EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 1

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1 EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asigntur VCAF) HOJA Ejercicio : Comrobr que en los csos siguientes se cumlen los xioms de norm, es decir, l norm está definid correctmente )El escio l de ls sucesiones x (x,x, ), conx i númerosrelesy que stisfcen l condición x k <, conlnormkxk x k Como x l entonces x k <, luego nuestro cndidto norm está bien definido y que no es infinito, sino que será un número rel Ahor vmos comrobr que se cumlen los xioms de norm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 x k 0ero esto significquelsumdeinfinitos números ositivos es cero, y esto sólo uede ocurrir cundo todos los números son 0, de esto obtenemos que x k 0 k N luego x 0 or otro ldo si x 0 x k 0 k N x k 0 kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x l y r culquier λ R kλxk λx k λ x k λ x k λ kxk 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y l kx + yk x k + y k ( x k + y k ) x k + y k kxk + kyk r resolverlo hemos utilizdo l desiguldd tringulr r el vlor bsoluto b)el escio l de ls sucesiones x (x,x,), conx i números reles y que stisfcen l condición x k <, conlnormkxk x k Ver que est norm está bien definid es muy fácil es simlemente or l definición del escio l Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0

2 si kxk 0 x k 0ero esto significquelsumdeinfinitos números ositivos es cero, y esto sólo uede ocurrir cundo todos los números son 0, de esto obtenemos que x k 0 k N luego x 0 or otro ldo si x 0 x k 0 k N x k 0 kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x l y r culquier λ R kλxk λx k λ x k λ x k λ kxk 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y l kx + yk x k + y k x k + y k kxk + kyk En este so tercero hemos utilizdo l desiguldd de Minskowski que dice lo siguiente: n k + b k n k + n b k donde es un número rel y k y b k son números comlejos ero si ls series son convergentes, como es nuestro cso, se uede deducir l siguiente desiguldd k + b k k + b k c)el escio l de ls sucesiones x (x,x, ), conx i númerosrelesy que stisfcen l condición x k <, con l norm kxk x k Ver que est norm está bien definid es muy fácil es simlemente or l definición del escio l Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 x k 0ero esto significquelsumdeinfinitos números ositivos es cero, y esto sólo uede ocurrir cundo todos los números son 0, de esto obtenemos que x k 0 k N luego x 0 or otro ldo si x 0 x k 0 k N x k 0 kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x l y r culquier λ R

3 kλxk λx k λ kxk λ x k λ 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y l kx + yk x k + y k x k + x k y k kxk + kyk En este so tercero hemos utilizdo l desiguldd de Minskowski, igul que en el rtdo nterior d)el escio l de ls sucesiones x (x,x,), conx i números reles tles que son cotdos, con l norm kxk su x k r k N Est norm está bien definid y que el escio l, est formdo or ls sucesiones x (x,x,) que están cotds Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 su x k 0como x k 0 k N y ldo sbemos que x k su x k 0entonces tenemos que x k 0 k N luego x 0 or otro ldo si x 0 x k 0 k N su x k 0 kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x l y r culquier λ R kλxk su λx k su λ x k λ su x k λ kxk 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y l kx + yk su x k + y k su [ x k + y k ] su x k +su y k kxk + kyk En este so tercero hemos utilizdo l desiguldd tringulr r el vlor bsoluto e)el escio c 0 de ls sucesiones x (x,x, ), conx i números reles y que stisfcen l condición lim (x k )0, con l norm kxk k mx x k k N Es clro y que c 0 es subescio vectoril de l f)el escio c de ls sucesiones x (x,x, ), conx i números reles, que son convergentes,con l norm kxk mx k N x k Como c es subescio vectoril de l entonces es clro que se cumlen los xiomsdenorm Ejercicion : Comrobr que en los csos siguientes se cumlen los xioms de norm, es decir, l norm est definid correctmente 3

