Lección 2. Integración: aplicaciones.

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1 CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Integrción: plicciones. Resumen de l lección... Cálculo de primitivs. Primitiv. Integrl inde nid. Si f es un función continu de nid en un intervlo I entonces un primitiv suy es un función F derivble en el dominio I de form que F = f en I. Si F es un primitiv de f entonces F + cte es tmbién primitiv de f, pr culquier constnte cte. L integrl inde nid de f en I; f () d, es el conjunto de tods ls primitivs de f en dicho intervlo; es decir, si F es un primitiv suy entonces f () d = F + cte : El cálculo de primitivs es un operción linel, esto es, si f y g son dos funciones continus en un dominio I y F y G son primitivs suys respectivmente entonces, pr culesquier ; R, se veri c que F + G es un primitiv de l función f + g. Pr el cálculo de primitivs se debe tener en cuent l tbl de primitivs de ls funciones fundmentles vist en el ejercicio 9 de l relción de repso. Método del cmbio de vrible. Sen f () un función continu en un intervlo I y ' (t) un función de clse C estrictmente monóton (creciente o decreciente) en el intervlo J con ' (J) = I entonces: f () d = f (' (t)) ' (t) dt: Un ejemplo de cmbio de vrible es el que resuelve ls integrles del ejercicio de l relción de repso, dndo lugr un fmili de integrles denominds inmedits. Método de prtes. Sen f y g dos funciones de clse C en un intervlo I, entonces f () g () d = f () g () f () g () d:

2 Método de descomposición en frcciones simples pr integrles rcionles. Se quiere resolver l integrl d donde P y Q son polinomios de P () Q () mner que el grdo del numerdor se menor estrictmente que el del denomindor (en cso de que el grdo del denomindor se menor o igul que el del numerdor se dividirán los polinomios). Pr ello, se fctoriz el denomindor y se construye l descomposición en frcciones simples del cociente. Se resolverán sólo quellos csos donde dich fctorizción teng, lo más, l siguiente form: Q () = p ( ) m ( k ) m k + + b ; es decir k ríces reles de distints multipliciddes (número de veces que son ríz) y quizá un polinomio de segundo grdo sin ríces reles (con ríces complejs). Eisten unos coe cientes A ; : : : ; A m ; : : : ; A k ; : : : ; A kmk ; M; N de form que se consig l siguiente descomposición: p P () Q () = A + + A m ( ) m + Ak A km k k ( k ) m k + M + N + + b : L resolución de l integrl inicil se reduce entonces resolver integrles que pueden ser de tres tipos: d. Integrles del tipo ; d = log j j + C: d. Integrles del tipo ( ) m con m 6= ; 3. Integrles del tipo M + N + + b d = M d ( ) m = m+ ( ) + C: m + M + N + + b d, log + + b + N M d : + + b Si M = el pso nterior no se reliz y directmente se ps l pso siguiente. L integrl que qued por resolver se denomin tipo rcotngente y se resuelve como d + + b = p b + rctn p + cte : b

3 Integrles trigonométrics. Pr resolver integrles de funciones donde precen rzones trigonométrics se utilizn en muchos csos ls fórmuls del ejercicio 7 de l relción de repso, ls cules permiten trnsformr dichs integrles en inmedits. Se ofrecen hor cmbios de vribles decudos pr resolver ls denominds integrles rcionles trigonométrics en generl, trnsformándols en integrles rcionles. Un polinomio trigonométrico es un combinción linel de productos de potencis enters no negtivs de senos y cosenos, P n k= k sen p k cos q k : Un función rcionl trigonométric, R (sen ; cos ), es un cociente de polinomios trigonométricos. Pr resolver R R (sen ; cos ) d se plicrán los siguientes cmbios de vribles:. Si R (sen ; cos ) es impr en seno, esto es entonces relizr el cmbio t = cos. R ( sen ; cos ) = R (sen ; cos ) ;. Si R (sen ; cos ) es impr en coseno, esto es entonces relizr el cmbio t = sen. R (sen ; cos ) = R (sen ; cos ) ; 3. Si R (sen ; cos ) es pr en seno y coseno, esto es R ( sen ; cos ) = R (sen ; cos ) ; entonces relizr el cmbio t = tn. Pr dicho cmbio se tiene que d = dt + t ; cos = + t, sen = t + t. 4. En culquier cso puede relizrse el cmbio t = tn tiene que d = dt t t ; cos =, sen = + t + t + t. pr el cul se Funciones hiperbólics. Ls funciones hiperbólics, seno y coseno hiperbólico, se de nen de l siguiente form pr todo R, respectivmente, senh = e e ; cosh = e + e : Sus representciones grá cs (requerids en el ejercicio 3 de l relción de repso) son, respectivmente, 3

