Integración y Derivación

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1 Tem Integrción y Derivción Numérics.1 Introducción Presentremos en este tem lguns técnics básics de integrción y de derivción numérics.. Integrción Numéric Se llm genéricmente Integrción Numéric l conjunto de técnics y métodos que se n desrrolldo pr el cálculo proximdo de integrles definids. I = f(x) dx En quellos csos en los que simplemente se conoce l función f(x) por medio de un tbl de dtos, ests técnics son bsolutmente necesris si se quiere evlur l integrl de lgun mner. Además, un conociéndose l función en form nlític, con frecuenci es difícil (o incluso imposible) clculr un primitiv de dic función de cr plicr l Regl de Brrow.. Métodos de Newton-Côtes Estudiremos en est sección un tipo de métodos de integrción numéric denomindos Métodos de Newton-Côtes. L ide esencil de estos métodos es sustituir l función integrr por lguno de sus polinomios de interpolción. Se trt por tnto de tod un fmili generl de métodos, según el polinomio de interpolción que se considere. Aunque en principio en un método generl de Newton-Côtes podrí ser válid culquier elección 7

2 8 TEMA de puntos pr relizr l interpolción, es bitul restringirse l cso en el que los puntos están equiespcidos. En prticulr, se denominn Fórmuls de Newton-Côtes ls expresiones que se obtienen en tl situción. Además, si los límites de integrción, y b, son los puntos primero y último de los considerdos pr clculr los polinomios de interpolción, se dice que tenemos Fórmuls de Newton-Côtes cerrds, mientrs que se llmn Fórmuls bierts quélls pr ls cules no se conocen los vlores del integrndo en los extremos...1 Método de los Trpecios El Método de los Trpecios es un Método de Newton-Côtes bsdo en l interpolción linel. Se trt por tnto, de cr integrr f(x) desde el punto (, f()) st (b, f(b)), de proximr f(x) por su polinomio de interpolción linel en [, b] (ver figur). y sí: f(x) P 1 (x) = x b b f() + x f(b), x [, b] b I = f(x) dx P 1 (x) dx = b (f() + f(b)) f x P 1 x b x b x En definitiv se trt de proximr el vlor de l integrl I por el áre del trpecio (suponiendo que l función es positiv pr todo x [, b]) que determinn ls rects x =, x = b, el eje de bsciss y l rect que une los puntos: (, f()) y (b, f(b)), y de í el nombre del método. Si recordmos l expresión del error de l interpolción linel, suponiendo que f(x) es continu y derivble dos veces en el intervlo [, b]: ε(x) = f(x) P 1 (x) ; ε(x) = f (ξ) Tendremos entonces que: I = (x )(x b), ξ b f(x)dx = b (f() + f(b)) + E

3 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 9 donde el error de l integrción numéric E será, obvimente: E = ε(x)dx = f (ξ) (x )(x b) dx Integrndo en l expresión nterior, y llmndo = b, se concluye fácilmente en que: E = 1 f (ξ) E 1 M siendo M el vlor máximo que lcnce l derivd segund de l función en el intervlo ddo [, b]... Método de los Trpecios compuesto Si el intervlo en el que se reliz l integrl es grnde, el Método de los Trpecios Simple suele ser muy impreciso. Pr mejorr l exctitud, es posible subdividir el intervlo en otros más pequeños y plicr en cd uno de ellos el Método simple. De est mner, el Método de los Trpecios compuesto o generlizdo consiste en tomr un prtición P = {x 0, x 1,..., x n } de [, b], (x 0 =, x n = b), equiespcid, es decir: x i+1 x i =, i = 1,..., n. Tendremos sí que: = b n Teniendo en cuent ls propieddes básics de l integrl definid: f(x) dx = x1 x 0 f(x)dx + x y plicndo cd integrl el Método simple: x 1 f(x)dx xn x n 1 f(x)dx f(x) dx (f(x 0) + f(x 1 )) + (f(x 1) + f(x )) (f(x n 1) + f(x n )) = = (f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 )) + f(x n )) Tenemos por tnto l siguiente expresión pr el Método de los Trpecios Generlizdo: ( ) b f(x) dx n 1 f() + f(x i ) + f(b) En lo que respect l error de integrción, será evidentemente igul l sum de los errores de cd un de ls plicciones del método simple: E = E 1 + E E n = 1 f (ξ 1 ) 1 f (ξ )... 1 f (ξ n ) i=1

