Coordinación de Matemática II (MAT022)

Transcripción

1 oordinión de Mtemáti II (MT22) Primer semestre de 23 Semn 8: Lunes 6 de Myo Viernes de Myo ÁLULO ontenidos lse : Integrles Impropis de primer espeie. L integrl p. riterios de onvergeni. lse 2: Integrles Impropis de segund espeie. riterios de onvergeni. Integrles impropis de terer espeie. LSE. Integrles impropis de primer espeie. riterios de onvergeni. En l definiión de l integrl definid f () se eigió que f : [,b]! R fuese otd. Por su prte el teorem fundmentl del álulo que hemos usdo pr lulr integrles requiere que f se ontinu en [,b]. Est semn nlizremos quells integrles donde integrión se reliz en un intervlo no otdo o l funión tiene un o vris disontinuiddes infinits en el intervlo de integrión. Tles integrles son llmds integrles impropis. Pr tener un ide de omo evlur un integrl impropi onsideremos el siguiente ejemplo: Supong que queremos integrr l funión f : [,+[! R,! f () = / 2. En d intervlo de l form [,b] l funión f () = / 2 es ontinu y por tnto integrble, demás por el teorem fundmentl tenemos es rzonble entones onsiderr Z + 2 = b = = lim 2 b!+ = lim b!+ b! 2 = b

2 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Definiión. (Integrles impropis de primer espeie). Definimos ls integrles sobre intervlos no otdos de l siguiente form:. Si f : [,+[! R es integrble en d intervlo [,b], se define Z + f () = lim b!+ 2. Si f : ],b]! R es integrble en d intervlo [,b], se define 3. Si f : R! R es en d intervlo [,b] R entones donde es ulquier número rel. Z + f ( ) = f () = lim! Z f () + f () f () Z + f () En los dos primeros sos deimos que l integrl onverge si el límite eiste (en tl so el vlor lo denotmos por R + f () y R f () respetivmente); en so ontrrio, l integrl diverge. En el terer so deimos que l b integrl de l izquierd onverge si ls dos integrles impropis de l dereh onvergen en form independiente. Z + Observión.. nlizr sos del tipo 3... Ejemplos Propuestos nlizr l onvergeni de ls integrles impropis: Z + Z + () (b) e () Z (d) Z + ( )e 2 (e) Z + e (f) + e 2 Z + rtn Integrles p Llmremos integrles p no otds ls integrles del tipo Notemos que p = = 8 < : 8 < : Z + p b p p si p 6= ln b si p = b p + p p si p 6= lnb si p = MT22 (álulo) 2

3 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti de est form Z + p = lim b!+ 8 < p = : p si p > + si p pple de donde onluimos que l integrl onverge si y solo si p >. Z + p Ejemplo.. Z + Z + p diverge y onverge. 3/2 Observión.2. Notr que Supong que f : [,+[! R es ontinu. Si > entones por ditividd f ( ) = Z f () + f () note que por l ontinuidd de f, R f ( ) es un número bien definido, de est form Z + Z + f () onverge si y solo si f () onverge (los vlores los ules onvergen pueden ser distintos). Ejemplo.2. Z + /3 2 onverge puesto que Z + 2 onverge. Proposiión.. Sen f, g : [,+[! R funiones ontinus:. Si 6=, 2 R entones R + f ()d onverge si y solo si R + f ( )d onverge, más ún Z + Z + f () = f () 2. Si R + f () y R + g ()d onvergen entones R + f ( ) + g () d onverge, más ún Z + Z + Z + f ( ) + g () = f () + g () Observión.3. Proposiiones similres se pueden enunir respeto los otros tipos de integrles de primer espeie. MT22 (álulo) 3