4 )El escio C [, b], de ls funciones continus sobre [, b], con l norm kxk mx t [,b] x(t) Est norm está bien definid y que or definición del escio C [, b], si x C [, b], l función x es continu en un comcto luego or tnto será cotd kxk < Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 kxk mx x(t) 0como x(t) 0 t [, b] t [,b] x(t) 0en [, b] or otro ldo si x 0 x(t) 0 t [, b] mx x(t) 0 t [,b] kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x C [, b] y r culquier λ R kλxk mx λx(t) mx λ x(t) λ mx x(t) λ kxk t [,b] t [,b] t [,b] 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y C [, b] kx + yk mx (x + y)(t) mx x(t)+y(t) t [,b] t [,b] mx [ x(t) + y(t) ] mx x(t) +mx y(t) kxk + kyk t [,b] t [,b] t [,b] En este so tercero hemos utilizdo l desiguldd tringulr r el vlor bsoluto b)el escio C k [, b], de ls funciones diferencibles continumente k veces sobre [, b] con l norm kxk k mx t [,b] xi (t) i0 Ver que est norm está bien definid es nálogo l rtdo nterior Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 kxk k mx i0 t [,b] xi (t) 0, en rticulr mx x(t) 0 t [,b] x(t) 0en [, b] or otro ldo si x 0 x i (t) 0 t [, b] y i 0,, k k mx t [,b] xi (t) 0 kxk 0 i0 )kλxk λ kxk r culquier x C k [, b] y r culquier λ R kλxk k mx t [,b] λxi (t) k mx t [,b] λ xi (t) i0 i0 4

5 λ k mx t [,b] xi (t) λ kxk i0 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y C k [, b] kx + yk k mx i0 t [,b] (xi + y i )(t) k mx i0 t [,b] xi (t)+y i (t) k mx i0 t [,b] [ xi (t) + y i (t) ] k mx i0 t [,b] xi (t) + k mx i0 t [,b] yi (t) kxk + kyk En este so tercero hemos utilizdo l desiguldd tringulr r el vlor bsoluto c)el escio B [, b], de ls funciones cotds sobre [, b] con l norm kxk su x(t) t [,b] Est norm está bien definid y que or definición del escio B [, b], si x B [, b], l función x es cotd kxk < Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 kxk su x(t) 0como x(t) 0 t [, b] t [,b] x(t) 0en [, b] or otro ldo si x 0 x(t) 0 t [, b] su x(t) 0 t [,b] kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x B [, b] y r culquier λ R su t [,b] kλxk su λx(t) su λ x(t) λ su t [,b] t [,b] t [,b] 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y B [, b] kx + yk su t [,b] [ x(t) + y(t) ] su t [,b] (x + y)(t) su t [,b] x(t) +su t [,b] x(t)+y(t) y(t) kxk + kyk x(t) λ kxk En este so tercero hemos utilizdo l desiguldd tringulr r el vlor bsoluto d)el escio C [, b], de ls funciones continus sobre [, b] con l norm b R kxk x(t) dt donde < Est norm está bien definid y que or definición del escio C [, b], si x C [, b], l función x es continu en un comcto luego or tnto será cotd kxk < 5

6 Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 b R Si kxk 0 x(t) R dt 0 b x(t) dt 0 como el integrndo es myor o igul que cero y es un función continu, entonces x(t) 0 t [, b] x(t) 0en [, b] x 0 b or otro ldo si x 0 x(t) R 0 t [, b] x(t) dt 0 kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x C [, b] yrculquierλ R R b R b kλxk λx(t) dt λ x(t) dt λ R b x(t) dt λ kxk 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y C [, b] EstdesigulddsetieneorldesiguldddeMinkowskiquediceque si f L y g L entonces f + g L ydemáskf + gk kfk + kgk e)el escio V [, b], de ls funciones de vrición cotd sobre [, b] con l norm kxk x() + V [,b] (x), donde definimos V [,b] (x) su π ([,b]) V π (x) con V π (x) n x(t k ) x(t k ) y ([, b]) es el conjunto de tods ls rticiones del intervlo [, b] Est norm está bien definid or ser ls funciones de vrición cotd entonces kxk < Vemoshorquesecumlenlosxiomsdenorm ) Si kxk 0si y sólo si x 0 Si kxk 0 kxk x() +su n x(t k ) x(t k ) 0 entonces x() 0 orotroldocomosu n x(t k ) x(t k ) 0 esto nos dice que x es un función constnte en el intervlo [, b], ero como x() 0entonces x 0 or otro ldo si x 0 x(t) 0 t [, b] kxk 0 )kλxk λ kxk r culquier x V [, b] y r culquier λ R kλxk λx() +su n λx(t k ) λx(t k ) λ x() +su n λ x(t k ) x(t k ) λ ( x() +su n x(t k ) x(t k ) ) λ kxk 6

