CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Julio 25

2 Rmón Bruzul Correo-E: Mrisel Domínguez Correo-E: Lbortorio de Forms en Grupos Centro de Análisis Escuel de Mtemátic Fcultd de Ciencis Universidd Centrl de Venezuel lbfg

3 Prólogo Ests nots hn sido concebids pr ser utilizds en l segund prte del curso de Análisis II de l Licencitur en Mtemátic de l Universidd Centrl de Venezuel y son el resultdo de l experienci de los utores en el dictdo de dicho curso. Es l continución nturl de l Guí de Cálculo Diferencil en Vris Vribles, elbord por los utores pr l primer prte del curso. En este curso se debe dr un visión riguros del cálculo en vris vribles. L primer prte de este curso corresponde con el cálculo diferencil en vris vribles y l segund con el cálculo integrl en vris vribles. Se supone que el estudinte y h visto un curso riguroso de cálculo en un vrible, que domin l topologí básic de R n, que h visto un curso introductorio de cálculo en vris vribles y que y h estudido l Guí de Cálculo Diferencil en Vris Vribles o un texto equivlente. Los siguientes tems son trtdos en form exhustiv: (1) Integrles múltiples. Integrl de Riemnn, condiciones de integrbilidd. Teorem de Fubini. Cmbio de vrible. Integrles impropis. (2) Integrles de líne. Curvs, curvs rectificbles, prmetrizción. Independenci del cmino, potenciles. Teorem de Green. (3) Funciones de vlores vectoriles. Grdiente, rotor, divergenci y Lplcino. Superficies, representciones prmétrics e implícits. Integrles de superficie. Teorems de Guss y Stokes. iii

4 iv Tnto el trbjo de mecnogrfí como l elborción de los gráficos estuvo crgo de los utores. Agrdecemos culquier observción o comentrio que deseen hcernos llegr. Rmón Bruzul. Mrisel Domínguez. Julio 25.

5 Contenido Cpítulo 1. Integrles múltiples El cso de un dimensión Integrles dobles Integrles múltiples Cálculo de un integrl múltiple medinte integrción iterd Condiciones de integrbilidd Integrles múltiples sobre regiones generles Cmbio de vribles en integrles múltiples Integrles impropis. 43 Ejercicios Cpítulo 2. Integrles de líne y Teorem de Green Curvs y tryectoris Longitud de rco y reprmetrizción Prmetrizción por l longitud de rco Integrl de un cmpo esclr lo lrgo de un curv Integrles de líne Teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne El teorem de Green Ecuciones diferenciles excts de primer orden. 76 Ejercicios Cpítulo 3. Análisis vectoril Integrles de superficie Superficies orientbles Integrles de superficie El Teorem de Stokes El Teorem de l divergenci o Teorem de Guss 95 v

6 vi CONTENIDO Ejercicios Bibliogrfí 13 Índice 15

7 CAPÍTULO 1 Integrles múltiples. 1. El cso de un dimensión. En est sección recordremos lgunos resultdos y definiciones relciondos con l integrl de Riemnn en un dimensión. El enfoque usul de l integrl de Riemnn, trvés de sum superiores e inferiores, es el siguiente. Definición 1.1. Sen, b R, < b. Un prtición del intervlo [, b] es un colección finit de puntos de [, b], de los cules uno es y otro es b. Los puntos de un prtición pueden ser numerdos como x, x 1,..., x k, de form tl que el conjunto quede ordendo de l siguiente mner = x o < x 1 < < x k 1 < x k = b. Al hblr de un prtición siempre supondremos que está ordend de l form nterior. Definición 1.2. Sen, b R, < b y f : [, b] R un función cotd. P = {x o, x 1,..., x k } un prtición del intervlo [, b]. Pr 1 i n, sen Se m i = inf{f(x) : x i 1 x x i }, M i = sup{f(x) : x i 1 x x i }. L sum inferior de f correspondiente P, se denotrá por L(f, P ) y es L(f, P ) = n m i (x i x i 1 ). i=1 L sum superior de f correspondiente P, se denotrá por U(f, P ) y es U(f, P ) = n M i (x i x i 1 ). i=1 1

8 2 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Es importnte notr que l hipótesis f cotd es esencil pr poder grntizr que tnto M i como m i están definidos. Tmbién es necesrio definirlos como supremo e ínfimo y no como máximos y mínimos, y que f no se supone continu. Definición 1.3. Un función cotd f definid en [, b] es integrble Riemnn o integrble sobre [, b] si sup{l(f, P ) : P es un prtición de [, b]} = inf{u(f, P ) : P es un prtición de [, b]}. Definición 1.4. En cso de que f se integrble el número común de l definición nterior recibe el nombre de integrl de f sobre [, b] y se denot por b f. Si l función f es no negtiv, l integrl de f sobre [, b] represent el áre de l región pln limitd por el gráfico de f, el eje x y ls verticles x = y x = b. Tenemos que si f es continu en [, b], slvo en un cntidd finit de puntos, entonces f es integrble sobre [, b]. Además, pr funciones continus tenemos lo siguiente. Definición 1.5. Si P = {x, x 1,..., x k } es un prtición del intervlo [, b], l norm de P se define por P = mx{x i x i 1 : i = 1,..., k}. Teorem 1.6. Se f : [, b] R un función continu. Entonces pr cd ε > existe δ > tl que k f(c i )(x i x i 1 ) i=1 b f < ε pr tod prtición P = {x, x 1,... x k } de [, b] tl que P < δ y pr culquier conjunto de puntos {c i } tles que c i [x i 1, x i ]. Observción 1.7. El resultdo nterior se suele expresr de l siguiente mner: Si f es continu en [, b] entonces c i [x i 1, x i ]. b f = lim P k f(c i )(x i x i 1 ) i=1 Ls sums que precen en l fórmul nterior se conocen con el nombre de sums de Riemnn de f.

9 1. EL CASO DE UNA DIMENSIÓN. 3 Es muy importnte recordr el siguiente resultdo, que estblece un conexión entre el cálculo diferencil y el cálculo integrl, y que es summente útil en el momento de clculr integrles. Teorem 1.8 (Teorem fundmentl del cálculo). Si f es integrble sobre [, b] y f = g pr lgun función g, entonces b f = g(b) g(). Existe otr form equivlente de bordr l integrl de Riemnn, trvés del concepto de función esclond. Este el enfoque que utilizremos pr bordr ls integrles múltiples. Pr fcilitr l comprensión de ls integrles múltiples vmos dr un breve descripción de cómo se puede llegr l integrl de Riemnn unidimensionl trvés de ls funciones esclonds. Definición 1.9 (Función esclond). Sen, b R, < b y s : [, b] R un función. Se dice que s es un función esclond si existe un prtición P = {x o, x 1,..., x k } del intervlo [, b] tl que s es constnte en cd uno de los intervlos biertos que determin P, es decir, pr cd i = 1,..., k existe un número rel s i tl que s(x) = s i si x i 1 < x < x i. Definición 1.1 (Integrl de un función esclond). Si s : [, b] R es un función esclond y P = {x o, x 1,..., x k } es un prtición del intervlo [, b] tl que s(x) = s i si x i 1 < x < x i, se define l integrl de s sobre el intervlo [, b] por b k s(x) dx = s i (x i x i 1 ). i=1 Es clro que un función esclond s, se le pueden socir diferentes prticiones tles que s es constnte en cd uno de los intervlos biertos que ést determin. Como ejercicio, demostrr que l integrl de un función esclond está bien definid, es decir, demostrr que el vlor de l sum que prece en l definición nterior es independiente de l prtición escogid P, tl que s es constnte en cd uno de los intervlos biertos que determin P. Definición Se f : [, b] R un función cotd. L integrl superior de f se define por { b } I(f) = inf s(x) dx : s es un función esclond y s f.

10 4 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. cso L integrl inferior de f se define por I(f) = sup{ b s(x) dx : s es un función esclond y s f}. Se puede probr que f es integrble Riemnn en [, b] si y sólo si I(f) = I(f) y en este b f(x) dx = I(f) = I(f). 2. Integrles dobles. Definición Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2. Se P un colección de subrectángulos de Q. Se dice que P es un prtición de Q si existen un prtición P 1 = {x,..., x N1 } de [, b] y un prtición P 2 = {y,..., y N2 } de [c, d] tles que P = { [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] : 1 i N 1, 1 j N 2 }. El pr (P 1, P 2 ) lo usremos pr denotr P. Notr que si P 1 origin N 1 intervlos y P 2 origin N 2 intervlos entonces P contiene N 1 N 2 subrectángulos. y y 2 =d y 1 y o =c x o = x 1 x 2 x 3 =b x Figur 1.1. Prtición de [, b] [c, d] Integrl doble de un función esclond. Definición Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se s : Q R un función. Se dice que s es un función esclond si existe un prtición P de Q tl que s es constnte en cd uno de los subrectángulos biertos de P.

11 2. INTEGRALES DOBLES. 5 z y x Figur 1.2. Gráfico de un función esclond. Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se P = (P 1, P 2 ) un prtición de Q. Se s : Q R un función esclond, que es constnte en cd uno de los subrectángulos biertos de Q, es decir, si P 1 = {x,..., x N1 } y P 2 = {y,..., y N2 } entonces s(x, y) = c ij si (x, y) (x i 1, x i ) (y j 1, y j ), pr i = 1,..., N 1, j = 1,..., N 2. Definición 1.14 (Integrl doble de un función esclond). L integrl doble de s sobre Q es N 1 N 2 s = c ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) Q i=1 j=1 Ejercicio Demostrr que l integrl doble de un función esclond está bien definid. Observción Notr que si s entonces l integrl doble de s sobre Q es el volumen del sólido limitdo por el gráfico de s y Q. Otr notción muy común pr s es Q Q s(x, y) dxdy,

12 6 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. o tmbién Q s da. Se s como en l Definición 1.14 un función esclond y se Q ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], entonces Q ij s(x, y) dxdy = c ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ). Un cálculo directo muestr que xi ( yj ) Q ij s(x, y) dxdy = x i 1 s(x, y) dy y j 1 dx = yj y j 1 ( xi ) s(x, y) dx dy, x i 1 por l linelidd de l integrl unidimensionl, obtenemos el resultdo de Fubini pr integrles de funciones esclonds (1.1) s(x, y) dxdy = Q b ( d c ) s(x, y) dy dx = d c ( b ) s(x, y) dx dy. Ejercicio Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2. (1) Demostrr que si s 1 y s 2 son dos funciones esclonds en Q y c 1 y c 2 son dos constntes reles, entonces (c 1 s 1 (x, y) + c 2 s 2 (x, y)) dxdy = c 1 s 1 (x, y) dxdy + c 2 s 2 (x, y) dxdy. Q Q Q (2) Demostrr que si s es un función esclond en Q y se tiene que Q = Q 1 Q 2, donde Q 1 y Q 2 son rectángulos de ldos prlelos los ejes de coordends, tles que interior(q 1 ) interior(q 2 ) =, entonces s(x, y) dxdy = s(x, y) dxdy + Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 s(x, y) dxdy. (3) Demostrr que si s y t son funciones esclonds en Q y s(x, y) t(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces s(x, y) dxdy t(x, y) dxdy. Q Q

13 2. INTEGRALES DOBLES. 7 En prticulr, si t(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces t(x, y) dxdy. Q 2.2. Integrl doble de un función cotd en un rectángulo. Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se f : Q R un función cotd. Se M > tl que f(x, y) M si (x, y) Q. Sen s o, t o : Q R definids por s o (x, y) = M y t o (x, y) = M, tenemos que s o y t o son funciones esclonds y s o (x, y) f(x, y) t o (x, y) pr todo (x, y) Q. Definición L integrl superior de f sobre Q es I(f) = inf t(x, y) dxdy : t es un función esclond y f t. Q L integrl inferior de f sobre Q es I(f) = sup s(x, y) dxdy : s es un función esclond y s f. Q Definición Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se f : Q R un función cotd. Se dice que f es integrble sobre Q si I(f) = I(f). Este vlor común se denomin l integrl doble de f sobre Q y se denot por f(x, y) dxdy, o simplemente por Q Q f. Ejercicio 1.2. Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2. Demostrr ls siguientes propieddes de l integrl.

14 8 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. (1) Linelidd: Si f y g son dos funciones integrbles sobre Q y c 1 y c 2 son dos constntes reles, entonces c 1 f + c 2 g es integrble sobre Q y (c 1 f(x, y) + c 2 g(x, y)) dxdy = c 1 f(x, y) dxdy + c 2 g(x, y) dxdy. Q Q Q (2) Si f es un función integrble sobre Q y se tiene que Q = Q 1 Q 2, donde Q 1 y Q 2 son rectángulos de ldos prlelos los ejes de coordends, tles que interior(q 1 ) interior(q 2 ) =, entonces f es integrble sobre cd Q i, i = 1, 2 y f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 f(x, y) dxdy. (3) Monotoní: Si f y g son funciones integrbles sobre Q y g(x, y) f(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces g(x, y) dxdy f(x, y) dxdy. Q En prticulr, si f(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces f(x, y) dxdy. Q 2.3. Cálculo de un integrl doble medinte integrción iterd. Teorem 1.21 (Fubini). Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo y se f : Q R un función cotd, integrble sobre Q. Supongmos que: () Pr cd y [c, d] l función x f(x, y) de [, b] en R es integrble sobre [, b]. (b) L función y b f(x, y) dx de [c, d] en R es integrble sobre [c, d]. Entonces Q f(x, y) dxdy = d c Q ( b ) f(x, y) dx dy. Demostrción. Sen s y t dos funciones esclonds definids en Q tles que Entonces, pr y [c, d], b s(x, y) dx b s f t. f(x, y) dx b t(x, y) dx.

15 2. INTEGRALES DOBLES. 9 Luego d c ( b ) s(x, y) dx dy d c ( b ) f(x, y) dx dy d c ( b ) t(x, y) dx dy. Usndo el resultdo de Fubini pr integrles de funciones esclonds (ver l ecución (1.1)) tenemos que Q s(x, y) dxdy d c ( b ) f(x, y) dx dy Q t(x, y) dxdy. Hciendo vrir ls funciones esclonds, tenemos que el número que está en el centro de est desiguldd es un cot superior pr ls integrles que están l izquierd y es un cot inferior pr ls integrles que están l derech. Luego d ( b ) I(f) f(x, y) dx dy I(f). que c Por ser f integrble tenemos que I(f) = I(f). Usndo l definición de integrl tenemos Q f(x, y) dxdy = d c ( b ) f(x, y) dx dy. Observción Si en el Teorem nterior suponemos que () Pr cd x [, b] l función y f(x, y) de [c, d] en R es integrble sobre [c, d]. (b) L función x d f(x, y) dy de [, b] en R es integrble sobre [, b]. c Entonces, con un rgumento completmente nálogo, obtenemos b ( d ) f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx. Q El Teorem de Fubini tiene un interpretción geométric que dmos continución. Si f entonces Q es el volumen de l región limitd por el gráfico de f y el plno xy. Este volumen tmbién lo podemos obtener por integrción unidimensionl del áre de su sección trnsversl. En l figur A(x o ) = d c f c f(x o, y) dy.