4 40 TEMA si denominmos M l máximo de l función f (x) en [, b] tendremos finlmente: E 1 nm = (b ) M 1 donde se sustituido E = E, ddo que bitulmente se consider E como definido no negtivo. Observmos por tnto que l umentr el número n de subintervlos (o equivlentemente disminuir l ncur de los mismos) l precisión del método se increment en un fctor proporcionl. Ejemplo: Como primer ejemplo plnteremos el cálculo de un integrl que es fácilmente evluble de form exct, pr poder sí comprobr directmente l precisión del método. Clculemos l integrl: xdx (x + 1)(x + ) utilizndo l regl de los trpecios compuest con n = 8 subintervlos. De form exct: I = Donde se utilizdo: 0 x (x + 1)(x + ) dx = 0 0 ( 1 x ) dx = x + = [ ln(x + 1) + ln(x + )] 1 0 = x (x + 1)(x + ) = A x B A(x + ) + B(x + 1) = x + (x + 1)(x + ) { x = 1 A = 1 x = A(x + ) + B(x + 1) x = B = Utilicemos or el Método de los Trpecios con n = 8. Dividimos sí el intervlo [0, 1] en 8 subintervlos y clculmos los correspondientes vlores de l función integrndo: f(x) = x (x + 1)(x + ) x 0 x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) f(x 7 ) f(x 8 ) De cuerdo con l fórmul ntes deducid: I [f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 ) + f(x 5 ) + f(x 6 ) + f(x 7 )) + f(x 8 )] 0.15 [0 + ( ) ] Observmos que l proximción l resultdo excto es rzonblemente buen. En l próxim sección completremos este ejercicio medinte el uso del Método de Simpson y comprobremos que proporcion un proximción todví mejor.

5 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 41 Si relizmos el mismo cálculo con un número diferente de subintervlos, se obtienen los siguientes resultdos: n I n n = n = n = n = n = n = n = Método de Simpson El Método de Simpson es un método de Newton-Côtes de segundo orden, es decir bsdo en integrr un polinomio de interpolción de segundo grdo, de l form siguiente: Dd l función f(x) en [, b], necesitremos un tercer punto pr poder clculr un polinomio de interpolción de grdo dos, tommos pr ello el punto medio de dico intervlo, es decir: x m = +b b, y denominremos = l semincur del intervlo. De est form el polinomio de interpolción de grdo que ps por (, f()), (x m, f(x m )) y (b, f(b)), clculdo por el Método de Newton, será: P (x) = f() + f(x m) f() (x ) + f() + f(b) f(x m) (x )(x x m ) No es difícil clculr l integrl de P (x) entre y b, de mner que se obtiene: f(x) dx P (x) dx = (f() + 4f(x m) + f(b)) que es l fórmul del Método de Simpson (o Método de Simpson simple). Anlizremos continución el error que se comete en est proximción. Como veremos, se obtiene un resultdo diferente l que podrímos intuir primer vist. El error, obvimente, será: E = f(x) dx (f() + 4f(x m) + f(b)) y pr obtener un expresión sencill E vmos utilizr, en este cso 1, el desrrollo de Tylor de l función f(x), suponiendo que f(x) es derivble l menos cutro veces en un bierto que conteng [, b]. 1 Es interesnte comprobr que l técnic utilizd en el Método de los Trpecios pr deducir el error en l integrción numéric es or inservible, pues proporcion prentemente que el error es siempre nulo. Ver sección siguiente.

