MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso ) Cuarto Curso de Ingeniero Industrial Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla

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1 MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso ) Curto Curso de Ingeniero Industril Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill Lección 5: Cudrtur y Derivción Numérics Introducción. Se entiende por cudrtur el cálculo de integrles definids de funciones de un vrible, esto es, el cálculo del vlor I(f) = b f(x) dx, pr ciertos vlores < b. L plbr integrción se reserv pr l resolución de ecuciones diferenciles. Por el contrrio, por derivción se entiende el cálculo del vlor de l derivd de un función en un punto. L ide básic de l cudrtur numéric es proximr el vlor de I(f) por l integrl de un interpolnte, I(f) b p(x) dx, bien se este el polinomio interpoldor de f socido ciertos nodos, bien un interpolnte trozos socido un prtición de [, b]. En el primer cso, l proximción d lugr lo que se conoce como fórmuls de cudrtur; en el segundo cso ls fórmuls de cudrtur compuest. Tmbién estudiremos en est lección ls técnics de derivción numéric, esto es procedimientos pr proximr D(f) = f (x ), D 2 (f) = f (x ), etc., en donde de nuevo l ide generl será proximr medinte ls derivds de un polinomio interpoldor p decudo, D(f) p (x ), D 2 (f) p (x ), etc., unque, como veremos, este proceso se puede interpretr como tomr cocientes incrementles, si cso con el cuiddo suficiente pr obtener resultdos más precisos sin esfuerzo extr lguno. Ambos problems, de cudrtur y derivción, están numéricmente bien resueltos hoy dí, con procedimientos csi óptimos pr obtener resultdos precisos bjo costo. Por ello, est lección será breve. Debe tenerse muy presente sin embrgo, que mientrs l cudrtur es un problem bien condiciondo, l derivción numéric no lo es. 1

2 FÓRMULAS DE CUADRATURA BÁSICAS Consideremos el polinomio interpoldor de f socido los nodos x 0 < x 1 <... < x N : p N (x) = f(x 0 )L 0 (x) + f(x 1 )L 1 (x) + + f(x N )L N (x), donde los L j son los correspondientes polinomios de Lgrnge: L j (x) = N l=1 l j x x l x j x l, j = 0,...,N. Usndo l expresión nterior del polinomio interpolnte, se obtienen fácilmente ls regls de cudrtur de l form: donde los vlores I(f) Q(f) = (b )(w 0 f(x 0 ) + w 1 f(x 1 ) + + w N f(x N )), b w j = 1 L j (x) dx, j = 0,...,N, b reciben el nombre de pesos de cudrtur. En el contexto de l cudrtur numéric, los nodos de interpolción x 0,...,x N, se les conoce con el nombre de nodos de cudrtur. Medinte el cmbio de vrible: se tiene que b f(x) dx = (b ) x = + (b )s, (1) 1 0 f( + (b )s) ds. Por ello, es frecuente definir ls fórmuls de cudrtur sólo pr integrles definids con extremos 0 y 1. Trs este cmbio, los pesos resultn ser w j = 1 0 l j (s) ds, donde los l j son los polinomios de Lgrnge socidos los nodos ξ j = x j, j = 0,..., N. b Por ello, los pesos de ls fórmuls de cudrtur no dependen del intervlo [, b]. Ls fórmuls de cudrtur más elementles tienen nombre propio que debe conocer: Regl del punto medio. Result de integrr el interpolnte de grdo 0 socido l punto medio del intervlo [, b] (esto es, l nodo x 0 = ( + b)/2). Dicho interpolnte no es otr cos que l función constnte cuyo vlor es f( +b ). Por tnto: 2 ( ) + b I(f) (b )f. 2 El único peso es w 0 = 1. 2