16 1 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. z Are = A(x o ) x o y x Figur 1.3. Observción L existenci de l integrl doble no grntiz l existenci de ls iterds y vicevers, ver ejercicios 8 y Condición suficiente de integrbilidd. En est sección vmos ver que si un función cotd es continu, slvo en un conjunto pequeño, entonces es integrble. Pr medir el tmño de un conjunto introducimos el siguiente concepto. Definición Se A un subconjunto cotdo del plno. Se dice que A tiene contenido bidimensionl nulo si pr cd ε > existe un conjunto finito de rectángulos {Q 1,..., Q N } de ldos prlelos los ejes tles que l sum de ls áres de los Q i es menor que ε y N A interior (Q i ). i=1 Ejercicio Demostrr ls siguientes firmciones. (1) Culquier subconjunto finito del plno tiene contenido bidimensionl nulo. (2) L unión de un fmili finit de conjuntos de contenido bidimensionl nulo tiene contenido bidimensionl nulo. (3) Todo subconjunto de un conjunto de contenido bidimensionl nulo tiene contenido bidimensionl nulo. (4) Todo segmento de rect tiene contenido nulo. (5) Se A R 2, demostrr que si pr cd ε > se tiene que existe un conjunto finito de rectángulos cotdos {Q 1,..., Q N } tles que l sum de ls áres de los Q i es

17 2. INTEGRALES DOBLES. 11 menor que ε y N A i=1 Q i entonces A tiene contenido bidimensionl nulo (es decir, no es necesrio suponer que los ldos de Q i son prlelos los ejes y podemos colocr Q i en vez de interior (Q i ) en l definición de contenido nulo). Teorem Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo y se f : Q R un función cotd. Si el conjunto de ls discontinuiddes de f tiene contenido bidimensionl nulo entonces f es integrble sobre Q. Demostrción. Se M > tl que f(x) M pr todo x Q. Se D el conjunto de ls discontinuiddes de f. Se ε >. Como D tiene contenido bidimensionl nulo existe un colección finit de rectángulos de ε ldos prlelos los ejes, R 1,..., R N1 tles que l sum de sus áres es menor que 4M y El conjunto D N 1 i=1 C = Q \ interior (R i ). N 1 i=1 interior (R i ) es compcto y f es continu en C, luego f es uniformemente continu en C. Por lo tnto podemos dividir C en rectángulos R 1,..., R N 2 pr i = 1,..., N 2. tles que mx{f(x, y) : (x, y) R i} min{f(x, y) : (x, y) R i} < ε 2 áre (Q), Se P = {Q 1,... Q N } un prtición de Q tl que culquier rectángulo R i, 1 i N 1, ó R i, 1 i N 2 es unión de rectángulos pertenecientes P. Se (x, y) Q. Definimos ls funciones esclonds s y t en el punto (x, y) de l siguiente mner: Si (x, y) pertenece l rectángulo R i pr lgún i, entonces s(x, y) = m i = min{f(x, y) : (x, y) R i} y t(x, y) = M i = mx{f(x, y) : (x, y) R i}, en otro cso s(x, y) = M y t(x, y) = M.

18 12 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. De l definición de s y t sigue que s(x, y) f(x, y) t(x, y) pr todo (x, y) Q. Q (t(x, y) s(x, y)) dxdy = donde s i y t i son los vlores respectivos de s y t en Q i. N (s i t i ) áre (Q i ), Si Q i es uno de los rectángulos contenido en lgún R 1,..., R N 2 En otro cso s i t i = 2M. en R 1,..., R N 2 s i t i < i=1 ε 2 áre (Q). tenemos que Por construcción l sum de ls áres de los rectángulos de P que no están contenidos ε es menor que, por lo tnto tenemos que 4M ( ) Q (t(x, y) s(x, y)) dxdy (áre (Q)) ε 2 áre (Q) + 2M ( ε ) 4M = ε. Luego f es integrble sobre Q. Ejemplo Verificr l existenci y clculr l siguiente integrl doble (x 2 + y) dxdy. [,1] [,1] Como el integrndo es un función continu, result ser integrble. Además como se cumplen ls hipótesis del teorem de Fubini tenemos que: 1 (x 2 + y) dx = x3 x=1 3 + yx = y, x= luego 1 1 (x 2 + y) dxdy = = 1 1 ( 1 = 1 3 y + y2 2 ) (x 2 + y) dx dy ( ) y dy y=1 y= = = 5 6.

19 2. INTEGRALES DOBLES Integrles dobles sobre conjuntos más generles. Teorem Se ϕ : [, b] R un función continu. Entonces el gráfico de ϕ tiene contenido bidimensionl nulo. Demostrción. Se A el gráfico de ϕ, es decir, A = {(x, y) R 2 : x b, y = ϕ(x)}. Se ε >. Por ser [, b] compcto, ϕ es uniformemente continu y por lo tnto existe un prtición P = {x o,..., x k } del intervlo [, b] tl que l oscilción de ϕ en cd uno de los intervlos de P es menor que ε/(b ). Pr i = 1,..., k sen M i = sup{ϕ(x) : x [x i 1, x i ]} y m i = inf{ϕ(x) : x [x i 1, x i ]}. Estos vlores son finitos porque ϕ es continu en los compctos [x i 1, x i ]. Además y Finlmente A k [x i 1, x i ] [m i, M i ] i=1 M i m i ( k ) áre [x i 1, x i ] [m i, M i ] = i=1 ε b. k (x i x i 1 ) (M i m i ) i=1 ε b k (x i x i 1 ) = ε. i=1 Sen S un subconjunto cotdo de R 2 y f : S R un función cotd. Se Q un rectángulo de ldos prlelos los ejes y cotdo tl que S Q. Se f : Q R l función definid por f(x, y) si (x, y) S, (1.2) f(x, y) = si (x, y) Q \ S. El conjunto de los puntos de discontinuidd de f está contenido en el conjunto de los puntos de discontinuidd de f unido con l fronter de S. Por lo tnto, si l fronter de S y el conjunto de los puntos de discontinuidd de f tienen contenido nulo, entonces f es integrble sobre Q.

20 14 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Definición Se S un subconjunto cotdo de R 2 tl que su fronter tiene contenido nulo. Se f : S R un función cotd, tl que el conjunto de los puntos de discontinuidd de f tiene contenido nulo. Sen Q y f como en (1.2), se define f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy. S Q Ejercicio 1.3. Demostrr que f(x, y) dxdy está bien definid, es decir, probr que no depende del rectángulo Q que contiene S. S Ejercicio Supongmos que S es un subconjunto de R 2. Se χ S l función crcterístic de S, es decir, 1 si x S, χ S (x) = si x / S. Demostrr que el conjunto de los puntos de discontinuidd de χ S es l fronter de S Tomndo en cuent lo nterior result muy nturl l siguiente definición. Definición Se S es un subconjunto cotdo de R 2 tl que su fronter tiene contenido bidimensionl nulo. El áre o contenido bidimensionl de S es l integrl doble de χ S, es decir, áre(s) = dxdy. Observción Notr que el áre de S es l integrl doble sobre S de l función constnte igul 1. S A continución vmos ver cómo clculr l integrl doble de un función, usndo integrción iterd, sobre regiones bstntes generles. Definición Un región del tipo I es un región de l form R 1 = {(x, y) R 2 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} donde ϕ 1 y ϕ 2 son funciones continus en [, b], tles que ϕ 1 ϕ 2.

21 2. INTEGRALES DOBLES. 15 y y = ϕ 2 (x) y = ϕ 1 (x) b x Figur 1.4. Región tipo I Del Teorem 1.28 sigue que l fronter de tod región del tipo I tiene contenido nulo. Supongmos que f es continu en l región del tipo I donde R 1 = {(x, y) R 2 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}. Si c = inf{ϕ 1 (x) : x b} y d = sup{ϕ 2 (x) : x b} entonces R 1 [, b] [c, d]. Luego R 1 f(x, y) dxdy = [,b] [c,d] f(x, y) dxdy, f(x, y) si (x, y) R 1, f(x, y) = si (x, y) [, b] [c, d] \ R 1. Por ser f continu tenemos que, pr cd x [, b], l función y f(x, y) es integrble sobre [c, d] y de l definición de f sigue que Por el Teorem de Fubini d c f(x, y) dy = R 1 f(x, y) dxdy = b ϕ2 (x) ϕ 1 (x) f(x, y) dy. ( ) ϕ2 (x) f(x, y) dy dx. ϕ 1 (x) Definición Un región del tipo II es un región de l form R 2 = {(x, y) R 2 : c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} donde ψ 1 y ψ 2 son funciones continus en [c, d] tles que ψ 1 ψ 2.

22 16 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. y c x = ψ 1 (y) x = ψ 2 (y) d x Figur 1.5. Región tipo II Al igul que ntes se puede mostrr que si f es continu en un región del tipo II R 2 = {(x, y) R 2 : c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)}, entonces f(x, y)dxdy = R 2 d ( ) ψ2 (y) f(x, y) dx dy. c ψ 1 (y) Finlmente, pr clculr un integrl sobre un región rbitrri, l descomponemos como un unión de regiones tipo I y tipo II. Ejemplo Cmbir el orden de integrción en l siguiente integrl 2 ( 4 ) f(x, y)dy dx. x 2 Tenemos que l región de integrción está dd por x 2, x 2 y 4. y 4 y=x 2 2 x Figur 1.6.

23 2. INTEGRALES DOBLES. 17 Otr mner de describir l región es y 4, x y, por lo tnto, l cmbir el orden de integrción obtenemos 4 ( y ) f(x, y)dx dy. Ejemplo Se R l región {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}. Escribiremos fda en términos de integrles iterds. R y x Figur 1.7. R f(x, y)dxdy = ( ) 4 x 2 f(x, y) dy dx + 4 x 2 ( ) 1 x 2 f(x, y) dy dx x ( ) 4 x 2 f(x, y) dy dx 1 x 2 ( ) 4 x 2 f(x, y) dy dx 4 x 2 Ejemplo Clculr el volumen del sólido limitdo por el elipsoide x y2 b 2 + z2 c 2 = 1. El elipsoide es l región comprendid entre los gráficos de ls funciones f 1 (x, y) = c 1 x2 y2 y f 2 b 2 2 (x, y) = c 1 x2 y2 2 b, 2

24 18 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. pr (x, y) S, donde S = {(x, y) R 2 : x2 + y2 2 b 1}. 2 Por lo tnto, denotndo por V l volumen del sólido, tenemos que V = (f 1 (x, y) f 2 (x, y)) dxdy. Tomdo en cuent ls simetrís del sólido tenemos que V = 8c 1 x2 y2 2 b dxdy, 2 S S 1 donde Por lo tnto S 1 = {(x, y) R 2 : x, y, x2 2 + y2 b 2 1}. V = 8c b 1 x2 2 1 x2 y2 2 b dy dx. 2 Como ejercicio, verificr que l integrl nterior es igul 4 3 πbc. 3. Integrles múltiples El concepto de integrl puede extenderse del espcio bidimensionl R 2 l espcio n- dimensionl R n. Ls definiciones, el trtmiento y los resultdos son completmente nálogos. Desrrollremos el concepto de integrl múltiple pr n 3. Dd l nlogí menciond omitiremos lguns pruebs y detlles. Definición Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr. Se P un colección de prlelepípedos contenidos en Q. Se dice que P es un prtición de Q si existen prticiones P k = {x k, x k 1,..., x k N k } de [ k, b k ] tles que P = { [x 1 i 1 1, x 1 i 1 ] [x n i n 1, x n i n ] : 1 i 1 N 1,..., 1 i n N n }. (P 1,..., P n ) denotrá l prtición P. Notr que si P k const de N k puntos entonces P contiene N 1 N n subprlelepípedos.

25 3. INTEGRALES MÚLTIPLES Integrl múltiple de un función esclond. Definición 1.4. Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr y se s : Q R un función. Se dice que s es un función esclond si existe un prtición P de Q tl que s es constnte en cd uno de los subprlelepípedos biertos de P. Definición Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr. El volumen n-dimensionl o contenido n-dimensionl de Q es Vol(Q) = (b 1 1 ) (b n n ). Supongmos que Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n es un prlelepípedo rectngulr y que s : Q R un función esclond. Se P = {Q i1...i n, i 1 = 1,..., N 1,..., i n = 1,..., N n } un prtición de Q tl que en int(q i1...i n ) s(x 1,..., x n ) = c i1...i n Definición 1.42 (Integrl múltiple de un función esclond). L integrl múltiple, o simplemente, l integrl de s sobre Q es Q s dv = Q N 1 s(x 1,..., x n ) dx 1... dx n = i 1 =1 N n i n =1 c i1...i n Vol(Q i1...i n ). Al igul que en el cso bidimensionl tenemos que, si s es un función esclond, entonces (1.3) Q s dv = bj1 j1 (... bjn j n ) s(x 1,..., x n ) dx jn... dx j1. donde (j 1,..., j n ) es un permutción de (1,..., n). Tmbién se cumplen los nálogos de ls propieddes estblecids en el Ejercicio Integrl múltiple de un función cotd en un rectángulo. Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr y se f : Q R un función cotd.

26 2 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Definición L integrl superior de f sobre Q es I(f) = inf t dv : t es un función esclond y f t. Q L integrl inferior de f sobre Q es I(f) = sup s dv : s es un función esclond y s f. Q Definición Se f : Q R un función cotd, se dice que f es integrble sobre Q si I(f) = I(f). Este vlor común se denomin l integrl múltiple, o simplemente, l integrl de f sobre Q y se denot por f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n, o simplemente por Q f dv. Q L siguiente notción f( x) d x, pr l integrl múltiple tmbién es común y conveniente en lgunos csos. Q Ls propieddes estblecids en el Ejercicio 1.2 tmbién vlen pr integrles múltiples. 4. Cálculo de un integrl múltiple medinte integrción iterd. Teorem 1.45 (Fubini). Se Q = I 1... I n R n un prlelepípedo rectngulr, donde I k = [ k, b k ] es un intervlo cotdo y se f : Q R un función integrble sobre Q. Sen p y q enteros positivos tles que p + q = n. Sen Q 1 = I 1... I p y Q 2 = I p+1... I n. Supongmos que: () Pr cd u Q 1 l función v f( u, v) de Q 2 en R es integrble.

27 4. CÁLCULO DE UNA INTEGRAL MÚLTIPLE MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA. 21 (b) L función u Q 2 f( u, v) d v de Q 1 en R es integrble sobre Q 1. Entonces f( x) d x = f( u, v) d v d u. Q Q 1 Q 2 L demostrción de este resultdo es completmente nálog l del Teorem 1.21 y l dejremos como ejercicio. Aplicndo sucesivmente el resultdo nterior obtenemos. Corolrio Se Q = I 1... I n R n un prlelepípedo rectngulr, donde I k = [ k, b k ] es un intervlo cotdo y se f : Q R un función integrble en Q. Se (j 1, j 2,,j n ) un permutción de (1,..., n). Supongmos que ls siguientes integrles iterds están definids bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1, j1 ( bj1 bj2 j2 bjn j n. ( j1... f(x 1,..., x n ) dx j1 bj2 j2 ) dx j2, ( ) ) bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1 dx j2... dx jn. j1 Entonces Q fdv = bjn j n (... bj2 ( ) ) bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1 dx j2... dx jn. j2 j1 Observción Si tenemos un función integrble como en el corolrio nterior y ls integrles iterds de f existen en dos órdenes diferentes, entonces ests dos integrles iterds son igules l integrl de f sobre Q. En prticulr, cundo f es integrble y ls integrles iterds existen en todos los órdenes posibles, tods ests integrles nos dn el mismo vlor. Otr notción común pr ls integrles iterds es l siguiente:

28 22 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. En vez de escribir bjn j n (... bj2 ( ) ) bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1 dx j2... dx jn, j2 j1 se suele escribir bj n jn dx jn (... bj2 j2 dx j2 ( bj1 j1 dx j1 f(x 1,..., x n ) ) ) Condiciones de integrbilidd Al igul que en el cso bidimensionl, si un función cotd es continu, slvo en un conjunto pequeño, entonces es integrble. Pr medir el tmño de un conjunto en R n generlizremos, de mner nturl, el concepto de contenido nulo. Cundo hblemos de prlelepípedo rectngulr en R n supondremos que se trt de un conjunto de l form [ 1, b 1 ] [ n, b n ], es decir, supondremos que sus crs son prlels los espcios coordendos. Definición Se A un subconjunto cotdo de R n. Se dice que A tiene contenido n-dimensionl nulo si pr cd ε > existe un conjunto finito de prlelepípedos rectngulres {Q 1,..., Q N } tles que l sum de los contenidos n-dimensionles de los Q i es menor que ε y demás N A interior (Q i ). i=1 Ejercicio Demostrr ls siguientes firmciones. (1) Culquier subconjunto finito de R n tiene contenido n-dimensionl nulo. (2) L unión de un fmili finit de conjuntos de contenido n-dimensionl nulo tiene contenido n-dimensionl nulo. (3) Todo subconjunto de un conjunto de contenido n-dimensionl nulo tiene contenido n-dimensionl nulo. (4) Todo subconjunto cotdo de R n contenido en un subespcio fín de dimensión menor que n tiene contenido n-dimensionl nulo.

