. Se dice que f es integrable si f + < y f <, y en tal caso se define la integral de f mediante f := f + f. Observemos que una función medible f es integrable si y sólo si f <. Teorema 5. El conjunto L 1 de todas las funciones integrables Lebesgue es un espacio vectorial y la aplicación f f es una forma lineal sobre L 1, es decir, si f, g L 1 y c R entonces f + g L 1, cf L 1, y además (f + g) = f + g, cf = c f. Demostración. Según la proposición 10, las funciones f + g y cf son medibles. La igualdad cf = c f cuando c = 1 se sigue inmediatamente de la la definición, y cuando c 0 se sigue de la proposición 13. Sea h := f +g. Tenemos f +g +h + = f + +g + +h, luego h + f + +g + porque h = 0 cuando h 0. Entonces h + f + + g + <. Análogamente, h <. Esto prueba que h es integrable. Aplicando la proposición 14 resulta f + g + h + = f + + g + + h, de donde se deduce que (f + g) = h = h + h = f + f + g + g = f + g, como queríamos demostrar. Problemas 1. Sean f, g L 1 tales que f g. Probar que entonces f g. 2. Sea f L 1 y sean E, F R dos conjuntos medibles disjuntos. Probar que entonces f = f + f. E F E F 3. Sean f, g L 1 y sea d(f, g) := f g. Probar que d es una métrica en L 1 con el convenio de identificar dos funciones f, g cuando f = g c.t.p. 15

16 3. Los teoremas de convergencia Esta sección comprende tres teoremas que se encuentran entre los más importantes del Análisis. Estos teoremas no se cumplen para la integral de Riemann porque, en general, el límite puntual de una sucesión de funciones integrables Riemann no tiene por qué también ser integrable Riemann. La potencia y la utilidad de estos teoremas constituyen la principal ventaja teórica de la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann. Teorema 6 (Teorema de la convergencia monótona). Sea (f n ) una sucesión no decreciente de funciones medibles no negativas y sea f(x) = lím f n(x). Entonces se tiene f = lím Demostración. La función f es medible gracias al teorema 3. Además, gracias al teorema 4, para cada n N existe una sucesión no decreciente (s nk ) de funciones simples no negativas tal que r nk f n, f n (x) = lím s nk(x) y f n = lím s nk. Sea ahora r n = máx{s 1n,... s nn }, de modo k k que (r n ) es una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas con 0 r n f y tal que f = lím r n. Aplicando otra vez el teorema 4 resulta que f = lím r n. Ahora bien, r n f n f, luego r n f n f y de aquí se deduce que f = lím f n. Corolario 4 (Teorema de Beppo Levi). Supongamos que (f n ) es una sucesión de funciones medibles no negativas. Entonces se tiene f n. f n = f n. Demostración. Este corolario se obtiene directamente al aplicar el teorema de la convergencia monótona a la sucesión de las sumas parciales. Teorema 7 (Lema de Fatou). Si (f n ) es una sucesión de funciones medibles y no negativas entonces se tiene lím inf f n lím inf f n. Demostración. Sea f = lím inf f n y sea g n = ínf{f k : k n}, de modo que (g n ) es una sucesión no decreciente de funciones medibles no negativas tal que g = lím g n. Aplicando el teorema de la convergencia monótona resulta que g = lím g n. Ahora bien, g n f k para cada k n, { } luego g n ínf f k : k n, y por lo tanto lím g n lím inf Teorema 8 (Teorema de la convergencia dominada). Sea g una función integrable Lebesgue y sea (f n ) una sucesión de funciones medibles tal que f(x) = lím f n(x) y f n (x) g(x). Entonces f = lím f n. f n 16

17 Demostración. Observemos en primer lugar que cada función g f n es medible y no negativa. Usando el lema de Fatou resulta (g f) lím inf (g f n ). Ahora bien, f g, luego f es integrable y por lo tanto g f g lím sup f n. Esto prueba que, f lím sup f n. A continuación observamos que cada función g+f n es medible y no negativa, y aplicando de nuevo el lema de Fatou resulta que (g + f) lím inf (g + f n ), luego (g + f) lím inf (g + f n ) y por lo tanto f lím inf f n. Si (f n ) es una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente hacia una función f entonces el lema de Fatou, el teorema de la convergencia monótona y el teorema de la convergencia dominada establecen que bajo ciertas hipótesis, se puede asegurar algo acerca de la integral f en términos de las integrales f n. El lema de Fatou tiene la hipótesis más débil, pues solamente se necesita que f n sea no negativa. La conclusión del lema de Fatou también es más débil, pues sólo se obtiene una desigualdad. El teorema de la convergencia dominada tiene una hipótesis más frestrictivaque f n esté acotada superiormente por una función integrable. La conclusión del teorema de la convergencia dominada también es más fuerte, porque se obtiene una igualdad. El teorema de la convergencia monótona es una especie de híbrido: requiere que f n sea no negativa y esté acotada superiormente por la función f. Está claro que si f es integrable, esto es un caso especial del teorema de la convergencia dominada, pero la ventaja del lema de Fatou y el teorema de la convergencia monótona es que son aplicables aún cuando f no es integrable, y a menudo son una buena forma de probar que f es integrable. El lema de Fatou y el teorema de la convergencia monótona son equivalentes en el sentido de que uno se puede deducir del otro usando nada más que la linealidad y la positividad de la integral. Problemas 1. Probar que lím 0 sen(e x ) dx = nx2 1 n cos x 2. Probar que lím dx = n 2 x3/2 3. Sea f una función integrable no negativa y sea F la función definida mediante F (x) := Usar el teorema de la convergencia monótona para probar que F es continua. 4. Utilizar la sucesión de funciones (f n ) definidas por f n (x) = 1 si n x n + 1 y f n (x) = 0 en otro caso, para probar que puede haber desigualdad estricta en el lema de Fatou. 5. Considerar la sucesión de funciones (f n ) definidas por f n (x) = 1si n x 2n y f n (x) = 0 en otro caso. Probar que lím f n(x) = 0 pero sin embargo lím f n =. Esto sirve para poner de relieve que no es posible prescindir de la condición f n g L 1 en el teorema de la convergencia dominada. x f. 17

18 6. Sea g una función medible tal que g 2 <, sea (f n ) una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente hacia una función f y supongamos que f n (x) g(x). Probar que entonces lím (f n + f) 2 = 4 f Demostrar el Lema de Riemann-Lebesgue: Si f es una función integrable entonces lím f(x) cos nxdx = Sea f una función acotada en el cuadrado unidad Q = [0, 1] [0, 1]. Supongamos que para cada t [0, 1] la función f(, t) es medible, que para cada (x, t) Q existe la derivada parcial f t y que la función f t d dt es acotada en Q. Demostrar que entonces se tiene 1 0 f(x, t)dx = 1 0 f t dx. 18