0.1 Sustituciones trigonométricas.-
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- Dolores Sánchez Fuentes
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1 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC.. Sustituciones trigonométrics.- Cso.- El integrndo contiene un epresión de l form +. Se sugiere l sustitución = tn u d = sec udu de donde Z + = sec u d ( +) 3/ Cso.- El integrndo contiene un epresión de l form. Se sugiere l sustitución = sin u d = cos udu de donde Z = cos u d 5 Cso 3.-El integrndo contiene un epresión de l form. Se sugiere l sustitución = sec u d = sec u tn udu de donde = tn u, con <u<π/cundo >yπ/ <u<π cundo Z <. Z 3 π/6 d = 3tn udu= 6 3π = Descomposición en sum de frcciones prciles.- Pr integrles de l form Z p() q() d donde p() y q() son polinomios, con grdop() <grdoq().. Z / 3 d = ln 5 ln + C +
2 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC Z + + d = 3ln +5ln( ) ln ( +)+C 3 Z d =ln( ) + ln ( +)+ rctn + C Z + + ( +) d = + ( +) rctn +C Z e (e )(e +) d = 5 ln (e ) 5 ln (e +)+C Integrles impropis.- (I) Cso intervlo de integrción no cotdo. Si f es continu en el intervlo [, + [, entonces Ejemplos. f()d = b + f()d. d. Pr p 6=, p d 3. Z ( )e d ( )e d = e + C Si f es continu en el intervlo ],b], entonces f()d = f()d Si f es continu en tod l rect rel, entonces f()d = Z c f()d + c f()d
3 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 3 donde c es culquier número rel. Ejemplo: R + d (II) Cso función no cotd en el intervlo de integrción Si f es continu en el intervlo ], b] yesnocotdcercde Ejemplo: R ln d. Ejercicio.- R + ( +) d. Función Gmm.- f()d = c + Pr cd t>,lintegrpropi c e t d f()d es convergente. De hecho, deben considerrse ls integrles Z e t d y e t d Pr l segund integrl, sen f () =e t y g () =. Se tiene entonces, e t = t+ e = (*)
4 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. y luego, como R + d converge, l integrl de f tmbién converge. Pr l primer integrl, con =, d = du u u Z c e t d = = Z /c Z /c e /u u t+ u du e /u u t du y R + e /u u t du converge, l comprr con R + u t du (t >) * Este límite sle del resultdo más generl, pr >, b>: Así entonces, e t d = (ln ) b = Z b e = e t d + e t d Definition L función Gmm se define por Γ :], + [ R Γ (t) = e t d Eercise Pr l función Γ : ) Clcule Γ (), Γ () b) Usndo integrción por prtes muestre que Γ (t +)=t Γ (t) c) Deduzc que n N : Γ (n) =(n )!.3 Trnsformd de Lplce Se f [, [ R, t f (t) continu (por hor). Se define l trnsformd de Lplce de f como l función F (s) = e st f (t) dt
5 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 5 definid pr todos los s tles que l integrl converge. ObtengltrnsformddeLplcedelssiguientesfunciones: ) f (t) = b) f (t) =t c) f (t) =e t d) f (t) =sinbt. Regl de L Hôpitl.- Un form indetermind del tipo i,donde es un límite f () = g () =. + + Un form indetermind del tipo h i es un límite f(),donde + g() f () =± y g () =±. + + L regl de L Hôpitl entreg un poderos herrmient pr clculr límites de forms indeterminds: h i Theorem 3 Sen f,g :(, b) R funciones derivbles y f() un + g() form indetermind o f () f () = L = L + g () + g () h f() + g() donde L puede ser un número rel (el límite eiste) o bien L puede ser + o (el límite diverge). El teorem tmbién vle pr F.I. con b,, c Algunos ejemplos importntes:. + e, n + e, n + e b h sin i. = sin [ ln ], + [ ] + + y
6 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 6 Aplicciones de l integrl.-. Definición de l integrl de Riemnn.- Se f :[, b] R. Dd un prtición P : < < <...< n < n = b del intervlo [, b] se escoje ˆ k [ k, k ] (un punto en cd subintervlo). Esto permite definir un sum de Riemnn de f, socid l prtición P por S (f,p) = nx f (ˆ k ) k k= Por ejemplo, con f () = +, podemos construir l sum de Riemnn: con un prtición que determine subintervlos de igul longitud y escojiendo el punto medio de cd subintervlo 3.5.5
7 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 7 Pr un prtición P dd, llmmos norm de l l prtición l longitud del subintervlo más lrgo, l cul se denot kp k. Que kp k < δ, signific que pr todos los subintervlos: k < δ. Un cso prticulr se tiene cundo todos los subintervlos tienen l mism longitud. L prtición se denomin regulr y se tiene yportnto, kp k = b n kp k n Pr un prtición generl b kp k n luego kp k n y el recíproco no vle. Definition Se dice que f es integrble Riemnn en [, b] cundo eiste un L R que verific: Ddo ε >, eiste δ > tl que nx prtición P : kp k < δ L f (ˆ k ) < ε k k= culquier se l elección de ˆ k [ k, k ] Est condición signific que kp k nx f (ˆ k ) k = L k= El vlor de este límite se llm l integrl de f en el intervlo [, b] yse escribe nx f () d = f (ˆ k ) k kp k k=
8 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 8 Theorem 5 Tod función continu en [, b] es integrble en [, b]. Lclsedefuncionesintegrblesen[, b] es más mpli que l indicd en el teorem nterior. Se puede probr que tmbién son integrbles ls funciones continus por trmos. Un función f es continu por trmos (o seccionlmente continu) en el intervlo [, b], cundo ell es continu en todo punto del intervlo, con l posible ecepción de un número finito de puntos t,t,..., t k donde los límites lterles deben eistir. Por ejemplo, si < f () = 3 si 3 e si < L integrl se clcul en este cso como Z 6 f () d = Z d + Z (3 ) d + Z 6 = e 6 +e 3 e d. Aplicciones de l integrl... Are entre curvs Se R l región del plno descrit por b g () y f ()
9 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 9 donde f,g :[, b] R son continus. Por ejemplo, Pr clculr el áre de R tommos un prtición P : = < <... < n = b de [, b] yelejimosˆ k [ k, k ]. Sobre cd subintervlo [ k, k ], considermos el rectángulo de áre [f (ˆ k ) g (ˆ k )] k L sum nx [f (ˆ k ) g (ˆ k )] k k= es un sum de Riemnn de l función f () g (). Ahor cundo kp k, los rectángulos vn llenndo l región R como tmbién ls sums de Riemnn se proimn l vlor de l integrl de l función. Por esto A (R) = [f () g ()] d Emple 6 Encuentre el áre de l región cotd por ls prábols y = e y =.
10 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC A (R) = R ( ) d = 3 Emple 7 Encuentre el áre de l región encerrd por l rect y = y l prábol y = +6 y A (R) = R ³ +3 y + y dy =8
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