ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA

Transcripción

1 ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA Mrí Susn Montelr Fcultd de Ciencis Excts, Ingenierí y Agrimensur - UNR

2 El problem del áre Dd f : [, b] R, tl que f(x) 0 pr todo x [, b] b x Se f un función no negtiv en [, b], l conjunto S = {(x, y) : x b, 0 y f(x)} se lo llm recinto de ordends de f en [, b] Objetivo Clculr el áre de S Estrtegi Dividir - Aproximr - Sumr - Mejorr

3 El problem del áre Se f : [0, 1] R, tl que f(x) = x 2 y S = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x 2 } Clculr áre de S 1 Dividimos el intervlo [0, 1] en n prtes igules. x 0, x 1,..., x n donde x i = i 1 n 2 Aproximmos considerndo rectángulos de bse x i = 1 n y ltur f(xi) 3 Summos ls áres de dichos rectángulos obtenemos un proximción del áre de S 4 Hcemos crecer n mejormos l proximción 100 f(x 1 i 1) 100 = xi 1 + xi f( ) = , re(s) , f(x 1 i) 100 =

4 El problem del áre f(x) = x 2, pr i = 0,..., n, x i = i 1 n n SD n = f(x i ) 1 n = 1 n ( ) i 2 = 1 n n n n 3 i 2 = ( ) = 1 ( ) n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(2n + 1) n 3 = 6 6n 2 = 2n2 + 3n + 1 6n 2 lím n SDn = lím 2n 2 + 3n + 1 n 6n 2 = 1 3 n SI n = f(x i 1 ) 1 n = 1 n ( ) i 1 2 = 1 n n n n 3 (i 1) 2 = ( ) = 1 n 3 ( n(n + 1)(2n + 1) 6 lím n SIn = lím n ) n 2 (n + 1)(2n + 1) 6n = 6n 2 = 2n2 3n + 1 6n 2 2n 2 3n + 1 6n 2 = 1 3 Clonclusión áre (S)= 1 3

5 El problem del áre f(x) = x 2, pr i = 0,..., n, x i = i 1 n n SD n = f(x i ) 1 n = 1 n ( ) i 2 = 1 n n n n 3 i 2 = ( ) = 1 ( ) n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(2n + 1) n 3 = 6 6n 2 = 2n2 + 3n + 1 6n 2 lím n SDn = lím 2n 2 + 3n + 1 n 6n 2 = 1 3 n SI n = f(x i 1 ) 1 n = 1 n ( ) i 1 2 = 1 n n n n 3 (i 1) 2 = ( ) = 1 n 3 ( n(n + 1)(2n + 1) 6 lím n SIn = lím n ) n 2 (n + 1)(2n + 1) 6n = 6n 2 = 2n2 3n + 1 6n 2 2n 2 3n + 1 6n 2 = 1 3 Clonclusión áre (S)= 1 3

6 El problem del áre b x Are de un recinto de ordends Se f un función continu y no negtiv en [, b] y S = {(x, y) : x b, 0 y f(x)} su recinto de ordends, entonces n re(s) = lím f(x n i ) x i donde pr i = 1,..., n, x i = + b n, x i = b n y x i un punto rbitrrio de [x i 1, x i ]

7 Integrl Definid Prtición de [, b] P = {x 0, x 1,..., x n} donde, = x 0 < x 1 < < x n = b. P [,b] conjunto de tods ls prticiones del intervlo [, b]. subintervlos determindos por l prtición P : [x i 1, x i ] pr i = 1,..., n y x i = x i x i 1. P, Prtición Regulr si x i = b n pr i = 1,..., n. Norm de un prtición P = máx{ x i, i = 1,..., n} P prtición regulr: P = b n P culquier prtición: P 0 = n P prtición regulr: P 0 n

8 Integrl Definid Sums de Riemnn Se P = {x 0, x 1,..., x n} P [,b], pr i = 1,..., n, x i un punto rbitrrio de [x i 1, x i ], y f un función definid en [, b], llmmos Sum de Riemnn de f en [, b] : SR(f) = n f(x i ) x i Ls SR dependen de l prtición elegid y pr cd prtición de l elección de los x i en cd [x i 1, x i ]. x 0 = x 1 x 2 x i 1 x i x n 1 b = x n

9 Integrl Definid Se f un función definid en [, b]. Si existe un número I pr el que se verific: Culquier se ɛ > 0 se puede encontrr un δ > 0, tl que n f(x i ) x i I < ɛ siempre que P = {x 0, x 1,..., x n} P [,b] se norm P < δ, pr culquier elección de x i en [x i 1, x i ], pr i = 1,..., n, decimos que f es integrble en [, b] y I lo llmmos integrl de f en [, b] y lo notmos I = f(x) dx Integrl Definid f es integrble en [, b] si existe n lím f(x i ) x i P 0 siendo P = {x 0, x 1,..., x n} P [,b] y x i en [x i 1, x i ], pr i = 1,..., n.

10 Observciones 1 f(x)dx 1 símbolo integrl ( S estird) 2 extremo inferior de integrción, b extremo superior de integrción 3 dx indic que x es l vrible de integrción 2 L vrible de integrción es un vrible mud, es decir x puede ser sustituíd por otr letr, f(x)dx = f(u)du = f(t)dt 3 Se f un función continu que tom vlores positivos y negtivos en [, b], como se muestr en l figur.