4 y y y = senh y = cosh Ls funciones hiperbólics y ls funciones trigonométrics veri cn desigulddes similres, entre ells destcn. cosh senh =. cosh = 3. senh = + cosh () cosh () ; por su utilidd en el cálculo de primitivs. Además se stisfce que seno y coseno hiperbólicos son de clse C, siendo (senh ) = cosh y (cosh ) = senh : Integrles irrcionles de polinomios de segundo grdo. Todo polinomio de segundo grdo puede escribirse de l form b ( ) : Según l combinción de signos logrd en dich representción se recomiendn los siguientes csos: q. Pr integrles que contienen un epresión de l form b ( ) se puede relizr uno de estos cmbios, = + b sen t o bien = + b cos t: q. Pr integrles que contienen un epresión de l form b + ( ) se pueden relizr culquier de estos dos cmbios de vrible, = + b tn t o = + b senh t. q 3. Pr integrles que contienen un epresión de l form b + ( ) se pueden relizr culquier de estos dos cmbios de vrible, = + b coth t o = + b cosh t. 4

5 .. L integrl de nid. Sucesión convergente. Se de ne un sucesión como un secuenci de números reles, uno por cd número nturl n, ( ; ; : : : ; n ; : : :) : A cd uno de los números que formn l secuenci se le denomin término, sí l término k con k N se le llm término k-ésimo. Si se tiene un fórmul que permite clculr cd término en función de n; que denotmos n, entonces se le denomin dich fórmul término generl y se escribe l sucesión como ( n ) nn. Se dice que L R es el límite de l sucesión ( n ) nn si en culquier entorno de L pueden encontrrse todos los términos de l sucesión prtir de uno ddo. Un sucesión ( n ) nn es convergente cundo tiene un único límite L R, en dicho cso se denot como lm n = L: n! Región encerrd por l grá c de un función. Se f un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [; b]. L región encerrd por l grá c de f en dicho intervlo [; b] es l zon del plno que qued encerrd por l grá c de f, el eje OX y ls rects =, = b. y y = f( ) D b Áre encerrd por un función Prtición equidistnte de un intervlo. Sum de Riemnn. Se f un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [; b]. L prtición equidistnte del intervlo [; b] en n N intervlos es tomr el conjunto de n + puntos ddo por P n = f ; ; : : : ; n g con k = + b k pr todo k = ; : : : ; n, lo que n equivle dividir [; b] en n subintervlos igules de medid b. Se de ne l n sum de Riemnn de f en el intervlo [; b] de tmño n como el número S (P n ; f) = b n nx f ( k ) : k= Integrl de nid. Si f es un función continu en [; b] entonces l sucesión de sums de Riemnn de tmño n N, (S (P n ; f)) nn, es convergente. Se de ne l 5