4 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti..3 Teorems de onvergeni pr funiones positivs Supong que en l integrl impropi que estemos onsiderndo es difíil enontrr un primitiv pr lulr el vlor de l integrl omo podemos rgumentr que el límite eiste sin l neesidd de lulr l integrl? Pr responder est pregunt neesitmos ntes el siguiente Lem.. Si F : [,+[! R es un funión reiente entones lim! F () eiste o lim! F () =+. El primer so se d si y solo si F es otd superiormente. Observión.4. L demostrión se bs en nlizr los sos que F es otd y no otd, en el primer so lim F () = sup{f () : 2 [,+[}! Teorem. (De omprión). Sen f, g : [,+[! R funiones ontinus en [,+[ tles que pr entones:. Si R + 2. Si R + pple f ( ) pple g ( ) g ()d onverge entones R + f ()d onverge. f ()d diverge entones R + g ()d diverge. se umple Demostrión. Sbemos que R + f ( ) onverge si y solo si R + f ( ) onverge, lo mismo pr g. Si definimos F () = Z f (t )dt y G () = Z g (t )dt entones por el teorem fundmentl del álulo mbs funiones son derivbles y on derivd positiv (por hipótesis pple f () pple g () pr ). Si R + g () onverge R + g (t )dt onverge y sí G () = Z g (t )dt pple Z + g (t )dt = M < omo F () pple G () se sigue que l funión reiente F () es otd y por tnto lim! F () eiste, es deir R + f () onverge y luego R + f () onverge. Teorem.2 (riterio del uoiente). Sen f, g : [,+[! R funiones ontinus en [,+[ y no negtivs tles que entones R + f () lim! g ( ) = L > g ()d onverge si y solo si R + f ()d onverge. f ( ) Dem.: lim! = L > entones eiste M > tl que si M g ( ) se sigue pr M hor plir el teorem de omprión. L L 2 pple f () g () pple 3L 2 2 g ( ) pple f () pple g () 3L 2 Observión.5. Podemos utilizr tmbién estos riterios dptdos on los otros tipos de integrles impropis de primer espeie. Tmbién observr que medinte mbios de vribles todos los problems se pueden reduir l nálisis de integrles del tipo R + f (). MT22 (álulo) 4

5 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti..4 Ejemplos propuestos f (). Qué suede si lim!+ = en el riterio del uoiente? g ( ) 2. Deid si ls siguientes integrles son o nó onvergentes () (b) () (d) (e) Z + Z + Z + Z + Z sin e 2 3 e + e + e + e 2 3. Pr que vlores es onvergente l integrl impropi Z LSE 2 2. Integrles impropis de segund y terer espeie. riterios de onvergeni. En l lse nterior enfrentmos el problem de integrles sobre intervlos no otdos hor veremos que suede si l funión es no otd y undo tenemos mbos omportmientos. Definiión 2. (integrl impropi de segund espeie (funiones no otds)). Se f : [,b[! R un funión no otd, diremos que f es integrble en [,b[ si: (i) 8 2 ],b[, f es integrble en [,] (ii) El límite lim!b Z f () eiste. 2.. Observiones Z. undo lim f () eiste, se die que l integrl impropi onverge y si no eiste deimos que l integrl!b impropi diverge. 2. Denotmos por lim!b Z f () = f () MT22 (álulo) 5

6 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti 3. L primer ondiión eige f otd en [,] pr 2 ],b[ se sigue que este tipo de funiones tiene un síntot vertil en = b. 4. En form nálog se definen ls integrles impropis siguientes: (i) (ii) + f () = lim! + + f () = Z + f () + f () pr 2 ],b[ Est últim onverge si y solo si ls dos integrles de l dereh onvergen por seprdo. Ejemplo 2.. Estudir l onvergeni de ls integrles pr p >. Desrrollo: Z + p Z Z = lim p +! + 8 < = lim : =! + 8 < : p dt t p t p p si p 6= lnt si p = si < p < + si p de est form Z onverge si y solo si p <. p + Definiión 2.2. Ls integrles impropis de terer espeie o mits son quells integrles que ombinn ls de primer y segund espeie. Ejemplo 2.2. L integr Z + p + 4 es un integrl impropi mit. L funión tiene síntot vertil en = y el intervlo de integrión es infinito. L onvergeni de est integrl dependerá de l onvergeni de ls integrles impropis Z Z + p y p Los riterios de onvergeni pr integrles impropis de segund espeie son idéntios l so de primer espeie y se bsn en el MT22 (álulo) 6