11 En este cso, l sum de Riemnn en el intervlo [c, b] represent el opuesto del áre de los rectángulos verdes y l sum de Riemnn en el intervlo [, c] represent el el áre de los rectángulos zules. L integrl definid puede interpretrse como l diferenci de ls áres de S 1 y S 2, es decir f(x)dx = re(s 1 ) re(s 2 )

12 QUE FUNCIONES SON INTEGRABLES? COMO CALCULAR LA INTEGRAL?

13 Teorem (1) Si f es continu en [, b] entonces f es integrble en [, b]. Teorem (2) Si f es integrble en [, b], P = {x 0, x 1,..., x n} es un prtición regulr de [, b] y x i un punto rbitrrio de [x i 1, x i ], entonces n lím f(x n i ) x i = f(x) dx Teorem (3) Se f un función continu y no negtiv en [, b] y S = {(x, y) : x b, 0 y f(x)} su recinto de ordends, entonces re(s) = f(x) dx

14 Práctic Clcule ls siguientes integrles interpretándol como el áre de un recinto de ordends 2 1 x dx (x + 1) dx x 2 dx 2 4 x dx con 0 b

15 Teorem (4) Si f y g difieren en un número finito de puntos de [, b] y f es integrble en [, b], entonces g es integrble en [, b] y f(x) dx = g(x) dx Continu trozos f present un número finito de discontinuiddes de slto finito. Teorem (5) Si f es continu trozos en [, b] entonces f es integrble en [, b]. Teorem (6) Si f no es cotd en [, b] entonces f no es integrble en [, b] No tod función cotd es integrble. L cotción es un condición necesri pero no suficiente pr l integrbilidd. EJEMPLOS...

16 Extensión del símbolo integrl < b f(x) dx = g(x) dx b = b f(x) dx = 0 Observción Si f es integrble en [, b] y [c, d] [, b] entonces f es integrble en [c, d]. Si f es integrble en [, c] y en [c, b] entonces f es integrble en [, b].

17 Propieddes de l integrl definid Si f y g funciones integrbles en [, b], entonces 1 k dx = k(b ) culquier se c R 2 (linelidd) f + g es integrble en [, b] y (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx 3 kf es integrble en [, b] y kf(x) dx = k f(x) dx 4 f g es integrble en [, b] y (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx 5 (Aditividd respecto del intervlo de integrción) c f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx, donde < c < b c

18 Observciones Ests propieddes son válids si > b. L propiedd (6) es válid independientemente del orden entre, b y c Ejemplos 2 7 dx = 7(2 5) = (7 2x) dx 2 2 x 1 dx 2 2 (x 2 2x) dx 1

19 Propieddes de comprción Sen f y g funciones integrbles en [, b] 1 Si f(x) 0 pr todo x [, b], entonces f(x) dx 0 2 (Monotoní) Si f(x) g(x) pr todo x [, b], entonces f(x) dx f(x) dx 3 Si m f(x) M pr todo x [, b], entonces m(b ) f(x) dx M(b ) f(x) es integrble en [, b] y f(x) dx f(x) dx

20 Teorem del Vlor Medio del Clculo Integrl Se f continu en un intervlo I y, b I. Entonces existe l menos un c entre y b, de mner que: f(x) dx = f(c)(b ) Interpretción Geométric: f 0, < b Demostrción: 1 o cso < b.- Como f es continu en el intervlo cerrdo [, b], lcnz su máximo y su mínimo en [, b], es decir, existen α y β en [, b] tles que f(α) f(x) f(β) plicndo Prop. de Orden 3 se divide por (b ) f continu en [, b], por TVI existe c [, b] tl que multiplicndo por (b ) f(α)(b ) f(x) dx f(β)(b ) f(α) 1 f(x) dx f(β) b f(c) = 1 f(x) dx b f(x) dx = f(c)(b )

21 Teorem del Vlor Medio del Clculo Integrl 2 o cso > b.- f(x) dx = f(x) dx = f(c)( b) = f(c)(b ) b }{{} ( ) ( )Aplicndo el 1 o cso l intervlo [b, ] 3 o cso = b.- f(x) dx = f(c)(b ) }{{}}{{} =0 =0

22 Teorem Fundmentl del Clculo Integrl CALCULO DIFERENCIAL Pb. de l rect tngente CALCULO INTEGRAL Pb. del áre ISAAC BARROW ( ) DESARROLLO DEL CALCULO INTEGRAL ISAAC NEWTON ( ) GOTTFRIED LEIBNIZ ( )

23 FUNCION INTEGRAL Se f integrble en [, b] y c [, b], se llm función integrl : g : [, b] R tl que x g(x) = f(t) dt c l función g está bien definid Interpretción Gráfic - f continu y no negtiv en [, b] Si c < x < b, x g(x) = f(t) dt = re(s) c Si < x < c, x g(x) = f(t) dt = re(r) c x c x b

24 Teorem Fundmentl del Clculo Integrl Primer Prte - Versión fuerte x Se f es integrble en [, b] y g(x) = f(t) dt. Entonces ) g es continu en [, b]. b) Si f es continu en [, b] entonces g es derivble en (, b) y demás pr todo x (, b) g (x) = f(x) Primer Prte - Versión débil x Si f es continu en [, b] y g(x) = f(t) dt, entonces g es continu en [, b] y derivble en (, b) y demás pr todo x (, b) g (x) = f(x) Segund Prte - Regl de Brrow Si f es continu en [, b] y P un primitiv de f en [, b], entonces f(x) dx = P (b) P ().