3 Regl del trpecio. Es l que se obtiene l integrr el interpolnte linel bsdo en los nodos x 0 = y x 1 = b. Dicho interpolnte es p 1 (x) = b x x f() + f(b). Por tnto, l b b fórmul de cudrtur result: I(f) b 2 (f(x 0) + f(x 1 )). Sus pesos son w 0 = 1 y w 2 1 = 1. Recibe su nombre debido que el vlor obtenido es el del 2 áre de l figur trpezoidl que qued entre el interpolnte linel y el eje horizontl. P. Medio Trpecios Simpson Regl de Simpson. Se obtiene l integrr el interpolnte cudrático socido los nodos x 0 =, x 1 = +b y x 2 2 = b. Es fácil ver que en este cso, se obtiene l siguiente proximción: I(f) b 6 (f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )). Sus pesos son w 0 = 1, w 6 1 = 4 y w 6 2 = 1. 6 Fórmuls de Newton-Cotes. Reciben este nombre ls fórmuls que se obtienen l integrr el interpolnte p N bsdo en N +1 nodos equidistribuidos en [, b]: x j = +j b N. Ls fórmuls correspondientes N = 2 y N = 3 son l regl de los trpecios y l regl de Simpson, respectivmente. Fórmuls de Lobtto. Son quélls que se obtienen l integrr el interpolnte de grdo N bsdo en los nodos x 0 = < x 1 <... < x N = b, donde los nodos interiores x 1,..., x N 1 son los N 1 ceros de l derivd del polinomio de Legendre de grdo N. Ls fórmul resultnte pr N = 3, pr el intervlo [0, 1] tiene como nodos x 0 = 0, x 1 = 5 5, x 10 2 = 5+ 5 y x 10 3 = 1 (pr un intervlo [, b] culquier, bst usr el cmbio de vrible (1)), y los pesos son w 0 = 1, w 12 1 = 5, w 12 2 = 5 y w 12 3 = Ls fórmuls de Lobtto constituyen un cso prticulr de lo que se conoce como cudrtur gussin, cuyo contenido qued fuer del lcnce de este curso. Grdo de Precisión y Error de un fórmul de cudrtur. Se denomin grdo de precisión l grdo máximo de los polinomios que un fórmul de cudrtur integr exctmente. Es decir, un fórmul de cudrtur tiene grdo de precisión r si integr exctmente todos los polinomios de grdo menor o igul que r, pero hy lgún polinomio de grdo r+1 que no integr exctmente. 3

4 Puesto que el interpolnte p N de grdo N bsdo en N + 1 nodos es único, un fórmul de cudrtur de N + 1 nodos tiene l menos grdo N, unque podrí tener un grdo myor. Tl es el cso de l regl del punto medio: culquier polinomio de grdo 1 puede expresrse en l form p(x) = y + y b y (x ), b (donde hemos escrito l correspondiente rect en l form punto-pendiente). Su integrl en [, b] es: b p(x) = y (b ) + (b ) y b y 2 = (b ) y b + y, 2 que coincide con l proximción dd por l regl del punto medio. Los grdos de precisión r de ls fórmuls descrits nteriormente son los siguientes: Regl del punto medio: r = 1. Regl del trpecio: r = 1. Regl de Simpson: r = 3. Fórmuls de Newton-Cotes: En generl, r = N. Fórmuls de Lobtto: r = 2N 1. Respecto l error cometido se tiene el siguiente resultdo: E(f) = I(f) Q(f) = I(f) (b ) N w j f(x j ), Teorem 1. Consideremos un fórmul de cudrtur con grdo de precisión r. Entonces, pr culquier < b y pr tod función f de clse C r+1 ([, b]), existe un constnte C tl que donde ξ [, b]. j=0 E(f) C(b ) r+2 f (r+1) (ξ), En el cso de lguns fórmuls de cudrtur, se puede obtener explícitmente el vlor de l constnte C. Así, por ejemplo, se tiene: Regl del punto medio: E(f) = (b )3 24 f (ξ), Regl del trpecio: E(f) = (b )3 12 f (ξ), Regl de Simpson: E(f) = (b )5 90 f (ξ). L obtención de ls expresiones nteriores (ve el Ejercicio 3) se bs en un teorem del vlor medio pr integrles, que estblece que pr culquier función α(x) 0 y tod función f(x) continu, se cumple: b α(x)f(x) dx = f(ξ) b α(x) dx pr cierto ξ [, b]. 4