6 4 TEMA En tl situción, pliquemos l fórmul de Tylor l función f(x) en x = x m st tercer orden: f(x) = P (x) + R 4 (x) = = f(x m ) + f (x m )(x x m ) + f (x m ) El resto de Tylor, R 4 (x), escrito en form de Lgrnge, será: R 4 (x) = f (4) (ξ) (x x m ) 4 4! (x x m ) + f (x m ) (x x m ) + R 4 (x)! Teniendo en cuent este resultdo, f() y f(b) pueden escribirse de l form: f() = f(x m ) = f(x m ) + f (x m )( ) + f (x m ) f(b) = f(x m + ) = f(x m ) + f (x m ) + f (x m ) y sí tendremos: (f() + 4f(x m) + f(b)) = ( ) + f (x m )! + f (x m )! ( ) + f (4) (ξ) ( ) 4 4! + f (4) (ξ) 4 4! ( 6f(x m ) + f (x m ) + 1 ) 1 f (4) (ξ) 4 = = f(x m ) + f (x m ) f (4) (ξ) 5 Por su prte, l integrl exct tmbién puede ser escrit en términos del polinomio de Tylor y del resto: f(x)dx = (P (x) + R 4 (x)) dx = f(x m ) + f (x m ) + f (4) (ξ) 5 60 trs simplifcr los resultdos. Finlmente el error de integrción será: E = f(x)dx (f() + 4f(x m) + f(b)) = f (4) (ξ) 5 f (4) (ξ) 5 = f (4) (ξ) 5 Si denominmos M 4 l vlor máximo lcnz l derivd curt de l función en el intervlo [, b], tendremos finlmente: E M 4 = b M 4 Un curios consecuenci de este resultdo es que si tenemos que integrr un polinomio de grdo, l integrción exct por l regl de Brrow y l proximd por el Método de Simpson (independientemente de l ncur del intervlo) coinciden, el error es exctmente cero, ddo que l derivd curt de un polinomio de grdo tres es nul (no olvidemos que el método de Simpson se bs en integrr un polinomio de grdo, diferente por tnto l integrndo, polinomio de grdo ). Un explicción gráfic de este resultdo l observmos en l Figur 6.1.

7 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 4 x m b Figur.1: Gráfic de un polinomio de grdo en un intervlo [, b] y del correspondiente polinomio de grdo dos (en gris) que interpol los puntos de bscis, x m y b. Puede observrse como el error de interpolción (por defecto) entre y x m es idéntico l error (por exceso) entre x m y b. Método cudrático generl En el prtdo nterior se plntedo el Método de Simpson como un Método de Newton-Côtes de orden dos (cudrático) tl que se consider en l interpolción, demás de los puntos inicil y finl del intervlo, es decir: (, f()) y (b, f(b)), el punto medio de dico intervlo: x m = +b (x m, f(x m )), con = b x m = x m. De mner generl, si se tomn los puntos {(, f()), (p, f(p)), (b, f(b))}, con < p < b, tendremos: f(x) dx P (x) dx siendo P (x) el polinomio de interpolción cudrático determindo por los tres puntos citdos: P (x) = f() + y 01 (x ) + y 01 (x )(x p) con y 01 = f(p) f() p, y 1 = f(b) f(p) b p El resultdo de l integrción, pr este cso, es:, y 01 = y 1 y 01 b f(x) dx ( (1 ) f() + ( 1 + ) f(p) + ( 1 ) 1 f(b) ) siendo 1 = p y = b p. Evidentemente, en el cso 1 = =, es decir, si p es exctmente el punto medio, se recuper l expresión clculd en el prtdo nterior pr el Método de Simpson. En lo que respect l error, tendremos: E = ε(x) dx = f (ξ)! (x )(x p)(x b) dx

8 44 TEMA siendo ξ (, b). El resultdo de l integrción nos proporcion l expresión: E = f (ξ) 7 (b ) ( 1 ) que explic l rzón por l cul en el Método de Simpson el error debí expresrse en términos de l derivd curt de l función, ddo que l fórmul nterior se ce nul pr el cso 1 =. Evidentemente esto no signific que el error en el Método se cero, sino que no es posible expresr el error, pr el Método de Simpson, como un cntidd proporcionl un vlor de l derivd tercer de l función...4 Método de Simpson Compuesto De mner nálog lo expuesto pr el Método de los Trpecios, es posible generlizr (mejorndo l precisión) el Método de Simpson por medio de l subdivisión del intervlo ddo en otros más reducidos. Prtiremos el intervlo [, b] en n subintervlos equiespcidos de ncur = b n, tenemos sí l prtición: {x 0, x 1,..., x n }, en l que tomremos necesrimente que n se un número pr. De est form podremos plicr el Método de Simpson simple ls sucesivs n prejs de subintervlos determinds por l prtición. Pr ello seprmos l integrl: f(x) dx = x x4 xn f(x)dx + x f(x)dx f(x)dx x n y los puntos x 1, x,..., x n 1 representrán el ppel de puntos medios en cd un de ls plicciones sucesivs del método simple, mientrs que x 0, x,..., x n son los puntos iniciles y finles en cd cso. f(x) dx (f() + 4f(x 1) + f(x )) + (f(x ) + 4f(x ) + f(x 4 )) +... que podemos escribir de form compct en l form: donde I y P representn ls sums: I = P = n 1 i=1, impres n i=, pres f(x) dx (f() + 4I + P + f(b)) f(x i ) = f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 ) f(x i ) = f(x ) + f(x 4 ) f(x n )

