DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Sea una función f : [a, b] R, positiva (f 0) y cuya gráfica presenta una situación del tipo:

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Se un función f : [, b] R, positiv (f 0) y cuy gráfic present un situción del tipo: Figur 1. Aproximción por rectángulos. Antes de proximr por rentángulos tenemos que dividir el intervlo donde está definid l función. Definición. 1. Ddo un intervlo cerrdo de l rect [, b] llmmos prtición del intervlo todo conjunto finito del mismo P = {t 0, t 1,..., t n [, b] } de modo que t 0 = < t 1 < t 2 <... < t n = b. Llmmos P ([, b]) = {P : P prtición de [, b]}, es decir l conjunto de tods ls prticiones del intervlo [, b]. Figur 2. Prtición de un intervlo. Ejemplo. 1. Ddo el intervlo [1, 3], dos ejmplos de prticiones de este intervlo son 1

2 2 C. RUIZ P = {1, 3 2, e, 3}. Est prtición tiene 4 elementos y divide el intervlo en tres prtes. P = {1, 3 2, 2, e, 3}. Est prtición tiene 5 elementos y divide el intervlo en cutro prtes. Un prtición sobre un intervlo descompone este en intervlos más pequeños cuy unión es el totl. Observemos que en el ejemplo nterior P P. L prtición P contiene todos lo elementos de l prtición P y lguno más. Definición. 2. Dd dos prticiones P, P P ([, b]) de un intervlo [, b], se dice que l prtición P es más fin que l prtición P si P P. Un prtición más fin que otr divide el intervlo en más subintervlos que l que es menos fin. Lem. 1. Dd dos prticiones P, P P ([, b]) de un intervlo [, b], existe otr prtición P que es más fin que ls otrs dos. Demostrción: Pr ello solo hy que considerr P = P P Ls prticiones de un intervlo nos dn ls bses de los rectángulo con los que queremos proximr nuestrs áres. Vmos hor con ls lturs. Definición. 3. Se un función f : [, b] R cotd y se P P ([, b]) un prtición del intevlo [, b] Se definen y P = { = t 0 < t 1 <... < t n = b}. M i = M [ti,t i+1 ] = sup{f(t) : t [t i, t i+1 ] } pr i = 0, 1, 2,.., n 1; m i = m [ti,t i+1 ] = ínf{f(t) : t [t i, t i+1 ] } pr i = 0, 1, 2,.., n 1. Figur 3. Supremo e ínfimo en un subintervlo.

3 APUNTES MMI 3 Observemos que los supremos e ínfimos de l definición existen por que l función f l tommos cotd (demás de l Propiedd del Extremo Superior de R que vimos en el primer Tem). El siguiente pso es definir l sum de ls áres de l rectángulos que vn proximr nuestr figur. Proposición. 1. Se un función f : [, b] R cotd y se P P ([, b]) un prtición del intevlo [, b]. : Se define l sum superior de l función f con respecto l prtición P por S(f, P ) = M i (t i+1 t i ). b: Se define l sum inferior de l función f con respecto l prtición P por I(f, P ) = m i (t i+1 t i ). Aquí M i y m i son los supremos e ínfimos definidos rrib. Observemos que M i (t i+1 t i ) es el áre del rectángulo de bse el intervlo [t i, t i+1 ] y ltur M i. Figur 4. Aproximción superior. De l mism form m i (t i+1 t i ) es el áre del rectángulo de bse el intervlo [t i, t i+1 ] y ltur m i.

4 4 C. RUIZ Figur 5. Aproximción inferior. Lem. 2. Se un función f : [, b] R cotd y se P P ([, b]) un prtición del intevlo [, b]. Entonces I(f, P ) S(f, P ). Demostrción: L prueb es muy sencill y que m i M i y t i+1 t i 0 pr todo i = 0, 1, 2,..., n 1. Lem. 3. Se un función f : [, b] R cotd y sen P, P P ([, b]) dos prticiones del intevlo [, b]. Si P es más fin que P (es decir P tiene todos los punto de P y lguno más), entonces ( ) I(f, P ) I(f, P ) S(f, P ) S(f, P ). Demostrción: En primer lugr supondremos que P = {t 0 < t 1 <... < t n } tiene solo un punto menos que P, sí y Entonces como por tnto y P = P {c} P = {t 0 < t 1,..., t j < c < t j+1,..., t n } pr lgún j. m i mín{m [tj,c], m [c,tj+1 ]} y M j máx{m [tj,c], M [c,tj+1 ]},,i j S(f, P ) = I(f, P ) = m i (t i+1 t i ) m i (t i+1 t i ) + m [tj,c](c t j ) + m [c,tj+1 ](t j+1 c) = I(f, P ),i j M i (t i+1 t i ) + M [tj,c](c t j ) + M [c,tj+1 ](t j+1 c)