5 Consideremos un prtición CUADRATURA COMPUESTA = { = x 0 < x 1 <... < x J = b}, del intervlo [, b]. En el procedimiento de cudrtur compuest, se expres el vlor de l integrl como I(f) = b f(x) dx = x1 x 0 f(x) dx + x2 x 1 f(x) dx + + xj x J 1 f(x) dx, y se proxim el vlor de cd integrl I j (f) = x j x j 1 f(x) dx medinte un mism fórmul de cudrtur. En los siguientes gráficos podemos precir l diferenci entre l regl de los trpecios y l regl de los trpecios compuest. R. Trpecios R. Trpecios compuest Vemos tmbién cómo en el segundo cso, el vlor clculdo (l prte sombred) es más excto que en el primero (el vlor excto es el áre que qued entre l curv y el eje horizontl). Est mejor de l precisión no es sólo prticulr de este ejemplo sino que es generl. Respecto l error de l cudrtur compuest, el error resultrá ser l sum de los errores cometidos en cd intervlo: E(f) = E 1 (f) + + E J (f), donde E j (f) es el error de l proximción en el intervlo j-ésimo. Si, como es hbitul, denotmos l longitud de dicho intervlo como h j = x j x j 1, y si l fórmul de cudrtur tiene grdo de precisión r, en virtud del Teorem 1, tendremos que E j (f) C f (r+1) (ξ j ) h r+2 j, (2) pr lgún ξ j [x j 1, x j ], siempre que l función f se de clse C r+1. Por tnto, E(f) C J f (r+1) (ξ j ) h r+2 j C máx f (r+1) (x) j=1 x [,b] J j=1 h r+2 j C máx f (r+1) (x) h r+1 x [,b] J h j. j=1 5

6 Teniendo en cuent que h 1 + h h J = (b ), concluimos que E(f) C(b ) máx f (r+1) (x) h r+1, (3) x [,b] donde h = máx 1 j J h j es el diámetro de l prtición. L expresión nterior indic que el error E(f) decerá como O(h r+1 ). Ejemplo 1. Estudiemos los errores reltivos E(f) / I(f) pr dos funciones: l función de Bessel f(x) = J 2 (x) y g(x) = x. L primer es un función de clse C en el intervlo [0, 15]. L segund, en cmbio, no es siquier derivble en [0, 15] (no existe g (0)). L siguiente tbl muestr los correspondientes errores de l regl de Simpson compuest (que tiene grdo de precisión r = 3): h 3 3/2 3/4 3/8 3/16 E(f) / I(f) E(g) / I(f) Puede comprobrse que con f los errores decen como h 4, mientrs que con g sólo lo hcen como h 3/2. Aunque es posible justificr con rigor este comportmiento, qued fuer del lcnce de este curso. Aquí nos bstrá con sber que si el integrndo f no tiene r+1 derivds cotds en [, b], el error E(f) no decerá como O(h r+1 ). CUADRATURA ADAPTATIVA Es un vriedd de l cudrtur compuest en l que l prtición no se elige priori, sino que se v determinndo en función de ls estimciones de error que se vn obteniendo en cd subintervlo. L ide es comprr l proximción que proporcion l correspondiente fórmul de cudrtur en un subintervlo [x j 1, x j ] de longitud h j : Q j (f), con l sum de ls correspondientes proximciones Q (1/2) j (f) + Q (1/2) j+1/2 (f) en los intervlos de longitud h j/2: [x j 1, x j 1 + h j /2] y [x j 1 + h j /2, x j ]. Est sum puede considerrse más precis que l proximción en el subintervlo [x j 1, x j ], y que, según l expresión del error (2), si l fórmul es de grdo de precisión r ) ( (1/2), mientrs que E h j (f) = O r+2 (note que con ser r sol- tendremos que E j (f) = O ( h r+2 j mente 2, l segund expresión es csi diez veces más pequeñ que l primer). 2 r+1 ) (f) puede conside- Abusndo de l menciond myor precisión, l sum Q (1/2) j (f) + Q (1/2) j+1/2 rrse como exct l comprrl con Q j (f), y por tnto E j (f) Q j (f) ( Q (1/2) j (f) + Q (1/2) j+1/2 (f) ). (4) Si est últim cntidd es menor que un tolernci prefijd, se consider que Q j (f) es un buen proximción I j (f), con lo que ún mejor será Q (1/2) j (f) + Q (1/2) j+1/2 (f), vlor con el que nos quedmos como proximción I j (f). 6