29 5. CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD 23 (5) Se A R n, demostrr que si pr cd ε > existe un conjunto finito de prlelepípedos rectngulres {Q 1,..., Q N } tles que l sum de ls contenidos n- dimensionles de los Q i es menor que ε y N A i=1 Q i entonces A tiene contenido n-dimensionl nulo (es decir, podemos colocr Q i en vez de interior (Q i ) en l definición de contenido nulo). De mner completmente nálog como se demostrron los Teorems 1.26 y 1.28 se pruebn los siguientes resultdos. Los detlles se los dejmos l lector. Teorem 1.5. Sen Q R n un prlelepípedo rectngulr cotdo y ϕ : Q R un función continu. Entonces el gráfico de ϕ tiene contenido nulo en R n+1. Teorem Se Q R n un prlelepípedo rectngulr cotdo y se f : Q R un función cotd. Si el conjunto de ls discontinuiddes de f tiene contenido n-dimensionl nulo en R n entonces f es integrble en Q. Ejercicio Se Q R n un prlelepípedo rectngulr y se f : Q R un función cotd. Se P un prtición de Q. Definir U(f, P ), l sum superior pr f con respecto l prtición P y definir L(f, P ), l sum inferior pr f con respecto l prtición P. Demostrr los siguientes resultdos (clrr bien el significdo de l notción en el segundo). Teorem 1.53 (Condición de Riemnn). Se Q R n un prlelepípedo rectngulr y f : Q R un función cotd. Entonces f es integrble sobre Q si y sólo si pr cd ε > existe un prtición P de Q tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Teorem Se Q R n f : Q R un función continu entonces () f es integrble. (b) Si c i1...i n Q i1...i n, l integrl de f en Q es: N 1 fdv = lim... Q P 1,..., P n i 1 =1 un prlelepípedo rectngulr cerrdo y cotdo, se N n i n=1 f( c i1...i n )Vol (Q i1...i n ).

30 24 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Conjuntos lisos. Definición Se A R n. Se dice que A es un conjunto liso si existe un entero no negtivo k < n, un función g : R k R n de clse C 1 y un conjunto D R k compcto tl que A = g(d). Ejemplo Los subconjuntos lisos de R son los puntos. subconjunto liso de R 3. Un curv suve es un Vmos probr que todo subconjunto liso de R n tiene contenido n-dimensionl nulo. Primero necesitmos recordr y estblecer ciertos resultdos. Recordemos (ver Guí de Cálculo Diferencil en vris vribles) que si g : R k R n es de clse C 1 entonces g( y) g( x) n y x mx z L g ( z) M, donde L es el segmento de rect que une los puntos x y y. Por lo tnto, si D R k es compcto y convexo, tenemos que pr todo pr de puntos x, y D. g( y) g( x) n y x mx z D g ( z) M, Un cubo en R k es un conjunto de l form [ 1, b 1 ] [ k, b k ], donde b i i = b j j pr i, j = 1,..., k. Si K es un cubo en R k, x o es el centro de K y l es l longitud de l rist de K, entonces { K = x R k : x x o l }, 2 donde, (recordr) x = mx{ x 1,..., x k }. Lem Se g : R k R n un función de clse C 1 y se K un cubo en R k de centro x o y rist de longitud l. Entonces g(k) está contenido en un cubo de rist de longitud n l mx z K g ( z) M.

31 6. INTEGRALES MÚLTIPLES SOBRE REGIONES GENERALES 25 Demostrción. Se x K. Entonces g( x) g( x o ) g( x) g( x o ) n mx z K g ( z) M x x o n mx z K g ( z) M n x xo ( ) l n mx 2 z K g ( z) M. Teorem Todo subconjunto liso de R n tiene contenido n-dimensionl nulo. Demostrción. Como todo subconjunto compcto de R k está contenido en un cubo, bst probr que si k < n, g : R k R n es un función de clse C 1 y K R k es un cubo entonces g(k) tiene contenido n-dimensionl nulo. Se K R k un cubo. Se l l longitud de l rist de K. Si dividimos cd rist de K en N prtes igules de longitud l/n entonces K qued dividido en N k subcubos. Se γ = n mx z K g ( z) M. Por el Lem 1.57 l imgen de cd uno de estos subcubos está contenido en un cubo cuy rist tiene longitud ( ) l γ, N por lo tnto, el contenido n-dimensionl de su imgen de cd subcubo está cotdo por ( ) n l γ n. N Cómo K const de N k subcubos tenemos que el contenido n-dimensionl de g(k) está cotdo por N k γ n ( ) n l. N Cómo k < n y N es rbitrrio el contenido n-dimensionl de g(k) tiene que ser nulo. 6. Integrles múltiples sobre regiones generles Sen S un subconjunto cotdo de R n y f : S R un función cotd. Se Q un prlelepípedo rectngulr cotdo tl que S Q. Se f : Q R l función definid por f( x) si x S, (1.4) f( x) = si x Q \ S.

32 26 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. El conjunto de los puntos de discontinuidd de f está contenido en el conjunto de los puntos de discontinuidd de f unido con l fronter de S. Por lo tnto, si l fronter de S y el conjunto de los puntos de discontinuidd de f tienen contenido n-dimensionl nulo, entonces f es integrble sobre Q. Definición Se S un subconjunto cotdo de R n tl que su fronter tiene contenido nulo. Se f : S R un función cotd, tl que el conjunto de los puntos de discontinuidd de f tiene contenido nulo. Sen Q y f como en (1.4), se define f( x) dv = f( x) dv. S Q Definición 1.6. Se R un subconjunto cotdo de R n cuy fronter tiene contenido nulo. El volumen n-dimensionl o contenido n-dimensionl de R es: V n (R) = 1 dv. Tl como es nturl, l contenido 2-dimensionl se le llm áre y l 3-dimensionl se le llm volumen. R De mner nálog l cso bi-dimensionl, podemos clculr integrles múltiples sobre regiones generles. Por ejemplo, si R = {(x, y, z) R 3 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x), α 1 (x, y) z α 2 (x, y)} donde ϕ 1 y ϕ 2 son funciones continus en [, b] siendo ϕ 1 ϕ 2, α 1 y α 2 son funciones continus con α 1 α 2. Si f es integrble en R entonces f(x, y, z) dxdydz = b ϕ 1 (x) α 1 (x,y) R ( ( ϕ2 (x) ) ) α2 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx. Otro ejemplo, si R = {(x, y, z) R 3 : c y d, h 1 (y) z h 2 (y), β 1 (y, z) x β 2 (y, z)} entonces R f(x, y, z) dxdydz = d dy h2 (y) dz β2 (y,z) c h 1 (y) β 1 (y,z) f(x, y, z) dx.

33 6. INTEGRALES MÚLTIPLES SOBRE REGIONES GENERALES 27 Un región rbitrri debe descomponerse en l unión de regiones nálogs ls nteriores pr poder sí colocr los límites de integrción. Observción Se f : R 3 R, f. Entonces f(x, y, z)dxdydz Q represent l ms de un sólido que ocup l región Q y cuy densidd en cd punto es f. Ejercicio Demostrr que si A R 2 es cotdo, f : A [, ) es integrble y R = {(x, y, z) R 3 : (x, y) A, z f(x, y)} entonces Vol (R) = A f(x, y) dxdy. Ejemplo Clculr el volumen del sólido R limitdo por los plnos coordendos y el plno x + y + z = 1. z 1 x+y+z=1 1 x+y=1 1 y x Figur 1.8. Sólido R Tenemos que R = {(x, y, z) R 3 : x 1, y 1 x, z 1 x y}.

34 28 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Por lo tnto, plicndo el teorem de Fubini tenemos que 1 ( 1 x ( 1 x y ) ) Vol (R) = 1 dv = 1 dz dy dx por otr prte de donde 1 x = R 1 ( 1 x (1 x y)dy = (1 x)y y2 2 Vol (R) = 1 ) (1 x y)dy dx, y=1 x y=o = (1 x) 2 (1 x) 2 dx = 1 (1 x) x=1 x= (1 x)2 2 = 1 6. = (1 x)2, 2 Ejemplo Clculr el volumen del sólido S cotdo por ls superficie de z = 3x 2, z = 4 x 2, y =, z + y = 6. El primer pso es identificr l región de integrción. Vemos primero los gráficos de z = 3x 2 y de z = 4 x 2. z z x x y y Figur 1.9. Gráficos de z = 3x 2 y de z = 4 x 2 L superficie y = es el plno xz y l superficie z + y = 6 es un plno. A continución ilustrmos el plno z + y = 6 y l región S.

35 6. INTEGRALES MÚLTIPLES SOBRE REGIONES GENERALES 29 z z x x y y Figur 1.1. Plno z + y = 6 y región S Si rotmos l región pr poder verl desde trás obtenemos z y x Figur Región S En conclusión, l región está dd por ls siguientes desigulddes: 1 x 1, 3x 2 z 4 x 2, y 6 z, por lo tnto Vol (S) = x 2 6 z dx dz dy = = 34 3x 2 15.

36 3 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Ejemplo Encontrr el volumen de l región R cotd por ls superficies z = x 2 + y 2 y z = 1 x 2 2y 2. L superficie z = x 2 + y 2 es un prboloide que se bre hci rrib y l superficie z = 1 x 2 2y 2 es un prboloide que se bre hci bjo. Igulndo ls dos ecuciones tenemos que se intersectn donde x 2 + y 2 = 1 x 2 2y 2 o bien 2x 2 + 3y 2 = 1, que es un conjunto cuy proyección sobre el plno xy es un elipse. Est elipse se puede describir como 5 x 1 2x 2 1 2x 2 5, y. 3 3 En l siguiente figur se observ un sección del sólido, visto desde l prte de trás. z y x Tenemos que Figur Corte de ls superficies que limitn R Vol (R) = = = = = x x x x x x x 2 2y 2 x 2 +y 2 dzdydx (1 x 2 2y 2 x 2 y 2 ) dydx (1 2x 2 3y 2 ) dydx ( 1y 2x 2 y y 3 ) y=(1/3)(1 2x2 ) 1/2 dx y= (1/3)(1 2x 2 ) 1/2 5 (1 2 5 x 2 2 2x 2 ) 5 x 2 dx.

37 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. 31 Por otr prte 5 x 2 dx = x 2 5 x rcsen x 5 + c, x 2 5 x 2 dx = x 8 (2x2 5) 5 x rcsen x 5 + c. Por lo tnto Vol (R) = ( x 5 x2 + 5 ( )) x 5 x= rcsen x= 5 ( x 8 (2x2 5) 5 x rcsen x = 25π 2 3. ) x= 5 x= 5 7. Cmbio de vribles en integrles múltiples. Recordemos que, bjo cierts condiciones, pr funciones de un vrible se cumple g(b) f(x)dx = b g() f(g(u))g (u)du. En est sección vmos estudir l extensión de este resultdo funciones de vris vribles e integrles múltiples. Observción Es importnte clrr que, pr el cso de funciones de R en R, clculr f(x)dx es lo mismo que clculr f(t)dt. I I Lo nterior no es un cmbio de vrible, simplemente es un cmbio de notción. Tmbién lo podrímos hber escrito como f(θ)dθ, l región de integrción es siempre l mism. De l mism mner si A R 2 se tiene que clculr f(x, y)dxdy A I es lo mismo que clculr est integrl A f(u, v)dudv

38 32 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. o est otr f(r, θ)drdθ, l región de integrción siempre es l mism. A El teorem de cmbio de vribles pr integrles múltiples es el siguiente. Teorem 1.67 (Teorem de cmbio de vribles). Supongmos que (i) D R n es un bierto y T : D R n es un función de clse C 1, (ii) B R n es cotdo, B está formd por un número finito de conjuntos lisos y B D, (iii) T es inyectiv en B, (iv) det T (u 1,..., u n ) pr todo (u 1,..., u n ) B con l posible excepción de un número finito de conjuntos lisos, (v) f : T (B) R es un función cotd y continu. Entonces f es integrble sobre T (B) y f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n = f(t (u 1,..., u n )) det T (u 1,..., u n ) du 1... du n. T (B) B Pr l demostrción remitimos l lector ls referencis, ver por ejemplo [13] o [3]. Veremos lgunos ejemplos en detlle y justificremos el resultdo de mner intuitiv. Ejercicio Verificr que en el cso n = 1 el teorem se reduce l conocid fórmul: g(b) f(x)dx = b g() f(g(u))g (u)du. (Notr que debe clrr que ocurre con el vlor bsoluto que prece en el teorem). Ejemplo Se P el prlelogrmo cotdo por y = 2x, y = 2x 2, y = x + 1, y = x. Utilizremos el teorem de cmbio de vribles pr clculr xy dxdy. P Hremos el cmbio de vribles x = u v, y = 2u v. Más precismente se T (u, v) = (u v, 2u v).

39 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. 33 Se B el rectángulo cotdo por v =, v = 2, u =, u = 1 entonces T (B) = P. Además T (, ) = (, ), T (1, ) = (1, 2), T (, 2) = (2, 2) y T (1, 2) = (3, 4). El jcobino pr el cmbio de vribles es: ( ) T 1 1 (u, v) =. 2 1 Luego det T (u, v) = = 1. Por lo tnto, xy dxdy = (u v)(2u v) dudv = P B = 2 3 u3 3 u=1 2 vu2 + v 2 dv = u= = 2 3 v 3 4 v2 + v3 v= 3 = v= 2 ( = 12 ) 3 3 = 7. 2 ( 2 3 ( 2) (2u 2 3vu + v 2 ) dudv ( ) 2 v + v2 dv = ) Coordends Polres. Recordemos que el punto (x, y) R 2 tiene coordends polres (r, θ) si x = r cos θ, y = r sen θ. En este cso, r = x 2 + y 2 tn θ = y/x. Es usul suponer r, θ < 2π. Más generlmente, se restringe θ un intervlo semibierto de longitud 2π. Explícitmente θ = rctn ( ) y x π + rctn ( y x donde rctn ( y x) está entre π/2 y π/2. ) x >, y x < 2π + rctn ( y x) x >, y <

40 34 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Ejemplo 1.7. () Hllr ls coordends polres del punto (6, 6). Tenemos que r = x 2 + y 2 = = 6 2, θ = rctn(6/6) = rctn 1 = π/4. (b) Si un punto tiene coordends polres (8, 2π/3), Cuáles son sus coordends crtesins? Tenemos que x = r cos θ = 8 cos(2π/3) = 8/2 = 4, y = r sen θ = 8 sen(2π/3) = 8 3/2 = 4 3, Observción Se θ o fijo. L gráfic de θ = θ o está formd por los puntos de un semirrect que form un ángulo θ o con l rect y =. Se r o fijo. L gráfic de r = r o es un circunferenci con centro en el origen y rdio r o. Teorem 1.72 (Cmbio de vribles Coordends Polres). Se B {(r, θ) R 2 : r, θ < 2π} cotdo y se T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) l trnsformción de coordends polres. Se T P (B) l imgen de B por T P y se f : T P (B) R continu y cotd. Entonces f(x, y) dxdy = f(r cos θ, r sen θ)r drdθ. T P (B) B Demostrción. L mtriz jcobin pr el cmbio coordends polres es: ( ) T P cos θ r sen θ (r, θ) =. sen θ r cos θ Luego det T P (r, θ) = r. Ejemplo Clculr x2 + y 2 dxdy donde Q Q = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}.