9 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 45 Pr el nálisis del error, tenemos que en cd uno de los n psos: E 5 90 M 4 y sí el error de integrción en el Método compuesto vendrá ddo por: E 5 90 ( M M M n 4 ) 5 n 90 M 4 donde se denot M4 i los máximos de l derivd curt en cd plicción del método simple y M 4 l máximo de l derivd curt en todo el intervlo [, b]. Concluimos por tnto en l expresión: E b M 4 Ddo que el error en el Método de los Trpecios estb cotdo por un expresión que dependí de, y que or, en el Método de Simpson, obtenemos que l dependenci es en 4, en principio l precisión del éste último será myor que l del primero. Ejemplo. Repetiremos el ejemplo nterior utilizndo or el Método de Simpson compuesto, con n = 8. L tbl de vlores ntes obtenid er: 0 x dx (x + 1)(x + ) x 0 x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) f(x 7 ) f(x 8 ) de mner que I [f(x 0) + 4 (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 5 ) + f(x 7 )) + (f(x ) + f(x 4 ) + f(x 6 )) + f(x 8 )] 0.15 [4( ) + ( ) ] que como vemos es un vlor más cercno l obtenido de mner exct que el clculdo por Método de los Trpecios, Pr otros vlores de n:

10 46 TEMA n I(Trpecios) I(Simpson) n = n = n = n = n = n = n = n = n = Ejemplo. Clculr un vlor proximdo, con un error menor 0.00, de l integrl 0 e x dx Antes de comenzr el ejercicio conviene recordr que l función f(x) = e x no posee ningun función primitiv que pued expresrse en términos de funciones conocids. El uso de un método numérico es por tnto, en este cso, obligdo. Si plicmos el Método de Simpson, el error vendrá ddo por l expresión: 4 E (b ) 180 M 4, M 4 f (4) (x), x [0, 1] Clculremos sí ls cutro primer derivds de f(x): f (x) = xe x, f (x) = (1 + x )e x f (x) = 4(x + x )e x, f (iv) (x) = 4(4x 4 + 1x + )e x No es difícil observr que pr x [0, 1] se tiene que f (iv) (x) es creciente, de modo que el máximo vlor de dic función coincide con el vlor en x = 1, esto es, f (iv) (1) = 4e 1 (4+1+) < 4 19 = 8, por lo que considerremos que M 4 8. Probemos or, pr diferentes vlores de n: E(n) (b ) = 180n4 15n 4 E() E(4) E(6) de mner que tomremos n = 6 = 1 6, y estrá grntizd l precisión pedid. Finlmente: x i x 0 x 1 x x x 4 x 5 x 6 = 0. 1/6 1/ 1/ / 5/6 1. f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) = I [f(x 0) + 4 (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 5 )) + (f(x ) + f(x 4 )) + f(x 6 )] 1/6 [1 + 4( ) + ( ) ] 1.468