7 3)kx + yk kxk + kyk r culesquier x, y V [, b] robmos rimero que: V [,b] (x + y) V [,b] (x)+v [,b] (y) Fijmos un rtición π ([, b]) V π (x + y) n x(t k )+y(t k ) x(t k ) y(t k ) n x(t k ) x(t k ) + n y(t k ) y(t k ) V π (x)+v π (y) Luego tomndo suremos en π ([, b]), tenemos que: V [,b] (x + y) V [,b] (x)+v [,b] (y) Luego or tnto: kx + yk x()+y() + V [,b] (x + y) x() + y() + V [,b] (x + y) x() + y() + V [,b] (x)+v [,b] (y) kxk + kyk Ejercicio 3: Cules de los escios de los roblems y son serbles? Recordmos que se dice que un escio es serble cundo existe en él un conjunto numerble y denso Escios del ejercicio : ) l si es serble Vmos utilizr l siguiente crcterizción: X es serble existe A en X numerble tl que X [A] Considermos el siguiente conjunto A 0,, 0, (i), 0, : i N ª l )Es obvio que A es numerble or como lo hemos definido )Vemos que [A] l or como está definido A, se tiene que, ls combinciones lineles de los elementos de A esigullsiguienteconjunto [A] {x l : m N tq x n 0 n m} Ahor si x l considero l sucesión {y n } n N [A] que verific que, y i (x,, x i, 0, ) donde x j es l comonente j-ésim del unto x l Vemos que efectivmente converge Ddo ε>0 Como x n < lim x n 0 m N tl que x i ε n N n mn i m Entonces tommos este mismo m N yrélseverific que: ky n xk x i ε n m i>m Luego [A] l or tnto este escio es serble b) l es serble y r demostrrlo se sigue un rocedimiento nálogo l rtdo nterior, considerndo el mismo conjunto A c) l es serble y r demostrrlo se sigue un rocedimiento nálogo l rtdo nterior, considerndo el mismo conjunto A 7

8 d) l no es serble Considero el conjunto A {0, } N, A {sucesiones cuyos términos son ceros y unos} este conjunto no es numerble or que tiene crdinl N el mismo que el conjunto de Cntor orotroldositomox, y {0, } N, se verific que si x 6 y entonces tienen un comonente distint (or ejemlo x i 6 y i ) entonces, kx yk su x k y k y que x i y i k N Ahor considermos B(x, )ª, es decir, el conjunto de bols centrds x {0,} N en los untos de {0, } N yconrdio, este conjunto es un conjunto no numerble, de biertos, que son disjuntos dos dos, entonces este escio no uede ser serble, y que si tuviermos un conjunto denso, tendrímos que tener un unto en cd un de ls bols de est fmili, ero ests son un conjunto no numerble y disjunts, entonces el conjunto denso nunc serí numerble e) c 0 si es serble, r demostrrlo considermos el conjunto A del rtdo ) y tmbién utilizmos l crcterizción que hemos usdo en dicho rtdo ) Es numerble or como lo hemos definido )Si tommos x c 0 yconsidermos{y n } n N {(x,,x n, 0) :n N} es clro que lim {y n } x x ertenece l clusur de [A] Luego [A] es denso en n c 0 f) c es serble, y se demuestr igul que en el rtdo nterior Escios del ejercio ) C[, b] si es serble r ver que C[, b] es serble vmos utilizr el Teorem de Weierstrss que dice que: [, b] C[, b] Se A {,t,t, } es clro que [A] [, b] yquea es numerble entonces or el teorem de Weierstrss [A] [, b] C[, b] luego si utilizmos l crcterizción que nos dice: X es serble existe A en X numerble tl que X [A] Luego tenemos que C[, b] es serble b) C k [, b] es serble Si considero el conjunto A : 0 + x + + k x k con i Q yk N ª )Se tiene que A es un conjunto numerble, y que los coeficientes de los olinomios son rcionles, siendo Q numerble, y cd olinomio es de grdo finito )Vemos que el conjunto A es denso en C k [, b] rimero vemos que ddo culquier olinomio existe un sucesión de olinomios { n } A tl que n esto es clro y que si 0 + x + + n x n 8

