Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Transcripción

1 Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo existe un constnte α, con α < 1, tl que d(f(x), f(y)) α d(x, y), x, y M. Teorem 1 (Punto fijo de Bnch). Si M es un espcio métrico completo, tod contrcción f : M M posee un único punto fijo en M. Ejercicios 1. Se f : R R definid por Demuestre que f(x) = x e x f(x) f(y) < x y, x, y R, x y y que sin embrgo f no posee ningún punto fijo. 2. Se (X, d) un espcio métrico compcto, f : X X continu tl que d(f(x), f(y)) < d(x, y), x, y X x y Muestre que f tiene un único punto fijo. 3. Se M un espcio métrico completo, k > 1 f : M M (no necesrimente continu) sobreyectiv tl que d(f(x), f(y)) k d(x, y), x, y M Pruebe que existe un único M tl que f() =. 4. Sen M espcio métrico completo y f : M M tl que, pr un cierto p N f p = f f f (p fctores) es un contrcción en M. Entonces f posee un único punto fijo M. 1

2 5. Se M un espcio métrico completo. Pr cd α : M M, se Γ α (M) el conjunto de ls contrcciones f : M M tles que d(f, α) < +. Demuestre que l plicción ϕ : Γ α (M) M, que soci cd contrcción f su único punto fijo, es continu. (Estmos tomndo en Γ α (M) l métric del supremo.) 6. Pruebe que l función f : R R definid por f(x) = cos(cos x), es un contrcción, ms g(x) = cos x y h(x) = sin(sin x) no son contrcciones. 7. Se cos : [, π/2] [, π/2] y pong cos m = cos cos cos (m fctores). Pruebe que, pr todo x [, π/2], existe lim m cosm (x) =, donde es independiente de x. 8. Considere l función Ω : C[, 1] C[, 1] definid por Ω(φ)(x) = φ(t)dt. Pruebe que Ω no es contrcción, pero que Ω 2 es contrcción. 9. Se K un función continu sobre el cudrdo unitrio x, y 1 stisfciendo K(x.y) < 1 pr todo x, y. Demuestre que existe un función continu f(x) en [, 1] tl que se tiene f(x) + K(x, y)f(y)dy = e x2. 1. Se g un funcíon continu rel sobre [, 1]. Pruebe que existe un función continu rel f en [, 1] stisfciendo l ecución f(x) f(x t)e t2 dt = g(x). 11. Demueste que existe un únic función continu f : [, 1] R tl que f(x) = sin x + f(y) dy. ex+y Sen φ : [, b] R, K : [, b] [, b] R funciones continus, λ R. Muestre que l ecución f(x) = λ tiene solución únic en C[, b]. K(x, y)f(y)dy + φ(y) 2

3 13. Se f : M M tl que d(f(x), f(y)) α d(x, y), con α < 1. Ddo d(, f()) culquier M, si r entonces l bol cerrd B = B[, r] 1 α es invrinte por f, esto es, f(b) B. En prticulr, si M es completo, el punto fijo de f est en l bol B. 14. Se U R n y se ϕ : U R n un contrcción. Se define f(x) = x+ϕ(x) pr x U. () Probr que f es inyectiv. (b) Probr que f 1 : f(u) U es continu. (Ctólic, Mgister, 22) 15. Se S = [, b] (, ) R 2 y supong que l función f : S R stisfce ls siguientes condiciones: (i) f es continu. (ii) f y existe en S y existen constntes m y M tl que pr todo (x, y) S. < m f y (x, y) M Demuestre que existe φ C[, b] tl que y = φ(x) es l únic solución de l ecución f(x, y) =. 16. Se S = [x, x + ] [y b.y + b] R 2. L función f : S R es continu y existe un constnte A tl que f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) A y 1 y 2, (x, y 1 ), (x, y 2 ) S. Se f(x, y) B en S y se α [, ] tl que { 1 α < min A, b }. B Entonces, l ecución diferencil dy dx = f(x, y) y(x ) = y tiene un únic solución en el intervlo [x α, x + α]. 3