6 integrl de nid de f en [; b] como el límite de dich sucesión y se denot como f () d; esto es R b b f () d = lm n! S (P n ; f) : En prticulr, se de ne R f () d =. Propieddes de l integrl de nid. Sen f y g funciones continus en el intervlo cerrdo y cotdo [; b]. Se veri cn ls siguientes propieddes:. Linelidd. Si ; R entonces f () + g () d =. Aditividd. Si c (; b) entonces f () d = c f () d + f () d + c f () d: 3. Monotoní. Si f () g () pr todo [; b] entonces 4. Vlor bsoluto. f () d jf ()j d f () d : g () d: g () d: 5. Áre de l región encerrd. Si D es l región encerrd por l grá c de f en [; b] entonces re (D) = jf ()j d: Funciones continus trozos. Se dice que f es un función continu trozos en un intervlo I si es continu slvo en un cntidd nit de puntos pr los cules eisten discontinuiddes de slto nito. Si f es un función continu trozos en un intervlo [; b] y c ; : : : ; c p son los puntos de discontinuidd de f en [; b] entonces l integrl de nid se clcul como f () d = c f () d + c c f () d + + c p f () d: Teorem fundmentl del cálculo. Si f es un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [; b] entonces l función F () = [; b] es l primitiv de f en [; b] que se nul pr =. Así, f () d = f (t) dt + cte : 6 f (t) dt pr todo

7 Regl de Brrow. Si f es un función continu en un intervlo [; b] y F es un primitiv culquier suy en [; b] entonces f () d = F (b) F (). Cmbio de vrible en integrles de nids. Sen f () un función continu en un intervlo [; b] y ' (t) un función de clse C en el intervlo [; ] con ' ([; ]) = [; b] entonces: f () d = f (' (t)) j' (t)j dt:.3. Aplicciones geométrics de l integrl. Áre encerrd entre ls grá cs de dos funciones. Sen f; g funciones continus en un intervlo cerrdo [; b]. L región encerrd entre ls grá cs de ests dos funciones es l prte del plno que qued encerrd por dichs grá cs y ls rects = y = b: Se veri c que el áre de l región encerrd entre ls grá cs de ests dos funciones es re (D) = jf gj d: y y = f( ) D ( ) b y = g Áre entre dos funciones Sólido de revolución generdo por el áre encerrd por l grá c de un función. Se f un función continu en un intervlo cerrdo [; b] y D l región encerrd por l grá c de f en [; b] : El sólido de revolución V generdo por D lrededor del eje OX es l zon del espcio obtenid l girr un vuelt complet l región D lrededor del eje OX: Igulmente se puede de nir lrededor del eje OY. 7

8 y y= f( ) D V b Alrededor eje OX V y y = f( ) D Alrededor eje OY b Volumen de revolución lrededor del eje OX. Se f un función continu en un intervlo cerrdo [; b]. El volumen del sólido de revolución V generdo por l región encerrd por l grá c de f en [; b] lrededor del eje OX se clcul como: vol (V ) = f () d: Volumen de revolución lrededor del eje OY. Se f un función continu en un intervlo cerrdo [; b] con >. El volumen del sólido de revolución V generdo por l región encerrd por l grá c de f en [; b] lrededor del eje OY se clcul como: vol (V ) = f () d: Volumen por secciones plns. Se V un sólido situdo lo lrgo del eje OX (vldrí tmbién culquier de los otros dos ejes crtesinos) pr [; b]. Pr cd [; b] se de ne l sección pln de V como l región D que result de cortr V con el plno = : Si se conoce A () con [; b] función 8

9 continu que clcul el áre de cd sección pln de V con respecto l vrible entonces vol (V ) = A () d: V D b Sección pln Longitud del rco de curv descrito por un función. Se f un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo [; b] : El rco de curv L de f en dicho intervlo es el trmo de l grá c de f representdo entre = y = b. Si f es de clse C en [; b] entonces l longitud del rco de curv de f en [; b] se clcul como q long (L) = + [f ()] d:.4. Integrles impropis. Integrl impropi de primer especie. Se f un función continu en un intervlo de l form [; +). Se de ne l integrl impropi de primer especie de f en [; +) como + f () d = r lm f () d: r!+ De form similr se de ne l integrl impropi pr un función continu en un intervlo de l form ( ; b] ; R f () d: L integrl impropi de un función b continu en tod l rect rel se de ne como + f () d = donde R es un número rel culquier. f () d + + f () d; Convergenci. Un integrl impropi de primer especie es convergente cundo eiste y es nito el límite de l de nición nterior, en culquier otro cso se dirá que l integrl impropi es divergente (bien porque tiend in nito o porque no eist el límite). En el cso de l integrl impropi en tod l rect rel R + f () d se dice que R es convergente cundo lo son cd uno de los sumndos de l de nición, f () d y R + f () d, siendo divergente si lguno de ellos lo es. Además, 9