9 considero i i 0 + i x + + i nx n donde { i k } i k,recordmosqueestolo odemos hcer or que todo número rel se uede roximr or un sucesión de rcionles que convergen él Vemos que i con l norm kk k i k mx [,b] i (t) (t) ( ) i (c) (c) i 0 i + i i c i n i c n 0 cundo i ( ) Estmos utilizndo que tod función continu en un intervlo cerrdo tiene máximo, y odemos suoner sin érdid de generlidd que se lcz en c [, b] Tmbién se tiene or ser l convergenci uniforme que k n k con l norm kk Luegok i k 0 cundo i orotroldovemosque [, b] son densos en este escio Como f C k [, b] f k C[, b] luego sbemos que existe un sucesión de olinomios Q n tl que Q n f k con l norm infinito Vemos que existe un sucesión de olinomios que converge f k yquesu derivd son los Q n nteriores xr R Q m (t)dt x f k (t)dt xr Q m (t)dt f k (x) f k () µ x µ R x R f k (x) Q m (t)dt + f k () donde Q m (t)dt + f k () es un olinomio que llmremos R m xr xr or otro ldo Q m (t)dt f k (t)dt (b ) Q m f k 0 or tnto f k R m 0 es decir, R m f k ysetieneque R 0 m Q m si continumos con este roceso, es decir, integrndo llegmos encontrr un sucesión de olinomios que converge f Luego el conjunto de olinomios es denso y or tnto nuestro conjunto A tmbién es denso (y que hbímos demostrdo que r cd olinomio existe un sucesión en A que converge él) Luego con esto qued demostrdo que nuestro escio es serble c) B[, b] no es serble Considermos l fmili de funciones, F, socids l siguiente fmili de sucesiones {0, } N de l siguiente form: Se x n {0, } N l función socid est sucesión serí f(+ ª b i )x n i 0 en el resto Est fmili de funciones no es numerble y que está en corresondeci biunívoc con {0, } N, que no es numerble Si hor considermos l fmili de biertos B(f, ) f F estos son disjuntos dos dos, luego no uede existir un conjunto denso en este escio orque entonces tendrí l menos un unto en cd bol B(f, ) f F, y entonces no serí numerble Luego este escio no es serble d) ³C[, b], kk es serble Se hce igul que el rtdo ) de est segund rte, ero en este rtdo utilizmos el teorem de Weierstrss luego tenemos que demostrr que este teorem 9

10 tmbién es cierto con l norm kk r ello demostrmos l siguiente desiguldd : kf n fk (b ) kfn fk kf n fk R b f n f R b kf n fk kf n fk (b ) Elevndo los dos términos de l desiguldd tenemos que: kf n fk (b ) kfn fk Est desiguldd nos dice que si f n f con l norm kk entonces f n f con l norm kk Lugo or el teorem de Weierstrss tmbién se tiene r este escio, y un vez visto esto el ejercicio se resuelve igul que el rtdo ) de est segund rte f) V [, b] no es serble, considermos l siguente fmili de funciones: x [, b] F χ [,x] ª x [, b] est fmili no es numerble y que el conjunto [,b] no es numerble or otro ldo χ [,x] χ [,y] χ [x,y] estmos suoniendo sin érdid de generlidd que x>y,ysetienequev (χ [x,y] )+ Si hor considermos l fmili de biertos B(f, ) f F estos son disjuntos dos dos, luego no uede existir un conjunto denso en este escio or que entonces tendrí lmenos un umto en cd bol B(f, ) f F,y entonces no serí numerble Luego este escio no es serble Ejercicio4: QuéesciosdelosroblemsysondeBnch? Escios del ejercicio : ) l es de Bnch, l demostrción es un cso rticulr del rtdo c) b) l es de Bnch, l demostrción es un cso rticulr del rtdo c) c) l es de Bnch Vemos que l es comleto Se {x n } n N l de Cuchy entonces ε >0 n 0 N tl que kx n x m k <ε n, m n 0 Fijmos l coordend i-ésim y tenemos x n (i) x m (i) kx n x m k {x n (i)} n N R esdecuchyycomor es comleto x(i) lim n x n (i) i,, Tenemos l siguiente situción: x x (),x (),,x (i), x x (),x (),,x (i), 0