4 1. Se f : R R definid por Demuestre que f(x) = x e x f(x) f(y) < x y, x, y R, x y y que sin embrgo f no posee ningún punto fijo. Solución: Tenemos que f (x) = 1 e x y f (x) = ex (e x 1) (1 + e x ) 2 (e x + 1) 3 entonces f (x) = si y sólo si x =. Es fácil ver que en x = l función f (x) tiene un mínimo y lim f (x) = 1. Por lo tnto, f (x) < 1 pr n todo x R entonces f(x) f(y) = f (ξ) x y < x y x, y R, x y :, como querimos probr. Además f no posee puntos fijos, y que si f(x) = 1 x entonces = lo que es imposible. 1 + ex 2. Se (X, d) un espcio métrico compcto, f : X X continu tl que d(f(x), f(y)) < d(x, y), x, y X x y Muestre que f tiene un único punto fijo. Solución: Consideremos F : X R dd por F (x) = d(x, f(x)). Como X es compcto, el Teorem de Weiertrss firm que existen, b X tles que F () F (x) F (b), x X. Afirmmos que F () =. En efecto, si F () entonces d(f(f()), f()) < d(f(), ) = F () 4

5 contrdiciendo l minimlidd de F () entonces F () = f() =. Pr l unicid, supongmos que existen, b X tles que f() = y f(b) = b entonces lo que implic d(, b) = = b. d(, b) = d(f(), f(b)) < d(, b) 3. Se M un espcio métrico completo, k > 1 f : M M (no necesrimente continu) sobreyectiv tl que d(f(x), f(y)) k d(x, y), x, y M Pruebe que existe un único M tl que f() =. Solución: Si f(x) = f(y) entonces d(x, y) 1 d(f(x), f(y)) = k entonces d(x, y) = x = y. Luego, f es inyectiv y por ser f sobreyectiv existe f 1. Entonces, d(f 1 (x), f 1 (y)) 1 k d(f(f 1 (x), f(f 1 (y))) = 1 d(x, y) k como k > 1 entonces f 1 es un contrcción por el Teorem del punto fijo de Bnch, existe un único M tl que f 1 () = = f(). 4. Sen M espcio métrico completo y f : M M tl que, pr un cierto p N f p = f f f (p fctores) es un contrcción en M. Entonces f posee un único punto fijo M. Solución: Como f p es un contrcción en un espio métrico completo, en virtud del Teorem del punto fijo de Bnch existe un único M tl que f p () = entonces f(f p ()) = f() f p+1 () = f() f p (f()) = f() entonces f() es un punto fijo de f p como el punto fijo de f p es único, implic que f() =. 5

6 5. Se M un espcio métrico completo. Pr cd α : M M, se Γ α (M) el conjunto de ls contrcciones f : M M tles que d(f, α) < +. Demuestre que l plicción ϕ : Γ α (M) M, que soci cd contrcción f su único punto fijo, es continu. (Estmos tomndo en Γ α (M) l métric del supremo.) Solución: Se (f n ) n=1 Γ α(m) un sucesión tl que f n f cundo n. Afirmmos que ϕ(f n ) ϕ(f) cundo n, lo que probri que ϕ es continu. En efecto, se x n el punto fijo de f n pr cd n N, es decir, f(x n ) = x n. Como f n, f = f Γ α (M) existe k n < 1 tl que d(f n (x), f n (y)) k n d(x, y), x, y M n N {}. Por l convergenci uniforme de f n, ddo ε > existe n N tl que d(f n (x), f(x)) < 1 2 (1 k )ε, n n, x M. Sen n, m N tles que n, m n entonces d(x n, x m ) = d(f n (x n ), f m (x m )) d(f n (x n ), f(x n )) + d(f(x n ), f(x m )) + d(f(x m ), f m (x m )) < (1 k )ε + d(f(x n ), f(x m )) (1 k )ε + k d(x n, x m ) lo que implic que d(x n, x m ) < ε, luego (x n ) n=1 M es un sucesión de Cuchy, como M es completo existe M tl que x n cundo n. Además, tenemos que d(f(), ) d(f(), f n ()) + d(f n (), f n (x n )) + d(f n (x n ), ) = d(f(), f n ()) + d(f n (), f n (x n )) + d(x n, ) d(f(), f n ()) + k n d(, x n ) + d(x n, ) n entonces d(f(), ) = f() = luego es el único punto fijo de f. Por lo tnto, d(ϕ(f n ), ϕ(f)) = d(x n, ), cundo n :. Es decir, ϕ(f n ) ϕ(f) como querimos probr. 6