10 l integrl impropi R + f () d tiene el mismo crácter y el mismo vlor independientemente del punto intermedio elegido. Eisten csos en los que l integrl en tod l rect rel de un función R + f () d es divergente porque lo son los dos sumndos, R f () d y R + f () d; pero sin embrgo es posible de nir este otro vlor, denomindo vlor principl de Cuchy de l integrl, + +r V P C f () d = lm f () d: r!+ r Cundo l integrl impropi en tod l rect rel es convergente su vlor coincide con el vlor principl de Cuchy de l integrl. Condición necesri de convergenci pr integrles de primer especie. Se f un función continu y positiv en un intervlo de l form [; +) : Si l integrl impropi de primer especie R + f () d es convergente entonces f () = : lm!+ Integrl impropi de segund especie. Impropiedd. Se f un función continu en un intervlo de l form [; b) con lm jf ()j = +: Se de ne l!b integrl impropi de segund especie de f en [; b) como f () d = lm r!b r f () d; y se dice entonces que R b f () d tiene un impropiedd en b: Igulmente se puede de nir en un intervlo de l form (; b] y con lm jf ()j = +: En generl, si f! + es continu en un intervlo (; b) ocurriendo que l integrl tiene impropieddes en y b entonces l integrl impropi es f () d = c f () d + c f () d; donde c (; b) es un punto culquier. Si f es continu en [; b] slvo un punto c (; b) donde tiene impropiedd entonces l integrl impropi se de ne como f () d = c f () d + c f () d: Convergenci. Un integrl impropi de segund especie es convergente si eiste y es nito el límite que prece en su de nición, en culquier otro cso (que tiend in nito o no eist) se dice que es divergente. En los csos en que l integrl se de ne como l sum de otrs dos se dirá que es convergente cundo sen convergentes los dos sumndos, siendo divergente en cunto uno de ellos se divergente.

11 Integrl impropi. L fmili de ls integrles impropis incluyen ls integrles impropis de primer especie y ls de segund especie. Pero tmbién pueden de nirse integrles impropis combinndo los dos tipos de impropieddes. En todo cso l de nición de es integrl es l sum de integrles medinte un prtición del intervlo de form que sólo quede un impropiedd en cd integrl. Por ejemplo, si f es continu en R slvo un impropiedd en c entonces l integrl en tod l rect rel se de ne como + f () d = f () d + c f () d + c f () d + + b f () d; donde ; b son dos números reles culesquier con < c < b: Un integrl impropi de este tipo será convergente cundo lo sen todos los sumndos de su de nición, y bstrá con que uno de ellos se divergente pr que l integrl se divergente. Ls integrles de nids pueden considerrse tmbién integrles impropis que siempre son convergentes. Integrles impropis fundmentles. A continución se estblece l convergenci o divergenci de tres tipos fundmentles de integrles impropis. + Integrl Convergenci Divergenci p d; > p > p ( ) p d; b p < p (b ) p d; b p < p Criterio de comprción por pso l límite. Se f continu en un intervlo de l form [; b) donde b puede ser in nito: Se veri cn ls siguientes rmciones:. Si eiste un función g en [; b) con lm!b f () g () = L 6= ; +; entonces f () d converge si, y sólo si, g () d converge.

12 . Si eiste un función g en [; b) con lm!b f () g () = y g () d converge entonces 3. Si eiste un función g en [; b) con f () d es convergente. lm!b f () g () = +; y g () d diverge entonces f () d es divergente. (Todos los límites nteriores se resuelven con! + en el cso de que b = +)

