Parte 7. Derivación e integración numérica

Transcripción

1 Prte 7. Derivción e integrción numéric Gustvo Montero Escuel Técnic Superior de Ingenieros Industriles Universidd de Ls Plms de Grn Cnri Curso

2 Los problems de derivción e integrción numéric El problem de derivción numéric Se trt de proximr el vlor de l derivd de un función f en un punto, 8 f f f ( + h) f () >< () 1 h f ( + h) 1 h f () () = lim ; Csos prticulres h 0 h >: f () 1 1 f ( + h) f ( h) h h En generl, f () = nx α i f (x i ) + R(f ) El problem de integrción numéric Se trt de proximr el vlor de l integrl de f (x) definid en [, b], i=1 Z c f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx (c )f () + (b c)f (b) c En generl, nx f (x)dx = α i f (x i ) + R(f ) i=1

3 Comentrios sobre diferencis dividids Cálculo de derivds Se x 0 x 1 x... x n, Si x0 x n: f [x 0,..., x n] = f [x 0,..., x n 1 ] f [x 1,..., x n] x 0 x n Si x0 = x n: f [x 0,..., x n] = f (n (x 0 ) Entonces si, según lo nterior, n! g(x) = f [x 0,..., x n, x] g (x) = f [x 0,..., x n, x, x] g (x) =!f [x 0,..., x n, x, x, x] g (n (x) = n!f [x 0,..., x n, x, x,..., x] {z } n+1

4 Fórmuls de tipo interpoltorio Construcción de los polinomios de Lgrnge Se f definid en [, b], derivble en c [, b]. Entonces si, f (x) = p(x) + e(x) f (c) = p (c) + e (c) Si p(x) es el polinomio de Lgrnge, f (c) = nx l i (c) f (x i ) + e (c) i=0 {z } {z } α i R(f ) (exct si e (c) = 0) Teorem Est fórmul de tipo interpoltorio es exct pr todo polinomio de grdo no myor que n.

5 Resolución del problem Derivción del polinomio de Lgrnge Clculr los l i (x) y entonces hcer α i = l i (c) Fórmul exct pr 1, x, x,..., x n Resolver, 0 = α 0 + α α n 1 = α 0 x 0 + α 1 x α nx n c = α 0 x 0 + α 1x αnx n nc n 1 = α 0 x n 0 + α 1x n αnxn n

6 Estudio del error En l derivción de primer orden Si e(x) es de clse C n+1 en [, b], ny e(x) = f [x 0,..., x n, x] (x x i ) i=0 {z } Q (x) = f (n+1 (ξ) Y (x) (n + 1)! entonces, e (c) = f [x 0,..., x n, c, c] Y (x) + f [x 0,..., x n, c] Y f (n+ (ξ) Y f (n+1 (η) Y (c) (c) = (c) + (n + )! (n + 1)! En derivds de orden superior Se utiliz en mismo procedimiento, derivndo hst el orden necesrio ξ, η [, b]

7 Derivds de primer orden Fórmuls de puntos c, c + h f (c) = f (c + h) f (c) h c h, c + h f (c) = f (c + h) f (c h) Fórmuls de 3 puntos c, c + h, c + h h R(f ) = h f (ξ) R(f ) = h 6 f (ξ) f (c) = f (c + h) + 4f (c + h) 3f (c) h c h, c, c + h f (c) = f (c + h) f (c h) (igul que con dos puntos) Fórmul de 4 puntos h R(f ) = h 6 f (ξ), R(f ) = h 3 f (ξ) c h, c h, c + h, c + h f f (c + h) + 8f (c + h) 8f (c h) + f (c h) (c) = 1h R(f ) = h4 30 f v (ξ)

8 Derivds de orden superior Fórmuls de 3 puntos c, c + h, c + h f (c) = f (c + h) f (c + h) + f (c) h c h, c, c + h f (c) = f (c + h) f (c) + f (c h) h R(f ) = hf (ξ) R(f ) = h 1 f iv (ξ)

