Modos de convergencia

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Lidia Carrizo Aguirre
hace 8 años
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1 Modos de convergencia Favio Pirán, Christian Caticha Resumen En este documento intentaremos generar intuiciones acerca de distintos tipos de convergencia de sucesiones de funciones reales medibles, mediante ejemplos y comparaciones entre estas. Veremos qué convergencias implican otras, y luego veremos que sucede al agregar la hipótesis de la finitud de la medida del dominio de las funciones. 1. Definiciones Sea un subconjunto medible lebesgue de R, (f n n N una sucesión de funciones, con f n : R, y sea f : R. Sea m la medida de Lebesgue en R. Decimos que: (f n converge puntualmente a f si x lím n fn(x = f(x (f n converge puntualmente c.t.p a f si m{x : lím n fn(x f(x} = (f n converge uniformemente a f si ɛ > N/ n > N x f n (x f(x < ɛ (f n converge en medida a f si ɛ > lím n m{x : f n (x f(x > ɛ} = (f n converge en L 1 a f si ɛ > N/ n > N f n(x f(x dm < ɛ (f n converge en L 2 a f si ɛ > N/ n > N f n(x f(x 2 dm 1/2 < ɛ (f n converge en L a f si ɛ > N/ n > N m{x : f n (x f(x > ɛ} = 1

2 2. Observaciones a considerar Proposición 1. De los tipos de convergencias mencionadas, la función límite f es única sólo en la convergencia puntual o convergencia uniforme Demostración. Sea un subconjunto medible lebesgue de R, (f n n N una sucesión de funciones, con f n : R, y sea f : R. Si f n f puntualmente, entonces x lím n fn(x = f(x. Por lo tanto, f queda determinada para todo elemento de, es decir, es única. Luego, como la convergencia uniforme implica trivialmente la convergencia puntual, si f unif f, f también queda determinada. Para los demás casos, basta ver que, si a definiendo g : R como { f(x si x a g(x = f(a + 1 si x = a se tiene que f n f implica f n g, por lo que no hay unicidad. Observación 1. La convergencia en L no es más que la convergencia uniforme c.t.p. Es decir, dado ɛ > el conjunto de los puntos de en los cuales (f n dista de f más de ɛ a partir de cierto N, tiene medida nula. Esto es, la convergencia en L : ɛ > N/ n > N m{x : f n (x f(x > ɛ} = Observación 2. Considerando la proposición y observación anteriores, vemos que podemos reducir nuestro estudio de convergencia a las convergencias puntual c.t.p, en medida, en L 1, en L 2 o L. Además, obviamente, las convergencias puntual y uniforme implican la puntual c.t.p y uniforme c.t.p. Informalmente, los conjuntos de medida nula en donde las funciones no convergen, no son relevantes en nuestro estudio de convergencia. 3. Ejemplos a considerar A continuación presentaremos varios ejemplos (o contraejemplos que nos serán de utilidad. Llamamos al dominio de las funciones f n y f. 1. Sea = R, (f n definida por f n (x = (1/nχ [ (n 2,n 2 ]. Tenemos entonces que si f es una función tal que f(x = c.t.p, entonces (f n ctp f. Por otro lado, vemos que dado N, se cumple que n > N, < ɛ < 1/n, m{x : f n (x f(x > ɛ} = m( = 2

3 Entonces f n med f y f n L f Además, f n (x f(x dm = 2n f n (x f(x 2 dm 1/2 = 2 Por lo tanto, (f n no converge a f en L 1 ni en L Sea = [, 1], (f n definida por f n = χ Ak, donde A 2 n +j = [j/2 n, j + 1/2 n ], j {,..., 2 n 1} Sea f función definida en tal que x f(x = Observamos que, dado x y N N,existen n, j N con n > N tal que x A 2 n +j, por lo tanto si k = 2 n + j, f k (x = 1. Esto implica que x lím n (f n (x, es decir f n ctp f (es más, no converge puntualmente en ningún punto. Por otro lado, si < ɛ < 1, m{x : f k (x f(x > ɛ} = 1/2 n, si k = 2 n + j Entonces tenemos que f n med f pero f n L f. Además, f n (x f(x dm = 1/2 n = 1/2 f n (x f(x 2 dm Por lo tanto f n L 1 f y f n L 2 f { 1/x 2 si x [1/n, 1] 3. Sea = [, 1], (f n definida por f n (x = si no Sea f definida por f(x = 1/x 2 Vemos que f n ctp f, y también f n med f, pues, si < ɛ < 1 m{x : f n (x f(x > ɛ} = 1/n Aunque esto también nos muestra que f n L f. Luego, como f n (x f(x x [, 1/n, vemos que ( 1/n f n (x f(x dm = 1/x 2 dx = ( 1/2 1/2 1/n f n (x f(x dm 2 = 1/x dx 4 = Lo que implica que f n L 1 f y f n L 2 f 3