13 Ejercicios de l lección. Ejercicio. Resuelve ls siguientes integrles rcionles. : R d 4 ; 3: R d 4 + ; 4: R ( ) ( + ) d; 5: R d; 6: R d 3 + ; 7: R 6 d; 8: R 3 d; 9: R d; : R d: Ejercicio. Clcul ls siguientes integrles por prtes. : R e ( + ) d; 3: R e cos 3 d; 5: R log d; : R rctn d; 4: R rcsen d; 6: R cos d: Ejercicio 3. Clcul ls siguientes integrles trigonométrics. : R cos d; 4: R sen cos 3 d; 7: R cos 5 d; : R sen 3 cos 4 d; 5: R cos 5 sen 3 d; 8: R cos sen 3 d; 3: R cos + cos d; 6: R d sen cos 4 ; 9: R d sen + 7 cos : Ejercicio 4. Clcul ls siguientes integrles irrcionles. : R p d; : R p 4 + d; 3: R 3 p d; 4: R p + + d; 5: R p + d; 6: R d p : 4 Ejercicio 5. Clcul ls siguientes integrles. : R d; 6: R p 9 d; : R sen cos d; : R d; 7: R e sen 3 d; : R cos 3 cos d; 3: R log d; 8: R d; 3: R d (9 ) 3= ; 4: R cos sen d; 9: R d ; 4: R tn 4 d; 5: R d + + ; : R d sen + sen ; 5: R sen 3 cos 4 d: 3

14 Ejercicio 6. Se l función f () = log t dt: t. Construye el polinomio de Tylor de f centrdo en = de grdo 5.. Aproim el vlor de f (.5) usndo el polinomio nterior y estim el error cometido. Ejercicio 7*. Se de ne l función seno integrl pr cd R como si () = f (t) dt; donde f () es l función continu que pr todo 6= ocurre que f () = sen. Se pide:. Construye el polinomio de Mclurin de grdo 5 de si ().. Aproim el vlor si () usndo el polinomio nterior y estim el error cometido. Ejercicio 8*. Hll ls siguientes áres.. El áre encerrd entre ls curvs y = 3 e y = en el intervlo [; ] :. El áre encerrd entre ls curvs y = 6 e y = en [; 6] : 3. El áre limitd por ls curvs y = ; y = e y = 3 : 4. El áre limitd por ls curvs y = y = y. Ejercicio 9. Clcul el áre de ls siguientes regiones plns.. L región encerrd, cundo [; ] ; entre l función f () = sen y su rect tngente en el origen: h. L región encerrd por l función f () = sen cos en el intervlo ; i : 3. L región encerrd por l curv y = (cos + sen ) cundo y y [; ] : Ejercicio *. Hll el volumen de los siguientes sólidos.. L esfer de rdio R.. El tronco de cono de bse myor ; bse menor b y ltur h. 4

15 3. El sólido que se obtiene l girr lrededor del eje OY l región pln encerrd por l curv y = ; cundo : 4. El sólido que se obtiene l girr lrededor del eje OY l región pln limitd por ls grá cs y = e y = ; cundo : 5. El sólido que result de tldrr un gujero cilíndrico de rdio r trvés del centro de un esfer mciz de rdio R; siendo R > r: Ejercicio *. Un depósito de gu tiene form de hemielipsoide de revolución, l que se obtiene l girr lrededor del eje OY el trmo de elipse de ecución 6 + y = situdo en el primer cudrnte. 9. Determin el volumen totl del depósito.. Clcul el volumen de gu lmcend en el depósito si el nivel de gu lcnz un ltur h. Ejercicio *. Clcul los siguientes volúmenes.. El volumen del sólido cuy bse es el círculo + y 4 y ls secciones plns perpendiculres dich bse son cudrdos.. El volumen del sólido cuy bse es un círculo de rdio unidd y ls secciones plns perpendiculres l bse son triángulos equiláteros. 3. El volumen de un pirámide rect de ltur h y bse cudrd de ldo l. Ejercicio 3*.. Se consider l prábol en el plno Y O de ecución z = y con > : Entre todos los rectángulos de dicho plno inscritos en l prábol y con bse en el eje OY clcul el que tiene áre máim.. Pr cd [; ] se tom l prábol P del tipo nterior en el plno = de form que su vértice esté en l rect que une los puntos (; ; ) y (; ; ) : Hll el volumen del sólido cuy sección pln pr cd plno = es el rectángulo clculdo en el prtdo nterior pr l prábol P : Ejercicio 4*.. Clcul por integrción el áre encerrd por un elipse de semiejes ; b > : 5