7 6. Pruebe que l función f : R R definid por f(x) = cos(cos x), es un contrcción, ms g(x) = cos x y h(x) = sin(sin x) no son contrcciones. Solución: Tenemos que f (x) = sin(cos x) sin x y notemos que 1 cos x 1 sin( 1) sin(cos x) sin(1) sin(1) sin(cos x) sin(1) sin(cos x) sin(1) = c < 1 entonces f (x) = sin(cos x) sin x sin(cos x) c y por el Teorem del Vlor Medio se tiene que pr todo x, y R con x < y existe ξ (x, y) tl que f(x) f(y) = f (ξ) x y c x y y por lo tnto, f es contrcción. 7. Se cos : [, π/2] [, π/2] y pong cos m = cos cos cos (m fctores). Pruebe que, pr todo x [, π/2], existe lim m cosm (x) =, donde es independiente de x. Solución: Se f : [, π/2] [, π/2] definid siguiendo l notción del enuncido por f(x) = cos 2 (x). Se x [, π/2] y definimos x 1 = f(x ), x n+1 = f(x n ) y observe que por el problem nterior l función f es un contrcción entonces existe c < 1 tl que Ahor bien, f(x) f(y) c x y x, y R x 1 x 2 = f(x ) f(x 1 ) c x x 1 x 2 x 3 = f(x 1 ) f(x 2 ) c x 1 x 2 c 2 x x 1 y en generl tenemos x n x n+1 c n x x 1 pr todo n N. Se sigue que pr n, p N se tiene que x n x n+p x n x n+1 + x n+1 x n x n+p 1 x n+p (c n + c n c n+p 1 ) x x 1 = c n (1 + c + + c p 1 ) x x 1 c n 1 c x x 1 7

8 Como lim c n = concluimos que (x n ) es un sucesión de Cuchy en n [, π/2]. Considere h : [, π/2] [, π/2] definid por h(x) = x l cul es continu en [, π/2] el cul es un conjunto compcto de R entonces h es uniformemente continu y usmos el hecho que ls funciones uniformemente continus llevn sucesiones de Cuchy en sucesiones de Cuchy entonces (y n ) = (h(x n )) = (cos(x n 1 )) es un sucesión de Cuchy en [, π/2] entonces existe [, π/2] tl que = lim m y m = lim n cos(x m 1 ) = lim n cos m (x ) como x es rbitrrio entonces este límite es independiente de x. 8. Considere l función Ω : C[, 1] C[, 1] definid por Ω(φ)(x) = φ(t)dt. Pruebe que Ω no es contrcción, pero que Ω 2 es contrcción. Solución: Consideremos f(x) 1 y g(x) pr todo x [, 1] entonces f g = 1 y demás Ω(f) Ω(g) = 1 entonces Ω no es contrcción. Por otro ldo, tenemos que Ω 2 (f)(x) Ω 2 (g)(x) = Ω(f)(t)dt Ω(g)(t)dt t t = f(z)dzdt g(z)dzdt t f g f(z) g(z) dxdt t dzdt = x2 2 f g 1 2 f g Por lo tnto, Ω 2 (f) Ω 2 (g) 1 2 f g y Ω 2 es un contrcción. 9. Se K un función continu sobre el cudrdo unitrio x, y 1 stisfciendo K(x.y) < 1 pr todo x, y. Demuestre que existe un función continu f(x) en [, 1] tl que se tiene f(x) + K(x, y)f(y)dy = e x2. 8