11 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 47 Ejemplo. Un cuerd vibr doptndo l form: y = sen x, entre ls bsciss x = 0 y x = 4 en un instnte t 0. Clcúlese proximdmente l longitud de l cuerd, utilizndo un método numérico con n = 8. Ddo que tenemos que clculr l longitud determind por l gráfic de l función f(x) = sen x, entre x = 0 y x = 4, plicremos l fórmul: L = (f (x)) dx = 1 + cos xdx Clculremos est integrl por el Método de Simpson con n = 8 = 0.5. g(x) = 1 + cos x 0 x i x 0 x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = g(x i ) g(x 0 ) g(x 1 ) g(x ) g(x ) g(x 4 ) g(x 5 ) g(x 6 ) g(x 7 ) g(x 8 ) = I [g(x 0) + 4 (g(x 1 ) + g(x ) + g(x 5 ) + g(x 7 )) + (g(x ) + g(x 4 ) + g(x 6 )) + g(x 8 )] 0.5 [ ( )+ + ( ) ] Es posible clculr de form más precis, por otros métodos, este resultdo, obteniéndose: , por lo que deducimos que el Método de Simpson proporcion un vlor muy correcto en este cso. Ejemplo. Un gricultor dese conocer l superficie proximd de un prdo limitdo por un crreter, dos cminos perpendiculres ell y l riber de un río, de mner que si colocmos unos ejes crtesinos sobre l crreter (eje OX) y uno de los cminos (eje OY, bscis x = 0), el segundo cmino será l rect verticl x = (uniddes en cientos de metros). Se tomn vris medids desde l crreter st l riber, obteniéndose ls siguientes coordends pr los puntos de l riber: (0, 1.5), (0.5, 1.8), (1,.1), (1.5, 1.75), (, 1.). Clculr proximdmente el áre de dico terreno utilizndo ls regls de los trpecios y de Simpson. Determinr el áre si extendemos el terreno st l bscis x =.5 sbiendo que el río en tl cso ps por el punto (.5, 1.1). En este cso desconocemos l función de form explícit, teniendo en cuent tn solo los vlores de l tbl que nos n sido fcilitdos. Se tiene: x i x 0 x 1 x x x 4 = f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) =

12 48 TEMA de modo que usndo el método de los trpecios podemos escribir I 1 [f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x )) + f(x 4 )] 0.5 [1.5 + ( ) + 1.].4 mientrs que si usmos el método de Simpson se lleg I [f(x 0) + 4 (f(x 1 ) + f(x )) + (f(x )) + f(x 4 )] Si se ñde un nuevo punto, l tbl será: 0.5 [ ( ) + (.1) + 1.].5 x i x 0 x 1 x x x 4 x 5 = f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) = Aor l regl de los trpecios proporcionrá: I [f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 )) + f(x 5 )] 0.5 [1.5 + ( ) + 1.1] 4.15 mientrs que si el método de Simpson no es plicble de form direct ddo que estmos considerndo un número impr de subintervlos en este cso. Lo que podemos cer es considerr el Método de Simpson pr los 4 subintervlos primeros y estimr l integrl en el quinto subintervlo medinte el Método de los Trpecios. Así qued I = I + I = ( ) Método de Simpson 8 Aunque lo bitul el denominr Método de Simpson l que sido expuesto en los prtdos nteriores, es tmbién frecuente llmr Método de Simpson l cso en el que se integr un polinomio de interpolción de grdo tres. En tl situción se llm Método de Simpson 1 l nteriormente expuesto y Método de Simpson 8 l de tipo cúbico que presentremos or. Repitiendo los rzonmiento desrrolldos pr el cso nterior, pero or tomndo tres subintervlos de igul ncur pr prtir [, b], es decir los puntos: {(, f()), ( +, f( + )), ( +, f( + )), (b, f(b)) }