41 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. 35 Sen T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y B = [1, 2] [, 2π], entonces T P (B) = Q. Luego x2 + y 2 dxdy = (r cos θ)2 + (r sen θ) 2 r drdθ Q B = = B 2π = 2π r3 3 = 14π 3. r 2 drdθ = dθ 2 1 r=2 r=1 2π 2 r 2 dr = 2π = 2π 3 (8 1) 1 2 r 2 drdθ 1 r 2 dr Justificción de l fórmul del cmbio de vribles pr coordends polres. A continución vmos justificr, de mner intuitiv y usndo rgumentos geométricos sencillos, l fórmul pr el cmbio de vribles coordends polres. Tl como ntes se T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Es un hecho básico de geometrí (ver figur) que si B o = [, q] [, α], donde α [, π/2] y q, entonces Are (T P (B o )) = q 2 α 2. y q α x Figur T P (B o )

42 36 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Proposición Si B 1 = [q 1, q 2 ] [α 1, α 2 ], donde α 1 α 2 < 2π y q 1 < q 2, entonces figur) Are (T P (B 1 )) = (α 2 α 1 )(q 2 q 1 )(q 2 + q 1 ). 2 Demostrción. Del comentrio previo est Proposición podemos concluir que (ver Are (T P (B 1 )) = q 2 2 α 2 2 α 1 q2 2 2 α 2 (q α 1 q2 1 2 ) = (α 2 α 1 )(q 2 q 1 )(q 2 + q 1 ). 2 θ T P y B 1 T P (B 1 ) r x Figur T P (B 1 ) Consideremos hor un región B en el plno rθ. Supongmos B [, b] [γ, δ] y se T P (B) l imgen de B por T P. Sen P 1 = {r o, r 1,..., r n1 } un prtición de [, b] y P 2 = {θ o, θ 1,..., θ n2 } un prtición de [γ, δ]. Sen B ij = [r i 1, r i ] [θ j 1, θ j ] y d ij B ij. Se f : R 2 R un función continu, entonces bsándonos en el Teorem 1.54 podemos justificr, de mner informl, l fórmul pr el cmbio de vribles coordends polres de l siguiente mner:

43 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. 37 T P (B) f(x, y) dxdy = n 1 n 2 lim ( P 1, P 2 ) (,) i=1 j=1 n 1 n 2 = lim ( P 1, P 2 ) (,) i=1 j=1 = f(t p (r, θ))r drdθ f(t P (d ij ))Are (T p (B ij )) f(t P (d ij )) r i + r i 1 (r i r i 1 )(θ j θ j 1 ) 2 B = f(r cos θ, r sen θ)r drdθ. B 7.1. Coordends Cilíndrics. Recordemos que el punto (x, y, z) R 3 tiene coordends cilíndrics (r, θ, z) si x = r cos θ, y = r sen θ, es decir, representmos l primer y l segund coordend en términos de coordends polres y no ltermos l tercer. En generl se tom r, θ < 2π, z R. Además r 2 = x 2 + y 2, tn θ = y x, z = z. Ejemplo Si un punto tiene coordends cilíndrics (8, 2π/3, 3), Cuáles son sus coordends crtesins? Tenemos que x = r cos θ = 8 cos 2π/3 = 8/2 = 4, y = r sen θ = 8 sen 2π/3 = 8 3/2 = 4 3, z = 3. Observción Se z o fijo. El conjunto z = z o está formd por todos los puntos de un plno prlelo l plno xy. Se θ o fijo. El conjunto θ = θ o está formd por todos los puntos de un semiplno que contiene l eje z y que form un ángulo θ o con el plno y =. En prticulr θ = corresponde l plno xz. Se r o fijo. El conjunto r = r o está formd por todos los puntos de un cilindro circulr recto cuyo eje centrl es el eje z y que tiene rdio r.

44 38 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Se T C (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) l trnsformción de coordends cilíndrics, entonces su jcobino es: cos θ r sen θ T C(r, θ, z) = sen θ r cos θ 1 Luego det T c(r, θ, z) = r. Del teorem generl de cmbio de vribles obtenemos. Teorem 1.77 (Cmbio de vribles Coordends Cilíndrics). Sen B {(r, θ, z) R 3 : r, θ < 2π} cotdo, T C (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) y f : T C (B) R continu y cotd. Entonces f(x, y, z) dx dy dz = f(r cos θ, r sen θ, z)r dr dθ dz. T C (B) B Ejemplo Se S el sólido ddo por x 2 + y 2 1, z x 2 + y 2. Hllr z dx dy dz. Cmbindo coordends cilíndrics obtenemos S S dxdydz = = 2π 1 r 2π 1 = π 4. rz dzdrdθ = r 3 2 drdθ = 1 2 2π 2π 1 r 4 4 dθ = 1 8 ( rz 2 2 2π z=r z= ) drdθ = dθ Coordends Esférics. Recordemos que el punto (x, y, z) R 3 tiene coordends esférics (ρ, θ, ϕ) si x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ. En generl se tom ρ, θ < 2π, ϕ π.

45 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. 39 Además, ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2, tn θ = y x, cos ϕ = z x2 + y 2 + z 2. z ρ (x,y,z) ϕ x θ ρ senϕ y Figur Coordends esférics Observción Se ρ fijo. L gráfic de ρ = ρ es un esfer con centro en el origen y rdio ρ. Se θ fijo. L gráfic de θ = θ es un semiplno que contiene l eje z. Se ϕ fijo. L gráfic de ϕ = ϕ es un cono con vértice en el origen y un bertur ngulr 2ϕ. Observción 1.8. (1) Si ρ es constnte, ls cntiddes (ρ, θ, ϕ) formn un sistem de coordends en l superficie de un esfer. (2) L ltitud y l longitud en l superficie de l Tierr tmbién formn un sistem de coordends. (3) Si restringimos θ de modo que π < θ < π, entonces se llm l longitud del punto en coordends esférics. (4) ϕ se llm coltitud del punto y l ltitud del punto es π/2 ϕ. Se T E (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ). El jcobino pr el cmbio coordends esférics es: sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ T E(ρ, θ, ϕ) = sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ sen θ cos ϕ ρ sen ϕ

46 4 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Luego det T E (ρ, θ, ϕ) = ρ2 sen ϕ. Y sí det T E(ρ, θ, ϕ) = ρ 2 sen ϕ. Teorem 1.81 (Cmbio de vribles Coordends Esférics). Sen B {(ρ, θ, ϕ) R 3 : ρ, θ < 2π, ϕ π} cotdo, T E (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ) y f : T E (B) R continu, entonces f(x, y, z) dxdydz = f(ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ)ρ 2 sen ϕ dρdθdϕ T E (B) B de D. Ejemplo Se D l esfer de rdio y centro (,, ), queremos hllr el volumen V ol(d) = D = dxdydz = π 2π π 2π sen ϕ dθdϕ = 2π3 3 = 2π3 ( cos π + cos ) 3 = 4π3 3. ρ 2 sen ϕ dρdθdϕ = π sen ϕ dϕ Ejemplo Clculr el volumen del sólido S que está encim del cono z 2 = x 2 + y 2 y dentro de l esfer x 2 + y 2 + z 2 = 2z. Este cono está ddo por ϕ = π/4 y l ecución de l esfer dd es x 2 + y 2 + (z ) 2 = 2, es decir tiene centro (,, ) y rdio.

47 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. 41 Se (x, y, z) un punto de l esfer, entonces 2 = x 2 + y 2 + (z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 2z + 2 = ρ 2 sen 2 ϕ cos 2 θ + ρ 2 sen 2 ϕ sen 2 θ + ρ 2 cos 2 ϕ 2ρ cos ϕ + 2 = ρ 2 sen 2 ϕ(cos 2 θ + sen 2 θ) + ρ 2 cos 2 ϕ 2ρ cos ϕ + 2 = ρ 2 sen 2 ϕ + ρ 2 cos 2 ϕ 2ρ cos ϕ + 2 = ρ 2 (sen 2 ϕ + cos 2 ϕ) 2ρ cos ϕ + 2 = ρ 2 2ρ cos ϕ + 2. Luego ρ 2 = 2ρ cos ϕ y por lo tnto ρ = 2 cos ϕ. Cómo los puntos de S están por encim del cono tenemos que ϕ π/4 y cómo están dentro de l esfer tenemos que ρ 2 cos ϕ. z esfer ρ cono ϕ y x Figur Corte de ls superficies que limitn S Por lo tnto S está ddo por ρ 2 cos ϕ, θ 2π, ϕ π/4. Utilizndo el cmbio coordends esférics obtenemos

48 42 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Vol (R) = dxdydz = = = S π/4 2π 2 cos ϕ π/4 ( 2π 2 cos ϕ π/4 ( 2π = 83 3 = 16π3 3 π/4 π/4 cos 3 ϕ el resto de los cálculos se los dejmos l lector. ρ 2 sen ϕ dρdθdϕ ) ρ 2 dρdθ sen ϕ dϕ ) cos3 ϕ dθ sen ϕ dϕ ( 2π ) dθ sen ϕ dϕ cos 3 ϕ sen ϕ dϕ. Justificción intuitiv del teorem de cmbio de vribles. En los cursos de álgebr linel o de geometrí se demuestr que si Λ : R n R n es un trnsformción linel y Q R n es un rectángulo, entonces V n (Λ(Q)) = det Λ V n (Q) (V n es el contenido n-dimensionl). Como ls trslciones dejn invrinte el contenido n-dimensionl, tenemos que si A es de l form Y o + Λ, donde Y o es un vector fijo y Λ es linel, entonces tmbién vle V n (A(Q)) = det Λ V n (Q). Supongmos que T : R n R n es un función de clse C 1. Entonces T es diferencible y T ( x) T ( x o ) + dt xo ( x x o ) si x x o. Luego si Q es un prlelepípedo pequeño y x o Q, entonces V n (T (Q)) V n (dt xo (Q)) = det T ( x o ) V n (Q). Consideremos hor un región cotd B en R n y f : T (B) R n continu y cotd. Si dividimos B en prlelepípedos pequeños Q 1,..., Q N y x i Q i tenemos

49 8. INTEGRALES IMPROPIAS. 43 T (B) N f( x) d x f(t ( x i )) V n (T (Q i )) i=1 N f(t ( x i )) det T ( x i ) V n (Q i ) i=1 f(t ( u)) det T ( u) d u. B Justificndo decudmente tods ests igulddes proximds se obtiene un demostrción forml del teorem de cmbio de vribles. 8. Integrles impropis. L definición de integrl puede ser extendid funciones no cotds y que no son necesrimente cero fuer de un conjunto cotdo. Supongmos que tenemos B R n y f : B R tles que: (1) Si D es el conjunto de los puntos donde f no es continu, entonces l intersección de D con culquier rectángulo cotdo, está contenid en un número finito de conjuntos lisos. (2) L fronter de l intersección de B con culquier rectángulo cotdo, está contenid en un número finito de conjuntos lisos. Definición Sen B R n y {B N } N un fmili creciente de subconjuntos de B, diremos que {B N } N converge B si todo subconjunto cotdo de B en el cul f está cotd está contenido en lgún B N. El índice N se puede escoger de mner conveniente, discreto o continuo, tendiendo infinito o un número ddo. Definición L integrl de f en B es fdv = lim N B B N fdv siempre que el límite se finito y no depend de l fmili de conjuntos cotdos {B N } N que converge B. (Se supone que los conjuntos B N se escogen de mner que existn ls integrles ordinris de Riemnn)

50 44 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Teorem Se f no negtiv en B y supongmos que lim fdv N es finito pr un fmili creciente de conjuntos {B N } N que converge B. Entonces fdv B N B está definid y fdv = lim N fdv B C N pr tod fmili de conjuntos {C N } N que converge B. Demostrción. Pr cd N existe un K tl que B N C K. De l mism mner existe un índice M que depende de K tl que C K B M. Como f es no negtiv fdv fdv fdv. B N C K B M Además, pr todo N fdv lim N fdv. ( ) Como fdv C N entonces converge. N C N B N es un sucesión creciente y cotd superiormente de números reles, De l doble desiguldd se sigue que lim N fdv lim N fdv lim N fdv. B N C N B N Luego fdv = lim N fdv. B C N Ejemplo Se f(x, y) = 1/x 2 y 2 definid en B = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}. Se B N = {(x, y) R 2 : 1 x N, 1 y N}.

51 8. INTEGRALES IMPROPIAS. 45 Si N > 1 entonces B N fda = N N 1 1 ( 1 N x 2 y dxdy = 2 1 ) 2 ( 1 x dx = 1 1 ) 2. 2 N Cundo N tiende infinito, los rectángulos B N cubren todo B. Entonces ( fda = lim fda = lim 1 1 ) 2 = 1. N N N B B N

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53 Ejercicios 1. (1) Clculr ls siguientes integrles iterds. () 2 dy 1 (x 2 + 2y) dx (b) 1 1 x 2 dx 1 + y dy 2 (c) π dx dy (d) 1 (x + y) 2 dθ r dr sen θ (2) Construir ls regiones cuys áres se expresn por ls siguientes integrles, decir qué tipo de región es, y clculr l integrl. () 1 ( x 2 dy ) dx (b) 2 ( 3x+1 1 2x ) dy dx (3) Hllr y representr gráficmente ls regiones de integrción que correspondn con cd un de ls siguientes integrles iterds. () y dy f(x, y) dx y (b) 3 25 x 2 dx f(x, y) dy (c) 3 1 x+9 2 dx f(x, y) dy (d) dx x 2 1 x+2 (4) Clculr l siguiente integrl doble por integrción sucesiv. x 2 f(x, y) dy xy(x + y) dx dy, donde Q = [, 1] [, 1]. Q (5) Demostrr que el áre de l prte del disco de centro (, ) y rdio 1 que está comprendid entre l rect x = 1/2 y l rect x = 1/2 es igul π/3 + 3/2. (6) Se < t < 1. Clculr el áre de S = {(x, y) [, 1] [, 1] : y < t/x}. 47

54 48 EJERCICIOS 1. (7) Dibujr ls regiones de integrción y clculr l integrl doble. () x cos(x + y) dx dy donde S es el triángulo de vértices (, ), (π, ) y (π, π). (b) S S e x+y dx dy donde S = {(x, y) : x + y 1}. (8) Se f : [, 1] [, 1] R definid por 1 si x es rcionl; f(x, y) = 2y si x es irrcionl. Demuestre que 1 dx 1 f(x, y) dy = 1, y que f no es integrble Riemnn en el rectángulo [, 1] [, 1]. (9) Es posible dr un ejemplo de un función f : [, 1] [, 1] R que es integrble y sin embrgo no están definids ningun de ls integrles iterds de f? (1) Demuestre que 1 dy (e xy 2e 2xy ) dx 1 1 dx 1 (e xy 2e 2xy ) dy. (11) Se D R n y f : D R n un función continu. Demostrr que si x es un punto interior de D entonces f( x ) = lim r 1 V n (B(x, r)) B(x,r) f dv. (12) Demostrr l regl de Leibnitz: Si g : [, b] [c, d] R es continu y g es continu y entonces d b b g g(t, y) dt = (t, y) dt. dy y (Indicción: Cmbir el orden de integrción en y c dx b g (t, x) dt.) y (13) Demostrr que si g(x, y) y g y (x, y) son continus y h 1 y h 2 son diferencibles, entonces d dy h2 (y) h 1 (y) g(t, y) dt = h2 (y) h 1 (y) g y (t, y) dt + h 2(y)g(h 2 (y), y) h 1(y)g(h 1 (y), y).

55 EJERCICIOS (14) Evlur l siguiente integrl iterd y dibujr l región D determind por los límites de integrción (lguns de ls integrles son impropis). () 1 1 x 2 x e x+y dydx (b) π 2 cos θ cos θ drdθ (c) x dxdy (15) Cmbir el orden de integrción en 1 x (d) π 2 f(x, y) dydx. + re r2 drdθ (16) Usndo integrles, verificr: () El áre de un elipse con semiejes de longitud y b es πb. (b) El volumen de un elipsoide con semiejes, b y c es 4πbc. 3 (c) El áre de un región semicirculr de rdio es 1 2 π2. (d) El volumen de l esfer unitri es 4π. 3 (17) Cmbir el orden de integrción en 1 x y f(x, y, z) dz dy dx pr obtener ls otrs cinco forms posibles. Esbozr l región. (18) Utilizr integrles triples pr justificr l fórmul pr el volumen de un sólido de revolución estudid en cursos previos de cálculo. (19) Evlur ye xy dv, donde W = [, 1] [, 1] [, 1]. W (2) Evlur x 2 cos z dv, donde W es l región cotd por los plnos W z =, z = π, y =, y = π, x =, x + y = 1. (21) Clculr 1 2x x+y x 2 +y 2 dz dy dx.