7 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Lem 2.. Si F : [,b[! R es reiente entones lim!b F () eiste o bien lim!b F ( ) =+. El primer so de umple si y solo si F es otd. Teorem 2. (De omprión). Sen f, g : [,b[! R funiones ontinus en [,b[ tles que pr > se umple pple f ( ) pple g () entones:. Si R b 2. Si R b g ()d onverge entones R b f ()d diverge entones R b f ( )d onverge. g ()d diverge. Teorem 2.2 (riterio del uoiente). Sen f, g : [,b[! R funiones ontinus en [,b[ y no negtivs tles que lim!b f () g ( ) = L > entones R b g ( )d onverge si y solo si R b f ()d onverge. Observión 2.. Podemos utilizr tmbién estos riterios dptdos on los otros tipos de integrles impropis de segund espeie. Ejemplo 2.3. nlizr l onvergeni de Z 2 p + ( 2)( ) Los riterios que hemos ddo hst hor solo sirven pr funiones positivs, podemos formulr el siguiente riterio de omprión Teorem 2.3. Sen f, g,h funiones ontinus en [,+[, tles que entones, si R + g () y R + g () pple f () pple h () h ()d onvergen se sigue que R + f ()d onverge. st onsiderr l desiguldd pple f () g () pple h () g () y plir el riterio de omprión de positivs. Ejemplo 2.4. L integrl impropi Z + sin 2 + es onvergente. Note que no podemos plir los riterios de omprión pr funiones positivs pero omo Z pple sin 2 + pple onverge se sigue por el riterio de omprión generl que R + sin onverge. 2 + MT22 (álulo) 7

8 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti 2..2 Ejeriios propuestos. lsifir en los diferentes tipos de integrles impropis y nlizr l onvergeni: () (b) () (d) (e) Z + Z + Z Z + Z ( ) 4 sin sin 3/2 e ln( + e ) 2. Determinr todos los vlores de 2 R pr los ules l integrl onverge. Z p 5 ( ) MT22 (álulo) 8

9 oordinión de Mtemáti II (MT22) Primer semestre de 23 Semn 8: Lunes 6 de myo Viernes de Myo OMPLEMENTO ontenidos lse : Vlores y vetores propios de un mtriz. Espio propio soido. lse 2: Digonlizión. LSE. Vlores y vetores propios de un mtriz. Espio propio soido. Hst hor l myorí de nuestros álulos los hemos motivdo o llevdo sistems de euiones lgebrios, dremos un motivión lgo distint pr lo que sigue. Muhs pliiones están relionds on euiones difereniles (esto se verá on myor detenión en MT23), omo por ejemplo: du dt du 2 dt = 7u 4u 2 = 5u 2u 2 Ests dos euiones nos dien l form en l ul están relionds ls vriiones de ls funiones u y u 2. Ests euiones pueden ser esrits en l form mtriil u 7 4 u = 5 2 u 2 u 2 o de mner equivlente donde u = u u 2, = u = u y u = u u 2

10 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Ls soluiones de l euión u = euión nterior de l form u tienen l form u = e t. sí, podemos intentr busr soluiones de l u = e t u 2 = 2 e t Notemos que en prinipio podrín no hber tl tipo de soluiones. Si ests fuesen soluiones, entones (derivndo y sustituyendo) obtendrímos el sistem e t = 7 e t 4 2 e t 2 e t = 5 e t 2 2 e t De lo nterior, obtenemos el sistem = 2 En resumen, podemos onstruir soluiones pr du dt du 2 dt = 7u 4u 2 = 5u 2u 2 en l form siempre y undo podmos enontrr y = 2 u = e t u 2 = 2 e t que umpln = lrmente = stisfe est iguldd (pr ulquier eleión de ), pero no nos entreg informión útil sobre l soluión del sistem. Lo que relmente neesitmos son eslres y vetores 6= que umpln =. L euión = l podemos reesribir en l form ( I ) = esto es, el sistem de euiones homogéneo tiene soluiones no nuls, se sigue que los eslres interesntes son quellos pr los ules det( I ) =. Ests observiones motivn ls siguientes definiiones. Definiión.. Si es un mtriz de orden n n.. Un eslr se llm un vlor propio de si eiste un vettor 6= (de orden n ) tl que =. 2. El onjunto de todos los vlores propios de l mtriz es denotdo por () y es llmdo el espetro de. 3. Se 2 (). Un vetor (de orden n ) tl que = es llmdo un vetor propio de soido l vlor propio. MT22 (omplemento) 2