13 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 49 donde = b, tendremos que l integrl de f(x) puede ser proximd por l expresión: f(x) dx 8 (f() + (f( + ) + f( + )) + f(b)) El nálisis del error nos conduce que en este cso: E 80 5 M 4 = b 80 4 M 4 por lo que, slvo constntes, el orden de precisión ( 4 ) es el mismo que en el Método de Simpson 1. L principl novedd que port este método es que es plicble en el cso de tener un número de subintervlos igul (o en generl culquier múltiplo de tres). Por est rzón, si se dispone de un número impr de intervlos ddos y no se dese plicr el Método de los Trpecios, es posible plicr el Método de Simpson 8 los tres primeros (o los tres últimos) subintervlos, y el Método de Simpson 1 l resto (que obvimente y es un número pr)...6 Fórmuls de Newton-Côtes cerrds y bierts Tl y como emos visto, el Método de los Trpecios, el Método de Simpson y el Método de Simpson 8 son csos prticulres de los Métodos de Newton-Côtes, pr puntos equiespcidos, de orden uno, dos y tres respectivmente. De mner generl se llmn Fórmuls de Newton-Côtes cerrds ls que se obtienen integrndo polinomios de interpolción pr puntos equiespcidos desde x 0 = st x n = b. Su expresión generl es: f(x) dx = α (w 0 y 0 + w 1 y w n y n ) + E donde α y w 0,..., w n son constntes (ésts últims reciben el nombre de pesos ). En l siguiente tbl se detlln ls constntes y l expresión del error correspondientes vrios órdenes diferentes (nótese que los tres primeros csos son los y clculdos: Trpecios, Simpson y Simpson 8 ): Constntes, Pesos y Error pr ls Fórmuls de Newton-Côtes cerrds n α w j, j = 0, 1,..., n E f (ξ) f (4) (ξ) f (4) (ξ) f (6) (ξ) f (6) (ξ) f (8) (ξ)

14 50 TEMA Por su prte, ls Fórmuls de Newton-Côtes bierts se construyen de l siguiente mner: Cso n = 1. Supongmos que queremos integrr l función f(x) entre y b integrndo un polinomio de interpolción de grdo uno, pero sin utilizr los vlores f() y f(b) (por no ser conocidos, o por culquier otr rzón). Elegiremos sí dos puntos, x 1 y x, de tl mner que l prtición { = x 0, x 1, x, b = x } se equiespcid, con = b, y clculremos l integrl, entre y b, del polinomio de interpolción que ps por (x 1, f(x 1 )) y (x, f(x )). Se obtiene sí l Fórmul de Newton-Côtes biert de orden 1: ( f(x) dx P 1 (x) dx = y 1 + y ) y 1 (x x 1 ) dx = x x 1 (y 1 + y ) con y 1 = f(x 1 ) e y = f(x ). Cso n =. Pr el cso de polinomios de interpolción grdo, un rzonmiento similr nos llev l fórmul: f(x) dx 4 (y 1 y + y ) siendo or l prtición: { = x 0, x 1, x, x, x 4 = b}, con = b 4. Podemos escribir entonces, de mner generl: f(x) dx = α (w 1 y w n+1 y n+1 ) + E siendo = b n+, y denotndo E el error de integrción. En l siguiente tbl se muestrn los pesos pr los primeros csos. Constntes, Pesos y Error pr ls Fórmuls de Newton-Côtes bierts n α w j, j = 1,..., n + 1 E f (ξ) f (4) (ξ) f (4) (ξ) f (6) (ξ) f (6) (ξ) f (8) (ξ) Si se compr el error de ls Fórmuls cerrds y bierts pr un mismo orden, se observ que el de l fórmul biert es considerblemente myor, por lo que l utilidd de ests fórmuls se reduce l cso en el que desconocen los vlores de l función integrndo en los extremos de integrción. Finlmente, observndo l tbl nterior vemos que pr órdenes ltos los pesos son cntiddes considerblemente grndes y con cmbios de signo. Teniendo en cuent que de mner generl l rest de cntiddes grndes gener bstntes errores de redondeo, no es consejble utilizr Fórmuls bierts de grdos ltos.