56 5 EJERCICIOS 1. (22) Sen λ 1, λ 2, λ 3 números positivos. Demostrr que () (b) λ 1 λ 2 λ 3 e λ 1x λ 2 y λ 3 z dx dy = λ 3 e λ 3z xyzλ 1 λ 2 λ 3 e λ 1x λ 2 y λ 3 z dx dy dz = 1 λ 1 λ 2 λ 3 (23) Sen f y g dos funciones cotds, integrbles y de vlor bsoluto integrble en R, l convolución de f y g es l función dd por: f g(x) = + f(x y)g(y) dy Sen f, g, h funciones integrbles y de vlor bsoluto integrble en R. Demostrr que: () L integrl que define f g converge pr todo x R. (b) f g = g f. (c) (f g) h = f (g h). (24) El propósito del siguiente ejercicio es clculr el vlor de () Probr que + e xy dy = 1 x si x >. (b) Usr integrción por prtes pr probr que + (c) Justificr ls siguientes igulddes (d) Deducir que + e xy sen x dx = 1 si y >. 1 + y2 sen x + x dx = = = dx dy y 2 dy. sen x x dx = π 2. e xy sen x dy e xy sen x dx + sen x x dx

57 EJERCICIOS (25) Psr coordends polres r y θ, y colocr los límites de integrción pr ls siguientes integrles: () (b) (c) (d) (e) 1 2 S dx dx 1 x f(x, y) dy. ( ) f x2 + y 2 dy. f(x, y) dx dy donde S es el triángulo limitdo por ls rects y = x, y = x, y = S 1 ( y ) dx f dy. x x 2 f(x, y) dx dy donde S es l región limitd por l lemnisct (x 2 + y 2 ) 2 = 2 (x 2 y 2 ). (26) Clculr l siguiente integrl doble psndo previmente coordends polres: y dx dy donde S es el semicírculo de diámetro con centro en ( 2, ). S (27) Se (x, y) = T (u, v) = (u 2 v 2, 2uv). () Dibujr l región que se obtiene como imgen por T del cudrdo de vértices: (1, 1), (1, 3), ( 3, 1) y ( 3, 3) (b) Encuentre el áre de l región dibujd en (). (28) Clculr l integrl doble S 1 x2 y2 dx dy 2 b2 donde S es l región limitd por l elipse x2 2 polres generlizds x = r cos θ, y = r sen θ. b + y2 b 2 = 1, psndo coordends

58 52 EJERCICIOS 1. (29) Representr gráficmente l región cuy áre se expres por l siguiente integrl: π 2 π 2 dθ (1+cos θ) r dr. (3) Se >, hllr el áre limitd por ls curvs: r = (1 + cos θ) y r = cos θ, pr π 2 θ π 2. (31) Usndo coordends polres hllr el áre de l región interior l curv (x 2 + y 2 ) 3 = 16x 2. (32) Clculr el áre de l región interior l circunferenci x 2 + y 2 8y = y exterior l circunferenci x 2 + y 2 = 9. (33) El propósito del siguiente ejercicio es clculr el vlor de () Demostrr que (b) Deducir que (34) Se f(x) = () e t2 dt = e (x2 +y 2) dy dx = π 4. π 2. ( ) 1 exp (x m)2. Demostrr que: 2πσ 2 2σ 2 f(x) dx = 1 (b) + + xf(x) dx = m e t2 dt. (c) + x 2 f(x) dx = m 2 + σ 2 (d) + x 2 f(x) dx ( + xf(x) dx) 2 = σ 2. (35) Hllr el volumen de un cono circulr recto de rdio R y ltur h. (36) Clculr (37) Clculr dx dy dz, donde B es el sólido limitdo por el elipsoide B B e (x2 +y 2 +z 2 ) 3 2 ( ) x 2 + y2 2 b + z2 2 c 2 dx dy dz, donde B = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1}. x y2 b 2 + z2 c 2 = 1.

59 EJERCICIOS (38) Clculr xyz dx dy dz donde S es el conjunto de los puntos (x, y, z) tles que B x 2 + y 2 + z 2 1, x, y, z. (39) El propósito del siguiente ejercicio es deducir l fórmul pr el contenido n-dimensionl de l bol de rdio R en R n. () Se α n el contenido n-dimensionl de l bol con centro y rdio R en R n. Demostrr que el contenido n-dimensionl de un bol de rdio R en R n es igul α n R n. Por lo tnto, bst que hllemos un fórmul pr α n. (b) Demostrr que α n = 1 1 V n 1 (B n 1 (, 1 t 2 )) dt, donde V n 1 es el contenido n 1 dimensionl y B n 1 (, 1 t 2 ) es l bol con centro y rdio 1 t 2 en R n 1. (c) Deducir que Luego, si entonces 1 α n = 2α n 1 (1 t 2 ) (n 1)/2 dt π/2 = 2α n 1 sen n (θ) dθ, I n = π/2 sen n (θ) dθ, α n = 2 α n 1 I n, y por lo tnto α n = 4 α n 2 I n I n 1. (d) Utilizr integrción por prtes pr demostrr que ( ) n 1 I n = I n 1. n

60 54 EJERCICIOS 1. (e) Demostrr por inducción que y I 2n+1 = n 2n + 1 I 2n = π n 1 2n. Usr ests dos fórmuls pr probr que Concluir que (f) Demostrr que α 2m = πm m! I n I n 1 = π 2n. α n = 2π n α n 2. y α 2m+1 = 2 m+1 π m (2m + 1). (4) Se A un subconjunto de R n. Se dice que A tiene medid n-dimensionl nul ó simplemente medid si pr cd ε > existe un conjunto numerble de prlelepípedos rectngulres {Q 1,, Q 2,... } tles que V n (Q i ) < ε y A i=1 interior (Q i ). i=1 () Demostrr que en l definición de medid podemos cmbir l condición A N i=1 interior (Q i) por A N i=1 Q i. (b) Demostrr que todo conjunto de contenido nulo tiene medid. (c) Demostrr que todo subconjunto numerble de R n tiene medid, en prticulr Q n tiene medid (d) Demostrr que Q n [, 1] n no tiene contenido nulo. (e) Dr un ejemplo de un subconjunto infinito de R de contenido nulo.

61 CAPÍTULO 2 Integrles de líne y Teorem de Green. Se I = [, b] R un intervlo. 1. Curvs y tryectoris. Definición 2.1. Un tryectori es un función g : I R n. El concepto de tryectori tiene un interpretción muy nturl: Si queremos describir el movimiento de un prtícul en el plno o en el espcio, debemos indicr en que posición se encuentr l prtícul en cd instnte. En otrs plbrs, cd instnte t, debemos signrle un punto g(t) en el plno o en el espcio. Por lo tnto, podemos pensr en un tryectori como un función que nos permite describir el movimiento de un prtícul en el espcio n-dimensionl. El mismo recorrido puede ser hecho por un prtícul de diferentes mners. Es importnte hcer un distinción entre l tryectori de un prtícul y l form de est tryectori. Definición 2.2. Un curv es l imgen de un tryectori. Es decir, G R n es un curv si existe un tryectori g : [, b] R n tl que G = g([, b]). Los puntos g() y g(b) se llmn los extremos de l tryectori, g() es el extremo inicil y g(b) el extremo finl. Si indicmos cul es l curv G, cul es su extremo inicil y cul es su extremo finl, estmos indicndo l dirección en que fue recorrid G. Por esto l tern (g([, b]), g(), g(b)) se le suele llmr curv orientd. A l tryectori g se le suele llmr prmetrizción de l curv G. Es importnte notr que dos tryectoris diferentes pueden dr origen l mism curv. Tmbién es usul considerr tryectoris cuyo dominio es tod l rect R. En este cso no tenemos punto inicil, ni punto finl, pero si un sentido de recorrido. 55

62 56 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Ejemplo 2.3. (1) Sen p, v R n, g : R R n definid por g(t) = p+t v. Entonces g es un tryectori, l curv correspondiente es l rect que ps por p en l dirección de v. (2) Se h : R R 3 dd por h(t) = (cos 2πt, sen 2πt, t). Entonces h es un tryectori, l curv correspondiente es un hélice. z x y Figur 2.1. Hélice Definición 2.4. Sen g : [, b] R n y h : [c, d] R n dos tryectoris. Diremos que g y h son equivlentes si existe un función α : [, b] [c, d] tl que (i) α() = c, α(b) = d. (ii) α es derivble y α (t) > pr todo t [, b]. (iii) g = h α, esto es g(t) = h(α(t)) pr todo t [, b]. Ejemplo 2.5. Sen g : [, 2π] R 2 definid por g(t) = (cos t, sen t) y h : [ π, π] R 2 definid por h(t) = ( cos t, sen t). Entonces h y g son equivlentes, y que si definimos α : [, 2π] [ π, π] por α(t) = t π tenemos g = h α. Observción 2.6. Dos tryectoris equivlentes dn origen l mism curv orientd. Definición 2.7. Se G = (g[, b], g(), g(b)) un curv orientd, l curv G = (g[, b], g(b), g()) se llm l curv opuest G (se tiene el mismo conjunto de puntos, pero recorrido en sentido contrrio). Observción 2.8. Dd g : [, b] R n un tryectori de G se h : [ b, ] R n definid por h(t) = g( t) entonces g[, b] = h[ b, ], g() = h( ), g(b) = h( b). Por lo tnto, h es un prmetrizción de G.

63 1. CURVAS Y TRAYECTORIAS. 57 Ls tryectoris corresponden con un cso prticulr de funciones de R k en R n, por lo tnto tiene sentido hblr de límites, continuidd, derivbilidd y funciones coordends de ls tryectoris. En el cso de ls tryectoris, su derivd tiene un significdo geométrico muy importnte. Si g es un tryectori, el vector g (t o ) es prlelo l rect tngente l curv G = g(i) en el punto g(t o ) (justificr). g'(t o ) G g(t o ) Figur 2.2. Significdo geométrico de l derivd Definición 2.9. Se g : I R n un tryectori diferencible. El vector velocidd en g(t) es g (t) = (g 1(t),..., g n(t)). L rpidez en g(t) es g (t) = (g 1(t)) (g n(t)) 2. Ejemplo 2.1. Se Entonces (t 2, t 2 ) si t, g(t) = ( t 2, t 2 ) si t <. (2t, 2t) si t, g (t) = ( 2t, 2t) si t <. Además g (t) = 4t 2 + 4t 2 = 2 2t. Notemos que g es diferencible en y g () = (, ). L curv que corresponde est tryectori es el gráfico de vlor bsoluto, que tiene un pico en (, ).

64 58 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Observción Tl como muestr el ejemplo nterior, puede ocurrir que un tryectori g se diferencible y sin embrgo l curv G = g(i) teng picos. En ese cso no está definid un dirección tngente en el punto donde hy un pico. Interpretción físic: Un prtícul se mueve sobre l curv en dirección l origen, v disminuyendo su velocidd, se detiene en el origen, cmbi de dirección y comienz moverse nuevmente. Ejemplo Otro ejemplo de tryectori diferencible tl que l curv correspondiente tiene picos es l cicloide. L cicloide es l tryectori descrit por un punto de un circunferenci que comienz rodr, con velocidd constnte. Consideremos el punto (, ), en l circunferenci de rdio 1, con centro en (, 1), que comienz rodr hci l derech con velocidd 1. En el instnte t el centro de l circunferenci está en el punto (t, 1). Si g(t) describe el movimiento del punto, tenemos que g(t) = (t sen t, 1 cos t) = (t, 1) (sen t, cos t). y 2π 4π x Figur 2.3. Cicloide L cicloide tiene picos en los puntos (, ), ±(2π, ),..., sin embrgo es derivble en estos puntos. Pr poder grntizr que l curv correspondiente un tryectori diferencible g no teng picos, es necesrio pedirle g (t) pr todo t Dom (g). 2. Longitud de rco y reprmetrizción. Se I = [, b] un intervlo cotdo y se g : I R n un tryectori. Si P = {t o, t 1,..., t N } es un prtición de I entonces P d origen un poligonl, que se obtiene uniendo los puntos g(t o ), g(t 1 ),..., g(t N ) en ese orden. L longitud de est poligonl es N g(t k ) g(t k 1 ). k=1

65 2. LONGITUD DE ARCO Y REPARAMETRIZACIÓN. 59 g(t 4 ) g(t o ) g(t 1 ) g(t 3 ) g(t 2 ) Figur 2.4. Poligonl Definición Se dice que un tryectori g : I R n es rectificble si sup P prtición de I N k=1 g(t k ) g(t k 1 ) existe y es finito. Diremos que l curv G es rectificble si existe un prmetrizción de G que es rectificble. Definición Si g es un tryectori rectificble, se define su longitud por l(g) = sup P prtición de I N k=1 g(t k ) g(t k 1 ) Definición Se g : [, b] R n un tryectori. Decimos que g es lis si g es de clse C 1. Es decir, cundo existe un intervlo bierto V, que contiene [, b] y un extensión de g V que tiene derivd continu. Teorem Se g : [, b] R n un tryectori lis. Entonces g es rectificble y b l(g) = g (t) dt.

66 6 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Demostrción. ( ) Se = t o < t 1 <... < t N = b entonces N g(t k ) g(t k 1 ) = N k=1 k=1 = N k=1 b t k t k 1 tk g (t) dt t k 1 g (t) dt g (t) dt. Es decir, l integrl es un cot superior de l primer sum. De donde b l(g) g (t) dt. ( ) Como g es uniformemente continu en [, b], ddo ε > existe δ > tl que g (t) g (u) < ε si t u < δ. Se P = {t o, t 1,..., t N } un prtición de [, b] tl que t k t k 1 < δ pr k = 1,..., N. Si t [t k 1, t k ] entonces g (t) g (t k ) g (t) g (t k ) < ε. Luego tk tk g (t) dt < ( g (t k ) + ε)dt = g (t k ) (t k t k 1 ) + ε(t k t k 1 ). t k 1 t k 1 Acotremos el primer sumndo del término de l derech

67 2. LONGITUD DE ARCO Y REPARAMETRIZACIÓN. 61 Por lo tnto tk g (t k ) (t k t k 1 ) = (t k t k 1 )g (t k ) = g (t k ) dt t k 1 tk = (g (t) + g (t k ) g (t)) dt t k 1 tk tk g (t) dt t k 1 + (g (t k ) g (t)) dt t k 1 tk tk g (t) dt t k 1 + g (t k ) g (t) dt t k 1 tk tk g (t) dt t k 1 + ε dt t k 1 = g(t k ) g(t k 1 ) + ε(t k t k 1 ). tk g (t) dt g(t k ) g(t k 1 ) + 2ε(t k t k 1 ). t k 1 Sumndo en k, se tiene que b g (t) dt N g(t k ) g(t k 1 ) + 2ε(b ). k=1 De donde b g (t) dt l(g). Proposición Sen g : [, b] R n y h : [c, d] R n dos tryectoris liss. Si g y h son equivlentes entonces l(g) = l(h). Demostrción. Se α : [, b] [c, d] como en l Definición 2.4 tl que g = h α. Entonces g k(t) = h k(α(t)) α (t) pr k = 1,..., n.