11 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Proposiión.. Si es un vlor propio de l mtriz de orden n n entones W = { : = } es un espio vetoril (de quien es subespio) l que llmremos espio propio soido. Ejeriio.. Se un mtriz rel de tmño n n y se 2 ().. Verifir, on ejemplos, que puede ser un número omplejo no rel. 2. Se 2 (). Verifir que el onjunto de vetores propios de soidos l vlor propio es un subespio vetoril del espio de mtries omplejs de tmño n. 3. Se 2 (). Verifir que el onjunto de vetores propios de soidos l vlor propio que tienen todos sus oefiientes reles es un subespio vetoril del espio de mtries reles de tmño n. 4. Se 2 (). usr ejemplos donde el espio de vetores propios soidos on entrds reles es diferente del espio de vetores propios soidos. uándo podemos segurr iguldd? Observión.. 2 (), I es singulr, det( I ) = Pr enontrr los vlores propios de un mtriz debemos busr quellos eslres tles que det( I ) =. Note que det( I ) es un polinomio en l que llmremos polinomio rterístio de l mtriz y lo denotremos por P ( ). Si P ( ) es el polinomio rterístio de l mtriz entones P ( ) = es llmd l euión rterísti de l mtriz. Ejemplo.. Enontrr los vlores propios de = Desrrollo: lulmos det( I ) = luego los vlores propios son ls soluiones de l euión = = es deir 3 y 2 se sigue () = {2,3} en este so. Observión.2. Si es de orden n n entones el polinomio rterístio tiene grdo n, por lo tnto tiene n posibles vlores omplejos que stisfen l euión (ontndo multipliiddes). En prtiulr, hy lo más n vlores propios reles de. Si hemos enontrdo un vlor propio podemos busr los vetores propios soidos este de l siguiente form. En el ejemplo nterior tomemos = 2. Entones, pr busr los vetores propios soidos l vlor propio 2, debemos resolver el sistem linel siguiente y busr ls soluiones diferentes del trivil y = 2 y MT22 (omplemento) 3

12 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Se tiene que y tiene infinits soluiones de l form omo Æ 4 5 pple R 2. es soluión del sistem homogéneo 4 5 t t y = on t 2 R es deir el onjunto de ls soluiones lo podemos representr Definiión.2. Se un mtriz y 2 (). Llmremos multipliidd lgebri del vlor propio l multipliidd de omo ríz del polinomio rterístio y llmremos multipliidd geométri l dimensión de W es espio propio soido. Proposiión.2. Se un mtriz:. L sum de los vlores propios de (ontndo multipliidd lgebri) es igul l trz de. 2. El produto de los vlores propios de (ontndo multipliidd lgebri) es igul l determinnte de. 3. Los vlores propios de un mtriz tringulr son los elementos de su digonl prinipl... Ejeriios propuestos. onsidere un mtriz b = d enontrr su polinomio rterístio y epresr sus oefiientes en términos de trz y determinnte. 2. Pr ls siguientes mtries =, y 2 3 determinr los polinomios rterístios, vlores propios, espios propios soidos y ls multipliiddes orrespondientes. LSE 2 2. Digonlizión Notemos que si P es un mtriz no singulr de orden n n y es un mtriz del mismo orden, entones det Ä P P I ä = det Ä P P P IP ä = det Ä P ( I )P ä = det Ä P ä det( I )det(p) = det( I ) MT22 (omplemento) 4

