Pequeña síntesis de conceptos sobre sucesiones y series para la cátedra de Matemática II.

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1 Pequeñ síntesis de conceptos sobre sucesiones y series pr l cátedr de Mtemátic II. Altmirnd Enzo - - V de diciembre de 2010 Este texto fue hecho en L A TEX con los puntes tomdos en clse y con l referenci de un libro de texto. Si tienen lgun corrección, ide o sugerenci me pueden contctr l mil. Espero que les se de utilidd. 1. Integrles impropis: 1.1. Definición: 1. Integrles Impropis del Primer Tipo: + o Sen, b R, y f(x) continu en el intervlo [, + ) o (, b] respectivmente. 2. Integrles Impropis del Segundo Tipo: o + Sen, b R, y f(x) continu en el intervlo [, b) o (, b] respectivmente. Tmbién pueden hber integrles impropis de l form: + o + 1

2 Altmirnd E Convergenci de l integrl impropi: Se dice que un integrl impropi del primer tipo converge un cierto vlor, cundo: + = = t t + t t = l 1 = l 2 Donde l 1, l 2 R y, b R. En el cso de l siguiente integrl: + = k + + k k R Convergerá si y sólo si, mbs integrles l derech de l iguldd convergen. Se dice que un integrl impropi del segundo tipo converge un cierto vlor, cundo: + = t t b + = t t = l 1 = l 2 Donde l 1, l 2 R y [, b) R (, b] R. En el cso de l siguiente integrl: + = q + + q q (, b) Convergerá si y sólo si, mbs integrles l derech de l iguldd convergen. Se f(x) continu x [, b], menos en un número finito de puntos de discontinuidd, x i (, b) i N. = xk Adicionlmente: xj x k = + m xj x k + x k + xj m x j k, j N 0 m R L primer integrl impropi será convergente, si y solo si, todos los términos l derech de l iguldd son convergentes. 2

3 Altmirnd E Divergenci de l integrl impropi: En los csos nteriores, cundo el ite no exist, o éste no se un número perteneciente l conjunto de los números reles, se dice que l integrl diverge Criterios de comprción: Primer criterio: Sen φ(x) y ϕ(x) funciones integrbles en el intervlo [, + ) y con Domf : R. Donde 0 φ(x) ϕ(x) pr x [, + ). Si + ϕ(x)dx converge + φ(x)dx converge. Si + φ(x)dx diverge + ϕ(x)dx diverge. Estos criterios son útiles en los csos en los que no puedo obtener un integrl indefinid, de mi función integrndo. Not: si mis ites de integrción fuern y b, respectivmente, tmbién puedo plicr el criterio. Segundo criterio: Sen φ(x) y ϕ(x) funciones integrbles en el intervlo [, + ) y con Domf : R. Donde φ(x) 0 y ϕ > 0, x [, + ). φ(x) x + ϕ(x) = l R + {0} l = 0 l + 1. l R + + {0} ϕ(x)dx C. o D. + φ(x)dx C. o D l = 0 ϕ(x)dx C. = + φ(x)dx C. 3. l + + ϕ(x)dx D. = + ϕ(x)dx D. Propieddes: 1. Se f(x) : [, + ) = R/f(x) se integrble x [, t] t. Si + f(x) dx converge + converge Not: est propiedd se puede usr si los ites de integrción fuern (, b]. Si demás f(x) tuvier puntos de discontinuidd, tmbién se podrí usr. 3

4 Altmirnd E. 2. Sen f(x) y g(x) continus, x[, b) y x(, b] respectivmente. Si f(x) = l 1 R x b Si x + f(x) = l 2 R + convergente convergente Esto quiere decir que ls discontinuiddes en y b son evitbles pr cd cso { dx convergente si k > 1 x k = divergente si k 1 { convergente si k < 1 divergente si k 1 { convergente si 0 < b < 1 divergente si b > dx x k = b k dx = 2. Sucesiones de Números Reles: 2.1. Definición: Ls sucesiones de números reles son funciones con l prticulridd de tener Domf : N con imgen Imf : R. Ejemplos: Notción: { n } = { 1, 2, 3,..., n 1, n } n N Pr todo n N { 1 n } = {1, 1 2, 1 3, 1 4,...} {2 n } = {2, 4, 8, 16, 32,...} {2 + 1 n } = {3, 5 2, 7 3, 9 4,...} 2.2. Definiciones dicionles: 1. Si n > n+1 n N, entonces se dice que { n } es monóton 1 estríctmente 2 decreciente. 2. Si n > n+1 n N, entonces se dice que { n } es monóton estrictmente creciente. 1 Quiere decir que siempre crece o siempre decrece. 2 Es estrict porque l desiguldd es > y no. 4