9 Solución: Consideremos l plicción T : C[, 1] C[, 1] definid por T (f)(x) = e x2 K(x, y)f(y)dy. Como K(x, y) < 1 existe λ tl que K(x, y) λ < 1, entonces T f(x) T g(y) = K(x, y)f(y)dy K(x, y)f(y)dy λ K(x, y) f(y) g(y) dy λ f g. f(y) g(y) dy es decir, T f T g λ f g entonces, T es un contrcción en C[, 1] por el Teorem del punto fijo de Bnch existe f C[, 1] tl que T (f(x)) = f(x) esto es e x2 K(x, y)f(y)dy = f(x). 1. Se g un funcíon continu rel sobre [, 1]. Pruebe que existe un función continu rel f en [, 1] stisfciendo l ecución f(x) f(x t)e t2 dt = g(x). Solución: Consideremos l plicción L : C[, 1] C[, 1] dd por T (f)(x) = Notemos que sup e t2 = 1 entonces t [,1] f(x t)e t2 dt + g(x). L 2 f(x) L 2 h(x) = L(T f(x)) L(Lh(x)) = [T f(x t) T h(x t)]e t2 dt { t } = [f(x t r) h(x t r)]e r2 dr e t2 dt f h = f h x 2 t drdt f h 9

10 es decir, L 2 f L 2 h 1 2 f h, luego L 2 es un contrcción en C[, 1] por ser C[, 1] completo en virtud del Teorem del punto fijo de Bnch existe un unic f C[, 1] tl que L 2 (f(x)) = f(x), por problem 4 se tiene que L(f(x)) = f(x) como querimos probr. 11. Demueste que existe un únic función continu f : [, 1] R tl que f(x) = sin x + f(y) dy. ex+y+1 Solución: Concsideremos l plicción T : C[, 1] C[, 1] definid por entonces T (f(x)) = sin x + f(y) dy, ex+y+1 T f(x) T g(x) f(y) g(y) e x y 1 dy y f g sup e x e y 1 dy x [,1] ( 1 = f g e 1 ) e 2 = λ f g donde λ = e 1 e 2 < 1 entonces T f T g λ f g y T es un contrcción en C[, 1] por el Teorem del punto fijo de Bnch existe un únic f C[, 1] tl que T (f(x)) = f(x). 12. Sen φ : [, b] R, K : [, b] [, b] R funciones continus, λ R. Muestre que l ecución f(x) = λ tiene solución únic en C[, b]. K(x, y)f(y)dy + φ(y) Solución: Definimos T : C[, 1] C[, 1] dd por T (f)(x) = λ K(x, y)f(y)dy + φ(y), 1

11 denotmos por M = sup K(x, y) entonces T f(x) T g(x) λ demás tenemos que T 2 f(x) T 2 g(x) = λ λ K(x, y) f(y) g(y) dy λ sup K(x, y) f g dy = λ M f g (x ) = λ M f g (b ) λ M K(x, y)t f(y)dy λ K(x, y) T f(y) T g(y) dy y λ K(y, z)f(z)dz λ λ 2 M 2 Se deduce que en generl se tiene y f(z) g(z) dzdy λ 2 M 2 (x ) 2 f g 2 λ 2 M 2 (b ) 2 f g 2 K(x, y)t g(y)dy y T n f(x) t n g(x) λ n M n (b ) n f g. n K(y, z)g(z)dz dy Luego existe p N tl que λ p M p (b ) p < α < 1 entonces T p es p contrción en C[, 1]. Por problem 4 existe un únic f C[, 1] tl que T (f(x)) = f(x), como querimos probr. 13. Se f : M M tl que d(f(x), f(y)) α d(x, y), con α < 1. Ddo d(, f()) culquier M, si r entonces l bol cerrd B = B[, r] 1 α es invrinte por f, esto es, f(b) B. En prticulr, si M es completo, el punto fijo de f est en l bol B. Solución: Se x B entonces d(x, ) r luego d(f(x), ) d(f(x), f())+d(f(), ) α d(x, )+(1 α)r αr+(1 α)r = r 11