68 62 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Por lo tnto g (t) 2 = [ g 1(t) ] [ g n(t) ] 2 = [ h 1(α(t))α (t) ] [ h n(α(t))α (t) ] 2 = [ [ h 1(α(t)) ] [ h n(α(t)) ] 2 ] α (t) 2 = h (α(t)) 2 α (t) 2. Luego l(g) = b g (t) dt = b h (α(t)) α (t) dt = α(b) h (u) du = α() c d h (u) du = l(h). Definición Diremos que un curv G es lis si puede ser prmetrizd por un tryectori lis. En este cso definimos l longitud de G como l(g) = l(g) donde g es un prmetrizción lis de G. Observción Por l proposición nterior l longitud de un curv es independiente de su prmetrizción. Ejemplo 2.2. L función g : [, 2π] R 2 definid por g(t) = (R cos t, R sen t) es un prmetrizción de l circunferenci de rdio R y su longitud es: 2π g (t) dt = 2π R dt = 2πR. Ejercicio Demostrr que l longitud del gráfico de un función f : [, b] R es b 1 + (f (t)) 2 dt. Indicción: considerr l prmetrizción g : [, b] R 2 definid por g(t) = (t, f(t)).

69 4. INTEGRAL DE UN CAMPO ESCALAR A LO LARGO DE UNA CURVA Prmetrizción por l longitud de rco. Se G un curv lis. Supongmos que existe un tryectori lis g : [, b] R n tl que g (t) pr todo t [, b]. Se S : [, b] R definid medinte S(t) = Entonces (i) S() =, S(b) = l(g). t g (u) du. (ii) S es derivble y S (t) = g (t) > (sí que S es estrictmente creciente en [, b] y por lo tnto S es inyectiv). Tenemos que S : [, b] [, l(g)] es biyectiv y de clse C 1. Se T su invers, entonces tmbién T es de clse C 1 (justifique). Definmos h : [, l(g)] R n por h = g T, entonces g = h S. Por lo tnto, g y h son dos tryectoris equivlentes. Ejercicio Demostrr que, pr todo s [, l(g)] h (s) = 1. Est prmetrizción es especil porque l vrible s represent el lrgo del cmino desde h() hst h(s), y es llmd l prmetrizción por longitud de rco. 4. Integrl de un cmpo esclr lo lrgo de un curv. Definición Sen G un curv lis orientd y f : R n R un cmpo esclr. L integrl de f lo lrgo de G se define por b f(g(t)) g (t) dt donde g : [, b] R n es un prmetrizción de G. Observción El resultdo de l integrl nterior no depende de l prmetrizción de G. (justificr).

70 64 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Interpretción físic: Si f entonces f se puede interpretr como l densidd de un lmbre cuy form es l curv G y l integrl es l ms del lmbre (justificr). b f(g(t)) g (t) dt 5. Integrles de líne. Definición Se F : R n R n un cmpo vectoril continuo y G un curv lis orientd. L integrl de líne de F lo lrgo de G es b F d x = F (g(t)), g (t) dt G donde g : [, b] R n es un prmetrizción de G. L integrl de líne mide el comportmiento de F lo lrgo de G. Ejemplo Se F (x, y, z) = (x + y, y 2, z 2 ) y g(t) = (t, t 2, t 3 ) pr t 1 con G = g[, 1] entonces F d x = 1 (t + t 2, t 4, t 6 ), (1, 2t, 3t 2 ) dt = 1 G (t + t 2 + 2t 5 + 3t 8 ) dt = 3/2. Teorem 2.27 (Independenci de l Tryectori). Se F : R n R n un cmpo vectoril. Sen g : [, b] R 3, h : [c, d] R 3. Si g y h son dos tryectoris equivlentes entonces b F (g(t)), g (t) dt = d c F (h(u)), h (u) du Demostrción. Se α : [, b] [c, d] tl que g = h α entonces, hciendo el cmbio de vrible u = α(t), b F (g(t)), g (t) dt = = = b b d c F (h(α(t))), h (α(t))α (t) dt F (h(α(t))), h (α(t)) α (t) dt F (h(u)), h (u) du.

71 5. INTEGRALES DE LÍNEA. 65 Ejemplo Se F (x, y) = (x, y) y G el segmento de l circunferenci de centro y rdio 1 que está en el primer cudrnte, orientdo en sentido ntihorrio. Clculr F.d x. G Se g(t) = (cos t, sen t) pr t π/2, sí G = g[, π/2]. Luego G F d x = = = π/2 π/2 π/2 = π/2 = cos(2t) 2 F (g(t)), g (t) dt (cos t, sen t), ( sen t, cos t) dt ( sen t cos t sen t cos t) dt sen(2t) dt π/2 = 1. Interpretción físic de l integrl de líne: G F.d x = b F (g(t)), g (t) dt = b F (g(t)), g (t) g (t) g (t) dt F (g(t)), g (t) g (t) es l proyección del vector F (g(t)), en l dirección de g (t) g (t) dt es el elemento de longitud de rco. Así que l integrl de líne es el trbjo relizdo l mover un prtícul lo lrgo de l tryectori g, que está sometid l cmpo de fuerzs F. Otr notción pr integrles de líne. Se F : R n R n un cmpo vectoril continuo y G un curv lis orientd. Se g : [, b] R n un prmetrizción lis de G.

72 66 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. L integrl de líne de F lo lrgo de G es b F d x = (F 1 (g(t)),..., F n (g(t))), (g 1(t),..., g n(t)) dt G b = ( F 1 (g(t)) g 1(t) F n (g(t)) g n(t) ) dt. Est expresión se brevi medinte: F 1 ( x) dx F n ( x) dx n. G Así que l notción más usul es F d x = F 1 dx F n dx n. G G Ejemplo Se G l curv dd por g(t) = (t, t 2, t 3 ) pr t 1. Clculr x 2 dx + y 2 dy + z 2 dz. G Lo que debemos clculr es l integrl de líne del cmpo vectoril F (x, y, z) = (x 2, y 2, z 2 ) sobre l tryectori g. Tenemos que F 1 (g(t)) = t 2, F 2 (g(t)) = t 4, F 3 (g(t)) = t 6, g 1(t) = 1, g 2(t) = 2t, g 3(t) = 3t 2. Luego G x 2 dx + y 2 dy + z 2 dz = = 1 1 (t 2 + t 4 2 t + t 6 3 t 2 ) dt (t 2 + 2t 5 + 3t 8 ) dt = 1.

73 5. INTEGRALES DE LÍNEA. 67 En l práctic es usul proceder usndo el cálculo simbólico, es decir, de l siguiente mner: x = t, y = t 2, z = t 3, dx = dt, dy = 2t dt, dz = 3t 2 dt. Substituyendo en l integrl de líne llegmos l resultdo. Ejemplo 2.3. Se G l curv dd por g(t) = (t, t, t 2, t 2 ) pr t 1. Clculr (x y) dx + (y z) dy + (z w) dz + (w x) dw. G Tenemos que G (x y) dx + (y z) dy + (z w) dz + (w x) dw = = 1 [2t ( t t 2 ) + 2t 2 2t ( t 2 t)2t] dt = = 4. Lem Se G un curv lis entonces G F d x = G F d x. Demostrción. Se g : [, b] R n un prmetrizción lis de G, entonces un prmetrizción de G está dd por h : [ b, ] R n donde h(t) = g( t).

74 68 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Además h (t) = g ( t), de donde F d x = G = = = b b b b b = = F (h(t)), h (t) dt F (g( t)), g ( t) dt F (g( t)), g ( t) ( 1) dt F (g(s)), g (s) ds G F (g(s)), g (s) ds F d x. Integrles de líne sobre curvs liss trozos. Definición Se g : [, b] R n un tryectori. Diremos que g es lis trozos si g es continu y si existe un prtición P = {t o,..., t N } de [, b] tl que, pr i = 1,..., N, g [ti 1,t i ] es un tryectori lis Se dice que un curv G es lis trozos si puede ser prmetrizd por un tryectori lis trozos. En este cso G = G 1 G N, donde cd G i es un curv lis y l integrl de líne de F sobre G se define de l siguiente mner F d x = F d x + + F d x. G G 1 G N

75 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA INTEGRALES DE LÍNEA. 69 Figur 2.5. Curv lis trozos 6. Teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne. Teorem Se D R n un conjunto bierto y se ϕ : D R de clse C 1. Sen x o y x 1 dos puntos de D y se G D un curv lis trozos con extremo inicil x o y extremo finl x 1. Entonces G ϕ d x = ϕ( x 1 ) ϕ( x o ). Demostrción. Supongmos primero que l curv G es lis. Se g : [, b] R n un prmetrizción de clse C 1 de G. Entonces b ϕ d x = ϕ(g(t)), g (t) dt G = b d (ϕ(g(t))) dt dt = ϕ(g(b)) ϕ(g()). Supongmos hor que G es lis trozos, entonces G = G 1 G N donde cd un de ls curvs G i es lis y el extremo inicil de G i es el extremo finl de G i 1. Si por y i denotmos el extremo finl de G i tenemos que ϕ d x = ϕ d x + + ϕ d x G G 1 G N = ϕ( y 1 ) ϕ( x o ) + ϕ( y 2 ) ϕ( y 1 ) + + ϕ( y N ) ϕ( x N 1 ) = ϕ( x 1 ) ϕ( x o ). Observción Recordr (ver Guí de Cálculo Diferencil en Vris Vribles). Si, b R n, un tryectori poligonl desde hst b es un función continu ϕ : [, 1] R n tl que ϕ() =, ϕ(1) = b y ϕ[, 1] es l unión de un número finito de segmentos de rect.

76 7 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Si D es un subconjunto de R n, se dice que D es poligonlmente conexo cundo pr todo pr de puntos, b D existe un tryectori poligonl desde hst b cuy imgen está contenid en D. El resultdo nterior se suele enuncir de l siguiente mner: Se D R n un conjunto bierto y poligonlmente conexo y se ϕ : D R de clse C 1. Sen x o, x 1 D, entonces x1 ϕ d x = ϕ( x 1 ) ϕ( x o ). x o (donde l integrl nterior denot l integrl sobre culquier curv lis trozos de extremo inicil x o y extremo finl x 1. Se dice que un curv G es cerrd cundo su extremo fin coincide con su extremo inicil. Corolrio Se D R n un conjunto bierto y se ϕ : D R de clse C 1. L integrl de líne de ϕ sobre culquier curv cerrd es. Teorem Se D R n un conjunto bierto y poligonlmente conexo y se f : D R n un cmpo vectoril continuo. Supongmos que l integrl de líne de f lo lrgo de culquier curv lis trozos contenid en D solmente depende de los extremos de l curv. Se x o un punto de D y definmos ϕ( x) = x x o f( u) d u, donde l integrl nterior denot l integrl sobre culquier curv lis trozos de extremo inicil x o y extremo finl x. Entonces ϕ es diferencible y ϕ = f. Ide de l demostrción. (Completr los detlles) Bst demostrr que, pr k = 1,..., n, ϕ x k ( x) = f k ( x)

77 7. EL TEOREMA DE GREEN. 71 ϕ ϕ( x + he k ) ϕ( x) ( x) = lim x i h h 1 = lim h h 1 = lim h h = f k ( x). x+hek x h f( u) d u f k ( x + te k ) dt Corolrio Se D R n un conjunto bierto y poligonlmente conexo y se f : D R n un cmpo vectoril continuo. Entonces ls siguientes condiciones son equivlentes: () f es el grdiente de un cmpo esclr. (b) L integrl de líne de f sobre un curv lis trozos contenid en D es independiente de l curv (sólo depende de los extremos). (c) L integrl de líne de f sobre un culquier curv cerrd lis trozos contenid en D es nul. 7. El teorem de Green. A continución dremos el teorem de Green, este teorem es en lgún sentido similr l Teorem Fundmentl del Cálculo. Comenzremos definiendo lo que llmremos región simple. Recordemos (ver Definiciones 1.34 y 1.35) que un región del tipo I es un región de l form R 1 = {(x, y) R 2 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} donde ϕ 1 y ϕ 2 son funciones continus en [, b], tles que ϕ 1 ϕ 2 y que un región del tipo II es un región de l form R 2 = {(x, y) R 2 : c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} donde ψ 1 y ψ 2 son funciones continus en [c, d] tles que ψ 1 ψ 2. Definición Se D R 2 decimos que D es un región simple si D es un región tnto de tipo I como de tipo II y demás D es un curv lis trozos.

78 72 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. y x Figur 2.6. Región simple Definición Se D R 2. Decimos que D está positivmente orientd con respecto D si l cminr por D con es orientción, l región D qued l izquierd de D. y x Figur 2.7. D positivmente orientd con respecto D Teorem 2.4 (Green). Se D R 2 cotdo y unión finit de regiones simples. Sen P y Q cmpos esclres de clse C 1 en un bierto que contiene D. Entonces ( Q x P ) dxdy = P dx + Qdy y D donde D está orientd positivmente con respecto D. Demostrción. Cso 1: D es un región simple. D

79 7. EL TEOREMA DE GREEN. 73 Cómo (P, Q) = (P, ) + (, Q) tenemos que P dx + Q dy = P dx + Q dy. D Por lo tnto pr probr el teorem bst demostrr ls siguientes dos igulddes (2.1) P P dx = y dxdy (2.2) D D D Q dy = D D D Q x dxdy Solmente probremos (2.1). L prueb de (2.2) es nálog. Tenemos que D es un región del tipo I y por lo tnto existen α, β R y dos funciones u y v tles que D está formd por: (1) un curv prmetrizd por (t, v(t)) con t [α, β] (2) un curv prmetrizd por ( s, u( s)) con s [ β, α] (3) lo sumo por dos segmentos de ls rects verticles x = α y x = β. Se g : [, b] R un tryectori C 1 trozos de D. En ls rects verticles g 1(t) = y en los otros dos segmentos de l curv g 1(t) = 1. Por lo tnto P dx = P dx + dy = b P (g(t))g 1(t)dt D D = α β P ( s, u( s))dt + P (t, v(t))dt β β = α β = α = D (P (x, u(x)) P (x, v(x)))dx u(x) v(x) P y P y dxdy α (x, y)dy dx Cso 2: Cso generl, D es l unión finit de regiones simples. Aplicmos el resultdo nterior en cd un de ls regiones simples. Al sumr obtenemos el teorem generl, por l cncelción de integrles sobre l mism curv, recorrid en sentidos diferentes ( ver figur).

80 74 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. y x Figur 2.8. Cso generl del teorem de Green Observción Tl como es nturl, l integrl sobre dos curvs disjunts se define como l sum de ls integrles sobre cd un de ls curvs. Ejemplo () Se G l circunferenci de centro en el origen y rdio 1, recorrid en sentido ntihorrio. Clculr y cos(xy) dx + x cos(xy) dy. G Se D = {(x, y) : x 2 + y 2 1}, por el teorem de Green, tenemos que est integrl de líne es igul (cos(xy) xy sen(xy) cos(xy) xy sen(xy)) dxdy =. (b) Clculr D ( y + 1) dx + x dy G donde G es l curv orientd positivmente que limit el triángulo τ de vértices (, ), (, 1) y (1, ).

81 7. EL TEOREMA DE GREEN. 75 Aplicmos el teorem de Green con P (x, y) = y + 1, Q(x, y) = x. Entonces P y = 1 y Q x = 1. Luego ( y + 1) dx + x dy = (1 + 1) dxdy = 2Are(τ) = 1. G τ (c) Clculr 1 y dx + x dy 2 G donde G es l circunferenci de centro el origen y rdio 1 recorrid en sentido ntihorrio. Se D = {(x, y) : x 2 + y 2 1} entonces 1 y dx + x dy = 1 (1 ( 1)) dxdy 2 2 G D = 1 dxdy D = Are(D) = π. Proposición Se D un región simple de R 2 cuy fronter D es un curv lis trozos. Si D está positivmente orientd con respecto D, entonces el áre de D es Are(D) = 1 ydx + xdy. 2 D L demostrción de est Proposición qued como ejercicio. Sugerenci: Utilizr el teorem de Green. Ejemplo Clculr el áre de l región D limitd por l elipse Se g : [, 2π] R 2 dd por x y2 b 2 = 1. g(t) = ( cos t, b sen t). Entonces g (t) = ( sen t, b cos t).