5 Altmirnd E. 3. Cundo n si el vlor de l sucesion tiende, se dice que l mism es divergente. En el cso contrrio, l sucesión tiende un número rel y est se le llm convergente. 4. n = l ɛ > 0, n 0 N/n n 0 n l < ɛ n = ɛ > 0, n 0 N/n n 0 n < ɛ 2.3. Subsucesiones: Se { n } sucesión / : N R n = (n). Se n k = n(k)/n : N N un función estríctmente creciente. Entonces un subsucesión de { n } es n = [n(k)]. Ejemplo: Se l sucesión: { 1 } = {1, 1 n 2, 1 3, 1 } 4,... Además se n, un función estrictmente creciente y de N en N: n : N N/n(k) = 2k + 1 Entonces n es un subsucesión de { n }: n = 2k+1 = 1 2k Propieddes de sucesiones: 1. Si l función converge un vlor. Entonces el ite es único. { n} = l l R! l 2. Se { n } un sucesión convergente y { n } l cundo n. Si l > b b R = n o N/n n o Si l < b b R = n o N/n n o n > b n < b 3. Se { n } un sucesión convergente y { n } l cundo n. Entonces tod subsucesión de { n } converge l (y reciprocmente). 5

6 Altmirnd E. 4. Se { n } un sucesión divergente y { n } l cundo n. Entonces tod subsucesión de { n } converge l (y reciprocmente). 5. Se { n } un sucesión y { n(k) }, { m(k) } subsucesiones de { n }. { n(k)} { m(k)} { n} k k Por otro ldo si se tiene que: { n(k)} = { m(k)} k k No es cierto que l sucesión teng que converger, es decir, el recíproco no inform. 6. Si { n } converge { n } est cotdo. Cbe destcr que el recíproco es flso. 7. Se { n } un sucesión monotonmente creciente o decreciente. Entonces si { n } cotd { n } converge. 8. Se f(x) : [, + ) R. Donde: f(x) = l x + (finito o no). Se { n } un sucesión / n = (n) = f(n) n. f(n) = l n + 9. Se { n } sucesión convergente, tl que: n = 0 Se {b n } un sucesión cotd, convergente o no. { n b n } = Sen { n }, {b n }, {c n } tres sucesiones, tl que n c n b n n. n = b n = l c n = l 11. Se { n } un sucesión de términos positivos. Se tiene que: n+1 n Donde l puede ser finito o no. = l n n = l 6

7 Altmirnd E. 12. Se { n } un sucesión de términos positivos. Se tiene que: n+1 n = l(finito o no). Si l 1 n = 0 Si l < 1 n = Se { n } un sucesión de términos positivos. Se tiene que: n+1 n = l(finito o no). n n = l Adicionl: Se { n } un sucesión, tl que, n = ( n = e n) ( n) n. Pr l sucesión n n: n n = 1 3. Series: Notción: n i R i = 1, 2, 3,..., n Series Numérics: S n = n n S n es l enesim sum prcil. 7

8 Altmirnd E. Propieddes: S n = S R L serie converge. En cmbio, si: n = S n = l R S n = o S n n diverge Series Geométrics: Son de l form: S n = + q + q q n = es el primer término R/ 0. q es l rzón. Si 1 < q < 1 entonces l serie converge. q n 1 Si q (, 1] [1, ) entonces l serie diverge. Si converge, con: S n = 1 q Se puede clculr que converge Series Telescópics: Tienen l form: n / n = b n b n+1 n converge {b n } converge S n = b 1 b n Series Armónics: Tienen l form: 1 n α { α > 1 converge α 1 diverge 8

9 Altmirnd E Propieddes Generles: 1. Dd un serie: n = n0 + n=n 0 +1 n }{{} col de l serie (C.D.S). C.D.S. converge, entonces converge l serie y recíprocmente. C.D.S. diverge, tmbién lo hce l serie y recíprocmente. 2. Dd un serie: n = S y demás Dds dos series: n c n = c S c n = c n = S 1 n b n convergentes b n = S 2 c R ( n ± b n ) convergente ( n ± b n ) = S 1 ± S 2 Si n ;b n diverge no inform sobre n ± b n. Si n o b n diverge n ± b n diverge. 4. L siguiente propiedd, es condición necesri, pero no suficiente pr que determind serie se convergente. n C.V. n = 0 Cbe destcr que el recíproco, es flso. Si l propiedd no se cumple, l serie diverge. 5. Se l serie: n / n 0 n N Entonces {S n } es monótonmente creciente, es decir, S n S n+1 9