7 Si por el contrrio, l menciond cntidd es myor que l tolernci prefijd, no podemos considerr como válidos ninguno de los vlores obtenidos: Q j (f), Q (1/2) j (f) + Q (1/2) j+1/2 (f) y tendremos que repetir el proceso que hemos seguido con el intervlo [x j 1, x j ], con cd uno de los intervlos de longitud h j /2: [x j 1, x j 1 + h j /2] y [x j 1 + h j /2, x j ] (trs dividir l tolernci prefijd por 2, hemos multiplicdo por 2 ls cntiddes clculr). L ide de fondo es que en l cot de error (2), el vlor de f (r+1) (ξ j ) puede vrir mucho de unos subintervlos [x j 1, x j ] otros, con lo que en unos subintervlos l proximción Q j será válid mientrs que otros se deberán subdividir pr que ls correspondientes longitudes de los mismos, l ser más pequeñs, compensen por el myor tmño de f (r+1). Vemos un esquem del procedimiento pr el cso de l regl de los trpecios l integrl de un función en el intervlo [0, 1]. Si comprmos ls proximciones de l regl de los trpecios, y l de l regl de los trpecios compuest con dos subintervlos: Q 0 (f) Q 1 (f) Q 0 (f) Q 1 (f) podemos ver que, en el segundo cso, el error es más pequeño en el intervlo [1/2, 1] que en el intervlo [0, 1/2], y que el interpolnte linel trozos en este último intervlo se just mucho peor l función que en el otro intervlo, donde l función es csi un rect. El ordendor no puede ver, por lo que simplemente rest ls dos proximciones pr tener un estimción del error de l primer. L diferenci de mbs es excesivmente grnde como pr considerr que se h proximdo bien l integrl, por lo que ps subdividir los dos intervlos [0, 1/2] y [1/2, 1] y clculr ls correspondientes proximciones: Q 1 (f) Q 2 (f) Q 1 (f) Q 2 (f) Ahor el ordendor puede detectr que l proximción que tení en el intervlo [1/2, 1] er lo suficientemente buen. En cmbio, no es sí con l que tení en [0, 1/2]. 7

8 Puede drse por buen l últim proximción l integrl en [1/2, 1] clculd, por lo que el ordendor y no vuelve preocuprse de ese intervlo, y ps subdividir en dos cd uno de los intervlos [0, 1/4] y [1/4, 1/2] y clculr ls correspondientes proximciones: Q 2 (f) Q 3 (f) Q 2 (f) Q 3 (f) Ahor el ordendor detect que l proximción l integrl en el intervlo [1/4, 1/2] que clculó en el pso nterior er buen, mientrs que en el intervlo [0, 1/4] no ocurre lo mismo: Por ello, se d por buen l proximción clculd en este pso en el intervlo [1/4, 1/2], y se procede subdividir en dos cd uno de los intervlos [0, 1/8] y [1/8, 1/4]: Q 3 (f) Q 4 (f) Q 3 (f) Q 4 (f) Ahor se detect que ls proximciones ls integrles en los intervlos [0, 1/8] y [1/8, 1/4] que se clculron en el pso nterior ern lo suficientemente preciss, por lo que se dn como válids y se concluye l proximción l integrl. Observe entonces que l prtición que se h utilizdo pr proximr l integrl medinte l regl de los trpecios compuest es { 4 = 0, 1 16, 1 8, 3 16, 1 4, 3 8, 1 2, 3 } 2, 1. H sido necesrio llegr intervlos de longitud 1/16, pero el número totl de subintervlos no h sido 16 (como serí el cso de un prtición uniforme) sino 8, porque sólo en quells prtes del intervlo [0, 1] donde h sido necesrio se hn utilizdo intervlos tn pequeños, utilizándose intervlos más grndes llí donde h sido posible. Note tmbién que l prtición finl er desconocid priori. 8