82 76 2. INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN. Luego Are(D) = 1 2 y dx + x dy = 1 2 = 1 2 D 2π 2π ( b sen t( sen t) + cos tb cos t) dt b dt = πb. Ejercicio Utilizr el Teorem de Green y l ide de l prueb del Teorem 2.36 pr estblecer el siguiente resultdo. Se D R 2 un conjunto bierto y conexo. Se f : R 2 R 2 un cmpo vectoril de clse C 1. Supongmos f = (f 1, f 2 ). Demostrr que si f 1 y = f 2 x, entonces f es el grdiente de un cmpo esclr. Observción Notr que en el resultdo nterior tenemos que suponer que el conjunto es conexo. No bst suponer que es poligonlmente conexo, tl como lo muestr el Ejercicio 2. El resultdo se puede extender los llmdos conjuntos simplemente conexos. Muy informlmente, se dice que un conjunto es simplemente conexo si tod curv cerrd contenid en el conjunto puede ser deformd de mner continu un punto. 8. Ecuciones diferenciles excts de primer orden. Se D un subconjunto bierto de R 2 y sen P y Q funciones definids en D. Recordemos que se dice que l ecución diferencil (2.3) P (x, y) dx + Q(x, y) dy = es exct si existe un función ϕ : R 2 R tl que P (x, y) = ϕ x Q(x, y) = ϕ y. En este cso, por l regl de l cden, si f es solución de l ecución (2.3) entonces donde C es un constnte. ϕ(x, f(x)) = C,

83 8. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN. 77 Lo nterior nos proporcion un método pr resolver cierts ecuciones diferenciles. Vemos un ejemplo. Ejemplo Resolver l ecución diferencil y dx + 2x dy =. En este ejemplo P (x, y) = y y Q(x, y) = 2x. Por lo tnto no es exct. Sin embrgo, si multiplicmos mbos miembros de l ecución por y obtenemos l siguiente ecución y 2 dx + 2xy dy =, que si es exct. Si considermos ϕ(x, y) = xy 2 entonces ϕ = (P, Q). Por lo tnto tod solución de l ecución es de l form xy 2 = C. Observción Notr que por el ejercicio 2.45, pr verificr que l ecución P (x, y) dx + Q(x, y) dy = es exct bst verificr que P y = Q x, siempre que estemos en un dominio conexo.

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85 Ejercicios 2. (1) Se g : R R 2 l tryectori definid por g(t) = (e t, t). () Representr gráficmente l curv g. (b) Representr gráficmente los vectores tngentes g () y g (1). (2) Representr gráficmente l curv socid l tryectori (x, y) = (t 3, t 5 ). Verificr que est prmetrizción no define un vector tngente en el origen. Será posible encontrr otr prmetrizción que sí defin un vector tngente en el origen? (3) Se g(t) = (sen 2t, 2sen 2 t, 2 cos t). Demostrr que l curv g está contenid en un esfer con centro en el origen. (4) Demuestre que si g : R R 3 es diferencible y g (t) = pr todo t R entonces g(t) es un vector constnte. Interprete físicmente. (5) Se g : R R 3 un tryectori diferencible tl que g (t) pr todo t R. Se p un punto que no pertenece l curv g. Supóngse que q = g(t ) es el punto de l curv g más cercno p, es decir, p q p g(t) pr todo t R. Demostrr que el vector p q es ortogonl l curv g en q. (Indicción: Derivr l función q(t) = p g(t) 2 ). Interpretr gráficmente el resultdo nterior. (6) Encontrr l longitud de ls siguientes curvs: () (x, y) = (t, ln(cos t)) pr t 1. (b) (x, y) = ( t 2, 2 3 t3 1t) pr t 2. 2 (c) y = x 3/2 pr x 5. (d) g(t) = (3t 2, 4 2 t 3, 3t 4 ) pr 1 t 2. 79

86 8 EJERCICIOS 2. (7) Demuestre que l curv (x, y) = (cos θ, sen θ), θ π, está prmetrizd por 2 l longitud de rco. Represente gráficmente los vectores velocidd y celerción cundo θ = π 2. (8) Encontrr un prmetrizción por l longitud de rco de l curv espirl con t. (x, y, z) = ( cos ωt, sen ωt, bt) (9) Se f : [, b] R 2 un función diferencible. Demostrr que si G es el gráfico de f entonces l (G) = b 1 + (f 1(x)) 2 + (f 2(x)) 2 dx donde f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) pr todo x [, b]. (1) Clculr ls siguientes integrles de líne: () x dx + x dy + y dz, donde L está dd por g(t) = (t, t, t) pr 1 t 2. L (b) P (x + y) dx + dy, donde P está dd pot g(t) = (t, t2 ) pr 1 t 3. (c) G ex dx + z dy + sen z dz, donde G está definid por (x, y, z) = (t, t 2, t 6 ) pr t 1. (d) G 1 x dy + G 2 x dy, donde G 1 está definid por g 1 (t) = (cos t, sen t), t 9π y G 2 está definid por g 2 (t) = (cos t, sen t), 2 t 4π. (11) Clculr el trbjo relizdo l mover un prtícul lo lrgo de l curv (x, y, z) = (t, t, t 2 ), t 2, bjo l influenci del cmpo de fuerzs F (x, y, z) = (x + y, y, y). (12) Hlle l ms totl de l espirl definid por g(t) = ( cos t, b sen t, bt) con t 2π, si su densidd en el punto (x, y, z) es x 2 + y 2 + z 2.

87 EJERCICIOS (13) Usr el teorem de Green pr clculr el vlor de l integrl de líne y dx + x 2 dy G pr los csos en que G es cd uno de los siguientes cminos cerrdos. () L circunferenci definid por g(t) = (cos t, sen t) con t 2π. (b) El cudrdo con vértices en (1, 1), (1, 1), ( 1, 1) y ( 1, 1) recorrido en sentido contrrio ls gujs del reloj. (14) Se G l curv prmetrizd por g(t) = (2 cos t, 3 sen t) con t 2π. Clcule (2x + y) dx + (3x + y) dy. G (15) Se D un región simple cuy fronter es un curv G lis por pedzos. Demuestre que si G se recorre en sentido positivo entonces el áre de D es A(D) = 1 y dx + x dy. 2 G (16) Se G el triángulo con vértices (, ), (1, ) y (1, π ) recorrido en sentido positivo. 2 Evlur l siguiente integrl de líne. e x cos y dx + e x sen y dy. G (17) Vliéndose de l fórmul de Green, trnsformr l integrl curvilíne I = x2 + y 2 dx + y(xy + ln(x + x 2 + y 2 ))dy C donde C es el contorno, recorrido en sentido positivo, que limit un recinto S. (18) Clculr C x dy y dx en los siguientes dos csos: x 2 + y 2 () El origen de coordends está fuer del contorno C. (b) El origen de coordends está dentro y C es un elipse. (19) Clculr el áre limitd por ls siguientes curvs: () L elipse x = cos t, y = b sen t. (b) x = cos 3 t, y = b sen 3 t. (c) x = (2 cos t cos 2t), y = (2 sen t sen 2t).

88 82 EJERCICIOS 2. (2) Consideremos el cmpo vectoril f : D R 2 definido por ( f(x, y) = y ) x 2 + y, x, 2 x 2 + y 2 donde D = {(x, y) R 2 : (x, y) (, )}. Es decir, f = (f 1, f 2 ), donde f 1 (x, y) = y f x 2 + y 2 2 (x, y) = () Demostrr que f 1 y (x, y) = f 2 (x, y), x pr todo (x, y) D. x x 2 + y 2. (b) Se C un circunferenci con centro en el origen, recorrid en sentido ntihorrio. Demostrr que C f 1 dx + f 2 dy = 2π. (c) Demostrr que no existe ningún cmpo esclr ϕ : D R tl que f = ϕ. (d) Demostrr que si S es un subconjunto bierto y conexo de D entonces existe un cmpo esclr ϕ : S R tl que f S = ϕ. (e) Explicr y justificr l siguiente firmción: Si C es un curv cerrd y simple que no ps por el origen, entonces 1 f 1 dx + f 2 dy 2π C es el número de vuelts que l curv C d lrededor del origen. (f) Se T = R 2 \ {(x, y) R 2 : y =, x } y, pr (x, y) T, se rctn y si x >, x π θ(x, y) = si x =, 2 rctn y + π si x <. x Demostrr que θ = f T.

89 EJERCICIOS (g) Interpretr geométricmente el significdo de l función θ. interpretción justificr (2e). En bse est Notr que este ejercicio muestr que el conjunto donde está definido un cmpo vectoril influye de mner determinnte sobre l posibilidd de que este cmpo vectoril se un grdiente. (21) Hllr un fmili de soluciones pr cd un de ls siguientes ecuciones diferenciles. () (x + 2y) dx + (2x + y) dy =. (b) 2xy dx + x 2 dy =. (c) (x 2 y) dx (x + sen 2 y) dy =.

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91 CAPÍTULO 3 Análisis vectoril. 1. Integrles de superficie. En l Guí previ de Cálculo Diferencil en Vris Vribles dimos l definición de superficie o vriedd diferencible k-dimensionl en R n. En este cpítulo estudiremos resultdos relciondos con superficies de dimensión 2, contenids en R 3. Será conveniente hcer cierts precisiones y rreglos en lguns de ls definiciones. Un subconjunto D del plno es un región cundo D es bierto y poligonlmente conexo. Definición 3.1. Se S un subconjunto de R 3. Diremos que S es un pedzo de superficie lis o un elemento de superficie regulr si existe un región D R 2 y un función g : D R 3 tl que () g es inyectiv y S = g(d). (b) g es de clse C 1. (c) Si (u, v) D, los vectores g g (u, v) y (u, v) son linelmente independientes. u v En este cso decimos que l función g es un prmetrizción de S. Es importnte recordr que g de clse C 1 en D, que es un conjunto cerrdo, quiere decir que g se puede extender un función de clse C 1 en un bierto que contiene D. Observción 3.2. Denotemos por el producto vectoril en R 3. Entonces los vectores g g (u, v) y (u, v) son linelmente independientes si y sólo si u v g g (u, v) u v (u, v). Se S un pedzo de superficie lis, con prmetrizción g. Si mntenemos v constnte, v = v o, entonces obtenemos un curv regulr sobre l superficie, dd por u g(u, v o ) = (x(u, v o ), y(u, v o ), z(u, v o )). El vector g u (u, v o) es tngente est curv. 85

92 86 3. ANÁLISIS VECTORIAL. Análogmente, si mntenemos u constnte, u = u o, el vector g v (u o, v) es el vector tngente l curv en S determind por v g(u o, v) = (x(u o, v), y(u o, v), z(u o, v)). Los vectores g u (u o, v o ) y g v (u o, v o ) están en el plno tngente l superficie en el punto g(u o, v o ). Definición 3.3. Se S un pedzo de superficie lis, con prmetrizción g. El producto vectoril fundmentl es el vector g u (u o, v o ) g v (u o, v o ). Observción 3.4. El producto vectoril fundmentl es norml l superficie en g(u o, v o ). El número g u (u o, v o ) g (u o, v o ) v es el áre del prlelogrmo determindo por los vectores g u (u o, v o ) y g v (u o, v o ). Pr definir el áre de un superficie, cundo ést está dd en form prmétric, se considern ls norms de estos vectores, se proxim el áre trbjndo loclmente en el plno tngente y luego se tom límite. En form precis, tenemos l siguiente definición. Definición 3.5. Si S es un pedzo de superficie lis entonces el áre de S es A(S) = g g (u, v) (u, v) u v dudv donde g : D R 3 es un prmetrizción de S. D Se puede probr que est integrl es independiente de l prmetrizción, por lo que el áre está bien definid. Cundo l superficie es l unión finit de pedzos de superficies liss se clcul el áre como l sum de ls áres ests superficies liss.

93 1. INTEGRALES DE SUPERFICIE. 87 Observción 3.6. Existen nlogís entre l fórmul nterior y l fórmul de l longitud de un curv l(g) = b g (t) dt. Es fácil probr (hcerlo como ejercicio) que si f : [, b] R 2 es un función diferencible tl que f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) pr todo x [, b], y si G es el gráfico de f entonces l(g) = Pr superficies tenemos un resultdo nálogo. b 1 + (f 1 (x)) 2 + (f 2(x)) 2 dx. Supongmos que S está dd explícitmente por un ecución de l form z = f(x, y), es decir S es el gráfico de un f : D R 2 R. Entonces g(x, y) = (x, y, f(x, y)) es un representción prmétric de S y el producto vectoril fundmentl es: g x g e 1 e 2 e 3 ( y = det 1 f x = f ) x, f y, 1. 1 f y De donde, A(S) = D 1 + ( ) 2 f + x ( ) 2 f dxdy. y Ejemplo 3.7. Clculr el áre de l superficie S prmetrizd por donde 1 u 2 + v 2 4. Luego Tenemos que g(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ) g (u, v) = u g (u, v) = v 1 2v, 2u 1. e 1 e 2 e 3 g g (u, v) (u, v) = det 1 2u = ( 2u, 2v, 1) u v 1 2v

94 88 3. ANÁLISIS VECTORIAL. Se g g (u, v) (u, v) u v = 4u 2 + 4v D = {(u, v) R 2 : 1 u 2 + v 2 4} entonces A(S) = 4u2 + 4v 2 + 1dudv = D 2π dθ 2 = (173/2 5 3/2 )π. 6 1 r 4r 2 + 1dr 2. Superficies orientbles. Definición 3.8. Se S un superficie en R 3. Se dice que S es orientble si existe un función continu n : S R 3 tl que () n( x) es ortogonl S en todo punto x S. (b) n( x) = 1 pr todo x S En este cso n se llm l norml unitri l superficie S. Observción 3.9. Si n es l norml unitri un superficie entonces n es un norml unitri que punt en l dirección opuest. Luego cd superficie orientble tiene dos posibles orientciones. Si S es un pedzo de superficie lis prmetrizd por g : D R 3 orientble, l norml unitri en el punto g(u, v) es el vector pr (u, v) D. n(u, v) = g u g u (u, v) g v (u, v) g v (u, v) (u, v) entonces S es Si tommos n como rrib diremos que l orientción es positiv, en l otr dirección l orientción es negtiv.