10 Altmirnd E Series de Términos positivos: n n > 0 n N Criterios de comprción: 1. Sen { n } y {b n } dos sucesiones tl que 0 n b n n > n 0. Si b n C.V. = n C.V. Si n D.V. = b n D.V. 2. Sen { n } y {b n } dos sucesiones de términos positivos n N n = x + b n l R + {0} l = 0 l + ) l R + {0} { n } C.V o D.D {b n } C.V o D.V b) l = 0 {b n } C.V = { n } C.V c) l + {b n } D.V = { n } D.V Criterio de l integrl: Se f(x) un función que es continu, decreciente y positiv, x 1. Sen {S n } y {t n } dos sucesiones / n 1. n n S n = f(k) {tn} = y f(n) = (n) = n k=1 Entonces el teorem dice: n C.V. o D.V. {t n } C.V o D.V. Criterio de Cuchy: Se { n } un sucesión / n 0. 1 Si l = 1, entonces no inform. n n = l n { C.V. 0 l < 1 D.V. l > 1 Incluyendo l 10

11 Altmirnd E. Criterio de D lmbert: Se { n } un sucesión, con n 0. Si l = 1, entonces no inform Definiciones: Series Alterns: n+1 = l. n n { C.V. 0 l < 1 D.V. l > 1 Incluyendo l Un serie se dice que es ltern, si es de l form: ( 1) n 1 n = n 0 o n 0. Convergenci bsolut o condicionl: Esto se plic culquier tipo de serie. Se dice que un serie { n} es bsolutmente convergente, si: n C.V. Se dice que un serie { n}, es condicionlmente convergente, si: n D.V. y n C.V. Criterio de Leibniz: Dd un serie ltern de l form: ( 1) n 1 n Si se cumple que { n } es monóton estrictmente decreciente y que n = 0. Entonces se puede decir que l serie es convergente. 11

12 Altmirnd E. 4. Sucesiones de Funciones: Es un sucesión donde el n-ésimo término tiene socido un función f n (x), que v desde f n : A R. {f n (x)} = {f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)} n N 4.1. Convergenci de sucesiones de funciones: Convergenci Puntul: Se {f n (x)} un sucesión de funciones definids en A. Si pr x A: f n(x) = f(x) Se dice que l sucesión {f n (x)} converge puntulmente f(x) en A, y se not: f n (x) f(x). Convergenci Uniforme: Se {f n (x)} un sucesión de funciones definid en A, converge uniformemente un f(x) si: ɛ > 0 n 0 N/n n 0 f n (x) f(x) < ɛ x A y se not de est mner: f n (x) f(x) Propieddes 1. Se {f n (x)} un sucesión de funciones que cumple con ls siguientes condiciones: f n : A R. f n (x) continu x A y n. f n (x) f(x) x A. Entonces se puede decir que f(x) es continu x A. 2. Se {f n (x)} sucesión de funciones definids en A, que cumple con: f n (x) continu x A. f n (x) f(x) x A. f n (x)dx = f n(x)dx = Cbe destcr que el recíproco es flso. [, b ] A 12

13 Altmirnd E. 3. Se {f n (x)} y {f n(x)}, dos sucesiones de funciones en A, que cumplen con ls siguientes condiciones: f n (x) f n(x) continus x A. f n (x) f(x) f n(x) g(x) f n(x) = g(x) Criterio de Weierstrss: x A x A Condición suficiente pr l convergenci uniforme de un sucesión de funciones. Se {f n (x)} un sucesión de funciones definids en A y f n (x) f(x) x A. Si existe un sucesión numéric r n tl que: f n (x) f(x) r n x A r n = 0 Entonces, se cumple que: f n (x) f(x) Criterio de convergenci uniforme: x A Este criterio es condición necesri y suficiente pr l convergenci uniforme de un sucesión funcionl. Se {f(x)} un sucesión funcionl con ls siguientes propieddes: Está definid en un intervlo D. f n (x) f(x) x D. Tomndo φ n (x) = f n (x) f(x) y llmndo M n el supremo de φ n (x), Sup φ n (x) = M n. f n (x) f(x) Sup φ n(x) = 0 Este criterio es de grn utilidd y que siempre inform sobre l convergenci uniforme de {f n (x)}. 5. Series Funcionles: Se define un serie funcionl, en un intervlo ddo, de l siguiente form: f n (x) f i (x) definid x A Adicionlmente l n-ésim sum prcil de l serie es: n S n (x) = f k (x) k=1 13