11 x n x n (),x n (),, x n (i), x x(), x(),,x(i), µ k Fijmos hor k, x n (i) x m (i) kxn x m k <ε n, m n 0 Si hcemos tender m obtenemos lo siguiente: Ã kx! x n (i) x(i) ε n n 0 y k ( ) En rticulr esto me dice, licndo l desiguldd de Minkowski, que: µ k µ x(i) k ε + x n (i) Fijdo k tengo vectores en R n entonces lo que tenemos es kk en R k de l diferenci entre ky n yk donde y n (x n (),x n (),, x n (k)) y y (x(),x(),, x(k)) entonces lo que estmos diciendo es, kyk ky y n k + µ k + ky n k k N, x(i) ε + µ k x n (i) ε + kx n k ε + M orque kx n k es cotdo or ser {x n } n N de Cuchy entonces de quí deducimos que x l or ( ) si k kx n xk ε n n 0 Luego este escio es de Bnch d)(l, kk ) es de Bnch Es un cso rticulr de l demostrción de que (B[, b], kk ) es de Bnch, mirr el rtdo c) de l siguiente rte referente l ejercicio, ero en este cso tomndo T N e) (c 0, kk) es de Bnch r ver que es de Bnch utilizmos que c 0 es cerrdo en l el cul es de Bnch, y or clse sbemos que, un cerrdo contenido en un comleto es comleto; como or el ejercicio sbemos que es normdo, entonces si demostrmos que c 0 es cerrdo en l y tendrímos que es de Bnch, ero esto es clro y que l clusur de c 0 es el mismo f) (c, kk) es de Bnch L demostrción es similr l del rtdo d) de l segund rte de este ejercicio Escios del ejercicio : ) (C[, b], kk ) es de Bnch Es un escio de Bnch or ser cerrdo en B[, b], que tmbién es de Bnch y como hemos dicho nteriormente en el rtdo e), un cerrdo contenido en un Bnch es Bnch

12 Vemos que (C[, b], kk ) es cerrdo en B[, b] Si f ertenece l clusur de C[, b] entonces existe un sucesión en C[, b] queconvergef, entonces f C[, b] yqueeslímiteuniformedecontinusyortntoescontinu b) (C k [, b], kk ) es de Bnch Se {f n } n N C k [, b] de Cuchy entonces {f n } n N, {fn} n N,, ª fn k de Cuchy en (C[, b], kk ) or definición de l norm kfk k i0 n N son kf i k Luego como or el rtdo ), (C[, b], kk ) es de Bnch existen funciones g 0,g,,g k tles que {f n } g 0, {fn} g,, fnª k gk ero, or un resultdo visto en ños nteriores, sbemos que si {f n } f uniformemente y {fn} i g uniformemente entonces g f i Luego tenemos que g i g0 i g 0 C k [, b] yseverific que: kf n g 0 k k mx f n(t) i g0(t) i 0 cundo n t [,b] i0 c) (B[, b], kk) es de Bnch Como nos hemos bsdo en este rtdo r demostrr otros y r ello necesitmos demostrrlo más en generl, lo que vmos hcer es ver que (B(T ), kk) es de Bnch y entonces lo tendrímos demostrdo en rticulr r T [, b] Vemos que (B(T ), kk) es comleto Se {f n } n N de Cuchy entonces ε >0 n 0 N tl que kf n f m k <ε n, m n 0 entonces {f n (x)} n N R es de Cuchy x T ( f n (x) f m (x) kf n f m k) f(x) lim f n (x) x T n Luego en rinciio tenemos un función f : T R y utilizndo que ε >0 n 0 N tl que f n (x) f m (x) <ε n, m n 0 x T ( ) y hciendo tender m l infinito se tiene que ε >0 n 0 N tl que f n (x) f(x) <ε n n 0 x T f(x) f n (x) + ε kf n k + ε M + ε n N f B(T ) or ( ) ε >0 n 0 N tl que kf n fk ε n n 0 f n converge f Luego este escio es comleto y or tnto es de Bnch d) (C[, b], kk ) no es de Bnch Vemos que no es comleto Se {f n } n N C[0, ] tomo {f n } n N l que reresentmos continución