9 Fórmuls de tipo interpoltorio Construcción de los polinomios de Lgrnge Se f (x) definid en [, b]. Entonces si f (x) = p(x) + e(x) se tiene que, nx f (x) dx = p(x) dx + e(x) dx = f (x i ) l i (x) dx + e(x) dx i=0 {z } {z } α i R(f ) siendo p(x) el polinomio de Lgrnge. Est fórmul se denomin cudrtur de tipo interpoltorio. Estudio del error R(f ) = e(x) dx = f [x 0, x 1,..., x n, x] Y (x) dx Aplicndo el segundo teorem de l medi del Cálculo Integrl: Se g integrble y no cmbi de signo en [, b], y se f continu en [, b]. Entonces, result f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx, ξ [, b] Y f (n+1 Z (η) b Y R(f ) = f [x 0, x 1,..., x n, ξ] (x) dx = (x) dx η [, b] (n + 1)!

10 Fórmuls usules de integrción numéric Fórmuls de 1 punto x0 = x0 = b x0 = + b R b f (x) dx = (b )f () R(f ) = (b ) f (ξ) R b (b ) f (x) dx = (b )f (b) R(f ) = f (ξ) R b f (x) dx = (b )f ( + b (b )3 ) R(f ) = f (ξ) 4 Fórmul de puntos (Fórmul del trpecio) x0 =, x 1 = b R b f (x) dx = (b ) (b )3 (f (b) + f ()) R(f ) = f (ξ) 1

11 Obtención de ls fórmuls de Newton-Cotes Fórmuls bierts y fórmuls cerrds Ls fórmuls de Newton-Cotes resultn de utilizr como puntos de integrción los x i que se obtienen dividiendo el intervlo [, b] en prtes igules, x 0 = h = b n Si considermos xj, j = 0, 1,..., n Si considermos xj, j = 1,..., n 1 Fórmuls cerrds x j = x 0 + h j Fórmuls de Newton-Cotes cerrds Fórmuls de Newton-Cotes bierts j = 0, 1,,..., n puntos (n = 1) Fórmul del trpecio R 3 puntos (n = ) F. de Simpson b f (x) dx = b [f 0 + 4f 1 + f ] R(f ) = h f iv (ξ) 4 puntos (n = 3) 5 puntos (n = 4) Fórmuls bierts R b f (x) dx = b [f 0 + 3f 1 + 3f + f 3 ] R(f ) = 3h f iv (ξ) R b f (x) dx = b [7f 0 + 3f 1 + 1f + 3f 3 + 7f 4 ] R(f ) = 8h f vi (ξ) 1 puntos (n = ) Fórmul del punto medio R puntos (n = 3) b f (x) dx = b [f 1 + f ] R(f ) = 3h3 4 f (ξ)

12 Introducción Definición Consideremos, nx f (x) dx = j f (x j ) + R(f ) j=0 con j = R b l j (x) dx y l j (x) = Q n x x j i=0 (fórmul exct pr 1, x, x,..., x n ). i j x i x j Vmos elegir convenientemente los puntos x i tl que l fórmul se exct pr 1, x, x,..., x m, con m > n, clculndo simismo cuál es el myor vlor de m. Exctitud de l fórmul L fórmul de cudrtur nterior es exct pr todo polinomio de grdo no myor que n + q (q 1) si y sólo si, R b Q (x) x k dx = 0, con k = 0, 1,..., q 1 y Q (x) = Q ni=0 (x x i ). L fórmul es de tipo interpoltorio.

13 Fórmuls de cudrtur de Guss Teorems No existe ningun fórmul del tipo de l nterior exct pr todos los polinomios de grdo n + Existen n + 1 únicos puntos en l rect rel tles que l formr con ellos un fórmul de cudrtur de tipo interpoltorio como l nterior, dich fórmul es exct pr todos los polinomios de grdo no myor que n + 1. Tles puntos pertenecen [, b]. Est únic fórmul se denomin Fórmul de Cudrtur de Guss o Gussin. Comentrios Existen tbls pr ls integrles definids en [ 1, 1]. En cso de integrles definids en el intervlo [, b] [ 1, 1], se reliz el cmbio de vribles x = b t + b +, resultndo Z 1 f (x) dx = g(t) dt 1 Ls fórmuls de Guss tienen l siguiente propiedd de l que crecen ls de Newton-Cotes, nx lim n in f (x in ) = f (x) dx i=0 Cundo f C n+ ([, b]), R(f ) = f (n+ Z (ξ) b Y (x) dx ξ [, b] (n + )!