12 lo que implic que f(x) B. 14. Se U R n y se ϕ : U R n un contrcción. Se define f(x) = x+ϕ(x) pr x U. () Probr que f es inyectiv. (b) Probr que f 1 : f(u) U es continu. Solución: Por ser ϕ un contrcción existe α < 1 tl que ϕ(x) ϕ(y) α x y pr todo x, y U entonces f(x) f(y) = (x y) (ϕ(x) ϕ(y) Luego, si f(x) = f(y) entonces x y ϕ(x) ϕ(y) = (1 α) x y (1 α) x y x y = x = y y f es inyectiv. Ahor bien, por ser f inyectiv existe f 1 : f(u) U y sen = f(x) y b = f(y) entonces f 1 () f 1 (b) = x y 1 1 f(x) f(y) = b 1 α 1 α lo que implic que f es continu. 15. Se S = [, b] (, ) R 2 y supong que l función f : S R stisfce ls siguientes condiciones: (i) f es continu. (ii) f y existe en S y existen constntes m y M tl que pr todo (x, y) S. < m f y (x, y) M Demuestre que existe φ C[, b] tl que y = φ(x) es l únic solución de l ecución f(x, y) =. 12

13 Solución: Considere l plicción L : C[, b] C[, b] definid por L(ϕ)(x) = ϕ(x) 1 f(x, ϕ(x)). M entonces L(ϕ)(x) L(ψ)(x) = = = (ϕ(x) ψ(x)) 1 M (f(x, ϕ(x)) f(x, ψ(x))) (1 (ϕ(x) ψ(x)) 1 ) f(x, ϕ(x)) f(x, ψ(x)) M ϕ(x) ψ(x) ( (ϕ(x) ψ(x)) 1 f ) y(x, u) M ( 1 m ) ϕ ψ M y como 1 m/m < 1 entonces L es un contrcción entonces existe un únic φ C[, b] tl que L(φ) = φ es decir f(x, φ(x)) =. 16. Se S = [x, x + ] [y b.y + b] R 2. L función f : S R es continu y existe un constnte A tl que f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) A y 1 y 2, (x, y 1 ), (x, y 2 ) S. Se f(x, y) B en S y se α [, ] tl que { 1 α < min A, b }. B Entonces, l ecución diferencil dy dx = f(x, y) y(x ) = y tiene un únic solución en el intervlo [x α, x + α]. Solución: L ecución diferencil puede ser englobd en un únic condición pr todo t I se debe tener y(t) = y + t 13 x f(s, y(s))ds.

14 Sen M = [x α, x + α] y N = [y b, y o + b]. Definimos l plicción F : C(M, N) C(M, N) poniendo F (ψ)(x) = y + x f(t, ψ(t))dt. Hy lgunos coss verificr: en primer lugr que F (ψ)(x) N pr tod ψ C(M, N), en efecto Del mismo modo se tiene que F (ψ)(x) F (ψ)(y) = L(ψ)(x) y x x B αb < b y x f(t, ψ(t))dt B x y, de modo que F (ψ) es lipschitzin, en prticulr, tenemos que F (ψ) C(M, N) pr tod ψ C(M, N) y tenemos por lo tnto que F es un plicción de un espcio métrico completo C(M, N) en si mismo. Finlmente si tommos k = Aα, vemos que < k < 1 y que pr ψ, φ C(M, N) culquier, tenemos L(ψ)(x) L(φ)(x) f(t, ψ(t)) f(t, φ(t)) dt x A ψ(t) φ(t) x x Aα ψ φ = k ψ φ. Luego F es contrcción del espcio métrico completo C(M, N) en si mismo. Existe por tnto un plicción ϕ C(M, N) tl que F (ϕ) = ϕ, o se t y(t) = y + f(s, y(s))ds lo que equivle existir un únic solución x pr l ecución diferencil. 14