13 b fn fm +b +b n +b +b + n b +b m +b + m En este dibujo están reresentds f n y f m con m>ny se tendrá lo siguiente: b R kf n f m k f n (t) f m (t) +b R dt + n f n (t) f m (t) dt +b n (M ) n M( ) n ε>0 n0 N tl que M( ) n <ε kf n f m k <ε Vemos que no existe f C[0, ] tl que l sucesión nterior converj ell Suonemos que si existe, se f tl que f n f Si x> b+ f(x) b y que si f(x) r<bentonces como f es continu >0 tl que y x < se tiene que f(y) <b b r kf n fk " x+ R x f n (t) f m (t) dt # b r ( ) f n 9 f f(x) b si x> b+ Análogmente se tiene que si x< b+ f(x) f no es continu or tnto este escio no es comleto y entonces no es de Bnch e) (V [, b], kk) es de Bnch Lo rimero que vemos es que si {f n } es de Cuchy entonces {f n (x)} es de Cuchy x [, b] Es clro que {f n ()} es Cuchy, y que or l definición de l norm kfk f() +su n f(t k ) f(t k ) Como kf n f m k f n () f m () +su n (f n (t k ) f n (t k )) (f m (t k ) f m (t k )) entonces, si kf n f m k 0 se tiene que f n () f m () 0 3

14 orotroldosuonemosque x 0 [, b] tl que {f n (x 0 )} no es de Cuchy, luego ε >0 tl que f n (x 0 ) f m (x 0 ) ε r infinitos m 6 n Luego existe un subsucesión {f nk } de {f n } tl que f nk (x 0 ) f nk (x 0 ) ε r todos n k 6 n k ero como {f n ()} es Cuchy {f nk ()} es Cuchy, luego r ε n 0 N tl que f nk () f nk () < ε n k,n k n 0 Ahor bien tomndo l rtición π [, x 0,b] obtenemos que: f nk f nk (x (fnk 0 ) f nk (x 0 )) (f nk () f nk ()) f nk (x 0 ) f nk (x 0 ) f nk () f nk () ε n k,n k n 0 ero esto es un contrdicción y que si un sucesión es de Cuchy tod subsucesión suy es de Cuchy, luego {f nk } es de Cuchy Luego con esto tenemos que {f n (x)} es de Cuchy x [, b], como los números reles son comletos est sucesión converge un función f, untulmente en [, b] Vemos que f V [, b] Se π { t 0 < < t k b} un rtición del intervlo, tommos hor ε n k 0 N tl que f n (t i ) f(t i ) < ε n n 0 i 0,, kdebido l convergenci untul que tenemos se tiene lo siguiente: V π (f) k f(t i ) f(t i ) k f(t i ) f n0 (t i ) + k f n0 (t i ) f n0 (t i ) + + k f n0 (t i ) f(t i ) < k + V k π(f n0 )+ k +M + M +donde M es k tl que V π (f n0 ) M y sbemos que existe orque f n0 V [, b] luego es de vrición cotd or último tenemos que ver que l sucesión converge f con l norm de este esciover esto equivle ver que: ) V (f n f) su n (f n (t k ) f n (t k )) (f(t k ) f(t k )) 0; ) f n () f() Lo segundo lo tenemos or l convergenci untul, hor vemos que tmbién se tiene lo rimero Queremos ver que ddo ε>0 n 0 N tl que V (f n f) <ε n n 0 Fijmos hor π un rtición V π (f n f m ) <ε n, m n 0 Como V π (f n f m ) n (f n (t k ) f n (t k )) (f m (t k ) f m (t k )) <εtommos límites cundo m y tenemos que: n (f n (t k ) f n (t k )) (f(t k ) f(t k )) <ε V π (f n f) <ε Tommos hor suremos en π [, b] y tenemos lo que querímos, que er lo siguiente V (f n f) <εluego V (f n f) 0 4