9 Lo que hemos mostrdo quí es, en esenci, lo que hcen los pquetes de cudrtur modernos. Por ejemplo, el comndo qud de Mtlb hce un proceso de cudrtur dptdo como el descrito, utilizndo l regl de Simpson en vez de l regl de los trpecios. El comndo qudl utiliz un fórmul de Lobtto de N + 1 nodos con N = 12, y por tnto de grdo de precisión r = 23. Precismente por su lto grdo de precisión, el comndo qudl suele ser el más eficiente con funciones muy regulres. DERIVACIÓN NUMÉRICA Como mencionmos l principio de l lección, l ide básic pr proximr D(f) = f (x ), D 2 (f) = f (x ), etc., es proximr medinte ls derivds de un polinomio interpoldor p decudo, Esto drá lugr fórmuls de l form D(f) p (x ), D 2 (f) p (x ), etc. D(f) D N (f) = α 0 f(x 0 ) + α 1 f(x 1 ) + + α N f(x N ), D 2 (f) D 2 N(f) = β 0 f(x 0 ) + β 1 f(x 1 ) + + β N f(x N ), donde, obvimente, los coeficientes serán los vlores en x de ls correspondientes derivds de los polinomios de Lgrnge socidos los nodos x 0 < x 1 <... < x N : α j = L j (x ), β j = L j (x ), etc. Igul que en el cso de l cudrtur, el grdo de precisión es el grdo r más lto pr el cul l fórmul de derivción es exct pr todos los polinomios de grdo menor o igul que r, siendo inexct pr lguno de grdo r + 1. Obvimente, siempre que usemos N + 1 nodos, el grdo de precisión será l menos N. Utilizndo el desrrollo de Tylor en torno l punto x se prueb sin dificultd que, si un fórmul pr proximr D(f) tiene grdo de precisión r, entonces f (x ) D N (f) C 1 h r máx f (r+1) (x), donde h = máx (x j x j 1 ), 1 j N x [x 0,x N ] donde l constnte C 1 depende de los cocientes (x j+1 x j )/(x j x j 1 ). De mner similr, si un fórmul pr proximr D 2 (f) tiene grdo de precisión r, entonces f (x ) DN 2 (f) C2 h r 1 máx f (r+1) (x), x [x 0,x N ] etc. Si pr proximr l derivd N-ésim: D N (f), utilizmos el polinomio de grdo N bsdo en N + 1 nodos: p N (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + + f[x 0,..., x N ](x x 0 )...(x x N 1 ), 9

10 obtenemos l fórmul de derivción numéric: D N (f) D N N(f) = N!f[x 0,...,x N ]. Y comentmos nteriormente que el grdo de precisión será l menos N. Un sencillo cálculo muestr que, pr f(x) = x N+1, se tiene que f[x 0,, x N ] = (x 0 + x x N ). Por tnto, l fórmul nterior pr proximr D N (f) no tiene grdo de precisión N +1, slvo que el punto x donde queremos proximr l derivd se justmente x = x 0 + x x N N + 1 (5) Por otro ldo, por los mismos rgumentos, si pr proximr un derivd de orden k, D k (f), utilizmos un polinomio de grdo N k, por los mismos rgumentos ntes utilizdos, tendremos que l fórmul tendrá grdo de exctitud l menos N, pudiendo ser myor pr lgun elección de x, que, en generl no podremos sber priori. Ejemplo 2. Fórmul de dos puntos pr f. Se p 1 (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) el polinomio interpoldor de f de primer grdo bsdo en x 0 y x 1. Su derivd es un función constnte: f (x ) p 1 (x ) f[x 0, x 1 ] = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0. (6) Los pesos de est fórmul son α 0 = α 1 = 1/(x 1 x 0 ) (que no dependen de x ). El grdo de precisión es 1, excepto en x = (x 0 + x 1 )/2. Ejemplo 3. Fórmul de tres puntos pr f. Si derivmos dos veces el polinomio interpoldor de f de segundo grdo bsdo en x 0, x 1 y x 2 : p 2 (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ), (7) obtenemos un función constnte: f(x 2 ) f(x 1 ) f (x ) p 2 (x (x ) 2f[x 0, x 1, x 2 ] = 2 2 x 1 f(x 1) f(x 0 ) ) (x 1 x 0 ) = 2f(x 2) x 2 x 0 h 2 (h 1 + h 2 ) 2f(x 1) + 2f(x 0) h 1 h 2 h 1 (h 1 + h 2 ), (8) donde, como es hbitul, h j = x j x j 1, pr j = 1, 2. De nuevo, los coeficientes no dependen de x. El grdo de precisión de l fórmul es 2, excepto pr x = (x 0 + x 1 + x 2 )/3. Ejemplo 4. Fórmul de tres puntos pr f. Derivndo el polinomio p 2 (x) ddo en (7), y evlundo en x = x, se obtiene: f (x ) p 2(x ) = f[x 0, x 1 ] + f[x 0, x 1, x 2 ](2x (x 0 + x 1 )) = (9) f(x 1 ) f(x 0 ( ) x1 +x 2 h = 2 1 x ) + f(x 2) f(x 1 ( ) ) 2 h 2 x x 0+x 1 2. h 1 + h 2 10