13 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti De lo nterior se observ que = P P y tienen el mismo polinomio rterístio. L ide serí onsiderr un mtriz P deud de tl form que P P fuer lo más senill posible pr poder enontrr el polinomio rterístio. Este álulo motiv l siguiente definiión. Definiión 2.. Dos mtries y de orden n n se die similres si eiste un mtriz no singulr P tl que P P =. El problem fundmentl es el siguiente. Dd un mtriz udrd, reduir est su form más simple trvés de un trnsformión por similridd P P. Ls mtries más fáiles de lulr su polinomio rterístio son ls mtries digonles. Definiión 2.2. Diremos que un mtriz de orden n n es digonlizble si eiste un mtriz P del mismo orden y no singulr tl que P P = D, donde D es un mtriz digonl. Es válido preguntr Es tod mtriz digonlizble? l respuest es no, por ejemplo si onsidermos l mtriz = Notemos que 2 = [] 2 2. Si eistier un mtriz P no singulr tl que P P = D on D digonl, entones D 2 = Ä P P ää P P ä = P 2 P = P []P = [] omo D es digonl, lo nterior oblig tener que D = []. Pero esto último obligr ı tener = [], lo que es un ontrdiión. Entones ules mtries son digonlizbles? Note lo siguiente P n n P = D n de donde si ponemos P = PD P = î v v 2 v n ó donde v i son los vetores olumns de P, entones P = î v v 2 v n ó y PD = î v 2 v 2 nv n ó De lo nterior se obtiene que, 8i =,2,...,n, se umple v i = i v i, es deir, P n n P = D impli que P tiene en sus olumns n vetores propios linelmente independientes y D es l mtriz digonl que tiene por entrds los vlores propios de l mtriz. L reípro de est firmión se puede verifir sin problems. MT22 (omplemento) 5

14 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Teorem 2.. Un mtriz de tmño n n y entrds omplejs (o reles) es digonlizble si el espio de mtries de tmño n y entrds omplejs tiene un bse de vetores propios de l mtriz. En tl so podemos obtener un mtriz que digonliz poniendo los vetores de tl bse omo olumns de l mtriz P. Ejeriio 2.. Digonlizr l mtriz El polinomio rterístio es ( )( + 3) 2. Luego, los vlores propios son = (de multipliidd lgebri ) y = 3 (de multipliidd lgebri 2). En prtiulr, tenemos que ()={, 3}. 2 Se puede lulr gener el espio propio soido l vlor propio y gen- ern el espio propio soido l vlor propio 3, es deir, W = = los y W = omo formn un bse del espio de mtries de tmño 3 y enrds omplejs, l mtriz es digonlizble y un mtriz digonl similr es dd por Notemos en este ejemplo que l mtriz no-singulr P tiene tods sus entrds reles. 3 3 Todo el problem de l digonlizión se redue enontrr un bse de vetores propios. Note que s vlor propio tiene soido un espio propio y de d uno de esos espios propios podemos etrer un bse, se tiene el siguiente teorem. Teorem 2.2. Pr d vlor propio se umple que l multipliidd geométri es menor o igul que l multipliidd lgebri De est form de d subespio podemos etrer lo más tntos vetores omo multipliidd lgebri teng el vlor propio Teorem 2.3. Vlores propios orrespondientes vetores propios diferentes son linelmente independientes. Proof. Se un mtriz, µ, 2 (), donde µ 6=. Sen v,w vetores no nulos, tl que v = v y w = µw. onsideremos eslres, de mner que Entones, De est mner, multiplindo () por () v + µw = (2) = = ( v + µw )= v + µw y restndole (2), se obtiene que ( )v = omo v 6= y 6= µ, se tiene que =. hor, usndo () y el heho que w 6=, se obtiene que =. MT22 (omplemento) 6

15 Universidd Téni Federio Snt Mrí Deprtmento de Mtemáti Luego el problem de l digonlizión se redue l siguiente teorem. Teorem 2.4. Un mtriz es digonlizble si y solo si pr todo vlor propio l multipliiddes lgebris y geométris oiniden. orolrio 2.. Si todos los vlores propios son distintos (es deir, d uno de ellos tiene multipliidd lgebri ), entones l mtriz es digonlizble (el reíproo no es verdd) Ejeriio 2.2. Determinr si ls siguientes mtries son digonlizbles MT22 (omplemento) 7