14 Altmirnd E Propieddes: Se dice que: f n (x) f(x) S n (x) f(x) x A. Es decir, l serie converge l función, solo si l n-ésim sum prcil lo hce. Cundo hy convergenci puntul x A, se cumple que: S n(x) = n f k (x) = k=1 f k (x) = f(x) L condición de convergenci uniforme, es precid l puntul: k=1 f n (x) f(x) S n (x) f(x) x A. Criterio de Weirstrss: (pr series funcionles) Este criterio es condición suficiente pr l convergenci uniforme de un serie funcionl. Se f n(x) f(x) x A. Se M n convergente x A. Se 0 f n (x) M n x A y n 1. f n (x) f(x) x A Es decir, l serie converge l función, bsolutmente y uniformemente Propieddes: Continuidd: Se {f n (x)} un sucesión de funciones definids en A tl que f n (x) se continu x A y n. Se f n(x) converge uniformemente f(x) x A. Entonces f(x) continu x A. 14

15 Altmirnd E. Integrbilidd: Se {f n (x)} sucesión de funciones definids en A tl que {f n (x)} es continu x A y n N. Se f n(x) converge uniformemente f(x) x A. f n (x)dx = f n (x)dx = [, b] A Derivbilidd: Sen {f n (x)} y {f n(x)} dos sucesiones de funciones definids en A. Adicionlmente, cumplen con ls condiciones: f n(x) converge puntulmente f(x) x A. f n(x) converge uniformemente g(x) x A. Entonces, se tiene que: f n(x) = f (x) 6. Series de Potencis: g(x) = f (x) Cso prticulr de series funcionles. Se le llm serie de potencis ls series funcionles que tienen l form: n x n = x + 2 x n=0 o tmbién: n (x x 0 ) n = (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n=0 x 0 R 6.1. Propiedd de convergenci: Existe cierto vlor R que se le llm rdio de convergenci. En el intervlo que v desde ( R, +R), l serie de potencis converge bsolutmente. Pr los puntos externos l intervlo l serie diverge y el comportmiento de l mism pr los extremos, dependerá de l serie que se este nlizndo. Cbe destcr que lguns series pueden tener un intervlo de convergenci igul un punto (R = 0). Por otro ldo, tmbién pueden converger bsolutmente pr culquier vlor rel que tome l x (R = ). 15

16 Altmirnd E Cálculo del intervlo de convergenci: Pr obtener el intervlo de convergenci, se pueden usr: Criterio de D Almbert: u n+1 u n = n+1x n+1 = n x n n+1 n x = L x Por el criterio de D Almbert, l serie converge si L x < 1, entonces x < 1 L, por lo tnto R = 1 L. Criterio de Cuchy: n n x n = x n n = L x Análogmente l criterio de D Almbert, l serie converge si L x < 1, entonces x < 1 L, por lo tnto R = 1 L. En el cso en que l serie de potencis fuer n (x x 0 ) n, se pueden plicr los mismos criterios Series de Tylor: Es posible expresr un función medinte l Fórmul de Tylor, donde: f(x) = P n (x) + E n (x) f(x) = f (n) () n! Si ocurre que: (x ) n + f (n+1) (c) (x )(n+1) (n + 1)! f(x) = [P n(x) + E n (x)] = f(x) = P n(x) Entonces esto quiere decir que E n (x) 0 cundo n. Por lo tnto f(x), es igul l de l n-ésim sum prcil (pr un cierto intervlo), es decir un serie. Obtención de l Serie de Tylor pr un función dd: Pr conseguir l serie de un ciert función, se prten de ls series más básics y se trbjndo sobre ests hst representr l función que se dese. n=0 wn = 1 1 w w < 1 16

17 Altmirnd E. n=0 wn n! = e w w R w2n+1 n=0 ( 1)n (2n+1)! = sin w w R w2n n=0 ( 1)n (2n)! = cos w w R 17

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