95 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE 89 Observción 3.1. El que un superficie se orientble equivle que l superficie teng dos crs, un esfer, un plno y un cilindro son ejemplos de superficies orientbles. L cint de Möbius es un ejemplo de un superficie no orientble. Figur 3.1. Hormigs cminndo sobre un cint de Möbius, por M. C. Escher, Integrles de superficie Definición Se S un pedzo de superficie lis con prmetrizción g y se f : R 3 R un cmpo esclr continuo sobre S. Definimos l integrl de f sobre S como f dσ = f(g(u, v)) g g (u, v) (u, v) u v dudv. S D Ejemplo Se S prmetrizd por g(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ), con (u, v) D donde D = {(u, v) R 2 : 1 u 2 + v 2 4} y se f(x, y, z) = x 2 + y 2, entonces f dσ = u2 + v 2 4u 2 + 4v dudv S = D 2π 2 dθ r 2 4r dr. 1

96 9 3. ANÁLISIS VECTORIAL. Ejercicio Demostrr que si l superficie S está dd por z = h(x, y) con (x, y) D entonces S f dσ = D f(x, y, h(x, y)) 1 + ( ) 2 h + x ( ) 2 h dxdy. y Si f l integrl de f sobre l superficie S represent l ms de un lámin cuy form es S y cuy densidd es f. Definición Se S un pedzo de superficie lis con prmetrizción g y se F : R 3 R 3 un cmpo vectoril continuo sobre S. Definimos l integrl de F sobre S como S F ds = D F (g(u, v)), g g (u, v) (u, v) dudv. u v Observción Notr que F ds = F (g(u, v)), n(u, v) g g (u, v) (u, v) u v dudv = S D S F, n dσ. Interpretción Físic de l integrl de superficie. Si el cmpo vectoril F describe el movimiento de un fluido, entonces el flujo de F trvés de l superficie S es S F ds. Como ejercicio, justificr l definición nterior de flujo. Indicción: De cuerdo l figur, el flujo proximdo de F trvés del prlelelogrmo generdo por lo vectores es F, n u v = u g u y F (g(u, v)), g u v g v g (u, v) (u, v) u v v

97 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE 91 n F Figur 3.2. Flujo de un cmpo vectoril Otrs notciones pr ls integrles de superficie. Supongmos g(u, v) = (g 1 (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)). Pr i, j = 1, 2, definimos (g i, g j ) (u, v) = det g i u g j u g i v g j v = g i Con est notción tenemos que e 1 e 2 e 3 g g g (u, v) (u, v) = det 1 g 2 g 3 u v u u u g 1 g 2 g 3 v v v Si F (x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)), entonces = u g j v g i g j v u. ( (g2, g 3 ) (u, v), (g 3, g 1 ) (u, v), (g ) 1, g 2 ). (u, v) S F ds = D = D ( (g2, g 3 ) F (g(u, v)), (u, v), (g 3, g 1 ) (u, v), (g ) 1, g 2 ) dudv (u, v) ( F 1 (g(u, v)) (g 2, g 3 ) (u, v) + F 2(g(u, v)) (g 3, g 1 ) (u, v) + F 3(g(u, v)) (g ) 1, g 2 ) (u, v) dudv. Esto se brevi de l siguiente mner

98 92 3. ANÁLISIS VECTORIAL. S F ds = S F 1 dy dz + F 2 dz dx + F 3 dx dy. Definición Sen g : D R 3 y h : B R 3 dos prmetrizciones de l mism superficie S. Se dice que g y h son equivlentes cundo existe un trnsformción T : D B biyectiv tl que T y T 1 son de clse C 1, con determinnte jcobino positivo y tl que g = h T. Ejercicio Demostrr que dos prmetrizciones equivlentes socin l mism integrl de superficie un cmpo vectoril. 4. El Teorem de Stokes Se D R 2. Recuerde que decimos que D tiene orientción positiv si l cminr por D con es orientción, l región D qued l izquierd de D. Se S un elemento de superficie regulr en R 3 prmetrizd por un función g : D R 3 donde D R 2. L curv fronter S es l curv cerrd simple que es imgen por g de l fronter de D, es decir, S = g( D). Definición Se S un elemento de superficie regulr prmetrizdo por g : D R 3. Decimos que S tiene orientción positiv con respecto S si D tiene orientción positiv. En este cso, si un person recorre S con l cbez en l dirección positiv de l norml entonces S qued l izquierd. n Figur 3.3. S positivmente orientd con respecto S

99 4. EL TEOREMA DE STOKES 93 Definición Un superficie lis trozos es unión finit de pedzos de superficies liss. Est superficie es orientble si se pueden orientr cd un de ls superficies de mner que ls curvs que son fronters comunes tengn orientciones opuests. Teorem 3.2 (Stokes). Se S un superficie regulr en R 3 prmetrizd por un función g de clse C 2 tl que l curv fronter S está orientd positivmente respecto S. Se F : R 3 R 3 un cmpo vectoril de clse C 1 definido en un conjunto bierto que contiene S S. Entonces rotf ds = F d x donde S S e 1 e 2 e 3 rotf = F = det x y z = F 1 F 2 F 3 ( F3 y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1. y Otrs mners de expresr l iguldd del teorem son F ds = F d x S S S rotf, n dσ = S F d x Demostrción. Tenemos que F d x = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz. S S S S S Además rotf ds = S S ( F3 y F ) ( 2 F1 dy dz + z z F ) ( 3 F2 dz dx + x x F ) 1 dx dy. y

100 94 3. ANÁLISIS VECTORIAL. Por lo tnto pr probr este teorem bst probr ls siguientes tres igulddes: (3.1) (3.2) (3.3) S S S F 1 dx = S F 2 dy = S F 3 dz = S F 1 z dz dx F 1 dx dy, y F 2 z dy dz + F 2 dx dy, x F 3 y dy dz F 3 dz dx. x Cd un de ests igulddes se obtendrá plicndo el teorem de Green. Probremos solmente l iguldd (3.1), ls otrs son nálogs. Se g : D R 3 un prmetrizción de S. S F 1 z dz dx F 1 y dx dy = D ( F1 z (g(u, v)) (g 3, g 1 ) (u, v) F ) 1 y (g(u, v)) (g 1, g 2 ) dudv. (u, v) de S. Se α : [, b] R 2 un prmetrizción de D entonces g α es un prmetrizción Se h : D R dd por h = F 1 g entonces, por el teorem de Green. S F 1 dx = b = = b D = D F 1 ((g α)(t))(g 1 α) (t) dt ( g1 h(α(t)) u (α(t))α 1(t) + g ) 1 v (α(t))α 2(t) dt h g 1 u du + h g 1 v dv ( ( h g ) 1 ( h g )) 1 dudv u v v u

101 5. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O TEOREMA DE GAUSS 95 Pero u ( h g ) 1 ( h g ) 1 v v u De donde = h g 1 u v + h 2 g 1 u v h v = h g 1 u v h g 1 v u = = (F 1 g) g 1 u v (F 1 g) g 1 v u ( F1 g 1 = x u + F 1 g 2 y u + F 1 z ( F1 g 1 x v + F 1 g 2 y ( F1 g 2 = y u + F ) 1 g 3 g1 z u v = F 1 y = F 1 z = F 1 z g 1 g 2 v u + F 1 z ( g3 g 1 u v g 3 v (g 3, g 1 ) (u, v) F 1 y g 1 u h 2 g 1 v u g 3 u ) g1 v v + F 1 g 3 z v ( F1 y g 3 g 1 u ) g 1 u v F 1 g 1 y u F 1 y (g 1, g 2 ) (u, v). ) g1 u g 2 v + F 1 z ) g 3 g1 v u g 2 v F 1 g 3 g 1 z v u ) ( g1 g 2 u v g 1 v g 2 u S F 1 dx = D = S ( F1 z (g 3, g 1 ) (u, v) F 1 y F 1 z dz dx F 1 dx dy. y ) (g 1, g 2 ) dudv (u, v) 5. El Teorem de l divergenci o Teorem de Guss Definición Se W R 3 un sólido cuy fronter es un superficie lis trozos. Si cd pedzo de W es prmetrizdo por un función de R 2 en R 3 tl que el vector norml está dirigido hci fuer de W en cd punto de W, diremos que W tiene orientción positiv. L siguiente figur nos muestr un sólido con fronter orientd positivmente.

102 96 3. ANÁLISIS VECTORIAL. n Figur 3.4. W positivmente orientd con respecto W Teorem 3.22 (Guss). Se W un sólido en R 3 limitdo por un superficie lis trozos, W, cerrd y orientd positivmente. Si F = (F 1, F 2, F 3 ) es un cmpo vectoril de clse C 1 definido en W W, entonces donde W divf dx dy dz = W F ds divf =, F = F 1 x + F 2 y + F 3 z. Note que l iguldd del teorem es, F dx dy dz = F, n dσ W W Demostrción. Hremos l demostrción cundo W es un región del siguiente tipo {(x, y, z) R 3 : (x, y) A, h 1 (x, y) z h 2 (x, y)} donde A R 2. Pr regiones proyectbles en otros plnos coordendos distintos del xy l demostrción es nálog. Pr el cso generl l demostrción se hce picndo W en distints regiones proyectbles y sumndo después. Sen F = (F 1, F 2, F 3 ) y n = (n 1, n 2, n 3 ). Sbemos que F ds = F, n dσ = (F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3 ) dσ W W W

103 5. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O TEOREMA DE GAUSS 97 y W divf dx dy dz = Por lo tnto pr demostrr el teorem bst probr W ( F1 x + F 2 y + F ) 3 dx dy dz. z (3.4) (3.5) (3.6) W W W F 1 x dxdydz = F 2 y dxdydz = F 3 z dxdydz = W W Solmente probremos (3.6), ls otrs son nálogs. Se entonces W F 1 n 1 dσ, F 2 n 2 dσ, F 3 n 3 dσ. W = {(x, y, z) R 3 : (x, y) A, h 1 (x, y) z h 2 (x, y)} W = S o S 1 S 2 donde S o, S 1 y S 2 son superficies que cumplen ls condiciones que describiremos continución. L superficie S 1 se puede prmetrizr medinte l función ψ 1 (u, v) = (u, v, h 1 (u, v)) y l dirección de l norml es l opuest. L superficie S 2 se puede prmetrizr medinte l función ψ 2 (u, v) = (u, v, h 2 (u, v)) y l dirección de l norml es l mism. Clrmente l norml S o en culquier punto es perpendiculr l eje z. Por lo tnto, n 3 (g(u, v)) = si g(u, v) S o. Además e 1 e 2 e 3 ψ 1 u (u, v) ψ 1 h 1 (u, v) = det 1 v u = h 1 1 v ( h ) 1 u, h 1 v, 1

104 98 3. ANÁLISIS VECTORIAL. e 1 e 2 e 3 ψ 2 u (u, v) ψ 2 h 2 (u, v) = det 1 v u = h 2 1 v ( h ) 2 u, h 2 v, 1. Usndo el teorem fundmentl del cálculo y el teorem de Fubini obtenemos, W F 3 n 3 dσ = F 3 n 3 dσ + F 3 n 3 dσ + F 3 n 3 dσ S 1 S 2 S o = F 3 (u, v, ψ 1 (u, v)) du dv + F 3 (u, v, ψ 2 (u, v)) du dv + A = (F 3 (x, y, h 2 (x, y)) F 3 (x, y, h 1 (x, y))) dx dy + A A = A = W ( h2 (x,y) h 1 (x,y) F 3 z dx dy dz F 3 (x, y, z)dz z ) dx dy

105 Ejercicios 3. (1) Se F un cmpo vectoril derivble ddo por F = (P, Q, R). Hlle un fórmul pr rotf = en los siguientes csos: () F (x, y, z) = (y 2, xy, xz), (b) F (x, y, z) = (y z, yz, xz). (( R y Q ) ( P, z z R ) ( Q, x x P )). y (2) Se F un cmpo vectoril derivble ddo por F = (P, Q, R). En los siguientes csos hlle un fórmul pr () F (x, y, z) = (x, y, z), (b) F (x, y, z) = (x 2, y 2, z 2 ). divf = P x + Q y + R z (3) Encuentre el áre de l rmp espirl representd por: g(u, v) = (u cos v, usen v, v), con u 1, v 3π. (4) Clculr F ds, donde F (x, y, z) = x + y + z y S está ddo por S g(u, v) = (u v, u + v, uv), pr u 1, v 1. (5) Aplicndo el teorem de Stokes hllr (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz L donde L es l intersección de ls superficies dds por x 2 + y 2 + z 2 = 2, x + y + z =. (6) Encuentre l ms totl de un películ esféric cuy densidd en cd punto es igul l distnci del punto un punto fijo de l esfer. 99

106 1 EJERCICIOS 3. (7) Se G : R 3 R un función de clse C 1. Supongmos que G determin implícitmente un pedzo de superficie lis S en l cul G/ z, que yce sobre un región D del plno xy tl que hy su solo punto de S sobre cd punto de D. Demostrr que áre(s) = D ( G ) 2 + x ( ) 2 G + y ( G z ) 2 G z 1 dxdy. (8) Encuentre un prmetrizción como superficie lis por pedzos, orientble, con norml puntndo hci fuer, pr cd uno de los siguientes conjuntos: () El cilindro con un tp ddo por x 2 + y 2 = 1, z 1 y x 2 + y 2 1, z =. (b) El embudo ddo por x 2 + y 2 z 2 =, 1 z 4 y x 2 + y 2 = 1, z 1. (9) Se F el cmpo vectoril en R 3 ddo por F (x, y, z) = (x, y, 2z x y). Clculr l integrl de F sobre ls superficies orientds del Ejercicio 8. (1) Hllr L x2 y 3 dx + dy + dz, donde L es l intersección de ls superficies x 2 + y 2 = r 2, z =. (11) Usndo el Teorem de Stokes, clculr l integrl de superficie rotf ds en los siguientes csos: () F (x, y, z) = (y 2, xy, xz) y S es el hemisferio x 2 + y 2 + z 2 = 1, z. (b) F (x, y, z) = (y z, yz, xz) y S const de ls cinco crs del cubo x 2, y 2, z 2 no situds en el plno xy. S (12) Trnsformr l integrl de superficie usndo el teorem de l divergenci en los siguientes csos: () F (x, y, z) = (x, y, z) y S es l superficie dd por x 2 + y 2 + z 2 = 1. (b) F (x, y, z) = (x 2, y 2, z 2 ) y S está limitd por ls superficies dds por x 2 + y 2 = 4, z =, z + x = 2. (13) Se f : [, b] R un función de clse C 1 y no negtiv. El gráfico de f rotdo lrededor del eje x gener un superficie de revolución S en R 3. () Encontrr un prmetrizción de S en términos de f.

107 EJERCICIOS (b) Demostrr que áre(s) = 2π b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. (14) Verifique que si F (x, y, z) no depende de z y l tercer coordend de F es cero entonces l fórmul de Stokes, plicd un superficie en el plno xy, se reduce l fórmul de Green. (15) Demuestre que si R es un región en l que se puede plicr el teorem de Guss, entonces Vol(R) = 1 x dy dz + y dz dx + z dx dy 3 R

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109 Bibliogrfí [1] Apostol,T. Mthemticl Anlysis. [2] Cohen, L. nd Ehrlich, G. The structure of the rel number system. Vn Nostrnd [3] Edwrds, C.H. Advnced Clculus of Severl Vribles. 32 [4] Goldberg. Methods of Rel Anlysis. [5] Hlmos, P. Teorí intuitiv de los conjuntos. CECSA [6] O.E.A. Introducción l Topologí Generl, No 9 de l Serie de Mtemátic de l O.E.A. [7] Protter, M. H. nd Morrey, C. B. A First Course in Rel Anlysis. [8] Rudin, W. Principles of Mthemticl Anlysis. Second Edition. McGrw-Hill [9] Simmons. Introduction to Topology nd Modern Anlysis. [1] Spivk. Cálculo en Vrieddes. [11] Stromberg, H. An Introduction to Clssicl Rel Anlysis. [12] White, A. Rel Anlysis: An Introduction. [13] Willimson, Crowell, Trotter. Cálculo de Funciones Vectoriles

110 14

111 Índice áre, 14 de un superficie, 86 cmbio de vribles, 32, 42 cicloide, 58 cint de Möbius, 89 condición de Riemnn, 23 conjunto liso, 24 contenido n-dimensionl, 19, 26 contenido n-dimensionl nulo, 22 contenido bidimensionl, 14 contenido bidimensionl nulo, 1 coordends cilíndrics, 37 coordends esférics, 38 coordends polres, 33 curv, 55 cerrd, 7 lis, 62 lis trozos, 68 opuest, 56 orientd, 55 rectificble, 59 elemento de superficie regulr, 85 flujo, 9 Fubini, teorem de, 8, 2 función crcterístic, 14 función esclond, 3, 4, 19 Green, teorem de, 72 hélice, 56 integrble, 2, 7, 2 integrl, 2, 7, 2, 63 integrl de líne, 64 integrl de superficie, 89 integrl de un función esclond, 3 integrl doble, 5, 14 integrl impropi, 43 integrl inferior, 4, 7, 2 integrl múltiple, 19, 26 integrl superior, 3, 7, 2 longitud de un curv, 62 de un tryectori, 59 medid, 54 prmetrizción de un curv, 55 prtición, 1, 4, 18 poligonlmente conexo, 7 producto vectoril fundmentl, 86 rpidez, 57 rectificble, 59 región, 85 región simple, 71 región tipo I, 14 región tipo II, 15 Stokes, teorem de, 93 sum inferior, 1 sum superior, 1 15

112 16 ÍNDICE sums de Riemnn, 2 superficie lis, 85 no orientble, 89 orientble, 88 teorem fundmentl del cálculo, 3 tryectori, 55 lis, 59 lis trozos, 68 tryectori poligonl, 69 tryectoris equivlentes, 56 velocidd, 57 volumen, 19 volumen n-dimensionl, 26