5 APUNTES MMI 5 M i (t i+1 t i ) = S(f, P ). Lo que prueb ( ) en este cso. Figur 6. Demostrción sin plbrs. Figur 7. Demostrción sin plbrs. Pr terminr si P = P {c 1,..., c k }, probmos ( ) pr P y P {c 1 }, después pr P {c 1 }, y P {c 1, c 2 },...etc Proposición. 2. Se un función f : [, b] R cotd y sen P, P P ([, b]) dos prticiones del intevlo [, b] culesquier. Entonces I(f, P ) S(f, P ). Demostrción: Se P = P P un prtición más fin que P y que P, entonces por el lem nterior I(f, P ) I(f, P ) S(f, P ) S(f, P ) Acbmos de probr que culquier sum inferior est cotd por culquier sum superior y dicevers. Esto nos premite dr l siguiente definición. Definición. 4. Se un función f : [, b] R cotd. : Se define l integrl superior de f en el intervlo [, b] por el número rel f = ínf{s(f, P ) : P P ([, b]) }.

6 6 C. RUIZ b: Se define l integrl inferior de f en el intervlo [, b] por el número rel f = sup{i(f, P ) : P P ([, b]) }. Pr un función f cotd, ests integrles superiores e inferiores siempre existen y demás, de l definición de tles números, se sigue que: f f Lo que hemos hecho es proximr un áre por rectángulos inscritos dentro del áre, de modo que l hcer más pequeñs ls bse conseguimos un mejor proximción. Psndo l límite, tomndo el supremo, hemos llegdo l integrl inferior. De form nálog, hemos proximdo un áre por rectángulos que continenen l áre, de modo que l hcer más pequeñs ls bse conseguimos un mejor proximción. Psndo l límite, tomndo el ínfimo, hemos llegdo l integrl superior. Y estmos en condiciones de dr de dr l definición de integrl. Definición. 5. Se un función f : [, b] R, cotd. Decimos que l función es integrble en el intervlo [, b] si f = f Llmmos integrl f en el intervlo [, b] l número rel f = = f Un definición lrg y enrevesd. Tiene esto que ver con un áre? Ejemplo. 2. (Función de Dirichlet). Se consider l función f : [0, 1] R definid por f(x) = { 1, si x Q 0, si x [0, 1]\Q. Clrmente est función está cotd (0 f(x) 1) y como todo intervlo contiene tnto un número rcionl como irrcionl se tiene que Luego no es un función integrble. f = 0 < 1 = f

7 APUNTES MMI 7 Si intentmos pintr l gráfic de est función veremos que no nos qued un recinto donde buscr un áre. Lo que vmos decir hor es que áre e integrl son l mism cos. Definición. 6. Se un función f : [, b] R cotd, positiv ( es decir 0 f(x) M pr todo x [, b] ) e integrble. : Se define el recinto que qued por debjo de l gráfic de f l conjunto del plno A f = { (x, y) R 2 : x [, b] y 0 y f(x) }. b: Llmmos áre de A f l número Figur 8. Áre por debjo de un gráfic. Ante tnto despliegue de teorí nos surgen duds como: cundo un función es integrble? Está definición de áre es l mism que conocemos? Como se hce un cálculo efectivo de integrles? A ests cuestiones vmos dr respuest poco poco. Si es importnte recordr pr lguns plicciones de l integrl (en Físic por ejemplo) que l integrl no es más que un límite de sums de productos: f m i (t i+1 t i ). Además l estimción nterior es un form proximd de clculr integrles, no l más eficiente, pero si l más sencill. Referencis Deprtmento de Análisis Mtemático, Fcultd de Mtemátics, Universidd Complutense, Mdrid, Spin E-mil ddress: Cesr Ruiz@mt.ucm.es