14 Fórmuls de Guss con función de peso Definición Supongmos un integrl de l form, ω(x) f (x) dx con ω(x) continu y estrictmente positiv en [, b] Todo el desrrollo nterior es válido excepto que, j = ω(x) l j (x) dx y ω(x) Y (x) x k dx = 0 Guss-Legendre Z 1 f (x) dx (ω(x) = 1) 1 Guss-Chebyshev Z 1 1 f (x) p dx (ω(x) = 1 p ) 1 x 1 x n x i ω i ± ± ± ± ± ± n x i ω i ± ± ± ± ± ±

15 Fórmuls de Guss con función de peso Guss-Lguerre Z e x f (x) dx (ω(x) = e x ) 0 n x i ω i Guss-Hermite Z e x f (x) dx (ω(x) = e x ) n x i ω i ± ± ± ± ± ±

16 Introducción Motivción Cundo el intervlo de integrción es grnde, Se comete un error considerble en ls fórmuls de integrción. Los coeficientes de l fórmul de Newton son tmbién grndes y se producen grndes errores de blckondeo. Estrtegi Vmos dividir el intervlo de integrción en vrios subintervlos y plicr cd subintervlo un fórmul de integrción sencill. L sum de resultdos gener un Fórmul de Cudrtur Compuest.

17 Fórmuls más usules Descomposición de un integrl en sum de integrles Consideremos un integrl en [, b] como sum de integrles en n subintervlos, n 1 X Z xj+1 f (x) dx = f (x) dx j=0 x j siendo x 0 =, x n = b, x j+1 x j = h Con l fórmul de Simpson Z xj+1 hf j + 4f j+1/ + f j+1 i f (x) dx h x j 6 3 f (x) dx h n 1 X n 1 X 4f f j+1/ + f j + f n 5 6 j=0 j=1 Con l fórmul del trpecio Z xj+1 ˆfj + f j+1 f (x) dx h x j 3 f (x) dx h n 1 X 4f 0 + f j + f n 5 j=1 Con l fórmul del rectángulo Z xj+1 x j f (x) dx h f j n 1 X f (x) dx h f j j=0

18 Error en ls fórmuls de cudrtur compuests Teorem Si f es continu en [, b], ξ i [, b] pr i = 1,,..., n, α i R, α i 0 pr i = 1,,..., n, y α = P n i=1 α i, entonces ξ [, b] tl que nx α i f (ξ i ) = αf (ξ) i=1 Con l fórmul de Simpson R j (f ) = h5 90 f iv (ξ j ) R(f ) = b 180 h4 f iv (ξ) Con l fórmul del trpecio R j (f ) = h3 1 f (ξ j ) R(f ) = b 1 h f (ξ) Con l fórmul del rectángulo R j (f ) = h f (ξ j ) R(f ) = b h f (ξ)

19 Resumen Podemos encontrr un fórmul de tipo interpoltorio de derivción numéric tn precis como se desee, si podemos empler un número de puntos tn grnde como se quier. El error cometido viene ddo en función de l mplitud de los subintervlos. Lo mismo se puede decir de ls fórmuls de tipo interpoltorio de integrción numéric. Ls fórmuls de Newton-Cotes de n + 1 puntos son excts pr polinomios de grdo no myor que n. Ls fórmuls de Cudrtur Gussin de n + 1 puntos pueden integrr de form exct polinomios de grdo no myor que n + 1. En intervlos grndes, ls fórmuls de cudrtur compuests blckucen considerblemente el error cometido por ls fórmuls simples.