4 { 1/ x si x (, 1/n] 4. Sea = [, 1], (f n definida por f n (x = si no Sea f definida por f(x =. Veamos que f n L 1 f pero f n L 2 f: f n (x f(x dm = ( 1/n 1/ x dx = 2 1/n ( 1/2 1/2 1/n f n (x f(x dm 2 = 1/x dx = 5. Sea = [1,, (f n definida por f n (x = Sea f definida por f(x =. Veamos que f n L 2 f pero f n L 1 f: f n (x f(x dm = n { 1/x si x [n, si no 1/x dx = 1/2 1/2 f n (x f(x dm 2 = 1/x dx 2 = 1/n 4. Comparación de convergencias Dado un subconjunto medible lebesgue de R, (f n n N una sucesión de funciones, con f n : R, y f : R, en la siguiente tabla mostraremos cuando f n f en cierta convergencia (columna izquierda implica o no otra convergencia (primera fila. Denotaremos con i al contraejemplo i, y con cuando exista una implicancia. n Punt. c.t.p Medida L 1 L 2 L Punt. c.t.p Medida L L L 1 1-4

5 Demostraciones de las implicancias: 1. Conv. en L 1 implica Conv. en medida: Demostración. Consideramos el conjunto E n,ɛ = {x : f n (x f(x > ɛ}. Tenemos que: f n (x f(x dm f n (x f(x ɛ.m(e n,ɛ E n,ɛ Pero como f n L 1 f, entonces f n(x f(x dm. Esto implica que ɛ.m(e n,ɛ, que como ɛ arbitrario, entonces m(e n,ɛ, es decir, f n med f 2. Conv. en L 2 implica Conv. en medida: Demostración. Análoga a 1 3. Conv. en L implica Conv. en medida: Demostración. Sabemos que ɛ > N/ n > N m{x : f n (x f(x > ɛ} =, en particular m{x : f n (x f(x > ɛ}, por lo tanto, por definición, f n med f 4. Conv. en L implica Conv. puntual c.t.p: Demostración. Razonando por el absurdo, supongamos que la afirmación es falsa, es decir que f n ctp f. Esto implica que B = {x : lím n f n (x f(x} es tal que m(b >. Sea A n,m = {x : f n (x f(x > 1/m, }. Sabemos que fijado m, existe N m tal que n > N m, m(a n,m = (porque f n L f. Tenemos entonces que B A n,m. Por lo tanto m(b m( A n,m. m, n>n m m, n>n m Pero m( A n,m m(a n,m = m, n>n m m, n>n m Lo que implica que m(b =, que es absurdo. 5

6 5. Dominio de medida finita Ahora, con la hipótesis de la finitud de la medida de, reconstruímos la tabla anterior. Denotamos con f a las implicancias nuevas que aparecen, es decir, que requieren la nueva hipótesis para ser ciertas. Punt. c.t.p Medida L 1 L 2 L Punt. c.t.p - f Medida L L 2 2 f - 2 L f f - Demostraciones de las nuevas implicancias, con m( < : 1. Conv. puntual c.t.p implica Conv. en medida: Demostración. Razonando por el absurdo, supongamos que f n med f. Entonces ɛ > y δ > tal que N N, n > N/ m{x : f n (x f(x > ɛ} > δ Podemos considerar entonces una subsucesion (f nk de tal forma que, si A k = {x : f nk (x f(x > ɛ} > δ, k m(a k > δ. Sea Λ = A k. Oservamos que x Λ sii x está en infinitos A k, lo j k j que implica que lim n f n (x f(x. Luego, como {B j = A k } j N es una sucesión decreciente de conjuntos k j y m(b 1 m(, tenemos que m(λ = m( j B j = lím j m(b j = lím j ( k j A k δ Como Λ {x : lím n f n (x f(x}, tenemos que m{x : lím n f n (x f(x} > lo que contradice que f n ctp f. 2. Conv. en L 2 implica Conv. en L 1 : Demostración. Sabemos que como f n L 2 f, 1/2 f n (x f(x dm 2 6

7 Podemos suponer que a partir de cierto N, x f n (x f(x 1, ya que si E es el conjunto en donde f n (x f(x > 1, E f n(x f(x dm < E f n(x f(x 2 dm Ya hemos probado que si f n L 2 f entonces f n med f, por lo tanto, si A n,ɛ = {x : f n (x f(x > ɛ/2m(}, se tiene que m(a n,ɛ. En particular, a partir de cierto N, m(a n,ɛ < ɛ/2. Entonces: f n (x f(x dm = ( A n,ɛ f n (x f(x dm + m(a n,ɛ + (ɛ/2m(m( < ɛ ( Y como ɛ es arbitrariamente pequeño, esto demuestra que f n (x f(x dm (A n,ɛ c f n (x f(x dm 3. Conv. en L implica Conv. en L 2 : Demostración. Sea A n = {x : f n (x f(x > ɛ}. Sabemos que f n L f, por lo que a partir de cierto N, n > N m(a n =. Entonces f n (x f(x 2 dm = f n (x f(x 2 dm+ A n f n (x f(x 2 dm (A n c = f n (x f(x 2 dm ɛ 2 m( (A n c Como ɛ es arbitrariamente pequeño, demostramos que f n (x f(x 2 dm 1/2 4. Conv. en L implica Conv. en L 1 : Demostración. Inmediato a partir de 2 y 3. 7

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