11 En est fórmul de derivción numéric, se puede observr que los coeficientes de f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 ) y sí dependen de x. L fórmul es de grdo 2, excepto en dos puntos en los que es de grdo 3. Cundo h 1 = h 2 = h y x = x 1, est fórmul se reduce f (x ) f(x 2) f(x 0 ). (10) 2h Ls fórmuls de derivción numéric que suelen utilizrse en l práctic se bsn en equiespcidos. Ls más frecuentes son: 1. L diferenci progresiv. No es nd más que (6) con nodos x 0 = x y x 1 = x + h: f (x ) f(x + h) f(x ). h El error es f (x ) (f(x + h) f(x ))/h = f (ξ)h/2. 2. L diferenci centrl. Es un cso prticulr de (10). L expresión (5) sugiere tomr como nodos x 0 = x h, x 1 = x y x 2 = x + h. Dich fórmul result ser: f (x ) f(x + h) f(x h). 2h El error es f (x ) (f(x + h) f(x h))/(2h) = f (ξ)h 2 /3. 3. Diferenci centrl pr l derivd segund. Est fórmul se obtiene tomndo de nuevo como nodos x 0 = x h, x 1 = x y x 2 = x + h en (8), esto es: f (x ) f(x + h) 2f(x ) + f(x h) h 2. El grdo de precisión de est fórmul es 3 (vése (5)). De hecho, se tiene que el error es: f (x ) f(x + h) 2f(x ) + f(x h) h 2 = f (ξ) h Diferenci centrl pr l derivd tercer. Est fórmul se obtiene derivndo el polinomio p 4 (x) bsdo en los nodos x 0 = x 2h, x 1 = x h, x 2 = x, x 3 = x + h y x 4 = x + 2h: f (x ) f(x + 2h) 4f(x ) + 4f(x h) f(x 2h) 2h 2. Su grdo de precisión es 4, y por tnto el error se cot como C 3 h 2 máx f (v), con C3 = 33/60. L derivción numéric, un problem ml condiciondo. Es fácil drse cuent que sí es. Bst considerr pr culquier f y culquier x l función f ɛ (x) = f(x) + ɛ sin((x x )/ɛ 2 ). 11

12 Observmos que los vlores de f y de f ɛ distn poco entre sí. De hecho, f(x) f ɛ (x) ɛ, pero f (x ) f ɛ (x ) = 1 ɛ. El ml condicionmiento hce que el uso de ls fórmuls de derivción numéric nteriores en los cálculos con ordendor, dn lugr un error que inicilmente se comport como O(h p ), pero que posteriormente crece con h en lugr de decrecer, debido l influenci del error de redondeo. En ls dos siguientes tbls mostrmos los errores de l diferenci centrl pr l derivd primer, en cso de f(x) = e x con x = 0, esto es, e h e h 1 2h. h Error Puede precirse cómo cmbi el comportmiento de error pr vlores de h inferiores Finlmente, señlemos que el único comndo de Mtlb que de lgún modo se puede considerr relciondo con l derivción numéric es el comndo diff, que, ddo un vector v = [v 1,..., v n ], devuelve el vector [v 2 v 1,...,v n v n 1 ]. CUESTIONES Ejercicio 1. Obteng los pesos de cudrtur de l fórmul pr integrr en el intervlo [0, 1] bsd en nodos 0 y 2/3. Qué grdo de precisión tiene? Ejercicio 2. Idem con l fórmul de nodos 0, 1/2 y 2/3. Ejercicio 3. Obtener l expresión del error de ls fórmuls de cudrtur de l regl del punto medio y del trpecio que precen continución del Teorem 1. Se nimrí tmbién con l de Simpson? Ejercicio 4. Estudir según el vlor de c R el grdo de precision de l fórmul bsd en nodos 0 y c pr 1 0 f(x) dx. Ejercicio 5. Sbiendo que, pr un determind función f, l regl del trpecio pr evlur l integrl 2 0 f(x)dx, d el vlor 5 y l del punto medio 4, qué vlor nos drá l regl de Simpson? Ejercicio 6. Determine ls constntes α, β, γ que hcen que l regl de cudrtur 2 0 f(x)dx αf(0) + βf(1) + γf(2) teng el myor grdo de precisión posible Cuál es ese grdo? 12