16 . Se C l circunferenci de centro el origen y rdio 4 en el plno y = y r l rect que ps por los puntos (4; ; ) y (; ; ) : Hll el volumen del sólido V situdo en el octnte positivo que se encierr tomndo elipses poyds en C y r, que son prlels l plno OY y tienen su centro en el eje OX. Ejercicio 5*. Clcul ls longitudes de los siguientes rcos.. El trozo de curv y = 3= cundo [; 4] :. El rco de l curv y = cosh pr : 3. El trozo de curv de ecución y = con 4. El rco de curv y = pr : ; : Ejercicio 6*. Determin si ls siguientes integrles impropis convergen y, en su cso, clcul su vlor e + e d: 5. d: 9. d: + + e + log. d: 6. d:. p d: d: 7. d:. e sen d: + 4. log d: 8. e d. p d: 4 Ejercicio 7*. Determin si ls siguientes integrles impropis convergen e + d: 4. d: 7. e log d: (4 ) =3 + e d: 5. d: 8. + ( ) + d: log 3 3. p d: 6. p d: 9. ( + ) d: Ejercicio 8*. Se l integrl + =3 ( + ) d:. Prueb que se trt de un integrl impropi convergente sin clculrl.. Determin el vlor de dich integrl medinte el cmbio de vrible t = =3 : Ejercicio 9*. Se de ne l función de Euler, pr cd p R, como (p) = + e p d: 6

17 . Determin el dominio de l función.. Prueb que pr todo n N, con n > ; ocurre que (n) = (n ) (n ) : 3. Concluye que pr todo n N se tiene que (n) = (n )!: Ejercicio *. Se de ne l función B de Euler, pr cd p; q R, como B (p; q) = p ( ) q d: Determin los vlores de p; q R pr los que l función B eiste. Ejercicio. (Junio 3-4) Estudi según los vlores de R l convergenci de l integrl + e sen d y clcul el vlor de dich integrl cundo se posible. Ejercicio. Clcul los siguientes volúmenes de revolución lrededor del eje OX.. El generdo por el áre encerrd por l función f () = intervlo [; +) :. El generdo por el áre encerrd por l función f () = log intervlo (; ] : (Septiembre 3-4) Ejercicio 3. (Primer Prcil 4-5) en el en el. Clcul l integrl inde nid d q(9 ) 3 :. Se D el cuerpo de revolución engendrdo l hcer girr l región A = f(; y) : ; y f ()g ; con f () = q (9 ) 3 lrededor del eje OY. Clcul el volumen del sólido D: 7

18 3. Estudi, usndo lgún criterio de convergenci, el crácter de l integrl impropi 3 d : q(9 ) 3 Ejercicio 4. (Junio 4-5) Hll el vlor de l integrl impropi + d + + ; determinndo previmente su crácter medinte lgún criterio de convergenci. Ejercicio 5. (Primer Prcil 5-6). Clcul l integrl inde nid tn 4 d:. Se D el cuerpo de revolución engendrdo l hcer girr l región A = (; y) : =4; y tn : lrededor del eje OX. Hll el volumen del sólido D. 3. Estudi, según los vlores de R, el crácter de l integrl impropi = tn 4 d: Ejercicio 6. (Primer Prcil 6-7) Consider l función p 9 f () = :. Encuentr un primitiv de f ().. Estudi según los vlores de R el crácter de l integrl 3 log f () sen d: 3 3. Clcul el volumen del sólido generdo l girr lrededor del eje OY l región encerrd por l curv y = log p 9 ; el eje OX, l rect = y l rect = 3: 8

19 Ejercicio 7. (Junio 6-7). Clcul un primitiv de l función f () = p + :. Consider U un de ls mitdes obtenids l cortr un cilindro de rdio con un plno perpendiculr su eje. Se V el sólido que se obtiene l cortr U con el plno que ps por el centro de l bse de U y form un ángulo ; con dich bse. Hll el volumen de V en función de : 9