15 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 51.4 Cudrturs de Guss A diferenci de ls Fórmuls de Newton-Côtes, que utilizn un prtición equiespcid del intervlo de integrción fijd priori, ls diferentes técnics de Cudrturs de Guss se bsn en determinr un serie de puntos del intervlo de tl mner que se optimice tnto l precisión como el gsto computcionl requerido, de eco l precisión de ls cudrturs gussins es proximdmente el doble de l obtenid con un Fórmul de Newton-Côtes cerrd que utilice el mismo número de puntos. Cudrturs de Guss-Legendre L ide fundmentl de este método es l siguiente: Se trt de plnter un expresión de l form: f(x) dx w 1 f(x 1 ) w n f(x n ) 1 donde los nodos x 1,..., x n sen puntos del intervlo [ 1, 1] (en principio desconocidos) y de tl mner que resulte exct pr el cso de que f(x) se un polinomio de grdo menor o igul que n 1. Anlizremos de entrd el cso más sencillo, con n =. Sen x 1 y x los nodos y w 1 y w los correspondientes pesos, tendremos: 1 f(x) dx = w 1 f(x 1 ) + w f(x ) + E y l fórmul de ser exct pr polinomios de grdo menor o igul que tres. integrmos de form exct los monomios: 1, x, x y x, tendremos: = w 1 + w, 0 = w 1 x 1 + w x, = w 1x 1 + w x, 0 = w 1 x 1 + w x puesto que el error de integrción E de ser nulo en estos csos. Ls cutro ecuciones que emos obtenido son fáciles de resolver, y se obtiene: Tendremos sí l fórmul: w 1 = w = 1 ; x 1 = 1, x = 1 1 f(x) dx = f ( ) ( ) f + E de l cudrtur gussin de orden n = (por depender de dos puntos del intervlo). Pr el cso en el que l integrl que quermos clculr teng límites de integrción diferentes los ddos en l fórmul nterior, siempre es posible redefinir l vrible en l form siguiente: f(t) dt = b 1 f(x) dx Si

16 5 TEMA siendo: x = t b b dt = b ( ) (b )x + ( + b) dx, f(x) = f Ejemplo: Clculemos l integrl 1 sen t dt usndo l cudrtur de Guss con n =. Relizmos en primer lugr el cmbio de vrible: Y sí tendremos: x = t, dt = dx sen t dt = ( ) x + sen dx ( ) sen t dt 1 1 ( + 1 ) + sen + sen Si se clcul dic integrl por medios más precisos se obtiene un vlor de , lo que indic que l cudrtur gussin es bstnte ceptble en este cso (sobre todo si se compr con el resultdo obtenido por el método de los trpecios o de Simpson). De mner generl, si queremos estblecer un fórmul pr l integrl: 1 f(x) dx w 1 f(x 1 ) w n f(x n ) que depend tn sólo del vlor de l función f(x) en n puntos del intervlo [ 1, 1], (x 1,..., x n ) y tl que se exct pr el cso de polinomios de grdo n 1, es posible repetir el rzonmiento nterior y obtener los correspondientes pesos y nodos. El resultdo que se obtiene es el siguiente: Los nodos serán, pr cd vlor de n, ls ríces del correspondiente polinomio de Legendre de grdo n: P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P (x) = 1 (x 1), P (x) = 1 (5x x),... P n (x) = 1 n ((n 1)x P n 1(x) + (n 1) P n (x)) Mientrs que los pesos se corresponden con l expresión: n w i = x x j dx x i x j 1 j=1,j i Ests fórmuls de cudrtur gussin suelen denominrse cudrturs de Guss- Legendre, ddo que los polinomios relevntes pr el cálculo son precísmente los de Legendre.

17 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 5 Otrs Cudrturs de Guss Cudrturs de Guss-Hermite: De mner nálog lo expuesto en l sección nterior, nos plnteremos or un fórmul de cudrtur pr integrles de l form: de tl form que l fórmul de l cudrtur: e x f(x) dx e x f(x) dx w 1 f(x 1 ) w n f(x n ) se exct en el cso de que f(x) se un polinomio de grdo menor o igul que n 1. Rzonmientos nálogos los ntes expuestos conducen que en este cso los nodos: x 1,..., x n, sen ls ríces del polinomio de Hermite de grdo n correspondiente. H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x, H (x) = 4x, H (x) = 8x 1x H n+1 (x) = xh n (x) nh n 1 (x) Cudrturs de Guss-Lguerre: Pr integrles de l form: 0 e x f(x) dx w 1 f(x 1 ) w n f(x n ) Los nodos son or ls ríces de los polinomios de Lguerre: L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 x, L (x) = 1 (x 4x + ) L n+1 (x) = 1 n + 1 ((n + 1 x)l n(x) n L n 1 (x)) Cudrturs de Guss-Cebysev: Finlmente l fórmul 1 f(x) 1 x dx w 1 f(x 1 ) w n f(x n ) conduce (imponiendo, l igul que en los csos nteriores, que se exct pr polinomios de grdo n 1) que los nodos n de ser ls ríces de los polinomios de Cebysev: T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T (x) = x 1,..., T n+1 (x) = x T n (x) T n 1 (x) Ls ríces pueden expresrse en términos sencillos: x k = cos k 1 n π, k = 1,..., n mientrs que pr este cso los pesos resultn ser w i = π n, i = 1,..., n. Por tnto l fórmul de l cudrtur se reduce en este cso : 1 f(x) 1 x dx π n (f(x 1) f(x n ))