13 Ejercicio 7. Compruebe, hciendo el desrrollo de Tylor, que: D h f(x) = f(x + h) f(x h) 2h = f (x) + h2 6 f (x) + h4 120 f(v) (x) Clcule el desrrollo de D 2h f(x). Combinndo linelmente D h f(x) y D 2h f(x), encuentre un fórmul de cinco puntos bsd en los puntos x, x ±h, x ±2h que proxime f (x) con el menor error posible. Qué orden tiene l fórmul de derivción numéric resultnte? Como podrímos conseguir un fórmul de siete puntos más precis? Ejercicio 8. Probr que si f(x) = x N+1, entonces f[x 0,, x N ] = (x 0 + x x N ). Ejercicio 9. Probr que l fórmul (9) es de grdo 3 en dos puntos. Clcule dichos puntos. PROBLEMAS Problem 1. Este problem trt de mostrr ls cpciddes y limitciones de ls herrmients pr cudrtur que tenemos nuestr disposición en Mtlb: los comndos qud y qudl. Le l yud en líne (help qud) de mbos comndos. 1. Aprte de l función que se dese integrr y los extremos de integrción, entre los rgumentos de entrd está l tolernci TOL, vlor por debjo del cul se desen los errores bsolutos. Pr integrr l función f(x) = cos(x) en el intervlo [ π/2, π/2], elbore un tbl de errores pr los vlores de l tolernci, 10 3, 10 4,..., tnto con el comndo qud como con el comndo qudl. Son igules los errores obtenidos, o precidos ls correspondientes tolerncis? Si no conociésemos el vlor de l integrl, clculrlo con dos tolerncis distints nos drí ide del error cometido con l más groser? 2. Tl vez en el prtdo nterior l función que utilizmos fuese demsido simple. Pruebe hor con f(x) = cos(x) sen(x) rctn(x), (11) 1 + x2 (cuy primitiv es F(x) = cos(x) rctn(x)) en el intervlo [ 5, 5] Conteste ls pregunts del prtdo nterior. Qué conclusión podemos scr? 3. Pr ls tolerncis 10 3 y 10 12, mid los tiempos de ejecución de los cálculos hechos en el prtdo nterior. Qué observ? Son myores o menores estos tiempos de ejecución que el tiempo de resolución de un sistem Ax = b con A de orden 1000? Que conclusión extremos? 4. Pr l función (11) de los prtdos nteriores, y pr x n = 10 2 n, n = 1,..., 6, clcule el error de proximr l integrl de f en los intervlos [ x n, x n ]. Utilice TOL = 10 8 pr el comndo qud y TOL = pr qudl. Qué observ? Repit los cálculos obteniendo, demás del vlor de l integrl, el número de evluciones de función que necesitó cd comndo. Qué observ? Dn lgún viso los comndos de Mtlb? Cómo podemos clculr ls integrles pr los dos últimos vlores de n? 13

14 Problem 2. Considere el interpolnte por splines not knot que interpol los vlores de x e y de l siguiente tbl. x j y j Como podemos clculr el áre que qued entre dicho interpolnte y el eje horizontl. 2. Clcule dich áre con un error inferior Podemos disponer de l derivd de dicho interpolnte en cd punto? Cómo podemos entonces clculr l longitud del mismo, sbiendo que l longitud de un curv (x, f(x)), x [, b] viene dd por b 1 + f (x) 2 dx? 4. Clcule dich longitud con un error inferior Problem 3. Considere l función f(x) = 1 + x x. 1. Dibuje de mner esquemátic l función en el intervlo [0, 3]. Cómo se comport l función cerc del origen? Y cerc de x = 1? Cree que l integrl 3 f(x) dx puede dr un vlor finito? 0 2. Clcule numéricmente el vlor de l integrl nterior en el intervlo [0, 3] con vrios vlores de l tolernci hst conseguir 8 cifrs decimles excts. Compre estos resultdos con 4 3. A l vist de estos resultdos, cree que l integrl 3 f(x) dx es convergente o divergente? 0 3. Clcule numéricmente l derivd de f en el punto x = 1 emplendo un esquem de diferencis centrds con h = 0.1, 0.05, 0.001,..., 0.1. Escrib los resultdos en form de 5 8 tbl con dos columns; h y f (1). 4. L curvtur de un gráfic y = f(x) viene dd por l siguiente expresión κ(x) = f (x) [1 + f (x)] (3/2). Emplendo de nuevo un esquem de diferencis centrds clcule l curvtur en x = 1 de f recogiendo los dtos en un tbl con tres columns; h, κ(1) y el error cometido teniendo en cuent que el vlor excto es κ exct (1) = 1/2. Dibuje el error frente h en doble escl logrítmic y explique el resultdo obtenido. A l vist de estos resultdos qué tipo de punto es x = 1?. 14