18 54 TEMA.5 Derivción Numéric L derivción o diferencición numéric consiste en evlur derivds de un función usndo únicmente los vlores que tom l función en un serie de puntos. L técnic de proximr ls derivds por diferencis tiene mucs plicciones, en prticulr l resolución numéric de ecuciones diferenciles y ecuciones en derivds prciles. Si recordmos l definición de derivd de un función f(x) en un punto x: f (x) = lim 0 f(x + ) f(x) tendremos que un primer proximción l vlor de f (x) lo tendremos con l expresión: f (x) f(x + ) f(x) De cr nlizr el error de l proximción, supongmos que f(x) es derivble dos veces en un entorno del punto x y pliquemos l Fórmul de Tylor f(x + ) en x: f(x + ) = f(x) + f (x) + f (ξ) pr lgún ξ (x, x + ). Despejndo tendremos: f (x) = f(x + ) f(x) f (ξ) De mner que l proximción llev socido un error proporcionl y l derivd segund de l función en un punto indetermindo. Denominndo M l máximo que lcnce f (x) en [x, x + ] tendremos: f (x) f(x + ) f(x), ε M Un proximción similr se obtiene desrrollndo l función f(x ): f f(x) f(x ) (x), ε M Es posible, sin embrgo, mejorr l precisión de l siguiente mner: Consideremos los polinomios de Tylor de ls funciones f(x + ) y f(x ), suponiendo que l función es l menos tres veces derivble: f(x + ) = f(x) + f (x) + f (x) f(x ) = f(x) f (x) + f (x) + f (ξ 1 ) 6 f (ξ ) 6

19 INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS 55 Si restmos mbs expresiones y despejmos tendremos: f f(x + ) f(x ) (x) = ( f (ξ 1 ) + f (ξ ) ) 1 de mner que l proximción ( veces denomind proximción centrl) tendrá socido un error proporcionl : f f(x + ) f(x ) (x), ε 1 M siendo M el máximo de l derivd tercer en [x, x + ]. De mner nálog se obtiene un proximción pr l derivd segund: f f(x + ) f(x) + f(x ) (x), ε 1 M 4 Es interesnte comentr que con ls fórmuls nteriores pueden precer grves errores de redondeo, sobre todo si los dtos de l función no se conocen con demsid precisión y demás es muy pequeñ, debido ls sustrcciones que es necesrio relizr (y los errores de redondeo que suelen llevr prejdos). Existen otros métodos de derivción numéric que no estudiremos en est signtur ddo el tiempo limitdo de que disponemos. Ver por ejemplo: Kincid y Ceney, Análisis Numérico, cpítulo 7, o Nkmur, Applied Numericl Metods wit softwre, cpítulo 5. Ejemplo: Clculr l derivd primer de f(x) = tn x en x = 1 por los métodos nteriores, usndo = 0.1, 0.05 y 0.0. Clculr el error (en porcentje) comprndo con el vlor excto: f (1) = cos 1 = = 0.1 f tn( ) tn(1) (1) 0.1 = 4.075, ε 18.9% f tn(1) tn(1 0.1) (1) 0.1 =.974, ε 1.% f tn( ) tn(1 0.1) (1) 0. =.50, ε.8% = 0.05 f tn( ) tn(1) (1) 0.05 =.7181, ε 8.5% f tn(1) tn(1 0.05) (1) 0.05 =.1805, ε 7.1% f tn( ) tn(1 0.05) (1) 0.1 =.449, ε 0.69% = 0.0 f tn( ) tn(1) (1) 0.0 =.561, ε.% f tn(1) tn(1 0.0) (1) 0.0 =.4, ε.0% f tn( ) tn(1 0.0) (1) 0.04 =.49, ε 0.11%